Paradosso Di Banach-Tarski
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Paradosso di Banach-Tarski Stabilito per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tar- ski nel 1924, il paradosso di Banach-Tarski o parados- so di Hausdorff-Banach-Tarski è il famoso paradosso del “raddoppiamento della sfera” ("doubling the ball"), che stabilisce che, adoperando l'assioma della scelta,è possibile prendere una palla nello spazio a 3 dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi (non misurabi- li) e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due palle dello stesso raggio dell'originale. Decomposizione di una sfera in due sfere Con questo risultato Banach e Tarski intendevano suppor- tare la loro decisione di non avvalersi dell'assioma della scelta e speravano di spingere alle medesime conclusioni gli altri matematici dell'epoca. Contrariamente a quan- to da loro auspicato, tuttavia, la maggior parte dei ma- tematici preferisce utilizzare tale assioma e vedere nel risultato paradossale di Banach e Tarski semplicemen- te un risultato controintuitivo (e tuttavia di per sé non contraddittorio). Il paradosso mostra che non è possibile formulare una no- zione di misura che da una parte si accordi con la classica nozione di volume (e che quindi sia invariante per roto- traslazioni) e che dall'altra possa essere applicata a tutti i sottoinsiemi dello spazio. Detto in altri termini: se della classica nozione di volume si vuole preservare la proprie- tà di invarianza roto-traslazionale, allora si deve rinuncia- re alla pretesa di misurare ogni sottoinsieme dello spazio, ovvero si deve accettare il fatto che esistano sottoinsiemi dello spazio per i quali la nozione di volume non è defi- nita. Difatti il paradosso si spiega proprio con il fatto che alcuni dei pezzi in cui risulta suddivisa la prima sfera ri- sultano essere insiemi ai quali la nozione di volume non può essere applicata, nonostante sia l'insieme di parten- za (la prima sfera) sia quello d'arrivo (la coppia di sfere) abbiano invece un volume ben definito. La dimostrazione dell'esistenza di insiemi il cui volume non può essere definito era già stata ottenuta da Vitali con il suo famoso esempio (insieme di Vitali). Ma nell'insieme di Vitali viene fatta una decomposizione in un numero infinito (ma numerabile) di parti mentre nel paradosso di Banach-Tarski la suddivisione è in un numero finito di parti. Infine, è utile osservare che sia la costruzione di Vitali che quella di Banach-Tarski si basano sull'assioma della scelta: è stato dimostrato che se non si utilizza tale assio- ma allora non è possibile costruire l'insieme di Vitali né dimostrare il paradosso di Banach-Tarski. 1 Impostazione formale Supponiamo che G sia un gruppo che agisce su un insieme X. Nel caso speciale più importante, X è uno spazio Eu- clideo n-dimensionale, e G consiste in tutte le isometrie di X, cioè le trasformazioni biunivoche di X in se stesso che preservano le distanze. Due figure geometriche che pos- sono essere trasformate l'una nell'altra vengono chiamate congruenti, questa terminologia sarà estesa alla G-azione generale. Due sottoinsiemi A e B di X sono chiamati G- equiscomponibili,o equiscomponibili rispetto a G, se A e B possono essere partizionati nello stesso numero fini- to di pezzi G-congruenti. È facile vedere che ciò definisce una relazione di equivalenza ∼ tra tutti i sottoinsiemi di X. Formalmente, se A = k ∪ i=1 A i , B = k ∪ i=1 B i , A i ∩A j = B i ∩B j = ∅ ogni per 1 ≤ i<j ≤ e ci sono elementi g 1 ,...,gk di G tali che per ogni i tra 1e k, gi (Ai )= Bi , allora diremo che A e B sono G- equiscomponibili usando k pezzi. Un insieme E viene chiamato paradossale se ha due sottoinsiemi disgiunti A e B tali che A ∼ E e B ∼ E. Usando questa terminologia il paradosso di Banach– Tarski può essere riformulato come segue: Una palla a tre dimensioni Euclidee è equiscom- ponibile a due copie di se stessa. 2 Collegamenti esterni • Dimostrazione del paradosso (richiede conoscenze di matematica a livello universitario) 1
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Anche questo non è malaccio. Un paradosso che permette di ottenere due palle da una palla, due sfere da una sfera, due bocce da una boccia. E' un paradosso famoso per la sua originalità equidistante da ogni trignometria assonometrica.
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Paradosso di Banach-Tarski
Stabilito per la prima volta da Stefan Banach eAlfred Tar-ski nel 1924, il paradosso di Banach-Tarski o parados-so di Hausdor-Banach-Tarski il famoso paradossodel raddoppiamento della sfera ("doubling the ball"),che stabilisce che, adoperando l'assioma della scelta, possibile prendere una palla nello spazio a 3 dimensioni,suddividerla in un insieme nito di pezzi (non misurabi-li) e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblarei pezzi in modo da ottenere due palle dello stesso raggiodell'originale.
Decomposizione di una sfera in due sfere
Con questo risultato Banach e Tarski intendevano suppor-tare la loro decisione di non avvalersi dell'assioma dellascelta e speravano di spingere alle medesime conclusionigli altri matematici dell'epoca. Contrariamente a quan-to da loro auspicato, tuttavia, la maggior parte dei ma-tematici preferisce utilizzare tale assioma e vedere nelrisultato paradossale di Banach e Tarski semplicemen-te un risultato controintuitivo (e tuttavia di per s noncontraddittorio).Il paradosso mostra che non possibile formulare una no-zione di misura che da una parte si accordi con la classicanozione di volume (e che quindi sia invariante per roto-traslazioni) e che dall'altra possa essere applicata a tutti isottoinsiemi dello spazio. Detto in altri termini: se dellaclassica nozione di volume si vuole preservare la proprie-t di invarianza roto-traslazionale, allora si deve rinuncia-re alla pretesa di misurare ogni sottoinsieme dello spazio,ovvero si deve accettare il fatto che esistano sottoinsiemidello spazio per i quali la nozione di volume non de-nita. Difatti il paradosso si spiega proprio con il fatto chealcuni dei pezzi in cui risulta suddivisa la prima sfera ri-sultano essere insiemi ai quali la nozione di volume nonpu essere applicata, nonostante sia l'insieme di parten-za (la prima sfera) sia quello d'arrivo (la coppia di sfere)abbiano invece un volume ben denito.La dimostrazione dell'esistenza di insiemi il cui volumenon pu essere denito era gi stata ottenuta da Vitali conil suo famoso esempio (insieme di Vitali).Ma nell'insiemedi Vitali viene fatta una decomposizione in un numeroinnito (ma numerabile) di parti mentre nel paradosso diBanach-Tarski la suddivisione in un numero nito diparti.
Inne, utile osservare che sia la costruzione di Vitaliche quella di Banach-Tarski si basano sull'assioma dellascelta: stato dimostrato che se non si utilizza tale assio-ma allora non possibile costruire l'insieme di Vitali ndimostrare il paradosso di Banach-Tarski.
1 Impostazione formaleSupponiamo cheG sia un gruppo che agisce su un insiemeX. Nel caso speciale pi importante, X uno spazio Eu-clideo n-dimensionale, eG consiste in tutte le isometrie diX, cio le trasformazioni biunivoche di X in se stesso chepreservano le distanze. Due gure geometriche che pos-sono essere trasformate l'una nell'altra vengono chiamatecongruenti, questa terminologia sar estesa alla G-azionegenerale. Due sottoinsiemi A e B di X sono chiamati G-equiscomponibili, o equiscomponibili rispetto a G, seA e B possono essere partizionati nello stesso numero ni-to di pezziG-congruenti. facile vedere che ci denisceuna relazione di equivalenza tra tutti i sottoinsiemi diX. Formalmente, se
A =
k[i=1
Ai; B =
k[i=1
Bi; Ai\Aj = Bi\Bj = ; ogni per 1 i < j k;
e ci sono elementi g1,...,gk di G tali che per ogni i tra1 e k, gi (Ai ) = Bi , allora diremo che A e B sono G-equiscomponibili usando k pezzi. Un insieme E vienechiamato paradossale se ha due sottoinsiemi disgiuntiA e B tali che A E e B E.Usando questa terminologia il paradosso di BanachTarski pu essere riformulato come segue:
Una palla a tre dimensioni Euclidee equiscom-ponibile a due copie di se stessa.
2 Collegamenti esterni Dimostrazione del paradosso (richiede conoscenze
di matematica a livello universitario)
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3 Fonti per testo e immagini; autori; licenze3.1 Testo
Paradosso di Banach-Tarski Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Banach-Tarski?oldid=73509897 Contributori: .mau.,Hellis, 4v4l0n42, Helios, Skyhc, Eumolpo, Piddu, Thijs!bot, Rei-bot, VolkovBot, Abbot, Stefano Bit, Sartore, Megalexandros, Dorgan-Bot, Phantomas, Dogah, Alexbot, IagaBot, Tetsuotram, Luckas-bot, FrescoBot, Cosmos72~itwiki, Albertobosia, AushulzBot, Rubinbot,Dega180, UgoBerlin, EmausBot, ZroBot, Emanuele.paolini, Addbot, Mat4free e Anonimo: 6
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