Misure ali Slides

5/11/2018 Misure ali Slides - slidepdf.com

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Misure Industriali con Strumenti

AnalogiciCorso di Misure Elettriche

http: // sms.unipv.it / misure /

Piero Malcovati

Dipartimento di Ingegneria Elettrica

Universita di Pavia

[email protected]

Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 1 / 158



Indice

1 Generalita

2 Misure in Corrente Continua

Misure di TensioneMisure di Corrente

Misure di Resistenza

Misure di Potenza

3 Misure di Tensione in Corrente Alternata

4 Misure di Corrente in Corrente Alternata

5 Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale

Misure di Potenza Attiva

Misure di Potenza Reattiva

Misure di Potenza Apparente

Misure di Fattore di Potenza

Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della Corrente6 Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale







Indice

7 Misure in Regime Non-Sinusoidale

Misure di Tensione e Corrente

Misure di Potenza AttivaMisure di Potenza Reattiva


Teoria di Budeanu

8 Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo

Apparecchio di Epstein

Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale

Separazione delle Perdite

Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-SinusoidaleMisura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica




Generalita

Le misure di tipo industriale sono quelle che si eff ettuano per il rilievodi grandezze su apparati, macchine ed impianti, al fine di verificarne le

condizioni di funzionamento o la rispondenza a specifiche tecniche

Le misure di tipo industriale consentono, in genere, incertezze

relativamente piu elevate di quelle che si ammettono nelle misure di

laboratorio

Gran parte delle misure sono indirette, in quanto la stima del misurando

viene ottenuta dalla elaborazione delle indicazioni di due o piu

strumenti

Le misure industriali possono essere eff ettuate con strumenti

elettromeccanici analogici o con strumenti elettronici analogici e

digitali, con numerose possibili alternative




Generalita

Al giorno d’oggi gli strumenti elettromeccanici analogici tendono a

essere rimpiazzati da strumenti digitali

Tuttavia, le problematiche legate all’uso degli strumenti analogici sono

utili per evidenziare aspetti che, con l’uso di strumenti digitali, si tende

a trascurarePertanto, conviene fare riferimento a misure eff ettuate con strumenti

elettromeccanici analogici, considerando che le argomentazioni e i

metodi trattati valgono anche per le misure eff ettuate con strumenti

digitali, benche alcuni aspetti diventino di secondaria importanza




Misure in Corrente Continua

Le misure in corrente continua possono riguardare

Tensioni

Correnti

Resistenze

Potenze

Le misure di resistenza e potenza sono indirette in quanto ottenute dalla

elaborazione delle indicazioni di piu strumenti

Le misure di tensione, corrente, resistenza e potenza in regime

permanente (corrente continua) si possono eff ettuare utilizzando

strumenti magnetoelettrici

Nelle misure in corrente continua si presuppone che l’oggetto

sottoposto a misura sia lineare (indipendente dal valore delle grandezzein gioco) e non sia polarizzabile (per cui sono escluse misure su

semiconduttori e liquidi)




Misure di Tensione

Per la misura di tensioni continue si puo ricorrere all’uso di un

voltmetro indicatore di tipo magnetoelettricoPoiche la bobina mobile dello strumento e realizzata con filo sottile di

rame, la cui resistivita e funzione della temperatura, in serie alla bobina

viene sempre montato un resistore a filo di materiale avente coefficiente

di temperatura trascurabile (manganina) e di valore piu elevato di

quello della bobina stessaIl valore di fondo scala viene, cosı raggiunto con un ben definito valore

di tensione (per esempio 50 mV)

La bobina con in serie il resistore in manganina presenta, allora, una

resistenza globale r , che prende il nome di resistenza interna dello

strumento ed e dell’ordine delle decine di ohmSe lo strumento deve essere predisposto per misurare tensioni piu

elevate di quella determinata da r , si pone in serie ad r una ulteriore

resistenza R, detta resistenza addizionale




Misure di Tensione

V

I R

r V0VR V

Si puo allora scrivere la relazione

V = V 0 + V R = ( R + r ) I 0 =r + R

r V 0

La tensione applicata V e legata alla tensione V 0 letta dallo strumento

dal coefficientek V =

r + R

r

che e detto potere moltiplicatore della resistenza addizionale




Misure di Tensione

Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso sono,

spesso, montate piu resistenze addizionali in serie commutabili, in

modo da poter disporre di piu portate (piu poteri moltiplicatori)

Normalmente non si superano per ragioni di sicurezza i 600 V con 3 o 4

portate

Ad ogni portata e associata la costante strumentale k per la quale sideve moltiplicare la lettura per ottenere la grandezza cercata, data da

k =Portata

Numero di Divisioni

V M = kV div

dove V div denota la lettura in divisioni dello strumento




Misure di Tensione

V

I R1 R2 R3

*

P1

P2 P3

I voltmetri magnetoelettrici possono appartenere a classi di precisione

anche fino a 0.1

Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza

tipo che grava sulla misura risulta

u (V M ) =Classe · Portata

100√

3




Misure di Tensione

L’incertezza tipo relativa e, invece, data da

u (V M ) =Classe · Portata

100√

3V M

Per determinare l’incertezza estesa U (V M ), si scelgono opportunamente

il livello di confidenza e il fattore di coperturaIl risultato della misurazione sara, quindi

V = V M ± U (V M )

Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato




Misure di Corrente

Per la misura di correnti continue si possono utilizzare strumenti

magnetoelettrici, ma poiche la corrente che puo essere sopportata dalla

bobina mobile e molto piccola (qualche milliampere), e solitamentenecessario ricorrere all’impiego di derivatori (shunt)

La resistenza interna dello strumento r e costituita dalla serie della

resistenza propria della bobina e di una resistenza a filo in manganina,

in modo da rendere r il piu possibile indipendente dalla temperatura

IS

I

S r A

I0

Si possono scrivere le relazioni

SI S = rI 0, I = I S + I 0




Misure di Corrente

La corrente da misurare I risulta, quindi

I = r + SS

I 0

La corrente da misurare I e legata alla corrente I 0 che attraversa lo

strumento dal coefficiente

k A =r + S

S

detto potere moltiplicatore dello shunt

Con l’artificio descritto, uno stesso strumento puo essere impiegato per

misurare correnti da pochi milliampere fino a diverse migliaia di

ampere, precisando che esso deve essere tarato assieme ai propri shunt

Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso shunt

sono, spesso, montate piu resistenze in serie commutabili, in modo da

poter disporre di piu portate (piu poteri moltiplicatori)




Misure di Corrente

Ad ogni portata e associata la costante strumentale k , per la quale si

deve moltiplicare la lettura per ottenere la grandezza cercata, data da

k = Portata Numero di Divisioni

I M = kI div

dove I div denota la lettura in divisioni dello strumento

I

S3

*

AS2

S1

P1

P2

P3




Misure di Corrente

La classe di precisione di un amperometro magnetoelettrico puo essere

elevata (classe 0.1 o 0.2)

Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza

tipo che grava sulla misura risulta

u ( I M ) =Classe · Portata

100 √ 3L’incertezza tipo relativa e, invece, data da


100√

3 I M

Per determinare l’incertezza estesa U ( I M ), si scelgono opportunamente

il livello di confidenza e il fattore di copertura




Misure di Corrente

Bisogna porre attenzione agli eff etti delle connessioni tra shunt e

strumento, che possono incidere sulla accuratezza della misura, se laloro resistenza non e trascurabile rispetto a quella interna dello

strumento (che e solitamente dell’ordine di qualche ohm)

In tal caso, la misura risulta aff etta da errore sistematico (di segno noto,

si misura in meno), ma non definito in ampiezza

Di conseguenza, risulta aumentata l’incertezza che grava sulla misura

Il risultato della misurazione sara, quindi

I = I M ± U ( I M )



Mi di R i




Uno dei metodi piu semplici per eff ettuare misure di resistenza e il

metodo voltamperometrico, che prevede l’impiego di due strumenti

magnetoelettrici, un voltmetro e un amperometroSi possono realizzare in alternativa due schemi

A

V

VUV

IM

RA

RV

A

V

V

IM IU

IVRA

RV

RU

VM

VA

VM

VU RU

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro

a valle dell’amperometro


Mi di R i




Risulta immediato constatare che, mentre il voltmetro e alimentato

esattamente dalla tensione ai capi dell’oggetto RU , del quale si vuole

determinare il valore di resistenza, la corrente misuratadall’amperometro e la somma di quella che circola nell’utilizzatore e di

quella assorbita dal voltmetro (autoconsumo)

Nella misura di corrente si commette, quindi, un errore di tipo

sistematico dovuto all’autoconsumo del voltmetro

Si possono, infatti, scrivere le relazioni

V M = V U

I M = I U + I V

La resistenza incognita RU e data da

RU =V U

I U


Mi di R i t




Si misura, invece, la resistenza R M data da

R M = V U

I M = V U

I U + I V

Quindi, essendo

I U < I M

appare evidente che si commette un errore sistematico di segnonegativo (si misura in meno)

L’errore e tanto minore, quanto minore e il valore di I V

In pratica, invece di RU , si misura il parallelo tra RV (resistenza interna

del voltmetro, RV = V U / I V ) e RU , per cui il valore di resistenza

incognito risulta RU =

RV R M

RV − R M

Si osservi che, se RV → ∞, si ottiene RU = R M


Mi di R i t




In modo analogo si puo trattare il caso del circuito con l’amperometro a

valle del voltmetro

Risulta immediato constatare che, mentre l’amperometro e percorso

esattamente dalla corrente che fluisce nell’oggetto RU , del quale si

vuole determinare il valore di resistenza, la tensione ai capi del

voltmetro e la somma di quella ai capi dell’utilizzatore e della caduta di

tensione sull’amperometro (autoconsumo)Nella misura di tensione si commette, quindi, un errore di tipo

sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro

Si possono scrivere le relazioni

V M = V U + V A

I M = I U






La resistenza misurata risulta, quindi

R M =

V U

I M

=V U + V A

I U

= RU + R

A

dove R A = V A/ I U e la resistenza interna dell’amperometro

Si osservi che, se R A → 0, si ottiene RU = R M

Il valore della resistenza incognita e dato da

RU = R M − R A

L’errore sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro e

positivo (si misura in piu)

Esso e tanto minore, quanto piu piccolo e il valore di R A rispetto a

quello della resistenza da misurareLa scelta dello schema da utilizzare non e arbitraria e ci si deve

orientare verso lo schema con voltmetro a valle per la misura delle

resistenze di basso valore (sotto i 10 Ω) e allo schema con amperometro

a valle per la misura di resistenze elevate (oltre i 1000 Ω)






Nel campo intermedio, possono essere valide entrambe le alternative

Si osserva, infine, che, se si eff ettua la misura senza correggere l’errore

sistematico, e come se si operasse con strumenti di classe inferiore, inquanto l’errore sistematico viene, in pratica, inglobato in quello

attribuito al caso, aumentando quindi l’incertezza

In ogni occasione, e necessario valutare l’opportunita o meno di

eff ettuare la correzione dell’errore sistematico

L’incertezza che grava sulla stima della resistenza del misurando deveessere valutata in base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente,

determinando, quindi, l’incertezza composta

In generale, si assume come modello del misurando

RU = V M

I M

ovvero si trascura, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo

dell’incertezza, il termine di correzione dell’errore sistematico






L’incertezza tipo relativa sulla misura di resistenza risulta

u ( RU ) =

u (V M )

2

+ u ( I M )

2

L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi

u ( RU ) = u ( RU ) RU

Per determinare l’incertezza estesa U ( RU

), si scelgono opportunamente



R = RU ± U ( RU )


Una variante del metodo voltamperometrico, particolarmente adatta per

la misura di resistenze di valore ridotto, e il cosiddetto metodo del

confronto






Rx Rk

I I

VV

VkVx

Questo metodo si basa sul confronto tra le cadute di tensione provocate

dal resistore incognito R x e da un resistore campione Rk , dotati diquattro terminali (due di tensione e due di corrente), collegati in serie

fra loro attraverso i terminali di corrente e facenti capo alla sorgente di

alimentazione






Ai terminali di tensione di questi due resistori sono connessi due

voltmetri, che misurano le cadute di tensione V x e V k ai capi,rispettivamente, di R x e Rk

Considerando che le resistenze sono connesse in serie, valgono le

relazioniV x

R x

=V k

Rk

R x =V x

V k

Rk

Un resistore variabile viene generalmente inserito nel circuito in serie

alla sorgente di alimentazione: esso funge da regolatore della corrente

che circola attraverso R x e Rk , dato che si tratta, in genere, di resistenze

molto basse






Compatibilmente con l’esigenza di non provocare un riscaldamento di

questi due resistori, la corrente deve essere mantenuta al valore piu

elevato possibile, poiche in tal modo sono maggiori le cadute di

tensione su R x e Rk , che, come si e visto, sono le grandezze che

vengono valutate dai voltmetri

Si noti che V x e V k e, quindi, la misura di resistenza risultano, in prima

approssimazione, indipendenti dalle resistenze di contatto, in quanto

attraverso i terminali di tensione di R x e Rk fluiscono correnti

estremamente ridotte (molto minori della corrente I che fluisce

attraverso i terminali di corrente)

L’incertezza tipo relativa sulla misura di resistenza risulta

u ( R x) =

u (V x)

2

+ u (V k )

2

+ u ( Rk )

2

dove u ( Rk ) e l’incertezza tipo relativa della resistenza campione

L’accuratezza di Rk viene, normalmente, espressa in termine di classe

di precisione (data in percentuale) con distribuzione rettangolare






Pertanto, l’incertezza tipo di Rk e data da

u ( Rk ) = Classe100

√ 3

L’incertezza tipo assoluta sulla misura di resistenza risulta, quindi

u ( R x) = u ( R x) R x

Per determinare l’incertezza estesa U ( R x), si scelgono opportunamente



R = R x ± U ( R x)

Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare

nell’espressione del risultato


Misure di Potenza



Misure di Potenza

Uno dei metodi piu comuni per eff ettuare misure di potenza in circuiti

in corrente continua prevede l’impiego di un voltmetro e di un

amperometro magnetoelettriciSi possono realizzare in alternativa due schemi

A

V

VUV

IM

RA

RV

A

V

V

IM IU

IVRA

RV

RU

VM

VA

VM

VU RU

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro

a valle dell’amperometro


Misure di Potenza



Misure di Potenza

La potenza da misurare e data da

PU = V U I U

La potenza misurata risulta

P M = V U I M = V U ( I U + I V ) = PU +V 2

U

RV

nella quale RV denota la resistenza interna del voltmetro

Appare evidente che l’errore sistematico e positivo (si misura in piu) ed

e tanto minore, quanto piu elevato e il valore di RV (il voltmetro ideale e

quello con RV → ∞)

L’errore sistematico puo essere corretto, se e nota RV , tramite larelazione

PU = P M −V 2

U

RV


Misure di Potenza



Misure di Potenza

In modo analogo, si puo trattare il caso del circuito con l’amperometro

a valle del voltmetro

La potenza misurata e data da

P M = V M I U = (V U + V A) I U = PU + I 2U R A

nella quale R A denota la resistenza interna dell’amperometro

L’errore sistematico che si commette e positivo (si misura in piu) ed etanto minore, quanto piu piccolo e il valore di R A (l’amperometro ideale

e quello con R A → 0)

Il valore della potenza misurata puo essere corretto, se e nota R A,

tramite la relazione

PU = P M − I

2

U R A

L’incertezza che grava sulla stima della potenza deve essere valutata in

base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente, determinando,

quindi, l’incertezza composta


Misure di Potenza



In generale, si assume come modello del misurando

PU = V M I M

ovvero si trascura, in quanto praticamente ininfluente per il calcolodell’incertezza, il termine di correzione dell’errore sistematico

L’incertezza tipo relativa sulla misura di potenza risulta

u (PU ) = u (V M )2 + u ( I M )

2


u (PU ) = u (PU ) PU

Per determinare l’incertezza estesa U (PU ), si scelgono opportunamente


Il risultato della misurazione sara, quindiP = PU ± U (PU )




Misure di Tensione in Corrente Alternata



Di una tensione alternata presentano significato tre valori: il valore

efficace, il valore medio sul semiperiodo e il valore di cresta (o valore

massimo), la cui importanza varia a seconda del fenomeno in esameI rapporti tra i tre valori citati, se la forma d’onda della tensione e

sinusoidale, assumono valori costanti e definiti

Infatti, valgono le relazioni

V C = √ 2V e V m = 2 √ 2π

V

essendo

V il valore efficace

V C il valore di cresta o valore massimo, V /V C = 1/√

2 0.707 e detto

fattore di crestaV m il valore medio sul semiperiodo, V /V m = π/

2

√ 2 1.11 e detto

fattore di forma

Per misurare il valore efficace di tensioni alternate (sinusoidali o meno)

si puo ricorrere a strumenti indicatori di tipo elettromagnetico





Alla parte fondamentale dello strumento vengono aggiunte resistenzeaddizionali per ottenere piu portate (e quindi piu costanti)

Le portate tipiche variano da alcune decine ad alcune centinaia di volt

Per misurare tensioni piu elevate si puo ricorrere alla interposizione di

trasformatori di tensione

Le tipiche classi di precisione sono 0.2 e 0.5

Per misurare il valore medio sul semiperiodo di tensioni alternate (il

valore medio di una grandezza alternata esteso ad un intero periodo e

nullo per definizione), si puo ricorrere all’uso di uno strumento

magnetoelettrico, preceduto da un raddrizzatore





Vi Vu

V

T e n s i o n e

Tempo

Vi

Vu

Per eff etto del raddrizzatore, nella bobina mobile dello strumento

magnetoelettrico fluisce una corrente unidirezionale periodica

Se la pulsazione di risonanza dell’equipaggio mobile ω0 enotevolmente piu bassa della pulsazione della tensione da misurare

(ω = 2π f ), la deviazione dell’indice risulta proporzionale al valore

medio sul semiperiodo della tensione in ingresso (V m)





Infatti

V m =

2

T T /2

0V C sin (ωt ) dt

dove V C e il valore di cresta della tensione, T = 2π/ω e t il tempo

Sugli strumenti concepiti per misurare il valore medio sul semiperiodo

della tensione, la scala e di solito tracciata tenendo conto del fattore di

forma π/2 √ 2

relativo ad un’onda sinusoidale, in modo che la letturadello strumento corrisponda al valore efficace della tensione sinusoidale

che ha valore medio sul semiperiodo uguale a quello della tensione

misurata (taratura in valore efficace)

La presenza dei raddrizzatori fa sı che questi strumenti abbiano classe

di precisione non migliore di 0.5Il valore di cresta di una tensione alternata puo essere misurato, sotto

certe condizioni, ancora con uno strumento magnetoelettrico





ViVuIi = Id

Vd

C V

Un condensatore, connesso alla tensione di ingresso V i attraverso un

diodo, tende a caricarsi al valore di cresta di V i (a meno della caduta ditensione V d dul diodo)

Considerando la resistenza interna R dello strumento magnetoelettrico e

la capacita C del condensatore, se il prodotto RC risulta notevolmente

superiore alla durata del periodo T = 1/ f = 2π/ω di V i, il condensatore

si scarica poco durante il tempo in cui la tensione non e al valore dicresta

Di conseguenza, l’indicazione dello strumento risulta praticamente

proporzionale al valore di cresta stesso





L’incertezza tipo che grava su una misura di tensione in corrente

alternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, risulta

u (V M ) = Classe · Portata100

√ 3


u (V M )=

Classe

·Portata

100 √ 3V M

Per determinare l’incertezza estesa U (V M ), si scelgono opportunamente



V = V M ± U (V M )




Misure di Corrente in Corrente Alternata



Per la misura delle correnti alternate e, in generale, richiesto il valore

efficace I , per cui si puo ricorrere all’impiego di strumenti

elettromagneticiNegli amperometri elettromagnetici, la bobina viene realizzata con

poche spire di sezione relativamente elevata

Molte volte la bobina e suddivisa in due parti uguali che possono essere

collegate in serie o in parallelo, per ottenere cosı uno strumento con due

portate

I

I

I

I

Connessione in Serie Connessione in Parallelo

I I

I/2

I/2





Gli amperometri elettromagnetici hanno normalmente portate non

superiori a 10 A

Per misurare correnti piu elevate si puo ricorrere alla interposizione ditrasformatori di corrente, in quanto l’uso di shunt non e possibile per la

presenza di parametri non puramente ohmici

Per misure di laboratorio fino a 500 Hz, sono abbastanza diff usi

amperometri elettromagnetici in classe 0.2 e 0.5

L’incertezza tipo che grava su una misura di corrente in correntealternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, risulta


100√

3



100√

3 I M





Per determinare l’incertezza estesa U ( I M ), si scelgono opportunamente



I = I M ± U ( I M )




Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime



Sinusoidale

In un circuito monofase in regime sinusoidale, la potenza istantanea ( p)e uguale al prodotto dei valori istantanei di tensione (v) e corrente (i)

p = vi = V C sin (ωt ) I C sin (ωt + ϕ)

dove V C e I C sono i valori di cresta delle grandezze in gioco, ω la

pulsazione, ϕ l’angolo di sfasamento tra le due grandezze (ritardo dellacorrente sulla tensione) e t il tempo

Sviluppando il prodotto, si ottiene la relazione

p = VI cos (ϕ) + VI sin (2ωt + ϕ)

nella quale V e I rappresentano i valori efficaci di tensione e corrente

La potenza istantanea e formata da un termine costante VI cos (ϕ) e da

un termine sinusoidale con pulsazione doppia VI sin (2ωt + ϕ)


Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime



Sinusoidale

La potenza attiva P e, per definizione, il valore medio di p sul periodo

P = VI cos (ϕ)

in quanto VI sin (2ωt + ϕ) ha valore medio sul periodo nullo

T e n s i o n e ,

C o r r e n t e ,

P o t e n z

a

Tempo

v

i p

P

Tv

= Ti

= 2 Tp





Lo strumento analogico classico per la misura della potenza attiva e il

wattmetro elettrodinamico, che fornisce una indicazione proporzionale

al valore medio della potenza istantanea

Alla bobina fissa viene inviata la corrente (amperometrica), mentre la

bobina mobile e sottoposta alla tensione (voltmetrica)

Possono essere utilizzate due possibili inserzioni

V

IU

RV

W

U VU

RA

V

IU

RV

W

U VU

RA

I I





I wattmetri da laboratorio hanno solitamente la bobina amperometrica

realizzata con poche spire di sezione relativamente elevata, suddivisa in

due parti uguali, che possono essere messe in serie o parallelo (due

portate amperometriche)

La bobina voltmetrica e invece costituita da molte spire di sezione

ridotta, associate alla quale vi sono piu resistenze addizionali (piu

portate voltmetriche)

Ad ogni combinazione tra le portate amperometrica e voltmetrica

corrisponde una portata wattmetrica, data dal prodotto tra la portata

amperometrica e la portata voltmetrica

La costante (k ) dello strumento e determinata dal rapporto tra la portata

wattmetrica e il numero delle divisioni della scala

k =Portata

Numero di Divisioni





La potenza attiva misurata e, quindi, data da

P M = kPdiv

dove Pdiv denota la lettura in divisioni dello strumento

La misura eff ettuata con il wattmetro e aff etta da errore sistematico, la

cui entita dipende dall’autoconsumo dello strumento e il cui segno e

sempre positivo (si misura sempre in piu)

Nel caso in cui la voltmetrica e derivata a valle dell’amperometrica, si

puo osservare, in analogia con quanto esposto a proposito delle misure

in corrente continua, che la tensione applicata allo strumento e

esattamente quella esistente ai morsetti dell’utilizzatore, mentre la

corrente che fluisce nello strumento comprende anche la quota parte

assorbita dalla bobina voltmetrica





Il wattmetro misura, quindi, una potenza (P M ) piu grande di quella

realmente assorbita dall’utilizzatore (PU ), secondo la relazione

P M = PU +V 2U

RV

L’errore sistematico relativo e dato da

% = 100

V 2U / RV

PU

Il valore di PU si puo trovare immediatamente, se e noto il valore di RV

(correzione dell’errore sistematico), utilizzando la relazione

PU = P M −V 2

U RV

Analogamente, si puo trattare lo schema che prevede l’amperometrica

inserita a valle della voltmetrica





Anche in questo caso il wattmetro misura in piu, secondo la relazione

P M = PU + I 2U R A

L’errore sistematico relativo e dato da

% = 100 I 2

U R A

PU

L’errore sistematico puo essere corretto, se si conosce il valore di R A,utilizzando la relazione

PU = P M − I 2U R A

Si noti che, a diff erenza di RV , la resistenza R A non e indipendente dalla

temperatura, in quanto la bobina amperometrica e realizzata in rame

Si deve, infine, osservare che la correzione dell’errore sistematico puo

essere fatta comunque, anche quando, ad esempio, nel circuito sono in

gioco potenze reattive





Un’altra causa di errore sistematico, che e pero di difficile valutazione,

e dovuta al fatto che il circuito voltmetrico non e puramente resistivo

(prevale in genere l’eff etto induttivo della bobina voltmetrica), per cui

la corrente nello stesso non e perfettamente in fase con la tensione

Un altro parametro, che puo portare a errori dello stesso tipo, e la mutua

induttanza esistente tra le due bobine

Nella costruzione degli strumenti si fa in modo di ridurre al minimo

queste sorgenti di errore

Prescindendo dagli autoconsumi, la potenza misurata risulta

P M = VI cos (ϕ − θ )

essendo θ l’angolo tra la tensione applicata alla voltmetrica e la relativa

corrente

Sviluppando, si ottiene

P M = VI cos (ϕ) cos (θ ) + VI sin (ϕ) sin (θ )





V

I

ϕIV

θ

Essendo l’angolo θ molto piccolo, si puo assumere cos (θ ) = 1, per cui,semplificando, si ricava

P M = VI cos (ϕ) + VI sin (ϕ) sin (θ ) = PU

1 + tan (ϕ) sin (θ )



’ i i l i l i di



L’errore sistematico percentuale risulta, quindi

% = 100P M − PU

PU

= 100 tan (ϕ) sin (θ )

L’errore sistematico che si commette non dipende solo dallo strumento

ma anche dalle caratteristiche del circuito (sarebbe nullo per ϕ = 0 e

infinito per ϕ = 90)

Risulta, pertanto, che le misure a basso fattore di potenza possono

risultare critiche per quanto riguarda l’accuratezza raggiungibile

Ad esempio, per cos(ϕ) = 0.05 si ha

tan (ϕ) 1

cos (ϕ)= 20

Se l’errore proprio di fase θ del wattmetro fosse pari a 0.002 rad

(0.2 crad), l’errore sistematico sulla misura di potenza sarebbe pari al

4% (di valore positivo se il misurando e induttivo, negativo se e

capacitivo)



P i h´ il l di θ ` ` ` i ibil



Poiche il valore di θ non e noto e non e neppure costante, e impossibile

procedere alla correzione dei risultati, per cui il problema finisce per

ricadere nella valutazione dell’incertezza da associare al risultato della

misurazioneSi deve anche rilevare che per bassi valori di cos (ϕ), la deviazione

dell’indice dello strumento, date le portate voltmetrica e

amperometrica, risulta molto ridotta, per cui l’errore relativo dello

strumento, risulta elevato

Assumendo di avere valori di tensione e corrente pari, rispettivamente,alle portate voltmentrica e amperometrica, risulta

=Classe

100 cos (ϕ)

Per ovviare a questo inconveniente, si puo ricorrere all’uso di wattmetri

per basso cos (ϕ), che sono strumenti piu pregiati, nei quali la coppia

antagonista e ridotta, in modo che la portata wattmetrica dello

strumento sia pure ridotta, mantenendo inalterate le portate voltmetrica

e amperometrica





Ad esempio, un wattmetro per cos (ϕ) = 0.2 si porta a fondo scala con

una potenza attiva pari a 1/5 di quella corrispondente al prodotto VI ,

essendo V la portata voltmetrica e I quella amperometricaLa portata wattmetrica di un wattmetro per un dato cos (ϕ) risulta,

quindi, VI cos (ϕ)

Il valore di cos (ϕ), se diverso da 1, e normalmente indicato sullo

strumento

I wattmetri elettrodinamici possono appartenere a classi di precisione

anche fino a 0.1

Date la classe di precisione dello strumento e la portata, trascurando, in

quanto praticamente ininuente, il termine di correzione dell’errore

sistematico, l’incertezza tipo che grava sulla misura risulta

u (PU ) = u (P M ) =Classe · Portata

100√

3






u (PU ) = u (P M ) =Classe · Portata

100√

3PU




P = PU ± U (PU )







Quando le grandezze sono sinusoidali, la determinazione della potenza

reattiva potrebbe essere, in linea di principio, eff ettuata ricorrendo ad un

varmetroPossono essere utilizzate due possibili inserzioni

V

var

U

I

V

var

U

I

Tuttavia, gli artifici circuitali utilizzati per realizzare un varmetro di

questo tipo garantiscono una misura corretta solo per una ben

determinata frequenza





Pertanto, generalmente, la determinazione della potenza reattiva Q

viene eff ettuata per via indiretta ed elaborando le indicazioni di

wattmetro, amperometro e voltmetro (sono quindi necessari trestrumenti)

Possono essere utilizzate due possibili inserzioni

A

V

VUV RA

RV

RA,WRV,W

A W

V

V

W

I

VM

U

IM IM

VM

UVU

U IU

Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 55 /

158




Con entrambi gli schemi, la potenza reattiva risulta data da

QU =

(V M I M )

2 − P2 M

dove P M e la potenza attiva fornita dal wattmetro, mentre V M e I M sono,

rispettivamente, la tensione misurata dal voltmetro e la corrente

misurata dall’amperometro

Questa misurazione non e aff etta da errori sistematici dovuti agli

autoconsumi, in quanto essi contribuiscono solo alla potenza attiva

L’incertezza che grava sulla misura della potenza reattiva deve essere

valutata in base alle incertezze tipo relative a tensione, corrente e

potenza, determinando, quindi, l’incertezza composta

Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 56 /

158




In particolare, l’incertezza tipo assoluta sulla misura di potenza reattiva

risulta

u (QU ) =

P2

M u (P M )

2

V 2 M

I 2 M

− P2 M

+ I 4

M V 2

M u (V M )

2

V 2 M

I 2 M

− P2 M

+V 4

M I 2

M u ( I M )

2

V 2 M

I 2 M

− P2 M

Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si scelgono opportunamente



Q = QU ± U (QU )






Poiche non esiste uno strumento analogico capace di fornire

direttamente la potenza apparente S, occorre eff ettuare una misura per

via indiretta, elaborando le indicazioni di amperometro e voltmetroPossono essere utilizzate due possibili inserzioni

La grandezza da misurare viene ottenuta dal prodotto delle indicazioni

di voltmetro (V M ) e amperometro ( I M )

S M = V M I M

A

V

VUV RA

A

V

V

I

VM

U

IM IM

VM

UVU

U IU



In linea di principio questa misurazione e affetta da errore sistematico



In linea di principio, questa misurazione e aff etta da errore sistematico

In molti casi, tuttavia, l’errore sistematico non viene corretto, in quanto

la potenza apparente presenta importanza notevolmente ridotta rispetto

alla potenza attiva

Per poter correggere l’errore sistematico nella misura di potenza

apparente, occorre conoscere l’angolo di sfasamento tra tensione e

corrente dell’oggetto sotto misura, ovvero, occorre misurare anche la

potenza attiva e la potenza reattiva

A

V

VUV RA

RV

RA,WRV,W

A W

V

V

W

I

VM

U

IM IM

VM

UVU

U IU





La potenza attiva corretta, in questo caso, a seconda dello schema di

inserzione utilizzato, e data da

PU = P M −V 2

U

RV

− V 2U

RV ,W

dove RV e RV ,W sono, rispettivamente, le resistenze interne del

voltmetro e delle voltmetriche del wattmetro, oppure

PU = P M − I 2U R A − I 2U R A,W

dove R A e R A,W sono, rispettivamente, le resistenze interne

dell’amperometro e delle amperometriche del wattmetro

La potenza reattiva risulta data da

QU =

(V M I M )

2 − P2 M



La potenza apparente corretta e, quindi, data da



La potenza apparente corretta e, quindi, data da

SU = P2U + Q2

U

Nel caso in cui si utilizzi l’inserzione con le voltmetriche del wattmetro

e il voltmetro inseriti a valle dell’amperometro e delle amperometriche

del wattmetro, la tensione misurata e eff ettivamente la tensione ai capi

dell’utilizzatore (V U = V M ), mentre la corrente che fluisce

nell’utilizzatore e data da

I U =SU

V M

Invece, nel caso in cui si utilizzi l’inserzione con le voltmetriche del

wattmetro e il voltmetro inseriti a monte dell’amperometro e delle

amperometriche del wattmetro, la corrente misurata e eff ettivamente la

corrente che fluisce nell’utilizzatore ( I U = I M ), mentre la tensione aicapi dell’utilizzatore e data da

V U =SU

I M



L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente deve essere



ce te a c e g ava su a su a d pote a appa e te deve esse e

valutata come incertezza composta

In genere, si assume come modello del misurando

SU = V M I M



L’incertezza tipo relativa sulla misura di potenza apparente risulta

u (SU ) =

u (V M )

2 + u ( I M )2


u (SU ) = u (SU ) SU

Per determinare l’incertezza estesa U (SU ), si scelgono opportunamente







S = SU ± U (SU )






Per la misura del fattore di potenza, occorre utilizzare le indicazioni di

wattmetro (P M ), amperometro ( I M ) e voltmetro (V M )

A

V

VUV RA

RV

RA,WRV,W

A W

V

V

W

I

VM

U

IM IM

VM

UVU

U IU

Il fattore di potenza e dato da

cos (ϕ M ) =P M

S M

=P M

V M I M



Questa misura e aff etta da errore sistematico, per via degli autoconsumi



degli strumenti

La potenza attiva corretta, a seconda dello schema di inserzione

utilizzato, e data da

PU = P M −V 2

U

RV

− V 2U

RV ,W

dove RV e RV ,W sono, rispettivamente, le resistenze interne del

voltmetro e delle voltmetriche del wattmetro, oppure

PU = P M − I 2U R A − I 2U R A,W

dove R A e R A,W sono, rispettivamente, le resistenze interne

dell’amperometro e delle amperometriche del wattmetroLa potenza reattiva risulta data da

QU =

(V M I M )

2 − P2 M



La potenza apparente corretta e data da



La potenza apparente corretta e data da

SU = P2

U

+ Q2

U

Il fattore di potenza corretto risulta, quindi, dato da

cos (ϕU ) =PU

SU

L’incertezza che grava sulla misura di fattore di potenza deve essere


In genere, si assume come modello del misurando

cos (ϕU ) =

P M

V M I M

ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo




L’incertezza tipo relativa sulla misura di fattore di potenza risulta



L incertezza tipo relativa sulla misura di fattore di potenza risulta

ucos (ϕU )

=

u (V M )

2

+ u ( I M )2

+ u (P M )2


u

cos (ϕU )

= u

cos (ϕU )

cos (ϕU )

Per determinare l’incertezza estesa U cos (ϕU )

, si scelgono

opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura


cos (ϕ) = cos (ϕU ) ± U cos (ϕU )Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare



Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della

Corrente



Le misure di potenza, soprattutto in ambito industriale, vengono spesso

richieste in funzione della tensione (piu frequentemente) o dellacorrente (piu raramente), ovvero, si richiede di misurare le potenze

(attiva, reattiva e apparente) assorbite da un utilizzatore per un certo

valore di tensione o di corrente

In questo caso, i risultati devono poi essere riportati al valore di

tensione (V R) o di corrente ( I R) di riferimento

A

V

VUV RA

RV

RA,WRV,W

A W

V

V

W

I

VM

U

IM IM

VM

UVU

U IU



Corrente



Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la tensione, i valori dellapotenza attiva, apparente e reattiva, riportati alla tensione V R, sono dati

da

P R = PU

V 2 R

V 2U

, S R = SU

V 2 R

V 2U

, Q R = QU

V 2 R

V 2U

In genere, si assumono come modelli del misurandi

P R = P M

V 2 R

V 2 M

, S R = S M

V 2 R

V 2 M

, Q R = QU

V 2 R

V 2 M

ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolodell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico



Corrente



L’incertezza tipo relativa che grava sulle misure di potenza attiva eapparente risulta, rispettivamente

u (P R) =

u (P M )

2 + 4u (V M )2

u (S R) =

u (V M )2 + u ( I M )2

L’incertezza tipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente

risulta, quindi, rispettivamente, pari a

u (P R) = u (P R) P R

u (S R) = u (S R) S R


Misure di Potenza in Funzione della Tensione o dellaCorrente



L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva e

data da

u (Q R) =

P2

M V 8

Ru (P M )

2

V 8 M

Q2 R

+ I 2

M V 8

Ru ( I M )

2

V 4 M

Q2 R

+

4P2

M V 4

R

V 5 M

− 2 I 2 M

V 4 R

V 3 M

2

u (V M )2

4Q2 R

Per determinare le incertezze estese U (P R), U (S R) e U (Q R), si

scelgono opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura


P = P R ± U (P R)

S = S R

±U (S R)

Q = Q R ± U (Q R)







Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la corrente, i valori dellapotenza attiva, apparente e reattiva, riportati alla corrente I R, sono dati

da

P R = PU

I 2 R

I 2U

, S R = SU

I 2 R

I 2U

,Q R = QU

I 2 R

I 2U

In genere, si assumono come modelli del misurandi

P R = P M

I 2 R

I 2 M

, S R = S M

I 2 R

I 2 M

,Q R = QU

I 2 R

I 2 M

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolodell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico





L’incertezza tipo relativa che grava sulle misure di potenza attiva eapparente risulta, rispettivamente

u (P R) =

u (P M )

2 + 4u ( I M )2

u (S R) =

u (V M )2 + u ( I M )2

L’incertezza tipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente

risulta, quindi, rispettivamente, pari a

u (P R) = u (P R) P R

u (S R) = u (S R) S R





L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva e

data da

u (Q R) =

P2

M I 8

Ru (P M )

2

I 8 M

Q2 R

+V 2

M I 8

Ru (V M )

2

I 4 M

Q2 R

+

4P2

M I 4

R

I 5 M

− 2V 2 M

I 4 R

I 3 M

2

u ( I M )2

4Q2 R

Per determinare le incertezze estese U (P R), U (S R) e U (Q R), si

scelgono opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura


P = P R ± U (P R)

S = S R

±U (S R)

Q = Q R ± U (Q R)




Misure di Potenza in Sistemi Polifase in RegimeSinusoidale



Per trattare le misure di potenza in sistemi polifase, conviene, per

semplicita, fare riferimento a sistemi trifase, che peraltro sono i piu

diff usi, per poi generalizzare i risultati ottenuti, estendendoli a sistemi

aventi un numero di fasi qualunque

In un sistema trifase, l’oggetto sotto misura puo essere collegato atriangolo o a stella, oppure essere costituito da piu carichi misti in

parallelo (anche monofase)

In un sistema trifase, il sistema di alimentazione puo essere a tre o

quattro fili



I1 Z



I1

R1

W1

Z1

1

I2

R2

W2

Z2

2

I3

R3

W3

Z3

3

N

O



Un sistema trifase e a quattro fili quando si e in presenza di neutro attivo

In questo caso la potenza attiva si ottiene come somma delle potenze



In questo caso, la potenza attiva si ottiene come somma delle potenze

relative a ciascuna delle fasi

Dette E 1, E 2 ed E 3 le tensioni di fase e I 1, I 2 e I 3 le correnti di linea,sfasate rispetto alle tensioni di fase degli angoli ϕ1, ϕ2 e ϕ3, la potenza

attiva e data da

P = E 1 I 1 cos (ϕ1) + E 2 I 2 cos (ϕ2) + E 3 I 3 cos (ϕ3)

Per i sistemi trifase a tre fili con collegamento a stella, la potenza attiva

si ottiene come somma delle potenze relative a ciascuna delle fasi

Per i sistemi trifase a tre fili con collegamento a triangolo, invece, la

potenza attiva e data da

P = V 1 I 1 cos (ϕ1) + V 2 I 2 cos (ϕ2) + V 3 I 3 cos (ϕ3)

dove V 1, V 2 e V 3 sono le tensioni concatenate e I 1, I 2 e I 3 le correnti di

fase, sfasate rispetto alle tensioni concatenate degli angoli ϕ1, ϕ2 e ϕ3



I1

W

Z11

I1

W

Z11



R1

W11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

O

(a)

R1

W11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

O

(b)

O´



Si vuole ora dimostrare che la potenza attiva nei sistemi trifase a tre fili

puo essere misurata con solo due wattmetri



puo essere misurata con solo due wattmetri

Per semplicita, si fa riferimento ad un circuito collegato a stella, anche

se la dimostrazione e i risultati hanno validita generale

O

1

23

V23

V31 V12

E1

E3

E2

O´

HI1

ϕ1

I2 ϕ2

I3

ϕ3

E3´

E1´

E2´



Se si separa il centro stella delle voltmetriche da quello del carico, si ha,

in generale, che i due centri stella non coincidono elettricamente



g

Cio puo essere dovuto a dissimmetrie nelle impedenze a valle della

sezione di misura o nelle resistenze addizionali dei wattmetriLa somma delle indicazioni dei tre wattmetri puo essere scritta come

P = E 1 − H

· I 1 +

E 2 − H

· I 2 +

E 3 − H

· I 3

avendo indicato con H il vettore di tensione esistente tra i due centri

stellaSviluppando si ottiene

P = E 1 · I 1 + E 2 · I 2 + E 3 · I 3 − H · I 1 + I 2 + I 3

Essendo il sistema a tre fili, la somma vettoriale delle correnti e per

definizione nulla, ovvero I 1 + I 2 + I 3 = 0

per cui la potenza misurata coincide con quella assorbita dal carico



I1 Z1



R1

W1

Z1

1

I2

R2

W2

Z2

2

I3Z3

3

O



A questo punto, e possibile collegare il centro stella delle voltmetriche

dei tre wattmetri ad una delle fasi, per esempio la fase 3



p p

La tensione applicata alle voltmentriche del wattmetro W 3, quindi,

diverra nulla, mentre alle voltmetriche dei wattmetri W 1 e W 2 saraapplicata la tensione concatenata, invece della tensione di fase

Questo schema prende il nome di inserzione di Aron

In questo caso, si puo scrivere

P = E 1 − E 3

· I 1 + E 2 − E 3

· I 2 + E 3 − E 3

· I 3

Il termine E 3 − E 3

· I 3 e evidentemente nullo e, pertanto, si ottiene

P = E 1

· I 1 + E 2

· I 2 + E 3

· − I 1

− I 2

Essendo I 3 = − I 1 − I 2 si ricava

P = E 1 · I 1 + E 2 · I 2 + E 3 · I 3



Conseguentemente, si ottiene



P = P1 + P2

dove P1 e P2 sono rispettivamente le letture dei wattmetri W 1 e W 2,

come volevasi dimostrare

Da quanto sopra esposto deriva un importante conclusione di validita

generale: la potenza attiva in un circuito ad N fili puo essere misurata

con N − 1 wattmetriQuesta conclusione e valida per qualsiasi sistema polifase (incluso il

monofase che ha due fili e per il quale la misura di potenza si eff ettua

con un wattmetro), anche se non simmetrico nelle tensioni e non

equilibrato nelle correnti

La misura eff ettuata con l’inserzione di Aron puo comportare che unwattmetro fornisca indicazione negativa, per cui essa deve essere

sottratta dall’indicazione dell’altro wattmetro



Infatti, per un sistema simmetrico ed equilibrato si puo scrivere



P1 = V 31 I 1 cos (ϕ1 − 30) = VI cos (ϕ − 30)

P2 = V 32 I 2 cos (ϕ2 + 30) = VI cos (ϕ + 30)


P1 = VI cos (ϕ) cos (30) + VI sin (ϕ) sin (30)

P2 = VI cos (ϕ) cos (30)

−VI sin (ϕ) sin (30)

Imponendo P2 = 0, si ricava

tan (ϕ) =1

tan (30)=

√ 3

e, quindi, si ottiene cos (ϕ) = 0.5

Per un sistema simmetrico ed equilibrato e possibile ricavare cos (ϕ) da

P1 e P2



Infatti, dividendo membro a membro, si ottiene



, ,

P1P2

= cos (ϕ) cos (30)+

sin (ϕ) sin (30)cos (ϕ) cos (30) − sin (ϕ) sin (30)

ovvero

cos (ϕ) cos (30) (P1 − P2) = sin (ϕ) sin (30) (P1 + P2)


tan (ϕ) =√

3P1 − P2

P1 + P2

cos (ϕ) = cosarctan

√ 3 P1 − P2

P1 + P2



In un sistema polifase, quindi, la potenza attiva assorbita dal carico U e

d t d



data da

PU =

M i=1

PU ,i

dove PU ,i e la lettura di ciascuno degli M wattmetri utilizzati

(normalmente M = N − 1, dove N e il numero di fili), su cui e stata

eff ettuata la correzione dell’errore sistematico dovuto agli autoconsumi

Per il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello del

misurando

PU =

M i=1

P M ,i

dove P M ,i sono le letture dei wattmetri, ovvero si trascura, in quantopraticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, i termini di

correzione dell’errore sistematico



L’incertezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza attiva risulta



u (PU ) = M

i=1uP M ,i

2




P = PU ± U (PU )



Nel caso in cui il circuito abbia un fattore di potenza molto basso,l’inserzione di Aron cade in difetto, in quanto le letture dei due

wattmetri sono poco diverse tra loro, prossime alla meta del fondo scala

e di segno opposto



L’incertezza tipo relativa, u (PU ) = u (PU ) /PU , quindi, risulta molto



elevata, in quanto PU = P M ,1 + P M ,2 → 0

Poiche l’uso di wattmetri a basso cos (ϕ) non e adatto per l’inserzionedi Aron, in quanto entrambi i wattmetri vedono cos (ϕ) 0.5, per la

misura si deve ricorrere a tre wattmetri (o in generale a N wattmetri per

un sistema a N fili), misurando le potenze di ogni fase e sommandole

In questo caso l’uso di wattmetri a basso cos (ϕ) e possibile, poiche i

wattmetri vedono il cos (ϕ) eff ettivo del caricoNel caso in cui venga richiesta una misura si potenza in funzione della

tensione (in sistemi polifase, normalmente, non si eseguono misure in

funzione della corrente), la potenza attiva, riportata alla tensione di

riferimento V R, risulta

P R = PU V

2 R

V 2 M



Z1

1



W1

V1 V3

1

W2

Z2

2

Z3

3

OV2



Siccome viene fornito un solo valore di V R, si assume implicitamente

che il sistema sia simmetrico e, pertanto, il valore di V M deve essere



, p , M

calcolato come valore medio delle tre letture dei voltmetri, ovvero

V M =V M ,1 + V M ,2 + V M ,3

3

L’incertezza tipo relativa che grava sulla potenza attiva riportata alla

tensione V R risulta

u (P R) =

u (PU )

2 + 4u (V M )2

Considerando che le letture dei voltmetri saranno, inevitabilmente,

diverse tra loro, per determinare u (V M ) occorre, innanzitutto,

determinare lo scarto tipo delle tre misure, sV M ,i

, e l’incertezza tipo

assoluta dei voltmetri, uV M ,i

, assumendo per semplicita i tre voltmetri

uguali


Misure di Potenza AttivaSe risulta che s

V M ,i

> u

V M ,i

, allora

u (V ) =s V M ,i



u (V M ) = √ 3

Quindi, benche il sistema non risulti eff ettivamente simmetrico, in

quanto lo scarto tra le tre tensioni misurate dai voltmetri eccede i limiti

definiti dall’incertezza di misura dei voltmetri stessi, si assume

comunque il sistema simmetrico (non si puo fare altrimenti)

Si ricava, pero, l’incertezza di V M dallo scarto tipo delle tensioni

misurate, che risulta maggiore dell’incertezza di misura dei voltmetri

(in sostanza si assume che vi siano altri fattori, oltre all’incertezza dei

voltmetri, che determinano lo scarto tra le tensioni)

Se, invece, risulta che s

V M ,i

≤ u

V M ,i

, allora

u (V M ) =

3u

V M ,i

2

3=

uV M ,i

√

3

in quanto il sistema e eff ettivamente simmetrico



L’incertezza tipo relativa u (V M ) risulta, quindi

(V )



u (V M ) =u (V M )

V M

L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza attiva risulta pari a

u (P R) = u (P R) P R

Per determinare l’incertezza estesa U (P R), si scelgono opportunamenteil livello di confidenza e il fattore di copertura


P = P R ± U (P R)





Per misurare la potenza reattiva in un generico sistema trifase a tre fili,

occorre inserire un voltmetro, un amperometro e un wattmetro su



ciascun ramo del carico, procedendo poi, per ciascun ramo, come per i

sistemi monofaseLa potenza reattiva complessiva sara, quindi, data da

QU =

M

i=1

QU ,i

dove M e il numero di rami del carico considerati ( M = 3 per un

sistema trifase a tre fili)

Se il carico e connesso a stella, occorre inserire le voltmetriche dei

wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei

wattmetri e gli amperometri sulle correnti di lineaSe il carico e connesso a triangolo, occorre inserire le voltmetriche dei

wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le amperometriche

dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase



L’incertezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza reattiva, in

questo caso, risulta



u (QU ) =

M

i=1

uQU ,i

2




Q = QU ± U (QU )


nell’espressione del risultatoIn sistemi simmetrici ed equilibrati, e possibile misurare la potenza

reattiva utilizzando un solo wattmetro



Z1



Wc

Z1

1

Z2

2

Z3

3

O

O

1

23

E1

E3 E2

Iϕ

90˚ –ϕ

V = V23



La potenza misurata dal wattmetro risulta, infatti

P = VI cos (90 − ϕ) = VI sin (ϕ)



P = VI cos (90 ϕ) = VI sin (ϕ)

dove V e la tensione concatenata e I la corrente di linea

Conseguentemente, considerando che, per definizione, la potenza

reattiva Q = 3 EI sin (ϕ) e che E = V /√

3, si ricava

QU =√

3PU

dove PU e la potenza letta sul wattmetro, su cui e stata eff ettuata la

correzione dell’errore sistematico dovuto agli autoconsumi

Questo metodo, che presuppone le condizioni di simmetria ed

equilibrio del sistema, puo essere utilizzato solamente per misure

indicative (ad esempio sui quadri di centrale)

Per misure di precisione, non si puo infatti presumere che le condizioni

richieste siano verificate




misurando

QU =√

3PM



QU

√3P M

ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolodell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico

L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in


u (QU ) =√

3u (P M )




Q = QU

±U (QU )





Wa

Z1

1



Wb

Z2

2

Wc

Z3

3

O



In un sistema trifase a tre fili, nel caso di carico arbitrario ma tensioni

simmetriche per la misura della potenza reattiva si puo ricorrere alla



simmetriche, per la misura della potenza reattiva si puo ricorrere alla

inserzione di Righi o dei tre wattmetri

Essa viene realizzata inserendo due strumenti secondo lo schema di

Aron ed il terzo con la bobina amperometrica sulla fase rimasta libera e

la voltmetrica derivata fra le due altre fasi

In un sistema trifase simmetrico la potenza attiva e data da

P = E 1 · I 1 + E 2 · I 2 + E 3 · I 3 =

= E 1 · I 1 + E 2 ·− I 1 − I 3

+ E 3 · I 3 =

=

E 1 − E 2

· I 1 +

E 2 − E 2

· I 2 +

E 3 − E 2

· I 3 =

= V 12

· I 1 + V 32

· I 3 =

= VI 1 cos (ϕ1 + 30) + VI 3 cos (ϕ3 − 30)



In un sistema trifase simmetrico la potenza reattiva e data da

Q = E I + E I + E I =



Q = E 1

× I 1 + E 2

× I 2 + E 3

× I 3 =

= E 1 × I 1 + E 2 × − I 1 − I 3+ E 3 × I 3 =

= E 1 − E 2

× I 1 +

E 2 − E 2

× I 2 +

E 3 − E 2

× I 3 =

= V 12 × I 1 + V 32 × I 3 =

= VI 1 sin (ϕ1 + 30) + VI 3 sin (ϕ3 − 30)

In un sistema trifase simmetrico V 12 = V 32 = V 13 = V sono le tensioniconcatenate, I 1, I 2 e I 3 sono le correnti di linea e ϕ1, ϕ2 e ϕ3 sono gli

sfasamenti tra le tensioni di fase E 1 = E 2 = E 3 = E e le correnti di linea

Pertanto, indicando con Pa, Pb e Pc le indicazioni dei tre wattmetri, si

ottiene Pa = VI 1 cos (ϕ1 − 30)Pb = VI 2 cos (ϕ2 + 30)

Pc = VI 3 cos (ϕ3 − 90)



Sommando Pa e Pc, si ricava

P + P = VI1 cos (ϕ1 − 30) + VI3 cos (ϕ3 − 90)



Pa + Pc = VI 1 cos (ϕ1 30 ) + VI 3 cos (ϕ3 90 )

Espandendo le relazioni trigonometriche, si ottiene

cos (ϕ1 − 30) = cos (ϕ1 + 30 − 60) =

= cos (ϕ1 + 30) cos (60)+

+ sin (ϕ1 + 30) sin (60) =

=1

2cos (ϕ1 + 30) +

√ 32

sin (ϕ1 + 30)

cos (ϕ3 − 90) = cos (ϕ3 − 30 − 60) =

= cos (ϕ3 − 30) cos (60)+

+ sin (ϕ3 − 30) sin (60) =

=1

2cos (ϕ3 − 30) +

√ 3

2sin (ϕ3 − 30)


Misure di Potenza ReattivaPertanto, risulta

Pa + Pc = VI 11

2cos (ϕ1 + 30) +

√ 3

2sin (ϕ1 + 30) +



2 2 +VI 3

1

2cos (ϕ3 − 30) +

√ 32

sin (ϕ3 − 30)

==

1

2

VI 1 cos (ϕ1 + 30) + VI 3 cos (ϕ3 − 30)

+

+

√ 3

2VI 1 sin (ϕ1 + 30) + VI 3 sin (ϕ3

−30)

Sostituendo, si ottiene

Pa + Pc =1

2P +

√ 3

2Q

Ricordando che, per l’inserzione di Aron, P = Pa + Pb, si puo scrivere

Pa + Pc =1

2(Pa + Pb) +

√ 3

2Q



La potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore U risulta

Q =Pa − Pb + 2Pc√



Q √ 3

La misura risulta aff etta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi

dei wattmetri

La potenza reattiva corretta risulta, quindi

QU = PU ,a − PU ,b + 2PU ,c√ 3


misurando

QU =

P M ,a

−P M ,b + 2P M ,c

√ 3ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo

dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico



L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in

questo caso risulta




u (QU ) =1√

3

uP M ,a

2+ u

P M ,b

2+ 4u

P M ,c

2




Q = QU ± U (QU )




Misure di Potenza ReattivaI1

R1

W1

Z1

1

Lettura 1

P1



P2

P1’

P2’

I2

R2

W2

Z2

2

I3 Z3

3

O

I1

R1

W1

Z1

1

Lettura 2

I2

R2

W2

Z2

2

I3 Z3

3

O



Una variante dell’inserzione Righi e la cosiddetta inserzione

Barbagelata, tramite la quale e possibile determinare la potenza reattiva

in un sistema trifase a tre fili simmetrico, utilizzando due coppie di



pp

letture successive di due wattmetri (quattro misure di potenza)La prima coppia di letture viene ottenuta dai due Wattmetri inseriti

secondo Aron, mentre la seconda coppia di letture viene ottenuta dagli

stessi due wattmetri in inserzione simmetrica

E facile dimostrare che

Pc = P2 − P1

Infatti, si puo scrivere

P2−P

1 = V 21· I 2− V 12· I 1 = − V 12· I 2− V 12· I 1 = V 12·

− I 1 − I 2

= V 12· I 3 = Pc

Quindi, ponendo Pa = P1, Pb = P2 e Pc = P2 − P1, si puo utilizzare lastessa formula ricavata per l’inserzione Righi per determinare la

potenza reattiva Q



La misura risulta aff etta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi

dei wattmetri



La potenza reattiva corretta risulta, quindi, data da

QU =PU ,1 − PU ,2 + 2

P

U ,2 − PU ,1

√

3

Per il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello delmisurando

QU =P M ,1 − P M ,2 + 2

P

M ,2− P

M ,1

√

3

ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo

dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico



Lincertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in




q ,

u (QU ) =1√

3

uP M ,1

2+ u

P M ,2

2+ 4u

P

M ,2

2+ 4u

P

M ,1

2,


il livello di confidenza e il fattore di coperturaIl risultato della misurazione sara, quindi,

Q = QU ± U (QU ) ,





Wa

Z1

1



V1 V3

Wb

Z2

2

Z3

3

OV2

Wc



Nel caso in cui venga richiesta una misura si potenza reattiva in

funzione della tensione, la potenza reattiva, riportata alla tensione di

riferimento V risulta



riferimento V R

, risulta

Q R = QU

V 2 R

V 2 M

Il valore di V M deve essere calcolato come nel caso della misura di

potenza attiva

L’incertezza tipo relativa che grava sulla potenza reattiva riportata allatensione V R risulta

u (Q R) =

u (QU )

2 + 4u (V M )2

dove u (QU ) = u (QU ) /QU e u (V M ) si determina come nel caso dellamisura di potenza attiva



L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza reattiva risulta pari a



u (Q R) = u (Q R) Q R

Per determinare l’incertezza estesa U (Q R), si scelgono opportunamente



Q = Q R ± U (Q R)





Per misurare la potenza apparente in un generico sistema trifase a tre

fili, occorre inserire un voltmetro, un amperometro e un wattmetro su



ciascun ramo del carico, procedendo poi, per ciascun ramo, come per isistemi monofase

La potenza apparente complessiva sara, quindi, data da

SU = M

i=1PU ,i

2

+ M

i=1QU ,i

2

dove M e il numero di rami del carico considerati ( M = 3 per un

sistema trifase a tre fili)

Se il carico e connesso a stella, occorre inserire le voltmetriche dei

wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei

wattmetri e gli amperometri sulle correnti di linea


Misure di Potenza ApparenteSe il carico e connesso a triangolo, occorre inserire le voltmetriche dei

wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le amperometriche

dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase



Se il sistema e simmetrico, e possibile misurare la potenza apparenteutilizzando l’inserzione di Righi o l’inserzione di Barbagelata

In questo caso, la potenza apparente e data da

SU = P2U + Q2

U

L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza apparente,

in questo caso, risulta

u (SU ) =

PU +QU √

3

2

u(P M ,a)2

S2

U

+

PU − QU √

3

2

u(P M ,b)2

S2

U

+4Q2

U u(P M ,c)

2

3S2

U

Per determinare l’incertezza estesa U (SU ), si scelgono opportunamente







S = SU ± U (SU )



Qualora sia richiesta una misura di potenza apparente in funzione della

tensione V R, risulta

S R = SU

V 2 R

V 2 M

Il valore di V M deve essere calcolato come nel caso della misura di

potenza attiva


Misure di Potenza ApparenteL’incertezza tipo relativa che grava sulla misura di potenza apparente,

in questo caso, risulta

u (SR) = u (SU)2 + 4u (VM)2



u (S R) u (SU ) + 4u (V M )

dove u (SU ) = u (SU ) /SU e u (V M ) si determina come nel caso della

misura di potenza attiva

L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza apparente risulta,

quindi, pari a

u (S R) = u (S R) S R

Per determinare l’incertezza estesa U (S R), si scelgono opportunamente



S = S R ± U (S R)




Misure in Regime Non-Sinusoidale

Si consideri un circuito in cui la tensione o la corrente o entrambe le

grandezze siano periodiche con frequenza f , ma non siano sinusoidali

Se ciascun segnale viene scomposto in serie di Fourier, si ottengono



tanti termini di tipo sinusoidale, detti armoniche, con frequenza pari aimultipli interi di f , ma ampiezza e fase diverse

Non necessariamente tutte le armoniche sono presenti, anzi nella

maggioranza dei casi avviene esattamente il contrario

La potenza istantanea ( p) e sempre uguale al prodotto dei valori

istantanei di tensione (v) e corrente (i), qualunque sia la forma deisegnali

p = vi =

∞

k =0

V C ,k sin (k ωt )

∞

k =0

I C ,k sin (k ωt + ϕk )

dove ω = 2π f , mentre V C ,k e I C ,k sono, rispettivamente, i valori di cresta

delle armoniche di tensione e corrente, mentre ϕk e lo sfasamento tra le

armoniche di indice k di tensione e corrente



o r r e n t e ,

P o t e n z a

v

i p

P



T e n s i o n e , C

Tempo

T e n s i o n e ,

C o r r e n t e ,

P o t e n z a

Tempo

vi

p

P

(a)

(b)





Se si sviluppa il prodotto, si ottiene un numero di termini molto elevato(a causa dei prodotti incrociati)

In un caso la corrente ha un’armonica di terzo ordine, mentre nell’altro

la corrente ha un’armonica di quinto ordine

In entrambi i casi, il valore medio della potenza istantanea e nullo,

stando a significare che non transita potenza attiva

Il fatto che siano in gioco correnti e tensioni, pero, implica che nel

sistema e in gioco potenza reattiva



Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano

sinusoidali

Entrambe le grandezze possono essere espresse tramite sviluppo in



serie di Fourier

Il valore efficace della tensione viene definito come

V =

∞

i=

0

V 2i

dove V i sono i valori efficaci delle singole armoniche di tensione

Il valore efficace della corrente viene definito come

I = ∞

i=0 I

2

i

dove I i sono i valori efficaci delle singole armoniche di corrente





Nei voltmetri o negli amperometri elettromagnetici, ogni armonica ditensione o di corrente produce una coppia motrice C m,i proporzionale al

quadrato del valore efficace dell’armonica stessa

L’equipaggio mobile e globalmente sollecitato dalla somma delle

singole coppie C m,i

Ne consegue che il voltmetro o l’amperometro sono sempre in grado difornire l’indicazione corretta del valore efficace di tensione o corrente

(almeno nel campo delle frequenze industriali)



Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano

sinusoidali



La potenza attiva viene definita come

P =

∞i=0

V i I i cos (ϕi)

dove V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche ditensione e corrente

La potenza attiva e quindi costituita dalla sommatoria dei prodotti

scalari (in senso vettoriale) di tutte le combinazioni di tensioni e

correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativo

angolo di sfasamento, considerando anche eventuali componenticostanti (in questo caso ϕ0 = 0)



Nei wattmetri elettrodinamici, ogni contributo V i I i cos (ϕi) produce una



coppia motrice C m,i

L’equipaggio mobile e globalmente sollecitato dalla somma delle

singole coppie C m,i

Ne consegue che il wattmetro e sempre in grado di fornire l’indicazione

corretta della potenza attiva in gioco nel circuito su cui si eff ettua la

misura (almeno nel campo delle frequenze industriali)

In un sistema polifase a N fili, la misura di potenza attiva puo sempre

essere eff ettuata con N − 1 wattmetri



Si consideri ancora un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non

siano sinusoidali



Anche per la potenza reattiva si possono definire i contributi dellediverse coppie di armoniche isofrequenziali di tensione e corrente

Q =

∞

i=0

V i I i sin (ϕi)

dove V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di

tensione e corrente

La potenza reattiva Q e, quindi, costituita dalla sommatoria dei prodotti

vettoriali di tutte le combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali

aventi la stessa frequenza e secondo il relativo angolo di sfasamento(eventuali componenti costanti danno contributo nullo in quanto ϕ0 = 0)



E generalmente accettato considerare, convenzionalmente, come

potenza apparente, anche in un circuito in cui sia la tensione, sia la



corrente non siano sinusoidali, il prodotto dei valori efficaci di tensione

V e corrente I

S = VI =

∞i=0

V 2i

∞i=0

I 2i

dove V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche ditensione e corrente

Tale definizione non ha un chiaro significato fisico

Infatti, confrontando le espressioni di P, Q ed S, si puo verificare che

S2 > P2 + Q2



Infatti, ne l’espressione di P, ne l’espressione di Q tengono conto dei

prodotti tra i termini non isofrequenziali presenti nell’espressione della



potenza istantanea p

Dik = V C ,i sin (iωt ) I C ,k sin (k ωt + ϕk )

con i k , che, invece, sono presenti nella espressione di S

Esistono diverse teorie per interpretare i termini aggiuntivi presenti nelbilancio delle potenze in regime non-sinusoidale, tra le quali vale le

pena di citare, oltre alla teoria di Budeanu, che e la piu diff usa, anche la

teoria di Shepherd e Zakikhani, la teoria di Sharon e la teoria di

Czarnescki


Teoria di Budeanu

Budeanu esprime la potenza apparente S mediante tre componentimutuamente ortogonali

La potenza attiva P

∞



P =∞

i=0

V i I i cos (ϕi)

La potenza reattiva Q

Q =

∞

i=0

V i I i sin (ϕi)

La potenza reattiva deformante D

D =

∞m=0

∞k =0

V 2

k I 2m + V 2m I 2

k − 2V k V m I k I m cos (ϕk − ϕm)

con m k

V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche ditensione e corrente, mentre ϕi sono gli sfasamenti tra le armoniche di

indice i di tensione e corrente


Teoria di Budeanu

La potenza reattiva deformante D assume valore nullo quando tutte le

i h di t i li ll di t i d



armoniche di corrente sono proporzionali a quelle di tensione e quandotutti gli sfasamenti relativi ϕi sono uguali

Si puo dimostrare che

S2 = (VI )2 = P2 + Q2 + D2

dove V e I sono, rispettivamente, i valori efficaci di tensione e corrente

La potenza reattiva deformante non ha alcun significato fisico, anche se

viene associata alla potenza reattiva


Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo

Quando le misure di potenza devono essere eff ettuate su circuiti

non lineari si deve porre particolare attenzione alla interpretazione dei



non-lineari, si deve porre particolare attenzione alla interpretazione deirisultati ottenuti

Per chiarire i concetti, conviene fare riferimento ad una classica

misurazione che viene eff ettuata per determinare la cifra di perdita dei

lamierini magnetici utilizzati nelle macchine elettriche, nelle quali essi

sono sottoposti a magnetizzazione alternata

I suddetti lamierini presentano una caratteristica B = f ( H ) non-lineare

e dipendente dalle vicissitudini a cui gli stessi vengono sottoposti (cicli

di isteresi)

Si deve anche tenere presente che essendo B e H interdipendenti, risulta

che se B e sinusoidale non lo puo essere H e viceversa






Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo InduttivoIl primo caso e il piu comune e corrisponde, ad esempio,

all’alimentazione del circuito elettrico con tensione sinusoidale

impressa, per cui l’induzione magnetica B risulta sinusoidale, mentre la

forma del campo H (che e quella della corrente nel circuito) e appuntita

S ` i i id l H ( t i id l i ) l f di



Se e, invece, sinusoidale H (corrente sinusoidale impressa), la forma di

B risulta appiattita

La potenza magnetizzante (induttiva) perde allora significato preciso,

appunto perche B ed H non sono entrambe sinusoidali

In tal caso, considerandoB

sinusoidale, si puo, convenzionalmente, fareriferimento al valore efficace H E ed assumere come potenzamagnetizzante specifica

Per unita di volume

QV =√

2π fBH E

Per unita di massa

Q M =√ 2πη

fBH E

dove η e la densita di massa (o peso specifico) e f e la frequenza


Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo InduttivoUn secondo importante problema riguarda le perdite nel materiale

magnetico, che sono da attribuire a due fenomeni distinti: l’isteresi e le

correnti parassite

A causa del fenomeno di isteresi, durante la magnetizzazione viene

f it l t i l i h ` i i t t tit it



fornita al materiale una energia, che non e poi interamente restituita

durante la smagnetizzazione

L’energia perduta, che si trasforma in calore, e rappresentata, in una

certa scala e per unita di volume, dall’area del ciclo di isteresi

Si puo, percio, scrivere

W =

Bmax

Bmin

HdB

dove Bmin e Bmax sono, rispettivamente il valore minimo e massimo

dell’induzione magnetica

Poiche W e l’energia dissipata per ogni ciclo, per passare alla potenza

basta tenere conto della frequenza



Si e soliti esprimere le perdite per isteresi P I con una relazione del tipo

P I = k I fBn

dove kI e una costante e n un parametro detto coefficiente di Steinmetz



dove k I e una costante e n un parametro, detto coefficiente di Steinmetz,

che varia tra 1.5 e 2.5 con l’induzione magnetica stessa

Per limitare le perdite per isteresi il lamierino viene ottenuto da una

lega ferro-silicio, con silicio intorno al 3.5%

Un’altra sorgente di perdite e dovuta al fatto che, per la presenza di un

flusso dell’induzione magnetica alternato, nello stesso materiale

magnetico si inducono forze elettromotrici

Essendo poi il materiale un buon conduttore elettrico, si ha la

circolazione di correnti parassite

Le perdite per correnti parassite sono proporzionali ai quadrati diinduzione magnetica, frequenza e spessore del lamierino, nonche

inversamente proporzionali alla resistivita del materiale



Per limitare le perdite per correnti parassite, i circuiti magnetici

vengono laminati e si ricorre a leghe che permettono di aumentare la

resistivita

L’i l fi i l d i l i i i ` i id i



L’isolamento superficiale dei lamierini e oggi ottenuto per ossidazione

diretta, durante il processo produttivo

Analogamente a quanto detto per le perdite per isteresi, si puo usare,

per le perdite per correnti parassite PP, una espressione del tipo

PP = k P f 2 B2

dove k P e una costante

Le perdite totali nel circuito magnetico possono, quindi, essere espresse

come

PU = k I fBn + k P f 2 B2



Normalmente, per quantificare le perdite in un materiale magnetico,

viene utilizzata la cifra di perdita, data da

P



C P =PU

m

Essa rappresenta la potenza dissipata per unita di massa m da un

materiale magnetico, quando uniformemente eccitato a prefissati valori

di induzione magnetica ( B) e di frequenza ( f )A titolo indicativo si puo ricordare che, per f = 50 Hz e B = 1.5 T, la

cifra di perdita puo variare da 0.8 W / kg a 2.0 W / kg

I valori piu bassi sono quelli dei lamierini a cristalli orientati, usati nei

trasformatori di potenza



L’apparecchio di Epstein viene utilizzato per determinare la cifra di

perdita dei lamierini magnetici

Lungo i tubi esterni sono avvolti, insieme ed uniformemente, in modo



Lungo i tubi esterni sono avvolti, insieme ed uniformemente, in mododa simulare un solenoide, due avvolgimenti detti, rispettivamente,

primario e secondario

Ciascun avvolgimento e costituito da un predeterminato numero di

spire (normalmente 600 spire)

Per la prova si sceglie una prefissata massa di lamierini (normalmente

10 kg), tagliati in strisce di lunghezza e larghezza pure prefissate

(500 mm e 30 mm, rispettivamente)

Le strisce cosı ottenute devono essere disposte nei tubi in modo che i

giunti che si formano all’esterno siano alternati e stretti, cosı da ridurre

l’eff etto dei traferri







WA



~V

f


Apparecchio di EpsteinEsso e caratterizzato dal fatto che il voltmetro e la voltmetrica delwattmetro sono connessi all’avvolgimento secondario dell’apparecchiodi Epstein, ottenendo cosı due importanti vantaggi

Si escludono dalla misura della potenza le perdite dovute alla resistenza

dell’avvolgimento alimentato (primario)f l i i d l d i ` di l



g pLa forza elettromotrice indotta al secondario e direttamente legata

all’induzione magnetica nel materiale, che e la grandezza che interessa

Per la misura, si devono utilizzare strumenti di buona qualita, che

consentano di misurare la tensione, la potenza, la corrente e la

frequenza, preferibilmente di tipo digitale, in quanto caratterizzati daautoconsumo trascurabile

Si deve anche tenere conto del fatto che il circuito risulta fortemente

induttivo, per cui e necessario l’impiego di un wattmetro adatto per

basso fattore di potenza

Per l’alimentazione del circuito, occorre una sorgente che, per ilmomento, si considera in grado di fornire una tensione perfettamente

sinusoidale



Per determinare la cifra di perdita, si deve, innanzitutto, determinare la

sezione A del pacco di lamierini

Detti m la massa dei lamierini, η il peso specifico del materiale

magnetico ed l la lunghezza totale del circuito magnetico, si ottiene



g g g

A =m

ηl

nella quale si puo assumere m = 10 kg, η = 7.6 kg / dm3 e l = 2.0 m

Poiche lo scopo della misura e di determinare la cifra di perdita

all’induzione magnetica B R e alla frequenza f R, occorre calcolare la

tensione V R che deve apparire ai terminali del secondario per i valori

prescelti di B R ed f R, che risulta

V R = √ 2πns f R B R A

nella quale ns = 600 e il numero delle spire dell’apparecchio



Le misure vengono, quindi, condotte rilevando un certo numero di

valori di potenza assorbita, in funzione della tensione a frequenza

costante, ed eff ettuando l’interpolazione grafica dei punti risultanti, in

modo da escludere eventuali letture aff ette da errori grossolani



g

Al valore di tensione V R, si determina, quindi, la potenza misurata P M

Se l’autoconsumo delle voltmetriche del wattmetro e del voltmetro non

e trascurabile, si deve determinare il valore della potenza corretta PU

Il valore della cifra di perdita C P,U e dato, infine, da

C P,U =PU

m

L’incertezza che grava sulla misura di cifra di perdita deve essere



Misura della Cifra di Perdita con Tensione SinusoidalePer il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello del

misurando

C P,U =P M

m

V 2 R

V 2 M

= P M

2m (πns f R B R)2

(ηlV M )2

ovvero si trascura in quanto praticamente ininfluente per il calcolo





Inoltre, si assume una dipendenza quadratica della potenza dissipata

dall’induzione magnetica e, quindi, dalla tensione V M (si assume il

coefficiente di Steinmetz n = 2) e si trascura la dipendenza della cifra diperdita dalla frequenza (si assume f = f R)

L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita risulta

u C P,U = u (P M )2 + u (m)2 + 4u (η)2 + 4u (l)2 + 4u (V M )

2

Le incertezze sulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso

specifico u (η) possono, generalmente, essere trascurate




uC P,U

= u

C P,U

C P,U



Per determinare l’incertezza estesa U C P,U

, si scelgono



C P = C P,U ± U C P,U





Se si desidera eff ettuare la separazione delle perdite tra perdite per

isteresi e perdite per correnti parassite, si possono esprimere le perdite

per ciclo (energia)

PU 2



W U =PU

f = k I B

n + k P fB2

Esse rappresentano una retta in funzione della frequenza, per cui, con

misure in funzione di f , a induzione magnetica costante B = B R, si puo

ottenere la ripartizione desiderata

Il valore di PU corrispondente all’induzione magnetica B R, per ogni

valore di f , deve essere determinato per interpolazione grafica e deve

essere eff ettuata, se necessario, la correzione dell’errore sistematico

dovuto agli autoconsumi degli strumenti

Sono necessarie almeno due misure a diversi valori di frequenza per

poter operare la ripartizione delle perdite



W U

kPfB2



f

kIBn

I valori dei coefficienti k I e k P risultano

k I =W U | f =0

Bn

R

, k P =W U | f = f R − W U | f =0

B2

R

f R

dove B R e il valore di induzione magnetica di riferimento e f R e il valore

della frequenza di riferimento



Alternativamente, considerando che il valore di n non e tipicamente

noto, si possono determinare i coefficienti α I e αP, che esprimono,

rispettivamente, la frazione di perdite da attribuire all’isteresi e la

frazione di perdite da attribuire alle correnti parassite, dati da

WU | fR

WU |f f − WU |f 0

fR



α I =W U | f =0 f R

PU

, αP =

W U | f = f R

W U | f =0

f R

PU

A questo punto, noti i coefficienti α I e αP, e possibile tenere conto

anche della dipendenza della cifra di perdita dalla frequenza nel calcolo

dell’incertezza

Il modello del misurando da utilizzare per il calcolo dell’incertezza che

grava sulla misura della cifra di perdita, infatti, risulta

C P,U = P M α I

f R

f M + αP

f 2 R

f 2 M

2m (πns f R B R)2

(ηlV M )2

dove f M e la frequenza misurata



L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita, assumendo

f M = f R, ma considerando l’incertezza tipo relativa sulla misura di

frequenza u ( f M ), sapendo che α I + αP = 1 e trascurando le incertezze

sulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso specifico u (η), risulta

uC

=

u (P )2 + 4u (V )2 + (α + 2α )2 u (f )2



uC P,U

=

u (P M ) + 4u (V M ) + (α I + 2αP) u ( f M )


u C P,U = u C P,U C P,U


, si scelgono



C P = C P,U

±U C P,U




Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale

In laboratorio ci si trova, a volte, a dover eff ettuare la misura della cifra

di perdita con una sorgente di tensione che presenta una forma d’ondanon perfettamente sinusoidale



p

Questo e dovuto, nella maggior parte dei casi, al fatto che, a causa della

non-linearita della relazione B = f ( H ) nel materiale, la corrente che

circola nell’avvolgimento primario dell’apparecchio di Epstein non e

sinusoidalePertanto, in presenza di una resistenza non nulla in serie alla sorgente di

tensione (resistenza interna della sorgente e resistenza dei cavi), la

tensione eff ettivamente applicata all’avvolgimento primario

dell’apparecchio di Epstein risulta essere, a sua volta, non-sinusoidale



Le perdite per isteresi e per correnti parassite che si manifestano nelmateriale, seguono leggi diverse

Le perdite per isteresi sono funzione del valore di cresta dell’induzione

magnetica BC , in conseguenza del fatto che dipendono dal ciclo di isteresi

e, in aggiunta, l’esponente di Steinmetz e variabile con l’induzionemagnetica stessa



magnetica stessa

Le perdite per correnti parassite sono, per la legge di Joule, proporzionali

al quadrato del valore efficace delle tensioni indotte nei lamierini e

dipendono, quindi, dal valore efficace dell’induzione magnetica B E

Ne consegue che, se la tensione non e sinusoidale, non e piu possibileeff ettuare direttamente l’interpolazione grafica delle misure eff ettuate,

per determinare le perdite in corrispondenza del valore di induzione

magnetica di riferimento B R

Con tensione non-sunusoidale, infatti, risulta che B E BC /√

2 e,

quindi, se si misura il valore efficace della tensione, legato al valoreefficace dell’induzione magnetica B E , il valore di BC non e

determinabile



Sarebbe, quindi, necessario disporre di uno strumento in grado di

misurare il valore massimo dell’induzione magnetica (o una grandezza

proporzionale a questa), in aggiunta al voltmetro a valore efficace

Si puo dimostrare che il valore massimo dell’induzione magnetica e

proporzionale al valore medio sul semiperiodo della tensione indotta(V m)



( )

Pertanto, occorre inserire nel circuito anche un voltmetro a valore

medio

WA

~VmV

E

f



Il voltmetro a valore medio e generalmente tarato in valore efficace e

fornisce, quindi, il valore π/2

√ 2

V m 1.11V m

Per l’esecuzione delle misure si procede come nel caso di tensione

sinusoidale, prendendo come riferimento le indicazioni del voltmetro a

valore medio



In questo modo, si riportano correttamente per via grafica alla tensione

V R = π/2

√ 2

V m, ovvero all’induzione magnetica B R = BC /√

2, le

perdite per isteresi, ma non quelle per correnti parassite, che sono

proporzionali al valore efficace della tensione V π/ 2√

2 V m

Il contrario avverrebbe se si prendessero come riferimento le

indicazione del voltmetro a valore efficace

Conviene esprimere i risultati in funzione della tensione fornita dal

voltmetro a valore medio, in quanto l’esponente di Steinmetz non e

costante (si opera ad induzione magnetica massima costante)Dalla interpolazione grafica si ottiene il valore, riportato a

B R = BC /√

2, delle perdite complessive P M



P M

PM



1.11 V

mV

R



Se l’autoconsumo delle voltmetriche del wattmetro e dei voltmetri non

e trascurabile, si deve determinare il valore della potenza corretta PU

Per poter procedere alla correzione dei risultati e riportarli al caso di

onda sinusoidale, e necessario procedere alla suddivisione delle perdite

Una volta determinati i coefficienti α I e αP, e possibile riportare le

perdite per correnti parassite al valore corretto di tensione e quindi di



perdite per correnti parassite al valore corretto di tensione e, quindi, di

induzione magnetica, tenendo conto del fatto che le perdite per correnti

parassite dipendono dal quadrato del valore efficace dell’induzione

magnetica stessa

Le perdite corrette sono date da

PC = α I PU + αPPU

V 2 R

V 2 R, E

dove V R, E e il valore efficace della tensione che corrisponde aV R = π/

2

√ 2

V m, ricavato per via grafica (in regime sinusoidale

V R, E = V R)



V

V



1.11 Vm

VR,E

VR



Nel caso in cui non sia possibile determinare sperimentalmente α I e αP,

per esempio perche non e possibile eff ettuare misure in funzione della

frequenza, si usa assumere, convenzionalmente, α I = αP = 0.5

La cifra di perdita corretta risulta, quindi

C P,U =PC



,m

Per il calcolo dell’incertezza di misura si assume come modello del

misurando

C P,U =

P M

m

V 2 R

V 2 M

= P M

2m (πns f R B R)2

(ηlV M )2

trascurando, in quanto ininfluente per il calcolo dell’incertezza, anche

la correzione dell’errore dovuto alla tensione non-sinusoidale

L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita u C P,U e data,

quindi, da

uC P,U

=

u (P M )

2 + u (m)2 + 4u (η)2 + 4u (l)2 + 4u (V M )2



Le incertezze sulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso

specifico u (η) possono, generalmente, essere trascurate

L’incertezza tipo assoluta risulta, pertanto

uCP U

= u

CP U

CP U



uC P,U

= u

C P,U

C P,U


, si scelgono



C P = C P,U ± U C P,U




Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica

In diversi tipi di misure industriali che coinvolgono grandezze

magnetiche, come per esempio nella misura della cifra di perdita di un

materiale magnetico tramite l’apparecchio di Epstein, si rende

necessario determinare il valore di cresta dell’induzione magnetica BC

Si puo dimostrare che BC e proporzionale al valore medio della

t i i d tt V h´ l f d’ d d ll i d i ti



tensione indotta V m, purche la forma d’onda della induzione magnetica

passi per lo zero due volte per periodo

Si considerino le forme d’onda dei valori istantanei dell’induzione

magnetica b e della forza elettromotrice di autoinduzione o indotta e

Si puo allora scrivere

e = −ns

d φ

dt = −ns

db

dt A

dove φ = bA e il valore istantaneo del flusso dell’induzione magnetica,ns e il numero di spire considerato e A e la sezione dei circuito

magnetico



e

b

e T/2

Vm

BC



T e n s i o n e ,

C o r r e n t e

Tempo

–BC



Risolvendo, si ricava

edt = −ns Adb

Il valore medio della tensione V m riferito al semiperiodo, misurato ad

esempio con un voltmetro magnetoelettrico e dato da

V =2

T /2

edt =2

BC

n Adb =2ns A

2BC = 4n AfBC



V m =T

0

edt =T

− BC

−ns Adb = −T

2 BC = −4ns AfBC

avendo indicato con T il periodo, con f la frequenza e con BC il valore

di cresta dell’induzione magnetica

Questa relazione e valida in quanto la forza elettromotrice indotta e

nulla quando e nulla la derivata dell’induzione magnetica, ovvero,

quando quest’ultima e massima

Si tenga presente che, se il voltmetro a valore medio e tarato in valore

effi

cace per forma d’onda sinusoidale, la lettura del voltmetro sar`a

V = 1.11V m = −4.44ns AfBC


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