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G. Valentini I numeri complessi www.matematico.it

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NUMERI COMPLESSI G. Valentini

1. Introduzione

I primi che trattarono la questione dei numeri complessi furono i matematici greci. La domanda che si posero era :

"esiste un numero che moltiplicato per se stesso dà -1 ?"

Non fu difficile per essi decidere che un numero del genere non esisteva, dato che il quadrato di una qualsiasi quantità deve essere sempre positiva. D'altro canto li sconcertava il fatto di avere equazioni che avevano soluzioni soltanto se si ammetteva la possibilità di estrarre la radice quadrata di -1.

Diofanto, matematico greco del II sec., fu uno dei primi matematici a riconoscere che l'insieme

dei numeri reali è, in un certo senso, incompleto. Egli tentò di risolvere il problema, ragionevole in apparenza, di determinare i lati di un triangolo rettangolo avente perimetro 12 e area 7. Il problema porta all'equazione (scritta in termini moderni) :

26 43 84 0x x− + =

in cui x rappresenta la lunghezza di un lato del triangolo. Le soluzioni di questa equazione contengono la radice quadrata di -1. Diofanto chiuse il problema dichiarandolo impossibile.

Nel XVI secolo la questione riprese vigore. Alcuni algebristi italiani (Bombelli, Tartaglia,

Cardano), notando che gli algoritmi risolutivi delle equazioni di 3° e 4° grado comportavano, a volte, la radice quadrata di quantità negative, risolsero la questione inventando un nuovo numero, il numero i , l'unità immaginaria. L'idea sviluppata nel Cinquecento è la seguente. Consideriamo un'equazione di 3° grado :

3 2 0y ay by c+ + + =

ponendo 3ay x= − si ottiene l'equazione

3 0x px q+ + =

Una delle tre soluzioni viene espressa da :

2 3 2 33 3

1 2 4 27 2 4 27q q p q q px = − + + + − − + (1)

Fu Cardano (forse Tartaglia o Bombelli, la storia è controversa) a notare che la quantità 2 3

4 27q p

+

può essere negativa e che, pertanto, 1x può non avere un significato reale. Esempio 1 L'equazione 3 6 4 0x x− − = ha 3 radici reali:



1 2 32 ; 1 3 ; 1 3x x x= − = + = − Determiniamo una delle tre soluzioni applicando la formula (1) :

3 31 2 4 2 4x = + − + − − (2)

Cardano risolse il problema di estrarre la radice quadrata di -4 inventando il numero immaginario i definendolo così :

1i = − in modo tale che :

4 4 2i i− = = la (2) pertanto diventa :

3 31 2 2 2 2x i i= + + − (3)

osservando che : ( ) ( ) ( )3 2 31 1 3 3 1 3 3 2 2i i i i i i i− + = − + + + = − − + − = −

e che :

( )31 2 2i i− − = + la (3) diventa :

( ) ( ) ( ) ( )3 33 31 1 1 1 1 2x i i i i= − − + − + = − − − + = −

Ponendo : 21 3 1 3

2 2i ij j− + − −

= → =

le rimanenti radici sono : ( ) ( )( ) ( )

22

23

1 1 1 3

1 1 1 3

x j i j i

x j i j i

= ⋅ − + + ⋅ − − = −

= ⋅ − + + ⋅ − − = +

Il metodo illustrato, anche se porta al risultato corretto, si presta a non poche critiche. In

particolare risulta non coerente la : 21 i i− = − =

perché conduce a degli assurdi, per esempio :

( ) ( ) 2 2 21 1 1 1 1i i i= = − ⋅ − = ⋅ = = −

Vedremo come è stata risolta la questione quando ci occuperemo della definizione di un nuovo insieme di numeri : l'insieme C dei numeri complessi.

2. Un po’ di storia

I matematici del Rinascimento non ritenevano i numeri complessi dei veri numeri, ma li consideravano alla stregua di oggetti magici e fantastici, insomma un'escamotage utile per risolvere alcune questioni, nemmeno tanto importanti per loro. Venivano usati come strumenti di calcolo ma guardati con diffidenza, prova ne sia la terminologia usata: immaginari, complessi, quantità silvestri, il Bombelli usava per i il termine p.d.m (più di meno) e per -i m.d.m. (men di meno).

Tale disagio era dovuto al fatto che, all'epoca, era convinzione comune che la matematica, alla stregua delle altre scienze, non fosse un'invenzione dell'uomo ma, piuttosto, un'avvicinarsi al



mondo reale (fisico) attraverso la costruzione di modelli, certamente astratti ma sempre legati a fatti concreti. Insomma, il matematico scopriva, non inventava!

Il matematico inglese John Wallis (1616-1703) fu uno dei primi a rendersi conto della vera natura della matematica. Egli asseriva che, sebbene si fosse pensato che la radice quadrata di un numero negativo implicava l'impossibile, la stessa cosa si sarebbe potuta dire di un numero negativo. Ecco il suo pensiero:

"si reputa che queste quantità immaginarie, nascenti dall'aver supposto la radice quadrata di -1, implichino la impossibilità del caso proposto. E così è infatti se ci si attiene alla prima e stretta nozione proposta: non è possibile che un numero, sia esso positivo o negativo, moltiplicato per se stesso possa dare, per esempio, -4, dal momento che segni del tipo + o - daranno sempre +, e quindi mai -. Ma allo stesso modo è impossibile che una quantità possa essere negativa. Non è possibile che una grandezza possa essere minore di niente o che un numero qualsiasi sia più piccolo di nessuno. Tuttavia tale ipotesi (sulle quantità negative) non è né inutile né assurda, se rettamente intesa. E sebbene la notazione algebrica comporti una quantità minore di niente, questa nelle sue applicazioni in fisica denota una quantità reale come se il suo segno fosse +, ma viene interpretata in senso contrario…".

Nel XIX sec., soprattutto ad opera di uno dei più grandi matematici della storia, K.F. Gauss, i numeri complessi acquisirono un indiscusso "diritto di cittadinanza" presso i matematici diventando, al di là dei limiti dell'algebra reale, indispensabile strumento di lavoro in moltissimi settori di ricerca. La teoria delle funzioni di variabile complessa ha ormai assunto un ruolo essenziale in quasi tutti i campi della fisica e dell'ingegneria: dall'elettromagnetismo alla meccanica quantistica, dall'aerodinamica alla teoria dell'elasticità, solo per citarne alcuni.

3. Il campo dei numeri complessi

L'insieme C dei numeri complessi è costituito da coppie ordinate di numeri reali (a,b). Sull'insieme C sono definite le due operazioni:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , ,

, , ,

a b c d a c b d

a b c d a c b d a d b c

+ = + + ∈

⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ∈

CC

I membri di destra di queste due uguaglianze vengono chiamati, rispettivamente, somma e prodotto, e sono anche loro dei numeri complessi. Si dimostra che l'insieme C con le due operazioni definite in precedenza è un campo. 4. Rappresentazioni di un numero complesso

FORMA BINOMIALE Consideriamo un numero complesso ( ),z a b= . In base alle definizioni di addizione e

moltiplicazione, si può scrivere :

( ) ( ) ( ) ( ), ,0 0,1 ,0a b a b= + ⋅ (1)

dove la corrispondenza biunivoca:

( ),0 ,a a a↔ ∀ ∈R

conserva le operazioni, cioè fa corrispondere alla somma e al prodotto definite in C l'ordinaria somma e prodotto definite in R (campo dei numeri reali) :



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

,0 ,0 ,0

,0 ,0 ,0

a c a c a c

a c a c a c

+ = + ↔ +

⋅ = ⋅ ↔ ⋅

Possiamo identificare il sottoinsieme di C formato da tutti gli elementi del tipo ( ),0a con l'insieme R, e scrivere:

( ),0 a a a= ∀ ∈R

Ponendo ( )0,1 i= , unità immaginaria, la (1) diventa :

( ),a b a ib= +

L'espressione appena scritta si chiama forma binomiale (o algebrica) del numero complesso ( ),a b ; a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso.

FORMA CARTESIANA Gli elementi di C sono rappresentabili come punti del piano cartesiano, dove le ascisse

rappresentano il sottoinsieme di C formato dai numeri reali ( ),0a a= e le ordinate dai numeri

immaginari puri ( )0,b ib= . L'asse delle ascisse viene chiamato asse reale,

mentre quello delle ordinate asse immaginario. Il piano cartesiano così formato viene chiamato piano complesso, o piano di Gauss.

Un numero complesso ( ),z a b= viene così individuato dalle sue "coordinate cartesiane" a e b,

Molto utili anche le "coordinate polari" di z :

2 2

arctg

z a b modulob argomentoa

ϕ

= +

=

Figura 1

FORMA TRIGONOMETRICA Dalla forma cartesiana deduciamo :

( )cos senz z ϕ ϕ= ⋅ + che è la forma trigonometrica del numero complesso z. E' importante notare che l'argomento

delle funzioni seno e coseno può essere incrementato di 2kπ ( k ∈Z ) ottenendo ancora lo stesso numero complesso.



Consideriamo il piano complesso in figura. Il complesso ( ),0z a= ha argomento che dipende dal segno di a :

( )0 20 2 1

a ka k

ϕ πϕ π

> ↔ =

< ↔ = +

I complessi di modulo unitario appartengono alla circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario. Il complesso :

cos senz iz

ϕ ϕ= +

è unitario.

Figura 2

FORMA ESPONENZIALE Eulero (Leonhard Euler) dedusse la fondamentale relazione :

cos senixe x i x= +

E' valida anche la relazione :

cos senixe x i x− = −

Utilizzando tale formula otteniamo la rappresentazione esponenziale di un complesso : iz z e ϕ= ⋅

5. Operazioni razionali in C D'ora in poi opereremo con i due numeri complessi :

( ) ( )( ) ( )

, cos sen

, cos sen

z a b a ib z i

v c d c id v i

ϕ ϕ

θ θ

= = + = ⋅ +

= = + = ⋅ +

UGUAGLIANZA Poiché ( ),a b e ( ),a b sono coppie ordinate, si ha :

2 , z v a c b d z v k kϕ θ π= ↔ = ∧ = ↔ = ∧ = + ∈Z



ADDIZIONE

( ) ( )z v a c i b d+ = + + +

E' immediato verificare che valgono le proprietà commutativa e associativa.

Sul piano complesso, la somma z+v può essere interpretata come somma di due vettori di componenti cartesiane (a,b) e (c,d).

Figura 3

MOLTIPLICAZIONE

Dalla definizione già data si ottiene :

( ) ( )( ) ( )cos sen

z v ac bd i ad bc

z v z v iϕ θ ϕ θ

⋅ = − + +

⋅ = ⋅ ⋅ + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

Valgono le proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto all'addizione. Interpretiamo l'operazione di addizione nel piano complesso. Consideriamo i complessi :

( )*

cos sen

cos sen complesso

z zvv i unitariov

ϕ ϕ

θ θ

= ⋅ +

= = +

Il prodotto di z per il complesso unitario *v vale :

( ) ( )* cos senz v z iϕ θ ϕ θ⋅ = ⋅ + + +⎡ ⎤⎣ ⎦



Il prodotto *z v⋅ è quindi un complesso il cui punto rappresentativo sul piano di Gauss si ottiene ruotando il vettore posizione di z di un angolo θ (fig.4a)

Figura 4

Particolarmente importante è il caso v i= . Essendo 2πθ = , si ha :

cos sen2 2

z i z iπ πϕ ϕ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

L'effetto della moltiplicazione di z e i è quello di far ruotare il vettore posizione di z di una

angolo 2πθ = (fig.4b). Per questo motivo, in Meccanica, l'immaginario i è chiamato "operatore

manovella".

Risulta quindi facile comprendere la relazione 2 1i = − : ruotando il complesso z di 2π si

ottiene z i⋅ che, ruotato a sua volta di 2π diventa ( ) 2z i i i z z⋅ ⋅ = ⋅ = − , simmetrico di z rispetto

all'origine (fig.4b). Esempio 2 Dati :

2 cos sen6 6

3 cos sen2 2

z i

v i

π π

π π

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

si ha : 1 36 cos sen 6 3 3 3

6 2 6 2 2 2z v i i iπ π π π ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ + + + = ⋅ − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠



ROTAZIONI NEL PIANO Consideriamo un punto ( , )P x y del piano cartesiano, e associamo a P il complesso :

( ) ( )cos senz z x iy z iϕ ϕ= + = ⋅ +

consideriamo inoltre il complesso unitario u :

cos senu iα α= + :

Il prodotto complesso w z u= ⋅ vale:

( ) ( ) ( ) ( )cos sen cos senw z u z i z i zϕ α ϕ α ϕ α ϕ α= ⋅ = ⋅ + + + = ⋅ + + ⋅ ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦ Le parti reale e immaginaria di w sono :

( ) ( )( ) ( )

cos cos cos sen sen cos sen

sen sen cos cos sen sen cos

cos sensen cos

X z z x y

Y z z x y

X x yY x y

ϕ α ϕ α ϕ α α α

ϕ α ϕ α ϕ α α α

α αα α

⎧ = ⋅ + = ⋅ − = −⎪⎨

= ⋅ + = ⋅ + = +⎪⎩

= −⎧⎨ = +⎩

le due equazioni appena scritte costituiscono le equazioni della trasformazione che fa corrispondere al punto ( , )P x y il punto ( ),Q X Y , "ruotato" di un angolo α rispetto a P. Esempio 3

Determiniamo la trasformazione che ruota i punti del piano cartesiano di 3π .

Applicando le equazioni della trasformazione "rotazione" si ha :

3cos sen3 3 2 2

3sen cos3 3 2 2

xX x y X y

yY x y Y x

π π

π π

⎧⎧ = − = −⎪⎪⎪ ⎪→⎨ ⎨⎪ ⎪= + = +⎪ ⎪⎩ ⎩

DIVISIONE

Chiamiamo complesso coniugato di ( ),z a b= il complesso ( ),z a b= − . Nel piano complesso, z e z sono simmetrici rispetto all'asse reale. E' immediato verificare che :

2

2z z a

z z z

+ = ∈

⋅ = ∈

R

R



Ad ogni complesso si associa il reciproco :

2 2 21 1 z z a ibz z z a bz

−= ⋅ = =

+

Il quoziente vz

( 0z ≠ ) è immediatamente definito :

( ) ( )2 2 2 2

1 ac bd i ad bcv a ibv vz z a b a b

+ + −−= ⋅ = ⋅ =

+ +

in forma trigonometrica :

( ) ( )cos senvv i

z zϕ θ ϕ θ= − + −⎡ ⎤⎣ ⎦

POTENZE E RADICI IN C

Osserviamo che : ( )

( )

( )

2 2

2 3 3

cos 2 sen 2

cos3 sen 3

. cos sen , n n

z z z z i

z z z z i

z z n i n n

⋅ = = +

⋅ = = +

= + ∈

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ N

L'ultima uguaglianza è nota come formula di De Moivre. Con essa si esprime in modo compatto

la potenza n-esima di un complesso. Se z è il complesso unitario, l'operazione nz equivale a n rotazioni del complesso z, ciascuna di

ampiezza ϕ . Utilizziamo la formula di De Moivre per stabilire che ogni complesso z ha n radici n-esime in

C. Siano z e v due complessi tali che nz v= . Si ha: ( ) ( )cos sen cos sen

22

n

nn

z i v n i n

v zz vkn k

n n

ϕ ϕ θ θ

ϕ πϕ θ π θ

+ = +

⎧ =⎧ =⎪ ⎪→⎨ ⎨= + = +⎪ ⎪⎩

⎩

dove k è un intero. Diamo a k valori da 0 a 1n − :

( ) ( ) ( )

1 1

2 2

0 ; cos sen

2 2 21 ; cos sen

.......

1 2 1 2 1 21 ; cos sen

n

n

nn n

k v z in n n

k v z in n n

n n nk n v z i

n n n

ϕ ϕ ϕθ

ϕ π ϕ π ϕ πθ

ϕ π ϕ π ϕ πθ

⎛ ⎞= → = = +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + +⎛ ⎞= → = = +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − + − + −⎛ ⎞= − → = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠



Quando k n= si ottiene la prima soluzione, per 1k n= + la seconda, e così via. Ne segue che l'equazione :

nv z= in C ammette n soluzioni distinte o, in altri termini, il complesso z ha n radici n-esime in C. Tali

radici hanno ugual modulo e argomenti che differiscono per un multiplo di 2nπ .

Sul piano complesso, le radici sono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nella circonferenza con centro nell'origine e raggio n zρ = .

Figura 5



Esempio 4

Le radici n-esime del complesso unitario 1z = sono operatori di rotazione di ampiezza rispettivamente :

( )2 2 2 20 ; ; 2 ; 3 ........... 1nn n n nπ π π π

⋅ ⋅ −

Il poligono rappresentativo ha un vertice nel punto (1;0) e, se n è pari, un altro vertice in (-1;0). Quindi per n pari abbiamo 2 radici reali e (n-2) radici complesse, per n dispari, invece, si ha una

radice reale e (n-1) radici complesse:

Figura 6

6. La formula risolutiva delle equazioni di 3° grado Vogliamo risolvere l'equazione di 3° grado :

3 2 0x ax bx c+ + + =

Ponendo 3ax y= − riduciamo l'equazione data alla sua forma normale :

3 0y py q+ + = (1) dove :

2

3

32 1

27 3

ap b

q a ab c

⎧= − +⎪⎪

⎨⎪ = − +⎪⎩

La formula 3ax y= − è meno misteriosa di quanto possa sembrare.

Data un'equazione di grado n e primo coefficiente 1, 1 ...... 0n nx ax −+ + = , il coefficiente a di 1nx − è l'opposto della somma delle radici. Poiché le radici sono tre, a/3 è il baricentro delle radici.



Il cambio delle coordinate sarà la nuova somma delle radici, che deve essere zero, perché il nuovo baricentro è l'origine. Torniamo all'equazione (1). Supponiamo 0p ≠ e 0q ≠ . Cerchiamo le soluzioni ponendo :

y u v= + dove u e v sono complessi. Elevando al cubo ambo i membri :

( )3 3 33 0y u v u v− ⋅ − + =

affinché questa equazione sia equivalente alla (1) deve essere :

3 33pu v

u v q

⎧ ⋅ = −⎪⎨⎪ + = −⎩

(2)

eleviamo al cubo la prima equazione, ottenendo il sistema : 3

3 3

3 327pu v

u v q

⎧⋅ = −⎪

⎨⎪ + = −⎩

(3)

I sistemi (2) e (3) non sono equivalenti. Quindi, risolto il sistema (3), occorre scartare quelle soluzioni che non sono valide per il sistema (2). Il sistema (3) è simmetrico e l'equazione in z associata è :

32 0

27pz qz+ − = (4)



le cui soluzioni sono : 2 3

2 3

se 02 4 27

se 02 4 27

q q pz

q q pz i

= − ± + ∆ ≥

= − ± + ∆ <

Consideriamo il caso 0∆ ≥ . Si ha:

( )

( )

2 33

2 33

cos sen2 4 27

cos sen2 4 27

q q pu s s i

q q pv t t i

θ θ

ϕ ϕ

⎧⎪ = − + + = = +⎪⎨⎪

= − + + = = +⎪⎩

con: 0 se 0 0 se 0

se 0 se 0

s ts t

θ ϕθ π ϕ π= > = >⎧ ⎧

⎨ ⎨= < = <⎩ ⎩

da cui:

3

3

2 2cos sen con 0,1, 23 32 2cos sen3 3

k ku s i k

k kv t i

θ π θ π

ϕ π ϕ π

+ +⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

perciò :

30

31

32

0

1 32 2

1 32 2

u s

u s i

u s i

θ =

=

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

30

31

32

1 3'2 2

'

1 32 2

u s i

u s

u s i

θ π=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Se 0s < allora 3 3s s= − , e può scriversi :

30

31

32

1 32 2

1 32 2

u s

u s i

u s i

=

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1 1 2 2 0con ' ' 'u u u u u u= = =



Posto ora :

2

1 32 21 32 2

i

i

ε

ε

= − +

= − −

con ε e 2ε radici complesse dell'equazione 3 1y = , si ha :

30

31

2 32

u s

u s

u s

ε

ε

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎩

30

31

2 32

v t

v t

v t

ε

ε

⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎩

Bisogna ora scegliere le coppie ( , )i ju v in modo che :

3i jpu v⋅ = −

E' subito visto che le coppie da considerare sono :

0 0 1 2 2 1( , ) ( , ) ( , )u v u v u v Pertanto:

3 30

23 31

2 3 32

3

3

3

ay s t

ay s t

ay s t

ε ε

ε ε

= + −

= + −

= + −

che costituiscono le formule di risoluzione dell'equazione di terzo grado quando il ∆ dell'equazione (4) è positivo (o nullo, caso in cui si ha una radice doppia). Il caso 0∆ < si risolve in maniera analoga, e viene lasciato come esercizio per il lettore. 7. Un'applicazione: correnti elettriche variabili nel tempo

Molte questioni fisiche che coinvolgono grandezze variabili periodicamente si prestano all'uso dei numeri complessi. In questo esempio, analizzeremo un semplice circuito in corrente alternata.

Supponiamo di applicare al circuito in fig.7 una f.e.m. :

( )cosE E tω ϕ= − Il circuito è caratterizzato da una resistenza R e da

un'induttanza L. La corrente che otterremo avrà intensità:cosI I tω=

E e I sono valori massimi (ampiezze), ω è la frequenza e ϕ la fase.

Figura 7



Ci interessa calcolare 1. la relazione fra le ampiezze E e I 2. il ritardo di fase ϕ− della corrente rispetto alla f.e.m. Analizziamo separatamente gli effetti della resistenza R e dell'induttanza L. Se il circuito

presentasse solo una resistenza R si avrebbe una f.e.m. di ampiezza:

R prima legge di OhmE I R= ⋅

in concordanza di fase con la corrente I. Se invece il circuito presentasse dolo un'induttanza L, che agisce opponendosi alla variazione di intensità di corrente, si avrebbe una f.e.m. di ampiezza :

LE I L ω= ⋅ ⋅

in quadratura di fase con la corrente. Ne segue che per produrre nel circuito la corrente I è necessario impiegare entrambe le f.e.m. appena scritte.

E' significativo pensare E ed I come numeri complessi, cioè come punti (o vettori) nel piano di Gauss (fig.6). Rappresentiamo sull'asse reale x le grandezze in concordanza di fase con I, e sull'asse immaginario y le grandezze in quadratura di fase con I.

Poniamo :

( )R LE E iE

I R iLI Z

ω= + =

= + =

= ⋅

Figura 8

Z viene chiamata impedenza complessa del circuito, ed ha modulo :

2 2 2Z R iL R Lω ω= + = +

e argomento :

arctg LRωϕ =

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