Modelli dinamici per le scienze sociali: razionalità (limitata), interazione, aspettative

Gian-Italo BischiUniversità di Urbino “Carlo Bo”

Dipartimento di Economia e Metodi Quantitativi. gian.bischi@uniurb.it

XIII Scuola estiva di filosofia della Fisica, Complessità e Riduzionismo

13 – 18 Settembre 2010

•Economia: da scienza morale a scienza formale (ipotetico-deduttiva)

•Il modello della meccanica razionale, l’equilibrio economico generale

•Decisions driven time (tempo discreto)

•Scienze morali e sociali vs scienze naturali: La mela di Newton e la

mela di Keynes

•Modelli con aspettative: from beliefs to realizations.

•L’agente razionale rappresentativo (homo oeconomicus)

•Caos deterministico vs razionalità perfetta

•Agenti limitatamente razionali: adattivi (trial&error), fondamentalisti,

trend followers (bandwagon) evolutivi.

•Le interazioni strategiche individuali e macrocomportamenti collettivi

(Game theory)

Vito Volterra (1860-1940)

Il matematico si trova in possesso di uno strumentomirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulatiper lungo andare di secoli dagli ingegni più acutie dalle menti più sublimi che siano mai vissute.Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire ilvarco a molti oscuri misteri dell’universo, ed unmezzo per riassumere in pochi simboli una sintesiche abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse[…]Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma

Vito Volterra (1860-1940)

Un precursore: A.A. Cournot (1838) a Parigi, “Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse”

La rivoluzione marginalista:1871 - “The Theory of Political Economy” diW.S. Jevons a Londra;1871- “Grundsätze der Volkswirtschaftslehre”(Principles of Economics) di C.Menger a Vienna;1874 - “Eléments d’économie politique pure”di L.Walras a Losanna.

Massimizzare una funzione di utilità.

Walras sostenne l’esistenza di una stretta analogia tra l’Economia le “scienze fisico-matematiche”. Il principio di minimizzazione permeava tutta la Fisica dell’epoca. Anche se nessuno si sognerebbe di dire che le particelle stanno consapevolmente minimizzando qualcosa, si dice che esse hanno un comportamento che può essere descritto come se esse agissero in modo minimizzante. Viene inoltre introdotta la nozione di energia potenziale come un’entità non osservabile che può essere inferita soltanto dai suoi legami teorici con altre variabili.

Leon Walras (1834-1910)

Dalla corrisponenza fra Walras e Poncaré

Jules Henri Poincaré (1854–1912)

“Ho pensato che all’inizio di ogni speculazione matematica ci sono delle ipotesi e che, perché questa speculazione sia fruttuosa, occorre, come del resto nelle applicazioni della Fisica, che ci si renda conto di queste ipotesi. Per esempio, in Meccanica si trascura spesso l’attrito e si guarda ai corpi come infinitamente lisci. Lei guarda agli uomini come infinitamente egoisti ed infinitamente perspicaci. La prima ipotesi può essere accettata come prima approssimazione, ma la seconda necessiterebbe forse di qualche cautela.”

In Economia, il principio che si assume come forza motrice che agisce sugli individui èquello della massimizzazione dell’utilità attesa, con funzioni di utilità di tipo ordinale definite sulla base di certi assiomi di scelta. Ma per calcolare l’utilità attesa, gli agenti economici hanno bisogno di qualche ipotesi sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati futuri dell’Economia. Il problema nasce proprio dal tentativo di Walras (e più in generale del marginalismo) di “matematizzare” l’Economia introducendo ipotesi, come quella della perfetta razionalità, col solo fine di ottenere risultati formali.

Vilfredo Pareto (1848-1923)

Studia matematica e si laurea in ingegneria a Torino.Nel 1892 succede a Walras sulla cattedra di Losanna.

•Vuole “disinquinare” la scienza economica da politica e filosofia, prendendo come modello la Meccanica Razionale. •Famosi i suoi “specchietti” (in doppia colonna) che presentano gli elementi alla base dello studio del fenomeno meccanico e i loro corrispondenti per quello economico.•L’economia non abbia timore di diventare un sistema assiomatico-deduttivo, ipotizzando agenti e processi economici idealizzati, così come la fisica utilizza con grande profitto entità come i corpi rigidi, i fili inestensibili e privi di massa, i gas perfetti, le superfici prive di attrito…

Le polemiche. •E’ possibile trasformare in quantitativa una scienza umana come l’Economia, i cui procedimenti e le cui conclusioni coinvolgono pesantemente pregiudizi storici, culturali e politici?

•L’impiego della Matematica fornisce all’Economia una particolare autorevolezza, che rischia di trasformarsi in presunta oggettività e che comunque rende difficile l’individuazione dei suoi condizionamenti ideologici.

The Theory of Value (1959) ha fatto parlaredi bourbakismo in Economia.

Nella prefazione Debreu scrive:“la teoria del valore è trattata qui secondo gli standarddi rigore dell’attuale scuola formalista di MatematicaLa fedeltà all’esigenza del rigore impone all’analisiuna forma assiomatica in cui la vera e propria teoria rimane completamente separata dalle sue interpretazioni”.

Al calcolo differenziale e all’algebra delle matrici sisono via via aggiunti l’Analisi convessa, la Teoriadegli insiemi, la Topologia, la Teoria della misura, gli spazi vettoriali, l’Analisi globale.Lo standard di rigore logico della matematica èormai la regola (non più l’eccezione)”.

Ma lo stesso Debreu scriveva anche“la seduzione della forma matematica può diventare quasi irresistibile. Nel perseguimento di tale forma, può darsi che il ricercatore sia tentato di dimenticare il contenuto economico e di evitare quei problemi economici che non siano direttamente assoggettabili a matematizzazione”

Gerard Debreu (1921–2004)Premio Nobel per l’economia nel 1983

John Maynard Keynes (1883–1946)

Non basta semplicemente adattare i metodi e i ragionamenti della fisica alla modellizzazione dell’economia perché

“[…] l’economia è una scienza morale […] essa ha a che vedere con motivazioni, aspettative, incertezze psicologiche. Si deve essere costantemente attenti a non trattare questo materiale come se fosse costante ed omogeneo.È come se la caduta della mela al suolo dipendesse dalle aspirazioni della mela, se per lei sia conveniente o meno cadere a terra, se il suolo vuole che essa cada, e se vi sono stati errori di calcolo da parte della mela sulla sua reale distanza dal centro del pianeta”

Le scienze sociali hanno bisogno di modelli e schemi mentali che si discostino da quelli della fisica

Aggiungiamo: come e quanto la mela si fa condizionare dal comportamento delle altre mele dello stesso albero o di alberi vicini, le aspettative che la mela ha sugli esiti della sua caduta e sulle cadute dalle altre mele, le informazioni che la mela ha sulle decisioni delle altre mele e sulle condizioni del suolo su cui andrà a cadere, ecc.

Spesso il tempo in economia è discreto (discontinuo) perché scandito da decisioni che non possono essere continuamente rivedute

Event-driven time, Decision-driven time

Legge del moto xt+1 = T ( xt )

x = (x1 , x2 ,…,xn) M R n, T: MM

t = 1, 2, 3, … i.e tN

Modello dinamico a tempo discreto:x0 è dato, la legge del moto definisce induttivamente una unica

traiettoria: (x0) = {xt M | T t (x0)}

Con modelli a t discreto è più facile avere oscillazioni, overshooting (over-reaction).Caos anche in modelli semplici e a bassa dimensionalità

0 0... ( ) ( )ttx T T T x T x

1 0( )x T x2

2 1 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )x T x T T x T T x T x ...

Determinismo Laplaciano

Laplace (1776) da Théorie analytique des probabilitiés

«Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro».

Leibniz:"Vediamo allora che ogni cosa procede in modo matematico - cioè infallibilmente - nel mondo intero, in modo che se qualcuno avesse una sufficiente capacità di conoscere a fondo le cose, e avesse abbastanza intelligenza e memoria per considerare tutte le circostanze e tenerne conto, questi potrebbe essere un profeta e potrebbe vedere il futuro nel presente come in uno specchio".

Modelli con aspettative

In economia e nelle scienze sociali lo stato attuale consegue sì da quelli del passato, ma dipende anche dalle decisioni degli individui che lo compongono, decisioni che sono influenzate dalle aspettative che essi hanno sul futuro.

xt+1 = f ( ) oppure xt = f ( )

Le aspettative degli agenti sul futuro si riflettono sul modo in cui i sistemi evolvono: mappings from beliefs to realizations.

)(1

etx

)(1

etx

Una delle 5 frasi riprodotte sul nuovo tappeto nello studio ovale di Obama: «L'unica cosa di cui dobbiamo aver paura è la paura stessa» (Roosvelt, a proposito della grande depressione del 29)

Come dire: “La paura (del futuro) condiziona le nostre decisioni (nel presente)”Viceversa, vale il detto:“Essere ottimisti sul futuro ci fa meglio vivere il presente”

Ipotesi delle aspettative razionali (Muth, 1961, Lucas, 1972)Gli agenti economici sono in grado di prevedere correttamente il futuro dei sistemi che studiano, così come un fisico conosce le leggi della natura.

Così nasce l’agente economico rappresentativo razionale, in grado di effettuare scelte ottimali in quanto è capace di calcolare tutte le grandezze necessarie. Questo, associato all’ipotesi dei mercati efficienti è diventato il modello teorico dominante (modello neoclassico) che prevede che l’economia raggiungerà un equilibrio in cui tutte le relazioni economiche necessarie (come ad esempio i vincoli di bilancio) saranno rispettate. Questo approccio, è fortemente radicato nei metodi di ottimizzazione che portano alla “teoria dell’equilibrio generale”.

Il tema dell’efficienza dei mercati è sempre stato una specie di atto di fede dell’economia neoclassica, con la convinzione che i mercati sono in grado di auto-correggersi e che il ruolo dei governi è tutt’al più quello di “regolatori dalla mano leggera”.

Gli agenti economici dei modelli devono essere dotati della capacità fare congetture sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati futuri dell’Economia.

1)(1 t

et xx

Nonostante queste premesse l’ipotesi dell’agente rappresentativo razionale è diventata dominante dagli anni 60 in poi: questo solleva molti dubbi anche logici, dato che l'agente economico è parte del sistema che studia, un problema che i fisici hanno per la prima incontrato nello studio della meccanica quantistica e che si è portato dietro molte conseguenze, paradossi e interpretazioni che fanno tuttora discutere.

Modelli con razionalità limitata

Già negli anni 50 Herbert Simon aveva parlato di agenti economici limitatamente razionali:“Non è empiricamente evidente che gli imprenditori e i consumatori nel prendere decisioni seguano i principi di massimizzazione dell’utilità richiesti dai modelli dei marginalisti. In parte perché non hanno informazioni sufficienti, o le necessarie capacità di calcolo. Quindi nei modelli occorre prevedere che gli agenti siano incerti sul futuro e occorre includere i costi per reperire informazioni. Questi fattori limitano le capacità degli agenti nel fare previsioni,

Herbert Simon (1916–2001)Nobel per l’Economia 1978

They possess only “bounded rationality”. They do not choose what is optimal but what will make them happy enough.Rules of thumb, trial & errors in making decisions

Modelli dinamici non lineari, oscillazioni endogene, caos

A partire dagli anni ’30, un tema ricorrente nella letteratura è stato il confronto fra modelli deterministici e stocastici come possibili strumenti per descrivere le oscillazioni irregolari e persistenti osservate nei sistemi economici, in netto contrasto sia con la convergenza a un equilibrio stazionario prevista dai modelli lineari dell’equilibrio economico, che con la periodicità delle oscillazioni endogene previste dai primi modelli deterministici non lineari del ciclo economico.Questo ha portato a una crescente popolarità dei modelli macroeconomici lineari stabili arricchiti da termini stocastici, per rappresentare continui shock esogeni la cui presenza è in grado di provocare le oscillazioni persistenti che si osservano nei dati reali.

Nei modelli non lineari la perdita di stabilità locale non conduce necessariamente a evoluzioni divergenti e quindi non accettabili. Ma i cicli limite attrattivi forniscono andamenti troppo regolari rispetto a quelli osservati nella realtà.

La scoperta del caos deterministico ha riaperto la questione. La possibilità di generare fluttuazioni irregolari senza bisogno di termini stocastici suggerisce che nei sistemi economici ci possono essere meccanismi endogeni capaci di creare il disordine osservato nell’economia reale, senza bisogno di continui shocks che scuotano i sistemi dall’esterno.

Aspettative razionali e caos deterministico. Una evidente antinomia

Se si parte da un modello con aspettative razionali e si scopre che esso genera caos deterministico, allora le previsioni non possono essere razionali (cioè perfette) per definizione di dinamiche caotiche.

Un corollario che contraddice un’ipotesi del teorema!

Benhabib, Day (1982) “A characterization of erratic dynamics in the overlapping generations model” Journal of Economic Dynamics and Control, 4, 37-55.

Boldrin, Montrucchio. (1986) “On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths.” Journal of Economic Theory 40: 26—39.

Grandmont, J.M. (1985) “Endogenous Competitive Business Cycles” Econometrica 53: 995—1045.

Grandmont (Econometrica, 1985). E’ un modello OLG.Nel periodo 1, i consumatori guadagnano w1, consumano c1(t) risparmiano m1(t);nel periodo 2, la pensione, guadagnano w2 e consumano c2(t+1). Funzione di utilità U=U1(c1(t))+U2(c2(t+1)).Da giovani (periodo 1) decidono il piano dei consumi della vita in base a: Max Ucon vincoli di bilancio: p(t)c1(t)+m1(t)=p(t) w1 pe(t+1)c2(t+1)= m1(t)+pe(t+1)w2.Grandmont dimostra che con la condizione di previsione perfetta pe(t+1)= p(t+1)) la soluzione di equilibrio questo problema è espressa da: (t) = G((t+1), dove (t)=p(t)/p(t+1). Con ipotesi economicamente plausibili sulle funzioni di utilità, che consistono nell’assumere che gli anziani siano più avversi al rischio rispetto ai giovani, dimostra che la mappa G è unimodale, quindi in grado di generare traiettorie caotiche.

Ma dal punto di vista del significato economico, che senso ha affermare che i consumatori sono in grado di prevedere andamenti praticamente indistinguibili da sequenze casuali?

Questa incompatibilità fra un’economia in equilibrio e l’ipotesi che gli agenti economici siano in grado di fare previsioni corrette, fa crollare uno dei pilastri della modellistica neoclassica.

Henry Poincaré (1903)

Se conoscessimo esattamente le leggi della natura

e la situazione dell’universo all’istante iniziale,

potremmo prevedere esattamente la situazione

dello stesso universo in un instante successivo.

Ma se pure accadesse che le leggi naturali non

avessero più alcun segreto per noi, anche in tal

caso potremmo conoscere la situazione iniziale

solo approssimativamente.

Se questo ci permettesse di prevedere la situazione

successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e

dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.

Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..

Henry Poincaré, 1854-1912

Si arriva anche a dimostrare che fluttuazioni caotiche dell’economiapossono essere dotate di efficienza paretiana e quindi non è così scontato il paradigma classico secondo il quale le politiche economiche debbano sempre cercare di eliminarle o smorzarle.

A. Matsumoto. “Let it be: chaotic price instability can be beneficial” Chaos, Solitons and Fractals vol. 18 (2003) pp. 745–758

Ovviamente ci possono essere altre considerazioni da fare, legate alle conseguenze sociali delle fluttuazioni economiche, quando si devono decidere politiche da applicare (es. il dramma della disoccupazione o del disagio sociale legato all’instabilità economica).

Il punto di vista alternativo, basato sull’ipotesi degli agenti economici limitatamenterazionali, è invece una teoria del disequilibrio in quanto ammette un insieme molto più ampio di situazioni asintotiche rispetto al solo punto fisso. Questo insieme più ampioinclude cicli limite, attrattori strani e molteplicità di attrattori, ciascuno con il proprio bacino di attrazione. Se si ammette anche la presenza di disturbi esogeni, allora si ottengono altrettante versioni noisy di tutti queste possibilità. A livello matematicoabbiamo a che fare con sistemi dinamici non lineari stocastici (random non-linear dynamical systems).

Esempi di aspettative limitatamente razionali:

Naive

Adattive

Fondamentalisti

Chartisti (trend followers)

etx 1 = e

tx +( xt etx ) = xt + (1 e

tx , 0 1

tet xx 1

etx 1 = tx +( x* tx ) ,

etx 1 = tx +( xt 1tx ) ,

Il caso dei tulipani in olanda nel ‘600

La bolla speculativa dei mercati del 1995-2000…

Ruolo dei mezzi di comunicazione

Casi di crescita spinta dalle aspettative di crescita

Bulls and Bears, ottimismo e pessimismo degli operatori

Microcomportamenti individuali vs macrocomportamenti emergenti, collettivi, sociali

Self-fulfilling expectations

Modello della Ragnatela

Quantità richiesta al tempo t dai consumatori

Qd = D ( p ) funzione di domanda

Quantità che viene immessa sul mercato dai produttori

Qs = S ( p ) funzione di offerta

Esempio: funzioni di domanda e offerta lineari:

D(p) = a b p ;

S(p) = c + d p

a, b, c, d costanti positive

p

Q

SD

Equilibrio: Qd = Qs

p*

Introduciamo il tempo.

Al tempo t i consumatori decidono in base al prezzo pt osservato, ma la merce nel mercato al tempo t è stata prodotta in base a decisioni prese in un tempo precedente, perché la produzione richiede un certo lasso di tempo.

Sia t = 1 il tempo di produzione che intercorre fra decisione e immissione nel mercato

•I consumatori decidono la quantità da acquistare in base a pt

• I produttori decidono in t1 la quantità da immettere nel mercato al tempo t in base al prezzo atteso ;

Introduciamo aspettative naive:

pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1)

Con funzioni di domanda e offerta lineari: D(p) = a b p ; S(p) = c + d p

a b pt = c d pt-1, da cui: b

cap

b

dp tt

1

atttp

1 tattt pp

)()( atttt pSpD

D(pt) = S(pt-1) diventa

a bpt = arctan ((pt-11))

da cui si ottiene il modello dinamico

pt = F(pt-1)= [a arctan ( (pt-1 1))]

La mappa F(p) è monotona decrescente

Funzione di offerta non lineare:

QS = S ( p) = arctan ((p1))

pe

S

D

D ( p ) = a - b pS ( p ) = arctan ((p - 1))

p

Q

pe

p

p1

p

p2

F F

p

00.3 0.4

5

atttp 1 = att

tp + ( pt atttp ) con 0 < 1

Aspettative adattive

Inserendo:

pt = F ( atttp ) mapping from beliefs to realizations

nell'equazione delle aspettative adattive:

atttp 1 = att

tp + ( F ( atttp ) att

tp ) = (1 atttp +

b

[a arctan ( ( att

tp 1))]

attp

)()1( attatt pFp

)( attpF

atttp

atttppe

Le aspettative razionali semplificano i modelli ed evitano il verificarsi di errori sistematici e ripetuti nel tempo, ovvero comportamenti ritenuti inconsistenti.

La razionalità limitata introduce il problema dell’eterogeneità: c’è un solo modo di essere razionali (nel significato di prevedere l’unica evoluzione del sistema che si realizzerà) mentre ci sono tanti modi diversi di essere limitatamente razionali

Scelta fra diverse aspettative attraverso meccanismi evolutivi

Es. Gli N produttori sono divisi in due frazioni n1 e n2= Nn1 che hanno due modi diversi di formulare aspettative sui prezzi attesi

)()()(,2,1 ,2,1

et

ett tt

pSnpSnpD

Le due frazioni evolvono nel tempo secondo una dinamica evolutiva, sulla base di un “indice di performance” che misura la bontà delle previsioni fatte

Si introduce poi una dinamica evolutiva, ad esempio la “replicator dynamics”

ttttt

t

ttt nnnn ,2,1,1,1

__

__,1

,11,1 )1(,

Quindi n1 cresce se tttt cioè ,2,1

__

,1

Cioè se l’aspettativa 1 è “più performante”

Esperimenti di laboratorio, in ambienti semplificati e controllati (experimental economics)

Ma c’è differenza fra la vera utilità (es. i profitti) e quella finta, simulata.

L’economia è una scienza?Confronto tra previsioni dei modelli e realtà economica

Difficile fare osservazioni “sul campo”

Inoltre, se le leggi dipendono dalle aspettative, le quali dipendono dalle informazioni possedute dagli agenti, allora fare misure aggiunge informazioni e quindi cambia le aspettative e quindi cambia le leggi del moto …

Carl Chiarella “What’s beyond?” in Lettera Matematica Pristem (2010).

Il paradigma neoclassico (ipotesi di agente economico razionale e mercati efficienti) prevale dopo il supposto fallimento del punto di vista keynesiano, dominante fra la fine degli anni ’40 e gli anni ’60, accusato di essere stato inefficace nell’affrontare il periodo di stagnazione economica.

Le idee keynesiane, a loro volta, avevano soppiantato il punto di vista classico dominante negli anni ’30, perché questo era stato indicato come responsabiledelle politiche economiche che avevano portato alla grande crisi del ’29.

È ancora troppo presto per dire se l’attuale crisi economica avrà lo stesso profondoimpatto sulle ipotesi che stanno alla base dei modelli economici. Sembra comunque probabile dato che le principali istituzioni economiche sono state costrette ad adottare politiche con un forte sapore keynesiano.

Ogni cambio di paradigma economico porta con sé anche un cambio nel tipo di modellistica adottato. Un programma di ricerca molto ambizioso, che si è sviluppato in anni recenti, consiste poi nel considerare gli agenti economici come le particelle della Fisica statistica, un tentativo di applicare all’Economia i metodi sviluppati nella Meccanica statistica.

Altra frase riportata sul nuovo tappeto di Obama

«Il benessere di ciascuno di noi dipende fondamentalmente dal benessere di tutti noi»

Di Theodore Roosevelt, presidente repubblicano, che come Obama ha vinto (nel 1906) il premio Nobel per la Pace.

Dall'oroscopo di Linda Wolf del 3 dicembre 2009

Ariete. Anche se siete sicuri del fatto vostro fate molta attenzione alle decisioni degli altri

Interazione strategica

Matematica per le decisioni

Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?

Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q

Teorema.

Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione

… ma q (quantità prodotta) e p (prezzo di vendita) non sono indipendenti

la quantità è funzione decrescente del prezzo,ovvero il prezzo decresce al crescere della quantità

qdom

pfine soldi

q saturazione

Esempio: Funzione di domanda lineare

p

q

p = a/b – (1/b) q = A – B qq = a – b p

funzione inversa di domanda

A=pmax per merce rara

p→0 pur di vendere

Tutta la produzione

= f (q) = – B q2 + (A – c) q

Profitto

quantità prodottaA c

B

2

A c

B

è una parabola!

profitto del monopolista = p q – c q = (A – B q) q – cq

Problema del duopolio

A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, 1838.

Due produttori, 1 e 2, vendono lo stesso prodotto

Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1

Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2

prezzo: p = A – B QTOT = A – B ( q1 + q2)

Profitto produttore 1: 1 = pq1 – c1q1 = [ A – B ( q1 + q2 )]q1 – c1q1

Profitto produttore 2: 2 = pq2 – c2q2 = [ A – B ( q1 + q2 )]q2 – c2q2

q2

q1

q2 = r

2 (q1 )

q1 = r

1 (q2 )

Equilibrio di Cournot-Nash

1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1 = – Bq12 + (A – c1 –Bq2 )q1

Max per

2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2 = – Bq22 + (A – c2 Bq1 )q2

Max per

B

BqcAqrq

2)( 21

211

2 12 2 1( )

2

A c Bqq r q

B

Equilibrio:

)(

)(

122

211

qrq

qrq

* 2 12

2

3

A c cq

B

* 1 2

1

2

3

A c cq

B

*1 3

Aq

B *

2 3

Aq

B

prezzo all’equilibrio di Nash * * *1 2

2

3 3

A Ap A B q q A B

B

profitto individuale2

* * *

3 3 9i i

A A Aq p

B B

Monopolio

Duopolio di Cournot (trascuriamo i costi c1 = c2 = 0

produzione che massimizza il profitto2

m AQ

B

prezzo di monopolio 2 2

m m A Ap A B Q A B

B

profitto di monopolio2

2 2 4m m mi

A A AQ p

B B

Possibili accordi: 1) uno solo produce e poi si divide il profitto a metà , 2) concordiamo di produrre ciascuno Qm/2 = A/4B, cioè meno del Nash

libera concorrenza: equilibrio di Nash:

2 2

!!!8 9

A A

B B

The first duopoly model : Augustine Cournot (1838)Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse

q1 (t) and q2 (t) outputs at time t of two firms producing homogeneous goods

p = f (q1+q2) inverse demand function

ci (qi ) cost functions,

The profits of the two quantity-settimg firms are:

i= qi f (q1+ q2) – ci (qi) i=1,2

At time period t firms decide (t+1)-outputs by solving profit-maximization problems

Each firm considers the output of its competitor as given

212211 ,max,max21

qqqq eq

eq

)1(),1(maxarg)1(

)1()1(,maxarg)1(

122222

212111

2

1

tqrqtqtq

tqrtqqtqee

q

eeq

q1

q2

q2 = r2(q1)

q1 = r1(q2)

Cournot-Nash Equilibrium.Rational expectations (perfect foresight):

2,1)1()1( itqtq jej

One-shot (static) gamettqrtq

tqrtq

))(()(

))(()(

122

211

)(()(

)(()(*212

*12

*2

*121

*21

*1

qrrqrq

qrrqrq

The game directly goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash equilibrium) in one shot

Expectation of agent i about the rival’s choice

)1( tqej

2,1)()1( itqtq jej

ttqrtq

tqrtqT

))(()1(

))(()1(:

122

211

Two-dimensional dynamical system:

given (q1(0),q2(0)) the repeated application of the map T:(q1,q2) (r1(q2), r2(q1))

gives the time evolution of the duopoly game.

This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in the long run,

i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium

as fully rational players provided that the “myopic” game is played several times

Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nash’s concern)

Cournot (Naive) expectations:

q2

q1

Reaction function of firm 1

Reaction function of firm 2

q*1

q*2

1 1 2q r q

2 2 1q r q

Linear/linear Cournot game and best reply dynamics with naive expectations

r1

r2

r1

r2

b

catqtqrtq

b

catqtqrtq

2)(

2

1))(()1(

2)(

2

1))(()1(

21122

12211

Developments and complexities

The firms in the Cournot model (mineral water producers) decide quantities, then the price at each time period is obtained from the inverse demand finction.

Bertrand (1883) criticized this approach and preferred to assume that firms compete by deciding prices, and assumed differentiated products, each with its price.The problem is mathematically equivalent.

Edgeworth (1925) considered the case of homogeneous products and stated that oligopoly markets, in contrasts with the cases of monopoly and perfect competition, may be indeterminate, i.e. uniqueness of equilibrim is not ensured. Moreover, assuming quadratic costs, prices may never reach an equilibrium position and continue to oscillate ciclycally forever.

Teocharis (1960) proves that the linear/linear discrete time Cournot model is only stable in the case of duopoly.McManus & Quandt (1961), Hahn (1962), Okuguchi (1964) show that this statement depends on the kind of adjustment considered and the kind of expectations formation. However, Fisher (1961) stresses that in general “the tendency to instability does rise with the number of sellers for most of the processes considered”

Linear demand: p = a – b (q1 + q2)Quadratic cost: Ci = ci qi + ei qi

2 i = 1,2

Quadratic Profit: ia – b (q1 + q2))qi – (ci qi + ei qi2 )

Linear reaction functions:

)(2)(

)(2))(()1(0)(2

)(2)(

)(2))(()1(0)(2

2

21

21222121

2

2

1

12

12111211

1

1

eb

catq

eb

btqrtqcbqqeba

q

eb

catq

eb

btqrtqcbqqeba

q

212,1

1

2

bb

bzeigenvalues: stability if

(Stable)(Unstable)

b2 < 4(b+e1)(b+e2)

b2 < 4(b+e1)(b+e2) b2 > 4(b+e1)(b+e2)

R1

R1

R2

R2

E2

E1x1

x2

L2

L100

E

c1

c2

Linear demand, quadratic costs, case b2 > 4(b+e1)(b+e2)

E unstable, E1 , E2 , stable

basin of E1

basin of E2

basin of 2-cycle (c1,c2)

Non monotonic reaction curvesRand, D., 1978. Exotic Phenomena in games and duopoly models. Journal of Mathematical Economics, 5, 173-184.

A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump) reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise, i.e. bounded oscillations with sensitive dependence on initial conditions etc..

Postom and Stewart (1978 ) "Catastrophe Theory and its Applications",

Book seller example:“...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many.There will be no book habit among people, no distribution industry… On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers, you will be invisible…and again you will sell rather few.Your sales will be best when your competitors’ output will be intermediate…”

New mathematics“… Adequate mathematics for planning in the presence of suchphenomena is a still far distant goal…”

Tonu Puu (1991) “Chaos in Duopoly pricing” Chaos, Solitons & Fractals

Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained byusing linear costs and replacing the linear demand function by theeconomists’ “second-favourite” demand curve, the constant elasticity demand

21

11

qqQp

iii

i qcqq

q

21

i

jjii

j

i

i

c

qqqforc

qq

q

q

0221

– +

1

11122

1

22211

)())(()1(

)())(()1(

c

qtqtqrtq

c

qtqtqrtq

Van Witteloostuijn, A., Van Lier, A. (1990) Chaotic patterns in Cournot competition. Metroeconomica.

Van Huyck, J., Cook, J., & Battalio, R. (1984). Selection dynamics, asymptotic stability, and adaptive behavior. Journal of Political Economy, 102, 975–1005.

Dana, R.A., & Montrucchio, L. (1986). Dynamic complexity in duopoly games. Journal of Economic Theory, 40, 40–56.

Everything goes !

Kopel, M. (1996) Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly Models. Chaos, Solitons, and Fractals.

Linear demand function, cost function Ci = Ci(q1,q2) with positive cost externalities (spillover effect which gives some advantages due to the presence of the competitor)

r q q q r q q q1 2 1 2 2 2 1 2 1 11 1

1 and 2 represent the intensity of the positive externality

))(()(1)1(

))(()(1)1(:

122222

211111

tqrtqtq

tqrtqtqT

Adaptive adjustment (inertia, or anchoring )

Bischi, G.I., C. Mammana and L. Gardini (2000) «Multistability and cyclic attractors in duopoly games», Chaos, Solitons and Fractals.

1121222121 1;1 qqqrqqqr

Cournot with naive expectations (Best reply dynamics):

))(()1(

))(()1(:

122

211

tqrtq

tqrtqT

And reaction functions

y

x

1 = 2 = 3.4 1 = 2 = 11

1

00

ES

E2

E1C21( )

C22( )

)(1)()()()()1(

)(1)()()()()1(

222222

111111

tqtqtqtqtqtq

tqtqtqtqtqtqeeee

eeee

))(()(

))(()(

122

211

tqrtq

tqrtqe

e

))(()(1)1(

))(()(1)1(:

122222

211111

tqrtqtq

tqrtqtqT

eee

eee

Cournot Game (from beliefs to realizations)

Adaptive expectations

Dynamical system: )1(),1()(),(: 2121 tqtqtqtqT eeee

Bischi, G.I. and M. Kopel (2001) «Equilibrium Selection in a Nonlinear Duopoly Game with Adaptive Expectations» Journal of Economic Behavior and Organization

Problem of equilibrium selection:•Which equilibrium is achieved through an evolutive (boundedly rational) process?•What happens when several coexisting stable Nash equilibia exist?

Existence and local stability of the equilibriain the case of homogeneous expectations

223

2126

p

h

22 32

1

1

1

00 1 2 3

s sS sEi

transcritical O =

S

pitchfork E1 =

E1 =

S

4 5

1 3

1 5

61

sEi,C2

Z4

Z2

Z0

E2

E1

S

O 11( )

O

LC b( )

LC a( )

0

0

2.3

2.3

y

x

1 = 2 = 3.4 1 = 2 = 0.2 < 1/(+1)

(a)

Z4

Z2

E2

E1

O 11( )

O

LC b( )

LC a( )

0

0

1.4

1.4

y

x

1 = 2 = 3.4 1 = 2 = 0.5 > 1/(+1)

O 1

3( )

O 12( )

Z0

(b)

K

Noninvertible (“Many-to-One”) map . T

p’

p1

p2 T. .

Equivalently, we say that p’ has several rank-1 preimages. T1

-1

p’

p1

p2 T2-1. .

Distinct points are mapped into the same point

LC

LC-1

SH2

SH1

R1 R2

Z2 Z0

11T

12T

UU-1,2

U-1,1

x’

y’y

x

Folding action of T

Unfolding action of T-1

Critical curves separate regions Zk , Zk+2 characterized by different numbers of preimages. Each region Zk can be seen as the superposition of k sheets om which the k distinct “inverses” are defined, so the critical lines LC represent foldings, and the inverses “unfold” sheets along LC. 2

1 ( , ) | det ( , ) 0LC x y DT x y 1( ).LC T LC

1 1 1

2 2 2

1 1 2( , )

1 2 1

yDT x y

x

1 21

1 2 1 2

1 11 1:

2 2 4LC x y

LC-1

LC

( )1 1 1 1

1

,

1 1with

2

bLC K k k

k

( ) ( )1( )b bLC T LC

, ,

1 1 3(1 )

4

K k k where

k

In the homogeneous case

has a cusp point in

Theorem (Homogeneous behavior)

If , and the bounded trajectories converge to one of the stable Nash equilibria E1 or E2, then the common boundary B(E1) B(E2) which separates the basin B(E1)from the basin B(E2) is given by the stable set WS(S) of the saddle point S.

If then the two basins are simply connected sets;

if then the two basins are non connected sets, formed by infinitely many simply connected components.

0

0

1.2

1.1

y

x

1 = 2 = 3.6 1 = 0.55 2 = 0.7

Z4

Z2

Z0

LC a 1( )

LC b 1( )

LC b( )

LC a( )

E2

E1

S

0

0

1.2

1.1

y

x

1 = 2 = 3.6 1 = 0.59 2 = 0.7

Z4

Z2

Z0LC a

1( )

LC b 1( )

LC b( )

LC a( )

E2

E1

S)1(

1H

)2(1H

H 21( )

H 22( )

H 24( )

H 23( )

H0

Case of heterogenous players

Theorem …

0

0

1.1

1.1

y

x

1 = 2 = 3.9 1 = 0.7 2 = 0.8

S

A2

A1

E1

0

0

1.1

1.1

y

x

1 = 2 = 3.95 1 = 0.7 2 = 0.8

S

A2

Agiza, H.N., Bischi, G.I. and M. Kopel (1999) «Multistability in a Dynamic Cournot Game with Three Oligopolists», Mathematics and Computers in Simulation.

Bischi, G.I., L. Mroz and H. Hauser (2001) «Studying basin bifurcations in nonlinear triopoly games by using 3D visualization» Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications.

1 1 1 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 3 3 1 1

3 3 3 3 3 1 1 2 2

1 1 1

: 1 1 1

1 1 1

q q q q q q

T q q q q q q

q q q q q q