Ottica geometrica 3 18 gennaio 2013

Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi

Diottro concavo, ingrandimento

Diottro piano

Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento

Sistemi di lenti, doppietti addossati

Telescopio

Diottro convesso

• Due mezzi trasparenti con indice di rifrazione diverso, separati da una superficie, costituiscono un diottro

• Noi studieremo i diottri con superficie sferica o piana

• Supponiamo che il mezzo di sinistra abbia indice n1 e il mezzo di destra n2 e che n1 < n2

N

HC

VP Q

’

i

t

• Come per gli specchi abbiamo le relazioni geometriche

t ' i2

Diottro convesso

• Ora la relazione tra i e t è data dalla legge di Snell

• Ricordiamo le relazioni tra angoli e segmenti (y = NH)

N

HC

VP Q

’

i

t

n2 sin t n1 sin i

CHNHtg QHNHtg 'PHNHtg

3

Diottro convesso

• In approssimazione di Gauss (AG) confondiamo il seno e la tangente di un angolo con l’angolo stesso e VH~0

• La legge di Snell diviene allora

• Moltiplicando per n1 e per n2 e sottraendo membro a membro si ottiene

N

HC

VP Q

’

i

t

• ovvero

n2t n1i

t '

i

n1 n2 '

1221 ' nnnn

Rytg / iytg /'' oytg /

4

Diottro convesso

• Sostituendo i valori degli angoli in AG, troviamo l’eq. del diottro

• Poiché non vi compare la posizione di N (cioè y) il diottro è uno strumento stigmatico (nell’AG)

N

HC

VP Q

’

i

t

n1o

n2i

n2 n1R

5

Convenzione dei segni• Anche per il diottro vale una convenzione sui segni delle

distanze che permette di usare l’equazione trovata in tutti i casi (diottro convesso, concavo; oggetto in diverse posizioni)– La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza) e va

a destra (spazio di trasmissione)– o è positiva se l’oggetto è nello spazio di incidenza,

negativa se giace nello spazio di trasmissione– i è positiva se l’immagine è nello spazio di

trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza

– R è positiva se il centro di curvatura è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza

6

Fuoco posteriore

• Facendo tendere il punto oggetto P all’infinito, l’immagine Q tende ad un punto detto fuoco posteriore

• La posizione del fuoco posteriore (i = f2) è

CV F2

i

t

f2 n2

n2 n1R

7

Fuoco anteriore

• Quando il punto oggetto P è nel fuoco anteriore, l’immagine Q tende all’infinito

• La posizione del fuoco anteriore (o = f1) è

CVF1

it

f1 n1

n2 n1R

8

Eq. del diottro convesso

• Con la definizione delle due distanze focali si può scrivere l’eq. del diottro nella forma

• Le distanze focali sono sempre diverse e stanno nel rapporto

f1o

f2i

1

f1f2

n1n2

9

Diottro concavo

• Ora le relazioni geometriche sono

• Da cui

• E grazie alle convenzioni dei segni diventa

N

HC VP Q

’ i

t

't

i

n1o

n2i

n2 n1R

n1o

n2i

n2 n1R

10

Immagine di punti fuori asse

• Ripetiamo il ragionamento fatto per gli specchi• Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile

tracciare una retta passante per P e il centro C della superficie sferica e ripetere le costruzioni fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo con la retta PC

CVP’

Q’P

Q

11

Immagine di punti fuori asse

• Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con l’asse (P’C=PC, Q’C=QC)

• La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima che tra P’ e Q’

• Quindi il diottro trasforma una superficie sferica oggetto PP’ in una superficie sferica immagine QQ’

CVP’

Q’P

Q

12

Immagine di punti fuori asse

• Grazie all’approssimazione parassiale, le porzioni di superfici sferiche sono così piccole da poter essere considerate piane

• I diottri trasformano quindi superfici oggetto piane perpendicolari all’asse in superfici immagine piane perpendicolari all’asse

CVP’

Q’P

Q

13

Tracciamento dell’immagine• Il diottro trasforma un segmento oggetto perpendicolare

all’asse in un segmento immagine perpendicolare all’asse, basta quindi considerare i due punti estremi dell’oggetto per conoscere l’estensione dell’immagine

• Essendo il diottro stigmatico, bastano due raggi per determinare un punto immagine

• I raggi notevoli emessi dall’oggetto sono, in questo caso – Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel fuoco

posteriore– Il raggio passante per il fuoco anteriore che viene rifratto

parallelamente all’asse– Il raggio passante per il centro di curvatura che viene rifratto

senza deviazione

14

Ingrandimento

• Usiamo il raggio incidente nel vertice: dai triangolo PP’V e QQ’V abbiamo

• Dividendo membro a membro

PP'P'Vtg i

QQ'Q'Vtg t

QQ'

PP'Q'Vtg tP 'Vtg i

Q'V tP 'V i

Q'V

P 'V

n1n2

G I

O

n1n2

i

o

CV

P

P’

Q

Q’it

• E usando la convenzione dei segni

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Diottro piano

• In questo caso R è infinito, per conseguenza • Il segno negativo significa che l’immagine non sta

nello spazio di trasmissione, ma in quello d’incidenza (è virtuale)

• Poiché n1 < n2 l’immagine è più distante dalla superficie del diottro di quanto lo sia l’oggetto; se il mezzo con n maggiore fosse a sinistra avverrebbe l’inverso, l’immagine sarebbe più vicina alla superficie

i n2n1o

PQ

16

Diottro piano

• L’ingrandimento è dato da

• Cioè l’immagine è dritta e delle stesse dimensioni dell’oggetto

G I

O

n1n2

i

o

n1n2

n2n1

1

P

Q’ P’

Q

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Esercizio: diottro+specchio

• Sia dato un diottro piano di con indici di rifrazione n1, n2 accoppiato ad uno specchio piano posto a distanza s dalla superficie del diottro

• Trovare l’immagine del punto oggetto P

s

n1=1 n2=n

P VD VS

Prima immagine del diottro (Q1)

• Distanza oggetto PVD=o=o1

• Distanza immagine Q1VD=i1

• Equazione del diottro

• Da cui

s

n1=1 n2=n

PQ1VD VS

01

11

i

n

o

11 noi

Immagine dello specchio(Q2)

• Distanza oggetto Q1VS=o2=-i1+s

• Distanza immagine Q2VS=i2

• Equazione dello specchio

• Da cui

s

n1=1 n2=n

PQ1 Q2VD VS

011

22

io

22 oi

Seconda immagine del diottro (Q3)

• Distanza oggetto Q2VD=o3=-i2+s

• Distanza immagine Q3VD=i3=i

• Equazione del diottro

• Da cui

• Effettuando le sostituzioni s

n1=1 n2=n

PQ1 Q2Q3VD VS

01

33

io

n

n

oi 33

n

so

n

so

n

sno

n

si

n

so

n

si

n

oii

22221

112233

Lenti sottili

• Una lente può essere considerata l’insieme di due diottri• L’azione totale della lente è data dalla rifrazione

successiva dei due diottri• Le lenti più semplici sono quelle sottili, cioè con spessore

trascurabile rispetto alle altre lunghezze in gioco• Solitamente le lenti sono immerse in aria

• Siano R1 e R2 i raggi di curvatura delle superfici della lente e n l’indice di rifrazione del materiale relativo all’aria

22

Lenti sottili

• Sia P l’oggetto, a distanza o = o1 dalla prima superficie (S1)

• La distanza i1 dell’immagine formata dalla rifrazione di S1 è data dalla formula del diottro

1

o1n

i1n 1R1

PQ1 Qo = o1

i1

i = i2

S1 S2

s

o223

Lenti sottili• L’immagine formata da S1 (virtuale nel nostro caso)

diventa l’oggetto per S2• Poiché davanti alla superficie le distanze degli oggetti

sono positive e quelle delle immagini negative, vale la relazione

o2 i1 s

PQ1 Qo = o1

i1

i = i2

S1 S2

s

o224

Lenti sottili• La distanza dell’oggetto da S2, trascurato lo spessore s

della lente, è uguale, in valore assoluto, a quella dell’immagine da S1

• La rifrazione di S2 si trova applicando l’eq. del diottro con n1 = n e n2 = 1, i2 = i

o2 i1

n

o21

i21 nR2

n

i11

i1 nR2

PQ1 Q

o = o1

i1 - o2

i = i2

S1 S2

25

Distanza focaleEq. delle lenti sottili

• Sommando membro a membro con l’eq. del primo diottro otteniamo

• Poiche’ la distanza focale è la distanza dell’immagine (f=i) quando la distanza dell’oggetto è infinita (o=), otteniamo

• detta formula dei fabbricanti di lenti• e l’eq. delle lenti sottili assume la forma

21

111

1

RRn

f

1

o1

i1

f

21

111

11

RRn

io

26

Lente convergente• Consideriamo una lente biconvessa con indice n > namb

cioè maggiore di quello dell’ambiente circostante• I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno

spessore di vetro maggiore al centro della lente che nella parte esterna

• Poiché la velocità della luce è minore nel vetro che nell’aria, la parte centrale di ciascun fronte d’onda è in ritardo rispetto alla parte esterna

• Questo produce un’onda sferica che converge nel fuoco F’, e i raggi, perpendicolari ai fronti, passano per F’

F’ • Simbolo della lente convergente

27

Lente divergente• Consideriamo una lente biconcava con indice n > namb

• I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro minore al centro della lente che nella parte esterna

• La parte centrale di ciascun fronte d’onda è in anticipo rispetto alla parte esterna

• Questo produce un’onda sferica che diverge e i prolungamenti dei raggi, perp. ai fronti, passano per F’

• Simbolo della lente divergente

F’

28

Distanza focale• La distanza focale di una lente è data

dalla formula• Per una lente convergente

biconvessa, le convenzioni del diottro stabiliscono che R1 è positivo e R2 è negativo, ne segue che la distanza focale risulta positiva

• Le lenti convergenti sono anche dette positive

• Per una lente divergente biconcava, al contrario, R1 è negativo e R2 è positivo, la distanza focale risulta negativa

• Le lenti divergenti sono anche dette negative

1

f n 1 1

R11

R2

29

Fuochi • Se sistemiamo l’oggetto in modo che il fascio emergente

dalla lente sia costituito da raggi paralleli (ovvero l’immagine vada all’infinito), individuiamo il primo fuoco F della lente

• Viceversa, il punto in cui un fascio parallelo (quello emesso da un oggetto posto all’infinito) viene fatto convergere dalla lente è detto secondo fuoco F’

F’

F

30

Fuochi • Per lenti divergenti occorre considerare non i raggi, ma i

loro prolungamenti• primo fuoco F: fascio emergente parallelo

• secondo fuoco F’: fascio incidente parallelo

F’

F

31

Distanza focale• In una lente ci sono due fuochi, ma una sola distanza

focale• Infatti, ribaltando la lente, le superfici S1, S2 si scambiano

e anche i due raggi si scambiano

• E inserendo nella formula della distanza focale otteniamo lo stesso valore

1

f n 1 1

R11

R2

R1 > 0

R2 < 0 R’2 < 0

R’1 > 0

R'1 R2

R'2 R1

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Tracciamento dell’immagine• I raggi notevoli emessi dall’oggetto sono, in questo caso

– Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel secondo fuoco

– Il raggio passante per il primo fuoco che viene rifratto parallelamente all’asse

– Il raggio passante per il centro della lente che viene rifratto senza deviazione (le facce della lente sono parallele per questo raggio e quindi esso emerge nella stessa direzione, ma lievemente spostato. Poiché la lente è sottile, tale spostamento è trascurabile)

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Ingrandimento

• Usiamo il raggio incidente nel centro della lente: dai triangolo PP’C e QQ’C abbiamo

• e tenendo conto della convenzione dei segni

P

P’Q

Q’

C

QQ'

PP'Q'C

P 'C

G I

O

i

o

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• La potenza, o potere diottrico, di una lente è l’inverso della distanza focale

• L’unità di misura della potenza è la diottria D corrispondente all’inverso del metro

• Come conseguenza del segno di f, la potenza è – positiva per lenti convergenti– negativa per lenti divergenti

P 1

f

Potenza di una lente

Dm 1

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• Se si hanno più lenti, si può trovare l’immagine del sistema procedendo una lente per volta

• L’immagine di una lente, reale o virtuale che sia, sarà l’oggetto della lente consecutiva

• P.e. nel caso di due lenti si usa la distanza immagine della prima lente, assieme alla distanza d tra le lenti, per determinare la distanza oggetto della seconda lente

Sistemi di lenti

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• Si dicono addossate lenti la cui distanza è nulla

• Si può dimostrare (nel caso di due lenti) che vale la seguente relazione tra le distanze focali delle lenti e la distanza focale equivalente del sistema

• Ovvero, in termini di potenza

Lenti sottili addossate

1

feq1

f11

f2

Peq P1 P2

37

• Sia dato un sistema di due lenti addossate di fuochi rispettivi f1 e f2, troviamo l’immagine Q di un punto oggetto P

• A tal fine troviamo dapprima l’immagine Q1 dovuta alla lente L1

Lenti sottili addossate

L1

P1=P

Q1

P

1

o11

i11

o1

i11

f1

38

Oggetti virtuali

• I raggi principali per la prima lente, che ci hanno permesso di costruire l’immagine della prima lente, non lo sono necessariamente per la seconda

• Per trovare i raggi principali per la seconda lente si puo` procedere come segue

• Ricordiamo che l’immagine della prima lente diviene l’oggetto della seconda lente

39

Oggetti virtuali

• Tracciamo allora all’indietro, cioe` da DX a SX i raggi uscenti dall’oggetto, principali per la seconda lente, fino a oltrepassare la lente, e come se questa non agisse

• Invertiamo ora il verso dei raggi e costruiamo i raggi rifratti dalla lente

• Otterremo cosi’ l’immagine della seconda lente

L2

P2=Q1

L2

Q2=Q40

• E quindi l’immagine dovuta alla lente L2

• Sommando membro a membro le due eqq., otteniamo

• Poiché il primo membro è l’inverso della distanza focale equivalente del doppietto, otteniamo la tesi

Lenti sottili addossate

1

o21

i21

i11

i1

f2

1

o1

i1

f11

f2

1

feq1

f11

f2

P

Q

L2

Q2=Q

P2=Q1

41

Strumenti ottici composti

• Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i telescopi

• Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto lontani

• Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo sotto cui e` visto senza strumento

tg

tgV

42

Telescopio

• Nella versione piu` semplice un telescopio e` formato da due lenti

• Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc)

• L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb)

43

Telescopio di Galileo• E` formato da due lenti convergenti• Diciamo l la lunghezza del telescopio, definita come

somma delle distanze focali delle lenti• e y’ la dimensione dell’immagine dell’oggetto

all’infinito

• L’ingrandimento visuale risultac

b

b

c

f

f

fy

fy

tg

tgV

'

'

obiettivo

oculare

l

y’

cb ffl

44

Telescopio di Keplero

c

b

b

c

f

f

fy

fy

tg

tgV

'

'

• L’obiettivo e` una lente convergente, l’oculare e` ora una lente divergente

• La lunghezza l del telescopio, e` con il vantaggio di compattezza rispetto al TdG

• L’ingrandimento visuale risulta

cbcb ffffl

obiettivo

oculare

l

y’

45

Strumenti ottici composti

• Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i microscopi

• Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto piccoli

• Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo sotto cui e` visto senza strumento alla distanza prossima di visione nitida (d=25 cm)

tg

tgV

46

Microscopio

• Nella versione piu` semplice un microscopio e` formato da due lenti convergenti

• Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc)

• L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb molto piccola)

47

Microscopio• Diciamo l la lunghezza del microscopio, definita come

distanza tra il 2° fuoco della prima lente e il 1° fuoco della seconda lente

• Siano y e y’ le dimensioni dell’oggetto e dell’immagine

48

obiettivo

oculare

l

yy’

Microscopio• La distanza dell’oggetto dev’essere di poco maggiore della

distanza focale dell’obiettivo, di modo che l’immagine sia reale e molto ingrandita

• Si sposta l’obiettivo mantenendo fermi sia l’oggetto che l’oculare, fintanto che l’immagine dell’obiettivo cada nel 1° fuoco dell’oculare

• L’ingrandimento visuale risulta

49cbc

c

f

d

f

l

f

d

y

y

dy

fy

tg

tgV

''

obiettivo

oculare

l

yy’