Antonino G. Pirrone (1)

METODO ANALITICO per lo STUDIO della COMPOSIZIONE

OTTIMALE di MIX di AGGREGATI SECONDO CURVE

PREDEFINITE di PROGETTO.

Parte prima : Trattazione generale

(1)

Ing. Antonino Pirrone - Ingegnere Civile – Consulente Libero Professionista

Sommario

Argomento della memoria è la trattazione analitica generale dello “studio granulometrico”

di generiche miscele di aggregati usati nei più svariati campi dell’Ingegneria Civile sia come costituenti

primari di opere idrauliche, stradali o edilizie, sia come elementi di materiali compositi (conglomerati)

Il “giusto dosaggio” della miscela di aggregati, ovverosia la determinazione delle aliquote di

partecipazione di più classi di materiali granulari per la composizione del mix di prestabilite

caratteristiche granulometriche, e cioè secondo una predefinita curva di riferimento di progetto, viene

attualmente eseguito con metodi empirici di tipo ricorsivo, metodi quindi che essendo basati su criteri

soggettivi, si limitano pertanto ad ottenere una soluzione ritenuta soddisfacente piuttosto che tendere

alla ricerca della curva “ottima” come soluzione oggettivamente migliore.

La memoria presenta e sviluppa un nuovo metodo, di tipo analitico, di generale applicabilità,

basato essenzialmente sulla ricerca della soluzione “ottima” con il criterio ingegneristico dei minimi

quadrati, che risolve rigorosamente il problema del proporziona mento delle miscele.

Il metodo risulta altamente flessibile e valido per miscele generiche di più classi di inerti di

cui sono disponibili i risultati delle analisi granulometriche effettuate con qualsiasi serie di vagli o

crivelli.

Dopo aver tracciato l’impostazione e definito i termini del problema, vengono esposti e

illustrate le premesse, i criteri e gli sviluppi analitici del metodo e , quindi, fornite le relative relazioni

risolventi che permettono di determinare in maniera univoca e precisa la soluzione ottimale cercata.

1 - premessa

Questa “memoria” è il risultato di alcune ricerche teorico-pratiche eseguite sui misti

granulari in un laboratorio prove (annesso al cantiere) durante l’esperienza lavorativa in uno staff

della Direzione Lavori in cantieri di costruzione di Impianti Idroelettrici di media e alta potenza.

Per comprendere bene com’nasce l’esigenza di trovare un metodo analitico che risolvesse in

maniera eccellente il problema del proporzionamento di miscele o mix di aggregati, occorre

premettere una breve introduzione sull’uso di tali materiali e sul c.d. “studio granulometrico” delle

stesse che di solito ne procede ( e a volte ne accompagna) la loro messa in opera.

Fra i materiali impiegati nella realizzazione di opere civili in genere, e in particolare delle

costruzioni idrauliche e stradali, e in maniera indiretta nelle costruzioni edilizie, notevole

importanza rilevano i cosiddetti “materiali granulari” o “aggregati di inerti”

Com’è ben noto, questi materiali, rappresentano in talune opere i costituenti primari; ciò

accade per esempio per le opere di sbarramento – dighe, traverse, e gli argini, in materiali sciolti

(in terra, in rockfill e miste), i rilevati stradali, i riempimenti negli spianamenti, ecc

In tali altre lavorazioni, di non minore rilievo e maggiormente diffuse come ad esempio

molti tipi di conglomerati cementizi e bituminosi, gli “aggregati di inerti granulari”, pur non

essendo elementi primari, rivestono ugualmente uguale importanza poiché ne costituiscono

l’ossatura resistente.

Qualunque sia la loro natura e provenienza (minerale o non, naturali, artificiali o riciclati: di

frantoio o fluviali, pietrisco, ghiaia, sabbie, filler, vermiculite, perlite, argilla espansa ecc.), essendo

utilizzati come componenti di materiali compositi (i conglomerati), le loro caratteristiche di

forma,qualità, meccaniche e soprattutto granulometriche influenzano in modo determinante i

parametri di consistenza, compattezza e lavorabilità dell’impasto fresco nonché (ad indurimento

concluso) quelli di densità, resistenza e durabilità degli stessi in opera.

si possono citare, ad esempio:

- Malte cementizie e betoncini di vari tipi;

- Calcestruzzi cementizi ordinari o speciali (alleggeriti, pesanti, rinforzati con fibre, anti-

incendio, impermeabili, per getti massivi, per pali o diaframmi, per struttre in c.a.p. per

sostegni in c.a.c. strutturali o non, di tipo ciclopico ecc. ), a struttura aperta e chiusa;

- Conglomerati bituminosi di tipo idraulico per rivestimenti impermeabili di bacini idrici o

di tipo stradale per pavimentazione viaria o di piste aeroportuali;

In alcuni casi, come in certe parti di opere o in lavorazioni secondarie, si utilizza il materiale direttamente

proveniente dall’impianto (previo lavaggio e una sommaria vagliatura, se necessario); si tratta in questo

caso del c.d “tout-venant” o misto naturale di cava.

In altri casi e più frequentemente il misto di cava deve essere integrato con aggiunta di uno o più classi

granulari (di solito filler, cemento o/e ghiaia) e in questo caso si tratta del c.d. “misto stabilizzato”

In altri casi ancora,e di norma per opere e lavorazioni di un certo rilievo, i materiali granulari di base

vengono preventivamente vagliati e suddivisi ( o anche forniti direttamente) in più classi di pezzatura e

quindi pre-miscelati in certe proporzioni o aliquote in modo da ottenere un misto artificiale o mix o

miscela di aggregati di pre-fissate caratteristiche che costituirà il materiale vero e proprio da mettere in

opera o utilizzare nelle lavorazioni previste.

Quando gli aggregati di base, di solito forniti in più classi di pezzatura, devono

preventivamente essere miscelati in un mix da stendere in opera, o da utilizzare per altre

lavorazioni,vengono di solito specificate ex ante in capitolato e in progetto, oppure per

disposizione della Direzione Lavori, le prescrizioni inerenti le principali caratteristiche

fisico-tecniche che si richiedono al mix stesso e, in primo luogo, il suo grado di

assortimento, vale a dire la sua composizione granulometrica.

Di norma, quest’ultima importante caratteristica risulta prestabilita attraverso

intervalli o fusi di accettabilità o per mezzo di specifiche curve teoriche o sperimentali, in

forma tabellare e grafica.

Tali prescrizioni, il cui rispetto, com’è noto, è sottoposto a continui ed accurati

controlli da parte della Direzione Lavori, si rendono necessarie per avere la certezza

(beninteso entro gli intervalli delle inevitabili incertezze stocastiche) di raggiungere in

opera o nei materiali compositi dei quali costituiscono lo scheletro (conglomerati) i valori

limiti delle grandezze poste a base dei calcoli progettuali (densità in sito, permeabilità,

resistenza.......etc).

I valori limiti dei parametri prescritti scaturiscono, com’è noto, oltre che da studi

teorici, anche da apposite prove e studi preliminari in laboratorio e in sito (stese e rilevati

sperimentali, impasti di saggio, etc... ) effettuati sui materiali reperibili in loco. Di questi

studi preliminare fa parte anche il c.d. “studio granulometrico” della miscela di aggregati.

Per opere di un certo impegno tale “studio granulometrico” viene effettuato già in

fase progettuale e può proseguire ancora con l’andamento dei lavori quando si verificano

variazioni o modifiche nel progetto, nelle condizioni del sito o nella fornitura dei materiali.

I questa fase esso conduce, come risultato, all’individuazione della curva granulometrica

di progetto o al fuso granulometrico di accettabilità.

In fase di realizzazione delle opere lo studio granulometrico della miscela assume un

significato e un fine concettualmente e operativamente molto diversi: assegnata, di fatti,

come dato la predetta curva di progetto, si procede ad eseguire in primo luogo le analisi

granulometriche di ciascuna classe di aggregati, riportandole in tabelle e grafici.

Quindi sulla base di queste e della curva di progetto, si procede al c.d.

proporzionamento della miscela ricercando l’ennupla di valori delle aliquote con cui

miscelare le diverse classi componenti, tali che la curva dell’aggregato-miscela così

ottenuta risulti, a secondo dei casi, o quanto più prossima alla curva di progetto o quanto

meno contenuta nella fascia centrale del fuso di accettabilità del materiale.

Attualmente tale proporzionamento, ad esclusione di quello per la miscela di inerti

con il c.d. “metodo grafico” per i calcestruzzi confezionati secondo la curva di Fuller,

viene eseguito per lo più con metodi pratici ed empirici, di tipo ricorsivo, sulla base di

una prima soluzione determinata con criteri soggettivi.

Nella presente memoria, il problema di individuare le aliquote più soddisfacenti, fino

ad oggi affrontato e risolto con metodologia che evidentemente è di tipo decisionale-

soggettiva viene tradotto in un problema di ottimizzazione-oggettivo e risolto con l’ormai

collaudato criterio ingegneristico dei minimi quadrati.

Il metodo che ne deriva elimina gli inconvenienti dell’approccio empirico per

soluzioni ricorsive e pertanto costituisce un utile strumento analitico, semplice e altamente

flessibile, in grado di esaminare e risolvere efficientemente situazioni generiche anche

complesse e altrimenti risolvibili solamente su base soggettiva, consentendo di determinare

in maniera univoca e precisa la soluzione “ottima” del problema.

Nel seguito, mantenendo un approccio prettamente tecnico-metodologico

s’illustreranno, anche per mezzo di esempi tratti dall’esperienza di cantiere, i punti più

significativi delle varie fasi della procedura:

- notazione e simbologia;

- definizioni dei dati e dei termini;

- impostazione e formulazione;

- sistema risolutivo;

- indici significativi;

- analisi di soluzioni particolari

- prassi operativa del metodo

Infine, nella “parte seconda” della memoria, verrà sviluppata e analizzata più specificamente

una’applicazione di particolare importanza del metodo analitico, volta allo studio di miscela di

aggregati nel confezionamento dei calcestruzzi cementizi, cercando di evidenziare ancora

l’approccio tecnico-procedurale nella metodologia in rapporto agli sviluppi analitico-matematici

della stessa

2 - notazione e simbologia

2.1 – notazione

Per l’impostazione e risoluzione del problema si è adottata la notazione matriciale,

ormai di diffusa conoscenza, ritenuta indubbiamente più chiara, semplice e compatta,

nonché più adatta per l’eventuale implementazione del metodo su elaboratori e “fogli

elettronici” (oggi disponibili anche su tablet e perfino sugli smartphon).

Seguendo la prassi comune, si indicheranno in grassetto le grandezze vettoriali

(minuscole) e matriciali (maiuscole) e in corsivo le grandezze scalari:

- matrici e vettori trasposti : lettere in grassetto con l’apice t;

- matrici inverse: lettere in grassetto con l’apice -1

2.2 - simbologia

n : numero delle classi di aggregati componenti la miscela ricercata;

m: numero dei vagli o setacci della serie adoperata per l’analisi granulometrica;

fi : passante dell’aggregato mix di progetto (o di riferimento) al vaglio i;

xk : aliquota frazionaria ( 0 O xk O 1 ) di partecipazione della generica classe k al

mix

3 - definizione dei termini e dei dati

I dati del problema sono costituiti essenzialmente dalla curva di riferimento di

progetto dell’aggregato miscela e dal numero e composizione granulometrica dei materiali

delle classi componenti, e cioè, in pratica, dai risultati delle analisi granulometriche

effettuate su ciascuna classe degli aggregati componenti.

Le quantità incognite, invece, sono rappresentate dalle aliquote di partecipazione

delle stesse classi concorrenti a formare l’aggregato-miscela, da determinare con i criteri

già accennati in premessa e dalle altre grandezze ad esse relazionate (curva granulometrica

del mix e indici significativi).

3.1 - matrice passanti

Siano n le classi di aggregati concorrenti (di solito n O5 ):

Indichiamo con pik il passante in frazione al generico vaglio i di diametro di della

generica classe k. (*)

Le varie quantità pik, ordinate per colonna secondo le classi e per riga secondo il numero

di vaglio, costituiscono una matrice P rettangolare di ordine m . n detta “matrice

passanti” delle classi:

p11 p12 ........ ... p1n

p21 p22 .............p2n

P = ............................... = [ pik ]m.n ( 1.1 )

................................

pm1 pm2 ........ ...pmn m.n

3.2 - curva di riferimento e suo vettore associato

Con il termine “curva di riferimento o di progetto” si intenderà la spezzata o la

curva che in un diagramma granulometrico rappresenta la composizione ideale o teorica

dell’aggregato di progetto.

Come già premesso, tale curva è di solito prestabilita per mezzo di prescrizioni

contenute nei documenti contrattuali o in norme da questi richiamate (capitolati tecnici,

fogli di condizioni, disposizioni della Direzione Lavori, normativa tecnica .. etc) in

forma grafica o tabellare di fuso di accettabilità (intervalli fra valori min.e max per

ciascun diametro) o con rinvio a curve teoriche di max addensamento (Fuller e altre).

Note: (*) Indicati con: Gk : peso del campione della classe generica k (k= 1,2..... n)

T0k: trattenuto in peso al fondello della classe k; Tik: trattenuto in peso al vaglio i della classe k (i=1,2 ......m)

Pik: passante in peso al vaglio i della classe k

pik: passante in frazione o passante al vaglio i della classe k di : diametro dei fori del vaglio i

D : =d1: diametro max dell’aggregato miscela e della serie di vagli;

qi : passante dell’aggregato miscela al vaglio i

si ipotizza di avere effettuato preliminarmente l’analisi granulometrica di tutte n le classi con una serie di m vagli a

fori circolari di diametri d, ordinati per semplicità in senso decrescente:

d1=Dmax = D > d2 > d3 > ..... dm

la vagliatura di un campione di peso Gk della generica classe k fornisce i trattenuti in peso agli m vagli:

T1k T2k T3k Tmk

e il trattenuto al fondello T0,k

. Com’è noto, i passanti in peso corrispondenti si ricavano con le relazioni:

Pik = Ti+1,k + Ti+2,k + ..... + Tm,k + T0,k

e i relativi passanti frazionari o passanti

pik = Pik / Gk (i = 1,2,...... m ; k = 1,2, ....... n)

Quando la composizione dell’aggregato di progetto è prestabilita per mezzo di un

fuso, come curva di riferimento si assumerà, ovviamente, la curva mediana interpolata fra

le due curve limiti del fuso stesso.

Il vettore “curva di riferimento” f = [ fi ]m , associato alla curva, ha come elementi i

passanti (frazionari) agli m vagli della serie dell’aggregato di progetto;

f = [ f1, f2, fm ]t

( 1.2 )

Nel caso di fuso di accettabilità gli m componenti del vettore si ricavano in

maniera semplice:

fi = ½ [ fmax,i + fmin,i ] ( i=1,2, .... m)

mentre, se per l’aggregato si fa riferimento a curve teoriche di massimo

addensamento del tipo

y = φ [ d ]

si discretizza la funzione y calcolandola in corrispondenza degli m diametri e si

assumono tali valori per elementi del vettore:

fi = yi = φ [ di ] (i= 1,2, ........ m )

La curva di riferimento ( o il relativo vettore associato) costituisce l’obiettivo del

problema; La miscela dovrà possedere una sua curva granulometrica per quanto possibile

più prossima a quella di riferimento.

3.3 - curva miscela e suo vettore associato - vettore aliquote

Con il temine “curva miscela” si intenderà la spezzata che nel diagramma

granulometrico rappresenta la composizione dell’aggregato ottenuto miscelando le n classi

componenti secondo le aliquote x1, x2, …..xn -

Il vettore miscela, associato alla curva, avrà quindi per componenti gli m valori dei

passanti a ciascuno degli m vagli della serie dell’aggregato miscela stessa.

Indichiamo con “vettore aliquote “ x = [ xk ]n il vettore a n componenti:

x = [ x1, x2, xn ]t ( 1.3 )

che verrà indicato anche come “ vettore soluzioni” in quanto le sue n

componenti sono le soluzioni ricercate, cioè quelle che ottimizzano la curva miscela,

Il vettore miscela verrà, infine, indicato con q = [ qi ]m

q = [ q1, q2, qm ]t ( 1.4 )

4 - impostazione e formulazione

Il vettore miscela q, espresso dalla ( 4 ), di un generico aggregato di n classi di

materiali di cui è disponibile la matrice passanti P espressa dalla ( 1 ), proporzionato con la

n-upla di aliquote corrispondente al vettore x, espresso dalla ( 3 ) , puo essere formulato

come

q = P. x (1.5)

Difatti, il generico passante qi della miscela al generico vaglio i dovrà risultare la

combinazione lineare, con coefficienti uguali alle rispettive aliquote di dosaggio xk , degli

n passanti pik delle n classi componenti, e cioè:

qi = x1.pi1 + x2.pi2 + ........... + xn.pin (i =1,2 .... m)

in termini matriciale la suddetta relazione può essere letta come il prodotto di una

riga di matrice per un vettore colonna:

qi = pit . x da cui raggruppando si ha q = P . x

Indichiamo con = [ i ]m il vettore scostamenti, avente per elementi gli

scostamenti, in corrispondenza di ciascuno degli m vagli, fra la curva miscela e la curva di

riferimento, i = qi - fi

in termini vettoriali : = q - f (1.6)

Applicando il “metodo dei minimi quadrati”, si cercherà fra tutte le n-uple di

aliquote s, quella che fornisce una curva miscela che presenta gli scostamenti in valore

assoluto più piccoli rispetto alla curva di riferimento prefissata, ovvero un vettore aliquote

cui corrisponde il valore minimo di una grandezza funzione globale dei quadrati degli m

scostamenti;

consideriamo la grandezza scalare W, funzione di x

W = i

i

m2

1

(1.7 )

W = t . = [q - f]

t . [q - f] che per la precedente (1.5 ) diventa:

W [x] = [xt.P

t - f

t] . [P.x - f] e sviluppando:

W [x] = xt.P

t.P.x - x

t.P

t.f - f

t.P.x + f

t.f

Indichiamo con

A = Pt . P matrice quadrata di ordine n

c = P

t . f vettore di ordine n

operando le sostituzioni e osservando che xt.c = c

t.x la W diventa:

W [x] = xt.A.x - 2.c

t.x + f

t.f

La W[x} risulta una forma quadratica del vettore x e cioè una funzione continua e

derivabile; inoltre essa è definita positiva per costruzione (si annulla solo quando tutti gli

scostamenti sono nulli, cioè quando la curva miscela coincide punto per punto con la

curva di riferimento) ;

pertanto W(x) ammetterà un valore minimo in corrispondenza di un vettore

x = ( x1, x2, .... xn)t di aliquote

che si costituirà la soluzione del problema.

Per operare la ricerca di tale minimo occorre tenere conto che le variabili sono

vincolate dalla relazione

kk

n

x

1

= 1 cioè β(x) = k

k

n

x

1

- 1 = 0 ( 1.8 )

derivante dalla definizione stessa di aliquote di partecipazione;

si tratta in sostanza del classico problema della ricerca di minimo condizionato, da

risolvere con il metodo di Lagrange.

Se indichiamo con:

1 = ( 1, 1, 1 .......1 )t

il vettore unità di ordine n

1t = vettore riga unità

possiamo esprimere la relazione condizionante ( 1.8 ) nella forma vettoriale:

β(x) = 1t.x - 1 = 0 ( 1.9 )

Operando con il metodo di Lagrange, la ricerca del minino viene effettuata sulla

funzione vincolata

W (x, λ) = W(x) + λ.β(x)

essendo λ , scalare, un opportuno moltiplicatore;

W (x, λ) = xt.A.x - 2.c

t.x + f

t.f + λ.[1

t.x -1]

5 - sistema risolutivo

Se deriviamo la W [x, λ] rispetto al vettore x, tenendo presente che f è

indipendente da x , ed uguagliamo a zero, otteniamo:

2.A.x - 2.c + λ.1 = 0

e cioè, posto λ = 2.μ

A.x + μ.1 = c ( 1.10 )

Derivando ancora la W [x, λ] rispetto a λ ed uguagliando a zero si ha:

1t. x = 1 ( 1.11 )

Le due relazioni vettoriali ( 1.10 ) ed ( 1.11 ) costituiscono insieme un sistema di

n+1 equazioni nelle n incognite x1, x2, ..... xn e nell’incognita ausiliaria μ = λ /2 .

a11.x1 + a12.x2 + ............. + a1n.xn + μ = c1

a21.x1 + a22.x2 + ............. + a2n.xn + μ = c2

................................................................. ( 1.12 )

an1.x1 + an2.x2 + ............. + ann.xn + μ = cn

x1 + x2 + ............. + xn = 1

La matrice A = Pt.P è quindi la matrice dei coefficienti del sistema (1.10);

essa risulta quadrata di ordine n e anche simmetrica poiché At = A; essa verrà indicata

come “ matrice ponderale “ ;

i suoi elementi ajh - denominati “ coefficienti ponderali “, sono dati in forma

scalare da:

ajh = i

m

1

pij.pih

Il vettore c = Pt.f di ordine n è invece il vettore [c1, c2, ... cn]

t dei termini noti

dello stesso sistema, i cui elementi sono dati, in forma scalare dalla :

cj = i

m

1

pij.fj

Il sistema (1.12) può scriversi in forma matriciale, riprendendo le due relazioni

vettoriali (1.10) e (1.11):

A 1 x c

. = (1.13)

1t 0 μ 1

La prima matrice dell’equazione vettoriale (13) è costituita dalla matrice ponderale

A orlata simmetricamente con il vettore unitario n-dimensionale 1 e con l’elemento posto

all’incrocio dell’ultima riga e dell’ultima colonna pari a zero; poniamo:

a11 a12 .......... a1n 1

a21 a22 .......... a2n 1

................................. .

................................. . = B matrice ponderale orlata

an1 an2 .......... ann 1

1 1 ......... 1 0 n+1,n+1

x1 c1

x2 c2

... ....

xn = z cn = g

μ n+1 1 n+1

Il sistema (13) può scriversi nell’usuale forma :

B . z = g (1.14)

Indicata con B-1

l’inversa della matrice ponderale orlata B il sistema risolvente è

dato da

z = B-1

. g (1.15)

Le prime n componenti del vettore z così determinato costituiscono la n-upla di

aliquote x cercate.

Le percentuali di miscelamento delle n classi per ottenere il mix aggregati richiesto

saranno pertanto:

- Per la classe 1 x1 . 100 ; per la classe 2 x2 . 100 …… per la classe n xn . 100

Calcolate le aliquote di partecipazione xi le componenti del vettore miscela q si

calcolano facilmente con la ( 1.5 ) q = P . x (ricordiamo che P è la matrice passanti

delle n classi degli aggregati componenti il mix)

6 - indici significativi

Una volta determinata la n-upla di aliquote x1, x2, ....... xn per mezzo del vettore

z = [ x1 , x2, ......... xn , μ ]t

con la relazione (1.5)

q = P . x

si ricostruisce il vettore miscela; è così possibile calcolare anche il vettore

scostamenti = [ 1 , 2, ....... m ]t con la relazione (1.6)

= q - f

Servendosi delle componenti di quest’ultimo vettore, si possono definire e calcolare

due indici:

med = indice di scastamento medio

σ = indice di assortimento delle classi

Per il calcolo di questi due parametri vengono presi in considerazione solo gli (m-1)

valori degli scostamenti 2,3,.....m in quanto risulta sempre 1 = 0

Infatti si ha, per definizione

per d = d1 = D = Dmax p1k =1 ( k = 1,2, n) da cui

q1 = 1 e inoltre f1 = 1

I due indici vengono pertanto definiti con le relazioni scalari seguenti:

med = scostamento assoluto medio ( 1.16 )

indice di assortimento ( 1.17 )

Quanto più piccoli sono i valori di questi due parametri, tanto più la curva miscela

risulta prossima alla curva di progetto. In particolare, se si interpretano gli (m-1)

scostamenti come errori residuali, allora l’indice di assortimento espresso dalla (17) può

essere considerato come una sorta di parametro di precisione associato alla curva miscela

ottenuta.

Eseguendo uno studio comparato con più partite di insiemi di classi di inerti, si

possono utilizzare i due indici per confrontare le diverse curve miscele.

La determinazione di questi due indici può inoltre risultare utile anche quando si

deve decidere la scelta di n classi componenti di inerti da estrarre da una partita di

N >n di classi disponibili; in questo caso vengono effettuati più studi granulometrici sulle diverse

combinazioni possibili estraibili dalla partita e per ognuna di esse vengono individuate le

corrispondenti curve miscele con relativi indici di assortimento; la combinazione ottima

risulterà, evidentemente, quella che presenta il valore più piccolo di tale indice.

7 - situazioni particolari

7.1 - soluzioni negative

In casi particolari, quando le diverse classi non sono bene assortite per lo scopo,

può accadere che il metodo analitico fornisca soluzioni anomale, cioè matematicamente

corrette ma tecnicamente incongruenti, dove, per esempio, una o più componenti del

vettore aliquote x risultano negative.

Difatti la ricerca del minimo della funzione (7) avviene nello spazio reale Rn

con

il solo vincolo che la somma di tutti i valori delle aliquote soluzioni sia pari all’unità;

pertanto, nel caso di infelice e del tutto inidoneo assortimento di una serie di classi di

inerti, l’ottimizzazione analitica insita nel metodo può condurre addirittura a una

sottrazione della classe granulometrica (o di più classi) risultante dannosa per la miscela

(la cui corrispondente aliquota risulterà x <0 ).

L’incongruenza delle soluzioni può facilmente essere eliminata con semplici

considerazione che sono volte a riportare tutte le componenti x del vettore aliquote nel

dominio (teorico)

0 O xk O 1 ( k= 1, 2, ..... n ) (1.18)

Si supponga, allora, che il sistema risolvente (13) conduca ad una prima soluzione

x = [ x1 , x2 , ..... x a, ...... xn ]t dove per la classe a è xa <0

In corrispondenza della n-upla dei valori x1 , x2 , .... xa<0 .... xn la funzione W

degli scostamenti, definita dalla (7) del paragr. 4, assume il valore minimo teorico (o

analitico) Wmin;

ricordando che W è una forma quadratica definita positiva delle variabili x , si

deduce che al vettore x’

x’ = [ x’1 , x’2 , ..... x’ a,=0 ...... x’n ]t

soluzione ancora del sistema (13)

corrisponde un valore della funzione W0 > Wmin ma che risulta il più piccolo nel

campo espresso dalla relazione di congruenza (18), cioè il valore minimo tecnico.

Il altri termini, la soluzione “ottima e congruente” si raggiunge scartando la classe

“a” per la quale la prima soluzione ha fornito l’aliquota corrispondente negativa, e

reiterando il procedimento con le rimanenti n’=n-1 classi.

7.2 - percentuali assegnate

Non sempre, però, è tecnicamente possibile e conveniente eliminare del tutto una

classe di pezzatura, pur se risultante granulometricamente poco idonea a fornire

l’assortimento di progetto; in certe particolare situazioni, per esempio, la presenza nella

miscela finale di una prefissata classe in percentuale minima assegnata, viene imposta per

ottenere determinate caratteristiche nel materiale aggregato.

Nei calcestruzzi confezionati con inerti di cava, per esempio, si prevede un utilizzo

in percentuale minima di sabbia o pietrischetto di natura alluvionale, a grani tondeggianti,

per ottenere una sufficiente lavorabilità, o in altri casi una discreta attitudine ad essere

pompato.

In altri casi ancora, la presenza di una certa classe, come il c.d. “finissimo” o “filler”

è imposta in una determinata percentuale per ottenere aggregati che presentino una

permeabilità assegnata, oppure, come nel caso dei rilevati in rockfill delle dighe

costruite in zone a rischio sismico, per ottenere materiali c.d. “autocicatrizzanti”.

Indichiamo, allora, con il pedice “a” la classe di aliquota x*a = α pari al valore

minimo assegnato, per la quale il metodo ha fornito come prima soluzione

xa <0 o anche xa O α valore min. assegnato

Evidenziando i termini relativi alla classe “a” e con la posizione xa = α (valore min.

imposto), il sistema risolvente (1.13) può essere trasformato nel sistema

a11.x1 + a12.x2 + .......... 0.xa. ..... + a1n.xn + μ = c1 - a1a. α

a21.x1 + a22.x2 + .......... 0.xa........ + a2n.xn + μ = c2 - a2a. α

........................................................................................

0 x1 + 0. x2 + ........ 1 .xa ..... +. 0. xn + 0 = α

.........................................................................................

an1.x1 + an2.x2 + ...........0.xa ...... + ann.xn + μ = cn - ana . α

x1 + x2 + ......... 0.xa + ........ + xn = 1 - α

che in forma compatta può ancora essere ricondotto al sistema generale (1.13)

B* . z

* = g

*

Gli elementi della matrice ponderale orlata B* (ancora simmetrica ) e del vettore

termini noti g* dovranno allora essere modificati per alcuni indici, e cioè si dovrà porre:

b*aj = b

*ja = 0

( j = 1,2,....... n+1; j a )

g*j = gj - α.bja

b*aa = 1

g*a = α

mentre tutti gli altri elementi della matrice B* rimangono gli stessi di quelli della

matrice originaria B.

I primi n elementi di z* = [ x

*1 x

*2 ... x

*a= α .... x’n μ ]

t

soluzione del sistema z* = ( B*)-1

. g* forniscono le aliquote richieste.

8 – Prassi operativa del metodo

- In genere gli inerti, provenienti da impianti di frantumazione e vagliature di cave prossime

al cantiere o da apposite Ditte fornitrici esterne, vengono forniti suddivisi in un certo

numero n di classi di pezzature (di solito n 3 o 4,max 5; …. p.es. sabbia fine, sabbione,

ghiaietto, ghiaia); su ciascuna delle classi vengono eseguite presso un laboratorio di

cantiere (o esterno) diverse prove e determinazioni, fra le quali e principalmente, l’analisi

granulometrica tramite setacciatura ad una serie di m vagli o crivelli;

- Con i risultati delle singole analisi granulometriche delle n classi costituenti il mix si

costruisce la matrice passanti P

p11 p12 ........ ... p1n

p21 p22 .............p2n

P = ............................... = [ pik ]m.n ( 1 )

................................

pm1 pm2 ........ ...pmn m.n

dove pik è il passante in frazione (dell’unità) al generico vaglio i di diametro d i della generica

classe k, ed m il numero dei vagli ( o dei diametri considerati);

In pratica si tratta sostanzialmente di una tabella di n colonne ed m righe, dove in ciascuna

colonna, riferita ad una data classe, si riportano i valori dei passanti espressi in frazione di unità

( i laboratori forniscono i passanti in valori percentuali) corrispondenti, riga per riga, agli m

diametri dei vagli; questa tabella può essere oggi facilmente eseguita facendo uso di un

normale “foglio elettronico” di un PC.

Ovviamente la serie di vagli o di crivelli adoperata per la setacciatura dovrà essere la

medesima per ogni classe di inerte.

- Facendo riferimento alla curva granulometrica di Capitolato (o alla curva mediana del fuso di

Capitolato) che il Mix in progetto dovrà rispettare si costruisce il vettore “curva di

riferimento”:

f = [ f1, f2, fm ]t

- si calcolano i coefficienti ponderali della matrice A (matrice ponderale) e i termini noti

del vettore c con le relazioni viste:

A = P

t . P matrice quadrata di ordine n

c = Pt . f vettore (dei termini noti) di ordine n

- si costruiscono la matrice ponderale orlata B e il vettore termini noti orlato g

A 1 c

B = g =

1t 0 1

- si calcola l’inversa della matrice ponderale orlata B-1

- Le aliquote x di miscelamento cercate risulteranno, quindi, le prime n componenti del

vettore soluzione z (vettore x orlato) espresso dalla relazione (1.15) della parte prima

z = B-1. g dove z = ( x1, x2, … xn, μ )t e μ una variabile ausiliaria

Come gi visto nei precedenti paragrafi, le percentuali di miscelamento delle n classi

per ottenere il mix aggregati richiesto saranno pertanto:

- Per la classe 1 x1 . 100 ; per la classe 2 x2 . 100 …… per la classe n xn . 100

- Infine, si ricostruisce, on le aliquote x prima ottenute, tramite la relazione (1.5) q = P. x il

vettore del mix di aggregati in progetto.

9 – Un esempio di applicazione concreta del metodo analitico

A conclusione della memoria e a titolo esemplificativo si riporta in appendice in

forma tabellare e grafica uno degli studi granulometrici tratti dai numerosi studi effettuati

presso il “laboratorio prove” di cantiere con l’applicazione della metodologia illustrata, sui

diversi mix granulometrici durante la costruzione di molte delle opere civili di un certo

impegno, costruite nei recenti anni ’80 per la realizzazione di un grande Impianto idroelettrico.

Nell’esempio riportato il metodo è stato sviluppato con passi di calcolo manuale

elaborando i dati di base raccolti nelle tabelle n. 1.1 e n. 1.2 e i risultati delle analisi

granulometriche riassunti nella tab. n. 1.3; le successive tabelle n. 1.4 e n. 1.5 riportano i

calcoli dei coefficienti ponderali e dei termini noti del sistema risolutivo effettuati con le due

relazioni scalari: ajh = i

m

1

pij.pih cj = i

m

1

pij.fj

nonché le determinazioni finali del problema, compreso i due indici significativi.

Lo studio è quindi sinteticamente e graficamente rappresentato nel diagramma della figura in

appendice, nel quale risultano tracciate:

- le curve granulometriche delle 4 classi componenti;

- il fuso di capitolato;

- la curva di riferimento di progetto;

- la curva dell’aggregato miscela ottenuta;

Le percentuali di miscelamento delle 4 classi sono risultate:

- Per la cl. 1 ( pietrisco 32/8 mm ) x1= 0.401 …… 40.1 %

- Per la cl. 2 ( pietrischetto 16/2 mm ) x2= 0.318 …… 31.8 %

- Per la cl. 3 ( sabbia 5/2 mm ) x3= 0.237 …… 23.7 %

- Per la cl. 4 ( filler ) x4= 0.044 …… 4.4 %

Come si vede nella figura la curva del mix ottenuta con il metodo analitico descritto è, non solo

perfettamente contenuta dentro il fuso delle prescrizioni di Capitolato ma anche molto

prossima alla curva mediana del fuso stesso, curva quest’ultima che è stata assunta come curva

di riferimento o di progetto.

Lo scostamento assoluto medio fra le due curve è risultato inferiore all’ 1%.

10 – Conclusioni

In conclusione si può affermare che la procedura analitica risulta del tutto generale e

aspecifica, sia in termini di tipo e numero delle classi componenti la miscela, sia con

riferimento alle modalità operative di vagliatura e classamento dei materiali (tipo, numero

e serie dei vagli o crivelli ) e sia ancora in rapporto alle caratteristiche e alle finalità

costruttive dell’aggregato miscela (tipo e forma della curva granulometrica di riferimento

progettuale).

11 – bibliografia

- Per la parte di calcolo matriciale: TEORIA ed APPLICAZIONI delle MATRICI di Frank

Ayres Jr. – collana SCHAUM - Edizione

MIX AGGREGATI PER ______________________ Cantiere di : _______________

Tab. n° 1: fuso granulometrico di capitolato

vaglio fuso curva rif.

n° d (mm) perc. min perc. max perc. med f

1 31.50 100.0 100.0 100.0 1.000

2 22.40 72.0 100.0 92.0 0.920 Tab. n° 2: inerti disponibili

3 16.00 52.0 88.0 70.0 0.700

4 11.20 38.5 66.5 52.5 0.525 classe 1: pietrisco 31.5/8 mm

5 8.00 32.0 52.0 42.0 0.420 classe 2: pietrischetto 16.0/2 mm

6 4.75 22.0 37.0 29.5 0.295 classe 3: sabbia 4.75/0 mm

7 2.00 13.0 23.0 18.0 0.180 classe 4: filler

8 0.71 8.0 14.0 11.0 0.110

9 0.25 4.0 8.0 6.0 0.060

10 0.090 2.0 6.0 4.0 0.040

11 0.074 1.8 5.0 3.4 0.034

tab. n° 3 analisi granulometrica degli inerti - trattenuti e passanti ai vagli

vaglio trattenuti parz. in peso trattenuti totali in peso passanti in peso passanti in frazione/tot.

n° cl. 1 cl. 2 cl. 3 cl. 4 cl. 1 cl. 2 cl. 3 cl. 4 cl. 1 cl. 2 cl. 3 cl. 4 cl. 1 cl. 2 cl. 3 cl. 4

1 0 0 0 0 0 0 0 0 5000 4000 2000 1000 1 1 1 1

2 905 0 0 0 905 0 0 9 4095 4000 2000 1000 0.819 1 1 1

3 2655 0 0 0 3560 0 0 0 1440 4000 2000 1000 0.288 1 1 1

4 1360 1168 0 0 4920 1168 0 0 80 2832 2000 1000 0.016 0.708 1 1

5 55 1252 0 0 4975 2420 0 0 25 1580 2000 1000 0.005 0.395 1 1

6 25 1184 10 0 5000 3604 10 0 0 396 1990 1000 0 0.099 0.995 1

7 0 324 906 0 5000 3928 916 0 0 72 1084 1000 0 0.018 0.542 1

8 0 68 636 0 5000 3996 1552 0 0 4 448 1000 0 0 0.224 1

9 0 4 282 0 5000 4000 1834 0 0 0 166 1000 0 0 0.083 1

10 0 0 130 54 5000 4000 1964 54 0 0 36 946 0 0 0.018 0.946

11 0 0 36 84 5000 4000 2000 148 0 0 0 862 0 0 0 0.862

fondo 0 0 0 862 1000

P.Tot. 5000 4000 2000 1000

MIX AGGREGATI PER ______________________ Cantiere di : _______________

tab. n° 4: Calcolo dei coefficienti ponderali

vaglio passanti in frazione / totale Coefficienti 1ª riga Coefficienti 2ª riga Coeff. 3ª riga Coeff. 4ª

riga

n° p1 p2 p3 p4 p12 p1 . p2 p1 . p3 p1 . p4 p2

2 p2 . p3 p2 . p4 p32 p3 . p4 p4

2

1 1.000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 0.819 1 1 1 0.6708 0.8190 0.8190 0.8190 1 1 1 1 1 1

3 0.288 1 1 1 0.0829 0.2880 0.2880 0.2880 1 1 1 1 1 1

4 0.016 0.708 1 1 0.0003 0.0113 0.0160 0.0160 0.5013 0.7080 0.7080 1 1 1

5 0.005 0.395 1 1 - 0.0020 0.0050 0.0050 0.1560 0.3950 0.3950 1 1 1

6 0 0.099 0.995 1 - - - - 0.0098 0.0985 0.0990 0.9900 0.9950 1

7 0 0.018 0.542 1 - - - - 0.0003 0.0098 0.0180 0.2938 0.5420 1

8 0 0 0.224 1 - - - - - 0.0002 0.0010 0.0502 0.2240 1

9 0 0 0.083 1 - - - - - - - 0.0069 0.0830 1

10 0 0 0.018 0.946 - - - - - - - 0.0003 0.0170 0.8949

11 0 0 0 0.862 - - - - - - - 0.7431

1.7540 2.2103 2.2180 2.1280 3.6674 4.2115 4.2210 6.3412 6.8610 10.6380

a a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44

tab. n° 5: Calcolo termini noti - passanti miscela e scostamenti

vaglio

passanti in frazione / totale termini noti c calcolo passante curva miscela pass. valori

assol.

n° p1 p2 p3 p4 f p1

. f p2 . f p3 . f p4 . f x1 . p1 x2 . p2 x3 . p3 x4 . p4 q

1 1.000 1 1 1 1.000 1 1 1 1 0.401 0.318 0.237 0.044 1.000 0

2 0.819 1 1 1 0.920 0.7535 0.9200 0.9200 0.9200 0.328 0.318 0.237 0.044 0.927 0.007

3 .0288 1 1 1 0.700 0.2016 0.7000 0.7000 0.7000 0.115 0.318 0.237 0.044 0.714 0.014

4 0.016 0.708 1 1 0.525 0.0084 0.3717 0.5250 0.5250 0.006 0.225 0.237 0.044 0.512 0.013

5 0.005 0.395 1 1 0.420 0.0021 0.1659 0.4200 0.4200 0.002 0.126 0.237 0.044 0.409 0.011

6 0 0.099 0.995 1 0.295 - 0.0292 0.2935 0.2950 - 0.031 0.236 0.044 0.311 0.016

7 0 0.018 0.542 1 0.180 - 0.0032 0.0976 0.1800 - 0.006 0.128 0.044 0.178 0.002

8 0 0 0.224 1 0.110 - 0.0001 0.0246 0.1100 - - 0.053 0.044 0.097 0.013

9 0 0 0.083 1 0.060 - - 0.0050 0.0600 - - 0.020 0.044 0.064 0.004

10 0 0 0.018 0.946 0.040 - - 0.0007 0.0378 - - 0.004 0.042 0.044 0.004

11 0 0 0 0.862 0.034 - - - 0.0293 - - - 0.038 0.038 0.004

1.9656 3.1902 3.9864 4.2771 x1

0.401

x2

0.318

x3

0.237

x4

0.044 0.092

c c1 c2 c3 c4 m 0.009

0.010