Note su Meccanica dei fluidi ideali + esercizi svolti Richiamiamo brevemente definizioni e relazioni fra le grandezze della fluidodinamica illustrate a lezione. Il carattere di questa nota è sintetico, non esaustivo. Per maggiori dettagli si rimanda al capitolo “I Fluidi” (cap.9) del Giambattista, a “Meccanica dei fluidi” di Serway&Jewett, o al capitolo “I fluidi” del Giancoli, o ai capitoli su statica e dinamica dei fluidi di Haliday&Resnick. Concetti e relazioni vengono applicati alla risoluzione degli esercizi presenti nella raccolta dei Compitini del Prof. Moruzzi. Vengono esclusi gli esercizi in cui l’effetto della viscosità è importante per determinare il flusso dei fluidi in un tubo (legge di Poiseuille), in quanto al di fuori del programma previsto per il II compitino. Densità ρ= massa per unità di volume Unità di misura: kg m-3 Alcune densità di solidi, liquidi, gas:

materiale Densità [kg m-3]Alluminio 2.7 × 103 Ferro 7.8 × 103 Rame 8.9 × 103 Piombo 11.3 × 103 Oro 19.3 × 103 Granito 2.7 × 103 Vetro 2.4-2.8× 103 Ghiaccio 0.97 × 103 Acqua (4oC) 1.00 × 103 Sangue 1.05 × 103 Acqua di mare 1.025 × 103 Mercurio 13.6 × 103 Alcool etilico 0.79 × 103 Benzene 0.68 × 103 Aria 1.29 Elio 0.179 CO2 1.98

Densità relativa ρr=ρ/ρacqua Pressione P = Forza per unità di superficie : P=F/S Unità di misura: N m-2= Pa (Pascal) Un fluido in quiete esercita la pressione in tutte le direzioni. La pressione agisce sempre perpendicolarmente a qualsiasi superificie solida con cui è in contatto. La pressione in un fluido in quiete aumenta con la profondità. Questo a causa della forza peso esercitata dal fluido che si trova al di sopra del punto in cui misuriamo la pressione. La relazione su un volumetto infinitesimo (sempre valida) dice che la differenza di pressione è legata a:

hgP ∆−=∆ ρ Più si scende in profondità (∆h negativo) più aumenta la pressione.

Se il fluido è comprimibile allora la densità può cambiare con la pressione e quindi con l’altezza. Nel caso dell’aria, in prima approssimazione si può considerare che la sua densità sia proporzionale alla pressione. Scelta una condizione di riferimento, per la quale si hanno densità e pressione ρO e PO, si può scrivere, per ogni pressione:

OO PP

=ρρ

Passando al limite infinitesimo, e integrando la relazione gdhPdP )(ρ−= , si ottiene un’espressione della densità al variare della altezza y, a partire dal riferimento nel punto O (pressione atmosferica sulla superficie terrestre al livello del mare PO=1.01×105 Pa).

LyOe−= ρρ , con km

gPL

O

O 55.8==ρ

La densità dell’aria diminuisce esponenzialmente con l’altezza, a 8.5 km si è rarefatta di un fattore 1/e. Se il fluido è incomprimibile, la situazione è più semplice. ρ è una costante. La relazione fra pressione P e quota h (h è la quota lungo l’asse Y verticale rispetto ad un punto O di riferimento, positiva se ci troviamo più in alto di O, negativa se ci troviamo più in basso) è di tipo lineare e si può esprimere come:

ghPPO ρ+= ovvero ghPP O ρ−=

Come esempio vediamo il compitino del 1986-1987 in cui si chiede di trovare la pressione ad una certa profondità nel mare.

%%%%%%%%% Colonna d’acqua III COMPITINO 1986-87 1) Trovare la pressione in Pa alla profondità di 200 m nel mare. La pressione atmosferica è 1.0×105 Pa, e la densità relativa dell’acqua del mare è 1.03. P = Svolgimento Come riferimento prendiamo la superficie marina, sulla quale la pressione è quella atmosferica, cioè PO=1.0×105 Pa La pressione a 200 m di profondità (h= -200 m) sarà:

( ) PaghPP O335 1058.212008.91005.110 ×=×××+=−= ρ

%%%%%%%%%

Un’altra applicazione la si ha quando si chiede di calcolare la pressione alle due estremità di un tubo chiuso e pieno di acqua. Si tratta del compitino: III COMPITINO 1997-98 Un tubo lungo 20 m è chiuso alle due estremità, pieno di acqua, e forma un angolo di 60o con la verticale. Quanto vale la differenza di pressione dell’acqua tra le due estremità? 10) ∆p = 9.810 ×104 Pa Svolgimento Se il tubo è lungo L=20 m ed è inclinato θ=60o rispetto alla verticale, la differenza di quota ∆h fra le due estremità si calcola applicando la trigonometria:

mmLh o 10)60cos(20cos =×==∆ θ Considerando le due estremità abbiamo: 11 ghPP O ρ−= 22 ghPP O ρ−= da cui

( ) PahghhgPPP 432112 1081.9101081.9 ×=××=∆=−=−=∆ ρρ

L’estremità alla quota più alta si trova sottoposta ad una pressione minore. Questo semplice problema è di aiuto nel comprendere materie di interesse biologico. Per esempio è utile per cercare di capire la fisiologia della giraffa. La giraffa ha un collo molto lungo e in prima approssimazione i suoi vasi sanguigni si possono approssimare come delle colonne di fluido in quiete (in realtà il sangue fluisce e dovremmo applicare il principio di Bernoulli, si veda più avanti, ma l’effetto del moto del sangue è comunque trascurabile rispetto all’effetto della gravità). La fisiologia della giraffa prevede una serie di valvole e compensazioni vascolari per mantenere costante in ogni momento la pressione del sangue nel cervello. In realtà, senza queste compensazioni, la differenza di pressione alle estremità di un tale tubo riempito di fluido andrebbe incontro a sbalzi molto grandi, in dipendenza da come il collo è inclinato (si pensi a qundo la giraffa bruca le foglie degli alberi, con il collo vetricale, o quando si abassa per abbeverarsi). Se siete interessati alla reale fisiologia della giraffa, vi consiglio di leggervi l’articolo di James V. Warren, “La fisiologia della giraffa”, su Le Scienze, febbraio 1975. Se invece vi accontentate di un’approssimazione, e siete più interessati a passare i compitini, eccovi gli 8 esercizi svolti assegnati nei passati compitini (III comp87-88 (6); III comp88-89 (6); III comp89-90 (7); II comp90-91 (7); III comp90-91 (7); III comp98-99 (1); II comp05-06 (9); III comp07-08 (3)). Gli esercizi sono tutti uguali. In alcuni l’inclinazione del collo rispetto alla verticale è un dato del problema e si chiede di trovare la differenza di pressione idrostatica, in altri si fornisce la differenza di pressione idrostatica e si chiede l’inclinazione. Di seguito si mostrano 2 esempi. La Giraffa III COMPITINO 1998-99 Una giraffa ha il collo lungo 2 m. Calcolare la differenza di pressione idrostatica nel sangue, in Pa, tra le spalle e la testa della giraffa quando il collo forma un angolo di 30o con la verticale. La densità relativa (rispetto all’acqua!) del sangue è 1.06. 1) ∆p = 18 011 Pa Svolgimento Il problema è analogo a quello del tubo sopra illustrato. La differenza di pressione è legata alla differenza di quota da:

( ) PagLhghhgPPP ospalletestatestaspalle 18011)30cos(281.91006.1cos 3 =××××==∆=−=−=∆ θρρρ

III COMPITINO 2007 – 2008 Una giraffa ha il collo lungo 2 m, e la densità relativa del sangue è 1.06. Se la differenza di pressione idrostatica pspalle-ptesta vale 7210 Pa (attenti all’eventuale segno!), che angolo forma il collo della giraffa con la verticale? 3) α = 68.57◦ Svolgimento Il problema è analogo a quello sopra illustrato. Data la differenza di pressione, l’angolo si trova secondo la seguente:

7.69281.91006.1

7210cos)cos( 3otestaspalle a

gLPP

a =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×××=

−=

ρθ

Legge di Pascal Per ogni fluido, ogni aumento della pressione alla superficie del fluido si trasmette in ogni punto del fluido. Questa è la legge di Pascal: “una variazione di pressione applicata a un fluido chiuso è trasmessa integralmente in ogni punto del fluido e alle pareti del contenitore”. Vediamo subito un’applicazione del principio di Pascal: si considera un pistone a tenuta che preme sopra una colonna di liquido contenuta in un cilindro e si chiede la pressione sul fondo del cilindro. Questo esercizio è stato assegnato nei precedenti compitini: III comp89-90 (10); III comp90-91 (10); III comp96-97 (4); III comp99-00 (3); III comp01-02 (8); III comp02-03 (4). Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. Pistone II COMPITINO 2001 – 2002 Un cilindro verticale di 10−3 m2 di sezione è pieno d’acqua fino all’altezza di 1.3 m. Sul pelo dell’acqua è appoggiato un pistone a tenuta di massa 35 kg. Sopra il pistone c’è l’aria, alla pressione di 105 Pa. Calcolare la pressione sul fondo del cilindro. 8) p = 455 740 Pa Svolgimento Per la legge di Pascal, ogni variazione di pressione applicata in un punto (per esempo dal pistone) si trasmette per intero in ogni punto. Quindi nel punto 1, sul fondo del recipiente, rispetto alla pressione atmosferica varrà la seguente relazione:

11 ghPS

MgP O ρ−+=

dove S=10−3 m2 è la sezione, la pressione esercitata dal pistone è Mg/S, PO è la pressione atmosferica e h1 è la quota del punto sul fondo rispetto al punto di riferimento (h1 sarà un numero negativo). Sostituendo i dati:

( ) Pammsm

mskgghPS

MgP O 4557403.18.9101001.0

8.935 2353

2

11 =−××−+×

=−+= −−

ρ

%%%%%%%%%%%%%%%

Il principio di Pascal è alla base di molte applicazioni come il martinetto idraulico e l’impianto idraulico dei freni. Si basa sul principio di isotropia della variazione di pressione. A parità di pressione, se ho una sezione maggiore, posso esercitare una forza maggiore. Ai due capi di un condotto del martinetto si ha che la pressione in entrata P1 (quella esercitata manualmente dall’operatore con una forza F1 su un’area A1) deve essere uguale alla pressione P2 all’altro capo del condotto, quello connesso alla piattaforma (per es. un ponte per automobili).

Quindi se 21 PP = allora 2

2

1

1

AF

AF

= e quindi 1

212 A

AFF =

Il rapporto fra le aree A2/A1 è detto vantaggio meccanico e dimostra come si possa esercitare una forza notevole anche partendo da F1 moderata, purchè il rapporto fra le aree sia molto grande. %%%%%%%%%%%%%%%

Principio di Archimede Se un corpo solido è immerso in un fluido il solido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del fluido spostato. Questo effetto è il risultato della diversa pressione che viene esercitata sul corpo a quote diverse: più in profondità la pressione è più elevata e la risultante delle forze applicate sul corpo solido dovute alla pressione del fluido è una spinta verso l’alto detta spinta di Archimede che vale:

VgF flA ρ= dove ρfl è la densità del fluido e V il volume del corpo solido immerso. Se il corpo è totalmente immerso e la sua densità è ρS, la risultante fra forza peso e spinta di Archimede sarà:

( )VgFmgR SflA ρρ −=+−= Quindi se la densità del corpo è minore della densità del fluido, la risultante ha segno positivo e il corpo, in assenza di altre forze, sarà accelerato verso l’altro. Viceversa se ρS>ρfl. Se il corpo invece galleggia ed è in quiete, la risultante delle forze è nulla. Data la parte di volume immersa Vimm, allora vale:

immflSA gVVgFmg ρρ +−=+−=0 da cui si ricava una relazione fra rapporto di densità e rapporto fra volumi per un corpo galleggiante:

VVimm

fl

S =ρρ

Le applicazioni del principio di Archimede sono molteplici. Di seguito mostriamo gli esercizi assegnati negli anni precedenti. In un tipo di problemi un corpo di densità minore di quella dell’acqua è immerso completamente e ancorato sul fondo di un lago (II comp91-92 (10); II comp 92-93 (8); II comp 00-01 (8); II comp 01-02 (7); IV comp07-08 (7)). Si chiede di trovare la tensione della corda che vincola il corpo. Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. IV COMPITINO 2007 – 2008 Un cubo di legno di lato 5.44 cm e densità relativa 0.7 si trova immerso in un lago, ad una profondità di 2 m. Il cubo è ancorato al fondo del lago con una corda di massa e volume trascurabili. Quanto vale, in Newton, la tensione della corda? 7) T = 0.474 N Svolgimento Dobbiamo considerare le forze in gioco. Siccome il corpo è in quiete, l’accelerazione è nulla e la risultante delle forze sarà nulla. La tensione della corda si indica con T. Il lato del cubo con a. La corda esercita una forza verso il basso sul corpo. Guardando alla componente y:

( ) TVgTFmgF SflAy −−=−+−== ∑ ρρ0 e quindi

( ) ( ) ( ) ( ) NgaVgT SflSfl 4738.081.91044.5107.01 3233 =×××−=−=−= −ρρρρ

In un tipo di problema analogo un corpo di densità maggiore di quella dell’acqua è immerso completamente e ancorato al fondo di una barca (si veda II comp94-94 (5); III comp99-00 (1); III comp 02-03 (5)). Si chiede di trovare la tensione della corda che vincola il corpo. Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. III COMPITINO 2002-2003 Una sfera di raggio 40 cm e densità relativa (rispetto all’acqua!) 7.48 si trova immersa in acqua, appesa ad un filo la cui altra estremità è fissata ad una barca. Quanto vale, in Newton, la tensione del filo? 5) T = 1.70 ×104 N Svolgimento La soluzione è analoga alla precedente. Soltanto che adesso la corda esercita una forza verso l’alto. Dobbiamo considerare le forze in gioco. Siccome il corpo è in quiete, l’accelerazione è nulla e la risultante delle forze sarà nulla. La tensione della corda si indica con T. Il raggio della sfera con r. Guardando alla componente y:

( ) TVgTFmgF SflAy +−=++−== ∑ ρρ0 e quindi

( ) ( ) ( ) ( ) NgrVgT flSflS43233 107.181.9104019.410148.7

34

×=××××−=−=−= −πρρρρ

%%%%%%%%% Un’altra applicazione del principio di Archimede la troviamo nel IV compitino 2006-2007: IV COMPITINO 2006 – 2007 Una sfera di raggio 10 cm e densità 1200 kg/m3 si trova in equilibrio appesa ad una molla di costante elastica k = 800 N/m, nel campo gravitazionale terrestre. Una bacinella piena d’acqua viene lentamente sollevata dal basso finchè la sfera è completamente sommersa. Di quanto si accorcia la molla? (NB: la formulazione originaria del testo è ambigua. La formulazione corretta sarebbe: quanto è l’elongazione della molla quando la sfera è immersa in acqua?) 7) ∆x = 0.0103 m Svolgimento Dobbiamo considerare le forze in gioco. Il corpo è sempre in quiete, sia all’inizio, quando è appeso alla molla in aria, sia nella seconda parte quando è immerso in acqua e appeso alla molla. La molla esercita sul corpo sempre una forza verso l’alto. Siccome il corpo è in quiete, l’accelerazione è nulla e la risultante delle forze sarà nulla. Guardando alla componente y: 1) in aria:

( ) 110 kxVgkxFmgF SariaAy +−=++−== ∑ ρρ ; siccome la densità dell’aria (1.2 kg/m3) è trascurabile rispetto a quella del corpo si può scrivere:

10 kxVgS +−= ρ ; da cui kVgx Sρ=1

2) immersa in acqua

( ) 22 20 kxVgkxFmgF SOHAy +−=++−== ∑ ρρ da cui l’allungamento della molla in questo caso è

( ) ( )

mkk

Vgx OHS 0103.0

103

48.910)12.1( 313

22 =

×××−=

−=

−πρρ

Fluidodinamica

Se i fluidi sono in movimento non è facile descrivere completamente il loro moto, molecola per molecola. Molto più facile determinare come sono in relazione fra loro alcune proprietà locali (cioè in ogni punto) come pressione, densità e velocità del fluido. Introduciamo il concetto di portata di massa tm ∆∆ , quantità di massa che passa in un punto nell’intervallo di tempo. Se consideriamo un fluido che fluisce in un condotto, possiamo determinare la portata attraverso una sezione. Se il fluido si trova in condizioni stazionarie, cioè le sue proprietà non variano nel tempo, e non ci sono sorgenti o perdite lungo il condotto, allora vale il principio di continuità: la portata è costante in ogni sezione del condotto. Considerando un punto 1 dove la sezione è A1, la velocità del fluido è v1 e la densità ρ1 e un altro punto, 2, dove la sezione è A2, la velocità del fluido è v2 e la densità ρ2 si avrà che, considerando due cilindri infinitesimi di lunghezza rispettivamente ∆l1 e ∆l2:

222111111 vAvA

tlAconst

tm ρρρ

==∆∆

==∆∆

e se il fluido è incomprimibile (cioè ρ1=ρ2): 2211 vAvA = Se il condotto ha sezione più piccola la velocità del fluido è più grande. Di seguito considereremo solo fluidi ideali: fluidi stazionari, incomprimibili, non viscosi e “irrorazionali” (cioè dove in ogni punto del fluido il momento angolare è nullo). La condizione di non viscosità è richiesta perché se il fluido è viscoso (o con viscosità rilevante) vi è dissipazione di energia e le considerazioni che seguono in questa nota, che si basano sulla conservazione dell’energia, vanno corrette. Se il fluido scorre laminare, cioè con le linee di flusso tutte parallele a sé stesse, allora si avvicina ad un fluido ideale, per flussi turbolenti le condizioni di non viscosità e irrotazionalità non sono soddisfatte. Principio di Bernoulli Il principio di Bernoulli lega fra loro velocità, pressione e quota di un fluido. Esso si può ricavare dal principio dell’energia cinetica generalizzato. Il principio di Bernoulli dice che per un fluido ideale la seguente quantità è una costante:

constghvP =++ ρρ 2

21

Con l’applicazione del principio di Bernoulli si spiegano diversi fenomeni in natura e nella tecnologia come: il volo di aerei (e di uccelli), la barca a vela che viaggia controvento (di bolina), l’areazione delle tane sotterranee di alcuni animali, gli effetti impressi a palle da calcio o golf, patologie circolatorie come gli attacchi ischemici o il flutter vascolare. Gli esercizi assegnati nei compitini precedenti risolvibili con il principio di Bernoulli sono di vario tipo. Uno molto frequente analizza il caso di un raccordo fra due tubi orizzontali. Applicando l’equazione di continuità e il principio di Bernoulli si trovano la velocità e la pressione nel secondo

tubo (o la differenza di pressione fra i due), una volta noti quelli nel primo. A volte si chiede solo la differenza di pressione, in questo caso va comunque trovata prima la velocità. Gli esercizi di questo tipo sono: III compitino 1986-1987 (4-5); III COMPITINO 1987-88 (7-8); III compitino 1988-1989 (8-9); IV compitino 1989-1990 (2-3); II compitino 1990-1991 (9-10); III COMPITINO 1991-92 (1-2); II COMPITINO 1992-93 (7); III COMPITINO 1992-93 (1-2); II compitino 1994-1995 (6-7); III COMPITINO 1996-97 (5-6); III COMPITINO 1998-99 (2); IV COMPITINO 1997-98 (1-2); III COMPITINO 1999-2000 (2); III compitino 2002-2003 (6); II COMPITINO 2005 – 2006 (10); III COMPITINO 2007 – 2008 (4-5). Gli esercizi sono tutti uguali. Di seguito si mostra un esempio, si consiglia di provare a risolvere gli altri per esercizio. Tubo orizzontale III COMPITINO 2007 – 2008 Un tubo orizzontale di 10 cm di diametro è raccordato ad un secondo tubo orizzontale di 6 cm di diametro. Dell’acqua scorre con velocità 6.04 m/s nel tubo più grande. Calcolare la velocità dell’acqua nel tubo più piccolo e la differenza di pressione tra tubo grande e tubo piccolo. 4) vtubo piccolo = 16.78 m/s 5) pt. Grande - pt. piccolo = 1.225 ×105 Pa Svolgimento Sono noti R1=(10/2 cm)=5 cm, R2=(6/2 cm)=3 cm e v1=6.04 m/s. Dall’equazione di continuità 2211 vAvA =

si ricava 11

2

2

112

2

21

12

12 78.16 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== msv

RRv

RRv

AAv

ππ

Applicando il principio di Bernoulli, per due tubi orizzontali (h1=h2) si può scrivere:

( ) ( ) PavvvvvvPP 5223222221 10225.1105.0

21

21

21

121212 ×=−××=−=−=− ρρρ

Una variante la possiamo trovare nel prossimo esercizio: II COMPITINO 2005 – 2006 Dell’acqua scorre in un tubo orizzontale di 10 cm di diametro che è raccordato ad un secondo tubo orizzontale di 5 cm di diametro. La pressione dell’acqua nel tubo grande vale 5.00 ×106 Pa, mentre nel tubo piccolo vale 105 Pa. A quale velocità scorre l’acqua nel tubo piccolo? 10) v = 102.3 m/s Svolgimento Chiamiamo 1 il tubo con diametro più grande e 2 l’altro. Applicando il principio di Bernoulli, per due tubi orizzontali (h1=h2) si può scrivere:

( ) PaPPPvv 521

22 104921

12 ×=∆=−=−ρ

Dall’equazione di continuità 2211 vAvA = si ricava 2

2

1

22

1

21 v

RRv

AAv ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== e quindi

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=∆

4

1

222221 1

21

21

212RRvvvPPP ρρ

14

3

5

4

1

2

2 24.102

55.2110

1098

1

2 −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

×=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆= ms

RR

Pv

ρ

%%%%%%%%%

Applicazioni del principio di Bernoulli si trovano anche in altri esercizi, in cui la quota è importante. Sono esercizi in cui il condotto è un tronco di cono verticale (III comp 88-89(10); III comp 91-92 (3); III comp 92-93 (3); II comp 93-94 (6); II comp 95-96 (10)). Di solito l’acqua entra dalla parte inferiore ed esce dalla superiore. Le sezioni di entrata e di uscita sono diverse e note. Anche l’altezza del condotto è di solito nota. A volte sono note velocità e pressione in una delle facce e si chiedono le stesse quantità sull’altra faccia. A volte si fornisce la differenza di pressione e si chiede l’altezza del condotto. Esempio: II COMPITINO 1995-96 Abbiamo un tubo verticale a forma di tronco di cono, alto 7 m e con sezione 30 cm2 all’estremità più bassa, 10 cm2 all’estremità più alta. L’acqua esce dalla parte alta con una velocità di 1 m/s ad una pressione di 105 Pa. Quanto vale la pressione alla base del tubo? 10) p = 169 000 Pa Svolgimento L’estremità più bassa si indica con 1, la più alta con 2. Le sezioni sono A1 e A2. L’altezza del tronco di cono d=h2-h1, dove h1 e h2 sono le quote delle due facce. Varranno le relazioni:

22221

211 2

121 ghvPghvP ρρρρ ++=++

2211 vAvA =

da cui 112

1

21 333.01

3010 −− === msmsv

AAv

( ) ( ) ( ) gdvvPhhgvvPP ρρρρ +−+=−+−+= 21

22212

21

2221 2

121

( ) ( ) PaPagdvvPP 533521

2221 1069.178.9109/11105.010

21

×=××+−××+=+−+= ρρ

Variante: II COMPITINO 1993-94 Dell’acqua scorre in un tubo verticale a forma di tronco di cono, alto 10 m e con sezione 10 cm2 all’estremità più bassa, 30 cm2 all’estremità più alta. La pressione all’estremità più alta del tubo vale 105 Pa, mentre la pressione all’estremità più bassa vale 2.01 ×104 Pa. Quanti m3 al secondo passano nel tubo? 6) Φ=0.0200 m3/s Svolgimento L’estremità più bassa si indica con 1, la più alta con 2. Le sezioni sono A1 e A2. L’altezza del tronco di cono d=h2-h1, dove h1 e h2 sono le quote delle due facce.

Usando la relazione sopra ricavata:

( ) gdPPvv ρρ +−=− 1222

212

1

Inoltre sappiamo che la portata volumetrica (P=Av) vale 2211 vAvA =

Quindi 21

21 v

AAv = e sostituendo:

gdPPAAv ρρ +−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12

2

1

222 1

21

1

2

1

2

2

1

2

122 67.6

8800.355

121

9800079900

121

−==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= ms

AA

AA

gdPPv

ρρ

ρ

La portata sarà 13124

22 0200.067.61030 −−− =××= smmsmvA

%%%%%%%%%

L’ultimo tipo di esercizi riguarda la potenza erogata da una pompa che trasferisce acqua in un condotto. Il liquido è privo di viscosità (liquido ideale). Gli esercizi sono il III compitino 1986-1987 (2) e il III COMPITINO 1987-88 (9-10). Ne mostriamo uno. III COMPITINO 1987-88 Una pompa trasferisce acqua da un recipiente ad un altro, più in alto di 5 m, attraverso un tubo. Il raggio del tubo non è costante, ma aumenta gradatamente da 1 cm (estremità inferiore) a 2 cm (estremità superiore). La velocit`a dell’acqua all’estremit`a inferiore del tubo è 8 m/s. 9) Calcolare la differenza di pressione tra le due estremità del tubo ∆P = 10) Calcolare il lavoro fatto in un secondo (cioè la potenza) dalla pompa L = Svolgimento L’estremità più bassa del tubo si indica con 1, la più alta con 2. Le sezioni sono A1 e A2. L’altezza del tubo è d=h2-h1=5 m, dove h1 e h2 sono le quote delle due estremità. Applicando il principio di Bernoulli e l’equazione di continuità 2211 vAvA = si ottiene per la ∆P:

( ) PagdRRvgdvvPP 4

4

2

121

21

2221 10905.11

21

21

×=+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+−=− ρρρρ

Il lavoro fatto in un secondo dalla pompa è, prendendo come riferimento un cilindretto di liquido contenuto nel tubo di lunghezza ∆l durante l’istante ∆t:

( )AvPPtlF

tW 21 −=

∆∆

=∆∆

=L