Universita degli Studi di Pisa

Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

Momento Magnetico dei Nucleoni neiModelli a Quarks

Relatore:Chiar.mo Prof.Michele Viviani

Candidato:Domenico Tallarico

Anno Accademico 2010-11

Indice

1 Introduzione 31.1 Il modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Caratteristiche di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Evidenze sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Il problema del colore e la funzione d’onda dei barioni . . . . . . 41.3 Ulteriori note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Carica di colore nell’interazione forte . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Confinamento dei quarks negli adroni . . . . . . . . . . . 5

2 Funzione d’onda Spin×Flavour dei barioni 62.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Flavour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Funzioni d’onda Spin×Flavour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Stati S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Stati A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Stati ρ e λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Modello a quarks costituenti 123.1 L’oscillatore armonico a tre corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Stati N = 0, 1, 2 e loro simmetrie per scambio di quark . . . . . . 163.3 La funzione d’onda totale dei nucleoni . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Il momento magnetico dei nucleoni . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.1 Il neutrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.2 Il protone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 M.I.T. bag model 234.1 L’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1 Giustificazione euristica dell’equazione di Dirac . . . . . . 234.1.2 Equazione di Dirac in potenziale generico . . . . . . . . . 254.1.3 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Equazione di Dirac in potenziale centrale . . . . . . . . . . . . . 264.3 Momento magnetico di un quark in potenziale centrale . . . . . . 304.4 Momento magnetico dei nucleoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Il modello a quark

1.1.1 Caratteristiche di base

Gli adroni sono modellizzabili come stati legati di particelle si spin S = 12 chia-

mate quarks e antiquarks. Esistono in natura sei tipi di quarks (q) classificabilicon un numero quantico detto ”flavour” i cui possibili valori sono up (u), down(d), strange (s), charm (c), top (t) e bottom (b). Associati ai quarks, gli anti-quarks (q) hanno le medesime caratteristiche dei primi eccetto carica, stranezzae numero barionico uguali ed opposti.Gli adroni possono essere suddivisi in due tipi di particelle: i mesoni sistemi qqdi spin S = 1

2 ⊗12 = 1⊗ 0 e i barioni sistemi qqq di spin S = 1

2 ⊗12 ⊗

12 = 3

2 ⊗12 .

In questo elaborato ci occuperemo di barioni e in particolare di quelli ottenutidalla composizione dei quarks di flavour u, d ed s. Le caratteristiche di questiultimi sono riassunte nella tabella (1.1).Tali barioni possono essere raggruppati in un decupletto e in un ottetto (figure

Flavour T3 Carica Stranezzau + 1

2 + 23 0

d − 12 − 1

3 0s 0 − 1

3 −1

Tabella 1.1: Caratteristiche salienti dei quarks u, d e s

1.1), diagrammi in funzione della carica Q (o equivalentemente della proiezionedell’operatore di isopin T3) e della stranezza. Da queste figure sono immedia-tamente deducibili alcune caratteristiche dei barioni. Per esempio dalla figura(1.1) si evince che il barione ∆++ deve essere non strano quindi combinazioneesclusivamente di u e d, ma la carica deve essere +2e quindi d e escluso. Lostato in termini di quarks deve essere dunque uuu consistente peraltro con larichiesta di T3 = +3/2 .

3

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Figura 1.1: Nella figura a sinistra e rappresentato il decupletto barionico costituitodai barioni di spin S = 3

2; a destra l’ottetto barionico costituito da barioni di spin

S = 12

1.1.2 Evidenze sperimentali

La prima questione che emerge e se i quarks siano realmente i costituenti fonda-mentali degli adroni oppure siano soltanto un conveniente espediente matema-tico per descriverne la struttura interna. Da esperimenti di scattering inelasticodi elettroni e neutrini ad alta energia (tra 1GeV a 100GeV ) su nucleoni emergecome i quarks siano realmente esistenti.

Si usano elettroni e neutrini perche sono leptoni e quindi l’interazione con iquarks e ben spiegata dal Modello Standard. Da qui la possibilita di estrarreinformazioni sulla struttura dei nucleoni. In particolare dagli urti elastici e−−Nsi ricavano i fattori di forma, legati in maniera diretta alle distribuizioni di caricaelettrica e di momento magnetico del nucleone.

Le alte energie degli esperimenti sono necessarie per garantire una lun-ghezza d’onda di de Broglie piccola rispetto alle dimensioni tipiche del nu-cleone (circa 1fm). Per esempio ponendo per un elettrone con energia E =√

(pc)2 + (mec2)2 ' 10GeV si ha per la lunghezza d’onda di de Broglie

λ =hc√

E2 −mec2' 4π10−2fm

che e piccola rispetto al raggio del nucleone.L’obiettivo di questi esperimenti di diffusione e stato quello di misurare l’e-

nergia e la distribuzione angolare delle particelle diffuse dai nucleoni, da cui sisono potute dedurre le caratteristiche degli oggetti colpiti. E emerso che

• un nucleone contiene 3 oggetti puntiformi;

• gli oggetti puntiformi hanno spin 1/2;

• gli oggetti hanno carica elettrica frazionaria di +2/3 e -1/3 (in unita die).

1.2 Il problema del colore e la funzione d’ondadei barioni

In prima battuta la funzione d’onda di un barione sara

ψ = ψspinψspaceψflavour

1.3. ULTERIORI NOTE 5

dove ogni fattore descrive un particolare attributo della funzione d’onda.Nel caso di ∆++(1232) = uuu la funzione d’onda di flavour e, come gia abbiamoosservato, uuu simmetrica per ogni scambio di coppie di quarks. Essendo laparticella ∆ uno dei barioni piu leggeri, supponiamo che i tre quarks siano nellostato spaziale di minore energia, che ragionevolmente possiamo pensare comeuno stato totalmente simmetrico con L = 0. I tre quarks quindi saranno inuno stato di spin S = 3

2 per esempio | 32 ,+32 〉 =↑↑↑ . Quanto detto sembra

violare la richiesta di antisimmetria della funzione d’onda dei fermioni, essendoψspin =↑↑↑ e ψspace entrambe simmetriche.

Potremmo anche porre, nell’ambito di un modello a shell, due quarks nellivello fondamentale L = 0 con spin antiparalleli ( principio di Pauli) e un quarknel livello di valenza a L = 1, ottenendo cosı J∆++ = jval = L+S = 1⊕ 1

2 = 32⊕

12 :

J = 32 e riproducibile ma non la parita essendo Π = Π3

u(−1)1 = −1.La difficolta rappresentata dalla simmetria della funzione d’onda della ∆++

puo essere superata assegnando una nuova proprieta ai quarks che per conven-zione e chiamata colore. Se questo nuovo numero quantico assumesse uno tratre possibili valori (per esempio R red, G green, B blue), risulterebbe possibileripristinare la validita del Principio di Pauli. Infatti se si scrive la funzioned’onda di un qualunque barione nella forma

ψ = ψspaceψspinψflavourψcolour (1.1)

si puo imporre che ψcolor sia antisimmetrica per scambio di una qualunquecoppia di quarks, costruendola mediante il determinante di Slater. Si ottiene

ψcolor =1√6

[RGB +BRG+GBR−RBG−BGR−GRB] (1.2)

che e antisimmetrica ovviando in tal modo alla questione precedentemente posta.

1.3 Ulteriori note

1.3.1 Carica di colore nell’interazione forte

Le forze tra i quarks possono essere modellizzate come forze di scambio, mediateda particelle di massa nulla e spin 1 chiamate gluoni. Il campo che lega i quarkse un campo di colore. Il colore non e soltanto un numero quantico correttivoper la statistica dei quarks negli adroni ma ricopre lo stesso ruolo che la caricaelettrica ha nell’interazione elettromagnetica.

1.3.2 Confinamento dei quarks negli adroni

Ulteriore fatto degno di nota che verra preso successivamente come ipotesi dilavoro e il forte confinamento dei quarks negli adroni. L’interazione tra quarksinfatti e schematicamente approssimabile come crescente con la distanza, pro-prio come per due masse collegate da una molla. Per deconfinare i quarksbisogna fornire energia crescente con la distanza. Se si vogliono separare duequarks q1 e q2, l’energia per farlo raggiunge livelli cosı elevati da permettere lacreazione di mesoni q1q1 e q2q2. Con un tale meccanismo e impossibile ottenerequarks q1 e q2 liberi.

Capitolo 2

Funzione d’ondaSpin×Flavour dei barioni

Nei barioni la funzione d’onda ha la forma in (1.1) e deve essere totalmenteantisimmetrica per scambio di una coppia di quarks. Per garantire cio abbiamosottolineato nel capitolo precendente che la parte di colore deve essere totalmen-te antisimmetrica. Questo implica che il resto della funzione d’onda contenentei fattori di spin, flavour e spaziale, deve essere simmetrico. Classificheremodunque le simmetrie di permutazione degli stati tenendo in mente la precedenterestrizione, partendo con i gradi di liberta di spin, passando a quelli di flavoure considerando infine la composizione dei due. La parte spaziale sara oggetto distudio del capitolo 3.

2.1 Spin

Tre quarks di spin S = 12 possono essere composti in modo da formare stati di

spin totale Stot = 32 o Stot = 1

2 .Gli stati Stot = 3

2 sono quattro ed ovviamente corrispondono ai quattro valoridi Sz possibili. La funzione d’onda di spin di questi stati e simmetrica (indiceS). Scriveremo gli stati Stot = 3

2 esplicitandoli in termini degli spinori di Pauli| 1

2 ,+12 〉 =↑ e | 1

2 ,−12 〉 =↓. Lo stato | Stot, Sz〉 =| 3

2 ,32 〉 e

χS32 ,

32

=↑↑↑ ,

mentre lo stato | Stot,Sz〉 =| 32 ,− 3

2 〉 e

χS32 ,− 3

2=↓↓↓ .

Gli stati | 32 ,−

12 〉 e | 3

2 ,12 〉 si ottengono dalla composizione degli stati S = 1

ed S = 12 . Dai coefficienti di Clebsch-Gordan 1⊗ 1

2 (figura (2.1)) si vede che

χS32 ,

12

=1√3χ1,1χ 1

2 ,−12

+

√2

3χ1,0χ 1

2 ,12

=

=1√3

(↑↑↓) +

√2

3(↑↓↑ + ↓↑↑√

2) =

6

2.1. SPIN 7

=1√3

(↑↑↓ + ↑↓↑ + ↓↑↑)

mentre

χS32 ,−

12

=1√3χ1,−1χ 1

2 ,12

+

√2

3χ1,0χ 1

2 ,−12

=

=1√3

(↓↓↑) +

√2

3(↑↓↓ + ↓↑↓√

2) =

=1√3

(↓↓↑ + ↑↓↓ + ↓↑↓).

Ci sono inoltre due tipi di stati con Stot = 12 caretterizzati da simmetrie che

Figura 2.1: A sinistra i coefficienti di Clebsh-Gordan 1 × 12; a destra quelli 1 × 1.

identificheremo con gli indici ρ e λ.χρ e ottenuto dalla composizione degli spin di due quarks S12 = 0, accoppiatacon lo stato S = 1

2 del terzo quark per dare Stot = 12 . Per i due valori di Sz

possibili si ottiene

χρ12 ,+

12

= χ0,0χ 12 ,+

12

=

=1√2

(↑↓ − ↓↑) ↑ (2.1)

mentre

χρ12 ,−

12

= χ0,0χ 12 ,−

12

=

=1√2

(↑↓ − ↓↑) ↓ (2.2)

che sono antisimmetrici per scambio delle particelle 1 e 2, mentre gli altripossibili scambi non presentano alcuna simmetria evidente.

Gli stati a simmetria mista di tipo λ si ottengono per composizione di S12 = 1ed S3 = 1

2 a formare uno stato Stot = 12 . Gli stati con Sz = ± 1

2 sono

χλ12 ,+

12

=

√2

3| 1, 1〉 | 1

2− 1

2〉 −

√1

3| 1, 0〉 | 1

2〉 = (2.3)

=

√2

2(↑↑↓)−

√1

3(↑↓ + ↓↑√

2) ↑=

=

√1

6(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) (2.4)

8 CAPITOLO 2. FUNZIONE D’ONDA SPIN×FLAVOUR DEI BARIONI

e

χλ12 ,−

12

=

√1

3| 1, 0〉 | 1

2,−1

2〉 −

√2

3| 1,−1〉 | 1

2,+

1

2〉 = (2.5)

= =

√1

3(↑↓ + ↓↑√

2) ↓ −

√2

3↓↓↑=

= −√

1

6(2 ↓↓↑ − ↓↑↓ − ↑↓↓). (2.6)

Le (2.3) e (2.5) sono state ottenute dai coefficienti di Clebsch-Gordan 1⊗ 12 in

figura (2.1).Le (2.4) e (2.6) sono invarianti per scambio dei quarks 1 e 2 mentre non hannosimmetrie evidenti per altri scambi.Riportiamo di seguito come le funzioni d’onda di spin a simmetria ρ e λ appenaricavate, si trasformano per scambio dei quarks 1 e 3 (simbolicamente S13) edei quarks 2 e 3 (simbolicamente S23). Verra osservato che tali relazioni sonogeneralizzabili a opportuni stati di flavour e funzioni d’onda spaziali tanto dapoter essere prese come definizione delle simmetrie di tipo ρ e λ; si ottiene

S13(χλ12 ,m

) = −1

2(χλ1

2 ,m)−√

3

2(χρ1

2 ,m) , (2.7)

S13(χρ12 ,m

) = −√

3

2(χλ1

2 ,m) +

1

2(χρ1

2 ,m) , (2.8)

S23(χλ12 ,m

) = −1

2(χλ1

2 ,m) +

√3

2(χρ1

2 ,m) , (2.9)

S23(χρ12 ,m

) =

√3

2(χλ1

2 ,m)− 1

2(χρ1

2 ,m) . (2.10)

Siccome ogni quark puo essere ↑ oppure ↓ ci sono 23 stati in un sistema atre quarks come i barioni. Gli stati da noi trovati sono effettivamente 8; 4corrispondenti alla simmetria di tipo S e 2 per ogni simmetria mista ρ e λ. Essisono inoltre ortonormali per costruzione quindi rappresentano un set completoper generare le funzioni d’onda di spin dei barioni.

2.2 Flavour

Si considerino i consueti 3 quarks ognuno dei quali puo assumere uno dei treflavours, u, d o s. In questo caso le funzioni d’onda possibili saranno 33 = 27.Ci proponiamo pero di costruire una base per la funzione d’onda di flavour cheoltre a essere ortonormale rispecchi anche le simmetrie gia caratterizzate per lefunzioni d’onda di spin nel precedente paragrafo.

Siccome stiamo considerando tre quarks e tre flavours, esiste uno stato statoantisimmetrico ottenibile similmente a quanto fatto per la funzione d’onda dicolore in equazione (1.2); quindi

φA =

√1

6(uds+ sud+ dsu− usd− sdu− dus).

E evidente che i tre stati con tutti i tre quarks con lo stesso flavour uuu, ddd edsss sono invarianti per scambio di ogni coppia appartenendo pertanto alla classe

2.2. FLAVOUR 9

di simmetria di tipo S. Osserviamo inoltre che 6 stati a simmetria S possonoessere costruiti a partire da udd, uss, duu, dss suu e sdd simmetrizzando ognunodi essi. Ne riportiamo uno a titolo di esempio:

φS =udd+ dud+ udd√

3.

Infine simmetrizzando lo stato con tutti i tre flavour distinti uds si ottiene

φS =uds+ usd+ dus+ dsu+ sud+ sdu√

6.

Ci sono in tutto 10 stati totalmente simmetrici. Essi corrispondono necessaria-mente agli stati di flavour del decupletto barionico rappresentati in figura (1.1).A basse energie vale infatti Jtot = Stot = 3

2 . Le funzioni d’onda di spin e spa-ziale sono dunque totalmente simmetriche. Per ottenere l’antisimmetria totalee necessario pertanto che la parte di flavour sia simmetrica.

Restano 16 stati che e possibile costruire con simmetrie di tipo ρ e λ.Per farlo mutueremo quanto visto per gli stati di spin, osservando che alle cop-pie (u, d), (d, s), (s, u) e possibile associare una rappresentazione irriducibile diSU(2). Ognuno di questi doppietti quindi trasformera come il doppietto di spin↑ e ↓. Cio e chiaro nel caso di protone (p) e neutrone (n), ottenibili dalla com-posizione di (u, d) .Gli stati di isospin 1

2 = 12 ⊗ 0 a simmetria ρ sono

φρp =

√1

2(ud− du)u , (2.11)

φρn =

√1

2(ud− du)d (2.12)

e gli stati 12 = 1

2 ⊗ 1 a simmetria λ sono

φλp =

√1

6(2uud− udu− duu) , (2.13)

φλn = −√

1

6(2ddu− dud− udd) . (2.14)

Gli stati (2.11) e (2.13) trasformano per scambio 1-2 e 1-3 come visto nel casodelle funzioni d’onda di spin con le relazioni (2.7), (2.8) e (2.9), (2.10). Simil-mente cio avviene per le (2.12) e le (2.14). Quindi altri 8 stati a simmetria mista(4 ρ e 4 λ) possono essere costruiti effettuando le sostituzioni (u, d) ↔ (d, s) e(u, d)↔ (s, u) nelle funzioni d’onda di flavour per i nucleoni appena ricavate. Siottengono cosı 4 coppie ognuna delle quali e corrispondente a una determinataconfigurazione strana (u, u, s) o (d, d, s) e ciascuna delle quali ha uno stato asimmetria ρ e uno simmetria λ. E possibile associare ciascuna delle quattrocoppie ai quattro vertici ”strani” dell’ottetto in figura (1.1).Restano quattro stati di flavour e cioe due coppie del tipo (u, d, s), corrispon-denti ai due barioni al centro dell’ottetto in figura (1.1). La coppia di staticorrispondente al barione Σ0 e

φρΣ0 =1√12

[2(ud− du)s+ (us− su)d− (ds− sd)u] (2.15)

φλΣ0 =1

2[sud− sdu− dsu+ usd] (2.16)

10 CAPITOLO 2. FUNZIONE D’ONDA SPIN×FLAVOUR DEI BARIONI

mentre quella corrispondente al barione Λ e

φρΛ =1

2[usd− sud+ dsu− sdu] (2.17)

φλΛ =1√12

[2(usd+ dus)− (dsu+ usd+ sdu+ sud)]. (2.18)

La ragione per la quale gli stati di flavour a simmetria mista sono attribuibili aibarioni dell’ottetto risiede nel fatto che queste particelle sono caratterizzate daJtot = 1

2 . Supponendo di nuovo che la parte spaziale sia simmetrica con L = 0,nella funzione d’onda entreranno gli stati di spin con S = 1

2 che hanno simmetriamista, come abbiamo gia visto. L’unico modo per ottenere funzioni d’ondatotalmente antisimmetriche e quello di considerare opportune combinazioni distati di spin e flavour a simmetria mista. Tali combinazioni verranno prese inconsiderazione nel paragrafo che segue.

2.3 Funzioni d’onda Spin×Flavour

Assunta la classificazione gia effettuata per le funzioni d’onda di spin e fla-vour separatamente, riportiamo le forme della base per le funzioni d’onda dispin×flavour (si veda anche [1] a pag. 37). Conteremo quanti stati corrispon-dono a queste forme. Per verificare a quale simmetria corrisponde ognuna delleforme e utile conoscere le trasformazioni degli stati a simmetria ρ e λ per scam-bio di quarks riportate in (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10).

2.3.1 Stati S

Possiamo combinare i quattro stati simmetrici di spin (Stot = 32 ) con i dieci

stati di flavour per ottenere quaranta stati simmetrici nello spazio degli spin edei flavour. Inoltre, combinando gli stati di spin con simmetrie di tipo ρ e λ,possono essere ottenuti altri stati simmetrici con Stot = 1

2 della forma

χρφρ + χλφλ. (2.19)

Tenendo conto delle trasformazioni da (2.7) a (2.10) non e difficile provare espli-citamente che la combinazione (2.19) e totalmente simmetrica rispetto a tuttii possibili scambi delle tre particelle. Questi gli stati della forma (2.19) sono2× 8 = 16, e quindi gli stati simmetrici sono in tutto

40 + 16 = 56.

2.3.2 Stati A

Gli stati a simmetria mista possono essere composti a formare combinazioniantisimmetriche della forma

χρφλ − χλφρ

che sono in tutto 2× 8 = 16.A questi si aggiungono gli stati ottenuti combinando l’unico stato antisimmetricodi flavour con i quattro stati simmetrici di spin. In totale gli stati antisimmetricisono

4 + 16 = 20.

2.3. FUNZIONI D’ONDA SPIN×FLAVOUR 11

2.3.3 Stati ρ e λ

Sottraendo dalle 33 × 23 = 216 possibili funzioni d’onda di Spin×Flavour le56 funzioni d’onda simmetriche e le 20 funzioni d’onda antisimmetriche restano140 stati necessariamante a simmetria mista. Vediamo di seguito come essi siequipartiscono in 70 stati per ciascuna delle due simmetrie ρ e λ.Per la simmetria di tipo ρ, 2× 10 = 20 funzioni d’onda sono della forma χρφS ,4 × 8 = 32 della forma χSφρ al quale corrispondono gli stati λ come e facileintuire dalla simmetria dei singoli fattori.Esistono altri due stati a simmetria ρ della forma −χρφA.Infine ricordiamo le combinazioni della forma√

1

2(χρφλ + χλφρ) (2.20)

che sono 16. In tutto quindi abbiamo

20 + 32 + 16 + 2 = 70

stati.Similmente si ottengono i 70 stati a simmetria λ i quali hanno le forme χλφS ,χSφλ, −χλφA e √

1

2(χρφρ − χλφλ). (2.21)

Si considerino gli stati della forma (2.20) e (2.21). Le simmetrie di permutazioneper i primi due quarks sono immediatamente verificabili. Scrivendo esplicita-mente come si trasformano gli stati di spin e di flavour di entrambe le forme sottoi rimanenti scambi di quarks, non e difficile dimostrare che le funzioni d’onda in(2.20) e (2.21) si trasfomano tra di loro come effettivamente prescritto per glistati a simmetria ρ e λ.

Capitolo 3

Modello a quarkscostituenti

Nel capitolo precedente abbiamo classificato le possibili funzioni d’onda dispin×flavour dei barioni in base a considerazioni di simmetria. In questo capito-lo ci proponiamo di completare la descrizione della funzione d’onda ricavandonela parte spaziale. In particolare useremo un modello basato su una sempliceidea: penseremo l’interazione tra i tre quarks fortemente confinati nei barionicome del tipo oscillatore armonico (si veda anche [1], paragrafo (1.5)).Questo modello e non relativistico: le masse dei quarks sono parametri fissatia circa un terzo della massa del barione che ”costituiscono”. Ma una parti-cella di massa mq, localizzata in una sfera di raggio R, per l’indeterminazionequantistica ha momento p ' 1

R ; il limite non relativistico di energia cinetica〈T 〉 << mq equivalente pertanto a mqR >> 1, nel caso per esempio dei nu-cleoni (mq ' 300MeV e R ' 1fm) non e pienamente verificato (mqR ' 1.5).Malgrado cio tramite questo modello molto semplice possono essere calcolatecon un accettabile grado di precisione talune caratteristiche estremamente inte-ressani di alcuni barioni (si veda [1] a pag. 38).In questo elaborato ci serviremo del modello a quarks costituenti per stimare ilrapporto tra i momenti magnetici dei nucleoni e molto vicino a quello predettodai dati sperimentali.

3.1 L’oscillatore armonico a tre corpi

La base con la quale costruiremo la parte spaziale della funzione d’onda deibarioni e lo spettro dall’hamiltoniano

H0 =1

2m(p2

1 + p22) +

1

2m′p2

3 +1

2K

3∑i<j

(ri − rj)2. (3.1)

E stato assunto che i quarks 1 e 2 abbiano la stessa massa m e il quark 3la massa m′. La differenza di massa tra i quark u e d e stata ignorata. Per inucleoni e gli stati ∆ (settore non strano), m′ = mu; per Λ e Σ, m′ = ms; perparticelle di stranezza −2 m = ms, m

′ = mu; infine per particelle composte da

12

3.1. L’OSCILLATORE ARMONICO A TRE CORPI 13

3 quarks s come l’Ω−, m = m′ = ms. Il potenziale armonico che rende contodel confinamento dei quarks nei barioni e inoltre indipendente dallo stato diflavour.Introduciamo il cambio di coordinate dette di Jacobi :

ρ =1√2

(r1 − r2),

λ =1√6

(r1 + r2 − 2r3),

Rcm =1

2m+m′[m(r1 + r2) +m′r3].

Si considerino i vettori appena definiti. La coordinata ρ e antisimmetrica perscambio delle coordinate dei primi due quarks mentre trasforma similmente alle(2.10) e (2.8) per gli altri scambi. La λ e simmetrica per scambio delle coordi-nate dei primi due quarks e trasforma similmente alle (2.7) e (2.9) per gli altriscambi. Da quanto appena detto segue che il vettore ρ e a simmetria di tipo ρe il vettore λ trasforma come gli oggetti di tipo λ.Siano λi e ρj con i, j = 1, 2, 3, le coordinate cartesiane dei vettori rispettiva-mente λ e ρ. Le quantita λiρj e 1

2 (ρiρj − λiλj) sono la prima antisimmetricae la seconda simmetrica per scambio dei primi due quarks. Per altri scam-bi si trasformano le une nelle altre: in particolare λiρj trasforma come ”ρ” e12 (ρiρj − λiλj) trasforma come ”λ”, come puo essere verificato semplicementescrivendo come diventano le singole coordinate per scambio di quarks 1-3 e 2-3.Definiamo M = 2m + m′, mρ = m ed mλ = 3mm′

2m+m′ e i momenti coniugati allecoordinate di Jacobi:

pρ = mρρ,

pλ = mλλ

Pcm = MRcm.

Scrivendo r1, r2 ed r3 in funzione delle coordinate di Jacobi, si ottiene (si veda[1] a pag.39)

H0 = (pρ

2

2mρ+

3

2Kρ2) + (

pλ2

2mλ+

3

2Kλ2) +

Pcm2

2M. (3.2)

dove pρ ≡| pρ |, pλ ≡| pλ |, ρ ≡| ρ | e λ ≡| λ |. La potenza di questo metodosta proprio nel fatto che introducendo le coordinate di Jacobi nell’Hamiltoniana(3.1) questa diventa somma di due oscillatori armonici indipendenti piu il ter-mine di energia cinetica relativo al centro di massa. Quest’ultimo termine nongioca alcun ruolo nella caratterizzazione dinamica dello spettro dei barioni dalmomento che rappresenta lo spostamento del centro di massa. Infatti siccomele forze sono tutte interne al sistema dei tre quarks, l’impulso relativo al centrodi massa si conserva e puo essere preso per comodita nullo.Se l’operatore hamiltoniano di un sistema e somma di hamiltoniani indipenden-ti, la base che diagonalizza l’hamiltoniano totale puo essere costruita a partiredal prodotto delle basi in cui gli hamiltoniani che la compogno sono diagonali.Sia infatti

Htot(ρ,λ) = H1(ρ) +H2(λ)

14 CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI

e poniamo H1ψn(ρ) = Enψn e H2φm = Emφm con ψn e φm autofunzionirispettivamente di H1 e H2; quindi

(H1 +H2)ψnφm = φm(H1ψn) + ψn(H2φm)

= (En + Em)ψnφm. (3.3)

Scegliendo come hamiltoniani H1 e H2 gli oscillatori armonici tridimensionaliindipendenti in parentesi tonda nell’hamiltoniana totale (3.2) e definendo lefrequenze

ωρ = (3K

mρ)

12 e ωλ = (

3K

mλ)

12

si ottiene

H1 =p2

2mρ+

1

2mρ(ωρ)

2ρ2 e H2 =pλ

2

2mλ+

1

2mλ(ωλ)2λ2. (3.4)

Osserviamo che per i barioni non strani, siccome il quark u ha la stessa massadel quark d, si ha ω = ωρ = ωλ = ( 3K

m )12 .

In virtu di quanto appena visto la funzione d’onda spaziale e il prodotto dell’o-scillatore nella variabile ρ e dell’oscillatore nella variabile λ.I risultati riguardo lo spettro dell’oscillatore armonico tridimensionale che ri-porteremo in questo paragrafo, sono ampiamente e rigorosamente dimostratiin vari testi di Meccanica Quantistica. Nel seguito useremo [2] come testo diriferimento.In Meccanica Quantistica l’equazione che descrive lo spettro dell’oscillatorearmonico tridimensionale di massa m e

Hψ = [− h

2m∇2 +

1

2mωr2]ψ(r) = Eψ(r). (3.5)

Dal momento che il potenziale V (r) = 12mω

2r2 e a simmetria centrale, glioperatori di momento angolare L2 ed Lz, mutuamente commutanti, commu-tano anche con l’Hamiltoniana H. Esiste pertanto una base che diagonalizzasimultaneamente i tre operatori. La scelta

ψklm = Rkl(r)Yml (r) (3.6)

con Y ml funzioni armoniche sferiche, diagonalizza simultaneamente gli operatoriL2 ed Lz. Sostituendo la funzione d’onda nella forma (3.6) in (3.5) si ottienel’equazione differenzile nel modulo della coordinata radiale per Rkl(r)

[− h

2m

1

r

d2

dr2r +

1

2mωr2 +

l(l + 1)h2

2mr2]Rkl = EklRkl(r)

risolvendo la quale e possibile determina gli autovalori

Ekl = hω(k + l +3

2) (3.7)

con k interi pari e positivi ed l valori di momento angolare orbitale associatoalla variabile r. Per le equazioni agli autovalori (3.4) si ottiene che

Ekρ,lρ = hω(kρ + lρ +3

2),

Ekλ,lλ =h

2π(kλ + lλ +

3

2)

3.1. L’OSCILLATORE ARMONICO A TRE CORPI 15

Siccome Ekl dipende soltanto dalla somma N = k + l possiamo porre

ENρ = hω(Nρ +3

2),

ENλ = hω(Nλ +3

2).

In virtu della relazione (3.4) si ha

EN = hω(N + 3) (3.8)

con

N = Nρ +Nλ

= (2nρ + lρ) + (2nλ + lλ) (3.9)

avendo posto ki = 2ni con i = ρ, λ.La strategia piu semplice per ricavare le autofunzioni ψklm e a partire dallesoluzioni dell’equazione di Schodinger unidimensionale per l’oscillatore armonico

H1D(ξ) = [h2

2m

d2

dξ2+

1

2mω2ξ2]φn(ξ) = Enφn(ξ). (3.10)

Questa ha autovalori Enξ = hω(nξ + 12 ) e con autofunzioni

φn(ξ) = [1

2nn!(h

mω)n]

12 (mω

πh)

14 [mω

hξ − d

dξ]ne−

12mωh ξ2

(3.11)

= (α2

π)

14

1√2nn!

e−α2ξ2

2 Hn(αξ) (3.12)

dove

Hn(ξ) = (−1)neξ2 dn

dξne−ξ

2

(3.13)

sono i polinomi di Hermite.Osservando che l’hamiltoniano in (3.5) puo essere scritto come H = H1D(x) +H1D(y) + H1D(z), le autofunzioni ψ conseguentemente saranno scrivibili come

ψ = Ce−αr2

Hnx(x)Hny (y)Hnz (z) con autovalori En = hω[(nx + ny + nz) + 32 ].

La consistenza di quest’ultima con (3.7) impone

k + l = nx + ny + nz. (3.14)

Da questa relazione e dalla richiesta di autostati della forma (3.6), per datik e l, e possibile determinare i polinomi di Hermite con i quali costruire leautofunzioni dell’oscillatore armonico 3D. Riportiamo per comodita le funzioniarmoniche sferiche relative ad l = 1 (si veda [3] a pag. 221):

Y1,0 =

√3

4πcos θ (3.15)

Y1,±1 = ∓√

3

8πsin θe±iφ. (3.16)

16 CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI

3.2 Stati N = 0, 1, 2 e loro simmetrie per scambiodi quark

In questa sezione daremo qualche esempio di come si possano riprodurre lesimmetrie A, S, ρ e λ anche con la funzione d’onda spaziale del sistema a trequark. Denotando la funzione d’onda spaziale totale tramite ΨNL(ρ,λ), per lostato fondamentale ovviamente si ha N = 0 ed Lπ = 0+:

Ψ00S(ρ,λ) = ψ00(ρ)ψ00(λ)

Questa funzione d’onda e per lo stato fondamentale

Ψ00S = (

α32

π34

)2 exp(−α2 ρ2 + λ2

2) (3.17)

dove α = (3km)12 . Lo stato e simmetrico per scambio di qualunque coppia

di particelle perche dipende dalla combinazine ρ2 + λ2 = 13

∑i<j(ri − rj)

2 .Ponendo in (3.9) N = 1, gli stati possibili devono avere nρ = nλ = 0 e quindinecessariamente Lπ = 1−:

Ψ11ρ = ψ01(ρ)ψ00(λ),

Ψ11λ = ψ00(ρ))ψ01(λ).

Questi stati sono a simmetria mista. Infatti, a parte fattori a simmetria sfericaψ01(ρ) e proporzionale a Y1

m(ρ) che trasforma come le componenti cartesianeρ. Nel primo paragrafo e stato osservato che tali componenti sono a simmetriaρ. Similmente cio avviene per ψ01(λ) che trasforma come λ e quindi la simme-tria e di tipo λ.Per quanto riguarda N = 2 gli stati possibili hanno Lπ = 0+, 1+, 2+.Considerando sempre la (3.9), e facile osservare che due stati possibili compatibi-li con L = 0 sono ottenibili con le seguenti combinazioni di stati con lρ = lλ = 0con nρ = 1 ed nλ = 0 oppure nρ = 0 ed nλ = 1:

Ψ20S = − 1√

2[ψ00(ρ)ψ10(λ) + ψ10(ρ)ψ00(λ)] (3.18)

e

Ψ20λ =

1√2

[ψ00(ρ)ψ10(λ)− ψ10(ρ)ψ00(λ)]. (3.19)

Il primo stato eccitato dell’oscillatore armonico tridimensionale nella coordinataspaziale r ha

ψ200(r) =

√3

2

α32

π14

(1− 2

3α2r2) exp(−α2 r

2

2)

(vedi [2] a pag. 821). Quindi la (3.18) dipende dalla coordinata λ2 + ρ2 evi-dentemente simmetrica per scambio di quarks mentre la (3.19) e direttamenteproporzionale alla combinazione 1

2 (ρ2 − λ2) che e a simmetria λ per quanto os-servato all’inizio del primo paragrafo.Un’altro stato con L = 0 si puo ottenere componendo gli stati lρ = lλ = 1 aformare L = 0. Lo indicheremo simbolicamente tramite

Ψ20ρ = −[ψ01(ρ)ψ01(λ)]L=0.

3.2. STATI N = 0, 1, 2 E LORO SIMMETRIE PER SCAMBIO DI QUARK17

Per ψ01m, la relazione di consistenza (3.14) impone 1 = nx + ny + nz. Cioimplica che la funzione d’onda ψ01 sara dipendente dal prodotto di un polinomiodi Hermite di primo grado (vedi (3.13) con n=1) e da due polinomi di gradozero. La Ψρ

20 sara dunque combinazione lineare di oggetti della forma ρiλj chesono a simmetria ρ, per quanto detto nella precedente sezione.Dalla 3.9 discende ancora che l’unico stato compatibile con la richiesta N = 2ed L = 1 e ottenibile ponendo nρ = nλ = 0 ed lρ = lλ = 1. Lo indicheremosimbolicamente tramite

Ψ21A = [ψ01(ρ)ψ01(λ)]L=1.

Utilizzando i coefficienti di Clebsh-Gordon 1 ⊗ 1 (riportati in figura (2.1))ricaviamo la funzione d’onda per lo stato L = 1 ed m = 0 :

Ψ21A ∝ ρλ

1√2

[Y11(ρ)Y1−1(λ)− Y1−1(ρ)Y11(λ)] = (3.20)

= −ρλ 3

8π√

2sin θλ sin θρ sin(φρ − φλ) = (3.21)

=3

8π√

2(ρ× λ)z (3.22)

dove da (3.20) segue (3.21) tramite la sostituizione delle relazioni (3.15) e (3.16).Dalla (3.22) discende che la simmetria dello stato e antisimmetrica : infatti

ρ× λ =1√2

(r1 − r2)× 1√6

(r1 + r2 − 2r3) =

=1√3

(r3 × r1 + r1 × r2 + r2 × r3)

che e evidentemente antisimmetrica per scambio di ogni coppia di quarks dal-l’anticommutativita del prodotto vettore.I soli stati compatibili con N = 2 ed L = 2, come la (3.9) ci suggerisce, so-no nρ = nλ = 0 e tre accoppiamenti di lρ ed lλ. Uno di essi e caratterizzato

lρ = 2 ed lλ = 0, e un altro da lρ = 0 ed lλ = 2. E conveniente considerare lecombinazioni simmetriche ed antisimmetriche:

Ψ22S = − 1√

2[ψ02(ρ)ψ00(λ) + ψ00(ρ)ψ02(λ)]

e

Ψ22λ =

1√2

[ψ02(ρ)ψ00(λ)− ψ00(ρ)ψ02(λ)].

Per ψ02, dalla relazione di consistenza (3.14) segue 2 = nx + ny + nz. Questoimplica che per costruire ψ02m possiamo usare o il prodotto di un polinomio diHermite di secondo grado con due polinomi di grado zero oppure il prodotto didue polinomi di primo grado con uno di grado nullo. Da cio discende che ΨS

22

in (3.2) e combinazione lineare di oggetti della forma ρiρj +λiλj antisimmetriciper scambio di qualunque coppia di quarks, mentre Ψλ

22 in (3.2) e a simmetriaλ perche e somma di oggetti della forma 1

2 (ρiρj − λiλj).Esiste inoltre lo stato

Ψ22ρ = −[ψ01(ρ)ψ01(λ)]L=2

che e evidentemente dipendente dalla combinazione lineare di oggetti a simme-tria ρ, perche della forma ρiλj .

18 CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI

3.3 La funzione d’onda totale dei nucleoni

Abbiamo sottolineato all’inizio di questa tesi la necessita che la funzione d’ondadei barioni (esclusa la parte di colore) sia totalmente simmetrica per scambiodi ogni coppia di quarks. Avendo fatto vedere nella sezione precendente che epossibile scrivere la funzione d’onda spaziale in una forma che abbia le stessesimmetrie di scambio degli stati di spin×flavour, ci proponiamo adesso di de-terminare la forma delle funzioni d’onda totali di alcuni barioni prendendo lecombinazioni simmetrizzate di parte spaziale e di spin×flavour.

I nucleoni sono barioni non strani di spin S = 12 e isospin T = 1

2 . Le corri-spondenti funzioni d’onda sono a simmetria mista, ρ o λ perche appartengonoall’ottetto barionico.Nel precedente capitolo abbiamo sottolineato che la fun-zione d’onda di spin×flavour puo assumere ogni tipo di simmetria a partire dastati di spin e flavour a simmetria mista. Infatti riassumendo si hanno:

• 16 stati totalmente simmetrici della forma χρφρ + χλφλ;

• 16 stati totalmente antisimmetrici della forma χρφλ − χλφρ;

• 16 stati a simmetria ρ della forma χρφλ + χλφρ;

• 16 stati a simmetria λ della forma χρφρ − χλφλ.

Dovendo la funzione d’onda essere simmetrica per scambio di ogni coppia diquarks solo alcuni accoppiamenti tra le parti di spin×flavour elencate sopra ela parte parte spaziale sono possibili. In particolare sono lecite le forme:

•√

12 (χρφρ + χλφλ)ΨNL

S ;

• 12 [(χρφλ + χλφρ)ΨNL

ρ + (χρφρ − χλφλ)ΨNLλ];

•√

12 (χρΨNL

ρ + φλΨNLλ)χS ;

•√

12 (χρφλ − χλφρ)ΨNL

A.

La prima forma e simmetrica perche prodotto di funzioni d’onda simmetriche; laseconda lo e perche le combinazioni in parentesi tonda sono la prima a simmetriaρ e la seconda a simmetria λ; la terza forma e simmetrica perche la combinazionein parentesi tonda e simmetrica; e infine la quarta forma lo e perche prodottodi combinazioni entrambe antisimmetriche.Riportiamo le funzioni d’onda totali per i nucleoni utilizzando la prima formatra quelle appena elencate ed in particolare lo stato Ψ00S in (3.17) e gli statispin e flavour ormai consueti. Si ottiene per il protone

Ψtotp =

√1

2[1

6(2uud− udu− duu)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +

+1

2(udu− duu)(↑↓↑ − ↓↑↑)](α

32

π34

)2 exp(−α2 ρ2 + λ2

2) (3.23)

mentre per il neutrone

Ψtotn =

√1

2[−1

6(2ddu− dud− udd)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +

+1

2(udd− dud)(↑↓↓ − ↓↑↑ −)](

α32

π34

)2 exp(−α2 ρ2 + λ2

2). (3.24)

3.4. IL MOMENTO MAGNETICO DEI NUCLEONI 19

In (3.23) ed (3.24) abbiamo considerato gli stati di proiezione massima dellospin cioe Sz = + 1

2 .

3.4 Il momento magnetico dei nucleoni

L’operatore di momento magnetico per stati a momento angolare L = 0 comenel caso di 3.23 ed 3.24 e nel limite non relativistico, e

µ =∑i=1

3 eie

2miσi , si =

1

2σi

con si operatore di spin per il quark i-esimo e σi il vettore che ha come compo-nenti le 3 matrici di Pauli; ei = + 2

3 se il quark i-esimo e u , mentre ei = − 13 nel

caso che i quarks i-esimi siano d ed s.In Meccanica Quantistica si usa identificare il momento magnetico di una par-ticella con il valor medio sullo stato della componente-z dell’operatore appenadefinito.

3.4.1 Il neutrone

Calcoliamo il momento magnetico del neutrone utilizzando la funzione d’onda(3.24) e prendendone il valor medio di µz su di essa. Scriveremo in generale

〈Ψtotn | µz | Ψtot

n〉.

Osserviamo a questo punto che nella funzione d’onda e inclusa anche la partespaziale (vedi 3.17) sulla quale l’operatore µz non agisce. Il contibuto al valormedio della parte spaziale sara dunque:

〈Ψ00S | Ψ00

S〉 =

∫| Ψ00

S |2 d3r1d3r2d

3r3 = 1 (3.25)

per normalizzazione.Ricordando che i quarks u e d hanno la stessa massa m, l’operatore di momentomagnetico µz e per il neutrone :

µnz =∑i=1

3 eie

2miσiz (3.26)

dove l’indice z ci suggerisce che stiamo considerando la matrice di Pauli σz.Calcoliamo prima come lo stato di spin×flavour del neutrone si trasforma sottoµnz (vedi (3.26)). Per semplicita e opportuno scrivere la funzione d’onda dispin×flavour

Ψnspin×flavour =

√1

2[−1

6(2ddu− dud− udd)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +

+1

2(udd− dud)(↑↓↑ − ↓↑↑)]

nella forma

Ψnspin×flavour =

√1

2−1

6[2ddu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)−

20 CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI

− dud(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)−− udd(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)] +

+1

2[udd(↑↓↑ − ↓↑↑)−

− dud(↑↓↑ − ↓↑↑)]. (3.27)

In questa forma e facile intuire su quali spinori va applicata ognuna delle matricidi Pauli in (3.26).Facendo agire l’operatore (3.26) sulla (3.27) e ricordando che per definizione glispinori di Pauli diagonalizzano σz con autovalori 1 per ↑ e −1 per ↓ si ottiene:

µz | Ψnspin×flavour〉 =

e

6√

2m−1

6[2ddu(−8 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ −2 ↓↑↑)−

− udd(4 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ +4 ↑↑↓)] +

+1

2[udd(2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑)−

− ddu(−4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑)]. (3.28)

Per ottenere il momento magnetico del neutrone basta dunque proiettare lafunzione d’onda trasformata (3.28) sulla funzione d’onda fondamentale (3.27).La proiezione di addendi contenenti parti di flavour distinte e ovviamente nulla,per via dell’ortogonalita degli stati u e d; se invece le parti di flavour sono ugualisi ottiene per esempio:

〈uud | uud〉 = 1

per normalizzazione.Per non appesantire troppo la notazione non distingueremo con alcuna paren-tesi lo stato bra (per esempio 〈↑↑↓|) dallo stato ket (per esempio |↑↑↓〉) maper convenzione assumeremo che in ogni addendo la parentesi tonda a sinistrarappresenti i bra cioe gli stati di spin provenienti dalla (3.27) quella a destrarappresenti i ket cioe gli stati di spin provenienti da (3.28).Tenendo in mente le regole esposte sopra si ottiene:

〈µnz 〉 =e

12m[1

9(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(−8 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +

+1

36(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ +4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +

− 1

12(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(−4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +

+1

36(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) +

+1

12(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) +

+1

12(↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ −2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑) +

+1

4(↑↓↑ − ↓↑↑)(2 ↑↓↑ +4 ↓↑↑)−

− 1

12(↑↓↑ − ↓↑↑)(4 ↑↑↓ +4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑) +

+1

4(↑↓↑ − ↓↑↑)(−4 ↑↓↑ −2 ↓↑↑)]. (3.29)

3.4. IL MOMENTO MAGNETICO DEI NUCLEONI 21

Le stesse regole di proiezione valgono per gli stati di spin (danno contributosoltanto le triplette di spinori identiche). Si ottiene pertanto

µnz =e

12m[1

9(−16 + 2 + 2) +

1

36(8− 4 + 2)− 1

12(4 + 2) +

1

36(8 + 2− 4) +

+1

12(−2− 4) +

1

12(−2− 4) +

1

4(2− 4)− 1

12(4 + 2) +

1

4(−4 + 2)] =

= −2

3(e

2m). (3.30)

3.4.2 Il protone

Tenendo in mente che il protone ha due quarks u e un d, l’operatore di momentomagnetico e

µpz =∑i=1

3 eie

2miσiz (3.31)

Ci proponiamo di calcolarne il valor medio sullo stato (3.23). Anche per ilprotone vale quanto visto per la parte spaziale del neutrone (vedi (3.25)). Lafunzione d’onda di spin×flavour per il protone e

Ψpspin×flavour =

√1

2[1

6(2uud− udu− duu)(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑) +

+1

2(udu− duu)(↑↓↑ − ↓↑↑)], (3.32)

o equivalentemente nella forma

Ψpspin×flavour =

√1

2[1

6[2uud(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)−

− udu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)−− duu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)] +

+1

2[udu(↑↓↑ − ↓↑↑)− duu(↑↓↑ − ↓↑↑)]. (3.33)

Applicando l’operatore (4.49) alla funzione d’onda (3.33) si ottiene

µpz | Ψpspin×flavour〉 =

e

6m√

21

6[2uud(10 ↑↑↓ + ↑↓↑ + ↓↑↑) +

+ udu(2 ↑↑↓ −5 ↑↓↑ − ↓↑↑) +

+ duu(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ +5 ↓↑↑)] +

+1

2[udu(5 ↑↓↑ + ↓↑↑) +

+ duu(↑↓↑ +5 ↓↑↑)). (3.34)

Proiettiamo adesso la funzione d’onda trasformata 3.34 sulla funzione d’ondadello stato di protone 3.33, come fatto per 3.29. Si ottiene

〈µzp〉 =e

12m1

9(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(10 ↑↑↓ +5 ↑↓↑ + ↓↑↑)−

22 CAPITOLO 3. MODELLO A QUARKS COSTITUENTI

− 1

6(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(1

3↑↑↓ +

5

6↑↓↑ −1

6↓↑↑ +

5

2↑↓↑ +

+1

2↓↑↑)− 1

6(2 ↑↑↓ − ↑↓↑ − ↓↑↑)(1

3↑↑↓ −1

6↑↓↑ +

5

6↓↑↑ +

1

2↑↓↑ +

+5

2↓↑↑) +

1

2(↑↓↑ − ↓↑↑)(2

6↑↑↓ +

5

6↑↓↑ − ↓↑↑ +

5

2↑↓↑ +

1

2↓↑↑)−

− 1

2(↑↓↑ − ↓↑↑)(1

3↑↑↓ −1

6↑↓↑ −5

6↓↑↑ +

1

2↑↓↑ +

5

2↓↑↑) =

=e

12m2 + 3 + 1 =

e

2m. (3.35)

Il rapporto tra 3.29 e 3.35 e〈µzn〉〈µzp〉

= −2

3(3.36)

indipendente dal valore della massa m.Il rapporto sperimentale e di

〈µzn〉〈µzp〉

≈ −0.68

molto vicino al valore teorico di − 23 .

Capitolo 4

M.I.T. bag model

Nella breve introduzione al precedente capitolo abbiamo mostrato che non epienamente legittimo considerare i quarks nei barioni come non relativistici.L’equazione di Dirac garantisce invece la consistenza del quadrimpulso kµ deifermioni relativistici con la relazione di dispersione kµkµ = m2 valida per qua-lunque particella. L’equazione di Dirac e inoltre covariante, cioe non cambia informa per cambiamenti di sistema di riferimento inerziale (si veda a tal propo-sito [4], capitolo 2).In questo capitolo si intruduce in maniera euristica l’equazione di Dirac, tramitela quale e possibile descrivere un modello a quarks relativistico per i barioni: ilmodello a ”borsa”. L’idea che sta alla base di tale modello e molto semplice:per render conto del confinamento dei quarks nei barioni i fisici dell’M.I.T. in-trodussero nell’equazione di Dirac una buca di potenziale a simmetria sferica.Applicheremo tale modello ai nucleoni stimandone, come fatto nel capitolo pre-cedente, il rapporto tra i momenti magnetici di neutrone e protone e pervenendoagli stessi risultati.

4.1 L’equazione di Dirac

4.1.1 Giustificazione euristica dell’equazione di Dirac

In questo paragrafo ci proponiamo di fornire qualche argomento euristico afavore della validita dell’equazione di Dirac.Partiamo dall’equazione di Shrodinger

− h2

2m∇2ψ + V (r)ψ = i∂tψ (4.1)

la quale puo essere ottenuta dall’Hamiltoniana classica

p2

2m+ V (r) = E

tramite le seguenti tipiche prescrizioni della Meccanica Quantistica:

E → i∂t (4.2)

p → −i∇. (4.3)

23

24 CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL

Similmente, data la relazione energia impulso

E2 − p2c2 = m2c4 (4.4)

nota dalla relativita ristretta, effettuando le sostituizioni (4.2) e (4.3) otteniamol’equazione di Klein-Gordon

∇2ψ − 1

c2∂2t ψ = (

mc

h)2ψ

che puo essere scritta nella notazione piu compatta

∂µ∂µψ = −(mc

h)2ψ (4.5)

dove abbiamo posto ∂µ ≡ (∂t,−∇) e ∂µ ≡ (∂t,∇).Consistentemente con le (4.2) e (4.3) e ponendo da ora in avanti h = c = 1, ilquadrimpulso pµ ≡ (E,p) e

pµ = i∂µ (4.6)

e quindi la (4.5) puo essere riscritta come

pµpµψ −m2ψ = 0. (4.7)

Considerando la precedente equazione, supponiamo adesso di volerla fattorizzare(si veda [5] a pag. 215) e precisamente di voler trovare otto coefficienti in tutto,βk e γλ, tali che

pµpµψ −m2ψ = (βkpk +m)(γλpλ −m)ψ

= βkpkγλpλ +m(−βkpk + γλpλ)−m2. (4.8)

Dal confronto dei termini in m si evince che βk − λk = 0 ovvero βk = γk.Per concludere imponiamo adesso la consistenza del primo addendo della (4.8)con il modulo del quadrimpulso. Esplicitando pµpµ = γkγλpkpλ si ha:

p20 − p2

1 − p22 − p2

3 = γ20p

20 + γ2

1p21 + γ2

2p22 + γ2

3p23

− p0p1(γ0γ1 + γ1γ0)− p0p2(γ0γ2 + γ2γ0)−− p0p3(γ0γ3 + γ3γ0) + p1p2(γ1γ2 + γ2γ1) +

+ p1p3(γ1γ3 + γ3γ1) + p2p3(γ2γ3 + γ3γ2). (4.9)

Ora e facile rendersi conto che i γµ non possono essere numeri (matrici 1× 1):ponendo infatti γ0 = 1 e γj = i ∀j = 1, 2, 3 i termini misti della (4.9) nonscompaiono. Ipotizziamo dunque che i coefficienti γµ siano in realta matricin× n. Se prese con le seguenti proprieta

γ20 = 1 e γ2

i = −1 ∀i = 1, 2, 3 (4.10)

γµ, γν = 0 ∀ µ 6= ν, ν, µ = 0, 1, 2, 3 (4.11)

le matrici γµ soddisfano l’uguaglianza (4.9).∀µ 6= ν , dalle regole di anticommutazione (4.11), si ottiene che det(γνγµ) =det(−γµγν) = (−1)ddet(γµγν); con d dimensione dello spazio sul quale le ma-trici agiscono. Siccome deve valere det(γνγµ) = det(γµγν), d deve essere pari.Per d = 2 esistono soltanto soltanto tre matrici indipendenti che soddisfano le

4.1. L’EQUAZIONE DI DIRAC 25

(4.10) e (4.11) e cioe le matrici di Pauli. Pertanto bisogna che sia d ≥ 4. Unapossibile scelta di matrici 4×4 soddisfacenti le (4.10) e (4.11), puo essere quellaadottata in [4] a pag. 17 che prescive:

γ0 =

(I 00 −I

), γ =

(0 σ−σ 0

)(4.12)

con γ ≡ (γ1, γ2, γ3) e σ ≡ (σ1, σ2, σ3) le tre matrici di Pauli.Vale ovviamente

γ†0 = γ0 (4.13)

e fatto che le matrici di Pauli siano autoaggiunte discende che

γ†i = −γi. (4.14)

Considerando il secondo fattore della (4.8), (γµpµ−m)ψ = iγµ∂

µ = i(γ0∂t+γ·) e notando che deve essere uguale a zero, otteniamo l’equazione di Dirac inunita h = c = 1 :

(iγµ∂µ −m)ψ = 0. (4.15)

con ψ ≡ (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) funzione d’onda di Dirac.

4.1.2 Equazione di Dirac in potenziale generico

Se si vuole introdurre nell’equazione di Dirac la dipendenza da un quadripoten-ziale Aµ ≡ (A0,A) e da un potenziale scalare U questo e il modo per farlo (vedi[Bhaduri]):

(iγµ∂µ − γµAµ)ψ = (m+ U)ψ. (4.16)

Cercando soluzioni stazionarie della forma ψ(x, t) = ψ(x)e−iEt, la 4.16 conpotenziale vettore A = 0 diventa

iγ ·∇ψ(x) + γ0(E − V0)ψ(x) = (m+ U)ψ(x).

Ponendo ora ψ(x) = (φ, χ) e ricordando la 4.3, si ottengono dall’equazioneprecedente le due equazioni differenziali accoppiate:

σ · pχ+ (m+ U + V0)φ = Eφ , (4.17)

σ · pφ− (m+ U − V0)χ = Eχ. (4.18)

4.1.3 Equazione di continuita

Prendendo l’hermitiano coniugato l’equazione (4.16) si ottiene esplicitamente

−i(∂tψ†γ†0 + ∂iψ†γ†i )− ψ

†(A0γ†0 −Aiγ

†i ) = (m+ U)ψ†

dove e sottointesa la somma su indici ripetuti. Ricordando le propieta (4.13) e(4.14) e moltiplicando a destra ambo i membri della precedente equazione perγ0 si ottiene

−i(∂tψ†γ†0 − ∂iψ†γi)γ0 − ψ†(A0γ0 +Aiγi)γ0 = (m+ U)ψ†γ0.

26 CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL

Ricordando le relazioni di anticommutazione (4.11) e portando γ0 sotto il segnodi derivata si ha l’equazione aggiunta di Dirac

i(∂tψ†γ0 − ∂iψ†γi)γ0 + ψ†(A0γ0 +Aiγi)γ0 = i∂µ(ψ†γ0)γµ + ψ†γ0Aµγ

µ

= −(m+ U)ψ†γ0 (4.19)

dove ψ ≡ ψ†γ0 e la funzione d’onda aggiunta.Definiamo adesso il quadrivettore corrente

jµ = ψγµψ. (4.20)

Si ha che

i∂µjµ = i∂µ(ψγµψ) = i(∂µψ)γµψ + iψγµ(∂µψ)

= −mψψ +mψψ + ψγµAµψ − ψγµAµψ = 0 ,

dove abbiamo usato l’equazione di Dirac (4.16) e la sua forma aggiunta (4.19).

∂µjµ = 0 (4.21)

e la stessa di∂µj

µ = ∂0j0 + ∂ij

i = ∂tj0 + ∇ · j = 0 ,

l’equazione di continuita.

4.2 Equazione di Dirac in potenziale centrale

Se i potenziali U e V0 nelle (4.17) ed (4.18) dipendono solo dal modulo del-la coordinata radiale, possiamo effettuare un’espansione in onde parziali dellafunzione d’onda. Al contrario del caso non relativistico, il momento angolareorbitale l non e un buon numero quantico anche nel caso di potenziale centrale.Le quantita conservate sono J2, J3,l’energia E e K, con J e J = (l+ 1

2Σ) mentreK e definito come K ≡ γ0(Σ · l + 1). Σ indica le tre matrici 4 × 4 a blocchiognuna delle quali ha sui due blocchi diagonali una delle tre matrici di Pauli esulle antidiagonali zero.Separiamo adesso la parte radiale dalla parte angolarenella funzione d’onda ψ ponendo:

ψjj3(r) =

(φχ

)=

(gk(r)Yj3jl (r)

ifk(r)Yj3jl′(r)

)(4.22)

dove per esempio

Yj3jl =∑sz

(l,1

2, j3 − sz, sz|j, j3)Y j3−szl (r)χsz (4.23)

con sz = ± 12 . In modo del tutto analogo si ottiene Yj3jl′(r).

Studiamo l’operatore K. Vedremo che vale Kψ = −kψ, dalla quale discendonole due equazioni bidimesionali

(σ · l + 1)φ = −kφ(σ · l + 1)χ = kχ

4.2. EQUAZIONE DI DIRAC IN POTENZIALE CENTRALE 27

per come e definita Σ. Sia φ che χ sono autostati di l2 ma con autovalori distinti,rispettivamente l(l+ 1) e l′(l′ + 1).Si ha che K2 = j2 + 1

2 con j = l + σ2 . Infatti

K2 = (σ · l + 1)2 = (σ · l)2 + 2σ · l + 1

ma

(σ · l)2 = σiσj lilj = (δij + iεijkσk)lilj =

= l2 +i

2(εijklilj + εijklilj)σk =

= l2 +i

2εijkiεijmlmσk = l2 − 1

22δkmlmσk

che se sostituita nell’espressione per K2 da

K2 = l2 − σ · l + 2σ · l + 1 = l2 + σ · l +1

4+

3

4= j2 +

1

4. (4.24)

In termini di autovalori k quanto detto prima si traduce in

k2 = j(j + 1) +1

4= (j +

1

2)2 ⇒ k = ±(j +

1

2).

Ora invece

j2 = l2 + σ · l +3

4⇒ l2 = j2 − σ · l− 3

4= j2 −K +

1

4,

quindi

• se k = j + 12 allora applicando l2 a φ si ottiene l(l + 1) = j(j + 1) −

(j + 12 ) + 1

4 ⇒ l = k = j + 12 mentre applicandolo a χ si ha l′(l′ + 1) =

j(j + 1) + (j + 12 ) + 1

4 ⇒ l′ = k − 1 = j − 12

• se k = −(j + 12 ) allora applicando l2 a φ si ottiene l(l + 1) = j(j + 1) +

(j + 12 ) + 1

4 ⇒ l = −(k + 1) = j − 12 mentre applicandolo a χ si ha

l′(l′ + 1) = j(j + 1) + (j + 12 ) + 1

4 ⇒ l′ = −k = j + 12 .

Osservando le precedenti relazioni per gli autovalori del momento angolare or-bitale si verifica immediatamente che l + l′ = 2j.L’autovalore k dello stato fondamentale lo si ottiene imponendo j = 1

2 e quindik = ±1.

Consideriamo il termine σ · pφ nella (4.17). Osserviamo innanzi tutto che(σ·r)2

r2 = 1r2 (r2 + iεijkσkrirj) = 1. Si puo scrivere pertanto

σ · pgk(r)Yj3jl =(σ · r)2

r2σ · pgk(r)Yj3jl ;

ma siccome (σ · r)(σ · p) = σiriσjpj = r · p + iεijkripjσk = r · p + iσ · l, valequindi

(σ · r)2

r2σ · pgk(r)Yj3jl =

σ · rr2

[r · p + iσ · l]gk(r)Yj3jl .

Siccome σ · lφ = −(K+1)φ e r ·pφ = −ir ·∇ = −ir∂r possiamo dunque scrivere

σ · rr2

[r · p + iσ · l]gk(r)Yj3jl = −i[∂rgk + (k + 1)gkr

]σ · rYj3jl .

28 CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL

Non ci resta che capire come agisce σ · r sulla parte angolare della funzioned’onda. Per farlo notiamo in primo luogo che

σ · rr

=1

r(σxx+ σyy + σzz) =

2

r[(S+ + S−)x+ (S− − S+)y + (Sz)z]

=2

r[(x− iy)S+ + (x+ iy)S− + (z)Sz]

= 2

√2π

3Y −1

1 S+ − 2

√2π

3Y 1

1 S− + 2

√4π

3Y 0

1 Sz (4.25)

dove abbiamo usato S− ≡ (σx− iσy) , S+ ≡ (σx+σy) operatori rispettivamentedi discesa e di salita per gli autostati Sz ≡ σz

2 , componente zeta dello spin; e

x− iy =√

2π3 Y−11 ed x+ iy =

√2π3 Y

11 (si veda [3]).

Dalla (4.23) discende

y1212 0

= Y 00

(10

), y

1212 1

= −√

1

3Y 0

1 (r)

(10

)+

√2

3Y 1

1 (r)

(01

).

Utilizzando l’espressione per σ · r in (4.25) si ottiene dunque

σ · rY1212 0

= −Y1212 1

che puo essere generalizzata (si veda [1] a pag. 62 ) ottenendo

σ · rYj3jl = −Yj3jl′ (4.26)

Considerando infine (4.18)

−i[∂rgk + (k + 1)gkr

]σ · rYj3jl − (m+ U − V0)fk(r)Yj3jl′ = iEfk(r)Yj3jl′

e applicando la (4.26) si ottiene un’equazione per la parte radiale

∂rgk + (k + 1)gkr− (m+ U − V0)fk = Efk. (4.27)

Considerando la (4.17), si ottiene similmente a quanto fatto per (4.27), un’altraequazione per la parte radiale:

∂rfk + (1− k)fkr− (m+ U + V0)gk = −Egk (4.28)

Nell”’M.I.T. Bag Model”, si descrive il confinamento dei quarks nei barioniintroducendo nelle precedenti equazioni una buca di potenziale U(r) = U0θ(r−R), e considerando i quarks come aventi massa nulla. Per r ≤ R, dalla (4.27) siricavano le due relazioni

fk =1

E[g′k + (k + 1)

gkr

] (4.29)

f ′k =1

E[g′′k − (k + 1)

gkr2

+ (k + 1)g′kr

].

Sostituendole nella (4.28) si ottiene l’ equazione differenziale

g′′k + 2g′kr

+ (E2 − k(k + 1)

r2)gk = 0 (4.30)

4.2. EQUAZIONE DI DIRAC IN POTENZIALE CENTRALE 29

che come e noto ha come soluzioni di interesse fisico le funzioni di Bessel sferiche

jk(Er) = (−x)k(1

x

dk

dxk)k(

sin(Er)

Er).

Per un dato k, se sostituiamo in (4.30) i corrispondenti valori del momentoangolare orbitale dello spinore superiore l ricavati precedentemente (l = k perk > 0, l = −(k + 1) per k < 0), otteniamo un’equazione differenziale del tuttouguale in forma; pertanto si ottiene

gk(Er) = Njl(Er) (4.31)

con N opportuna normalizzazione.Sostituendo (4.31) in (4.29) si ricavano le fk corrispondenti. Osserviamo se sipone in (4.29) k = l per k > 0 e k = −(l+1) per k < 0 si ottengono delle identitanote da relazioni per ricorrenza valide per le funzioni di Bessel. In particolareper k < 0, fk(Er) = N

E ( ddr −lr )jl = −jl+1(Er); mentre per k > 0 si ottiene

fk = NE ( ddr + l+1

r )jl = jl−1(Er). Quindi, siccome l′ = l − ε con ε = 1 se k > 0,ed ε = −1 per k < 0, si deduce che

fk(Er) =k

|k|Njl′(Er). (4.32)

Per r > R dove U(r) = U0, l’equazione (4.27) diventa della forma

g′′k + 2g′kr− (γ2 +

α2

r2)gk = 0 (4.33)

con γ2 = U20 − E2 e α =

√k(k + 1) . Quest’equazione differenziale ha solu-

zioni di interesse fisico le funzioni di Bessel modificate Kα(γr) . Per i nostri

fini e utile osservare che asintoticamente, per γr >> 1, Kα '√

π2γr e

−γr, ∀α.

Questa relazione e ampiamente soddisfatta per ogni r > R nel limite U0 >> E,ragionevole nel nostro caso in quanto garantisce il confinamento dei quarks neinucleoni. Pertanto assumeremo per le parti radiali degli spinori di Dirac perr > R e ogni k, siano

gk ' AN√

π

2γre−γr

e

fk 'AN

E + U0

√π

2γre−γr

dove A si determina dalla condizione di continuita a r = R. Per U0 >> E equindi γ ' U0, i limiti scaturenti dalla continuita della soluzione ad r = R+ edr = R− sono

jl(ER) → AN

√1

U0Re−U0R

k

|k|jl′(ER) → AN

√1

U0Re−U0R. (4.34)

Uguagliando i termini a sinistra si ottiene l’equazione per la quantizzazionedell’energia

jl(ER) =k

|k|jl′(ER) (4.35)

30 CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL

che puo essere risolta numericamente a k fissato, ottenendo opportuni Enk =ωknR . In particolare, per lo stato fondamentale k = −1, ω1,−1 = 2.04 (vedi [1]

pag. 61).Poiche i due limiti in (4.34) non possono dare valore nullo simultaneamente, Adeve crescere opportunamente al crescere di U0.

4.3 Momento magnetico di un quark in poten-ziale centrale

E noto che in elettrodinamica il momento magnetico µ associato a una densitadi corrente elettrica je e dato da

µ =1

2

∫(r× je)d

3r

Se si vuole calcolare il momento magnetico di un quark all’interno di una parti-cella abbiamo bisogno di identificare la corrente elettrica associata ad esso. In(4.20) abbiamo definito il quadrivettore jµ soddisfacente l’equazione di conti-nuita (4.21). La parte spazio di questo quadrivettore moltiplicata per la caricadel quark (eq) e la corrente trasportata dal quark nello stato ψjj3 , ovvero tenendopresente la (4.20)

jeq (r) = eqψjj3†γ0γψjj3 = eqψjj3

†(

0 σσ 0

)ψjj3 . (4.36)

Tenendo presente la forma per ψjj3 data in (4.22) e utilizzando la relazione(4.26), si ha per la componente i-esima della corrente

ji = (gk(r)Yj3†jl ,−ifk(r)Yj3†jl′ )

(0 σiσi 0

)(gk(r)Yj3jl (r)

ifk(r)Yj3jl′(r)

)= igkYk(Yj3†jl σiY

j3jl′ − Y

j3†jl′ σiY

j3jl ) = igkfk(−Yj3†jl σi(σ · r)Yj3jl + Yj3†jl (σ · r)σiYj3jl )

Dal fatto che σiσjrj−σjσirj = [(δij+iεijkσk)−(δji+iεjikσk)]rj = 2iεijkσkrj =2i(r× σ)i, segue che

j =2gkfkr

yj3†jl r× σyj3jl (4.37)

Per convenzione , il momento magnetico e la componente-z di µ calcolata perj3 = j. L’obiettivo adesso e dunque calcolare

µ = µz =1

2

∫(r× je)zd

3r (4.38)

Da (4.37) e considerando come funzione d’onda quella dell stato fondamentalel = 0 ripotata in (4.23) , si ottiene l’espressione per la componente i-esima dellacorrente

ji =fg

2π(1, 0)εijkrjσk

(10

)dove e sottoitesa la somma su indici ripetuti. Si ha quindi che

4.3. MOMENTOMAGNETICO DI UN QUARK IN POTENZIALE CENTRALE31

• j1 = fg2πr (1, 0)(ε123r2σ3+ε132r3σ2)

(10

)= fg

2πr (1, 0)(r2σ3−r3σ2)

(10

)=

fg2πr r2 dal momento che σ2

(10

)⊥(

10

);

• j2 = fg2πr (1, 0)(ε213r1σ3+ε231r3σ1)

(10

)= fg

2πr (1, 0)(−r1σ3+r3σ1)

(10

)=

− fg2πr r1 dal momento che σ1

(10

)⊥(

10

);

• j3 = fg2πr (1, 0)(ε312r1σ2+ε321r2σ1)

(10

)= fg

2πr (1, 0)(r1σ2−r2σ1)

(10

)=

0 per quanto osservato nelle precedenti due componenti

Si ha dunque

j =fg

2πr

r2

−r1

0

. (4.39)

Calcoliamo adesso il momento magnetico (4.38), usando l’espressione per j nellostato fondamentale appena ricavata. Si ha

µ =eq4π

∫fg

r[

r1

r2

r3

× r2

−r1

0

]zd3r = − eq

4π

∫fg

r(r2

1 + r22)d3r

= −eq2

∫ +∞

0

fgr3dr

∫ π

0

sin3 θdθ = −2eq3

∫ +∞

0

r3fgdr (4.40)

Consideriamo adesso le due equazioni differenziali accoppiate in (4.27) e (4.28)per lo stato fondamentale, cioe ponendo in esse k = −1. Moltiplichiamo (4.27)per la funzione radiale g e (4.28) per la f . Sottraendo la seconda membro amembro dalla prima si ottiene la seguente espressione per gf

gf =1

E[1

4∂r(g

2 − f2)− f2

r]

che se sostuita nella (4.40) ci permette di calcolare agevolmente l’integrale.Infatti

µ = −2eq3

∫ +∞

0

r3fgdr = −2eq3E

∫ +∞

0

r3[1

4∂r(g

2 − f2)− f2

r]dr

= −2eq3E

[1

4

∫ +∞

0

r3∂r(g2 − f2)dr −

∫ +∞

0

r2f2dr] (4.41)

= −2eq3E

[−3

4

∫ +∞

0

r2(g2 − f2)dr −∫ +∞

0

r2f2dr]

=2eq3E

[3

4

∫ +∞

0

r2(g2 + f2 − 2f2)dr +

∫ +∞

0

r2f2dr]

=2eq3E

[3

4

∫ +∞

0

r2(g2 + f2)dr − 1

2

∫ +∞

0

r2f2dr] (4.42)

=eq2E

[1− 2

3

∫ +∞

0

r2f2dr] (4.43)

32 CAPITOLO 4. M.I.T. BAG MODEL

dove in (4.41) abbiamo integrato per parti il primo integrale e in (4.42) abbiamo

usato la normalizazione∫ +∞

0r2(g2 + f2)dr = 1.

Nell’ ”M.I.T. Bag Model”, come calcolato nella precedente sezione, si ha per lostato fondamentale k = −1 e per r ≤ R,

f−1 = −Nj1(Er) (4.44)

con la normalizzazione N = x3

2R3(x−1) sin2(x)(fissata in [1] a pag. 65), dove si

e posto x = ω1,−1 = 2.04. In questo modello e possibile calcolare il momentomagnetico di un quark q di carica eq la cui espressione e data data in (4.43), uti-lizzando la parte radiale f data in (4.44); indicando formalmente la componente

zeta l’operatore di momento magnetico per il quark con O3(ri,σi), il risultatoe (vedi [3] a pag. 67)

µq = eq〈ψ 12

12|O3|ψ 1

212〉 = −eq〈ψ 1

2−12|O3|ψ 1

2−12〉 = 1.93(

eqe

)R(m.n.) (4.45)

dove (m.n.) = e2Mp

, indica le unita di magnetone nucleare con la convenzione

h = c = 1.

4.4 Momento magnetico dei nucleoni

Il raggio della buca di potenziale usata nell”’M.I.T. Bag Model” e fissata advalore R = 1.18fm, dimensioni tipiche dei nucleoni.Ora ci proponiamo di stimare usando il risultato in (4.45), il rapporto tra mo-menti magnetici di neutrone e protone.Considerando la funzione d’onda dei nucleoni, osserviamo che nel formalismodi Dirac non e possibile separare la parte di spin da quella spaziale, come fattonei capitoli precedenti. Possiamo pero costruire la funzioni d’onda a simmetriaρ e λ, in termini del momento angolare j dei tre quarks che costituiscono ilnucleone. La parte di funzione d’onda spin-spaziale dei nucleoni a simmetria ρe la seguente

Ψρ12 ,+

12

=1√2

(ψ 12 ,

12(1)ψ 1

2 ,−12(2)− ψ 1

2 ,−12(1)ψ 1

2 ,12(2))ψ 1

2 ,12(3) (4.46)

mentre quella di tipo λ

Ψρ12 ,+

12

=1√6

[2ψ 12 ,

12(1)ψ 1

2 ,12(2)ψ 1

2 ,−12(3)−

− ψ 12 ,

12(1)ψ 1

2 ,−12(2)ψ 1

2 ,12(3)−

− ψ 12 ,−

12(1)ψ 1

2 ,12(2)ψ 1

2 ,12(3)]. (4.47)

Queste funzioni d’onda possono essere combinate con le parti di sapore φρ e leφλ per i nucleoni date in (2.11),(2.13), (2.12) ed (2.14), per formare uno statosimmetrico come Ψρφρ + Ψλφλ.In generale l’operatore di momento magnetico µz per i nucleoni lo possiamoscivere nella forma µN =

∑3i=1 O3(ri,σi)ei dove ei = e( 1

6 + 12τi) e l’operatore di

carica per il quark i-esimo. Osserviamo che il valor medio sulla funzione d’ondadi nucleone di questo operatore e identico a tre volte il valor medio su un quark

4.4. MOMENTO MAGNETICO DEI NUCLEONI 33

(il terzo per esempio). Questo e vero perche la funzione d’onda e simmetricaper scambi. Scriveremo dunque

µN = 3〈N |O3e3|N〉 = 〈Ψρφρ + Ψλχλ|O3ei|Ψρφρ + Ψλχλ〉 =

=3

2[〈φρ|e3|φρ〉〈Ψρ|O3|Ψρ〉+ 〈φρ|e3|φλ〉〈Ψρ|O3|Ψλ〉+

+ 〈φλ|e3|φρ〉〈Ψλ|O3|Ψρ〉+ 〈φλ|e3|φλ〉〈Ψλ|O3|Ψλ〉] (4.48)

Considerando la (4.48) e le opportune funzioni d’onda di sapore gia elencatenel precedente capitolo, si ottiene per il protone

µp = e〈ψ 12

12|O3|ψ 1

212〉 (4.49)

mentre per il neutrone

µn = −e3

(〈ψ 12

12|O3|ψ 1

212〉 − 〈ψ 1

2−12|O3|ψ 1

2−12〉). (4.50)

Gli elementi di matrice che compaiono nelle due espressioni (4.49) e (4.50),dati in (4.45), se sostituiti nelle (4.49) e (4.50) forniscono per il il rapporto tramomento magnetico del neutrone e del protone

〈µn〉〈µp〉

= −2

3,

identico alla stima del terzo capitolo.Osserviamo che dalla (4.49), possiamo stimare il momento magnetico del pro-tone. Infatti, ricordando che R = 1, 18fm, si ottiene µp = 2, 27(m.n.) daparagonare al valore sperimentale di 2, 79(m.n.) (vedi [1] pag. 68).

Bibliografia

[1] R.K. Bhaduri: Models of the nucleon: from Quarks to Soliton, Addison-Wesley Pub., 1988, Reading, MA.

[2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe: Quantum Mechanics Vol. I,Hermann Pub., 1977, Paris, France.

[3] K. Konishi, G. Paffuti: Meccanica Quantistica: nuova introduzione,Edizioni Plus - Pisa University Press, 2005, Pisa.

[4] J.D. Bjorken, S.D. Drell: Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-HillInc., 1964, USA.

[5] D. Griffiths: Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons Inc.,1987, USA.

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