Ottica geometrica 2 11 gennaio 2013

Specchio convesso

Immagine di punti fuori asse

Raggi notevoli

Convenzione dei segni

Ingrandimento

Specchio piano

Punti fuori asse all’infinito

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Specchio convesso

• Le relazioni angolari sono ora

• Sommando membro a membro e semplificando

• Come nei casi precedenti approssimiamo l’angolo con la tangente, ottenendo

'r

i

'2

1

o1

i

2

R

CVP Q

N

H ’

i

r

3

Specchio convesso

• Anche in questo caso se P tende all’infinito ( ) il punto immagine è detto fuoco (i = f), che in questo caso è virtuale

o

f R

2

CV F

Ni

r

4

Simboli degli specchi

• Specchio concavo

• Specchio convesso

• Specchio piano

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Immagine di punti fuori asse

• Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile tracciare una retta passante per P e il centro C della superficie sferica e ripetere le costruzioni fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo con la retta PC

C V

P

Q

CV

PQ

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Immagine di punti fuori asse

• Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con l’asse (P’C=PC, Q’C=QC)

• La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima che tra P’ e Q’

• Quindi lo specchio trasforma una superficie sferica oggetto PP’ in una superficie sferica immagine QQ’

C V

P

QP’

Q’ CV

PQ

P’ Q’

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Immagine di punti fuori asse

• Grazie all’approssimazione parassiale, le porzioni di superfici sferiche sono così piccole da poter essere considerate piane

• Gli specchi trasformano quindi superfici oggetto piane perpendicolari all’asse in superfici immagine piane perpendicolari all’asse

C V

P

QP’

Q’ CV

PQ

P’ Q’

8

C V

P

QP’Q’

Tracciamento dell’immagine

• Per quanto appena detto, per determinare l’immagine di un oggetto PP’ esteso trasversalmente all’asse basta trovare l’immagine Q, Q’ dei punti oggetto estremi P e P’

• Convenzionalmente un oggetto esteso viene indicato con una freccia

• Per strumenti stigmatici la determinazione di un punto immagine Q necessita di soli due raggi

• Q è l’intersezione dei due raggi riflessi

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Raggi notevoli

• Esistono alcuni raggi che permettono il tracciamento dell’immagine in modo molto semplice, essi sono:– Il raggio parallelo all’asse, che viene riflesso nel fuoco– Il raggio passante per il fuoco, che viene riflesso

parallelamente all’asse– Il raggio passante per il centro dello specchio, che

viene riflesso all’indietro sovrapposto al raggio d’incidenza

– Il raggio passanti per il vertice dello specchio che viene riflesso simmetricamente rispetto all’asse

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Eqq. degli specchi

• Abbiamo fin qui trovato due eqq. per lo specchio concavo

• e una per lo specchio convesso

• Per economia di pensiero è stata concepita una convenzione che attribuisce un segno alle lunghezze o, i, R

• Questo permette di usare una sola eq. in tutti i casi

Rio

211

1

o1

i2

R

1

o1

i

2

R

11

Convenzione dei segni

• La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza)• La distanza oggetto o=PV e` positiva se P sta nello spazio di

incidenza, negativa se sta da parte opposta (oggetto virtuale)

• La distanza immagine i=QV e` positiva se Q sta nello spazio di riflessione (uguale allo spazio d’incidenza), negativa se sta da parte opposta

VP o > 0 V Po < 0

V Qi < 0VQ i > 011

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Convenzione dei segni

• Il raggio di curvatura e` positivo se C sta nello spazio di riflessione, negativo se sta da parte opposta

• La distanza y dall’asse di un punto oggetto o immagine e` positiva se sta sopra l’asse, negativa se sta sotto

V C

R < 0R > 0

VC

12

y < 0

y > 0

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Equazione degli specchi

• Le eqq. degli specchi si potrebbero ora riscrivere

• E grazie alla convenzione, divengono una sola eq.

• Usando la distanza focale si può scrivere l’eq. dello specchio anche nelle due forme

1

o1

i2

R

1

o1

i2

R

1

o1

i

2

R

Rio

211

f

of

i1

1

o1

i1

f

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Ingrandimento trasversale (G)• Per oggetti estesi, è il rapporto tra la dimensione

trasversale dell’immagine e dell’oggetto

• In dipendenza del segno di I e O l’ingrandimento può essere positivo o negativo

• È positivo quando immagine e oggetto hanno lo stesso verso (immagine dritta)

• È negativo quando immagine e oggetto hanno verso opposto (immagine capovolta)

G QQ'

PP'I

O

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G per specchi concavi

• Usiamo il raggio incidente nel vertice: per la similitudine dei triangoli PP’V e QQ’V, abbiamo

• Ovvero, tenendo conto della convenzione dei segni

C V

P

QP’

Q’

QQ'

PP'Q'V

P 'V

G I

O

i

o 0

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G per specchi convessi

• Usiamo il raggio incidente nel vertice: per la similitudine dei triangoli PP’V e QQ’V, abbiamo

• Ovvero, tenendo conto della convenzione dei segni

QQ'

PP'Q'V

P 'V

CV

PQ

P’ Q’

G I

O

i

o 0

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Specchio piano

• Per uno specchio piano R è infinito, di conseguenza

• L’immagine è oltre lo specchio (è virtuale) e posta simmetricamente all’oggetto rispetto allo specchio

• Lo specchio piano è rigorosamente stigmatico per tutti i punti dello spazio oggetto

i o

P Q

i

r N

H

• Infatti scelto un raggio arbitrario PN, i triangoli rettangoli PHN, QHN sono uguali e quindi PH=QH, qualunque sia N

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Specchio piano

• Qualunque retta P’H perpendicolare allo specchio può essere considerata un asse

• Si dimostra facilmente che l’oggetto PP’ perpendicolare a P’H ha come immagine QQ’, pure perpendicolare P’H

• Per l’ingrandimento abbiamo• cioè l’immagine è dritta e della stessa dimensione

dell’oggetto

G I

O

i

o1

P’ QH

P Q’

CV

Immagine di punti all’infinito

• Immaginiamo un fascio di luce parallelo che formi un’angolo con l’asse

• Questo accade, p.e., per oggetti molto lontani come le stelle• Per trovare l’immagine Q usiamo i raggi passanti per V e C

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CV

Q

CV

F

Immagine di punti all’infinito Piano focale

• E` il piano perpendicolare all’asse passante per il fuoco

• Il punto Q, indipendentemente da giace sul piano focale, la sua posizione e` definita dall’intersezione– col raggio riflesso passante per il centro– col raggio riflesso parallelo all’asse (incidente nel fuoco)

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Q