Misure ed Errori

Prof Valerio CURCIO

Errori nelle misure

Ogni misura, per quanto accurata e precisa, è affetta da errore. Errore non è sinonimo di “sbaglio”, ma sta ad indicare proprio che ogni strumento di misura, per diverse cause, ha dei “limiti” nel misurare. Basta pensare, ad esempio, alla sensibilità. E’ quindi impossibile ottenere il valore “reale” della misura di una qualsiasi grandezza fisica.

Errori sistematici

Un errore si dice sistematico se è causato da uno strumento di misura difettoso. Un cronometro tarato male, per esempio per difetto, avrà sempre la tendenza a stimare misure di tempo eccedenti rispetto alla realtà. Un righello deformato dal caldo non può offrire ovviamente una misura corretta.

Errori accidentali

Un errore si dice accidentale se viene commesso per semplice casualità. È un errore accidentale la lettura non in asse di uno strumento a scala, come ad esempio un termometro analogico. È un errore accidentale il ritardo nello starter di un cronometro, azionato a mano, dovuto al tempo di reazione di chi esegue la misura.

Teoria degli errori

Le misure ottenute con strumenti di misura, come detto, sono inevitabilmente affette da errori. Esistono però dei metodi, descritti dalla teoria degli errori, che servono a limitare al minimo l’incidenza degli errori stessi sulle misure. Parleremo di Valor Medio, Errore Assoluto, Intervallo di Incertezza, Errore Relativo ed Errore Percentuale.

Valore Medio

Supponiamo di aver eseguito n misure di una stessa grandezza con uno strumento di misura. L’insieme delle misure è il seguente:

｛ x1, x2, … , xn｝ .

Definiamo Valore Medio G il rapporto

n

xxxG n

21

Errore Assoluto

In un insieme di misure ｛ x1, x2, … , xn｝ c’è sempre una misura più grande, xmax, ed una più piccola, xmin. Si definisce Errore Assoluto ea (o Semidispersione Media) il rapporto

2minmax xx

ea

Intervallo di Incertezza

Come abbiamo detto, non è possibile ottenere una misura esatta. Risulta allora utile ottenere un intervallo minimo in cui siamo sicuri che ricade la misura esatta. Questo intervallo, detto Intervallo di Incertezza, è il seguente:

aeGx Dove x indica la misura esatta, G il valore medio e ea l’errore assoluto.

Intervallo di Incertezza

Scrivere una misura nel modo seguente:

kgm 02.051.12 significa che il valore della massa m che si sta cercando è tale che

kgmkg 53.1249.12 ossia che la massa m ha un valore compreso tra i 12.49 kg e i 12.53 kg.

Errore Relativo

Non sempre l’errore assoluto ci offre una stima efficiente del “peso” dell’errore stesso sulla misura. È più grave commettere un errore di 1 cm su 1 m, o di 1 m su 1 km? Sicuramente è più grave il primo. Perché?

Chiamiamo Errore Relativo er il rapporto:

G

ee ar

Errore Relativo

Ora vediamo il perché della risposta precedente. Nel primo caso abbiamo un errore relativo

01.01

01.0

m

mer

mentre nel secondo caso abbiamo

001.01000

1

m

mer

che è più piccolo del primo.

Errore Percentuale

Quando si fanno tante misure di una grandezza, siamo in grado di scartare quelle misure che sono fuori da un intervallo accettabile. L’Errore Percentuale ep, definito come segue, ha proprio questo scopo:

100 rp eee si esprime come percentuale, cioè col simbolo “%”.

Errore Percentuale

Tornando alla domanda precedente possiamo dire che nel primo caso avevamo

ep = 0.01×100 = 1%

mentre nel secondo caso

ep = 0.001×100 = 0.1%

Livello di Confidenza

L’errore percentuale serve a stabilire il livello di confidenza di una misura. Solitamente vengono scartate tutte quelle misure per le quali l’errore percentuale supera il 2%.

Questo parametro è fondamentale per quanto riguarda il controllo di qualità dei prodotti industriali, ma anche per tutte le costruzioni in generale; in questo caso si parla di “tolleranza”.

Importante

• Il valor medio, l’errore assoluto e l’intervallo di incertezza hanno la stessa unità di misura della grandezza misurata e, come tale, è obbligatorio specificarla sempre!

• L’errore relativo e l’errore percentuale, al contrario, sono numeri “puri”, ossia non possiedono alcuna unità di misura.

Arrotondamenti

Quante cifre bisogna indicare dopo la virgola, in un risultato decimale?

Nel caso di valore ottenuto da uno strumento di misura il problema non si pone essendo lo strumento stesso ad indicarle.

E se durante una misura indiretta (calcoli) otteniamo numeri a più cifre decimali?

In questo caso si scelgono tante cifre quante sono quelle relative alla sensibilità dello strumento col quale si è misurato, operando degli “arrotondamenti”.

Arrotondamenti

Un numero a più cifre decimali può essere sempre arrotondato per eccesso o per difetto.

Si arrotonda per eccesso quando si vuole un valore leggermente più alto di quello che si ha.

Si arrotonda per difetto quando si vuole un valore leggermente più basso di quello che si ha.

Eccesso e Difetto

1. Si sceglie il numero di cifre decimali da tenere.2. Si guarda la prima cifra decimale tra quelle da

scartare.3. Se essa è maggiore o uguale a 5 si aumenta di

1 l’ultima cifra decimale da tenere (arrotondamento per eccesso).

4. Se essa è minore di 5 si lascia inalterata l’ultima cifra decimale da tenere (arrotondamento per difetto).

Esempio

Si vuole arrotondare a 3 cifre decimali il numero 11.3567099.

11.3567099In rosso sono le cifre da tenere. La prima cifra

da scartare, il 7 (in blu), essendo maggiore di 5, fa sì che il numero finale diventi

11.357L’arrotondamento eseguito è per eccesso.

Esempio

Si vuole arrotondare a 2 cifre decimali il numero 15.9523137.

15.9523137In rosso sono le cifre da tenere. La prima cifra

da scartare, il 2 (in blu), essendo minore di 5, fa sì che il numero finale diventi

15.95L’arrotondamento eseguito è per difetto.

Cifre significative

Si chiamano Cifre Significative di una misura le cifre “certe” e la prima “incerta”, in riferimento all’intervallo di incertezza. In generale, il numero delle cifre significative si trova contando la cifra incerta e le cifre che stanno alla sua sinistra fino all’ultima cifra, se essa è diversa da zero.

Esempi

• 12.45 ha 4 cifre significative

• 47.3 ha 3 cifre significative

• 0.34 ha 2 cifre significative

• 0.340 ha 3 cifre significative

• 23.073 ha 5 cifre significative

• 10.0220 ha 6 cifre significative

• 0.001 ha 3 cifre significative

Propagazione degli errori

Quando si eseguono misure indirette, cioè quando si fanno calcoli con le misure di grandezze (per esempio calcoli di aree o volumi), gli errori si propagano nei calcoli. Vediamo come risultano l’errore assoluto e relativo a seguito di operazioni matematiche.

Somma e differenza

Se X è una misura indiretta, ottenuta dalla somma o dalla differenza di due misure omogenee a e b, allora

ea(X) = ea(a) + ea(b).Gli errori assoluti di a e b si sommano sempre,

indipendentemente dal fatto che la misura X sia ottenuta come somma o come differenza tra a e b.

Il tutto vale anche se le misure sono più di due.

Prodotto e quoziente

Se X è una misura indiretta, ottenuta dal prodotto o dal quoziente di due misure a e b, allora

er(X) = er(a) + er(b).Gli errori relativi e percentuali di a e b si

sommano sempre, indipendentemente dal fatto che la misura X sia ottenuta come prodotto o come quoziente tra a e b.

Il tutto vale anche se le misure sono più di due.