MECCANICA - afs.enea.it · MECCANICA Prof. Giovanni Falcone Dipartimento di Fisica, Università...

MECCANICA

Prof. Giovanni FalconeDipartimento di Fisica, Università della Calabria

Arcavacata di Rende, Cosenza (Italy)

17 giugno 2002

Indice

1 Concetti introduttivi 21.1 Il punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Il concetto di spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 I sistemi di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Le coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Le coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 I vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Rappresentazione cartesiana dei vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Il prodotto scalare tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Il prodotto vettoriale tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 I vettori del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.1 Il concetto di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 I vettori posizione, spostamento e velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3 Il vettore accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Moto rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.1 Accelerazione centripeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8 Moto su traiettoria prestabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9 L’operazione di derivazione e la determinazione delle grandezze fisiche . . . . . . . . 311.10 Diagrammi velocità-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.11 Diagrammi accelerazione-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.12 Moto circolare: legame tra quantità tangenziali e angolari . . . . . . . . . . . . . . . 411.13 I sistemi di unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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1.14 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.14.1 Il problema fondamentale del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.14.2 La velocità in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.14.3 La velocità in termini del versore radiale e trasverso . . . . . . . . . . . . . . 471.14.4 Il moto circolare usando i versori mobili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.14.5 L’accelerazione nel moto circolare usando i versori mobili . . . . . . . . . . . 49

1.15 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Le leggi di Newton 522.1 Le forze ed la terza legge di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 La massa inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Misura della massa inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3 Terza legge e simultaneità di due eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4 L’equazione fondamentale della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.1 Equazione del moto del punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Prima legge o legge d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Sullo spazio e sul tempo assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6.1 La forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.6.2 Gravitazione universale e massa gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.6.3 La forza peso e ”l’esperimento” di Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.6.4 La forza di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.6.5 La forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.6.6 Reazioni vincolari e tensione nei fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.6.7 La forza di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.7 Uso dell’equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.7.1 Caduta libera dei corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.7.2 Moto di un proiettile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.7.3 Moto lungo un piano inclinato senza attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.7.4 Moto lungo un piano inclinato, con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.7.5 Moti su una circonferenza piana orizzontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.7.6 Il moto armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.7.7 Il pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.7.8 Il pendolo circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.7.9 Moto su calotta sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.8 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.8.1 Forza periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.8.2 Forza d’attrito nei fluidi

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2.8.3oscillazioni smorzate100

3 Leggi di Newton: seconda parte 1033.1 Quantità di moto ed impulso di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2 Conservazione della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.4.1 Il diagramma dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.4.2 Deflessione in presenza di gravità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4.3 Deflessione di particella carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4.4 Esempi di deflessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4.5 Sulla deflessione delle particelle cariche: trattamento rigoroso . . . . . . . . . 115

4 Energia e lavoro 1174.1 L’energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.1.1 L’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.1.2 L’energia potenziale gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2 Il concetto di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2.1 Il lavoro di una forza costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2.2 Complementi: Il lavoro di una forza variabile, ma solo in intensità . . . . . . 1234.2.3 Il lavoro: definizione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.4 L’energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.5 L’energia potenziale elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.1 Il lavoro della forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.5.2 Il lavoro della forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5.3 Espressioni di energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.6 La conservazione dell’energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.6.1 Esempi grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.6.2 L’energia meccanica elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.7 L’energia potenziale è definita a meno di una costante . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.8 In generale il lavoro dipende dal percorso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.9 Il concetto di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.10 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.10.1 Il diagramma del lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.10.2 Il lavoro di una forza arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

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4.10.3 Il teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.10.4 Il lavoro della forza di gravitazione universale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.10.5 L’energia potenziale per le forze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.10.6 Derivazione della forza dall’energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.10.7 Energia potenziale, equilibrio e moto oscillatorio . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.11 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5 Dinamica relativa 1515.1 L’intervallo temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2 L’addizione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.3 La distanza tra due punti è un assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.4 Il principio di relatività galileiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.5 Le forze apparenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.5.1 Similarità tra gravitazione e sistemi non inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.7 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.7.1 Il pendolo di Foucalt e la forza di Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.7.2 I sistemi di riferimento solidali con la Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.8 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6 Meccanica della rotazione 1726.0.1 Moto intorno ad un asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.0.2 Il momento della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.0.3 La seconda equazione fondamentale della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . 1766.0.4 Il momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.0.5 Il momento angolare e le forze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7 I due corpi 1827.1 Il problema dei due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.1.1 Il Centro di Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.1.2 La massa ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.1.3 La soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.1.4 Cosa si può generalizzare ad N corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.1.5 Il problema Terra-Sole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.1.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.2 Le equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.2.1 L’equazione per la quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

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7.2.2 L’equazione per il momento della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.2.3 Cosa si può generalizzare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.3 Lavoro ed energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.3.1 L’energia propria del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


7.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.5 Collisioni elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.5.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.6 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.6.1 Centro di Massa e sistema solidale con il Centro di Massa . . . . . . . . . . . 205


7.6.3 Collisioni anelastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.7 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8 Corpo rigido: elementi 2158.1 Cinematica di un sistema rigido di due punti mateiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.2 Rotazione intorno ad un asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

8.2.1 L’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.2.2 Il momento della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.2.3 L’equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.3 Rotolare senza strisciare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.4 Teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.5 Momenti d’inerzia per corpi estesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9 Gravitazione 2269.1 Il problema di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.3 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.3.1 L’equazione polare delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.3.2 L’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.3.3 La terza legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

9.3.4 Il problema di Keplero e l’equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.3.5 La gravità terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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10 Appendici matematiche 24510.1 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24710.3 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.4 Alcune regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.5 Serie di Taylor e Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.6 Sull’integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

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Sommario

Queste dispense si riferiscono al corso di Fisica I della Facoltà di Ingegneria che comprende 40 ore dilezioni tradizionali e 30 di esercitazioni. Il corso viene svolto al primo trimestre quando gli studentiiniziano il corso di calcolo I. Questo implica che gli studenti non hanno ancora alcuna conoscenza deilimiti, derivate ed integrali. Per questo motivo è stato fatto un tentativo di contenere le difficoltàmatematiche, introducendo quando è servito, sia il concetto di limite che quelli di derivata edintegrale. I contenuti del corso sono quelli della meccanica del punto materiale. La meccanica deisistemi di particelle è appena introdotta attraverso la meccanica dei due punti materiali, mentre delcorpo rigido viene solo presentata una introduzione. Gli argomenti costituiscono quelle conoscenzedi base di meccanica indispensabili per proseguire gli studi di ingegneria.

Capitolo 1

Concetti introduttivi

Scriveva Galileo Galilei ne ”Il Saggiatore”: La filosofia è scritta in questo grandissimo libro checontinuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo) ma non si può intendere seprima non s’impara a intender la lingua, e conoscere i caratteri, né quali è scritto. Egli è scrittoin lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i qualimezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente perun oscuro labirinto.

La filosofia di cui parla Galilei è la filosofia naturale, il cui scopo è la ricerca della vera costi-tuzione del mondo naturale e il grandissimo libro che costantemente ci sta aperto innanzi agli occhiè il libro della natura. Se il nostro scopo è dedurre le leggi fisiche della natura, per portare a termineil nostro progetto dobbiamo esaminare direttamente la natura e quello che in essa vi accade. Allorapossiamo dire che la Fisica ha in sé un aspetto sperimentale. Ma come vanno formulate le leggi dellanatura? Il linguaggio, dice Galilei è quello della matematica, perché come sottolineava anche HenryPoincaré, la formulazione delle leggi della natura deve avvenire in un linguaggio speciale, perché ilnostro linguaggio ordinario è troppo povero oltre che impreciso per poter esprimere relazioni cosìprecise e ricche di contenuto. Il linguaggio speciale delle leggi fisiche è la matematica, non solo nellasua veste geometrica come suggeriva Galilei. Allora, la Fisica ha in sé anche un aspetto teorico, inquanto utilizza un linguaggio artificiale per costruire i suoi modelli. L’insieme dell’aspetto teoricoe sperimentale fanno della Fisica una Scienza.

Lo scopo di questo primo capitolo è quello di fissare il linguaggio della fisica classica e introdurrealcune grandezze fisiche, la cui definizione rappresenta la premessa della nostra indagine.Inoltre, iconcetti che introdurremo in questo capitolo di per sè non servono a spiegare il moto, ma solo adescriverlo (cinematica). Il problema delle cause del moto (dinamica) sarà affrontato nel secondocapitolo.

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1 Concetti introduttivi

1.1 Il punto materiale

Poiché uno dei nostri scopi è capire alcuni fenomeni che si presentano alla nostra attenzione nellavita quotidiana, il punto di partenza della nostra analisi è l’osservazione della realtà che ci circon-da. Essendo la realtà vasta e complessa, occorre estrapolare da essa, sulla base dell’osservazione,alcuni concetti semplici e stabilire tra essi delle relazioni. Questo è il primo momento del ”metodoscientifico”. Tale metodo, che procede per approssimazioni successive, fu introdotto per la primavolta da Galilei.

Secondo la visione aristotelica i fenomeni che appartengono alla nostra esperienza quotidianasono semplici e facilmente spiegabili (anche se talvolta solo in forma qualitativa). Per Galilei, alcontrario, il mondo quotidiano è di difficile comprensione perché anche il più semplice dei fenomeniè in realtà molto spesso complesso. Per descrivere qualitativamente le due metodologie facciamoriferimento alla caduta libera di un corpo. Secondo Aristotele un corpo lasciato libero, dopo uncerto tempo, raggiunge una velocità costante e la mantiene fino a che non raggiunge il suolo (inquesta fase non ci chiediamo il perché cade!). In tal caso, il valore costante della velocità risultaessere proporzionale al peso del corpo e inversamente proporzionale alla resistenza dell’aria.

Nell’analisi aristotelica della caduta libera manca uno degli aspetti fondamentali del metodoscientifico, ovvero non si è distinto tra aspetti primari e secondari di un fenomeno.

L’analisi proposta da Galilei è sorprendentemente moderna. Innanzitutto egli considera laresistenza dell’aria come un aspetto secondario del fenomeno della caduta. Non che la resistenzadell’aria non sia importante per descrivere la caduta dei corpi nella realtà ma essa va aggiunta dopoche si è mostrato il carattere fondamentale del fenomeno caduta. In altri termini, nella complessitàdel fenomeno della caduta se si vuole giungere alla corretta descrizione della stessa occorre sapervedere ed escludere gli aspetti secondari, per poi riconsiderarli, in un secondo tempo. Eliminatamomentaneamente la resistenza, egli pensò di progettare un esperimento ideale, al quale associareun modello matematico, dal quale dedurre le relazioni tra le quantità fisiche coinvolte nella caduta.Inoltre, non avendo a disposizione gli strumenti per le misure dirette delle velocità dei corpi lungola traiettoria reale, Galilei escogitò delle misure indirette (rapporto tra spazi percorsi e quadrati deitempi impiegati) in un esperimento indiretto (discesa dei corpi lungo piani inclinati). Dopo averestrapolato i suoi risultati sperimentali (vedi tutta la discussione quantitativa nel secondo capitolo)dedusse la sua conclusione, che doveva avere un carattere generale. In altre parole, secondo ilmetodo scientifico, occorre estrapolare dai fenomeni reali gli aspetti primari, progettare spesso unesperimento ideale, dal quale dedurre un modello, i cui risultati dovranno essere riverificati negliesperimenti reali, quando possibile.

Quello che spesso, però, non viene detto in maniera sufficiente chiara, quando si parla di meto-do scientifico, è che l’estrapolazione degli aspetti primari di un fenomeno, non consente spesso direalizzare esperimenti reali. Di qui, la presenza frequente, nel metodo galileiano del ricorso all’es-perimento ideale, ovvero il ricorso alla riflessione speculativa, pur nata dall’analisi dei fenomeni

3

§1.2 Il concetto di spazio

reali. Talvolta, è solo dagli esperimenti ideali che si riesce ad estrapolare quei caratteri primari diun fenomeno, così indispensabili alla comprensione del fenomeno stesso.

Passiamo ora alla presentazione di alcuni concetti indispensabili pre capire il moto dei corpi.

Iniziamo lo studio della ”realtà” introducendo il concetto di punto materiale. Deduciamo conun esempio il concetto di punto materiale. La Terra è un corpo piuttosto grande, ma nel nostroSistema Solare se si assume che la Terra abbia le dimensioni di un punto, le proprietà del suomovimento intorno al Sole si possono descrivere con questa grossolana approssimazione. Abbiamoappena operato una semplificazione della realtà, che si è mostrata piuttosto utile. Nel fare ciò,abbiamo introdotto il concetto di punto materiale: Il punto materiale è un oggetto molto piccolorispetto alle dimensioni dell’ambiente in cui si svolgono dei fenomeni fisici che hanno quell’oggettocome protagonista.

Il punto materiale è allora una schematizzazione che noi facciamo dei corpi materiali, che ciconsente, in determinate condizioni, di considerarli senza dimensione, ovvero equivalenti a deipunti matematici. Tuttavia è chiaro che nessun corpo fisico, per quanto piccolo, può considerarsiin assoluto senza dimensione. Con questa precisazione possiamo dire che la posizione di un puntomateriale può essere definita come quella di un punto geometrico. Fino ad ulteriore avviso il nostroscopo sarà di studiare il moto di un punto materiale.

1.2 Il concetto di spazio

Scriveva Newton: Non definisco , invece, tempo spazio, luogo e moto, in quanto notissimi a tutti.Va notato, tuttavia, come comunemente non si concepiscono queste quantità che in relazione a cosesensibili. Di qui nascono i vari pregiudizi, per eliminare i quali conviene distinguere le medesimequantità in assolute e relative, vere e apparenti, matematiche e volgari. Lo spazio assoluto, perse senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale e immobile; lo spazio relativo èuna misura o dimensione mobile dello spazio assoluto, che i nostri sensi definiscono in relazionealla sua posizione rispetto ai corpi, ed è comunemente preso al posto dello spazio immobile; cosìla dimensione di uno spazio sotterraneo o aereo o celeste viene determinata dalla sua posizionerispetto alla Terra. Lo spazio assoluto e lo spazio relativo sono identici per grandezza e specie, manon sempre permangono identici in quanto al numero. Infatti se la Terra, per esempio, si muove,lo spazio che contiene la nostra aria, e che, relativamente alla Terra, rimane sempre identico, orasarà una data parte dello spazio assoluto attraverso cui l’aria passa, ora un’altra parte di esso; ecosì, senza dubbio, muterà incessantemente.

Secondo Newton abbiamo allora due tipi di spazi, il primo, quello assoluto che rimane im-mutabile e serve sostanzialmente da contenitore degli eventi fisici. Su questo spazio ”contenitore”nessun fenomeno fisico può avere alcuna influenza. Esso rimane immutabile qualunque evento fisicosia accaduto, accade o accadrà in futuro.

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La concezione di uno spazio contenitore non era l’unica visione di spazio sostenuta ai tempidi Newton. Basterà ricordare la concezione relazionale di spazio, che faceva capo ad Aristotele,secondo la quale lo spazio non è qualcosa di esistente per sè (ovvero in modo indipendente dallapresenza dei corpi che in esso esistono), ma dipende dai corpi in esso contenuti, in virtù delle lorointerrelazioni reciproche. Se poi si aggiunge che, sempre per Aristotele, ogni sostanza ha un suoluogo naturale verso il quale essa cerca di ritornare se ne fosse allontanata, arriviamo anche ad unaconcezione non-omogenea dello spazio stesso.

Rinviando, per ora la discussione sulle implicazioni del spazio assoluto, ci limiteremo all’analisidello spazio, in relazione a determinati sistemi di coordinate.

1.3 I sistemi di coordinate

Supponiamo che un punto materiale si muove nello spazio. Risolviamo prima il problema dellaindividuazione di un punto immobile nello spazio. I sistemi di coordinate svolgono tale compito.Esistono diversi sistemi di coordinate che si differenziano per le modalità con cui vengono individuatii vari punti dello spazio.

Lo spazio relativo della Meccanica Newtoniana trova la sua prima caratteristica attraversol’esperienza quotidiana. Infatti, l’esperienza quotidiana consente di affermare che lo spazio dellaMeccanica Newtoniana è descrivibile mediante la geometria euclidea.

1.3.1 Le coordinate cartesiane

.Un modo per individuare un punto nello spazio euclideo è quello di assegnare tre rette (assicoordinati) mutuamente ortogonali intersecantesi in un punto comune (origine degli assi) a partiredal quale, utilizzando una comune unità di misura delle lunghezze, si possono misurare i varisegmenti di retta.

Ciascun punto dello spazio può pensarsi individuato dalle intersezioni sui tre assi dei tre piani,

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§1.3 I sistemi di coordinate

passanti per il punto ed ortogonali a ciascun asse. La misura dei segmenti di retta che vannodall’origine ai punti di intersezione costituiscono le coordinate cartesiane del punto materiale. Gliassi cartesiani, si indicano con le tre seguenti lettere (maiuscole o minuscole) (X,Y,Z) ed il puntoP indicato nella Fig.1a avrà le coordinate (X1, Y1, Z1).

Nel Sistema Internazionale, che sarà adottato in questo libro, l’unità di misura delle lunghezzeè il metro (indicato con m).

Poiché una caratteristica essenziale delle scienze è la riproducibilità di ogni esperimento, è chiaroche deve essere definito un metro campione, ovvero una lunghezza standard rispetto alla quale tuttele altre lunghezze si devono confrontare. La necessità di un unico metro campione, fu accettata solodopo la Rivoluzione Francese e le dimensioni della Terra furono scelte come base per la definizionedell’unità di lunghezza (10−7 di un quarto di cerchio meridiano!). Fu preparato su tale base unabarra di platino e conservata presso l’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres (Francia).

La definizione attuale di metro campione, prescinde dalla conservazione reale di un metro cam-pione e si fonda sulla velocità della luce nel vuoto e sarà data più avanti. Per ora, conveniamo cheessa esiste e viene accettato dalla comunità scientifica.

1.3.2 Le coordinate polari

Molto spesso i punti materiali che analizzeremo si muoveranno su dei piani (moti piani). In talcaso, gli assi cartesiani si riducono solo a due. Un punto materiale può rappresentarsi mediantedue coordinate cartesiane, per esempio (x, y), ovvero, scriveremo

P = (x1, y1)

Un modo alternativo di rappresentare un punto in un piano è quello di dare la sua distanza OP,da un centro, detto polo e l’angolo φ che la semiretta OP forma con un asse di riferimento, dettoasse polare (scegliamo l’asse delle x):

Queste nuove coordinate sono dette polari ed un punto viene individuato dalle coordinate

P = (r, φ)

dove abbiamo posto OP = r.

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Si può passare da un sistema di coordinate ad un’altro mediante delle trasformazioni. Nel casoin figura, le trasformazioni dal sistema di coordinate polari a quelle cartesiane sono:

x1 = r cosφ y1 = r sinφ (1)

Le trasformazioni inverse sono:

tanφ =y1x1

r =qx21 + y21 (2)

Lo strumento per misurare gli angoli si chiama goniometro. In geometria si preferisce misurarel’ampiezza di un angolo in gradi sessagesimal i (

◦) Il grado è la 360 parte di un angolo giro. Nel

S.I. l’unità di misura dell’angolo piano è il radiante (rad). La misura dell’angolo φ,

come rapporto tra la misura dell’arco ed il raggio corrispondente

φ =P0P1r

=P 00P 01r0

è detta misura in radianti (rad) dell’angolo considerato:

φrad =s

r(3)

La misura di un angolo, quando è espressa in radianti, essendo il rapporto di due lunghezze, èsenza dimensioni.

A cosa corrisponde un angolo che misura esattamente un radiante? L’ampiezza dell’angolo alcentro che corrisponde ad un arco di circonferenza pari al raggio, è uguale ad un radiante. Allora, ilradiante è la misura di un angolo piano, con il vertice nel centro di una circonferenza, che sottendeun arco di lunghezza uguale al raggio.

Se si ricorda che la lunghezza di una circonferenza è 2πR, si può dire che in una circonferenzasono contenuti 2π archi lunghi quanto il raggio e che quindi un angolo giro è uguale a 2π radiantio se si preferisce il radiante è la 2π parte di un angolo giro. La relazione tra le due unità si deducedalla seguente uguaglianza:

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§1.4 I vettori

φ◦

360=

φrad2π

Esplicitando si trova che

1rad ' 57, 29◦ 1◦ ' 0, 02rad

1.4 I vettori

In principio, tutti possono riprodurre un esperimento e formulare leggi fisiche. Di conseguenza es-istono una infinità di sistemi di riferimento da cui analizzare la realtà. Una richiesta ragionevole perl’analisi della realtà fisica sembrerebbe quella che la formulazione delle leggi fisiche sia indipendentedalla scelta del sistema di assi coordinati. Il linguaggio dei vettori offre una tale possibilità.

Definizione (Parte prima): Un vettore è una grandezza fisica caratterizzata da una direzione,un verso ed un valore numerico (o modulo o intensità).

Indicheremo col simbolo a il generico vettore; il suo modulo con |a| o con la semplice lettera a .Con il simbolo ua indicheremo il versore (ovvero il vettore di modulo unitario) associato al vettorea . Il versore ua ha la stessa direzione e verso di a ma il suo modulo, nel sistema di unità di misuradelle lunghezze usato, vale uno. Allora, si può rappresentare un vettore anche nel seguente modo:

a = |a|ua = aua (4)

I vettori di cui per il momento vogliamo parlare sono quelli detti liberi. Un tale vettore nonè necessariamente localizzato in un particolare punto dello spazio, per cui due vettori possonoconfrontarsi. Sulla base della validità della geometria euclidea, su cui si fonda anche l’uso correntedei vettori, è possibile definire la proprietà fondamentale dei vettori.

Proprietà fondamentale dei vettori: la somma

Nello spazio un vettore è rappresentabile graficamente da un segmento orientato. La lunghezzadel segmento rappresenta, in rapporto ad una determinata unità di misura, il valore del modulo, ladirezione del segmento è la direzione del vettore, mentre il verso è indicato da una cuspide.

La somma di due vettori a e b è un terzo vettore c = a+b che si ottiene dai primi due usandola regola del parallelogramma:

8


Tale operazione gode della proprietà commutativa:

a+ b = b+ a (5)

della proprietà associativa:

a+ (b+ c) = (a+ b) + c (6)

Definizione: I vettori sono grandezze fisiche con un modulo, una direzione e un verso che sisommano secondo la regola del parallelogramma.

Quale significato dobbiamo dare alla differenza di due vettori a e b?Definiamo il vettore −a, in maniera tale che

a+ (−a) = 0 (7)

Cioè il vettore −a corrisponde ad un vettore che annulla il vettore a:

In altre parole, il vettore −a ha lo stesso modulo e direzione di a, ma di verso opposto. Il vettore

differenza, tra il vettore a ed il vettore b

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§1.4 I vettori

è il vettore somma tra il vettore a ed il vettore (−b):

a− b = a+ (−b) (8)

Definizione: Una grandezza scalare è una grandezza che viene completamente caratterizzatada un valore numerico (intensità).

Il prodotto di una quantità scalare k e di un vettore a è un nuovo vettore che ha la stessadirezione e verso di a e modulo pari al prodotto di k per il modulo del vettore a, cioè:

ka ≡ kaua (9)

La moltiplicazione di un vettore per uno scalare gode della proprietà distributiva:

k (a+ b) = ka+ kb (10)

1.4.1 Rappresentazione cartesiana dei vettori

I versori degli assi cartesiani (x, y, z) saranno indicati con

ux,uy,uz

Supponiamo di avere un vettore b che giace lungo l’asse y.

Poiché il versore uy determina la direzione e il verso positivo dell’asse y, potremo scrivere

b = buy

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Se un vettore a giace lungo l’asse x, poiché il versore ux determina la direzione e il verso positivodell’asse x, potremo scrivere

a = aux

Usando i vettori a e b, potremo costruire il vettore somma a+ b = c. Il vettore c appartiene alpiano xy e si potrà scrivere

c =aux + buy

Poiché, i versori non cambiano, gli scalari (a, b) caratterizzano in maniera univoca il vettore c (vedifigura sotto, a sinistra)

Il procedimento che associa a due vettori, uno posto sull’asse x e l’altro sull’asse y, un terzovettore del piano, in maniera univoca, è una operazione analoga (vedi figura sopra, a destra). Piùprecisamente, ad ogni vettore c del piano xy possiamo associare, in maniera univoca, due vettori,a e b ,in maniera tale che

c = a+ b

ovvero

c =cxux + cyuy

dove (cx, cy) sono dette componenti cartesiane del vettore c.Consideriamo una vettore a, in un piano. Se (ax, ay) sono le sue componenti cartesiane, usando

il teorema di Pitagora possiamo scrivere

a =qa2x + a2y (11)

Inoltre, l’angolo che forma il vettore con l’asse x sarà dato da

tan θ =ayax

(12)

Conoscendo le componenti cartesiane siamo in grado di determinare sia il modulo che la direzionedel vettore.

L’estensione alle tre dimensioni dello spazio è immediata. Un vettore dello spazio potràscriversi

11

§1.4 I vettori

a = axux + ayuy + azuz (13)

dove (ax, ay, az) sono le componenti cartesiane del vettore a .In ogni momento, possiamo sostituire ad un vettore la sua rappresentazione cartesiana e vicev-

ersa.

1.4.2 Il prodotto scalare tra due vettori

Definizione: Il prodotto scalare tra due vettori a e b (e lo indicheremo con a · b) è uno scalaredefinito dal seguente valore

a · b = ab cos θ (14)

dove θ è l’angolo tra i due vettori.Valgono per tale prodotto sia la proprietà commutativa che quella distributiva:

a · b = b · a (15)

a · (b+ c) = a · b+ a · c (16)

Se i due vettori sono uguali, avremo

a · a = a2 (17)

ovvero, il modulo di un vettore, si può anche scrivere

a =√a · a (18)

Il prodotto scalare può servire a calcolare la lunghezza di un vettore. Notiamo ancora, cheessendo il prodotto scalare determinato dal coseno dell’angolo compreso tra i due vettori, se i duevettori sono ortogonali, il prodotto scalare è nullo. Per tale proprietà, il prodotto scalare puòessere usato per imporre la condizione di ortogonalità tra due vettori, oppure per verificare unaortogonalità tra due direzioni.

Ogni vettore, abbiamo visto si può rappresentare mediante le sue componenti in un determinatosistema di riferimento cartesiano. Si può facilmente mostrare che se si conoscono le componenticartesiane, di due vettori

a = axux + ayuy + azuz

b = bxux + byuy + bzuz

12


il prodotto scalare si può scrivere:

a · b = axbx + ayby + azbz (19)

Per provare la (19), basta fare i prodotti ed osservare che

ux · uy = ux · uz = uy · uz = 0

ux · ux = uy · uy = uz · uz = 1

Dalla (19) segue che

|a| = a =qa2x + a2y + a2z (20)

cioè, il modulo di un vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle singolecomponenti cartesiane.

Il prodotto scalare tra due vettori (a · b) può anche essere visto, come il prodotto del modulodi a per la proiezione di b nella direzione a e viceversa. In particolare, le componenti cartesiane diun vettore si possono scrivere

ax = a · ux ay = a · uy az = a · uz (21)

Più in generale, se un, è il versore di una generica direzione, la componente del vettore a nelladirezione n sarà

an = a · un (22)

1.4.3 Il prodotto vettoriale tra due vettori

Definizione: Il prodotto vettoriale tra due vettori a e b (e lo indicheremo con a∧b ) è un vettoreortogonale al piano individuato da a e b e modulo dato dalla seguente relazione

|a ∧ b| = ab sinα (23)

Per la determinazione del verso si possono adottare diverse regolette equivalenti.

La regola della mano destra: se con le dita si segue la sovrapposizione del vettore a sul vettoreb, il verso è indicato dal pollice

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§1.5 I vettori del moto

Il prodotto vettoriale è anticommutativo:

a ∧ b = −b ∧ a (24)

Il prodotto vettoriale gode della proprietà distributiva:

a ∧ (b+ c) = a ∧ b+ a ∧ c (22)

Non è difficile provare che valgono per i versori degli assi cartesiani le seguenti relazioni:

ux ∧ uy = uz uy ∧ uz = ux uz ∧ ux = uy (23)

In tal caso si dice che la terna di assi cartesiani è destrorsa.La rappresentazione cartesiana del prodotto vettoriale tra due vettori si scrive

a ∧ b = (aybz − azby)ux + (azbx − axbz)uy + (axby − aybx)uz (24)

La prova della (24) si fonda sulle relazioni (23)Una regola mnemonica per ricavare le componenti cartesiane del prodotto vettoriale è la risoluzione

del seguente determinante: ¯¯ ux uy uzax ay azbx by bz

¯¯

Inoltre, osserviamo che il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori a,b è uguale all’areadel parallelogramma individuato dai due vettori (Problema N.4).

1.5 I vettori del moto

I vettori che introdurremo nelle prossime sezioni di questo capitolo costituiscono le basi su cuisi costruisce ogni altro concetto relativo al moto dei corpi. La loro comprensione è allora unprerequisito per ogni altro approfondimento di concetti relativi al moto dei corpi.

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1.5.1 Il concetto di tempo

Finora abbiamo fatto della geometria e dell’algebra vettoriale, individuando lo spazio che ci circondae che contiene tutti i punti materiali come uno spazio euclideo (in termini non rigorosi si può direche lo spazio euclideo è quello in cui vale tutta la geometria che si studia nelle scuole superiori;quella per intenderci per la quale la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi ele rette parallele non si incontrano mai). Abbiamo già detto che uno dei nostri scopi è quellodi descrivere il movimento dei corpi. Il movimento di un corpo, per ora un punto materiale,presuppone l’occupazione da parte del punto materiale di differenti punti dello spazio in istantisuccessivi. Abbiamo bisogno di introdurre, nella geometria, il concetto di tempo.

Scriveva Newton: Il tempo assoluto, vero matematico, in sé e per sua natura senza relazionead alcunché di esterno, scorre uniformemente, e con altro nome è chiamato durata; quello relativo,apparente e volgare, è una misura (esatta o inesatta) sensibile ed esterna della durata per mezzo delmoto, che comunemente viene impiegata al posto del vero tempo: tali sono l’ora, il giorno, l’anno.

Si può allora dire, che nella meccanica newtoniana, accanto allo spazio assoluto (contenitoredei fenomeni) esiste, e indipendente da esso, il tempo assoluto. Allo stesso modo, in cui le tredimensioni spaziali sono indipendenti le une dalle altre, così il tempo assoluto è indipendente dalletre coordinate spaziali, ma anche dagli stessi fenomeni fisici. Esso infatti scorre uniformemente.Di tale tempo non viene data spiegazione ma solo lo si descrive. Esso sarà il supporto per ilmoto uniforme ed è in stretta connessione con il concetto newtoniano di spazio assoluto. Altreconsiderazioni su tale tempo saranno svolte successivamente. Ora vogliamo solo ribadire che essoesiste ed evolve in maniera uniforme.

Abbiamo tuttavia la necessità di misurare lo scorrere del tempo, quello relativo e volgare. Non viè alcun dubbio sulla seguente affermazione: esistono in natura dei fenomeni periodici. La rotazionedella Terra intorno al Sole, la rotazione della Terra intorno al suo asse, la rotazione della Lunaintorno alla Terra e così via, per rimanere agli esempi più ovvi. Si può allora confrontare unfenomeno fisico che muta nel tempo con uno qualunque dei fenomeni periodici che si presentanoin natura. Più il fenomeno periodico è stabile, più il confronto è oggettivo. Un fenomeno fisicomolto stabile è quello della costanza della frequenza di una opportuna radiazione emessa in unatransizione quantica di un atomo di Cesio (vedi la definizione attuale del secondo in un prossimoparagrafo di questo capitolo). Questo orologio atomico è lo strumento cui si può pensare permisurare lo scorrere del tempo. Se vogliamo essere pignoli, penseremo che un osservatore, fermo inun opportuno sistema di riferimento, possiede per le sue misure un orologio atomico. Altrimentiun buon orologio, per le nostre considerazione, è sufficiente. Risulta palese che il tempo relativopresuppone l’esistenza di uno spazio fisico in cui avvengono i processi periodici. In altre parole,senza i processi periodici il tempo relativo non esisterebbe.

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1.5.2 I vettori posizione, spostamento e velocità

Un punto materiale che si muove nello spazio descrive una traiettoria: essa è il luogo dei punti dellospazio occupati successivamente dal punto materiale

In Figura, la curva disegnata costituisce una ragionevole visualizzazione di una probabile traiet-toria. Sulla traiettoria sono indicati due punti, A e B, raggiunti dal punto materiale in due istantidi tempo distinti t e t+∆t.

Il simbolo ∆ è un operatore che posto prima di una qualunque grandezza fisica (in questo casoil tempo t) rappresenta l’intervallo tra due valori successivi della grandezza fisica che esso precede.In altre parole, se indichiamo con t0 il tempo segnato quando il punto materiale è nel punto B,possiamo scrivere

∆t = t0 − t (25)

e ciò giustifica la nostra notazione rB (t0) = rB (t+∆t).Definizione: Se si sceglie un punto di osservazione O, i punti A e B, possono individuarsi con

i due vettori rA (t) e rB (t+∆t) detti vettori posizione di A e B rispettivamente.La determinazione del moto di un punto materiale consiste nella determinazione del vettore

posizione per ogni istante di tempo, ovvero, occorre trovare la seguente funzione vettoriale:

r = r (t) (26)

Se il nostro sistema di riferimento è un sistema di assi cartesiani, la determinazione della funzionevettoriale (26) è equivalente alla determinazione delle tre seguenti funzioni scalari:

x = x (t) y = y (t) z = z (t) (27)

Quando il punto P descrive la sua traiettoria, la proiezione di r (t) lungo gli assi cartesianigenera tre moti rettilinei, descritti dalle (27). Tali equazioni sono delle equazioni parametriche e sesi elimina t dalle (27) si ottiene la descrizione della traiettoria mediante delle equazioni in x,y e z.

Abbiamo appena detto che lo scopo della meccanica è determinare la traiettoria di un puntomateriale o ciò che è equivalente, determinare la variazione nel tempo del vettore posizione. Per

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poter portare a termine il nostro progetto avremo bisogno di capire perché i corpi si muovono o sesi preferisce chi sono i responsabili del movimento. La risposta corretta al nostro quesito fu datada Newton, che per primo capì che le cause del movimento sono, le forze agenti sui corpi (vediprossimo capitolo) e il loro effetto è produrre variazioni di velocità. In altre parole, i responsabilidel movimento, cioè le forze, non sono direttamente legate al vettore spostamento, la cui determi-nazione è lo scopo della meccanica ma ad altre quantità, cioè alle variazioni di velocità. Dovremoallora, definire la velocità e poi capire cosa sia una variazione di velocità, ovvero cosa sia un’accel-erazione. Infine, dovremo imparare come dalla conoscenza dell’accelerazione, si possa determinarela traiettoria.

Introduciamo un secondo vettore.

Definizione: Il vettore

∆r = rB (t+∆t)− rA (t) (28)

è detto vettore spostamento. L’arco di traiettoria AB è indicato con ∆s .

Se si divide tale vettore per l’intervallo temporale ∆t si ottiene un nuovo vettore, il vettorevelocità media.

Definizione: Il vettore

vm =∆r

∆t(29)

è chiamato velocità media, nell’intervallo di tempo ∆t. Se il valore di ∆t cambia cambieràanche la velocità media. Seguimo in maggior dettaglio cosa succede alla velocità media se si varial’intervallo temporale.

Supponiamo di prendere un intervallo temporale ∆t0 più piccolo di ∆t. Avremo, in corrispon-denza di tale intervallo un nuovo vettore spostamento

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e quindi un nuovo vettore velocità media:

v0m =∆r0

∆t0(30)

Come si comprende facilmente dalle due ultime figure, i due vettori velocità media sono, ingenerale, differenti. Possiamo proseguire e prendere un intervallo temporale ∆t00 ancora più piccolodi ∆t0 (vedi figura a destra). Avremo un nuovo vettore spostamento e una nuova velocità media

v00m =∆r00

∆t00(31)

Anche, in questo caso, il nuovo vettore velocità media è, in generale, differente dai precedenti.Notiamo, tuttavia che man mano che l’intervallo temporale si riduce, il vettore spostamento, almenograficamente, si confonde sempre di più con la traiettoria. Possiamo allora dire che, da un lato, lariduzione dell’intervallo temporale porta a vettori spostamenti più vicini alla traiettoria reale, madall’altro sembrerebbe che tutti i vettori velocità media che si ottengono sono tutti differenti gliuni dagli altri e ciò comporta che non si ha una indicazione precisa su quando arrestare il processo.In realtà, l’operazione di riduzione dell’intervallo temporale non prosegue all’infinito, perché in unmodo che l’analisi matematica precisa in maniera quantitativa, tutti i vettori velocità media, al disotto di un certo intervallo temporale ”tendono ad un valore unico”.

Più precisamente, si può provare, in maniera rigorosa, che esiste, un intervallo temporale ∆t∗

oltre il quale non ha più senso calcolare la velocità media, perché, per tutti gli intervalli temporali piùpiccoli di ∆t∗ i valori della velocità media coincidono con la velocità media associata all’intervallo∆t∗:

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v∗m =∆r∗

∆t∗(32)

Si dice, in tal caso, che nel limite in cui l’intervallo temporale tende a zero, e si scrive( ∆t→ 0

), il rapporto (detto rapporto incrementale) ∆r/∆t tende ad un vettore unico, che indicheremo conv (t), la cui direzione è tangente alla traiettoria, all’istante t.

Ha senso allora definire il seguente vettore velocità:Definizione: Il limite della seguente quantità

v (t) = lim∆t→0

∆r

∆t= lim

∆t→0r (t+∆t)− r (t)

∆t(33)

definisce il vettore velocità istantanea o semplicemente velocità. L’operazione di limite, indicatanella definizione della velocità prende il nome di derivata temporale del vettore posizione e si indicacon

v (t) =dr (t)

dt(34)

Componenti cartesiane: Supponiamo di conoscere le componenti cartesiane del vettoreposizione

r(t) = x(t)ux + y(t)uy + z(t)uz (35)

e se si indicano con (∆x,∆y,∆z) le componenti cartesiane del vettore spostamento, ∆r , allora,per ogni componente, possiamo scrivere

vx (t) = lim∆t→0

∆x

∆tvy (t) = lim

∆t→0∆y

∆tvz (t) = lim

∆t→0∆z

∆t(36)

dove (vx (t) , vy (t) , vz (t)) rappresentano le componenti cartesiane della velocità:

v (t) = vx (t)ux + vy (t)uy + vz (t)uz (37)

Le componenti della velocità saranno legate alle componenti del vettore posizione dalle seguentirelazioni:

vx (t) =dx

dtvy (t) =

dy

dtvz (t) =

dz

dt(38)

In termini di tali componenti si può scrivere il modulo di v (t) :

|v (t)| =qv2x (t) + v

2y (t) + v

2z (t) (39)

Il primo passo nella costruzione del modello di risoluzione del problema del moto è stato risolto.Non è difficile rendersi conto che, da un punto di vista geometrico, se si conoscono le tangenti ad

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ogni punto di una traiettoria, si può risalire dalle tangenti alla traiettoria medesima. Se le cause delmovimento, cioè le forze fossero legate, come pensava Aristotele, alle velocità di un corpo, potremmoanche fermarci al concetto di velocità. Tuttavia, abbiamo già detto che le forze sono legate allevariazioni di velocità, per cui avremo bisogno di introdurre anche il concetto di accelerazione.

Le dimensioni della velocità sono quelle di una lunghezza su tempo:

v =[


a (t) = lim∆t→0

∆v

∆t= lim

∆t→0v (t+∆t)− v (t)

∆t(40)

detto accelerazione. Ricordando che la velocità è la derivata del vettore spostamento, l’acceler-azione si può anche scrivere

a (t) =d2r (t)

dt2(41)

Componenti cartesiane: Come per gli altri vettori, del vettore accelerazione, si può consid-erare la sua rappresentazione cartesiana e scrivere che

ax =d2x

dt2ay =

d2y

dt2az =

d2z

dt2(42)

Vedremo più avanti come dall’accelerazione si potrà risalire alla traiettoria di un corpo inmovimento.

Le dimensione dell’accelerazione sono quelle di una lunghezza sul quadrato di un tempo:

a =[L]

[T 2]

e nel Sistema Internazionale l’accelerazione si misurerà in metri su secondi al quadrato, m/s2.

1.6 Moto rettilineo

Esaminiamo in qualche dettaglio il moto di un punto materiale lungo una traiettoria rettilinea. Intal caso, avremo:

Il vettore spostamento,

∆r = r (t+∆t)− r (t)e con essa la velocità media, avranno una direzione precisa: la loro direzione è lungo la traiettoria

rettilinea.Il punto materiale, può arrestarsi (∆r = 0 e v = 0) e può anche cambiare direzione dimoto sulla traiettoria. In tal caso, il vettore spostamento

∆r = r¡t0 +∆t

¢− r ¡t0

¢

21

§1.6 Moto rettilineo

ha verso opposto a quello precedente e così la velocità media.Se si prende un intervallo temporale più piccolo, si troverà ancora che il vettore spostamento e

la velocità media associata ad esso avranno la direzione della traiettoria rettilinea. Possiamo,allora,concludere dicendo che il vettore velocità, nel moto rettilineo uniforme, ha la direzione della trai-ettoria rettilinea. Questo risultato era atteso, perché la tangente, in un qualunque punto di unaretta, ha la direzione della retta stessa.

. Possiamo dire che se si sceglie, un versore u della retta rappresentante la traiettoria, potremosicuramente scrivere:

v (t) = ±v (t)udove il versore, non cambia nel tempo.Supponiamo ora di porre l’osservatore sulla traiettoria, in un punto arbitrario. I vettori

posizione e spostamento saranno

Se si confrontano le figure fatte con l’osservatore fuori dalla traiettoria e quelle fatte con l’osser-vatore sulla traiettoria, si noterà che, mentre i vettori posizione sono differenti, i vettori spostamentie con essi i vettori velocità sono gli stessi, indipendentemente dagli osservatori. Possiamo concluderedicendo che, se i due osservatori sono fermi, l’uno rispetto all’altro, i vettori velocità non dipendonodall’osservatore.

Se si introduce un versore u , della retta rappresentante la traiettoria, potremo scrivere

r (t) = ±r (t)u ∆r = ±∆ru v (t) = ±v (t)u (43)

Poiché il versore non muta nel tempo, una sola variabile è sufficiente a descrivere il moto delpunto materiale (si veda il moto su traiettoria prestabilita per una generalizzazione di un talediscorso).

Passiamo all’esame dell’accelerazione. Supponiamo di avere i seguenti vettori velocità evariazione di velocità:

22


∆v = v (t+∆t)− v (t)

Possiamo vedere che il vettore variazione della velocità è diretto lungo la direzione della trai-ettoria rettilinea e quindi nella stessa direzione sarà diretta l’accelerazione del punto materiale.Quando l’accelerazione è diretta nella direzione del moto, il moto si dirà accelerato.

Il caso precedente rappresentava il caso in cui il punto materiale stava aumentando la propriavelocità nel corso del tempo. Ci può anche essere il caso in cui la velocità subisce una diminuzione.In tal caso, si avrebbe:

ed il punto materiale si dice che ha un moto decelerato.

Infine, può presentarsi il caso in cui il punto materiale, nel suo moto e durante un certo intervallodi tempo non subisce alcuna variazione di velocità. In tal caso, i vettori velocità, nei punti P(t) eP(t+∆t) sono uguali. Il vettore, variazione della velocità, sarà nullo e con esso l’accelerazione:

∆v = 0 → a = 0

In tal caso, si dice che il moto del punto materiale è rettilineo uniforme.

23

§1.7 Moto circolare

1.7 Moto circolare

Un punto materiale che si muove lungo una determinata circonferenza, di raggio r, si dice che simuove di moto circolare.

Poiché, il modulo del vettore posizione non cambia nel tempo, conviene usare le coordinatepolari, ed utilizzare solo la variabile angolare per descrivere la posizione del punto materiale. Usandola misura di un angolo in radianti (rad) possiamo valutare la rapidità di rotazione del raggio vettore,la variazione angolare, nell’intervallo di tempo ∆t sarà espressa da

φ (t+∆t)− φ (t)

∆t

che chiameremo velocità angolare media:

ωm =∆φ

∆t

La velocità angolare media dipende dall’intervallo di tempo considerato, ma come per la velocità(lineare e per l’accelerazione) nel limite in cui l’intervallo temporale tende a zero, la velocità angolaremedia tende ad un valore unico. detto, velocità angolare. e difinita dalla relazione

ω = lim∆t→0

∆φ

∆t=

dφ

dt(44)

Quando ω = ω0 è costante, il moto è detto circolare uniforme.Se il moto non è circolare uniforme, possiamo definire l’accelerazione angolare media:

αm =ω (t+∆t)− ω (t)

∆t

e quindi l’accelerazione angolare, con il solito procedimento di limite:

α = lim∆t→0

ω (t+∆t)− ω (t)

∆t=

dω

dt(45)

Notiamo che potremmo scrivere

24


α =d2φ

dt2(46)

Si dice che l’accelerazione angolare è la derivata temporale seconda dell’angolo.

Alcuni parametri caratterizzanti il moto circolare uniforme: Il tempo impiegato dalpunto materiale a percorrere una intera circonferenza è detto periodo del moto circolare uniformee si indica con T .

Possiamo determinare il legame tra il periodo e la velocità angolare usando la definizione diquest’ultima. In un periodo, il raggio vettore è ruotato di 360 gradi; il valore in radianti di taleangolo è 2π. Per ottenere la velocità angolare basterà dividere per il tempo impiegato a percorreretutto l’angolo giro:

ω0 =2π

T(47)

Se moltiplichiamo ambo i membri di tale relazione per il raggio della circonferenza, avremo

ω0r =2πr

T

che ci consente di trovare il legame tra la velocità tangenziale e la velocità angolare

ω0r = v (48)

L’inverso del periodo si chiama frequenza, ν:

ν =1

T(49)

La velocità angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo, 1/ [T ] e nel Sistema Inter-nazionale si misura in rad/s

La frequenza ha le dimensioni dell’inverso di un tempo, 1/ [T ].

Nel Sistema Internazionale la frequenza si misura in Hertz (Hz) ed indica il numero di giri alsecondo.

1.7.1 Accelerazione centripeta

Consideriamo un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme su di una circonferenzadi raggio r.

25

§1.7 Moto circolare

Consideriamo il vettore

∆v = v (t+∆t)− v (t) (50)

in diversi tratti della traiettoria. Proviamo a calcolare il suo modulo. I vettori v (t) e v (t+∆t)sono di pari intensità. Insieme al vettore ∆v formano un triangolo isoscele di cui ∆v è la base.Inoltre, tale triangolo è simile al triangolo formato dai vettori posizione e dal vettore spostamento.In particolare, l’angolo opposto ai vettori ∆r e ∆v, sono uguali. Abbiamo indicato tale angolo conθ. Riferendoci al triangolo delle velocità, potremo scrivere

∆v = 2v sin(θ/2) (51)

e riferendoci al triangolo dei vettori posizione e spostamento, potremo scrivere l’angolo inradianti

θ =∆s

r

Sostituendo l’espressione dell’angolo, nella (51), avremo:

∆v = 2v sin

µ∆s

2r

¶Per piccoli angoli, cioè, per intevalli temporali piccoli, il seno di un angolo si confonde con

l’angolo stesso e si potrà scrivere

∆v '2vµ∆s

2r

¶'vr∆s (52)

Dividendo per l’intervallo temporale, avremo

∆v

∆t'vr

∆s

∆t

26


Al primo membro, per intervalli temporali sempre più piccoli, ovvero nel limite per ∆t → 0 ,ci sarà un’accelerazione, che indicheremo con ac, detta accelerazione centripeta, mentre al secondomembro, apparirà, a fattore, una seconda velocità. In definitiva, potremo scrivere:

ac =v2

r(53)

L’accelerazione centripeta è diretta sempre verso il centro della circonferenza, come si evincedal precedente grafico (si vedano anche i complementi)

1.8 Moto su traiettoria prestabilita

Prima di studiare come si determina la traiettoria di un punto materiale in moto, vogliamo stabilirealcune caratteristiche del moto dei corpi. Per fare ciò, assumeremo di conoscere la traiettoriae porremo la nostra attenzione sul modo in cui il corpo percorre la traiettoria stessa. Si parla,in tal caso, di studiare l’aspetto intrinseco del moto. Per fare ciò, esamineremo, in funzione deltempo, come varia un parametro, che sia adatto a fissare la posizione del punto materiale sulla suatraiettoria.

Immaginiamo due auto che entrano in un’autostrada (la traiettoria è una curva che rappresental’autostada). Al casello i due autisti azzerano i contachilometri e un proprio cronometro. Poiman mano che essi procedono viene segnato, da ciascuno, su di un foglio il tempo trascorso ed ichilometri percorsi.

Il primo autista avrà la seguente tabella del tipo:t(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5

s(km) 0 50 100 150 200 250che può anche trasformarsi in un grafico. Si dice che abbiamo costruito un diagramma orario

del moto di una delle auto lungo l’autostrada.Si può anche vedere a quale curva i punti appartengono: Si troverà una retta.

s(t) = 100t

L’altro autista invece presenta i seguenti dati

27

§1.8 Moto su traiettoria prestabilita

t(s) 0 1 2 3 4 5 6

s(m) 0 1 4 9 16 25 36che si potranno anch’essi graficare. La seconda auto si è mossa più rapidamente ma ha fatto

pochi metri. Il grafico può essere trasformato in una curva analitica la cui espressione è

s(t) = t2

Le due automobili hanno percorso la stessa traiettoria (l’autostrada) ma con modalità differenti.Questi due esempi ci consentono di passare ad una trattazione di tipo generale che possa consen-

tirci di trattare un qualunque moto su traiettoria prestabilita. Supponiamo che un punto materialesi muova su di una traiettoria prestabilita dello spazio.

Scelto un punto O, in maniera arbitraria, su tale traiettoria (detto origine) possiamo misurarele lunghezze percorse, lungo la traiettoria, dal punto materiale rispetto all’origine fissata. Possiamopensare che il corpo sia partito dal punto O, e poi nel corso del tempo sia passato da A, poi B epoi ancora C. In questo modo, abbiamo anche definito un verso positivo di percorrenza lungo latraiettoria.

Indicheremo con s(t) la lunghezza variabile nel tempo, del percorso, lungo la traiettoria, delpunto materiale e la chiameremo ascissa curvilinea del punto materiale rispetto ad O.

Nei moti su traiettoria prestabilita la conoscenza del moto del punto materiale si riduce allaconoscenza della variazione dell’ascissa curvilinea s nel corso del tempo.

La curva che rappresenta l’ascissa curvilinea in funzione del tempo è detta diagramma orario ela relazione s = s (t) è detta legge oraria.

28


Il rapporto

vm =s (t+∆t)− s (t)

∆t=∆s

∆t(54)

definisce la velocità media scalare durante l’intervallo di tempo ∆t.

Calcolare il rapporto ∆s/∆t equivale a calcolare la tangente dell’angolo che la retta AB formacon l’asse dei tempi, ovvero, la pendenza della retta che passa per A e B:

vm = tanα (55)

Inoltre, il rapporto ∆s/∆t rappresenta il valore della velocità ipotetica (e costante) con la qualeil punto materiale potrebbe andare da A a B durante l’intervallo temporale ∆t.Man mano cheil valore del tempo ∆t si riduce, l’ascissa curvilinea cambia e con essa la velocità scalare media.Esiste, tuttavia, un valore ∆t∗, abbastanza prossimo al valore zero, tale che, per ogni altro valore∆t < ∆t∗, la velocità scalare media non cambia più.

29

§1.8 Moto su traiettoria prestabilita

Quando ciò accade si dice che si è trovato la velocità istantanea, del punto materiale in A. Lavelocità istantanea sarà detta semplicemente velocità e sarà indicata con v.

La velocità in A, essendo un particolare rapporto ∆s/∆t , rappresenta la tangente di un angolo:esso è l’angolo che la retta tangente alla curva oraria, nel punto considerato, forma con l’asse deitempi.

Noi scriveremo

v = lim∆t→0

∆s

∆t=

ds

dt(56)

L’operazione di limite, sopra descritta, ed indicata ds/dt è detta derivata temporale dellafunzione s(t).

Nota le velocità, potremmo fare dei grafici delle velocità in funzione del tempo e, con unprocedimento, già descritto altre volte, considerare l’accelerazione all’istante t:

a = lim∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt(57)

ovvero

a =d

dt

µds

dt

¶=

d2s

dt2(58)

Le considerazioni svolte per l’ascissa curvilinea, nella sua forma generale, valgono per le funzioni

x = x (t) y = y (t) z = z (t)

che rappresentano le componenti cartesiane del vettore posizione. Avremo, per le componenti dellavelocità

vx =dx

dtvy =

dy

dtvz =

dz

dte per le componenti dell’accelerazione

ax =d2x

dt2ay =

d2y

dt2az =

d2z

dt2

Per ciascuna componente valgono le proprietà appena discusse.

30


1.9 L’operazione di derivazione e la determinazione delle grandezzefisiche

Abbiamo imparato che se si ha una legge oraria la derivata temporale ci fornisce la velocità ad ogniistante di tempo. Uno degli esempi di legge oraria che abbiamo fornito è stata

s (t) = t2 (a)

Vogliamo imparare ad operare con le derivate. La funzione t2 appartiene alla categoria delle funzionidette ”potenze della variabile indipendente”

f (t) = tn (b)

La derivata di una funzione di questo tipo è

d

dt(tn) = ntn−1 (c)

Questo vuol dire ched

dt

¡t2

¢= 2t (d)

Possiamo dire che la curva delle velocità (cioè dei coefficienti angolari delle rette tangenti alla leggeoraria) è

v (t) = 2t (e)

§1.9 L’operazione di derivazione e la determinazione delle grandezze fisiche

dove k è una costante. La derivata di una tale funzione e:

d

dt(ktn) = k

d

dt(tn) = kntn−1 (h)

Allorad

dt

¡3t2

¢= 3

d

dt

¡t2

¢= 3× 2t

ovverov (t) = 6t m/s (i)

La derivata di una costante è zero:d

dt(k) = 0 (l)

Veniamo alla derivata della somma di due funzione:

d

dt[f (t) + g (t)] =

d

dtf (t) +

d

dtg (t) (m)

Consideriamo la funziones (t) = 4t3 + 3t2 − 3t (n)

Avremod

dt

¡4t3 + 3t2 − 3t¢ = 12t2 + 6t− 3

ovverov (t) = 12t2 + 6t− 3 m/s (o)

Veniamo alle funzioni trigonometriche:

s (t) = sin t → d

dts (t) = cos t (p)

s (t) = cos t → d

dts (t) = − sin t (q)

Supponiamo di avere la seguente funzione:

s (t) = sin (kt) (r)

Questa è una funzione di funzione F (g (t)). La sua derivata è

d

dtF (g (t)) =

dF

dg

dg

dt(s)

Allora

v (t) =d

dtsin (kt) = cos (kt) k (t)

32


Per finire consideriamo la seguente funzione

s (t) = t2 sin t (u)

Questa funzione è il prodotto di due funzioni. La derivazione del prodotto di due funzioni è

d

dt[f (t) g (t)] =

d

dt[f (t)] g (t) + f (t)

d

dt[g (t)] (v)

Allora la derivata della funzione (u) è

v (t) = 2t sin t+ t2 cos t m/s (z)

Abbiamo visto che l’accelerazione, essendo la derivata temporale della velocità, essa è anche laderivata seconda dell’ascissa curvilinea rispetto al tempo. In precedenza abbiamo visto:

s (t) = 3t2 → v (t) = 6t

0

10

20

30

40

50

60

70

y

1 2 3 4 5t-30

-20

-10

0

10

20

30

y

1 2 3 4 5t

Possiamo scrivere

a =d

dtv (t) = 6 > 0

Se avessimo avuto la funziones (t) = −3t2

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

y

1 2 3 4 5t

33

§1.10 Diagrammi velocità-tempo

troveremmo

a =d

dtv (t) = −6 < 0

Se avessimo avuto la funziones (t) = 3t

-15

-10

-5

0

5

10

15

y

1 2 3 4 5t

troveremmoa = 0

Possiamo concludere dicendo che l’accelerazione, può essere positiva, negativa o nulla, e questorisultato dipende dalla forma della legge oraria.

1.10 Diagrammi velocità-tempo

Abbiamo appena esaminato i diagrammi orari, ovvero la relazione tra spazio percorso da un puntomateriale e tempo impiegato a percorrerlo ed abbiamo imparato ad estrarre alcune informazioni datali diagrammi. Ora vogliamo esaminare i diagrammi velocità-tempo in un’ottica.diversa.

Considereremo alcuni casi.Caso a)- Supponiamo che un punto materiale si muova di moto rettilineo uniforme con velocità

v0. Allora un diagramma che descriva la variazione della velocità nel corso del tempo avrà laseguente forma:

34


Fissato un tempo iniziale t0 ed un tempo finale t1 potremo calcolare l’area compresa tra la curvadelle velocità e l’asse dei tempi, tra i valori di t0 e t1. Tale area ha la forma rettangolare ed il suovalore sarà dato dal prodotto della base t1 − t0 per l’altezza v0, cioé

Area = v0 (t1 − t0) (59)

Ma il secondo membro è proprio lo spazio percorso dal punto materiale durante l’intervallo ditempo t1 − t0.

Se conoscessimo anche lo spazio che il punto materiale ha percorso dall’istante iniziale, t0, cioév0t0, potremmo calcolare lo spazio totale percorso dal punto materiale. Allora, possiamo dire che,nel caso di moto rettilineo uniforme, nota lo spazio percorso dal punto materiale fino ad un certoistante,

”dal diagramma velocità-tempo possiamo risalire allo spazio totale percorso, dal punto materiale,calcolando l’area compresa tra la curva delle velocità e l’asse dei tempi”.

Caso b)-Supponiamo ora che il punto materiale parta con una velocità nulla e poi crescalinearmente con il tempo. Questo è per esempio il caso di un corpo lasciato libero di cadere versoil suolo. In tal caso la relazione velocità-tempo sarà

v (t) = gt (60)

dove g è la costante di proporzionalità. Il diagramma della velocità in funzione del tempo sarà deltipo:

Anche in questo caso l’area compresa tra la curva delle velocità e l’asse dei tempi ci darà lospazio percorso dal punto materiale durante l’intervallo di tempo considerato. Poiché l’area ha laforma di un triangolo, lo spazio percorso sarà dato da

s =1

2gt2 (61)

Se oltre a crescere linearmente col tempo, per t > 0, il punto materiale, al tempo t = 0 avevauna velocità iniziale diversa da zero, diciamo v0, allora la relazione velocità-tempo si scriverà

35


v (t) = v0 + gt (62)

ed il suo diagramma sarà

L’area compresa tra la curva delle velocità e l’asse dei tempi ha la forma di un trapezio le cuidue basi sono (v0, v0 + gt) e la cui altezza è t. Lo spazio percorso si scriverà

s (t) = (v0 + v0 + gt) t1

2= v0t+

1

2gt2 (63)

La velocità di un punto materiale può anche decresce, annullarsi o assumere valori negativi. Noiconverremo, ai fini del calcolo dello spazio percorso dal punto materiale, di considerare negative learee sotto l’asse dei tempi. Si consideri il seguente diagramma:

Lo spazio percorso sarà

s (t) = v1t1 +1

2v1 (t2 − t1)− 1

2v3 (t3 − t2)

Caso c)-Consideriamo ora il caso di un punto materiale la cui velocità cambi in manieraarbitraria. Supponiamo che il grafico velocità-tempo sia il seguente:

36


Anche in questo caso, l’area compresa tra la curva della velocita e l’asse dei tempi ci darà lospazio percorso dal punto materiale nel corso del tempo. Ma il problema ora è la determinazione ditale area. Un possibile modo per calcolare, in maniera approssimata, tale area è quello di costruiretanti rettangoli sotto la curva:

Man mano che riduciamo la base dei rettangoli, ovvero aumentiamo il numero di rettangolisotto la curva, la somma delle aree dei rettangoli approssima sempre meglio l’area sotto la curva.Possiamo dire che se i rettangoli diventassero tantissimi

avremmo trovato un modo per approssimare quanto si vuole l’area compresa tra la curva dellevelocità e l’asse dei tempi.Possiamo concludere dicendo che dai diagrammi velocità-tempo si può

37


risalire allo spazio percorso dal punto materiale, calcolando l’area compresa tra la curva delle ve-locità e l’asse dei tempi, tra l’istante iniziale e quello finale, una volta nota anche il valore dellavelocità all’istante iniziale”.

L’operazione di somma, con il limite, appena introdotta è detta di integrazione.Approfondimento matematico: Ora proveremo a spiegare in maniera matematica le con-

siderazioni appena svolte. Se un punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme, lungo unatraiettoria rettilinea in un intervallo di tempo tf − ti , lo spazio percorso dal punto materiale sarà

s = v (tf − ti) (a)

dove v è la velocità costante con cui si muove il corpo. Supponiamo ora che il punto materialesi muove in maniera tale che la sua velocità sia una funzione del tempo:

v = f (t) (b)

Ci proponiamo di calcolare lo spazio percorso dal punto materiale nello stesso intervallo tempo-rale tf − ti. In tal caso, per calcolare approssivativamente lo spazio possiamo procedere nel modoseguente. Dividiamo l’intervallo [ti, tf ] in un certo numero n di parti uguali:

ti = t0 < t1 < t2 < .... < tn−1 < tn = tf (c)

e sia h l’ampiezza comune di questi intervalli:

h =tf − tin

(d)

L’approssimazione che ora faremo è la seguente: In ogni intervallo temporale considerato lavelocità si mantiene costante. Più precisamente, supporremo che nell’intervallo [t0, t1] la velocitàsia costante ed uguale al valore che essa ha all’istante t0, cioé a f (t0); che nell’intervallo [t1, t2] lavelocità sia costante ed uguale al valore che essa ha all’istante t1, cioé a f (t1); che nell’intervallo[t2, t3] la velocità sia costante ed uguale al valore che essa ha all’istante t2, cioé a f (t2) e così via. Conle nostre assunzioni possiamo affermare che lo spazio percorso dal punto materiale, nell’intervalloconsiderato sarà:

f (t0)h+ f (t1)h+ f (t2)h+ ...+ f (tn−1)h (e)

e questo valore sarà tanto più prossimo al valore dello spazio percorso quanto più numerosisaranno gli intervalli parziali in cui abbiamo diviso tutto l’intervallo temporale. Si dice che lamisura reale dello spazio percorso dal punto materiale è il limite per n → ∞ della somma (e) e siscrive:

38


s =

Z tf

ti

f (t) dt (f)

Questa discussione è l’equivalente matematica della discussione svolta graficamente appenasopra. Per considerazioni ancora più formali si possono vedere i complementi. Possiamo alloraconcludere che se

v (t) = gt (g)

alloras =

Zgtdt =

1

2gt2 (h)

Questo è un caso particolare di una formula generaleZktndt = k

1

n+ 1tn+1 (i)

Nel caso in cui si avessev (t) = v0 + gt (l)

avremmo Z(v0 + gt) dt = v0t+

1

2gt2 (m)

questo perché l’integrazione dell’unità è la variabile di integrazione:Zv0dt = v0t (n)

1.11 Diagrammi accelerazione-tempo

Supponiamo che un punto materiale si muova con accelerazione costante e sia g il valore della suaaccelerazione.

Il diagramma che descrive la variazione dell’accelerazione nel corso del tempo avrà la seguenteforma:

39

§1.11 Diagrammi accelerazione-tempo

Calcoliamo l’area compresa tra la curva dell’accelerazione e l’asse dei tempo, tra i valori t0 e t1.Tale area avendo la forma di un rettangolo sarà uguale a

Area = g (t1 − t0) = g∆t (64)

Al secondo membro abbiamo la velocità che il corpo possiede durante l’intervallo di tempo ∆t. Seconoscessimo anche la velocità che il corpo possedeva al tempo t = t0, diciamo v0, allora la velocitàposseduta dal corpo al tempo t1 sarà data da

v (t1) = v0 + g (t1 − t0) = v0 + g∆t

Allora, come procedimento generale, se conosciamo l’accelerazione costante a0 , con cui unpunto materiale si muove, in una direzione particolare, la sua velocità, nel corso del tempo e nelladirezione stabilita, sarà espressa dalla relazione:

v (t) = v0 + a0t (65)

Ma abbiamo visto (eq.(62) e (63), che un punto materiale, la cui velocità è espressa dalla (65)percorrerà uno spazio dato da

s (t) = v0t+1

2a0t

2 (66)

Dovendo tener conto che il punto materiale può aver già percorso un tratto di spazio, s0, laprecedente relazione diventano:

s (t) = s0 + v0t+1

2a0t

2 (67)

Possiamo dire che, nel caso in cui è nota l’accelerazione del punto materiale, e questa è costante,l’ulteriore conoscenza della velocità del punto materiale ad un certo istante, consente di ottenere,dal diagramma accelerazione-tempo la velocità posseduta dal punto materiale calcolando l’area trala curva dell’accelerazione e l’asse dei tempi. Inoltre, dal diagramma velocità-tempo è possibilerisalire anche allo spazio percorso, noto il valore dello spazio inizialmente percorso.

Questa proprietà, dei diagrammi accelerazione-tempo e velocità-tempo, mostrata per un casomolto semplice, è valida qualunque sia il tipo di accelerazione che possiede un punto materiale inmoto.

Possiamo concludere dicendo che, nota la posizione e la velocità di un punto materiale ad uncerto istante, la conoscenza dell’accelerazione del punto materiale nel corso del tempo consente dideterminare sia la velocità posseduta dal punto materiale ad ogni istante che lo spazio da essopercorso.

40

§1.13 I sistemi di unità di misura

Supponiamo che α = α0. Innanzitutto, dalla (70) avremo

α0 =a0tR

(74)

dove a0t è il valore costante dell’accelerazione tangenziale. Procedendo come nei precedentiparagrafi, potremo scrivere

ω (t) = ω0 + α0t (75)

e poi

φ (t) = φ0 + ω0t+1

2α0t

2 (76)

Consideriamo alcuni casi.Caso A: moto circolare uniforme. Avremo α0. = 0.

ω (t) = ω0 φ (t) = φ0 + ω0t (77)

Il periodo T è il tempo impiegato dal punto materiale a percorrere una circonferenza, cioè

2π = ω0T

Un risultato quest’ultimo che abbiamo già ottenuto.Caso B: accelerazione angolare costante, ma velocità angolare iniziale nulla (notare la similarità

con la caduta libera). Avremo,

ω (t) = α0t φ (t) = φ0 +1

2α0t

2 (78)

1.13 I sistemi di unità di misura

In questo capitolo abbiamo imparato che ogni grandezza fisica si misura in termini di una opportunaunità di misura. Ogni grandezza fisica è tale perché si è riuscito a stabilire un insieme di operazionidi laboratorio che hanno consentito di associargli un valore numerico. Il valore numerico dipendedal sistema di unità di misura adottato. Tra le grandezze fisiche incontrate possiamo distinguere,rispetto alle unità di misura, due categorie di grandezze. Da un lato, le lunghezze ed il tempo edall’altro, la velocità e l’accelerazione. La diversità tra le due categorie consiste nel fatto che leseconde si misurano in termini delle prime due. In altre parole, le lunghezze ed il tempo costituisconodelle unità di base (sono tra loro indipendenti e le altre si possono misurare in termini di esse).Si comprende allora come si possa tentare di stabilire il numero minimo di grandezze fisiche, lecui unità di misura siano tra loro indipendenti e tali che tutte le altre unità di misura possano

42


esprimersi in termini di questo gruppo di unità di misura. Un tale gruppo di unità di misuracostituisce un Sistema di Unità di Misura. Dal 1960 è in uso il Sistema Internazionale (S.I.). Talesistema di unità si fonda su 7 unità fondamentali: il tempo (il secondo:s), le lunghezze (il metro:m), la massa (chilogrammo: kg), la temperatura assoluta (Kelvin: K), la quantità di materia (mole:mol), l’intensità di corrente (Ampere: A) e l’intensità luminosa (candela: cdl). Si veda l’appendicealla fine del libro per la definizione di queste 7 quantità, per i fattori di conversione a queste unitàed il valore delle costanti usate nel testo.

Nel 1975 la Conferenza Generale di Pesi e Misure ha adottato una unità di lunghezza (sem-pre il metro) basata sulla costanza della velocità della luce nel vuoto in assenza di un campogravitazionale. La seguente unità di lunghezza è ora accettata:

Un metro è la distanza percorsa da un’onda elettromagnetica nel vuoto in un tempo pari a 1/cdi un secondo.

Con c si intende il valore della velocità della luce nel vuoto: essa è uguale a 299, 79 · 106m/s

(con s abbiamo indicato l’unità di misura del tempo). Come si può vedere, la definizione dell’unitàdi lunghezza è diventata una definizione derivabile dall’unità di tempo e dal valore di una costantefondamentale, che è la velocità della luce nel vuoto. In realtà, quello che è sempre accaduto alleunità di base, o meglio alla determinazione dell’unità campione è una continua evoluzione e latendenza odierna prevede la loro determinazione attraverso costanti fondamentali, che poi a lorovolta si determinano con grande accuratezza.

Data l’importanza del valore dell’unità di tempo, cioè il secondo, daremo anche la sua attualedefinizione anche, se la sua comprensione non è possibile a questo livello:

Il secondo è la durata di 9192631770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tradue livelli iperfini dello stato fondamentale del Cesio 133.

Poiché anche il minuto (min), l’ora (h), il giorno (d) e l’anno (anno) sono usati per descriverecomunemente gli intervalli temporali, diamo qui di seguito le loro espressioni in termini di secondi:

1min = 60s 1h = 3600s 1d = 8, 6× 104s 1anno = 3, 156× 107s

1.14 Complementi

1.14.1 Il problema fondamentale del moto

Supponiamo che il punto materiale, di cui ci accingiamo a descrivere il moto, si muova in linea retta(si pensi alla caduta di un grave). Assumeremo che il moto di tale punto avvenga in modo continuo,ovvero che se il punto passa, ad un dato istante di tempo per una posizione A, esiste un intervallodi tempo, abbastanza piccolo, che include l’istante considerato, e durante il quale (intervallo!) ilpunto occupa posizioni vicine ad A, tanto quanto si vuole. In altri termini, possiamo dire che ilpunto sta descrivendo una linea continua, che sarà la sua traiettoria (linea retta per nostra scelta

43

§1.14 Complementi

semplificatrice). Supponiamo che durante un certo intervallo di tempo, il punto si sia spostatodal punto A al punto B. Fissiamo in modo arbitrario, un punto O (detto origine degli spazi) estabiliamo che siano positivi le distanze, del punto mobile, dal punto O che sono nel verso che vada O a B (diremo OB verso positivo della traiettoria). Il verso opposto, quello che va da O ad Asarà detto verso negativo della traiettoria.

Il nostro scopo è la determinazione della posizione del punto sulla retta ad ogni istante di tempo.Se indichiamo con x, la distanza del punto dall’origine degli spazi, per la precedente assunzione,possiamo affermare che

x = f (t) (1)

dove f(t) è una funzione continua ed il nostro scopo sarà quello di determinare tale funzione.Come possiamo determinare la funzione f(t)? Sia P il punto della retta occupato dal punto

materiale al tempo t e sia P 0 quello occupato al tempo t0. Indicheremo x ed x0 i valori delle distanzedei due punti dall’origine O. Possiamo formare il seguente rapporto, detto rapporto incrementale:

PP 0

t0 − t=

x0 − x

t0 − t

che possiamo, in base alla (1), anche scrivere

PP 0

t0 − t=

f (t0)− f (t)

t0 − t(2)

Se t0 > t lo diremo rapporto incrementale destro, e se t0 < t lo diremo sinistro. Se si fa tenderet0 a t, ambedue i rapporti tenderanno ad un limite, che si chiamano derivata sinistra e destra. Nelcaso in cui i due limiti sono uguali, chiameremo il limite comune, velocità:

v ≡ limt0→t

f (t0)− f (t)

t0 − t=

dx

dt(3)

Sappiamo che il segno della derivata indica se la funzione è crescente o decrescente, quindipossiamo dire che se la velocità è positiva il moto avviene nel verso positivo della traiettoria, insenso contrario se negativa.

A cosa serve il concetto di velocità nella risoluzione del problema del moto? La risposta è laseguente: Se conosciamo la velocità del punto materiale in ogni punto della traiettoria, possiamoscrivere la traiettoria in funzione di essa. Sia

v = g (t) (4)

la funzione che ad ogni istante ci dà il valore della velocità del punto materiale. Introducendoil concetto di integrale (vedi Appendice B), possiamo scrivere

x = f (t) =

Zdtg (t) + costante (5)

44


Allora, a meno di una costante, la conoscenza della velocità ci consente, mediante l’operazione diintegrazione, di conoscere la traiettoria. L’indeterminazione, dovuta alla costante, viene eliminatase si conosce la posizione del punto mobile ad un certo istante. Infatti se

x0 = f (t0) (6)

allora

x = f (t) =

Z t

t0

dt0g¡t0

¢(7)

Possiamo allora dire che, la conoscenza della velocità ad ogni istante di tempo, unita allaconoscenza della posizione ad un certo istante, consente di determinare completamente il motodel punto mobile.

Sfortunatamente, come capiremo meglio in seguito, i responsabili del moto (ovvero le forze)non sono legate alle velocità, bensì alle variazioni di velocità. Dobbiamo allora procedere ad unaulteriore definizione. Se è nota la funzione velocità, v = g (t), possiamo formare il seguente rapportoincrementale

g (t0)− g (t)

t0 − t

e nel limite per t0 → t, quando il limite sinistro e destro coincidono, possiamo definire, medianteil limite comune, l’accelerazione

a ≡ limt0→t

g (t0)− g (t)

t0 − t=

dv

dt(8)

In analogia, con la precedente operazione fatta per la velocità, possiamo esprimere la funzionevelocità in termini dell’accelerazione. Infatti, se conosciamo la funzione accelerazione

a = ξ (t) (9)

Possiamo, scrivere

v =

Zdtξ (t) + costante (10)

Ancora una volta, l’indeterminazione sulla costante può essere eliminata se conosciamo il valoredella velocità ad un certo istante. Infatti se

v0 = ξ (t0) (11)

possiamo scrivere

45

§1.14 Complementi

v =

Z t

t0

dt0ξ¡t0

¢+ v0 (12)

In conclusione, se conosciamo l’accelerazione del punto materiale in moto, ad ogni istante ditempo, e la posizione e la velocità ad un determinato istante, possiamo determinare completamenteil moto del punto.

1.14.2 La velocità in coordinate polari

Ora andremo a rivisitare i moti piani con un formalismo più matematico.Se si utilizzano le coordinate polari del piano conviene introdurre due nuovi versori

Sia ur il versore del vettore posizione r (t). Tale versore, sebbene in modulo costante, fattaeccezione per il moto lungo una traiettoria rettilinea, varia istante per istante. Se indichiamo conφ l’angolo che il vettore posizione forma con l’asse x (angolo polare) allora la rappresentazionecartesiana di ur sarà:

ur (t) = cosφ (t)ux + sinφ (t)uy (C1)

Chiameremo tale vettore, versore radiale.Vogliamo mostrare che definito ur (t) il vettore derivata temporale di tale versore, cioè dur (t) /dt

è un vettore ortogonale ad ur (t) che si può scrivere come

d

dtur (t) =

dφ

dtuφ (t) (C2)

dove uφ è il versore della retta ortogonale ad r, nel verso dell’angolo φ crescente. Tale vettoreè detto versore trasverso e la sua rappresentazione cartesiana è

uφ (t) = cos³φ (t) +

π

2

´ux + sin

³φ (t) +

π

2

´uy = − sinφ (t)ux + cosφ (t)uy (C3)

Per dimostrare, in maniera esplicita, l’ortogonalità tra ur e dur/dt , useremo la definizione diprodotto scalare. Poiché ur · ur = 1 segue

46


d

dt(ur · ur) = 0

da cui

2

µur · d

dtur

¶= 0

Poiché nessuno dei termini, al primo membro è nullo, affinchè si annulli il prodotto scalare idue vettori devono essere ortogonali.

Prendiamo ora la derivata temporale di ambo i membri della (C1):

d

dtur (t) = − sinφdφ

dtux + cosφ

dφ

dtuy =

dφ

dt(− sinφux + cosφuy)

che completa la nostra prova.Deriviamo alcune utili relazioni tra ur ed uφ :Derivando, rispetto a θ , ambo i membri della (C1), si ottiene

durdφ

= uφ (C4)

Derivando, rispetto a φ , ambo i membri della (C3), si ottiene

duφdφ

= −ur (C5)

Infine, derivando rispetto al tempo la (C3), si ha

duφdt

=duφdφ

dφ

dt= −ur dφ

dt(C6)

1.14.3 La velocità in termini del versore radiale e trasverso

Utilizzando i risultati appena derivati possiamo scrivere il vettore velocità in termini dei versoridel piano (ur,uφ) . Poiché il vettore posizione può scriversi

r (t) = r (t)ur (C7)

prendendo la derivata temporale di ambo i membri

v (t) =dr (t)

dt=

d

dtr (t)ur (t) + r (t)

dur (t)

dt

ed utilizzando la (C2), si ottiene

47

§1.14 Complementi

v (t) = vr (t)ur (t) + vφ (t)uφ (t) (C8)

dove si è introdotto la componente radiale e trasversa della velocità:

vr (t) =dr

dtvφ (t) = r

dφ

dt(C9)

Tale relazione mostra esplicitamente che la direzione del vettore velocità, che è tangente allatraiettoria non coincide in generale con la direzione del vettore trasverso.

Inoltre, poiché ur e uφ sono mutuamente ortogonali, possiamo scrivere

v =√v · v =

qv2r + v

2φ =

sµdr

dt

¶2+

µrdφ

dt

¶2(C10)

1.14.4 Il moto circolare usando i versori mobili

Se un punto si muove su di un piano mantenendo costante la sua distanza R da un prefissato puntoO, allora esso descrive una circonferenza di centro O e raggio R. In tal caso il moto è detto circolare.Ponendo l’origine del sistema di riferimento nel centro della circonferenza ed usando le coordinatepolari,

possiamo scrivere la (C8) come segue:

v (t) = vφ (t)uφ (t) (C11)

dove

vφ (t) = Rdφ

dt= Rω

La componente radiale della velocità vr è nulla e la componente vφ , lungo l’altro versore mobile,coincide con il modulo della velocità, v. Data la coincidenza del modulo di v con la componentetrasversa e per non appesantire la notazione, in seguito, nel moto circolare ometteremo il pedice φ.

48


Vogliamo avvertire fin d’ora che, come mostreremo più avanti, la velocità angolare è un vettore.Per capire qualitativamente perché essa debba essere un vettore basta osservare che in una rotazionedi un corpo oltre a sapere qual’è l’angolo descritto nell’unità di tempo dobbiamo specificare sia l’assedi rotazione che il verso della rotazione. Nel caso discusso, l’asse di rotazione passa per il centrodella circonferenza, è ortogonale al piano dove giace la circonferenza ed il verso è fissato dallacrescita dell’angolo polare.

La velocità, utilizzando la definizione di velocità angolare si può anche scrivere

v (t) = v (t)uφ (t) = Rω (t)uφ (t) (C12)

Esempio: Un punto P, solidale con la superficie Terra, avrà una velocità angolare pari allavelocità angolare della Terra che è data da

ω⊕ =2π rad/giorno

(24ore/giorno) (3600s/ora)= 7, 27 · 10−5 rad

s

Inoltre, essendo il raggio medio della Terra, all’equatore, uguale a circa R⊕ = 6, 37 · 106m,possiamo dedurre la velocità lineare di un generico punto, all’equatore, solidale con Terra. Avremo:

v⊕ = R⊕ω⊕ = 1, 67 · 103km/ora

che è sicuramente una velocità considerevole.Facciamo osservare che quando si considerano insieme sia grandezze lineari che angolari è

essenziale che quest’ultime siano misurate in radianti.

1.14.5 L’accelerazione nel moto circolare usando i versori mobili

Supponiamo che un punto materiale si muove su di una circonferenza, di raggio R. In tal caso,possiamo scrivere la velocità come segue

v (t) = Rdφ

dtuφ (t) (C13)

Derivando rispetto al tempo, si ottiene

a =dv

dt= R

d

dt

·dφ

dtuφ (t)

¸= R

·d

dt

µdφ

dt

¶uφ +

dφ

dt

duφdt

¸ovvero

a = Rdω

dtuφ −Rω2ur (C14)

Oppure, poiché dalla (C12), v = ωR, si può riscrivere la (C14) come segue

a = Rdω

dtuφ − v

2

Rur (C15)

49

§1.15 Problemi

che era stata annunciata con la (73).Se il moto è circolare uniforme, dω/dt = 0, e

ac = −v2

Rur (C16)

La componente radiale ac , dell’accelerazione nel moto circolare è detta accelerazione centripeta.

1.15 Problemi

1. Dati due vettori a e b di componenti cartesiane (1,-2,5) e (2,2,4), si determini il vettore sommaed il vettore differenza.

2. Dati due vettori a e b di componenti (2,3,-4) e (-1,2,5), si determini il modulo di entrambi,


costante v = 10m/s. Si determini, dopo quanto tempo, a quale distanza dall’origine e con qualevelocità il primo punto raggiunge il secondo. (Risp.: t = 10s, x = 102m, v = 20m/s)

51

Capitolo 2

Le leggi di Newton

Prima di passare allo studio delle leggi di Newton desidero riportare un passo dal libro di Davydov”Meccanica Quantistica”, Edizioni Mir, pg. 235, perché in esso vi è la giustificazione al mio tentativodi presentare le leggi di Newton partendo dai due corpi e mostrando che, anche per la meccanicaclassica il concetto di particella isolata è sola un’approssimazione. Davydov scrive” La scopertadelle possibilità di generazione, annichilazione e trasformazione reciproca delle particelle elementari(in accordo con le leggi di conservazione dell’energia, della carica elettrica e con altre leggi diconservazione) è uno dei più grandi ritrovamenti nella conoscenza delle proprietà oggettive delmondo circostante e del legame reciproco fra i diversi fenomeni della natura. In relazione a ciòil concetto di elementarità e di isolamento di alcune particelle dalle altre diventa sempre piùindeterminato........Quindi, la rappresentazione del moto libero della particella non può essere altroche una idealizzazione grossolana della realtà.”(abbiamo omesso la parte che fa riferimento al campoche circonda la particella perché prematura).

Noi mostreremo tra breve che i contenuti delle affermazioni di Davydov valgolo anche per ladinamica classica.

La dinamica del punto materiale che ci accingiamo a studiare, studia il movimento dei corpiassimilabili al concetto di punto materiale, focalizzando l’attenzione sulle cause che producono ilmovimento stesso. Il contenuto essenziale della Dinamica è stato stabilito diversi secoli or sono daNewton. Va subito sottolineato che l’insieme delle leggi di Newton (o talvolta dette anche principi)fondano la loro validità su osservazioni sperimentali e sarebbe naturale proporre di discutere alcunidi tali esperimenti per trarre da essi ”direttamente” le leggi di Newton. Ma a proposito della frase”trarre da alcune esperienze” un grande studioso della meccanica (E. Mach) diceva che i principidella meccanica riposano su delle esperienze non realizzate o anzi non realizzabili, sebbene poi glistessi principi, sempre secondo Mach, sono sufficientemente stabiliti da un punto di vista pratico.

52

2 Le leggi di Newton

Quando allora diremo che sulla base di certe esperienze noi possiamo trarre delle conclusioni, illettore dovrà assumere che esistono, in maniera ragionevole delle prove sperimentali, che avvalorano

§2.2 La massa inerziale

Le forze newtoniane agiscono lungo la congiungente la posizione istantanea dei due puntimateriali, sono di pari intensità ma di verso opposto:

F12 = −F21 (1)

Al di fuori del sistema costituito dai due punti materiali esistono infiniti altri punti materiali,ciascuno dei quali eserciterà su ciascuno dei due punti materiali una forza. Indicheremo con Fe

1

la risultante delle forze esterne al sistema dei due punti materiali ed agenti sul punto materiale1, mentre con Fe

2 la risultante delle forze esterne al sistema dei due punti materiali ed agenti sulpunto materiale 2. Data la natura vettoriale delle forze, le risultanti totali delle forze agenti suipunti materiali 1 e 2 si possono scrivere

F1 = F12 +Fe1 F2 = F21 +F

e2 (2)

cioé, ciascuna forza risultante è la somma della forza interna e della risultante delle forze esterneal sistema.

2.2 La massa inerziale

L’esperianza ha mostrato che le forze sono le cause del moto ed il loro effetto sul moto dei corpi simanifesta in una variazione di velocità dei corpi. In altre parole, le forze producono accelerazionisui corpi su cui agiscono.

Più precisamente, si può scrivere

F1 =M1a1 F2 =M2a2 (3)

Gli scalari M1 e M2 sono, nella meccanica newtoniana, proprietà del solo corpo su cui agisce laforza e sono dette masse inerziali dei due corpi.

Possiamo allora dire che su ciascun punto materiale di massa M si esercitano le forze di tuttigli altri punti materiali dell’universo. Il loro effetto sul punto materiale di massa M è quello divariarne la velocità. cioè producono una sua accelerazione.. Tuttavia, una stessa forza non producela stessa accelerazione su punti materiali diversi, perchè l’accelerazione dipende in maniera inversadalla massa inerziale dei corpi. Più una massa inerziale è grande più è difficile variarne la velocità.Per i due punti materiali presi in considerazione avremo:

F1M1

= a1F2M2

= a2 (4)

54


2.2.1 Misura della massa inerziale

Come abbiamo già detto tutti i corpi posseggono una massa inerziale M, che è una proprietàintrinseca di ciascun corpo. Essa rappresenta una misura della difficoltà che un punto materialeoppone alla forza esterna che tenta di variare la sua velocità. Per stabilire, se una massa inerzialedi un punto materiale è più grande o più piccola della massa inerziale posseduta da un altro puntomateriale, dobbiamo stabilire come si misurano le masse inerziali.

Supponiamo di voler confrontare le masse inerziali di un sistema di due punti materiali, dimassa inerziale M1 e M2. Per effettuare una tale misura occorre mettersi nelle condizioni di potertrascurare l’effetto delle forze esterne sul sistema dei due punti materiali. Senza questa ipotesi, cheè comunque un’approssimazione della realtà, non è possibile costruire la meccanica newtoniana.Questo è un punto fondamentale che mostra, fin da primi passi, il valore approssimato di una leggefisica, in questo caso le leggi di Newton, rispetto alla complessità del mondo reale.

L’ipotesi di assunzione di assenza di forze esterne, se si pensa al sistema Sole-Terra, significache si deve poter trascurare l’effetto delle forze esercitate non solo degli altri pianeti e della Luna,ma anche l’effetto delle forze di tutti gli altri corpi dell’universo. In altre parole, occorre ipotizzareche tutte le forze esterne al sistema, che abbiamo indicato con Fe

1 e Fe2 siano nulle. In tal caso, il

sistema dei due punti materiali è detto isolato:

Con questa approssimazione, le relazioni che legano le forze agenti sui due corpi, le loro massee le loro accelerazioni

F12 +Fe1 =M1a1 F21 +F

e2 =M2a2

diventano

F12 =M1a1 F21 =M2a2 (5)

dove F12 e F21 sono le sole forze interne al sistema. Usando la terza legge di Newton, riscriviamole ultime relazioni come segue

F12 =M1a1 − F12 =M2a2

da cui deduciamo che

55

§2.3 Terza legge e simultaneità di due eventi

M2

M1=|a1||a2| (6)

In un sistema isolato di due punti materiali, i corpi si inducono una reciproca, ma differenteaccelerazione; le due accelerazioni sono in rapporto inverso al rapporto tra le loro rispettive masseinerziali. Misurando le accelerazioni, reciprocamente indotte, tra i due punti materiali che costitu-iscono il nostro sistema isolato, è possibile misurare il rapporto tra le due masse inerziali dei puntimateriali.

Allora, le accelerazioni reciproche consentono solo di conoscere il rapporto tra le masse e nonil valore di ciascuna di esse. Per fare questo ulteriore passo si stabilisce, in maniera arbitraria, ilvalore di una massa inerziale di un corpo come unitario (massa campione), in un dato sistema diunità di misura. Fatto ciò, il valore di tutte le altre masse inerziali dei corpi si possono misurarefacendoli interagire con la massa campione e misurandone le accelerazioni reciproche.

L’unità di misura della massa è il chilogrammo (kg). Le dimensioni della forza sono di unamassa per una lunghezza diviso per il quadrato del tempo

F =[ML]

[T 2]

Nel Sistema Internazionale (S.I.) l’unità di misura della forza è chiamata Newton (N ). Un New-ton è pari a quella forza che imprime ad un corpo di massa pari ad un chilogrammo un’accelerazionedi un metro al secondo quadro.

Concludiamo osservando che il vettore forza è un vettore applicato, ovvero per esso è importantespecificare esattamente su quale punto materiale agisce.

2.3 Terza legge e simultaneità di due eventi

La terza legge di Newton asserisce che in ogni istante ed indipendentemente dal moto relativo dei duecorpi che interagiscono, le mutue interazioni sono uguali. Tale affermazione contiene una profondacaratteristica della Meccanica Newtoniana: le interazioni tra i corpi sono istantanee, ovvero leinterazioni si propagano nello spazio a velocità infinita (in principio, potremmo essere in grado di”vedere” gli eventi che accadono in questo stesso istante, in tutto l’Universo!). Come conseguenzaimmediata di tale infinita velocità si deduce che, se due eventi fisici sono simultanei per un datoosservatore, gli stessi eventi sono simultanei per ogni altro osservatore, indipendentemente dal loromoto relativo (la simultaneità degli eventi fisici è un concetto assoluto). Inoltre, poiché il concettodi simultaneità è legato al modo in cui scorre il tempo, ne segue che il tempo scorre allo stessomodo per tutti gli osservatori, indipendentemente dal loro moto relativo (il tempo è un concettoassoluto nella Meccanica Newtoniana).

56


Oggi sappiamo che le interazioni tra i corpi si propagano nello spazio con velocità finita e ciòcomporterà quindi una revisione del concetto di tempo e di simultaneità e di conseguenza unarevisione della meccanica newtoniana.

2.4 L’equazione fondamentale della dinamica

La definizione di forza come prodotto M1a1 è in qualche modo anomalo. La massa M1 è chiara-mente una proprietà del corpo, in quanto non dipende dai corpi con cui interagisce. L’accelerazionea1 dipende dai corpi con i quali M1 interagisce. Poiché quest’ultima quantità è l’unica quantitàfisica del corpo 1 che varia, in seguito all’azione esterna delle forze, si può tentare di estrarre dallaconoscenza dell’accelerazione dei corpi le informazioni sul moto della particella 1. Una tale argo-mentazione, si dimostra fondata e si può rendere quantitativa postulando che la relazione tra forzaed accelerazione è anche una equazione, nota come Seconda legge di Newton o equazione fondamen-tale della dinamica. Il passaggio da relazione di definizione ad equazione non è dimostrabile ma èassunto. In altre parole, il fatto che l’equazione

Ma = F (7)

sia in grado di descrivere e spiegare il movimento dei corpi non può essere dimostrato a priori,ma è un piacevole risultato verificabile a posteriori.

In questa nuova ottica, cioè come equazione fondamentale della meccanica noi daremo laseguente interpretazione e prescrizione per il suo uso: In natura esistono diversi tipi di forze (laforza di gravitazione universale o quella Coulombiana, per esempio) le cui espressioni vanno sos-tituite nel secondo membro della (7) e rappresentano le

§2.5 Prima legge o legge d’inerzia

Abbiamo anche detto che la definizione di forza è assunta come equazione. Consideriamo, allora,le equazioni fondamentali della dinamica per un sistema di due punti materiali, di massa inerzialeM1 ed M2,

M1a1 = Fe1 +F12 M2a2 = F

e2 +F21

dove a1 e a2 sono le accelerazioni subite dai punti materiali, Fe1 e F

e2 le forze esterne al sistema e

F12 e F21 quelle interne. Una approssimazione di tali equazioni è l’equazione del moto del puntomateriale.

Se il moto di uno dei due corpi non influenza il moto dell’altro corpo, allora si può trascurarela soluzione simultanea del moto dei due corpi e considerarne uno solo. In tal caso, le equazioni delmoto dei due punti materiali si riducono a quella, per esempio, del solo punto materiale M1:

M1a1 = Fe1 +F12 (8)

ovvero

M1a1 = F1 (9)

Questa approssimazione delle equazioni del moto dei due punti materiali è detta equazionedel moto del punto materiale. Conclusione: anche il moto di un punto materiale è, a posteriori,incluso, come un’approssimazione, all’interno della meccanica newtoniana. Tuttavia è palese che,non potendo la forza agente sulla particella, avere origine sulla particella stessa, vi deve essere unrestante Universo che esercita la sua forza sulla particella stessa. Quello che in realtà viene assuntoè la non azione del corpo M1 sul restante Universo. In questo modo, quest’ultimo non si modificaed a sua volta non rimodifica il moto di M1.

2.5 Prima legge o legge d’inerzia

L’equazione del moto di un punto materiale di massa M1 si scrive

M1a1 = F1

dove F1 è la risultante di tutte le forze agenti suM1 ed a1 è l’accelerazione diM1prodotta dalleforze agenti su di esso. Se su M1 si possono trascurare le azioni di tutte le forze, cioè se possiamoporre

F1 = 0

nella precedente equazione, allora M1a1 = 0 e la sua accelerazione è nulla:

58


a1 = 0 → lim∆t→0

∆v1∆t

= 0

Questo vuol dire che, qualunque sia l’intervallo tenporale ∆t che si considera durante il motodel punto materiale, avremo

∆v1∆t

= 0

cioè

∆v1 = 0 → v1 (t+∆t)− v1 (t) = 0

Allora, se si possono trascurare le azioni di tutte le forze agenti su di un punto materiale, ilvettore velocità del punto materiale non potrà cambiare durante il suo moto,

v1 (t+∆t) = v1 (t)

Quando il vettore velocità di un punto materiale non muta nel tempo si dice che si muove dimoto rettilineo uniforme

Allora, un punto materiale, non soggetto a forze, si muove di moto rettilineo uniforme. (Primalegge di Newton o principio di inerzia di Galileo).

I sistemi di riferimento in cui vale il principio di inerzia o, in modo equivalente, i sistemi neiquali vale l’equazione fondamentale, sono detti sistemi inerziali.

Osservazioni:. Abbiamo derivato il principio d’inerzia dall’equazione fondamentale. Di con-seguenza dovremmo concludere che il principio d’inerzia è superfluo una volta assunta la validitàdell’equazione fondamentale. In realtà, questa conclusione è errata. Infatti, nel costruire il modellonewtoniano di meccanica abbiamo sottolineato il prerequisito di un universo fatto di almeno duepunti materiali. Il moto del punto materiale è fuori dal modello newtoniano e solo l’esistenza delprincipio d’inerzia può riempire il vuoto concettuale dell’universo fatto da un solo punto materiale.Inoltre, quando il principio d’inerzia afferma che in assenza di forze su di un punto materiale si puòscrivere

M1a1 = 0

equivale ad affermare, anche se in un caso particolare (assenze di forze) che la relazione che lega leforze con le accelerazioni è una equazione (equazione fondamentale). Allora, assumere l’esistenza delprimo principio, giustifica l’esistenza dell’equazione fondamentale e completa il mondo newtonianoconsentendo di trattare anche il singolo punto materiale.

59

§2.6 Sullo spazio e sul tempo assoluto

2.6 Sullo spazio e sul tempo assoluto

Abbiamo già detto, nel precedente capitolo, che Newton aveva postulato l’esistenza di uno ”spazioassoluto”. Lo spazio assoluto newtoniano è quello in cui vale il principio di inerzia. L’acceler-azione cui fa riferimento l’equazione fondamentale è, secondo Newton, l’accelerazione rispetto adun sistema di riferimento solidale con tale spazio assoluto che chiameremo ”sistema di riferimentoinerziale”. Quindi il moto che si descrive con l’equazione fondamentale è il moto rispetto allo spazioassoluto ed è quindi un moto assoluto. Cerchiamo di capire questo aspetto in maggiore dettaglio,perché esso ci aiuterà a capire i cambiamenti concettuali che si sono poi avuti dopo Newton.

Supponiamo di avere un solo punto materiale nell’Universo. Secondo Newton, non essendocialtri corpi nell’Universo, sul punto materiale non agiscono forze. L’aver postulato il principiod’inerzia ci dice poi che il corpo si muoverà di moto rettilineo uniforme (o sarà fermo). Tale motoè relativo al riferimento assoluto (spazio assoluto), che esiste indipendentemente dalla presenza dimateria nell’Universo. Abbiamo però un problema. Non potendo misurare le accelerazioni nonsiamo in grado di assegnare il valore della massa al punto materiale (lo spazio assoluto, tuttaviaesiste indipendentemente dalla presenza del nostro unico corpo). Abbiamo bisogno di almenoun’altro corpo. Aggiungiamolo al nostro Universo. Adesso siamo in grado di assegnare al nostropunto materiale (ed al nuovo corpo) la sua massa inerziale e possiamo descrivere il loro moto inogni momento. Adesso allontaniamo il secondo corpo e portiamolo man mano sempre più lontano.Possiamo ipotizzare che ad una distanza ”infinita” il punto materiale non ”sentirà” più il secondocorpo che avevamo aggiunto (identico discorso vale per il secondo corpo) ed il punto materialeritornerà ad essere isolato e quindi si muoverà di moto rettilineo uniforme.

La prima considerazione che possiamo trarre dalla precedente ”operazione” è quella che l’e-sistenza di un sistema di riferimento (che abbiamo chiamato inerziale), rispetto al quale il moto diun corpo è rettilineo uniforme, è palesemente solo una esistenza ”limite”, ovvero solo concettuale,perché non sappiamo precisare correttamente cosa voglia dire ”portare un corpo a distanza infini-ta tanto da non sentire la sua influenza”. Quindi, l’affermazione che l’equazione fondamentaleè valida in un sistema inerziale oppure che un sistema inerziale è quello in cui vale l’equazionefondamentale, oltre che essere tautologica, è anche da considerarsi come affermazione valida soloapprossimativamente.

La seconda considerazione riguarda la struttura geometrica dello spazio. Essa è, come abbiamogià detto, quella euclidea e non muterebbe se nell’universo cambiasse il contenuto di materia perchélo spazio è solo un contenito della materia e degli eventi che in esso accadono.

Prima di passare alla discussione del tempo assoluto svolgiamo qualche considerazione sul con-cetto di massa. Se un punto materiale è isolato, la sua massa non è influenzata dalla presenza”all’infinito” del secondo corpo: la massa di un corpo è per Newton una proprietà intrinseca deicorpi che non dipende dalla distribuzione di materia (su larga scala) dell’Universo. Ma noi abbi-amo determinato la massa inerziale, del punto diventato successivamente isolato, usando proprio il

60


Terra, l’accelerazione di gravità si può considerare costante in modulo, direzione e verso.

2.6.2 Gravitazione universale e massa gravitazionale

La forza peso, descritta brevemente nella sezione precedente, è una forma approssimata di una forzafondamentale detta forza di gravitazione universale. Cercheremo di mostrare come Newton arrivòalla sua comprensione. Lo faremo attraverso due passi fondamentali. Il primo è la comprensioneche per mantenere un corpo in moto su di una circonferenza occorre l’azione di una forza ed ilsecondo che se si assumono vere le leggi cinematiche di Keplero, la forza che mantiene i pianetiintorno al Sole non può essere la forza peso ma deve dipendere da 1/r2 , dove r è la distanza delpianeta dal centro del Sole.

Veniamo al primo punto esaminando il moto circolare. Il moto circolare si presta molto benea capire la grande rivoluzione concettuale che la meccanica newtoniana ha operato rispetto allatradizione aristotelica, in particolare rispetto a quella separazione che vi era stata tra la ”fisica”del Cielo e la ”fisica” della Terra che la tradizione greca aveva tramandato. Scriveva Aristotele

”Si può ora dimostrare chiaramente che il moto primordiale è quello circolare. Ogni moto, comeabbiamo già detto prima, è circolare o rettilineo o misto; e i due primi devono essere anteriori alterzo poiché sono gli elementi di cui quest’ultimo consiste. Inoltre, il moto circolare è anteriore aquello rettilineo perché è più semplice e perfetto, il che si può dimostrare come segue. La linea rettapercorsa dal moto rettilineo, non può essere infinita, perché non esiste nulla di simile a una linearetta infinita; e anche se esistesse, non sarebbe percorsa da alcunché in moto: giacché l’impossibilenon accade ed è impossibile percorrere una distanza infinita. D’altro canto, il moto rettilineo lungouna retta finita, se ritorna indietro è un moto misto, anzi forma due moti, mentre se non tornaindietro è imperfetto e perituro, e, nell’ordine della natura, della definizione e del tempo il perfettoè anteriore all’imperfetto e l’imperituro al perituro. E ancora, un moto che ammette la possibilitàdi essere eterno è anteriore ad uno che non lo è. Orbene, il moto circolare può essere eterno: manessun altro moto, sia esso trasporto o sia moto di qualunque specie, può essere tale, perché in tuttiquesti altri movimenti deve avvenire un arresto, e col verificarsi di un arresto cessa il moto. Inoltre,è risultato ragionevole che il moto circolare sia unico e continuo, mentre quello rettilineo non lo è.Nel moto rettilineo è fissato un punto di partenza, un punto d’arrivo e un punto di mezzo.....invece,nel moto circolare tali punti sono indeterminati:.....ogni punto alla pari di ogni altro è insiemepunto di partenza, punto di mezzo e punto di arrivo”.

Vediamo cosa prevede la meccanica newtoniana perché si realizzi il moto circolare. Innanzituttoun corpo per rimanere su di una circonferenza, anche in moto uniforme, vi deve essere costretto daqualche forza, perché vi è una variazione della velocità ad ogni istante. Un filo teso, inestensibilepuò svolgere un tale compito (il corpo è su di un piano orizzontale privo di attrito). Considereremoil moto circolare uniforme e ci proporremo di spiegare, in maniera semplice, come esso sia la

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composizione di un moto uniforme nella direzione tangenziale e di un moto accelerato uniformeverso il centro della circonferenza:

Un punto materiale P che ha velocità v in un punto A della circonferenza, se non ci fosse ilfilo che lo costringe a stare sulla circonferenza partirebbe lungo la tangente in A alla circonferenzacon una certa velocità v. Il nostro scopo è valutare la forza (accelerazione) costante verso il centro,necessaria a mantenerlo in moto uniforme sulla circonferenza. Dicevamo che il corpo andrebbe, inassenza del filo, a velocità costante lungo la tangente. Allora il tratto AB, percorso dal corpo lungola tangente, in un tempo ∆t , sarebbe:

AB = v∆t

Tuttavia il corpo non si trova nel punto B dopo il tempo ∆t, bensì in C. Allora ci deve essereuna forza esterna che lo costringe invece ad andare in C. Ciò vuol dire che durante l’intervallodi tempo ∆t, questa forza gli deve far compiere il tratto BC. Poiché la forza è assunta costante,possiamo scrivere (gli spazi come insegnava Galilei sono proporzionali al quadrato dei tempi):

BC =1

2a (∆t)2

I due tratti si possono legare mediante il teorema di Pitagora:

R2 +AB2 = (R+BC)2

ovvero, esplicitando il quadrato del binomio al secondo membro e semplificando

AB2 = 2R ·BC +BC2

Per ∆t piccolo la precedente equazione si può approssimare con (l’approssimazione è tantomigliore quanto più è piccolo ∆t):

AB2 ∼= 2R ·BC

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Sostituendo, in tale espressione i valori di AB e BC troviamo il valore dell’accelerazione (forza)necessaria a tenere il corpo in moto uniforme sulla circonferenza,

a ∼= v2

R(11)

Nel limite dell’intervallo di tempo tendente a zero, l’ultima relazione diventa un’uguaglian-za. Il risultato è in netto contrasto con la concezione di Aristotele: il moto uniforme su di unacirconferenza non può avvenire senza la presenza di una forza.

Veniamo al secondo passo compiuta da Newton per giungere alla forza di gravitazione universale.Per mantenere un corpo in rotazione su circonferenza occorre tenerlo con un filo inestensibile o usareuna guida circolare. Ma i pianeti non sono tenuti da fili o funi nel loro moto intorno al Sole. Vi deveessere allora una forza che li costringe nel loro moto intorno al Sole. Il nostro scopo è determinare laforma di questa forza. Assumeremo, con Newton, vera la terza legge di Keplero (essa è il risultatodi una analisi accurata fatta da Keplero sulle osservazioni astronomiche di Ticho Brake e stabilisceche i quadrati dei periodi di rotazione dei pianeti sono proporzionali ai cubi delle distanze dalSole) e faremo l’ipotesi (semplificatrice) che i pianeti si muovono di moto circolare uniforme suorbite circolari. Mostreremo, come fece Newton, che vi deve essere una forza, prodotta dal Sole edagente sui pianeti che è inversamente proporzionale al quadrato della distanza reciproca (forza digravitazione universale).

Abbiamo mostrato che un corpo in rotazione con moto circolare uniforme è soggetto ad unaaccelerazione data da

a =v2

R

Se indichiamo con T il periodo di rotazione, avremo vT = 2πR, e la precedente relazione diventa:

a =4π2R

T 2(12)

D’altra parte abbiamo assunto la validità della terza legge di Keplero

T 2 = k0R3 (13)

dove k0 è una costante di proporzionalità. Sostituendo tale relazione nella (12) avremo:

a =4π2

k0

1

R2(14)

Infine, usando la definizione di Forza F = Ma, troveremo la forma della forza che mantiene ipianeti in orbita intorno al Sole:

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F =4π2M

k0

1

R2(15)

Ma Newton non si è fermato al solo moto dei pianeti intorno al Sole. Egli ha intuito che la forzaresponsabile del moto dei pianeti intorno al sole aveva un carattere universale.

Egli infatti affermò, che tutti i corpi dell’universo sono soggetti e sono loro stessi sorgenti dellaforza di Gravitazione universale.

Più precisamente, egli affermò che, tra due corpi puntiformi si esercita una mutua attrazione(forza gravitazionale) che è diretta lungo la congiungente i due corpi ed il cui modulo è espressodalla relazione,

FG ≡ kGm1m2

r2(16)

dove m1 ed m2sono due costanti intrinseche di ciascun corpo, dette masse gravitazionali, r è ladistanza tra le due particelle e G una costante che dipende solo dalle unità di misura scelte e chetra breve deriveremo.

La massa gravitazionale è in principio differente dalla massa inerziale di un corpo; infatti laprima caratterizza la forza con la quale un corpo viene attirato (e attira) da un altro corpo, secondola (16), mentre la massa inerziale è una misura della difficoltà di un corpo a farsi variare di velocità.

Osservazione: Vogliamo subito precisare che affermare la validità della (16) non significa, inalcun modo, spiegare la natura e l’origine della forza di gravitazione universale. Nella meccanicache stiamo costruendo le varie forme di forze non sono spiegate, ma solo giustificate da una verificasperimentale. A tale proposito riportiamo un passo di E. Mach sul problema:

”Per Newton la gravitazione universale era un fatto reale. Egli stesso disse di non essere riuscitoa trovare una spiegazione di questo fenomeno, né di aver su esso inventato ipotesi. Che il problemaperò continuasse a occuparlo lo si vede da una sua nota lettera a Bentley. Gli sembrava assurdoammettere che la gravitazione sia essenziale e intrinseca alla materia, così che un corpo possa agiredirettamente su un altro attraverso lo spazio vuoto; né volle decidere se l’agente intermedio siamateriale o immateriale (spirituale?). Come altri scienziati prima e dopo di lui, Newton ha sentitoil bisogno di spiegare la gravitazione con una specie di azione per contatto. É comunque certoche i risultati che egli ottenne in astronomia, assumendo a fondamento della deduzionele forze adistanza, mutarono in modo considerevole lo stato della scienza. Gli scienziati presero l’abitudinedi considerare le forze a distanza come il dato da cui muove ogni spiegazione, lasciando cadere ilproblema della loro origine.”.

Per sviluppare una teoria delle interazioni, per azioni a contatto, bisognerà attendere i lavorisul campo elettromagnetico svolti da Faraday e Maxwell. Occorre, tuttavia, avvertire fin d’ora,che mentre ambedue le formulazioni (azioni a distanza e azione per contatto) sono possibili in unambito di fenomeni che si svolgono a velocità basse paragonate con quelle della luce, nella fisica

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delle particelle veloci (particelle elementari), solo una descrizione in termini di campo è fisicamentepossibile. La forza di gravitazione universale troverà una sua spiegazione solo in tale ambito.

2.6.3 La forza peso e ”l’esperimento” di Galilei

Supponiamo che nella (16) uno dei due corpi sia la Terra (m2 = m⊕) e l’altro un arbitrariopunto materiale di massa gravitazionale m1che si trovi vicino alla Terra. L’applicazione della (16)richiede che i due corpi siano puntiformi. Ora è evidente, che se si confronta la Terra con i corpi,che solitamente, sono vicini ad essa, la Terra non può considerarsi puntiforme e l’utilizzo della (16)diventa quantomeno discutibile. Tuttavia, il procedimento di considerare la Terra, anche in questocaso, puntiforme (con tutta la massa concentrata nel suo centro) sarà provato corretto in capitolosuccessivo. Per ora, assumiamo che si corretto persare la Terra come un punto materiale, la cuimassa (inerziale o gravitazionale per ora non ha importanza) m⊕ e la cui posizione sia nel centrodella Terra stessa. Quindi, un corpo poggiato al suolo avrà dam⊕ una distanza R⊕, che rappresentail raggio della Terra (i valori del raggio e della massa della Terra sono R⊕ = 6, 34 × 103km em⊕ = 5, 98× 1024kg).

Al punto materiale m1, come ad ogni punto materiale che si muove, è possibile associare ancheuna massa inerziale,M1, di modo che l’equazione che descrive il suo moto si possa scrivere:

M1a1 = −kGm1m⊕r2

ur (17)

ove ur è il versore della retta congiungente il centro della Terra con il corpo. Per i corpi prossimialla superficie della Terra, la precedente equazione, può approssimarsi con

M1a1 ∼= −kGm1m⊕R2⊕

ur (18)

Per procedere ulteriormente faremo ricorso ad un risultato sperimentale ”trovato” , per pri-mo, da Galilei: tutti i corpi, di massa trascurabile rispetto alla massa della Terra, se si trascura

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l’attrito dell’aria, cadono, con la stessa accelerazione. Chiameremo accelerazione di gravità taleaccelerazione e la indicheremo con g. Affinché la (18) spieghi l’esperimento di Galilei, deve essere

a1 = g

ovvero, il secondo membro della (18) deve essere costante ed indipendente dai corpi:

g ∼= −m1

M1kG

m⊕R2⊕

ur

Allora, possiamo affermare che, l’accelerazione g è diretta dal corpo al centro della Terra ed ilsul modulo è

g =m1

M1kG

m⊕R2⊕

(19)

Affinché, il secondo membro di tale equazione sia costante ed indipendente dalla massa deicorpi, il rapporto m1

M1deve essere una costante adimensionale, cioè, la massa inerziale e quella

gravitazionale, di un qualunque corpo, devono essere proporzionali

M ∝ m

e la costante di proporzionalità deve dipendere solo dal sistema di unità di misura usato.Mettiamoci nel Sistema Internazionale. Il valore del modulo dell’accelerazione g , che si trova

alla nostra latitudine è

g = 9, 81m

s2

Questo vuol dire che possiamo scrivere

gR2⊕m⊕

=m

MkG → 9, 81×

¡6, 34× 106¢25, 98× 1024 =

m

MkG

ovvero

m

MkG = 6, 59× 10−11 m3

s2kg

A questo punto occorre fare una scelta. Il valore numerico al secondo membro ci può dare ilprodotto di m

M con kG e non il solo valore del rapporto. Si è convenuto di porre il rapporto tra lemasse uguale ad uno:

m

M= 1 (20)

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e di associare il valore numerico alla sola costante kG, che è stata chiamata costante di gravi-tazione universale ed è ora indicata con la sola lettera G:

G = 6, 59× 10−11Nm2

kg2

Il valore di G più preciso è 6, 67 × 10−11Nm2/kg2. Possiamo scrivere la forza di gravitazioneuniversale

FG = −Gm1m⊕r2

ur (17a)

D’ora in poi, parleremo solo di massa associata ad un corpo senza alcuna distinzione tra massainerziale e gravitazionale. Con tale scelta, il valore delll’accelerazione di gravità (vedi la (19)), puòscriversi, per i corpi prossimi alla superficie terrestre,

g = Gm⊕R2⊕

(21)

Notiamo, tuttavia, che la proporzionalità tra massa inerziale e gravitazionale non trova alcunaspiegazione teorica all’interno della teoria Newtoniana ma è una pura conseguenza dell’esperimentodi Galilei.

Con la posizione (21) i corpi che si muovono vicino alla superficie della Terra e la cui massa ètrascurabile rispetto alla massa della Terra sono soggette alla forza peso

FG∼= Fp ≡Mg (22)

dove la direzione di g è lungo la congiungente la direzione del centro della Terra ed il corpo ed ilverso va dal corpo alla Terra. Allora, la forza peso è un’approssimazione della forza di gravitazioneuniversale In altre parole, possiamo affermare che le forze che si esercitano tra i corpi celesti e quelleche si esercitano tra la Terra ed i corpi che gli stanno vicini sono le stesse. In definitiva, Newtonha mostrato l’unicità della fisica del moto nel cielo e sulla Terra.e ciò, nel linguaggio della Fisicamoderna, rappresenta il primo esempio di unificazione tra due forze apparentemente distinte.

Alcune considerazioni tra massa e peso di un corpo: Un corpo di un kg, alle nostrelatitudini, esperimenta una forza Fp pari a 9, 8N . Ciò vuol dire che un corpo di massa M = 1kg

pesa 9, 8N . La massa, ricordiamo, è una misura della quantità di materia posseduta dal corpo(oppure è una misura della sua inerzia, oppure una misura del suo contenuto gravitazionale),mentre il suo peso è la misura dell’azione (forza!) della Terra su di esso. Su di un altro pianeta,per esempio, il valore del peso (che è la misura con cui il pianeta attira il corpo) di un corpocambierebbe, mentre il valore della sua massa rimarrebbe invariato. Quando si usa una bilancia,si fa una misura di intensità di forza (forza peso), tuttavia poiché g è la stessa per tutti i corpi, sipuò dire che la bilancia misura anche la massa di un corpo.

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2.6.4 La forza di Coulomb

Oltre alla massa, alcuni corpi posseggono anche una carica elettrica, q. Tali corpi, oltre a speri-mentare una forza di gravitazione universale, sperimentano, cioè sono soggetti e producono, unaforza detta elettrica o di Coulomb.

Definizione: Si verifica sperimentalmente (tale esperimento fu eseguito per la prima volta daCoulomb) che due cariche q1 e q2 si respingono (se sono dello stesso segno) o si attraggono (se sonodi segno contrario) secondo la seguente legge (detta di Coulomb):

F0 ≡ k0Q1Q2r2

(23)

dove r indica la distanza tra le due cariche e k è una costante (detta di Coulomb) che dipendedal sistema di unità di misura usato. Nel Sistema Internazionale k0 = 8, 98× 109Nm2/C2dove Cstà per Coulomb, ed indica l’unità di carica elettrica. Il valore della carica dell’elettrone (e anchedel protone) qe ,nel S.I., è 1, 6 × 10−19C. La forza di Coulomb è circa 1040 più forte della forzagravitazionale. Negli atomi e molecole, ed in generale in tutti i corpi macroscopici che appartengonoalla nostra esperienza quotidiana, ovvero nella struttura della materia le proprietà più importantinon sono determinate dalla forza coulombiana.

2.6.5 La forza elastica

Alcuni corpi macroscopici, quando sono sottoposti all’azione di una forza esterna, subiscono unadeformazione solo temporanea. In altri termini, un corpo macroscopico sottoposto all’azione diuna forza esterna è in grado di annullare la deformazione avvenuta, non appena cessa l’azione dellaforza esterna. Tale proprietà dei corpi è detta elasticità.

La determinazione della forza elastica con cui il corpo macroscopico reagisce alle sollecitazioniesterne è in generale difficile. Tuttavia per alcuni corpi e per sollecitazioni esterne di limitataintensità la forza di richiamo elastica ha una espressione semplice.

Per fissare le idee useremo il corpo elastico per eccellenza, una molla. Pensiamo legare la mollaad un soffitto. Se non vi è alcun corpo legato all’altra estremità, la molla avrà una certa lunghezza,l. Se appendiamo un corpo la si allunga (si deforma!) e, per deformazioni non troppo grandi, sipuò mostrare che la reazione elastica della molla è direttamente proporzionale alla deformazionesubita (il verso è sempre opposto alla deformazione). Allora, particelle legate a molle deformatesono, sotto certe condizioni, sottoposte ad una forza proporzionale alla deformazione della molla.Possiamo allora procedere alla seguente definizione:

Sia x0 l’ascissa di una particella che è ferma. Su tale particella si esercita una forza nelladirezione dell’asse x, detta elastica di richiamo, se tale forza può esprimersi nel seguente modo:

Fe ≡ −k (x− x0) (24)

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dove k è una costante (positiva) detta costante elastica. La forza elastica agisce sempre nelladirezione opposta allo spostamento. Se l’origine del sistema di riferimento si sceglie nel punto diriposo x0:

allora la (24) si può scrivere

Fe = −kx (25)

La (25) viene anche chiamata legge di Hooke. Una forza di questo tipo, come abbiamo già detto,può essere prodotta da una molla (supposta senza massa) fissata per una estremità ad una parete,ed avente attaccata sull’altra estremità un punto materiale, libero di scorrere senza attrito su di unpiano orizzontale, per spostamenti sufficientemente piccoli.

2.6.6 Reazioni vincolari e tensione nei fili

Un altro aspetto dell’elasticità dei corpi macroscopici si manifesta nel vincolare altri corpi indeterminate posizioni o più in generale su determinate traiettorie.

Un tavolo con un piano orizzontale (corpo macroscopico elastico) su cui è poggiato un corporeagisce con una forza elastica opponendosi alla forza peso con il risultato che il corpo rimane fer-mo sul tavolo (a meno che il corpo non sia tanto pesante da sfondare il tavolo). Più precisamenteassumeremo che, nel caso di reazioni vincolari esercitate da superfici è assunto che la reazione vin-colare, Fr, è sempre uguale ma di segno opposto alla risultante delle forze ortogonali alla superficievincolare (vincoli lisci).

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Un corpo appeso ad un filo (o fune) tende il filo che reagisce con una forza di natura elasticache è capace di contrastare il peso del corpo. Il corpo rimane sospeso nel vuoto, ovvero rimanevincolato. Abbiamo appena descritto due tipi di reazioni vincolari cui possono essere sottoposti icorpi di cui intendiamo descrivere il moto.

2.6.7 La forza di attrito

Supponiamo di avere un corpo macroscopico, inizialmente fermo, poggiato su di un piano orizzon-tale. Tra il corpo ed il piano vi sarà una superficie di contatto, dove possiamo pensare applicatala reazione del piano al peso del corpo. Se proviamo ad applicare al corpo una forza, parallela allasuperficie di contatto, si può verificare la situazione in cui il corpo non si muove. Diremo allorache tra i due corpi vi è un attrito statico. Poiché il corpo non si muove dobbiamo concludere cheil tavolo esercita sul corpo una forza uguale e di segno contrario alla forza che abbiamo applicato.Se aumentiamo la forza, la situazione di immobilità del corpo rimarrà tale fino a che il valore dellaforza applicata non raggiunge un determinato valore. A questo punto il corpo inizia a muoversi.Se il valore della forza è tale che, una volta messo in moto, il corpo si muove con velocità costante,allora gli esperimenti hanno dimostrato che il valore della forza dipenderà dalla natura dei duecorpi e dal peso del corpo (si badi che il valore di tale forza non dipende dalla superficie di con-tatto, o se si preferisce non dipende da ciò che chiameremo pressione: forza agente sull’unità disuperficie). Infine, sempre sulla base degli esperimenti si è constatato che l’attrito, che questa voltachiameremo dinamico, non dipende dalla velocità con cui il corpo scivola sul piano. Da un puntodi vista sperimentale si verifica che la forza necessaria per iniziare il moto è più grande di quellanecessaria a mantenere il moto. Possiamo allora dire che all’istante in cui il corpo incomincia amuoversi l’intensità della forza di attrito statico è proporzionale al peso del corpo, il coefficientedi proporzionalità essendo quello statico λs, mentre nel caso dinamico avremo una proporzionalitàalla forza peso mediante un coefficiente dinamico λ. Poiché, la forza necessaria per iniziare il moto

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è più grande di quella necessaria a mantenere il moto, il coefficiente di attrito statico è sempremaggiore del coefficiente di attrito dinamico

λs ≥ λ

Diamo due esempi di coefficienti di attrito statico e dinamico: Giaccio su giaccio: λs = 0, 78; λ =0, 42; acciaio su acciaio: λs = 0, 05; λ = 0, 04.

Passiamo alla definizione di forza di attrito.

Definizione: Se un corpo si muove, mantenendosi in contatto con un’altro corpo, su di essosi manifesta una forza (detta di attrito) che si oppone al moto relativo dei due corpi. Si verificasperimentalmente che la forza di attrito, Fa , ha direzione e verso in modo da opporsi sempre almoto e modulo proporzionale alla reazione vincolare, FR (oppure Fr), tra i due corpi:

Fa = λFR (26)

Il coefficiente di attrito ha una semplice interpretazione geometrica. Abbiamo detto che nelcaso di vincoli lisci la reazione elastica del vincolo è assunta ortogonale alla superficie del vincolo.Questa assunzione nei casi di superfici reali è una approssimazione perché la reazione del vincoloFR , in seguito all’azione di una forza tangenziale non è mai perfettamente orizzontale:

Se decomponiamo la reazione del vincolo, FR, in una componente normale Fn ed una tangenzialeFt = Fa, come si vede subito dalla figura, troveremo:

tanα =FaFn

= λ (27)

In conclusione, il coefficiente di attrito è una misura della reazione vincolare non perfettamentenormale che esercita su di un corpo un vincolo reale.

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2.7 Uso dell’equazione fondamentale

Lo scopo degli esercizi di questa sezione è quello di mostrare come si utilizza l’equazione fondamen-tale in alcuni esempi piuttosto consueti. Nella risoluzione della equazione fondamentale si consigliadi procedere nel seguente modo. Si scrive l’equazione fondamentale

Ma = F

poi si individuano tutte le forze che agiscono sul punto materiale e si riscrive nello specificol’equazione fondamentale

Ma = F1 +F2 + ...+Fn (28)

Se i vettori sono utili per descrivere le leggi fisiche in maniera generale, non possono essereutilizzati in maniera diretta per la risoluzione dei problemi fisici. La (28), se si sceglie un sistemadi assi cartesiani, si può scrivere

M (axux + ayuy + azuz) = Fxux + Fyuy + Fzuz (29)

dove abbiamo posto

Fx = F1x + F2x + ...+ Fnx Fy = F1y + F2y + ...+ Fny Fz = F1z + F2z + ...+ Fnz

Uguagliando le componenti omologhe, si hanno le seguenti tre equazioni scalari:

Max = F1x + F2x + ...+ Fnx

May = F1y + F2y + ...+ Fny (30)

Maz = F1z + F2z + ...+ Fnz

La risoluzione dell’equazione fondamentale è stata così ridotta alla risoluzione di tre equazioni(differenziali del secondo ordine) scalari. La completa risoluzione dipende dalla definizione perciascuna di tali equazioni di due costanti, condizioni iniziali (le componenti della posizione e dellavelocità iniziali lungo il corrispondente asse cartesiano). Nella quasi totalità degli esempi che faremo,la risoluzione di tali equazioni avverrà per integrazioni successive. Note quindi le forze, sono notele accelerazioni e da queste si risale prima alle velocità e poi alle posizioni. In questa ottica, comeabbiamo già detto nel primo capitolo, l’operazione di integrazione appare come un procedimentoinverso rispetto alla operazione di derivazione

Commento: Le equazioni Newtoniane appena definite sono dette deterministiche. Esse, infatti,note le forze e le condizioni iniziali, consentono di conoscere la traiettoria passata e futura di ognipunto materiale.

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§2.7 Uso dell’equazione fondamentale

2.7.1 Caduta libera dei corpi

Un corpo vicino alla Terra viene attratto verso il centro di essa (cioè cade) dalla forza peso. Se sitrascura l’attrito dell’aria, l’equazione che governa tale movimento, è

Ma =Mg (1)

ovvero

a = g (2)

Per poter risolvere esplicitamente il problema del moto, occorre passare alle equazioni scalariassociate alla (2). La scelta del sistema di riferimento diventa a questo punto una operazioneimportante. Prendiamo un sistema di assi cartesiani, con l’asse delle y, rivolto verso l’alto e passanteper il punto materiale.

Le condizioni iniziale del problema sono ora: posizione iniziale (xp = 0, yp = h, zp = 0) e velocitàiniziale nulla. Le equazioni scalari sono:

ax = 0 ay = −g az = 0 (3)

Come si vede, lungo i tre assi cartesiani, il valore dell’accelerazione è costante. Nel precedentecapitolo (eq.(64)), abbiamo derivato, nel caso di accelerazioni costanti, le espresssioni della velocitàe dello spazio, in funzione del tempo:

v (t) = v0 + a0t (4)

s (t) = s0 + v0t+1

2a0t

2 (5)

Si tratta ora di applicare questa equazioni al caso in esame, per ciascuna componente. Il motoavviene sicuramente nel piano xy. Lungo x, non vi è velocità iniziale e la componente iniziale èzero. Allora, lungo x avremo:

vx (t) = 0 x (t) = 0 (6)

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Il moto procede lungo l’asse y:

Per la componente y, la componente della velocità è anche nulla, mentre la posizione iniziale èh:

vy (t) = −gt y (t) = h− 12gt2 (7)

Possiamo avere diverse informazioni sul moto, esaminando le (7). In particolare, il tempo cheil corpo impiega a raggiungere il suolo è ( si pone y (t) = 0):

t =

s2h

g(8)

e la velocità con cui arriva al suolo è (si sostituisce la (8) nella prima delle (7))

vs = −p2gh (9)

La caduta di un corpo, soggetto alla sola forza peso, avviene lungo la verticale. Se si pone, nellaseconda delle (7), y (t) = 0, segue anche

h =1

2gt2

ovvero

h

t2=1

2g = costante (10)

Tale relazione è stata trovata, per la prima volta, da Galilei. Galilei sosteneva di avere le proveche il rapporto tra lo spazio percorso nella caduta ed il quadrato del tempo impiegato a percorrerlofosse costante per tutti i corpi. Poiché la (10) è una conseguenza della (1), che a sua volta èconseguenza della forma della forza peso, possiamo asserire, con Galilei, che la (10) è una provaindiretta del fatto che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, ovvero della proporzionalitàtra massa inerziale e gravitazionale.

75


In realtà, Galilei non misurò neppure direttamente la relazione (10), ma la dedusse per estrapo-lazione dalle misure fatte sulla discesa dei corpi lungo piani inclinati. Se si vede l’esempio sul motodei corpi che scivolano, senza attrito, lungo piani, inclinati di un angolo θ, si trova

t =1

sin θ

s2h

g(11)

Quando θ è di 90 gradi, tale equazione diventa proprio la (10). Si potrebbe allora pensare cheGalilei abbia realmente fatto delle misure su dei piani inclinati a diversi angoli d’inclinazione (peresempio, da angoli prossimi a zero ad angoli prossimi a 90 gradi) estrapolando poi il risultato adangoli molto vicini a 90 gradi. In realtà, ogni tentativo di sperimentare la precedente equazione conpiani inclinati di varia inclinazione hanno mostrato che per angoli maggiori di circa 10 gradi nonpuò essere verificata. La conclusione cui si giunge è quella che Galilei da pochi dati ha estrapolatorisultati sperimentali e descritto correttamente la caduta dei gravi. La spiegazione del perché, cioèle cause sono state poi dedotte da Newton.

Risoluzione mediante l’uso dell’integrazione:Si procede nel seguente modo (riferiamoci al solo asse delle y). Utilizzando la definizione di

accelerazione si ha

dvydt

= −gche diventa

dvy = −gdtPoi si integra tra l’istante iniziale ed uno generico t (gli estremi di integrazione della velocità sonola velocità iniziale e quella corrispondente al tempo t)Z vy

v0y

dv0y = −gZ t

t0

dt0

e dopo l’integrazione si ottiene

vy (t) = v0y − gt (12)

dove il tempo iniziale t0 è stato posto uguale a zero. Tale equazione ci consente di determinaread ogni istante il valore della componente della velocità lungo l’asse y. Per ottenere la traiettoriabisogna integrare ancora una volta la (4). Ricordando la definizione di velocità:

dy

dt= v0y − gt

Effettuando l’integrazione, ed utilizzando le condizioni iniziali, si ottiene

76


y (t) = h− gt2

2(13)

2.7.2 Moto di un proiettile

Si consideri il moto di un punto materiale che, avendo una velocità iniziale v0, non nulla, si muovenelle vicinanze della superficie terrestre, nella ipotesi che si possa trascurare la resistenza dell’aria.

Il moto del punto materiale è un moto piano ed è deducibile dalla seguente equazione del moto:

Ma =Mg (1)

ovvero

a = g (2)

dove g è l’accelerazione di gravità. Le equazioni sono identiche a quelle della cadita libera, mavedremo che le differenti condizioni iniziali porteranno ad una soluzione del moto differente. Questosignifica che le equazioni stabiliscono l’ambito del possibile, ovvero tutti i possibili moti, ma poisono le condizioni iniziali (condizioni al contorno) che determinano il moto effettivo di un corpo.L’altro aspetto interessante dello studio del moto del proiettile è la composizione del moto lungo idue assi, che nella caduta libera non avevamo. Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano delpiano (x,y).

Le componenti iniziali della velocità saranno indicate con (v0x, v0y). Lungo l’asse x, non es-sendoci forze, l’accelerazione è nulla. Lungo l’asse y l’accelerazione è prodotta dalla forza peso.Con la scelta degli assi da noi fatta le due componenti dell’accelerazione sono

ax = 0 ay = −g (3)

77


le equazioni sono identiche all’equazioni per la caduta libera, tuttavia le condizioni iniziali,determinano differenti soluzioni. Si trova lungo l’asse x:

vx (t) = v0x x (t) = v0xt (4)

mentre l’asse x

vy (t) = v0y − gt y (t) = v0yt− 12gt2 (5)

L’insieme di queste equazioni descrive completamente il moto di un proiettile.Mostriamo alcuni risultati che si possono ottenere dalle precedenti equazioniA) Determinazione delle coordinate della massima altezza cui può arrivare un proiettile.La massima altezza è caratterizzata dalla proprietà di avere nulla la componente verticale della

velocità:

Possiamo allora porre nella (5) vy (t) = 0. Essa si riduce a

v0x − gtM = 0

dove tM indica il tempo impegato dal punto materiale a raggiungere l’altezza massima. Dallaprecedente relazione troviamo

tM =v0xg

(6)

Sostituendo tale valore nella (5), per lo spazio,otteniamo l’ordinata della massima altezza, yM :

yM = v0y

µv0yg

¶− 12g

µv0yg

¶2=1

2

v20yg

(7)

Sostituendo il tempo dato dalla (7) nella’equazione per l’ascissa (4) troviamo anche l’ascissa dellamassima altezza:

78


xM = v0x

µv0yg

¶=v0xv0y

g(8)

B) Possiamo determinare la gittata, ovvero la massima distanza raggiungibile dal proiettile rispettoalla sua posizione di partenza.

Sarà sufficiente porre y (t) = 0 nella (5):

0 = v0ytG − 12gt2G

dove tG indica il tempo impiegato dal punto materiale per raggiungere il luogo di massima distanzadall’origine del sistema di riferimento. Risolvendo tale equazione, avremo due soluzioni, tG = 0,che indica il tempo in cui è partito il proiettile e

tG =2v0yg

(9)

L’ascissa della gittata si otterrà sostituendo il valore (9) nella (4):

xG = v0x2v0yg

=2v0xv0y

g(10)

Notiamo che

xG = 2xM (11)

C) Dimostriamo che la curva descritta dal proiettile è una parabola.Facendo sistema tra le equazioni (4) e (5) ed eliminando il tempo da entrambe (si prenda

t = x/v0x dalla (4) e lo si sostituisca nella (5) si ottiene

y =v0yv0x

x− 12

g

v20xx2 (12)

che è una parabola passante per l’origine del sistema di riferimento.

79


2.7.3 Moto lungo un piano inclinato senza attrito

Si abbia un punto materiale di massa M che scivola lungo un piano inclinato privo di attrito, la cuilunghezza sia l e la cui altezza sia h. Sul corpo, nella ipotesi in cui si possa trascurare la resistenzadell’aria, agiscono la forza peso Fp e la reazione del piano Fr:

La forza peso Fp ha la direzione della verticale, mentre la reazione vincolare Fr è ortogonale alpiano inclinato. Il moto che si osserva è lungo il piano inclinato. Tale moto è dovuto alla risultanteFt della forza peso e della reazione vincolare e la sua direzione è tangente al piano inclinato.

L’intensità della reazione vincolare del piano può esprimersi in termini della forza peso. Perdefinizione di reazione di un vincolo liscio, l’inten


Mg : l = Ft : h

da cui

Ft =Mgh

l=Mg sinα (1)

dove α indica l’inclinazione del piano inclinato. Scegliendo l’asse x lungo il piano inclinato,possiamo utilizzare l’equazione del moto di un punto materiale e scrivere

Max =Mgh

l(2)

Il punto materiale, durante la sua discesa, si muove con una accelerazione costante

ax =gh

l(3)

L’accelerazione non dipende dalla massa del corpo, come i corpi in caduta libera. Poiché l èmaggiore di h l’accelerazione di un punto materiale, lungo un piano inclinato, è inferiore all’accel-erazione di un corpo in caduta libera. Essa è inferiore di un fattore h/l . Se il punto materiale,parte al tempo t=0, con velocità nulla, troveremo che la velocità lungo l’asse x è

vx (t) =

µgh

l

¶t (4)

mentre, lo spazio percorso sarà:

x (t) =1

2

µgh

l

¶t2 (5)

Quando il punto materiale arriva alla fine del piano inclinato, avrà percorso il tratto l; il tempo,tl, impiegato dal punto materiale per percorrere l’intero piano inclinato, si otterrà dalla (5) ponendox = l:

l =1

2

µgh

l

¶t2l

Risolvendo rispetto a tl, otteniamo

tl =l

h

s2h

g=

l

hth (6)

dove abbiamo introdotto, il tempo th, impiegato da un punto materiale, in caduta libera, a cadereda un’altezza h.

81


Il tempo che impiega un punto materiale a scendere tutto il piano inclinato è l/h volte piùgrande del tempo che impiega un corpo a cadere, in caduta libera da un’altezza h. Il risultato (6)non dipende dalla massa del punto materiale, quindi non dipende dal corpo (come il tempo nellacaduta libera). Possiamo dire che, se si trascura la resistenza dell’aria, tutti i corpi, approssimabilia dei punti materiali che, partendo dalla sommità di un piano inclinato, privo di attrito, scivolanolungo lo stesso piano inclinato, impiegano lo stesso tempo ad arrivare alla fine del piano inclinato

La velocità che possiede un qualunque punto materiale quando arriva alla fine del piano inclinato,si ottiene sostituendo il valore di tl, dato dalla (6), nell’equazione (4):

v (tl) =gh

l

l

h

s2h

g=

p2gh (7)

La velocità di arrivo alla fine del piano inclinato è uguale alla velocità di arrivo al suolo di unqualunque punto materiale che cade in caduta libera da una altezza h. La velocità di arrivo al suolonon dipende dalla strada che si sceglie (caduta libera o piano inclinato), in assenza di attriti.

2.7.4 Moto lungo un piano inclinato, con attrito

Si abbia un piano, inclinato di un angolo θ rispetto al suolo e di altezza h. Un punto materiale chescivola lungo tale piano sarà soggetto alla forza peso Fp, alla reazione del vincolo, Fr ed alla forzadi attrito, Fa

L’equazione del moto sarà allora

Ma = Fp +Fr +Fa (1)

Scegliendo gli assi come in Figura, le equazioni scalari associate alla (1) sono

Max =Mg sinα−Mgλ cosα May =Mg cosα−Mg cosα

ovvero

82


ax = g sinα (1− λ cotα) ay = 0

Non c’è moto lungo l’asse y. Risolviamo l’equazione lungo l’asse x, nell’ipotesi di velocità inizialenulla per un corpo che parte dalla sommità del piano. Le espressioni che si ottengono per la velocitàe lo spostamento sono rispettivamente

vx (t) = g sinα (1− λ cotα) t (2)

x (t) =1

2g sinα (1− λ cotα) t2 (3)

Ci proponiamo di calcolare la velocità con cui il corpo giunge al suolo ed il tempo impiegato.Dalla (3) si può ottenere immediatamente il tempo, imponendo il valore della lunghezza del piano,cioè risolvendo la seguente equazione:

h

sinα=1

2g sinα (1− λ cotα) t2

La soluzione che si ottiene, è

t =1

g sinα

r2gh

1− λ cotα(4)

Sostituendo la (4) nella espressione della velocità, eq.(2), si trova

vs =p2gh (1− λ cotα) (5)

Nella ipotesi di assenza di attrito, le due ultime equazioni diventano

t =1

sinα

s2h

g(6)

vs =p2gh (7)

Dai risultati di questo esempio e di quelli del precedente esempio si deduce che la velocità diarrivo al suolo, in un campo gravitazionale, non dipende, in assenza di attrito, dal percorso fatto(vs è identica per la caduta di un grave lungo la verticale e per il moto lungo il piano inclinato).D’altro canto, il tempo impiegato dipende dal percorso.

Le precedenti equazioni consentono di calcolare anche il coefficiente di attrito statico. Nel casoin cui il punto materiale è in quiete sul piano inclinato, la risultante delle forze deve essere nulla:

Fp +Fr +Fa = 0

83


In particolare, lungo l’asse x, dovendo essere il valore della coordinata sempre nulla qualunquesia il valore di t, dalla si ottiene, dalla (3),

1− λs cot θ = 0

ovvero,

λs = tanα (8)

2.7.5 Moti su una circonferenza piana orizzontale

Quando abbiamo studiato il moto circolare abbiamo detto che, anche nel caso di moto circolareuniforme, il corpo è soggetto ad una accelerazione, detta centripeta, pari a

ac =v2

R(1)

dove v è la velocità del corpo ed R il raggio. La direzione di tale accelerazione è lungo lacongiungente il punto materiale ed il centro della circoferenza, mentre il verso è dal punto materialeverso il centro della circonferenza. Ora esamineremo due casi che ci aiuteranno a determinare leforze che producono tale accelerazione:

Caso A: Forza di attritoNella vita quotidiana, quando un auto, una moto ed il generale un veicolo si trova in una

curva, come abbiamo ampiamente discusso, nella sezione sulla gravitazione universale, la sua inerziatenderebbe a farlo uscire di strada. Il fatto che il veicolo rimane sulla strada ci consente di affermareche esiste una forza che lo costringe a percorrere la strada. Tale forza è la forza di attrito.

Potremo allora scrivere l’equazione fondamentale, come segue:

Mv2

R= Fa (2)

84


Se, la reazione vincolare si riduce alla sola reazione al peso del corpo, potremo scrivere

Mv2

R= λMg

da cui

v2

R= λg (3)

Poiché g è nota, conoscendo due dei rimanenti parametri, si può ricavare il terzo.Caso B: Creare una pendenza alle strade curveUn modo per aiutare gli automobilisti a non uscire di strada, in curva, è di progettare una

pendenza quando si costruisce una strada curva. In altre parole, la strada diventa un cuneo (unasezione trasversale è un piano inclinato, con la base verso il centro della curvatura)

Per mostrare l’utilità della pendenza, mostreremo che anche in assenza di attrito, il vincoloche si è introdotto genera una forza sufficiente a far rimanere il corpo sulla strada curva. Dobbi-amo concentrare la nostra attenzione sulla reazione vincolare, perché ora è tale forza che original’accelerazione centripeta.Notiamo che in questo caso, sul piano inclinato, conviene scegliere gliassi cartesiani paralleli alla direzione orizzontale (asse x) ed a quella verticale (asse y). La forzache stiamo cercando è la componente x, della reazione vincolare. Proviamo a determinare talecomponente.Avremo

Fx = FR sinα (4)

Non rimane che determinare la reazione vincolare. Notiamo che, se l’unica forza agente sulcorpo in moto è la forza peso, avremo

FR cosα =Mg

da cui

85


FR =Mg

cosα(5)

Sostituendo nella (4), avremo

Fx =Mg tanα (6)

L’equazione del moto, nella direzione x è

Mv2

R=Mg tanα

da cui

v2

R= g tanα (7)

Se si confronta la (7) con la (3) ritroviamo la relazione

λ = tanα (8)

La pendenza (ovvero il vincolo), svolge, anche il assenza di attrito alla funzione di mantenereil corpo sulla strada. Ovviamente, la velocità di moto in ogni caso è determinante per non finirefuori strada.

2.7.6 Il moto armonico semplice

Alcuni corpi macroscopici, quando sono sottoposti all’azione di una forza esterna, si deformanotemporaneamente. Questi corpi, appena cessata la causa della deformazione, tendono a riprenderela forma originaria. Questa proprietà dei corpi è detta elasticità. Il corpo elastico per eccellenza èla molla. Si fissi una estremità della molla ad una sostegno, mentre all’altra estremità si leghi uncorpo di massa M . Il corpo M può muoversi liberamente su di un piano orizzontale.

Trascuriamo la massa della molla e studiamo il moto del corpo M , assimilandolo ad un puntomateriale. La forza peso viene equilibrata dalla reazione del tavolo e se la molla era nella posizionedi riposo il punto materiale M rimane fermo (chiameremo la posizione di M in tale punto posizionedi riposo). Portiamo M nella posizione A, tirando la molla, anche se di poco.

86


Lasciamo libero il punto materiale. Esso incomincerà ad oscillare intorno alla posizione diriposo, tra le posizioni A e B. La forza agente su M , ad ogni istante, risulta essere indipendenteda M , proporzionale allo spostamento, misurato dalla posizione di riposo, e di verso opposto allospostamento. La costante di proporzionalità, indicata con k, dipende solo dalla molla. Scelto unsistema di riferimento con l’origine posta nella posizione di riposo e l’asse x nello direzione OA,possiamo scrivere

Fe = −kxuxSe si riporta la posizione di M , nel corso del tempo, si otterrà il seguente grafico

Il moto risulta essere periodico. Una oscillazione completa è il movimento completo di M , cheparte da A, arriva in B e poi ritorna in A.

Il tempo impiegato dal punto materiale per eseguire una oscillazione completa è detto periododell’oscillazione, sarà indicato con T e, come mostreremo tra breve sarà dato da:

T = 2π

rM

k(2)

87


L’ampiezza dell’oscillazione è la lunghezza OA = xA (oppure OB). Essa rappresenta la massimadistanza, dalla posizione di riposo, alla quale arriva il punto materiale durante le sue oscillazioni.

Un corpo soggetto ad una forza elastica obbedisce alla seguente equazione del moto:

Md2x

dt2+ kx = 0 (3)

Come mostreremo successivamente, una soluzione per tale equazione si scrive

x (t) = A sin (ωkt+ φ) (4)

dove A è detta ampiezza , φ fase iniziale ed ω , definita da,

ω2k =k

M(5)

è detta pulsazione. Si può verificare la correttezza della (4) derivandola due volte e sostituendoi risultati nella (3) Infatti, calcoliamo prima la velocità:

v (t) = Aωk cos (ωkt+ φ) (6)

Derivando ulteriormente, si trova l’accelerazione

a (t) = −Aω2k sin (ωkt+ φ) (7)

Se ora sostituiamo la (7) e la (6) nella (3) avremo

M£−Aω2k sin (ωkt+ φ)

¤+ k [A sin (ωkt+ φ)] = 0

Dividendo tutto per A sin (ωt+ φ), si trova

−Mω2k + k = 0

Il primo membro è nullo solo se è vera la (5). Abbiamo allora mostrato che la (4), con laposizione (5), è soluzione dell’equazione (3).

Le quantità A e φ si deducono dalle condizioni iniziali. Infatti, se le generiche condizioni inizialile indichiamo con x0, v0, dalle equazioni (4) e (6), per t = 0, si ha

x0 = A sinφ v0 = Aωk cosφ (8)

Risolvendo rispetto ad A, e φ,questo sistema di equazioni, si ottiene:

tanφ = ωkx0v0

A =

sx20 +

v20ω2k

(9)

88


Notiamo inoltre che la funzione,

x (t) = A sin (ωkt+ φ) (4)

è periodica ed il suo periodo è

T =2π

ωk(10)

Infatti

x (t) = A sin

µωk

µt+

2π

ωk

¶+ φ

¶= A sin (ωkt+ 2π + φ) = A sin (ωkt+ φ)

Infine, notiamo che, il tempo τ , soluzione dell’equazione

ωkτ + φ = 0 → τ = − φ

ωk(11)

rappresenta l’istante in cui il punto materiale passa la prima volta dalla posizione di equilibrio.Qualche approfondimento matematico:Non è difficile mostrare che anche

x (t) = A cos (ωkt+ δ) (12)

è ugualmente soluzione del moto armonico semplice.Notiamo che la differenza tra le due soluzioni è nello sfasamento della fase iniziale. Infatti,

x (t) = A cos (ωkt+ δ) = A sin³ωkt+ δ +

π

2

´= A sin (ωkt+ φ)

dove abbiamo posto

φ ≡ δ +π

2(13)

A ulteriore conferma di questo sfasamento, per la soluzione (12), il tempo

τ = − δ

ωk(14)

rappresenta l’istante in cui il punto materiale passa per la prima volta dalla posizione di massimaelengazione.

Per le precedenti considerazioni, non è difficile accettare che la soluzione generale del motoarmonico semplice è una sovrapposizione di seni e coseni:

x (t) = C sin (ωkt) +D cos (ωkt) (15)

89


Per determinare C e D possiamo imporre che

A sin (ωkt+ φ) = C sin (ωkt) +D cos (ωkt)

ovveroA sin (ωkt) cosφ+A cos (ωkt) sinφ = C sin (ωkt) +D cos (ωkt)

da cui deduciamo

C = A cosφ D = A sinφ (16)

Allora la soluzione generale del moto armonico semplice si può scrivere

x (t) = A cosφ sin (ωkt) +A sinφ cos (ωkt) . (17)

ovvero, come soluzione, con fase iniziale nulla in entrambe le funzioni periodice ma con ampiezzeA cosφ e A sinφ. Se invece si impone

A cos (ωkt+ δ) = C sin (ωkt) +D cos (ωkt)

ovveroA cos δ cosωkt−A sin δ sinωkt = C sin (ωkt) +D cos (ωkt)

da cui

−A sin δ = C A cos δ = D (18)

La soluzione generale diventa

x (t) = −A sin δ sin (ωkt) +A cos δ cos (ωkt) (19)

Infine, notiamo che dalla relazione

ω2k =k

M(20)

e dalla relazione tra periodo e pulsazione

T =2π

ωksegue

T = 2π

rM

k(21)

90


Esplicitiamo la (19), in termini delle condizioni iniziali; usando la (20), la (19) diventa

x (t) = −A sin δ sinÃr

k

Mt

!+A cos δ cos

Ãrk

Mt

!(22)

Per determinare A e δ supponiamo che al tempo t = 0 siano x0 e v0 la posizione e la velocitàiniziale. Avremo,

x0 = A cos (ωk0 + δ) = A cos δ (23)

v0 = −r

k

MA sin (ωk0 + δ) = −

rk

MA sin δ → −A sin δ = v0

rM

k(24)

e la (22) diventa

x (t) = v0

rM

ksin

Ãrk

Mt

!+ x0 cos

Ãrk

Mt

!(25)

Moto armonico semplice e moto circolareOra immaginiamo di costruire una circonferenza di raggio pari all’ampiezza e centro nella

posizione di riposo del punto materiale.

Man mano che M oscilla, una semiretta ortogonale all’asse x e passante per M interseca la cir-conferenza. L’effetto che si ottiene è quello di un punto geometrico che si muove sulla circonferenza,man mano che M oscilla.

Si può mostrare (vedi sotto) che il moto che descrive il punto geometrico sulla circonferenza èun moto circolare uniforme, con lo stesso periodo T, del punto materiale che oscilla. Guardandoal punto geometrico che si muove di moto uniforme sulla circonferenza, si può dedurre, in manierasemplice, l’andamento della velocità del punto materiale che oscilla:

91


In A, quando il punto materiale M aveva la massima elongazione, la sua velocità è nulla, poicresce fino ad un valore massimo, quando M passa per la posizione di riposo O, poi decresce fino aridiventare nulla quando M si trova nel punto B; poi cambia verso, ricominciando a ricrescere, finoa riavere un valore massimo quando M ripassa per O ed infine decresce fino ad annullarsi di nuovoquando M arriva in A.

Sebbene ωk è uguale numericamente alla velocità angolare ω con cui ruota il punto geometricosulla circonferenza associata, le due quantità sono differenti; ωk si riferisce al moto unidimensionaledel punto materiale soggetto alla forza elastica, mentre ω si riferisce ad un moto circolare piano.

Mostriamo, più in dettaglio, il legame un punto che si muove su una circonferenza ed il motoarmonico sugli assi. Si abbia un punto materiale che si muove di moto uniforme, su di una circon-ferenza di raggio A ed angolo polare θ. La sua equazione del moto, visto che A è costante è solo intermini della variabile angolare, e sarà data da

θ (t) = ωt+ δ

dove δ è l’angolo che il punto materiale forma con l’asse delle x, al tempo t = 0. Se si prende unsistema di assi cartesiani con origine sul centro della circonferenza, le proiezioni sugli assi saranno

x = A cos θ = A cos (ωt+ δ)

y = A sin θ = A sin (ωt+ δ) = A cos³ωt+ δ − π

2

´Questo giustifica la discussione precedente, ricordando che ω è un velocità angolare ed ωk è

una pulsazione. Sebbene si misurino nelle stesse unità di misura le due quantità sono fisicamentedifferenti.

2.7.7 Il pendolo semplice

Si abbia un filo con un’estremità fissata ad un sostegno.Alla estremità libera del filo leghiamo uncorpo di massa M. Il filo si tende ed una forza di natura elastica, detta tensione del filo, Fτ ,contrasta il peso del corpo. Il corpo rimane sospeso, cioè vincolato. Per ogni filo esiste un valore

92


massimo della tensione oltre il quale esso si spezza. Tale valore massimo dipende dalla sostanzacon cui è costruito il filo e dalla sua sezione. Possiamo sintetizzare, il precedente discorso, dicendoche un corpo di massa M, di dimensioni trascurabili rispetto alla lunghezza l del filo, (quindiapprossimabile ad un punto materiale, quando è appeso ad un filo è soggetto, oltre alla forza pesoFp, anche ad una tensione esercitata dal filo che indicheremo con Fτ .

Il sistema appena descritto, nell’ipotesi che la massa del filo sia trascurabile, rispetto alla massadel corpo M, è detto pendolo semplice.

Ci proponiamo di esaminare il moto del punto materiale di massa M, nell’ipotesi che esso compiaoscillazioni, intorno alla posizione di equilibrio, indicata dal punto C. Per piccole oscillazioni, ilmoto del punto materiale M risulta essere periodico. Una oscillazione completa è il movimentocompleto di M che, parte da A, arriva in B e poi ritorna in A. Il tempo impiegato da M pereseguire una oscillazione completa è detto periodo dell’oscillazione e sarà indicato con T . L’ampiezzadell’oscillazione è la lunghezza CA (oppure CB). Essa rappresenta la massima lunghezza, dallaposizione di equilibrio, che percorre M durante le sue oscillazioni.

Ci proponiamo di determinare la forza risultante responsabile del moto di M, di provare cheessa è una forza di tipo elastica e quindi determinare il periodo di oscillazione del pendolo.

Il moto del punto materiale M è sulla circonferenza di raggio l. La risultante Ft, tra la forzapeso Fp e la tensione del filo Fτ , ha la direzione della tangente alla circonferenza:

93


L’intensità della tensione può essere valutata in termini della forza peso. La tensione, comesi evince anche dal grafico precedente, è uguale alla componente radiale Fn della forza peso, cioèFτ = Fn Per determinare il modulo, della forza risultante Ft, usiamo la similitudide tra i duetriangoli OFA e ADE. Avremo

AE : OA = AD : FA

che diventa, posto FA=y, (si immagimi un sistema di riferimento con centro in O, l’asse delle xdiretto verso il basso e l’asse delle y diretto da F ad A; vedi più avanti)

Mg : l = Ft : y

cioé

Ft =Mg

ly

L’intensità della forza risultante, Ft, responsabile del moto, è proporzionale alla distanza y delpunto materiale dalla verticale. Essa è del tipo

Ft = ky

con

k =Mg

l(1)

essa è di tipo elastico ed è diretta lungo la tangente alla circonferenza che descrive il puntomateriale.

Per piccole oscillazioni, l’angolo α è molto piccolo, quindi la forza Ft è praticamente ugualealla sua proiezione F, lungo l’asse y: In altre parole, il moto lungo la circonferenza, per piccoleoscillazioni, si può confondere con il moto lungo l’asse y. Allora, possiamo scrivere che la forzaagente sul punto materiale, che ora si muove lungo l’asse y, è, per piccole oscillazioni, data da:

94


F = −kyuy (2)

Corpi soggetti a forze di questo tipo, dette elastiche, si muovono di moto armonico semplice.Tali moti sono periodici ed il loro periodo è, come abbiamo già visto, uguale a

T = 2π

rM

k(3)

Se si sostituisce il valore di k, dato dalla (1), in quest’ultima equazione, si trova

T = 2π

sl

g(4)

Possiamo concludere dicendo che il moto del pendolo, per piccole oscillazioni è periodico, con unperiodo dato dalla (4). Se si graficano, in funzione del tempo, i valori dell’ampiezza (o in manieraequivalente i valori dell’ampiezza lungo l’asse y), si ottiene una funzione sinusoidale (al tempo t = 0il punto materiale era in C):

Approfondimento matematico: Nello studio delle caratteristiche cinematiche del moto su diuna circonferenza, abbiamo mostrato che l’accelerazione è sempre decomponibile in una componentetangenziale ed in una componente radiale:

a = atut + acur (1)

dove

at =dv

dt= R

dω

dt= R

d2φ

dt2ac =

v2

R(2)

Nel caso in esame, il raggio della circonferenza è la lunghezza del filo:

95


at = ld2α

dt2ac =

v2

l(3)

Abbiamo visto che la risultante efficace è

Ft = −Mg sinα (4)

Allora, l’equazione del moto significativa è

Mld2α

dt2= −Mg sinα (5)

ovvero,

d2α

dt2= −g

lsinα (6)

Per piccoli angoli, sinα ' α,

d2α

dt2= −g

lα (7)

La soluzione di tale equazione è

α(t) = α0 sin (ωlt+ φ) (8)

dove

ωl =

rg

l(9)

In termini di accelerazione lineare, avremo

at (t) = lα0 sin (ωlt+ φ) (10)

2.7.8 Il pendolo circolare

Un corpo di massa M sospeso ad un filo inestensibile di lunghezza l che si muove di moto uniformesu di una circonferenza di raggio R, è un pendolo circolare. Sia inoltre θ l’angolo che forma il filocon la perpendicolare passante per il punto di ancoraggio del filo. Ci proponiamo di determinare ilperiodo di oscillazione del pendolo (tempo impiegato a percorrere una intera circonferenza:

96


Questo esempio potrebbe essere considerato come un modo per mantenere un corpo su unacirconferenza (si veda l’uso dell’attrito e della pendenza per mantenere un corpo su circonferenza).Infatti, le forze che agiscono sul corpo sono la forza peso Fp e la tensione del filo Fτ . Possiamodecomporre la tensione Fτ in una componente radiale ed una componente nella direzione della forzapeso. Esse sono

Fτ sin θ Fτ cos θ

La componente radiale produce l’accelerazione centripeta:

Mv2

R= Fτ sin θ (1)

mentre l’altra componente è uguale alla forza peso:

Fτ cos θ =Mg (2)

Dalla (2) ricaviamo Fτ :

Fτ =Mg

cos θ(3)

che sostituito nella (1) ci darà

Mv2

R=Mg tan θ

ovvero

v2

R= g tan θ (4)

97


Questo risultato è identico a quello trovato nell’esempio 4. Ora però possiamo riscrivere latangente dell’angolo. Innanzitutto,

R = l sin θ

Poiché, per piccoli angoli il seno e la tangente sono praticamente uguali, possiamo scrivere

tan θ ' R

l(5)

Con questo risultato la (4) diventa

v2

R= g

R

l

ovvero

gR2

l= v2 (6)

D’altra parte, poiché il corpo si muove di moto uniforme sulla circonferenza avremo 2πR = vT ,da cui

4π2R2

T 2= v2 (7)

Dal confronto delle due ultime equazioni, deduciamo che

T = 2π

sl

g(8)

che coincide con il periodo del pendolo semplice (anche se fisicamente sono due moti distinti).

2.7.9 Moto su calotta sferica

: Un corpo di massa M viene poggiato su una calotta sferica. Sapendo che il coefficiente di attritostatico è λs si determini l’angolo al quale, rispetto a punto più alto, il corpo inizia a scivolare.

L’equazione del moto è

Ma =Mg +Fa +Fr (1)

La proiezione lungo la tangente è

Mat = −Fa +Mg sinφ (2)

e la condizione si otterrà da

98


−Fa +Mg sinφ = 0 → −λsMg cosφ+Mg sinφ = 0 tanφc = λs

2.8 Complementi

In questa sezione vogliamo discutere di alcuni esercizi che hanno bisogno di una conoscenza matem-atica più complessa.

2.8.1 Forza periodica

Ci proponiamo di risolvere la seguente equazione del moto:

Mdv

dt= F0 sin (ωt) (1)

dove F0 , è un vettore costante e le condizioni iniziali sono v (0) = 0 e r (0) = 0.La precedente equazione, riscritta come

dv =F0Msin (ωt) dt

può essere integrata, componente per componente, (la dipendenza funzionale del seno dal tempo ènota) è si ottiene:

∆v = v (t) =F0Mω

(1− cosωt) (2)

L’ulteriore integrazione è anche immediata:

r (t) =F0Mω2

(ωt− sinωt) (3)

2.8.2 Forza d’attrito nei fluidi

Ci proponiamo di risolvere la seguente equazione del moto:

Mdv

dt= −γv (4)

con le condizioni iniziali, v (0) = v0 ed r (0) = 0.

99

§2.8 Complementi

Scrivendo l’equazione per i moduli:

dv

v= − γ

Mdt

la si può integrare subito,

ln

µv

v0

¶= − γ

Mt

Poiché elnx = x, la precedente relazione si può riscrivere:

v (t) = v0 exp³− γ

Mt´

(5)

L’ulteriore integrazione della (5) conduce poi a

r (t) = v0M

γ

³1− e−

γMt´

(6)

2.8.3oscillazioni smorzate

L’equazione che ci proponiamo di risolvere è la seguente:

Md2x

dt2= −kx− γ

dx

dt(7)

Ponendo

ω20 =k

Mτ =

γ

2M(8)

l’equazione iniziale diventa:

d2x

dt2+ 2τ

dx

dt+ ω20 = 0 (9)

La quantità τ è detta coefficiente di smorzamento. Per risolvere la (9) si cerca una soluzione del tipo

x = exp (rt) (10)

100


La (9) diventa una equazione per r (equazione caratteristica), la cui soluzione è

r = −τ ±qτ2 − ω20

La soluzione cercata diventa allora:

x (t) = c1e−

³τ+√τ2−ω20

´t+ c2e

³−τ+√τ2−ω20

´t

(11)

Esamineremo tale soluzione generale nella ipotesi che

τ < ω0 (12)

Poiché,pτ2 − ω20 = i

pω20 − τ2, ponendo

ω =qω20 − τ2 (13)

la (11) diventa

x (t) = e−τt¡c1e

iωt + c2e−iωt¢

Definendo k1 = c1 + c2 e k2 = i (c1 − c2) la precedente equazione si scrive

x (t) = e−τt [k1 cos (ωt) + k2 sin (ωt)]

Infine, posto

A =qk21 + k22 tgφ = −k2

k1

si ottiene la forma dell’equazione cercata:

x (t) = A exp (−τt) cos (ωt+ φ) (14)

Un movimento che si effettua secondo le modalità descritte dalla (14) è detto di oscillazioni

101

§2.8 Complementi

smorzate. La frequenza di oscillazione ω è più piccola della frequenza delle oscillazioni libereω0 (si veda la (13)) e l’ampiezza decresce in modo esponenziale (si veda la (14)). Tuttavia, vieneimpiegato sempre lo stesso intervallo di tempo, per compiere ciascuna oscillazione. Sotto è mostratoil grafico della funzione

x (t) = exp (−t) cos (5t)

53.752.51.25

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

102

Capitolo 3

Leggi di Newton: seconda parte

Una forza agente su di un punto materiale ne causa una variazione di velocità. Inoltre, più intensaè la forza agente su di un punto materiale, più grande è la variazione di velocità che subisce il puntomateriale. Della durata dell’azione della forza non abbiamo ancora parlato. Esamineremo ora, inmaggiore dettaglio, il legame che esiste tra una forza agente su di un punto materiale, la duratadella sua azione e la variazione di velocità che il punto materiale subisce.

3.1 Quantità di moto ed impulso di una forza

L’equazione del moto di un punto materiale di massa M, soggetto ad una forza F, si scrive

Ma = F (1)

Limitiamoci per la nostra discussione ad un moto in una sola dimensione. Avremo allora unaforza che agisce sul punto materiale, per esempio, lungo l’asse positivo delle x. Lungo l’asse x ilpunto materiale subirà delle variazioni di velocità. Se la forza non varia troppo rapidamente, si puòscegliere un intervallo di tempo ∆t , sufficientemente piccolo, in modo da ritenere praticamentecostante la forza agente durante l’intervallo di tempo ∆t scelto. L’equazione del moto del puntomateriale M, nell’intervallo considerato, può scriversi,

M∆v

∆t= F

ovvero

M∆v = F∆t (2)

103

§3.2 Conservazione della quantità di moto

Esplicitando l’operatore ∆ avremo

M [v (t+∆t)− v (t)] = F∆t (3)

Si definisce quantità di moto il prodotto della massa per la velocità del corpo:

p =Mv (4)

Chiameremo inoltre, variazione della quantità di moto, durante l’intervallo di tempo ∆t, laquantità

∆p =Mv (t+∆t)−Mv (t) = p (t+∆t)− p (t) (5)

Allora, l’equazione fondamentale del moto del punto materiale, durante l’intervallo di tempo ∆t,può anche scriversi

∆p = F∆t (6)

Quest’ultima equazione è allora una forma alternativa dell’equazione fondamentale, nell’inter-vallo di tempo considerato. La quantità F∆t è detta impulso della forza F (costante) durantel’intervallo di tempo ∆t e sarà indicato con I∆t. Possiamo leggere la precedente equazione dicendoche,

la variazione della quantità di moto di un punto materiale, durante l’intervallo di tempo con-siderato, è uguale all’impulso della forza agente sul punto materiale, durante lo stesso intervallo ditempo.

Poiché la precedente equazione è vettoriale, essa è equivalente alle tre seguenti equazioni scalari

∆px = Fx∆t ∆py = Fy∆t ∆pz = Fz∆t (7)

dove abbiamo usato le seguenti rappresentazioni cartesiane:

∆p = ∆pxux +∆pyuy +∆pzuz (8)

F = Fxux + Fyuy + Fzuz (9)

3.2 Conservazione della quantità di moto

Nel caso di forza arbitraria, la relazione tra variazione della quantità di moto ed impulso, diventa(vedi i complementi):

∆p =

ZF(t)dt (10)

104

3 Leggi di Newton: seconda parte

La quantità al secondo membro è detta impulso di una forza. La (10) è la forma integraledell’equazione fondamentale.

Se su di un corpo non agiscono forze, vuol anche dire che su di esso non viene esercitato alcunimpulso. L’equazione fondamentale della dinamica, in forma integrale, si riduce a

∆p = 0

ovvero

p (t+∆t) = p (t) (11)

qualunque sia ∆t .Possiamo dire che in assenza di forze agenti su di un punto materiale, la suaquantità di moto si mantiene costante nel tempo (conservazione della quantità di moto).

Tale risultato costituisce una forma alternativa del principio d’inerzia.

3.3 Esempi

Esempio 1: Determinare la velocità con cui un punto materiale tocca il suolo in caduta libera.Abbiamo già determinato tale velocità nel precedente capitolo, ma ora mostreremo una differente

derivazione. Per determinare la velocità di arrivo al suolo usando l’impulso, dobbiamo conosceresia la forza agente che il tempo durante il quale la forza agisce. Noi conosciamo ambedue questedue quantità:

FP =Mg ∆t =

s2h

g

dove h è l’altezza da cui viene lasciato libero il punto materiale. L’impulso sarà

Fp∆t =Mg

s2h

g=M

p2gh

Tale impulso è uguale alla variazione della quantità di moto:

M∆v =Mp2gh

Poiché la velocità iniziale è assunta nulla, la variazione della velocità coincide con la velocità diarrivo al suolo e troviamo

v =p2gh

Esempio 2: Determinare la velocità di arrivo al suolo di un punto materiale che scivola senzaattrito lungo un piano inclinato di altezza h e lunghezza l.

105

§3.4 Complementi

Anche in questo caso, conosciamo sia la risultante della forza agente sul punto materiale che iltempo durante il quale la forza agisce:

FP =Mg sinα =Mgh

l∆t =

1

sinα

s2h

g=

l

h

s2h

g

Allora l’impulso sarà

Fp∆t =Mgh

l

l

h

s2h

g=M

p2gh

e uguagliando tale risultato alla variazione della quantità di moto, ritroviamo,

v =p2gh

I due precedenti risultati ci riconfermano che la velocità di arrivo al suolo, in presenza della solaforza peso, non dipende nè dal tempo nè dal percorso che il punto materiale compie.

3.4 Complementi

3.4.1 Il diagramma dell’impulso

Ora esamineremo, inmaniera più rigorosa, la relazione che lega la variazione della quantità di motoall’impulso di una forza.

Supponiamo che la forza agente sul punto materiale sia variabile. Sia ti l’istante in cui la forzainizia la sua azione sul punto materiale e tf l’istante in cui l’azione termina. Decomponiamo laforza F nelle sue componenti cartesiane

F = Fxux + Fyuy + Fzuz

e svolgiamo le nostre considerazioni per la componente x. Dividiamo l’intervallo temporaletf − ti in intervalli di tempo ∆t , all’interno di ciascuno dei quali la componente x della forza èpraticamente costante (indicheremo con Fx(tn) il valore di Fx all’interno dell’intervallo (tn, tn+1)).

106


Per ciascun intervallo temporale potremo scrivere

∆px,n = Fx(tn)∆t (1)

Posto t1 = t0 e tf = tN la variazione totale della quantità di moto, lungo l’asse x, durantel’intervallo di tempo totale tN − t0 sarà

∆px =N−1Xn=0

∆px,n

In maniera analoga, l’impulso totale lungo l’asse x, durante l’intervallo di tempo totale tN − t0sarà

Ix,tN−t0 =N−1Xn=0

Fx(tn)∆t (2)

Nel caso in cui ∆t tende a zero (∆t → 0), ovvero il numero N di tempi intermedi tra t0 e tNdiventa infinito

107

§3.4 Complementi

il secondo membro della (2) si scrive

lim∆t→0

∞Xn=0

Fx(tn)∆t

Tale espressione si chiama ”integrale di Fx(t) tra gli estremi t0 e tN ” e si scrive

Z tN

t0

Fx(t)dt = lim∆t→0

∞Xn=0

Fx(tn)∆t (3)

Allora per (∆t→ 0), la () diventa

Ix,tN−t0 =Z tN

t0

Fx (t) dt (4)

e l’equazione del moto lungo l’asse x, può scriversi

∆px =

Z tN

t0

Fx(t)dt (5)

Ripetendo le stesse considerazioni per le altre componenti avremo

∆p =

Z tN

t0

F(t)dt (6)

cioè, la variazione della quantità di moto subita da un punto materiale è uguale, anche nel casodi una forza variabile, all’impulso della forza agente sul punto materiale, durante l’intervallo ditempo in cui essa agisce.

3.4.2 Deflessione in presenza di gravità

Proviamo a determinare il valore della deflessione che subisce un asteroide di massa M , nel passarenelle vicinanze del Sole, applicando i principi della meccanica newtoniana.

108


La descrizione dei corpi sotto l’azione di una forza gravitazionale è semplificato dal fatto chetutti questi moti sono piani (la prova è più avanti in questo capitolo). La Terra, nel suo motointorno al Sole, rimane sempre su di uno stesso piano e lo stesso dicasi per tutti gli altri analoghimoti. Ciò riduce la trattazione del moto di un corpo sotto l’azione di una forza gravitazionalead una descrizione del moto di un corpo in un piano. Solo due componenti saranno necessarie adescrivere il moto dell’asteroide sotto l’azione gravitazionale del Sole. Il Sole sarà rappresentato dauna circonferenza, avente un raggio R¯ ed una massa M¯ noti. L’asteroide, proveniente da moltolontano avrà una velocità iniziale v:

La direzione di AB rappresenta la direzione dell’asteroide non deflesso, quella di AC quelladell’asteroide deflesso e l’angolo tra le due direzioni è la deflessione. Tale deflessione è la veragrandezza fisica che caratterizza l’evento fisico che stiamo studiando, perché il rapporto tra arco eraggio di una circonferenza, ovvero l’angolo espresso in radianti, non dipende dalla circonferenzascelta.

Per piccoli angoli, il nostro triangolo è approssimabile con uno spicchio di circonferenza. Ilvalore dell’angolo, che per piccoli angoli si confonde con la tangente dell’angolo, si ottiene consemplici considerazioni trigonometriche:

tan θ =CB

AB(7)

Non ci rimane che mostrare come si possono calcolare i due segmenti al secondo membro della(7). Due altre assunzioni, serviranno a semplificare ulteriormente il problema. La prima assunzioneè che, non vi è alcuna forza nella direzione del moto. La forza di gravitazione universale prodottadal Sole sull’asteroide è, istante per istante, diretta lungo la congiungente l’asteroide ed il centrodel Sole. Decomponendo tale forza in due componenti, una lunga la direzione iniziale del moto(asse x) ed una ad essa ortogonale (asse y), l’unica componente efficace è nella direzione ortogonaleal moto (asse y). Abbiamo allora semplificato ulteriormente la descrizione del moto: lungo l’assex, l’asteroide si muoverà con velocità costante, mentre la forza di gravitazione universale agirà sololungo l’asse y. Il problema fisico da risolvere è allora ridotto alla determinazione di ciò che accadelungo l’asse ortogonale al moto dell’asteroide.

La forza di gravitazione universale è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tral’asteroide ed il centro del Sole (abbiamo applicato quella proprietà della forza gravitazionale, cheassicura che l’azione gravitazionale di un corpo sferico su di un punto materiale, esterno ad esso,

109

§3.4 Complementi

dipende dal quadrato dell’inverso della distanza del corpo dal centro del corpo sferico; in altreparole tutto procede come se tutta la massa del corpo sferico fosse concentrata nel suo centro). Colcrescere della distanza tra i due corpi, l’intensità della forza decresce rapidamente e possiamo as-sumere ragionevolmente che la forza gravitazionale prodotta dal Sole sull’asteroide sia efficace soloquando l’asteroide è nelle immediate vicinanze del Sole (la zona di influenza del Sole sull’asteroideè la regione tra le due rette parallele tratteggiate la cui dimensione lineare è L = 2R¯). Sebbenela distanza dell’asteroide, dal centro del Sole, all’interno della regione di efficacia della forza grav-itazionale, sia variabile assumeremo anche che una buona approssimazione potrebbe essere quelladi considerare praticamente costante, il valore di tale distanza.

In conclusione, la natura specifica della forza di gravitazione universale e le nostre ipotesisemplificatrici ci consentono di determinare sia la forza (costante!) che agisce lungo la direzioneortogonale alla direzione del moto dell’asteroide che la durata temporale dell’azione di tale forza:

Fy = GMM¯R2¯

∆t =2R¯v

(8)

Notiamo che la precedente analisi ha diviso lo spazio in tre zone fisicamente differenti. Unaprima, nella quale l’asteroide ed il Sole non interagiscono, una seconda, di dimensioni lineari 2R¯,nella quale l’asteroide sente l’azione del Sole (ma anche il viceversa!) ed una terza regione nellaquale l’asteroide ed il Sole tornano ad ignorarsi. Risulta anche evidente che la posizione e la velocitàdell’asteroide nella terza zona, dopo l’interazione, dipende fortemente da quello che è accaduto nellazona centrale. L’equazione fondamentale della meccanica classica, nel caso che stiamo analizzando,ovvero nel caso in cui la forza è diversa da zero solo nella direzione dell’asse y e lungo tale direzionel’intensità è anche costante, si scrive:

∆py = Fy∆t (9)

dove le quantità al secondo membro sono date dalla (8) e

∆py =Mf∆vy (10)

La sostituzione delle espressioni (8) nella (9) consente di scrivere:

∆py =2GMM¯R¯v

(11)

La deflessione dell’asteroide, per piccoli angoli di deflessione, quando la tangente di un angolopuò confondersi con l’angolo stesso, tan θ ∼= θ, si può scrivere

θ ∼= CB

AB=∆pyMv

=2GMM¯R¯v

1

Mv=2GM¯R¯v2

(12)

110


Conclusione: a parità di velocità iniziale la deflessione non dipende dalla massa della particelladeflessa. In presenza della sola forza di gravitazione universale, tutti i corpi, ”cadono”, ovverovengono deflessi nello stesso modo. Abbiamo trovato una generalizzazione dell’esperimento dicaduta libera di Galileo.

3.4.3 Deflessione di particella carica

Consideriamo ora una particella di massaM1 e carica elettrica q1 che si muove con velocità v1 versouna particella di massa M2 e carica elettrica q2, supposta inizialmente in quiete.

Assumeremo che tra le due particelle si esercita, istante per istante, solo la forza coulombianarepulsiva

F (t) =q1q2r2 (t)

ur (t) (13)

dove r è la distanza relativa tra le due particelle ed ur è il versore di r, orientato dalla particella2 alla particella 1 (l’origine del sistema di riferimento è sulla particella 2).

Ci proponiamo di calcolare l’angolo di deflessione, rispetto alla direzione incidente, della parti-cella 1, sotto l’influenza della forza (13), prodotta dalla particella 2. Faremo le seguenti assunzioni:

a)- La particella 2 è solo il centro della forza, non partecipa alla collisione direttamente, percui durante tutto il processo rimane immobile (ipotesi di massa infinita del centro diffusore); inaltre parole ci siamo ricondotti alla descrizione del moto di una sola particella (si veda in seguito ilproblema dei due corpi per capire meglio l’approssimazione usata qui).

b)- La forza esercitata dalla particella 2 sulla 1 può trasferire momento solo nella direzioneortogonale al moto, cioè la traiettoria della particella 1 è essenzialmente una retta (la componentedella velocità della particella 1 non muta lungo questa direzione).

Il processo è descritto in Figura

Utilizzando la seconda ipotesi, scriviamo l’equazione fondamentale, come ∆p = ∆pxux e quindi

111

§3.4 Complementi

∆px =

Z +∞

−∞Fx (t) dt (14)

Adesso procederemo come nel caso della deflessione dell’asteroide da parte del Sole. Assumiamoche la forza agente sulla particella 1 agisca solo nel tratto AB = 2b

e sia una costante pari a F = q1q2/b2 , allora

∆px = F

Z tB

tA

dt = Fτ c (15)

dove, il tempo durante il quale agisce la forza costante,

τ c =2b

vi(16)

Sostituendo, si ottiene

∆px ≡ 2q1q2vi

1

b(17)

La deflessione θ , che è l’angolo tra la direzione finale della particella deflessa indicata dallavelocità finale, vf e la direzione della particella incidente, può scriversi:

tan θ =∆v

vi=∆p

M1

1

vi' ∆px

M1

1

vi

Per piccoli angoli quest’ultima relazione si riduce

θ ≡ dBb

(18)

112


dove

dB =2q1q2M1v2i

(19)

è stato chiamato da Niels Bohr diametro collisionale.

3.4.4 Esempi di deflessioni

Esempio 1: Deflessione in presenza di un parete liscia infinita

Una parete liscia è un corpo di massa infinita che esercita sulla particella che collide con essauna forza ortogonale alla propria superficie.

Assumeremo inoltre che nel processo di collisione il modulo della velocità non cambia il suovalore. Più avanti impareremo che questo implica che ci si sta riferendo ad un urto elastico. Sial’asse z diretto nella direzione ortogonale alla superficie. La (15) si scrive:

p0z − pz =

Z t2

t1

Fz (t) dt (1)

p0x − px = 0 p0y − py = 0 (2)

dove l’apice indica le quantità dopo che la particella ha urtato la parete. Dalle (2) deduciamoche

p0x2 = p2x p0y

2 = p2y (3)

Avendo richiesto la conservazione del modulo della velocità della particella, nel processo di urtocon la parete, possiamo scrivere

p2x + p2y + p2z = p0x2 + p0y

2 + p0z2 (4)

Facendo uso della (3) deriviamo

113

§3.4 Complementi

p0z = ±pz (5)

Poiché la particella incidente non può attraversare la parete, deve essere in generale p0z 6= pz, ela scelta fisica del segno nella (5) è

p0z = −pz (6)

Si può facilmente mostrare che le (32) e (36) ci dicono che una particella, in seguito ad un urtocon una parete liscia, viene riflessa dalla parete secondo le stesse leggi di riflessione Cartesiane dellaluce: l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione.

Esempio2: Deflessione da una sfera liscia: legame tra parametro d’urto ed angolo di deflessione

Il movimento di una particella in presenza di una sfera liscia di raggio finito presenta unacaratteristica molto interessante, rispetto alla parete liscia infinita: la particella, (ricordiamo cheè senza dimensioni) può o non può incontrare la sfera nel suo moto (se l’incontra il suo urto conla sfera seguirà le leggi della riflessione cartesiana). Per tener conto di questa possibilità, convieneanche quì introdurre una quantità (parametro d’urto) b, che ci dica quando l’urto avviene. Secon b, indichiamo la distanza tra la direzione iniziale della velocità della particella e la parallelapassante per il centro della sfera, possiamo dire che la particella urterà la sfera se b ≤ R0, dove R0è il raggio della sfera. (il problema di capire come la probabilità sia legata all’ urto lo discuteremonel prossimo paragrafo) e cerchiamo la relazione tra il parametro d’urto e l’angolo di deflessione θ.Con semplici considerazioni geometriche avremo:

b = R0 sinα (1)

Poiché 2α+ θ = π, la relazione tra l’angolo di incidenza (o riflessione) e l’angolo di deflessione,sarà:

α =π − θ

2(2)

114


Ricordando che

sin (δ ± β) = sin δ cosβ ± cos δ sinβ (3)

otteniamo

sinα = sin

µπ

2− θ

2

¶= cos

θ

2(4)

In definitiva, la relazione cercata tra parametro d’urto ed angolo di deflessione sarà:

cosθ

2=

b

R0(5)

3.4.5 Sulla deflessione delle particelle cariche: trattamento rigoroso

Ora riconsidereremo la deflessione di particelle cariche.

Riconsideriamo la relazione (14):

∆px =

Z +∞

−∞Fx (t) dt (14)

che riscriviamo

∆px =

Z +∞

−∞q1q2r2 (t)

cosα (t) dt (1)

dove l’angolo α è mostrato nella figura. Poiché la velocità incidente è costante lungo l’asse y,possiamo introdurre la nuova variabile y = v1t ed utilizzando le relazioni

r2 (t) = b2 + y2 cosα =bp

b2 + y2(2)

(b è il parametro d’urto), possiamo scrivere la (1) come segue

∆px =2

v

Z ∞

0

q1q2b2 + y2

bpb2 + y2

dy

115

§3.4 Complementi

Introducendo la variabile ξ = y/b, otteniamo

∆px =2q1q2vb

Z ∞

0

dξ¡1 + ξ2

¢3/2L’integrale al secondo membro vale 1 e si ottiene

∆px ≡ 2q1q2v

1

b(3)

La deflessione θ , che è l’angolo tra la direzione finale della particella deflessa indicata dallavelocità finale, vf e la direzione della particella incidente, può scriversi:

tan θ =∆v

v=∆p

M1

1

v' ∆px

M1

1

v

Per piccoli angoli quest’ultima relazione si riduce

θ ≡ dBb

(4)

dove

dB =2q1q2M1v2

(5)

è stato chiamato da Niels Bohr diametro collisionale. Abbiamo allora derivato il legame tradeflessione e parametro d’urto. É evidente che tale risultato è stato trovato senza conoscere latraiettoria della particella.

116

Capitolo 4

Energia e lavoro

La dinamica newtoniana descritta nei precedenti capitoli, permette di risolvere tutti i quesiti relativial moto del punto materiale una volta note le forze in gioco. In questo capitolo, parleremo deiconcetti di energia e lavoro. Esistono varie forme di energia. Lo scopo di questo capitolo è quellodi definire le due forme di energia meccanica, quella cinetica e quella potenziale, e di introdurre ilconcetto di lavoro, che è il concetto che consente di confrontare tra loro le varie forme di energia.In generale, noi diremo che un corpo (e più in generale un sistema fisico) possiede una quantità dienergia se esso è capace di compiere un certo lavoro.

4.1 L’energia meccanica

Ora introdurremo le due forme di energia che si incontrano nello studio della meccanica.

4.1.1 L’energia cinetica

Se un punto materiale di massaM è in movimento esso possiede una certa velocità. Noi assumeremoche il punto materiale possiederà una energia, detta cinetica, la cui espressione è

E = 1

2Mv2 (1)

Poiché la massa di un corpo è sempre positiva, dobbiamo concludere che l’energia cinetica possedutadai corpi in movimento è una quantità sempre positiva.

117

§4.1 L’energia meccanica

4.1.2 L’energia potenziale gravitazionale

Un punto materiale di massa M che si trova in prossimità della Terra è sottoposto alla sua azionegravitazionale. Noi assumeremo che un punto materiale, che si trova in prossimità della Terra ed èfermo ad una altezza h dal suolo, possiede una energia, detta energia potenziale gravitazionale, lacui espressione è

Up =Mgh (2)

Questo vuol dire un punto materiale che si trova sulla superficie della Terra, ovvero è poggiato alsuolo ed è fermo, possiede una energia potenziale gravitazionale il cui valore è zero

Up = 0 (3)

Infine, se un punto materiale si trova ad una profondità h, rispetto alla superficie terrestre, essopossiede una energia potenziale gravitazionale negativa,

Up = −Mgh (4)

Possiamo allora dire che l’energia potenziale gravitazionale, posseduta da un qualunque puntomateriale, in posizione di riposo in un qualunque punto dello spazio in prossimità della Terra, puòessere positiva, negativa o nulla.

Le due forme di energia appena introdotte sono di natura totalmente differente. La prima, quellacinetica, dipende dal movimento del punto materiale (in assenza di movimento un punto materialenon possiede energia cinetica), la seconda, quella potenziale gravitazionale, dipende dalla presenzadella Terra. Un punto materiale, in assenza della Terra, non possiederà alcuna energia potenzialegravitazionale. Osserviamo che, in base all’espressione (2) dell’energia potenziale gravitazionale,un punto materiale fermo a distanza infinita dalla Terra dovrebbe possedere una energia potenzialeinfinita. Questa conclusione è errata, perché la (2) vale solo per i corpi che sono, fermi, in prossimitàdella Terra. La distanza infinita non esiste per i corpi prossimi alla Terra. Possiamo dire che la

118

4 Energia e lavoro

forma di energia potenziale gravitazionale, data dalla (2) è valida in tutti i punti in cui si verificache la legge di gravitazione universale si può approssimare con la forza peso.

L’unità di misura di una qualunque forma di energia è, nel Sistema Internazionale, il Joule (J).Le dimensioni dell’energia, che si possono dedurre direttamente dalle due espressioni delle energie,sono: £

ML2¤

[T 2]

4.2 Il concetto di lavoro

Riconsideriamo la caduta libera:

Abbiamo visto che un punto materiale, lasciato libero di cadere da un’altezza h arriva al suolocon una velocità

v = −p2gh

Il segno meno è legato al fatto che la direzione della velocità di arrivo al suolo è in direzione oppostaalla direzione positiva dell’asse y. Riesaminiamo quello che è accaduto al punto materiale. Il puntomateriale era inizialmente fermo all’altezza h dal suolo. In base alla nostra definizione di energiapotenziale gravitazionale esso possedeva nella sua posizione iniziale una energia potenziale, il cuivalore era

U =Mgh

Quando arriva al suolo, sempre in base alla nostra definizone di energia potenziale gravitazionalepossiede energia potenziale nulla. Tuttavia, il punto materiale quando arriva al suolo possiede unavelocità, v = −√2gh e quindi, in base alla nostra definizione di energia cinetica, esso possiede unaenergia cinetica il cui valore sarà

E = 1

2Mv2 =

1

2M

³−

p2gh

´2=Mgh

119

§4.2 Il concetto di lavoro

Il valore dell’energia cinetica che il corpo possiede quando arriva al suolo è uguale all’energiapotenziale che il corpo possedeva, quando era fermo all’altezza h dal suolo. Possiamo dire che”qualcuno” ha trasformato la sua energia potenziale iniziale in energia cinetica, quando arriva alsuolo. Ma noi sappiamo che l’unica azione esercitata sul punto materiale è quella gravitazionaledella Terra, mediante la forza peso

Fp =Mg

Possiamo allora dire che la forza peso ha trasformato l’energia potenziale che possedeva il puntomateriale, quando era fermo all’altezza h in energia cinetica quando il punto materiale è arrivato alsuolo. Notiamo, che durante la sua discesa il punto materiale ha subito uno spostamento h, nelladirezione della forza peso e che se moltiplichiamo la forza peso per lo spostamento subito troviamo

Fph =Mgh

Il prodotto della forza per lo spostamento che ha subito il punto materiale è esattamente ugualeall’energia posseduta dal corpo. Questa coincidenza suggerisce che il prodotto forza per sposta-mento è un concetto, diverso dal concetto di energia che abbiamo prima definito, ma che contienel’informazione sia su chi (la forza!) ha effettuato la trasformazione dell’energia sia sulla traiettoria(lo spostamento!). Conviene comunque sottolineare che la forza peso è costante, lungo tutta latraiettoria della caduta, in mudulo direzione e verso.

Possiamo ripetere l’esperimento all’incontrario. Prendiamo un cannone, la cui bocca è all’altezzadel suolo terrestre e spariamo un punto materiale, lungo la direzione verticale. Quando il puntomateriale parte, avrà una certa velocità iniziale e quindi possiederà una energia cinetica. Essoprosegue la sua salita fino ad un’altezza h, dove si ferma, prima di ricadere al suolo. Anchein questo caso si può mostrare che, l’altezza cui giunge il proiettile è tale che il valore dell’energiapotenziale gravitazionale, quando è fermo, è esattamente uguale all’energia cinetica che il proiettilepossedeva, al suolo, quando è stato sparato. Possiamo dire che l’energia cinetica posseduta dal puntomateriale è stata trasformata in energia potenziale dello stesso. Poiché, ancora una volta, la solaazione esecitata sul proiettile, durante la sua salita, è l’azione gravitazionale della Terra, mediantela forza peso, dobbiamo concludere che, anche in questo caso, la trasformazione dell’energia èstata fatta dall’azione della Terra. In realtà, se osserviamo bene questo secondo caso, durantela salita del proiettile, la forza peso tenta di ostacolare il moto del punto materiale. In altreparole, la forza peso è opposta, in ogni istante, allo spostamento che subisce il punto materiale. Lospostamento avviene contro l’azione della forza peso. Ancora una volta se si fa il prodotto dellaforza peso per lo spostamento si ottiene il valore dell’energia che si ha a disposizione e che puòessere trasformata. Tuttavia, abbiamo visto che la discesa e la salita sono defferenti. Nella discesa,la forza e lo spostamento sono paralleli, mentre nella salita sono antiparalleli. Poiché sia la forzache lo spostamento sono dei vettori il loro verso dovrà avere un significato fisico.

Converremo di considerare il prodotto forza per spostamento positivo se i due vettori sonoparalleli e negativo nel caso in cui siano antiparalleli.

120

4 Energia e lavoro

Consideriamo un terzo esperimento.

Esaminiamo il moto di un punto materiale che si muove su di una circonferenza di moto circolareuniforme. Questo potrebbe essere il moto di un punto materiale legato ad un filo e poggiato su di unpiano orizzontale, privo di attrito. Se l’altezza del piano è h, in un qualunque punto della traiettoriail punto materiale avrà sempre la stessa energia potenziale. Poiché, il punto materiale si muovedi moto circolare uniforme, la sua velocità in modulo è costante e quindi anche l’energia cineticache possiede il punto materiale rimane costante nel tempo. Esaminiamo le forze che agiscono sulpunto materiale. Esiste la forza peso, la reazione del tavolo e la tensione del filo. La forza pesoe la reazione vincolare sono uguali e di segno contrario. Se si moltiplicassero per lo spostamentoche subisce il punto materiale darebbero contributi opposti e quindi per le nostre considerazioni lepossiamo omettere. Rimane la tensione del filo. Essa è diretta verso il centro della circonferenza(ha la stessa direzione e verso dell’accelerazione centripeta), mentre lo spostamento, per tempiinfinitesimi, avendo la direzione della velocità, risulta, istante per istante ortogonale alla tensioneesercitata dal filo sul punto materiale. A cosa sarà uguale, in questo caso il prodotto della forza perlo spostamento? Noi abbiamo introdotto, il concetto di prodotto della forza per lo spostamento permisurare le trasformazioni di energia. Ma in questo caso, le due forme di energia non si trasformanol’una nell’altra, perché ambedue rimangono costanti. Se vogliamo continuare ad indagare il concettodi forza per spostamento dobbiamo assumere che nel caso in cui, la forza (che è costante!) risultaortogonale allo spostamento, il prodotto forza per spostamento deve assumersi nullo.

Possiamo concludere le nostre considerazioni dicendo che, le energie possono esseretrasformate le une nelle altre dall’azione di qualche forza e che nel concetto di prodotto di forzaper spostamento ci deve essere l’informazione con cui avviene questa trasformazione. Siamo prontiper analizzare in una forza generale il concetto di ”forza per spostamento”.

Un punto materiale, soggetto all’azione di una forza F , in generale, si sposta da una posizioneiniziale A ad una posizione finale B. Ci proponiamo di introdurre, lavoro meccanico (o semplice-mente lavoro) fatto dalla forza F per spostare il punto materiale dalla posizione A a B. Indicheremotale lavoro con LF (A→ B). Il pedice F specifica il tipo di forza che compie il lavoro. Per esempio,LFp (A→ B) indicherà il lavoro fatto dalla forza peso.Il lavoro è una quantità scalare. Il soggetto

121


che compie un lavoro meccanico (o semplicemente lavoro) è sempre almeno una forza. Le forzeagendo sui corpi ne producono il movimento. Il lavoro fatto da una forza su di un punto materialedipende sia dalla forza che dalla traiettoria del punto materiale.

4.2.1 Il lavoro di una forza costante

Esamineremo il significato del lavoro nel caso di una forza costante, in modulo direzione e verso edi una traiettoria rettilinea del punto materiale. Si possono presentare diversi casi:

i) La forza agisce nella stessa direzione e verso del moto;

Assumeremo che il lavoro fatto dalla forza per portare il punto dalla posizione A alla po-sizione B, che indicheremo con LF (A→ B), sia uguale al prodotto dell’intensità della forza per lospostamento, d = AB , subito dal punto materiale

LF (A→ B) = Fd

Il lavoro è uno scalare ed in questo caso è positivo.

ii) La forza agisce nella stessa direzione ma nel verso opposto al moto;

Il lavoro fatto dalla forza per portare il punto materiale dalla posizione A alla posizione B èuguale a meno il prodotto dell’intensità della forza per lo spostamento subito dal punto materiale

LF (A→ B) = −Fd

Il lavoro è sempre uno scalare, ma ora il suo valore è negativo

iii) La forza agisce nella direzione ortogonale alla direzione di moto

Il lavoro fatto dalla forza per portare il punto materiale dalla posizione A alla posizione B ènullo

LF (A→ B) = 0

Il lavoro è sempre uno scalare, ma può anche valere zero.

iv) La forza ha una direzione arbitraria rispetto alla direzione del moto

122

4 Energia e lavoro

Possiamo decomporre la forza F in una componente F1, parallela alla direzione del moto, eduna F2, ortogonale alla stessa direzione. Poiché la componente F2 contribuisce con un valorenullo, possiamo scrivere che il lavoro fatto dalla forza F per portare il corpo dalla posizione A

alla posizione B è uguale all’intensità della componente della forza F1 ,parallela al moto, per lospostamento subito dal punto materiale

LF1 (A→ B) = F1d

I precedenti risultati si possono sintetizzare dicendo che il lavoro fatto dalla forza costante (inmodulo, direzione e verso) F per portare il punto materiale dalla posizione A alla posizione B èuguale al prodotto scalare della forza per lo spostamento subito dal punto materiale:

LF = F ·∆r (5)

4.2.2 Complementi: Il lavoro di una forza variabile, ma solo in intensità

Consideriamo il caso di una forza F (x) ,diretta lungo l’asse positivo delle x ed agente su un puntomateriale che si muove lungo l’asse x, nella stessa direzione della forza. Abbiamo già trattato ilcaso in cui la forza è costante, ma ora supporremo che la forza non sia più costante. Un modoapprossimato per calcolare il lavoro è il seguente.

Per calcolare approssivativamente il lavoro possiamo procedere nel modo seguente. Dividiamol’intervallo [xi, xf ] in un certo numero n di parti uguali:

xi = x0 < x1 < x2 < .... < xn−1 < xn = xf (a)

e sia h l’ampiezza comune di questi intervalli:

h =xf − xi

n(b)

L’approssimazione che ora faremo è la seguente: In ogni intervallo spaziale considerato la forzasi mantiene costante. Più precisamente, supporremo che nell’intervallo [x0, x1] la forza sia costanteed uguale al valore che essa ha nel punto x0, cioé a F (x0); che nell’intervallo [x1, x2] la forza siacostante ed uguale al valore che essa ha nel punto x1, cioé a F (x1); che nell’intervallo [x2, x3] laforza sia costante ed uguale al valore che essa ha nel punto x2, cioé a F (x2) e così via. Con le

123


nostre assunzioni, possiamo affermare che il lavoro compiuto dalla forza sul punto materiale, perportarlo dalla posizione in iziale xi alla posizione finale xf sarà:

F (x0)h+ F (x1)h+ F (x2)h+ ...+ F (xn−1)h (c)

e questo valore sarà tanto più prossimo al valore reale del lavoro compiuta dalla forza quantopiù numerosi saranno gli intervalli parziali in cui abbiamo diviso tutto l’intervallo xf − xi. Si diceche la misura reale del lavoro compiuto dalla forza sul punto materiale è il limite per n→∞ dellasomma (c) e si scrive:

LF (xi → xf ) =

Z xf

xi

F (x) dx (d)

4.2.3 Il lavoro: definizione generale

Se la forza è arbitraria, il lavoro che una forza compie, per spostare un punto materiale dauna posizione iniziale A ad una posizione finale B, è definito dalla seguente relazione (vedi icomplementi):

LF (A→ B) =

Z B

AF · dr (6)

dove dr è lo spostamento infinitesimo, che ricordiamo ha, in ogni punto della traiettoria, la direzionedella tangente alla traiettoria, cioé della velocità. L’integrando, al primo membro, cioé F · dr,definisce il lavoro infinitesimo fatto dalla forza F per spostare un punto materiale di un trattoinfinitesimo dr,

dLF = F · dr (7)

Si dice che il lavoro infinitesimo fatto da una forza F per spostare un punto materiale di un trattoinfinitesimo dr è il prodotto scalare tra il vettore forza F ed il vettore spostamento infinitesimo dre si intende

F · dr = Fdr cos θ (8)

dove θ è l’angolo compreso tra la forza e lo spostamento infinitesimo.Rappresentazione cartesiana del lavoro: Il lavoro infinitesimo dLF fatto dalla forza F per

spostare di un tratto infinitesimo dr un punto materiale è per definizione data dal prodotto scalaredi F e dr:

dLF = F · dr

124

4 Energia e lavoro

Se si esprimono, sia la forza che lo spostamanento in termini delle rispettive componenticartesiane:

F = Fxux + Fyuy + Fzuz dr = dxux + dyuy + dzuz

possiamo anche scrivere

dLF = Fxdx+ Fydy + Fzdz (9)

Il secondo membro di tale relazione è la rappresentazione cartesiana del lavoro infinitesimo.

L’espressione del lavoro di una forza LF (A → B) ha alcune proprietà che sono piuttosto utiliper il suo calcolo.

i) Il lavoro fatto dalla forza F (x) per spostare un punto materiale dalla posizione xA allaposizione xB è uguale, ma di segno opposto al lavoro fatto dalla stessa forza per spostare il puntomateriale dalla posizione xB alla posizione xA e scriveremo

LF (A→ B) = −LF (B → A) (10)

ii) Se xC indica una qualunque altra posizione del punto materiale, oltre a xA e xB, allora illavoro fatto dalla forza F (x) per spostare il punto materiale dalla posizione xA alla posizione xB èuguale alla somma del lavoro fatto dalla stessa forza per spostare il punto da xA a xC e poi da xCa xB :

LF (A→ B) = LF (A→ C) + LF (C → B) (11)

4.3 Teorema dell’energia cinetica

Un corpo di massa M, che al tempo t, ha una velocità v possiede, come abbiamo detto, una energiacinetica, E data da

E = 1

2Mv2 (12)

Mostriamo che quando una forza compie un lavoro su di un punto materiale tale lavoro pro-duce sempre, se è positivo, un aumento dell’energia cinetica del corpo, mentre, se è negativo, unadiminuzione della stessa. Limitiamoci al caso in cui la forza agente sia costante e la traiettoria delpunto materiale sia rettilinea.

125

§4.3 Teorema dell’energia cinetica

Possiamo scrivere

LF (A→ B) = F ·∆rdove ∆r = rB − rA. Poiché, Ma = F e ∆r = v∆t, possiamo scrivere

LF (A→ B) =Ma · v∆t =Mv · a∆t =Mv ·∆vdove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la relazione ∆v = a∆t. Mostriamo che

v ·∆v = 1

2∆ (v · v)

Infatti, avremo

∆ (v · v) = ∆v · v + v ·∆v = 2v ·∆vIl lavoro potrà essere riscritto come segue

LF (A→ B) =M

2∆ (v · v) = M

2∆

¡v2

¢= ∆

µM

2v2

¶In definitiva, possiamo scrivere

LF (A→ B) =1

2Mv2B −

1

2Mv2A (13)

Questo risultato, dimostrato da noi in un caso particolare, è vero in generale (vedi dopo i Comple-menti). Possiamo concludere dicendo che il lavoro fatto da una forza su di un punto materiale èsempre uguale alla variazione dell’energia cinetica del punto materiale.

Questo risultato è noto come ”teorema dell’energia cinetica” o ”teorema delle forze vive”. Laforza viva è la quantitàMv2, e fu definita da Leibnitz, che fondò la sua meccanica su tale quantità.

Le dimensioni del lavoro sono le stesse dell’energia

126

4 Energia e lavoro

E =£ML2

¤[T 2]

ed anche l’unità di misura del lavoro, nel S.I. è il Joule (indicata con J). Come abbiamo giàdetto nel precedente capitolo, le dimensioni dell’energia sono uguali a quelle del momento di unaforza, ma ora è chiaro che il significato fisico delle due quantità è differente.

4.4 L’energia potenziale

Abbiamo introdotto l’energia potenziale gravitazionale posseduta da un punto materiale, come unaforma di energia legata alla posizione che il punto materiale occupava, nelle vicinanze della Terra.Questa proprietà dello spazio intorno alla Terra, ovvero della forza peso, che consente di assegnaread un punto materiale una energia posizionale è posseduta anche da altre forze.

4.5 L’energia potenziale elastica

Un punto materiale legato ad una molla che oscilla, senza attrito su di un piano orizzontale, èsoggetto ad una forza elastica. Se x è lo spostamento che il punto materiale ha subito, rispetto allaposizione di riposo,

la forza cui è soggetto il punto materiale legato alla molla è

Fe (x) = −kxAl punto materiale posto nella posizione xA noi assegneremo una energia potenziale elastica,Ue(xA):

Ue(xA) = 1

2kx2A (14)

La funzione energia potenziale elastica è una parabola con il vertice coincidente con il centro degliassi:

127

§4.5 L’energia potenziale elastica

Punti equidistanti dalla posizione di riposo della molla hanno la stessa energia potenziale.

4.5.1 Il lavoro della forza peso

Su di un punto materiale in caduta libera si esercita la forza peso Fp =Mg. Sia xA la coordinatadel punto materiale quando viene lasciato libero di cadere ed xB la coordinata di una posizioneoccupata successivamente dal punto materiale (l’origine del sistema di riferimento è posto sullasuperficie della Terra, ovvero sul suo suolo):

Il lavoro fatto dalla forza peso per portare il punto materiale dalla posizione A alla posizioneB, sarà

LFp (A→ B) = −Mg (xB − xA) =Mg (xA − xB) (15)

Se la posizione B, coincide con la superficie della Terra, che per nostra scelta, è l’origine delsistema di riferimento, il lavoro si scriverà

LFp (A→ B) =MgxA (16)

128

4 Energia e lavoro

4.5.2 Il lavoro della forza elastica

Ci proponiamo di calcolare il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il punto materiale dauna posizione xA ad una posizione xB.

Il lavoro sarà

LFe (A→ B) =

Z xB

xA

−kxdx = 1

2kx2A −

1

2kx2B (17)

Se la posizione finale B, coincide con la posizione di riposo della molla, avendo scelto comeorigine degli assi proprio la posizione di riposo della molla, xB = 0 e la precedente espressionediventa

LFe (A→ B) =1

2kx2A (18)

4.5.3 Espressioni di energia potenziale

Esaminiamo più da vicino i risultati del calcolo del lavoro, nel caso della forza peso e della forzaelastica.

Caso della forza peso: Nel calcolo del lavoro fatto dalla forza peso, nella caduta libera,abbiamo trovato

LFp (A→ B) =Mg (xA − xB)

dove M è la massa del punto materiale, g l’accelerazione di gravità ed xA ed xB, le altezzerispetto al suolo dei punti A e B. Usando la funzione, Up (x), (l’energia potenziale gravitazionale),

Up (x) =Mgx (19)

potremo scrivere il lavoro fatto dalla forza peso, per spostare un punto materiale dalla posizioneA alla posizione B, come

129

§4.5 L’energia potenziale elastica

LFp (A→ B) = Up (xA)− Up (xB) = −∆Up (x) (20)

Caso della forza elastica: Un punto materiale, legato ad una molla, che oscilla senza attritosu di un piano orizzontale, è soggetto ad una forza elastica. Il lavoro fatto dalla forza elastica,abbiamo mostrato che si scrive

LFe (A→ B) =1

2kx2A −

1

2kx2B

dove k è la costante elastica ed xA e xB sono le distanze, dalla posizione di riposo della molla,cui è legato il punto materiale, dei punti A e B. Usando la funzione Ue (x), (l’energia potenzialeelastica),

Ue (x) = 1

2kx2 (21)

il lavoro fatto dalla forza elastica, per spostare un punto materiale dalla posizione A allaposizione B, sarà uguale alla variazione dell’energia potenziale, cambiata di segno:

LFe (A→ B) = Ue (xA)− Ue (xB) = −∆Ue (x) (22)

Le forze per le quali si può definire una energia potenziale sono dette forze conservative.Conclusione: Il lavovo fatto da una forza conservativa, per spostare un punto materiale da

una posizione iniziale ad finale è uguale alla variazione dell’energia potenziale, cambiata di segno.L’energia potenziale è una energia di posizione ovvero il valore di tale energia dipende dalla

posizione che il punto materiale, soggetto alla forza conservativa, occupa nello spazio, rispetto aduna posizione di riferimento. Notiamo inoltre, che nel caso di forze conservative, il lavoro dipendesolo dalla posizione iniziale e finale del corpo. In altre parole, non è specificata alcuna traiettoria,quindi il lavoro è indipendente dalla traiettoria che il corpo descrive. Questo è un risultato notevoleed in qual modo sorprendente, perché sia la definizione di lavoro che lo stesso teorema dell’energiacinetica (nel teorema dell’energia cinetica compare solo l’energia cinetica finale e quella iniziale,ma per conoscere il valore effettivo della velocità del corpo nel punto finale occorre conoscere latraiettoria ) facevano supporre che il lavoro dovesse dipendere sempre dalla particolare traiettoria.Questa indipendenza dalla traiettoria si evince in maniera ancora più evidente se si considera unatraiettoria chiusa, ma arbitraria e si considera il lavoro di una forza conservativa. Dalle (20) e (22)si trova che se A = B, il punto materiale parte da A e ritorna in A, lungo una qualunque traiettoria,si avrà:

LF (A→ A) = 0

Il lavoro di una forza conservativa, lungo una traiettoria chiusa, è nullo.

130

4 Energia e lavoro

4.6 La conservazione dell’energia meccanica

Il lavoro fatto da una forza su di un punto materiale produce, di norma, un aumento oppure unadiminuzione della sua energia cinetica (teorema dell’energia cinetica). Ora impareremo che, peralcune forze, un aumento (una diminuzione) dell’energia cinetica avviene perché un’altra forma dienergia associabile alla posizione che occupa un punto materiale, è diminuita (aumentata).

Abbiamo visto che, nel caso di forze conservative, è possibile associare alla posizione che unpunto materiale occupa nello spazio una energia potenziale. Ora vogliamo mostrare qualcosa di piùpreciso. La parte di energia cinetica che viene persa (guadagnata) viene esattamente trasformatain un aumento (diminuzione) di energia potenziale dello stesso punto materiale. In altre parole,durante l’azione di una forza corservativa, la somma dell’energia cinetica e potenziale di un puntomateriale, si mantiene costante nel tempo, lungo tutta la traiettoria percorsa dal punto materiale.La prova di un tale risultato è semplice.

Il lavoro fatto da una qualunque forza F per spostare un punto materiale da una posizione Aad una posizione B è sempre uguale alla variazione di energia cinetica subita dal punto materiale(teorema dell’energia cinetica):

LF (A→ B) =1

2Mv2B −

1

2Mv2A (23)

Nel caso di forze conservative, lo stesso lavoro può anche scriversi in termini di energia potenziale:

LF (A→ B) = U (xA)− U (xB) (24)

Essendo uguali i primi membri, della (23) e (24), saranno uguali anche i secondi membri:

1

2Mv2B −

1

2Mv2A = U (xA)− U (xB)

Separando i termini riferiti alla posizione A da quelli riferiti alla posizione B, avremo:

1

2Mv2A + U (xA) =

1

2Mv2B + U (xB) (25)

Come si vede, la somma dell’energia cinetica e potenziale nella posizione A è uguale alla sommadell’energia cinetica e potenziale nella posizione B. Poiché A e B sono arbitrari, possiamo con-cludere dicendo che, in presenza di sole forze conservative, il moto di un punto materiale si svolgein maniera tale che la somma dell’energia cinetica e potenziale si mantiene costante lungo tutta latraiettoria del punto materiale.

La somma dell’energia cinetica e potenziale viene chiamata energia meccanica e sarà indicatada noi con U :

U =1

2Mv2 + U (x) (26)

131

§4.6 La conservazione dell’energia meccanica

4.6.1 Esempi grafici

Ora mostreremo, in maniera grafica, come si trasforma l’energia lungo la traiettoria di un puntomateriale soggetto a forze conservative.

Esempio 1: caduta libera (in assenza di attriti): Nella posizione A, il corpo si suppone abbiasolo energia potenziale (è supposto inizialmente fermo); nei punti B e C il corpo possiede sia energiapotenziale che cinetica, mentre in D avrà solo energia cinetica (D è lo zero dell’energia potenziale)

Esempio 2: Il pendolo (in assenza di attriti); Nella posizione A, il corpo si suppone abbiasolo energia potenziale (è supposto inizialmente fermo); nel punto B il corpo possiede sia energiapotenziale che cinetica, mentre in C avrà solo energia cinetica (C è lo zero dell’energia potenziale)

4.6.2 L’energia meccanica elastica

Per la sua importanza, nel quadro generale della fisica, descriveremo in dettaglio l’energia potenzialeelastica. L’energia potenziale elastica, nel caso in cui si scelga di porre uguale a zero, l’energiapotenziale alla posizione di riposo della molla, si scrive

U (x) = 1

2kx2 (27)

dove k è la costante elastica della molla. Tale funzione è una parabola, con il vertice postonell’origine degli assi:

132

4 Energia e lavoro

Abbiamo mostrato che nella posizione di massima elongazione il corpo possiede solo energiapotenziale. Quindi, in tale posizione, il punto materiale ha una energia potenziale uguale all’energiatotale meccanica Per una qualunque altra posizione, xP la conservazione dell’energia meccanica, sipotrà scrivere,

Ep + U (xp) = U (xM) → 1

2Mv2p +

1

2kx2p =

1

2kx2M (28)

dove vp è la velocità che il punto materiale possiede alla distanza xp dalla posizione di riposo dellamolla. La precedente equazione ci dice che la somma dell’energia cinetica del punto materialein xp e dell’energia potenziale posseduta dallo stesso punto materiale nello stesso punto è ugualealla energia potenziale posseduta dal corpo quando esso è alla massima distanza dalla posizione diriposo della molla (a tale distanza il corpo è istantaneamente fermo). Possiamo riscrivere la (28)nel modo seguente:

Ep = U (xM)− U (xp) → 1

2Mv2p =

1

2kx2M −

1

2kx2p (29)

Allora la differenza tra il valore dell’energia potenziale alla massima distanza ed il valore dell’energiapotenziale in xP rappresenta il valore dell’energia cinetica Ep , posseduta del punto materiale nellostesso punto. Nell’origine del sistema di assi il valore dell’energia cinetica è al massimo ed uguagliail valore dell’energia totale.

4.7 L’energia potenziale è definita a meno di una costante

Abbiamo definito l’ energia potenziale gravitazionale ed elastiche nel modo seguente

U (h) =Mgh U (x) = 1

2kx2 (30)

133

§4.7 L’energia potenziale è definita a meno di una costante

Vogliamo ora stabilire se questa definizione è unica e se essa sia corretta. Questa verifica puòessere fatta se ci chiediamo cosa si può realmente misurare, quando si parla di energia cinetica.Fissiamo la nostra attenzione sulla energia potenziale gravitazionale. Noi abbiamo assegnato adogni punto posto ad un’altezza h dal suolo, un ben preciso valore, come se questo valore fosse l’unicopossibile. Supponiamo di assegnare allo stesso corpo, nello stesso punto, una energia potenziale:

U (h) =Mgh+ C (31)

dove C è una costante arbitraria. Nella precedente definizione la costante è stata posta ugualea zero. Come facciamo a verificare quale delle due definizioni è quella corretta? L’unico modo perfarlo è quello di usare la definizione di lavoro ed applicarla alla forza peso. Abbiamo mostrato che,qualunque sia la forza conservativa, se con U si indica la funzione energia potenziale associata allaforza conservativa, allora deve accadere che

LF (A→ B) = U (xA)− U (xB)Se usiamo la prima forma di energia potenziale troviamo

LFp (A→ B) =MghA −MghB

Se usiamo la seconda forma, troviamo

LFp (A→ B) = (MghA −C)− (MghB − C) =MghA −MghB

Le due forme danno lo stesso risultato e quindi possono essere entrambe usate, perché ciò che puòessere misurato, e quindi definito, è solo la variazione di energia potenziale tra A e B.

Notiamo che le due differenti forme si differenziano per il valore che assegnano all’energia poten-ziale nel punto h = 0. La prima assegna il valore zero a tale punto, mentre la seconda il valoreC. Possiamo dire che, il valore dell’energia potenziale in ogni punto, dipende sia dalla scelta del-la posizione di riferimento (un punto sulla superficie della Terra,cioè h=0) e sia dal valore sceltoper l’energia potenziale nella posizione di riferimento. Queste arbitrarietà non compromettono ilvalore dell’unica quantità che si può misurare, ovvero la variazione di energia potenziale tra ledue posizioni, A e B, dello spazio, perché, la differenza di energia potenziale tra due punti nondipende né dalla scelta della posizione di riferimento e né dal valore scelto per l’energia potenzialenella posizione di riferimento. Allora, l’arbitrarietà nelle due assunzioni può essere vista come unaopportunità che ci viene concessa dalle proprietà dell’energia potenziale per semplificarne il suocalcolo.

In maniera analoga, quando si scrive che l’energia potenziale elastica si scrive

U (x) = 1

2kx2

si è assunto come posizione di riferimento la posizione di riposo della molla e si è anche assuntoche in tale posizione il valore dell’energia potenziale debba valere zero.

134

4 Energia e lavoro

4.8 In generale il lavoro dipende dal percorso

Un corpo che si muove, in prossimità della Terra, è sottoposto anche alla resistenza della aria. Taleforza, come abbiamo già visto è proporzionale alla velocità del corpo in movimento ed essendo unaforza di attrito si oppone al moto. L’espressione di tale forza è del tipo

Fγ = −γv (32)

dove γ è una costante. Consideriamo il lavoro infinitesimo fatto da questa forza di attritoquando un punto materiale si sposta di un tratto infinitesimo dr. Avremo,

Fγ · dr = −γv · dr = −γv · vdtovvero

LFγ (A→ B) = −γZ tB

tA

v2 (t) dt (33)

Per calcolare esplicitamente il lavoro abbiamo bisogno di sapere il valore della velocità nel corsodel tempo, ovvero abbiamo bisogno di conoscere la traiettoria. Se cambia la traiettoria cambiaanche il valore del lavoro. Questo risultato serve a ricordare che, in generale, il lavoro dipendedalla traiettoria che il punto materiale percorre e solo nel caso delle forze conservative ne risultaindipendente.

4.9 Il concetto di potenza

Un modo per valutare l’intensità di una forza rispetto ad un’altra è quello di calcolare, durantelo stesso intervallo temporale, il lavoro compiuto dalle due forze. Maggiore è il lavoro compiuto,nella stessa unità di tempo, più intensa è la forza che lo ha compiuto. Più precisamente, si chiamapotenza di una forza, e si indica con W , il lavoro che essa compie nell’unità di tempo. Si scrive

W =dLF

dt(34)

L’unità di misura della potenza, nel Sistema Internazionale è il Watt (W). Le sue dimensionisono quelle di un energia (J) su secondi (s), ovvero

W =J

s=

ML2

s3

Una interessante espressione per la potenza di una forza è la seguente

W = F · v (35)

135

§4.10 Complementi

cioé, è il prodotto scalare della forza per la velocità del punto materiale. Per provare questarelazione osserviamo che l’energia cinetica di un punto materiale si può anche scrivere

E = 1

2Mv2 =

1

2Mp2 =

1

2M(p · p) (36)

dove p = Mv è la quantità di moto del punto materiale. Inoltre, l’azione dell’operatore ∆sull’energia cinetica (variazione dell’energia cinetica) si può anche scrivere

∆E = ∆·1

2M(p · p)

¸=

1

2M∆ (p · p) = 1

M∆p · p (37)

mentre la variazione di energia cinetica nell’intervallo di tempo ∆t diventa

∆E∆t

=1

M

∆p

∆t· pM= F · v

Poiché, il lavoro è sempre uguale ad una variazione di energia cinetica abbiamo completato ladimostrazione.

4.10 Complementi

Ora ripresenteremo, con un maggiore approfondimento, anche formale, sia alcuni argomenti giàtrattati che alcuni argomenti nuovi che non possono essere totalmente omessi in una presentazionedelle energie e del lavoro.

4.10.1 Il diagramma del lavoro

Ci proponiamo di definire e calcolare il lavoro nel caso di forze variabili in modulo, ma costanti indirezioni e verso. Supponiamo di avere una forza variabile che produce lo spostamento di un puntomateriale nella direzione dell’asse x.

Se la forza avesse una intensità costante, diciamo F0, in un diagramma che avesse sull’asse delleascisse le coordinate della posizione del punto materiale e sulle ordinate il valore dell’intensità dellaforza, avremmo il seguente grafico:

136

4 Energia e lavoro

dove xA e xB rappresentano le posizioni del corpo nella posizione iniziale e finale rispettivamente.

Chiameremo tale diagramma, diagramma del lavoro. In base alla discussione fatta per il lavorodi una forza costante, possiamo dire che l’area sotto la curva della forza, compresa tra la coordinatainiziale e finale, rappresenta il lavoro fatto dalla forza per spostare il punto materiale dalla posizioneA alla posizione B:

Il tal caso il lavoro si può scrivere

LF0 (A→ B) = F0 (xB − xA)

Se la forza varia di intensità il suo diagramma del lavoro sarebbe

Possiamo dividere (figura a destra) l’intervallo (xB − xA) in tanti intervalli ∆x, all’interno deiquali, l’intensità F (xn) della forza sia praticamente costante: In tal caso,

LF (xn → xn+1) = F (xn)∆x (1)

rappresenta il lavoro compiuto dalla forza, quando il punto materiale si sposta dalla posizione xnalla posizione xn+1.

137

§4.10 Complementi

Se indichiamo con x0 = xA e xB = xN le ascisse delle posizioni iniziali e finali del puntomateriale, potremo scrivere

N−1Xn=0

L (xn → xn+1) =N−1Xn=0

F (xn)∆x (2)

Nel caso in cui ∆x tende a zero (∆x→ 0), ovvero il numero di posizioni N intermedie tra xa e xBdiventa infinito,

il secondo membro della (2)

lim∆x→0

∞Xn=0

F (xn)∆x

si chiama integrale di F(x), tra gli estremi xA e xB e si scriveZ xB

xA

F (x) dx = lim∆x→0

∞Xn=0

F (xn)∆x (3)

Nello stesso limite, il primo membro della (2) indicherà il lavoro fatto dalla forza per spostareil corpo dalla posizione xA alla posizione xB:

138

4 Energia e lavoro

LF (A→ B) = lim∆x→0

N−1Xn=0

L (xn → xn+1) (4)

Possiamo allora dire che, per una forza variabile in intensità, ma costante in modulo, direzionee verso, lungo l’asse x, il lavoro fatto dalla forza per spostare il punto materiale dalla posizioneiniziale A alla posizione finale B è

LF (A→ B) =

Z xB

xA

F (x) dx (5)

Se la forza ha la stessa direzione, ma verso opposto allo spostamento, essa viene riportata comenegativa:

In tal caso, il lavoro al di sotto dell’asse x va considerato negativo.

4.10.2 Il lavoro di una forza arbitraria

Consideriamo il caso di un punto materiale che si muove su di una traiettoria arbitraria, sottol’azione di una forza F arbitraria. Siano A e B due posizioni occupate dal punto materiale inistanti differenti. Supponiamo di approssimare la traiettoria con tanti tratti (spostamenti) ∆r eche in tali tratti la forza, Fn sia praticamente costante in modulo, direzione e verso. Sia θn l’angoloformato dal vettore Fn ed il vettore ∆r :

139

§4.10 Complementi

La quantità Fn∆r cos θn, cioé il prodotto dell’intensità della forza, per il modulo dello sposta-mento , per il coseno dell’angolo compreso tra la direzione della forza e la direzione dello sposta-mento, rappresenta il lavoro compiuto dalla forza F per spostare il punto materiale dalla posizionern alla posizione rn+1:

LFn (rn → rn+1) = Fn∆r cos θn (6)

Se gli spostamenti ∆r sono N e si pone rA = r0 e rB = rN dove N è il numero totale di spostamentiche servono per percorrere tutta la traiettoria, allora il lavoro totale fatta dalla forza F per spostareil punto materiale dalla posizione A alla posizione B si potrà scrivere, in maniera approssimata,

LF (A→ B) 'n=N−1Xn=0

Fn∆r cos θn (7)

Nel limite in cui ∆r tende a zero, ovvero che il numeno N tende all’infinito la somma al secondomembro tende ad un integrale, detto integrale di linea tra gli estremi A e B, che si suole indicarecon Z B

AF · dr = lim

∆rn→0

∞Xn=0

Fn∆r cos θn (8)

dove dr è lo spostamento infinitesimo, che ricordiamo ha, in ogni punto della traiettoria, la direzionedella tangente alla traiettoria, cioé della velocità. L’integrando, al primo membro, cioé F · dr,definisce il lavoro infinitesimo fatto dalla forza F per spostare un punto materiale di un trattoinfinitesimo dr,

dLF = F · dr (9)

Si dice che il lavoro infinitesimo fatto da una forza F per spostare un punto materiale di un trattoinfinitesimo dr è il prodotto scalare tra il vettore forza F ed il vettore spostamento infinitesimo dre si intende

F · dr = Fdr cos θ (10)

dove θ è l’angolo compreso tra la forza e lo spostamento infinitesimo.Il lavoro infinitesimo dLF fatto dalla forza F per spostare di un tratto infinitesimo dr un punto

materiale è per definizione data dal prodotto scalare di F e dr:

dLF = F · drPoiché

F = Fxux + Fyuy + Fzuz dr = dxux + dyuy + dzuz

140

4 Energia e lavoro


dLF = Fxdx+ Fydy + Fzdz (11)

Il secondo membro di tale relazione è la rappresentazione cartesiana del lavoro infinitesimo

4.10.3 Il teorema dell’energia cinetica

Ridiscutiamo il teorema dell’energia cinetica per fare delle ulteriori osservazioni. Un corpo di massaM e velocità v possiede una energia cinetica data da

E ≡ 12Mv2 (1)

Prendiamo il differenziale di ambo i membri della (1):

dE = d

µM

2v2

¶(2)

Ricordando che v2 = v · v, il secondo membro della (2) si può porre nella forma:

d

µM

2v2

¶=Ma · dr (3)

Infatti, si trova

d

µM

2v2

¶=

M

2d (v · v) =Mv · dv =Mv · adt =Ma · vdt

e quindi usando l’equazione fondamentale arriviamo alla seguente equazione

dE = F · dr (4)

La quantità al secondo membro è il lavoro infinitesimo e si potrà scrivere:

dE = dL (5)

Prima di procedere oltre conviene fare una osservazione. Nello scrivere la (4) (o la (5)) abbiamocommesso una dimenticanza. Il modo più generale di scrivere la precedente uguaglianza è:

d (E +D) = dL (6)

dove D è una costante, a priori, del tutto arbitraria (positiva, negativa o nulla).A questo punto, nella meccanica newtoniana si fa una scelta precisa della costante D: La si

pone uguale a zero, scegliendo così di assegnare all’energia posseduta dai corpi solo quella legata alloro moto (l’energia cinetica).

141

§4.10 Complementi

Fino agl’inizi di questo secolo, non si aveva alcuna indicazione, su energie intrinseche ai corpia riposo. La scelta di porre D uguale a zero è stata quindi abbastanza naturale. D’ora in avantiporremo D = 0, e la precedente equazione ridiventa

dE = dL (5)

o passando alle corrispondenti quantità finite

∆E =Z B

AF · dr (7)

dove con A e B indichiamo la posizione iniziale e finale del punto sulla traiettoria. La (7) ci diceche: la differenza di energia cinetica (quella finale meno quella iniziale) tra due posizioni occupatedal punto mobile lungo una qualunque traiettoria è uguale al lavoro della forza calcolato lungo latraiettoria che collega la posizione finale con quella iniziale. In forma compatta, dopo aver posto

L (A→ B) ≡Z B

AF · dr (8)

avremoE (B)− E (A) = L (A→ B) (9)

Possiamo allora anche dire che: la differenza di energia cinetica (quella finale meno quellainiziale) tra due posizioni occupate dal punto mobile lungo una qualunque traiettoria è sempreuguale al lavoro fatta dalla risultante delle forze applicate sul corpo quando essa sposta il puntomateriale dalla posizione iniziale a quella finale.

4.10.4 Il lavoro della forza di gravitazione universale

Negli esempi che abbiamo fatto, sul calcolo del lavoro, abbiamo dedotto che in natura esiste unasuddivisione delle forze rispetto al modo di calcolare il lavoro. Da una parte vi sono quelle forze ilcui lavoro non dipende dalla conoscenza della traiettoria del corpo, ma solo dalle posizioni iniziali efinali, come per esempio la forza peso e la forza elastica e dall’altra quelle forze il cui lavoro dipendedalla conoscenza della traiettoria che il corpo percorrerà. Le prime sono dette conservative mentrele seconde sono dette non conservative.

É importante sottolineare che le forze conservative da noi prese in considerazione dipendonosolo da una lunghezza. In futuro, senza ulteriore precisazione intenderemo sempre che le forzeconservative devono dipendere solo da una lunghezza opportuna.

Poiché la forza peso è una forma approssimata della forza di gravitazione universale, ci aspet-tiamo che anche la forza di gravitazione universale sia conservativa. Ci proponiamo di trovare laforma esplicita dell’energia potenziale gravitazionale. Più precisamente, passiamo ora al calcolo dellavoro fatto dalla forza di gravitazione universale prodotta da un punto materiale di massa M2 su

142

4 Energia e lavoro

di un punto materiale di massa M1, per portare un punto materiale di massa M1 da una posizioneA ad un’altra B. Potremo scrivere,

LFG (A→ B) =

Z rB

rA

−GM1M2

R2u · dr (1)

dove abbiamo introdotto, oltre ai vettori posizione (rA, rB) dei punti iniziali e finali, ed alvettore spostamento infinitesimo dr su cui integriamo. Per semplificare la notazione supponiamodi prendere l’origine del sistema di riferimento sulla particella M2. Sia R il vettore posizione delpunto materiale M1ed u il corrispondente versore.

Il prodotto scalare nell’integrale può scriversi in termini di componenti dello spostamento lungola direzione che congiunge i due corpi: dR = u · dr

LFG (A→ B) = −GM1M2

Z RB

RA

dR

R2(2)

dove, ovviamente RA = rA ed RA = rA. L’integrale è ora immediato e si ottiene

LFG (A→ B) = GM2M1

µ1

RB− 1

RA

¶(3)

Come si può vedere, il lavoro fatto dalla forza gravitazionale, generata daM2, per spostare M1,dalla posizione A a quella B, dipende dalla distanza relativa dei punti A e B da M2, sorgente dellaforza. Inoltre, per avere in mente un caso concreto supporremo che M2, sorgente della forza checompie il lavoro, sia la Terra e che il centro del riferimento sia nel centro della Terra. Ciò implicache le posizioni A e B le stiamo misurando dal centro della Terra. Potremo scrivere, indicando orail corpo M1, con M :

143

§4.10 Complementi

LFG (A→ B) =M⊕GMµ1

RB− 1

RA

¶(4)

Il lavoro, pur dipendendo, in generale, dalla traiettoria, siamo riusciti a calcolarlo senza conoscereprima la traiettoria. Abbiamo solo bisogno di sapere la distanza dei punti A e B dal centro dellaTerra.

Vediamo ora cosa accade con due differenti posizioni dello zero dell’energia potenziale. Indichi-amo ora la posizione finale con la lettera O:

LFG (A→ O) =M⊕GMµ1

RO− 1

RA

¶(5)

Consideriamo due casi reali di scelta del punto O dello spazio, intorno alla Terra.Caso a) La posizione finale, ovvero il punto O è a distanza infinita dal centro della Terra. La

precedente equazione si riduce a

LFG (A→ O =∞) = −M⊕GMRA

(6)

Caso b) La posizione finale è presa sulla superficie della Terra. La (4) diventa

LFG (A→ O = R⊕) =M⊕GMµ1

R⊕− 1

RA

¶(7)

L’espressione del lavoro nei due casi è diversa e diversa sarebbe se noi scegliessimo un qualunquealtro punto dello spazio. Supponiamo tuttavia di accordarci per un punto qualunque dello spazioe calcoliamo per tutti gli altri punti dello spazio il lavoro che dobbiamo fare contro la forza grav-itazionale della Terra per spostare il corpo di massa M da ogni punto dello spazio al punto O

scelto.Per fissare meglio le idee, facciamo la scelta del caso a (il punto O è all’infinito!). In tal caso, il

lavoro che dobbiamo fare, contro la forza di gravitazione terrestre, per spostare il punto materialedal punto B all’infinito si scrive:

LFG (B → O) = −M⊕GMRB

(8)

La stessa operazione può ripetersi per tutti i punti dello spazio; sarà sufficiente conoscere ladistanza dei punti dello spazio dal centro della Terra. Fatta la scelta del punto O all’infinito pertutti i punti dello spazio, proviamo a calcolare con tale scelta, il lavoro fatto per portare il corpoda un punto generico A ad un’altro qualunque B. Poiché il lavoro dipende solo dal punto iniziale efinale, possiamo immaginare di andare prima da A ad O e poi da O a B. Avremo allora:

LFG (A→ B) = LFG (A→ O) + LFG (O→ B) = LFG (A→ O)− LFG (B → O)

144

4 Energia e lavoro

ovvero

LFG (A→ B) = −M⊕GMRA

+M⊕GMRB

Tale risultato coincide con l’espressione (4).Se ripetessimo lo stesso calcolo scegliendo il caso b (il punto O è preso sulla superficie della

Terra!) ritroveremmo ancora il risultato (4). Alla stessa conclusione si giunge qualunque sia lascelta del punto O nello spazio. In conclusione, scelto in modo del tutto arbitrario il punto O nellospazio, si passa a calcolare, per tutti gli altri punto dello spazio il lavoro per portare un puntomateriale dai vari punti dello spazio al punto O scelto. Questo procedimento, mentre da un lato dàorigine ad espressioni differenti dell’energia potenziale gravitazionale associata ad ogni punto dellospazio, dall’altro non si modifica il valore dell’espressione del lavoro tra due punti arbitrari dellospazio. In definitiva, per le forze conservative, la precedente discussione ci consente di definire laseguente funzione:

Definizione: Le forze conservative consentono di definire una funzione di punto, detta Energiapotenziale: Un punto materiale che si muove sotto l’azione di una forza conservativa passa attra-verso i diversi punti dello spazio cui è associato un ben determinato valore della funzione energiapotenziale, U (r). Il valore che viene associato al generico punto rA è uguale al lavoro che la forzacompie sul punto materiale per spostarlo dal punto A ad un’altro O, preso come punto di riferi-mento per A e tutti gli altri punti dello spazio in cui agisce la forza. Allora per le forze conservativeè possibile definire la seguente funzione

U (rA) ≡ U (A) = L (A→ O) (9)

Se B è un altro punto dello spazio, si avrà

U (B) = L (B → O)

Scegliendo una traiettoria che vada da A a B passando anche per O, possiamo scrivere

U (A)− U (B) = L (A→ O)− L (B → O) = L (A→ O) + L (O→ B) = L (A→ B)

cioè

L (A→ B) = U (A)− U (B) ≡ −∆U (10)

In forma differenziale, la (10) diventa

dL = −dU (11)

145

§4.10 Complementi

La presenza del segno meno è solo legata alla definizione di energia potenziale ovvero al fattoche abbiamo scelto di far lavorare la forza dal punto A al punto O e non viceversa. Se è vera la(11), possiamo anche scrivere

dL = −d (U + C1) (12)

dove C1 è una costante arbitraria. Oppure

L (A→ B) = −Z B

Ad (U + C1)

Cosa accade alla costante C1? Tale costante la si può porre uguale a zero. Abbiamo visto chel’energia potenziale in un punto dello spazio dipende dalla scelta del punto O, ma nello stesso tempoquesta dipendenza non cambia il valore della differenza di energia potenziale tra due punti. Quindipossiamo dire che l’energia potenziale in un punto è definita a meno di una costante arbitraria equalunque sia il valore di C1 esso muterebbe solo il valore dell’energia potenziale nei punti dellospazio (una sorta di spostamento del valore dell’energia potenziale in ogni punto dello spazio) mail valore del lavoro tra due punti rimarrebbe immutato. Quindi possiamo porre C1 = 0 e scrivered’ora in avanti:

L (A→ B) = U (A)− U (B) (10)

4.10.5 L’energia potenziale per le forze centrali

Tutte le forze centrali che noi considereremo, come abbiamo già detto, hanno il modulo della forzache dipende solo dalla distanza dal punto fisso, origine della forza. Cioè

F = f (r)ur (1)

dove ur è il versore della direzione radiale nel verso che si allontana dal polo, origine della forza.Supponiamo, per semplificare i calcoli, che l’origine del nostro sistema di riferimento sia nel

punto fisso, origine della forza centrale. Dalla definizione di lavoro

L (A→ B) =

Z rB

rA

F · dr =Z rB

rA

f (r)ur · dr

Il prodotto scalare ur · dr non è altro che la proiezione del vettore dr , che ricordiamo hala direzione della tangente alla traiettoria, nella direzione radiale e che noi indicheremo con dR .Avremo allora,

L (A→ B) =

Z RB

RA

f (R) dR (2)

146

4 Energia e lavoro

L’integrando è il differenziale della funzione f della sola variabile radiale R e quindi l’integraleammette una funzione primitiva che dipende solo dalla distanza radiale. In altre parole, per le forzecentrali è sempre possibile scrivere:

L (A→ B) = U (RA)− U (RB) (3)

ossia, sono conservative e la funzione energia potenziale è funzione della sola distanza dal centrodelle forze.

4.10.6 Derivazione della forza dall’energia potenziale

Abbiamo derivato fino ad ora l’energia potenziale a partire dalla forza. Il problema che vogliamoora discutere è la possibilità di derivare dall’energia potenziale la forza associata. Per la proprietàdelle forze conservative

F · dr = −dU (r) (1)

che, in coordinate cartesiane, si scrive

Fxdx+ Fydy + Fzdz = −dU (x, y, z) (2)

Nell’ipotesi che la forza agisca in una sola direzione, per esempio l’asse x, possiamo semplificarela precedente relazione ed otteniamo

Fxdx = −dU (x) = −dU (x)dx

dx (3)

da cui

Fx = −dU (x)dx

(4)

Per calcolare la componente della forza nella direzione della asse x dobbiamo derivare rispettoad x l’espressione dell’energia potenziale e cambiarla di segno. Analogo risultato si otterrebbe perle altre componenti.

4.10.7 Energia potenziale, equilibrio e moto oscillatorio

Abbiamo imparato che i responsabili del movimento sono le forze. Un corpo fermo, su cui nonagiscono forze (o che la risultante delle forze è nulla) rimane in quiete (il corpo è in equilibrio). Nelprecedente paragrafo abbiamo mostrato che, se un sistema di forze è conservativo, nel caso di motounidimensionale, il legame tra forze ed energia potenziale, si scrive:

147

§4.11 Esempi

Fx = −dUdx

(1)

Se il corpo è in equilibrio, la risultante delle forze e le sue componenti sono nulle; Il primomembro della (1) è nullo e così sarà del secondo. Quindi dalla (1) si ottiene,

dUdx

= 0 (2)

Supponiamo che la funzione energia potenziale abbia un minimo in un certo punto x0. In talcaso, sappiamo che devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:µ

dU (x)dx

¶x=x0

= 0

µd2Udx2

¶x=x0

> 0 (3)

Scegliamo un sistema di riferimento con l’origine nel punto x0 e spostiamo di poco il puntomateriale dall’origine degli assi (posizione di minimo). Poiché lo spostamento è piccolo possi-amo calcolare, come varia l’energia potenziale, sviluppando U (x) in serie di potenze di x intornoall’origine. Avremo:

U (x) = U (0) +µdUdx

¶x=0

x+

µd2Udx2

¶x=0

x2

2!+ · · · (4)

Il primo termine, essendo costante si può trascurare. Il secondo è nullo e la precedente relazionesi riduce a

U (x) = kx2

2(5)

dove si è posto

k =

µd2Udx

¶x=0

(6)

Constatiamo che, nell’intorno di un punto, in cui l’energia potenziale presenta un minimo,l’energia potenziale (vedi la (5)) ha la forma di una energia potenziale elastica. Possiamo, alloradire che, quando un punto materiale si allontana di poco da una posizione in cui l’energia potenzialepresenta un minimo, una forza (elastica) tende a riportare il corpo nella posizione di minimo. Sidice che la particella oscilla intorno alla posizione di minimo dell’energia potenziale.

4.11 Esempi

Tra gli esempi che ora mostreremo ve ne sono alcuni che sono già stati svolti nel secondo capitolo.La ripetizione serve al confronto tra i diversi approcci.

148

4 Energia e lavoro

Esempio 1 Caduta libera di un corpoCalcoliamo la velocità con cui arriva al suolo un corpo di massa M, cadendo da una altezza h,

rispetto al suolo, nella ipotesi che sul corpo agisca la sola forza peso. Poiché la forza peso è unaforza conservativa, l’energia meccanica in due punti arbitrari della traiettoria è la stessa. Si puòallora scrivere

Mgh+1

2Mv2h =

1

2Mv20

con l’ovvio significato dei simboli. Risolvendo rispetto alla velocità di arrivo al suolo, si trova

v0 =qv2h + 2gh

che coincide con il risultato trovato utilizzando l0equazionefondamentale.Tuttavia si riconoscel’estrema facilità di questo metodo.

Esempio 2: Il piano inclinatoDeterminare la velocità di arrivo al suolo di una particella che scivola con attrito lungo un piano

inclinato. Poiché è presente l’attrito, il teorema di conservazione dell’energia meccanica non si puòpiù applicare. Tuttavia il teorema dell0energiacineticaèsempre applicabile. Nel caso specifico si puòscrivere: Z r0

rh

(Fp +Fa) · dr = 1

2Mv20 −

1

2Mv2h

Indicando con d la lunghezza del piano, la precedente equazione diventa

(Mg sinα− λMg cosα) d =1

2Mv20 −

1

2Mv2h

Risolvendo rispetto alla velocità di arrivo al suolo, otteniamo

v20 = v2h + 2gh

µ1− λ

tanα

¶Anche in questo caso, la semplicità del metodo appare evidente.Esempio 3: Bilancia a mollaUna particella è mantenuta in quiete su di una molla che è in posizione verticale ed in posizione

di riposo. La particella viene lasciata libera e produce una compressione della molla. Trovare, infunzione dei parametri fisici in gioco la compressione massima della molla (bilancia a molla).

La particella nella fase iniziale e finale ha velocità nulla. Le forze presenti sono conservative. Sipuò allora scrivere

Mghi =1

2kx2 +Mghf

149

§4.11 Esempi

Risolvendo rispetto ad x, si ottiene

x =

r2Mg (hi − hf )

k

150

Capitolo 5

Dinamica relativa

Finora abbiamo esaminato la Meccanica da un solo sistema di riferimento. Ci proponiamo, in questocapitolo di stabilire se due osservatori, in moto l’uno rispetto all’altro, descrivono la meccanica allostesso modo; se leggi newtoniane della Meccanica sono le stesse, in forma, per i due osservatori ese differenti, determinarle.

5.1 L’intervallo temporale

Il sistema di riferimento in cui vale l’equazione della dinamica del punto materiale M

Ma = F

è, per Newton, il Sistema di Riferimento Assoluto. Tale riferimento privilegiato, secondo Newtonesiste realmente. Oltre all’equazione del moto, nel riferimento assoluto vale la terza legge di Newton:

Ad ogni istante ed indipendentemente dal moto relativo di due corpi che interagiscono, le mutueinterazioni sono di uguale intensità e di segno opposto.

Se questo principio è vero, le interazioni tra i corpi devono essere istantanee, ovvero che lapropagazione delle interazioni nello spazio devono avvenire a velocità infinita.

Con un segnale che viaggia a velocità infinita eventi che sono simultanei per un osservatore sonotali per tutti gli osservatori, indipendentemente dal loro stato di moto relativo.

151

§5.2 L’addizione delle velocità

Due esplosioni, avvenute in due luoghi distinti, A e B, e ritenute simultanee da un osserva-tore posto in un sistema di riferimento saranno simultanee per qualunque altro osservatore postoin un differente sistema di riferimento. Possiamo allora dire che nella meccanica newtoniana lasimultaneità degli eventi fisici è un concetto assoluto.

Consideriamo due eventi, che per un osservatore posto nel sistema S sono l’istante iniziale efinale di un moto periodico, allora gli stessi eventi saranno considerati con lo stesso significatoda tutti gli osservatori, qualunque sia il loro moto relativo, rispetto ad S. Si potrebbe prenderecome intervallo temporale unitario, il tempo trascorso tra i due eventi, e noi potremmo concluderedicendo che

nella meccanica newtoniana gli intervalli temporali sono gli stessi in tutti i sistemi di riferimen-to, qualunque sia il loro moto relativo:

∆t = ∆t0

dove t e t0 sono i tempi segnati in due distinti sistemi di riferimento: Nella meccanica newtonianail tempo è un concetto assoluto. Nelle formule matematiche noi riporteremo con lo stesso simbolo”t” il tempo segnato in un qualunque sistema di riferimento.

Insieme alla massa dei corpi, nella meccanica newtoniano anche gli intervalli temporali nonmutano al passaggio da un sistema di riferimento ad un’altro.

5.2 L’addizione delle velocità

Supponiamo di avere due sistemi di rifermento, S ed S0 in moto relativo l’uno rispetto all’altro.Supponiamo che il sistema S0 si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad S. Sia R (t) laposizione dell’osservatore O0 rispetto ad O. Indicheremo con RO0 la posizione di O0, rispetto adO, al tempo t = 0. La velocità, V di O0 rispetto ad O, sarà detta velocità di trascinamento di S0

rispetto ad S. Ovviamente, −V, sarà la velocità di trascinamento di S rispetto ad S0.

152

5 Dinamica relativa

Ad un qualunque istante di tempo noi potremo sempre scrivere

r (t) = r0 (t) +R (t) (1)

dove, essendo il moto di S0 rispetto ad S rettilineo uniforme, il moto dell’origine del sistema S0,sarà descritto dalla

R (t) = RO0 +Vt (2)

Dopo un intervallo di tempo ∆t, si potra avere la seguente configurazione:

che ci consente ancora di scrivere:

r (t+∆t) = r0 (t+∆t) +R (t+∆t) (3)

Se si sottrae,membro a membro, la (1) dalla (3), si trova

r (t+∆t)− r (t) = r0 (t+∆t)− r0 (t) +R (t+∆t)−R (t)ovvero

∆r (t) = ∆r0 (t) +∆R (t) (4)

153

§5.2 L’addizione delle velocità

cioé, i vettori spostamenti sono differenti nei due riferimenti. Dividendo per ∆t ambo i membri,troviamo

∆r (t)

∆t=∆r0 (t)∆t

+∆R (t)

∆t

cioé, la velocità media nei due sistemi di riferimento, dello stesso punto materiale, dipende dallavelocità media di O0 rispetto ad O. Quando∆t tende a zero, le velocità medie tendono alle rispettivevelocità istantanee e si ottiene

v (t) = v0 (t) +V (6a)

ovvero

v0 (t) = v (t)−V (6b)

Se sono assegnati due sistemi di riferimento, in moto relativo rettilineo uniforme l’uno rispet-to all’altro, la velocità di un punto materiale in un sistema di riferimento è sempre uguale allasomma vettoriale della velocità che il punto materiale ha rispetto al secondo sistema e della veloc-ità di trascinamento di un riferimento rispetto all’altro (addizione delle velocità). L’insieme delleequazioni (1) e (2), possono ridursi alla sola equazione seguente

r (t) = r0 (t) +RO0 +Vt (7)

Le equazioni (7) sono dette trasformazioni di Galilei.Nel caso in cui, al tempo t = 0 i due riferimenti coincidono, le precedenti equazioni diventano

r (t) = r0 (t) +Vt (8)

Supponiamo che gli assi dei due sistemi siano paralleli e che il sistema S0si muova di motorettilineo uniforme, lungo la direzione dell’asse x,

154

5 Dinamica relativa

le trasformazioni di Galilei, esplicitate nelle diverse componenti, diventano

x (t) = x0 (t) + V t y (t) = y0 (t) z (t) = z0 (t) (9)

Se il sistema S0 si muove di moto arbitrario rispetto ad S, la legge di addizione delle velocitàcontinua a valere, ma le trasformazioni delle coordinate non saranno più quelle di Galilei.

5.3 La distanza tra due punti è un assoluto

Abbiamo fin qui provato che nella meccanica newtoniana, gli intervalli temporali e la massa deicorpi sono degli invarianti, mentre la velocità dei corpi non lo è. Proveremo ora che anche ladistanza tra due punti è un invariante. Ci limiteremo a trasformazioni di tipo (9). Nel fare ciò nonsi perde di generalità perché è sempre assunto in fisica che lo spazio ed il tempo sono omogenei edinoltre lo spazio è anche isotropo.

Siano A e B due punti, sull’asse x. Se al tempo t = 0, i due sistemi di riferimento coincidono,la distanza tra i due punti è la stessa nei due riferimenti e possiamo scrivere:

xB (t = 0)− xA (t = 0) = x0B (t = 0)− x0A (t = 0) (10)

Ad un tempo successivo, si avrà, assumendo valide le trasformazioni di Galilei,

xB (t)− xA (t) = x0B (t) + V t− £x0A (t) + V t

¤ovvero,

xB (t)− xA (t) = x0B (t)− x0A (t) (11)

cioé, la distanza tra i due punti, uguale nei due sistemi di riferimento al tempo t = 0, rimaneuguale ad un qualunque istante di tempo successivo.

Poiché in S i due punti sono fermi la loro distanza non può essere cambiata nel corso del tempoe si potrà scrivere:

xB (t = 0)− xA (t = 0) = xB (t)− xA (t) (12)

Se si confrontano le (11) e (12) si arriva alla relazione:

xB (t = 0)− xA (t = 0) = x0B (t)− x0A (t) (13)

cioè, la distanza tra i due punti, in S0 al tempo t, è uguale alla distanza tra i due punti in S,al tempo iniziale. Possiamo concludere dicendo che la distanza tra due punti, (la lunghezza di unoggetto) è un invariante per trasformazioni di Galilei.

155

§5.4 Il principio di relatività galileiana

Oltre alla massa e agli intervalli temporali, ora anche la distanza tra due punti è un invariantenella meccanica newtoniana.

5.4 Il principio di relatività galileiana

Supponiamo di avere due sistemi di riferimento S ed S’, in moto rettilineo uniforme l’uno rispettoall’altro. Sia V la velocità di trascinamento di O0 rispetto ad O.

Se v è la velocità di un punto materiale di massaM rispetto ad O, e v0 la velocità di M rispettoad O0, queste due velocità saranno legate della legge di addizione delle velocità:

v (t) = v0 (t) +V (6)

Dopo un intervallo di tempo ∆t, poichéM si muove di moto arbitrario la sua velocità, misuratain S ed S0 saranno cambiate. In ogni caso potremo sempre scrivere, per la legge di addizione dellevelocità:

v (t+∆t) = v0 (t+∆t) +V (14)

Se si sottrae, membro a membro la (6) dalla (14) si trova

v (t+∆t)− v (t) = v0 (t+∆t)− v0 (t)ovvero

∆v (t) = ∆v0 (t)

Se si divide per ∆t, ambo i membri, si ottiene

∆v (t)

∆t=∆v0 (t)∆t

156

5 Dinamica relativa

si può affermare che le accelerazioni medie sono le stesse nei due sistemi di riferimento.Quando ∆t tende a zero, le accelerazioni medie diventano accelerazioni istantanee, e potremo

scrivere

a = a0 (15)

In due sistemi di riferimento, in moto relativo rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, leaccelerazioni dei corpi sono le stesse in tutti e due i sistemi di riferimento.

Se si moltiplica per la massa M del corpo la precedente relazione diventa,

Ma =Ma0 (16)

La (16) esprime l’uguaglianza formale tra le forze nei due sistemi di riferimenti:

F = F0 (17)

L’insieme delle (15) - (17) ci consentono di concludere dicendo chein due sistemi di riferimento, in moto relativo rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, le

leggi delle forze (la forma delle espressioni delle forze) sono le stesse in tutti e due i sistemi diriferimento.

Una prima conseguenza di tale risultato è una restrizione sulla dipendenza funzionale delle forzenewtoniane dalle grandezze fisiche: le forze devono dipendere da grandezze fisiche che non mutanoper trasformazioni di Galilei. Allora possiamo dire, utilizzando i risultati delle precedenti sezioni,che le forze newtoniane possono dipendere, dalla massa, dal tempo, dalla distanza relativa tra i corpie dalle accelerazioni, ma non dalle velocità dei corpi (la velocità non si conserva per trasformazionidi Galilei: addizione delle velocità). Quando si parlerà, nel corso di elettromagnetismo della forzadi Lorentz, (si può mostrare che la carica di un corpo è un invariante) poiché essa dipende dallavelocità, potremo affermare che essa non è newtoniana e non è invariante per trasformazioni diGalilei.

Ora possiamo scrivere l’equazione della dinamica del punto materiale, nel sistema di riferimentoS0:

Ma0 = F0

cioé, la forma delle leggi della meccanica è la stessa in tutti i sistemi di riferimento che simuovono di moto rettilineo uniforme rispetto al sistema di riferimento assoluto di Newton, quellonel quale si assume che valga l’equazione della dinamica del punto materiale, nella forma

Ma = F

157

§5.5 Le forze apparenti

Tutti i sistemi in cui l’equazione della dinamica del punto materiale si scrive nella forma consuetasono detti sistemi inerziali.

L’invarianza in forma delle leggi della meccanica nei sistemi inerziali si può anche esprimeredicendo che, è impossibile, facendo solo esperienze di moto, in un qualunque sistema inerziale,stabilire se esso sia fermo o in moto rettilineo uniforme (invarianza galileiana).

Concludiamo la sezione osservando che, sebbene la forma delle equazioni sia la stessa in formain tutti i sistemi inerziali, la traiettoria di un corpo, a causa delle differenti condizioni iniziali, èdifferente nei differenti sistemi di riferimento.

5.5 Le forze apparenti

Un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme su di una circonferenza di raggio R,per un osservatore, fermo e posto nel centro della circonferenza, esso è soggetto ad una accelerazionecentripeta,

diretta verso il centro della circonferenza:

ac =V2

R= ω2R (1)

dove V è la velocità lineare del punto materiale ed ω la sua velocità angolare. Supponiamo cheal punto, in moto sulla circonferenza, sia ancorato un secondo sistema di riferimento, S0.Possiamodire che anche il riferimento S0 sarà soggetto alla stessa accelerazione centripeta (1).

Analizziamo il moto di un punto materiale di massa M in S ed in S0. Se indichiamo con v (t)la velocità di M rispetto ad S e con v0 la velocità di M rispetto ad S0, la legge di addizione dellevelocità, ci dice che

v (t) = v0 (t) +V (t)

dove della velocità V, cambia solo la direzione ad ogni istante. Passando alle accelerazioni diM , nei due sistemi avremo

158

5 Dinamica relativa

a = a0 − V2

RuR

dove uR è il versore variabile del vettore posizione di O’ rispetto ad O. La precedente equazioneci dice che, l’accelerazione del punto materiale M , in S0, cioè a0,

a0 = a+V2

RuR (2)

è la somma dell’accelerazione di M , misurata da S, cioè a e dell’accelerazione

V2

RuR

detta accelerazione centrifuga. Se si moltiplica per la massa M del punto materiale, la (2) siottiene

Ma0 =Ma+MV2

RuR

Poiché Ma = F, potremo anche scrivere

Ma0 = F+MV2

RuR (3)

Per descrivere il moto di un punto materiale, in un sistema che si muove di moto circolareuniforme, rispetto ad un sistema inerziale, è necessario aggiungere alle forze F presenti nel sistemainerziale, che abbiamo chiamato forze newtoniane, una nuova forza

Fc =MV2

RuR (4)

detta forza centrifuga, che tende ad allontanare dal centro del riferimento S’ il punto materiale.La forza centrifuga, che non è presente nel sistema inerziale, appartiene ad una nuova categoria diforze, dette forze non-inerziali o apparenti (o fittizie).

159

§5.5 Le forze apparenti

Mentre le forze newtoniane si spiegano tutte in termini di azioni tra i corpi, l’origine delleforze non-inerziali non si può spiegare in termini di azioni tra corpi. All’interno della meccanicanewtoniana si può solo affermare che, nei sistemi accelerati rispetto ai sistemi inerziali bisognaaggiungere delle nuove forze, la cui espressione dipende dal tipo di accelerazione cui è soggetto ilsistema di riferimento accelerato, rispetto ad un sistema inerziale. I sistemi i cui appaiono le forzenon-inerziali sono detti sistemi non-inerziali.

Possiamo ora generalizzare il precedente risultato. Indichiamo con aO0 l’accelerazione di S0

rispetto ad S, supposto inerziale. Quando si vuole descrivere il moto di un punto materiale M , inS0, la forza non-inerziale da aggiungere alle forze newtoniane presenti in S, è

Fni = −MaO0 (5)

di modo che in S0, l’equazione del moto diventa

Ma0 = F+Fni (6)

dove con F abbiamo indicato tutte le forze newtoniane agenti sul punto materiale M . Dalconfronto della (4) e (5) si può vedere che nell’esempio discusso

aO0 = −V2

RuR

5.5.1 Similarità tra gravitazione e sistemi non inerziali

Le forze non-inerziali hanno una interessante proprietà. Supponiamo che su un punto materialenon agiscono forze newtoniane. Allora, in S, avremo

Ma = 0 (7)

cioè, in S, il moto di M segue la legge dell’inerzia.In S0, poiché F = 0 nella (2), avremo

Ma0 = −MaO0

ovvero

a0 = −aO0 (8)

In assenza di forze newtoniane, tutti i corpi nei sistemi accelerati sono soggetti alla stessaaccelerazione. In altre parole, nei sistemi non-inerziali, il moto dei corpi non soggetti a forze, nonè rettilineo uniforme, bensì uniformemente accelerato. In ciò, riconosciamo una similarità tra lagravitazione terrestre e le forze non-inerziali

160

5 Dinamica relativa

Notiamo infine che, dalla forma dell’equazione del moto in S0, cioè la (3), deduciamo che, facendosolo esperimenti di meccanica possiamo distinguere se un riferimento è inerziale o non-inerziale.In altre parole, non vale più l’invarianza di Galilei.

5.6 Esempi

Esempio1: Un punto materiale di massa M è fermo sul pavimento di un ascensore. Si spezzail cavo che regge la cabina e l’ascensore precipita. Descrivere il moto di M , da un sistema diriferimento solidale con l’ascensore in caduta libera.

Un tale sistema ha una accelerazione (−g) rispetto ad un sistema solidale con la Terra (quest’ul-timo sistema è supposto inerziale!). L’equazione del moto del punto materiale che cade, visto dalsistema solidale con l’ascensore, è

Ma0 = Fp +Fni (1)

Poiché, nella direzione verticale,

Fni = −M (−g) Fp = −Mg

si trova

Ma0 = −Mg +Mg

da cui

a0 = 0

In un sistema non inerziale solidale con un corpo che cade, la forza non-inerziale è esattamentecompensata dalla forza gravitazionale Terrestre ed il corpo si comporta, in tale sistema, come unparticella libera.

161

§5.6 Esempi

Esempio 2: In un vagone ferroviario, che si muove con velocità costante rispetto al suolo (unriferimento solidale con la Terra, in questo esercizio, viene supposto inerziale) cade dal soffitto uncorpo (punto materiale in questo problema); ci proponiamo di stabilire qual è la traiettoria delcorpo e di confrontare il risultato ottenuto con quello che ottiene un osservatore solidale con laTerra.

Scegliamo il sistema di riferimento in modo tale che l’asse y coincida, all’istante in cui il corpoinizia a cadere, con la verticale passante per la posizione iniziale del corpo.

Il punto cruciale del nostro problema è costituito dal valore della velocità iniziale: poiché ilcorpo era agganciato al vagone esso ha una velocità iniziale pari alla velocità del vagone e nellastessa direzione; dal riferimento solidale al vagone, tuttavia la velocità iniziale è nulla, anche nelladirezione del vagone. L’equazione fondamentale è

Ma0 =Mg (1)

che risolta per gli assi x0 ed y0 , darà le seguenti soluzioni

vx0 (t) = 0 x0 (t) = 0 (2)

vy0 (t) = −gt y0 (t) = h− 12gt2 (3)

Il moto del corpo avviene lungo l’asse y0, esattamente come nella caduta di un grave sulla Terra.Esaminiamo lo stesso evento fisico, da un riferimento S, fisso sulla Terra, ma che al tempo in cui

162

5 Dinamica relativa

il corpo inizia la sua caduta l’asse verticale coincide con l’asse verticale del precedente sistema.Rispetto a tale riferimento, il corpo ha una velocità iniziale v0. L’equazione del moto è ancora

Ma =Mg (4)

ma la soluzione è ora

vy (t) = −gt y (t) = h− g

2t2 (5)

vx (t) = v0 x (t) = v0t (6)

La traiettoria non è lungo l’asse verticale, ma è una parabola:

y = h− g

2v20x2

Esempio 3: Esaminiamo la caduta di un corpo, come nel precedente esercizio, ma nella ipotesiche al momento in cui il corpo inizia la sua caduta, il vagone inizia a fermarsi con una decelerazionecostante, a0.

Con la scelta delle condizioni iniziali, come nel precedente esercizio, l’equazione fondamentale

Ma0 =Mg −Ma0 (1)

può essere facilmente risolta e si ottiene

vy0 (t) = −gt y0 (t) = h− gt2

2(2)

vx0 (t) = a0t x0 (t) =a0t

2

2(3)

La traiettoria non è lungo la verticale, ma è una retta

y0 = h− g

a0x0 (4)

Esempio 4: Il valore dell’accelerazione di gravità è alle nostre latitudini di 9,81 m/s2. Ingenerale il valore di g varia con la latitudine.

163

§5.6 Esempi

Vogliamo capire l’origine della variazione dell’accelerazione di gravità con la latitudine.La Terragira con velocità angolare costante ω⊕ , ossia un riferimento solidale con la Terra non è inerziale inquanto il sistema è sottoposto all’accelerazione centripeta:

ac ≡ a0 = −v2

rur = −ω20rur (1)

Ogni punto materiale solidale con la superficie della Terra descrive una circonferenza il cui raggior è legato al raggio della Terra dalla relazione

r = R0 cosα (2)

dove α è la latitudine. In conseguenza della (2) nei sistemi di riferimento solidali con la Terra,si esercita su un corpo di massa M , una forza non-inerziale

Fni = −Ma0 = Mv2

rur =Mω20rur (3)

che è chiamata forza centrifuga. Notiamo che tale forza varia a seconda della latitudine ed inparticolare cresce al crescere della distanza del corpo dall’asse di rotazione.

Supponiamo che la Terra sia sferica e rigida. Un corpo fermo sulla superficie è sottoposto,nel sistema solidale con il corpo stesso, all’azione di tre forze: L’attrazione della Terra, la forzacentrifuga e la reazione vincolare della Terra. Quest’ultima forza merita qualche commento. Neisistemi inerziali era stata definita come l’opposto della risultante delle forze reali ortogonale alvincolo. Nel caso di un vincolo in un sistema accelerato la reazione vincolare è definita comel’opposto della risultante delle forze newtoniane e non-inerziali ortogonali al vincolo.

Esaminiamo, per chiarire la nuova situazione, due eventi diversi. Supponiamo che la Terra siaferma. In tal caso, su un corpo fermo sulla Terra si esercita solo la forza peso (che indicheremo oracon Mg0), ed in tal caso nella direzione radiale si avrà

164

5 Dinamica relativa

N⊕ = −Mg0 (4)

che è ciò che misureremmo con una bilancia, ovvero il peso del corpo.Nel caso reale della Terra che gira, la presenza della forza centrifuga riduce la reazione, diciamo

Fr , di modo che lungo la direzione radiale si ha

Fr = Fni cosα−Mg0 =Mω20r cosα−Mg0

o utilizzando la (2)

N =Mω20R0 cos2 α−Mg0 (5)

Il nuovo peso sarà l’opposto di questa reazione vincolare

F0 = −Mg (6)

ed il nuovo valore dell’accelerazione di gravità è

g = g0 −R0ω20 cos

2 α (7)

L’effetto della rotazione comporta una riduzione dell’accelerazione di gravità (riduzione del peso)che va da una riduzione massima all’Equatore ad una riduzione nulla ai Poli.

Esempio 5:Un corpo di massa M è appoggiato su di una piattaforma orizzontale, priva diattrito. Il corpo è inoltre legato ad una estremità di una molla di costante elastica k, come infigura:

All’istante t = 0, la piattaforma comincia a muoversi verso sinistra con accelerazione costantea0. Scrivere l’equazione del moto e la sua soluzione nel sistema solidale con la piattaforma e conorigine nella posizione di riposo di M , prima che la piattaforma iniziasse il suo moto. Il sistemasolidale con la piattaforma non è inerziale e l’equazione del moto in tale sistema si scrive:

165

§5.7 Complementi

Ma0 = F+Fni (1)

dove F rappresenta le forze newtoniane e Fni rappresenta le forze non-inerziali:

Fni = −Ma0 (2)

Ai fini del moto, la sola forza newtoniana efficace è la forza elastica, per cui, lungo l’asse x, l’eq.(1) diventa

Max0 = −kx0 +Ma0 (3)

ovvero

M

kax0 = −x0 + M

ka0 (4)

Cambiando variabile

η = −x0 + M

ka0 (5)

la (4) diventa

d2η

dt2+

k

Mη = 0 (6)

La soluzione di tale equazione è

η (t) = A cos

Ãrk

Mt+ φ0

!(7)

dove A è l’ampiezza e φ0 è la fase iniziale. Usando la (5), otteniamo la soluzione cercata:

x0 (t) = −η + M

ka0 = −A cos

Ãrk

Mt+ φ0

!+

M

ka0

5.7 Complementi

5.7.1 Il pendolo di Foucalt e la forza di Coriolis

Su un punto materiale M, che si muove con velocità v0, rispetto al un sistema S0, solidale con laTerra (quindi non-inerziale)

166

5 Dinamica relativa

agiscono, oltre alle forze newtoniane ed alla forza centrifuga, anche una nuova forza non-inerziale, detta di Coriolis, la cui espressione è

FC = −2Mω0 ∧ v0 (1)

dove ω0 è la velocità angolare della Terra intorno al suo asse. La forza di Coriolis dipende dalprodotto vettoriale tra la velocità angolare della Terra e la velocità del punto materiale rispetto alsistema non-inerziale S0. Se un corpo è fermo, la forza di Coriolis è nulla.

Esamineremo qualitativamente l’azione della forza di Coriolis in un esperimento ideale, moltovicino ad un esperimento fatto realmente da Foucalt, nel 18.. , a Parigi (pendolo di Foucalt).

Immaginiamo di voler studiare il moto di un pendolo semplice, che esegue le sue oscillazioni alPolo Nord. Se la Terra non ruotasse, poiché la forza risultante, tra la tensione Fτ e la forza peso,che fa oscillare il pendolo è la componente tangenziale della forza peso

il corpo che oscilla deve rimanere sempre nello stesso piano e quindi il piano di oscillazione delpendolo non cambierà nel corso del tempo. Ma la Terra ruota, su se stessa. Da un riferimento fissonello spazio, il cui piano (xy) è papallelo al piano tangente alla Terra nel Polo Nord (vedi figurasotto a sinistra), si vedrà la Terra ruotare in senso antiorario intorno al piano di oscillazione delpendolo, con velocità angolare ω0.

167

§5.7 Complementi

Nel riferimento solidale con la Terra che gira (vedi figura sopra a destra), per spiegare il moto delpendolo semplice, un osservatore dovrà introdurre anche la forza di Coriolis. Tale forza è ortogonaleal piano individuato dalla velocità angolare della Terra e dalla velocità del punto materiale stesso.Il risultato dell’azione di questa forza è tale che l’osservatore O0, solidale con la Terra, vedrebberuotare in senso orario il piano di oscillazione del pendolo ed in 24 ore tale piano farebbe un girocompleto. Se l’esperimento venisse eseguito ad una latitudine α, la velocità angolare del piano delpendolo sarebbe data da

ω = ω0 sinα (2)

5.7.2 I sistemi di riferimento solidali con la Terra

L’equazione del moto in un sistema non-inerziale si scrive

Ma0 = F−MaO0 (1)

dove F rappresenta l’insieme delle forze newtoniane agenti sul punto materiale di massa M edaO0 è l’accelerazione del sistema non-inerziale rispetto ad un sistema inerziale. Infine, (−MaO0) èla forza non-inerziale da aggiungere, nei sistemi non-inerziali, alle forze newtoniane per descriverecorrettamente il moto del punto materiale M .

La Terra ruota intorno ad un asse che passa per il Polo Nord ed il Polo Sud. Il suo periodo dirotazione è di 24 ore.

168

5 Dinamica relativa

Indicheremo con ω0 la velocità angolare costante della Terra. Qualunque sistema ancorato allasuperficie della Terra è un sistema non-inerziale. Più precisamente, un sistema solidale con la Terrasi muove di moto circolare uniforme, con velocità angolare, pari a

ω0 =2π

24× 3600 = 7, 29× 10−5 rad

s(2)

su di una circonferenza di raggio r ( con R0 indicheremo il raggio medio della Terra che è circaR0 = 6, 27× 106m). Per individuare su quale circonferenza, rispetto all’equatore

abbiamo ancorato il sistema non-inerziale S’, possiamo usare la latitudine α: di modo che ilraggio della circonferenza su cui gira il sistema non-inerziale si può scrivere in termini della latitudinee del raggio medio della Terra:

r = R0 cosα (3)

Un corpo di massa M , esaminato dal sistema non-inerziale S0 sarà soggetto, oltre alle forzenewtoniane, anche ad una forza centrifuga, la cui espressione è

Fni = ω20rur (4)

Tale forza

169

§5.8 Problemi

tenderà ad allontanare M dalla Terra. Valutiamo l’ordine di grandezza dell’accelerazionecentrifuga prendendo come valore di r, il raggio medio della Terra. Avremo

ac = (7, 29)2 × 10−10

µrad

s

¶2× 6, 37× 106m = 3, 38× 10−2m

s2(5)

Tale valore è circa il 3 % dell’accelerazione di gravità terrestre g. In molte applicazioni numeriche,visto il basso contributo dellla forza centrifuga, la si può trascurare.

5.8 Problemi

1 Il letto di un fiume è largo 300 metri e la velocità di scorrimento dell’acqua è v0 metri al secondo.Una barca si trova nel punto A e deve arrivare in B, mantenendo sempre la stessa rotta.

Sia θ l’angolo che determinara la direzione della rotta da mantenere. Sapendo che la velocitàdella barca è v = αv0, si determini l’angolo θ.

Soluzione

θ = arcsin³v0v

´

170

5 Dinamica relativa

2 Un aereo si muove con velocità costante v = 360km/h nella direzione dell’asse x, ad una quotah = 3km. Ad un certo istante viene lasciato cadere dall’aereo un oggetto, supposto puntiforme.Determinare, dopo un tempo t, la posizione dell’oggetto, sia rispetto al sistema fisso Oxy cherispetto al sistema Óx’y’, solidale con l’aereo in moto.

Soluzione

y0 = −12gt2

x = vt y = h− 12gt

3. Un pendolo semplice di lunghezza l è sospeso in un vagone ferroviario in moto rettilineolungo l’orizzontale con accelerazione costante a0 = kg, dove k è una costante e g è l’accelerazionedi gravità. Si determini la tangente dell’angolo formato dal filo con la verticale, quando il pendoloè in quiete rispetto al vagone.

Soluzione

tanα =a0g

171

Capitolo 6

Meccanica della rotazione

Forse il moto che ha più interessato gli uomini, fin dai tempi antichi, è stato il moto dei pianeti edegli astri in generale. Abbiamo visto che Aristotele riteneva che il moto ”naturale” degli astri fossequello circolare e che tale moto non avesse bisogno di alcuna forza per potersi esplicare; esso era unasorta di moto inerziale ed eterno, non essendoci alcun attrito nello spazio celeste. Abbiamo imparatonel secondo capitolo, che per la meccanica newtoniana, il moto circolare necessita di una forza che”costringa” i corpi a rimanere sulla circonferenza, perché altrimenti per inerzia (”naturalmente”diremmo con Aristotele) i corpi tenderebbero ad allontanarsi lungo la tangente. La forza checostringe i corpi a rimanere sulla circonferenza ha una proprietà interessante: essa è diretta sempreverso il centro della circonferenza. Questo fa si che il centro della circonferenza è un punto, per cosìdire ”diverso” dagli altri punti dello spazio. Esso è privilegiato perché da esso il moto si esprimenella maniera più semplice. Per ogni altro punto dello spazio la descrizione di un particolare motocircolare è molto più complicata di quella descritta dal centro della circonferenza. Questo risultatofu palese anche ai contemporanei di Copernico, quando egli sostituì nella descrizione dei moti deipianeti la Terra con il Sole. La descrizione eliocentrico è più semplice di una descrizione geocentrica.Non che non sia possibile fare una descrizione del moto dei pianeti assumendo un riferimento concentro sulla Terra (anzi siamo naturalmente costretti a farlo), ma la descrizione ne acquista insemplicità se il riferimento viene posto sul Sole. Queste osservazioni introduttive servono a spiegarel’operazione che ci accingiamo ora a fare. La meccanica descritta dalle leggi spiegate nel secondocapitolo è sufficiente a spiegare tutti i moti. Tuttavia, se ci si ferma solo ai principi esposti nelsecondo capitolo si perdono delle prospettive che possono migliorare la nostra comprensione deimoti e più in generale dei fenomeni fisici. Impareremo, per esempio che il moto più generale diun corpo macroscopico particolare (il corpo rigido, cap. dodicesimo) è la composizione di unatraslazione e di una rotazione intorno ad un asse. Allora conviene sviluppare un’analisi dei moti

172

6 Meccanica della rotazione

intorno a qualche punto privilegiato. Tale sviluppo porterà tra le altre cose all’introduzione di unnuovo concetto, il momento della quantità di moto (o momento angolare) che si è rivelato nel tempoun concetto fondamentale della fisica, tanto da sopravvivere allo stessa meccanica newtoniana.

6.0.1 Moto intorno ad un asse

Abbiamo già studiato i moti piani e tra i moti piani il moto circolare. Supponiamo di studiarelo stesso moto circolare ma da un sistema di riferimento la cui origine è posta fuori dal piano overisiede la circonferenza

Possiamo inoltre fissare l’asse z del sistema di riferimento in modo tale che sia ortogonale alpiano della circonferenza e passante per il centro della circonferenza. In tal caso, l’asse z diventaun asse di rotazione per il punt che si muove sulla circonferenza. Nella sua rotazione intornoall’asse z il punto si mantiene sempre alla stessa distanza R dall’asse (raggio della circonferenza)e dall’origine del sistema di riferimento (vettore posizione). Lungo l’asse z definiamo il vettore dirotazione infinitesimo:

dφ = dφuz (1)

Dimostriamo che

dr = dφuz ∧ r (2)

ovvero, esplicitando i differenziali e dividendo per dt

v =dφ

dtuz ∧ r = ωuz ∧ r

Ponendo

ω ≡ ωuz (3)

173

la precedente relazione diventa

v = ω ∧ r (4)

Passiamo alla prova. Il secondo membro della (2) è in modulo dφr sin θ. D’altra parte il primomembro è in modulo Rdφ. Poiché, qualunque sia la posizione dell’origine del sistema di riferimentosull’asse z è sempre vero che

R = r sin θ (5)

il modulo dei due membri della (2) è uguale. Mostriamo che v è ortogonale sia ad uz che alvettore posizione. Che sia ortogonale al vettore posizione discende dal fatto che r in modulo ècostante, quindi dr/dt = v è ortogonale ad r. Inoltre, poiché v è nel piano della circonferenza èortogonale all’asse z e quindi a uz. La (4) è stata dimostrata.

Notiamo infine, che indipendentemente dalla posizione dell’origine del sistema di riferimentosull’asse di rotazione, per la (5) il modulo della velocità è sempre:

v = ωR =dφ

dtR (6)

risultato in perfetto accordo con la precedente analisi sul moto circolare. Infine osserviamoche le rette individuate dai vettori (uR,v, ω) sono mutuamente ortogonali. Passiamo al calcolodell’accelerazione. Differenziando la (4) si ha:

a =dω

dt∧ r+ ω ∧ dr

dt

Introducendo l’accelerazione angolare, α,

α ≡ dω

dt(7)

si ottiene

a = α ∧ r+ ω ∧ v (8)

La quantità

at ≡ α ∧ r (9)

è detta accelerazione tangenziale. La quantità

ac ≡ ω ∧ v = ω ∧ (ω ∧ r) (10)

è detta accelerazione centripeta. Poiché

174


ω ∧ (ω ∧ r) = (ω · r)ω − ω2r (11)


a = α ∧ r+ (ω · r)ω − ω2r (8a)

Se l’origine del sistema di riferimento, posto sull’asse di rotazione, viene preso nel piano delmoto, allora potremo scrivere

a = α ∧R+ (ω ·R)ω − ω2R

che si riduce, essendo ω ed R ortogonali, alla relazione:

a = α ∧R− ω2R (8b)

Il primo termine è l’accelerazione tangenziale, che nel moto circolare uniforme è nulla, mentreil secondo termine è l’accelerazione centripeta già incontrata nella trattazione del moto circolareuniforme.

6.0.2 Il momento della quantità di moto

Una caratteristica della Meccanica Newtoniana è quella di assegnare l’origine delle forze sui corpi.La Terra si muove intorno al Sole perché sul Sole ha sede la forza (forza di gravitazione universale)che attira la Terra. La posizione del Sole è allora un punto privilegiato per il moto della Terra nellospazio (la Terra è ”vincolata” al Sole). Questo privilegio che hanno dei punti dello spazio rispettoad altri e che si manifesta in genere come un ”vincolo” per il moto della particella in esame, vienemeglio compreso se si introducono i concetti di polo, momento della quantità di moto rispetto ad unpolo e di momento di una forza rispetto ad un polo (La rotazione intorno ad un asse, che abbiamodiscusso nel precedente paragrafo è un caso particolare).

Sia P un punto arbitrario su di una traiettoria, v la sua velocità ed M la sua massa.

Definizione: Si definiscemomento della quantità di moto o momento angolare di una particella,rispetto ad un polo O, il vettore

J ≡ (P −O) ∧Mv (12)

Se O è scelto come origine di un sistema di riferimento, (P-O) nella (14) è il vettore posizionedel punto mobile.

175

Si può allora anche scrivere:

J = r ∧ p = r ∧Mv (13)

dove r è il vettore che indica la posizione del punto materiale misurato dal polo O, ora anchecentro di un sistema di riferimento

Sebbene la coincidenza del polo con l’origine del sistema di riferimento non sia necessaria,lacoincidenza del polo con l’origine del riferimento sarà assunta per semplificare la notazione.

6.0.3 La seconda equazione fondamentale della dinamica

Applichiamo l’operatore delta alla (13):

∆J = ∆ (r ∧Mv) = ∆r ∧Mv + r ∧∆ (Mv)e dividendo per ∆t:

∆J

∆t=∆r

∆t∧Mv+ r ∧ ∆ (Mv)

∆t

e passando al limite, per ∆t→ 0, si arriva a

dJ

dt= v ∧Mv+ r ∧Ma (14)

Il primo termine al secondo membro è nullo perché i due vettori sono paralleli; il secondotermine, per l’equazione fondamentale, contiene la forza, per cui, la (14) si riduce a

dJ

dt= r ∧ F (15)

Questa equazione è nota, come seconda equazione cardinale della dinamica.La stessa equazione, in forma integrale diventa

∆J =

Z tf

ti

dt (r ∧ F) (16)

Notiamo che la derivazione della precedente equazione dipende dalla validità dell’equazionefondamentale della Meccanica, ed in questo senso ne é una semplice conseguenza. Il linea di principio

176


non ci si dovrebbe aspettare grandi nuove conseguenze. Tuttavia, questa nuova equazione, contienenuovi aspetti fisici, che non sono presenti nell’equazione fondamentale. Inoltre queste nuove quantitàed alcune delle sue conseguenze sopravvivranno alle stesse leggi di Newton. Il motivo essenzialedi ciò risiede nel fatto che alcune delle conseguenze di questa nuova equazione si possono dedurreda principi, legati direttamente alle proprietà dello spazio-tempo, che sono più generali della stesseleggi di Newton.

6.0.4 Il momento di una forza

Definizione: Si definisce momento di una forza, rispetto al polo O, il vettore

τ ≡ (P −O) ∧ F (17)

Il momento di una forza dipende sia dal punto P su cui agisce la forza (il punto P è detto puntodi applicazione della forza) sia dalla forza stessa. Per esempio, due forze uguali, applicate in duepunti differenti della traiettoria, hanno momento diverso, rispetto allo stesso polo. Il momento diuna forza dipende dal polo, come si può vedere rapidamente. Infatti, se O0 è un nuovo polo avremo:

τO0 =¡P −O0

¢ ∧ F = (P −O) ∧ F+ ¡O −O0

¢ ∧ Fovvero

τO0 = τO +¡O −O0

¢ ∧ F (18)

A meno che (O −O0) non sia parallelo alla forza, il momento dipende dal polo scelto.Nello studio del momento di una forza è importante anche il concetto di retta di applicazione

(o retta d’azione)

Per definizione, di prodotto vettoriale, il modulo del momento della forza è uguale all’area delparallelogramma di lati (P-O) ed F , ovvero al prodotto Fb, dove con b, indichiamo la distanza trala retta passante per F ed il polo. La distanza b è detta braccio, mentre la retta passante per laforza è detta retta di applicazione.

177

Notiamo che comunque si prenda il punto di applicazione P, sulla retta di applicazione, il valoredel momento della forza non cambia. Quindi è più importante conoscere la retta di applicazioneche il punto di applicazione. Ponendo, come per il momento della quantità di moto, l’origine delsistema di riferimento sul polo, avremo

τ ≡ r ∧ F (19)

Possiamo ora riscrivere l’equazione fondamentale come segue

dJ

dt= τ (20)

e possiamo dire che la derivata temporale del momento della quantità di moto di una particellarispetto ad un polo O è uguale al momento, rispetto allo stesso polo, della forza applicata sullaparticella. Oppure, in analogia, con l’impulso di una forza ed il suo legame con la variazione dellaquantità di moto, la precedente equazione si può anche scrivere:

∆J =

Z tf

ti

dtτ (21)

Le dimensioni del momento di una forza sono

τ =

£ML2

¤[T 2]

Nel prossimo capitolo troveremo che anche l’energia ha queste dimensioni. Tuttavia poichéfisicamente sono quantità differenti si è dato all’energia un nome particolare.

6.0.5 Il momento angolare e le forze centrali

Abbiamo imparato nel precedente capitolo che, senza conoscere la traiettoria di un punto mobilepossiamo spiegare alcuni importanti fenomeni. In questo paragrafo, mostreremo che per una interacategoria di forze, quelle dette centrali è possibile determinare, alcune caratteristiche generali perle loro traiettorie, anche senza calcolarle direttamente.

Sia P un punto mobile su di una traiettoria. Diremo che la forza agente sul punto materialeè centrale, se su tutta la sua traiettoria la forza è sempre diretta lungo la congiungente P conun punto O detto centro delle forze. Noi converremo sempre di scegliere l’origine del sistema diriferimento su tale centro e scriveremo una forza centrale come segue

Fc = ±f (r)ur (22)

dove la funzione f è una funzione solo della distanza relativa del punto mobile dal centro delleforze. Avremo modo di studiare spesso tali forze.

178


Per quello che riguarda questo capitolo, notiamo, che essendo sempre paralleli la forza ed r, ilmomento di una forza centrale è sempre nullo.. Ciò comporta che l’equazione fondamentale diventa

∆J = 0 (23)

ovvero

J = costante (24)

Nei moti centrali il momento angolare è una costante del moto.La costanza della direzione del vettore momento angolare ci assicura che i moti centrali sono

moti piani : Il moto di una particella soggetta all’azione di una forza centrale si svolge semprenel piano individuato dal vettore posizione (misurato a partire dal centro della forza) e dal vettorevelocità. Non è quindi una restrizione l’uso di sole coordinate piane nel caso di moti centrali.

Teorema: Per i corpi soggetti a forze centrali, la costanza del momento della quantità dimoto equivale alla costanza della velocità areolare (seconda legge di Keplero: il raggio vettore checongiunge il Sole con un pianeta descrive aree uguali in tempi uguali).

Supponiamo che una particella si muova su di un piano. Il raggio vettore, al muoversi dellaparticella, descrive un’area. La variazione temporale di tale area è detta velocità areolare (o areale),var.Per definizione, di prodotto vettoriale, il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori è ugualeall’area del parallelogramma individuato dai due vettori, quindi la variazione areale, si può scrivere:

∆(Area) =1

2|r ∧∆r| (25)

Dividendo per ∆t:

∆(Area)

∆t=1

2

¯r ∧ ∆r∆t

¯Passando al limite ∆t→ 0, si ottiene

var =1

2|r ∧ v|

e ricordando la definizione di momento della quantità di moto

179

§6.1 Esempi

var =J

2M(26)

che conclude la prova.La conservazione del momento della quantità di moto ha una semplice applicazione. Nel moto

della Terra intorno al Sole, in due differenti punti, A e B della traiettoria, essendo la massa dellaTerra costante, la conservazione del momento della quantità di moto si riduce nella costanza delseguente prodotto:

rAvφ (A) = rBvφ (B) (27)

dove con vφ abbiamo indicato la componente non radiale della velocità:

Possiamo allora dire che, il prodotto della distanza di un pianeta dal Sole per la componenteortogonale alla direzione radiale della velocità istantanea è sempre costante.

6.1 Esempi

Esempio 1: Supponiamo di avere un punto materiale legato ad un filo che, a sua volta, passaattraverso un tubo. Inizialmente il punto gira a velocità costante vi su di una circonferenza di raggioRi. Ad un certo istante si incomincia a tirare il filo fino a portare il punto su di una circonferenzadi raggio Rf , dove il corpo si muove con un’altra velocità costante, vf . Calcolare la velocità finalein termini degli altri parametri.

La soluzione di un tale problema, estremamente complessa se si utilizzasse l’equazione fonda-mentale, è invece immediata se si utilizza la conservazione del momento angolare. Infatti,

MRivi =MRfvf

da cui

180


vf =Ri

Rfvi

Esempio 2: il pendolo semplice.Ci proponiamo di derivare ancora una volta l’equazione del moto del pendolo semplice, utiliz-

zando l’equazione fondamentale per le rotazioni:

d

dtJ = τ

Tale equazione diventa,

d

dt(Mlv) = −Mlg sin θ

Poiché v = ldθ/dt, se si pone

I =Ml2

la precedente equazione, per piccoli angoli, diventa

d2θ

dt2+

Mlg

Iθ = 0

Tale espressione è esattamente uguale alle precedenti. Abbiamo introdotto la quantità I (mo-mento d’inerzia) per poter confrontare questo risultato con il pendolo fisico discusso in un prossimocapitolo.

181

Capitolo 7

I due corpi

Finora abbiamo studiato il moto ed alcune proprietà del singolo punto materriale. Per esempio,nella descrizione fatta del moto della Terra e dei pianeti intorno al Sole, data la grande differenzatra la massa del Sole M¯ = M1 e la massa della Terra M⊕ = M2 (o degli altri pianeti) abbiamoconsiderato praticamente fermo il Sole. Nel fare ciò, abbiamo approssimato il moto dei due corpi,per esempio il sistema Sole-Terra, ad un moto di un solo corpo , la Terra, intorno all’origine dellaforza gravitazionale prodotta dal Sole. Ci proponiamo di esaminare il problema di due corpi,(penseremo sempre al sistema Sole-Terra) senza alcuna approssimazione.

7.1 Il problema dei due corpi

Ora dobbiamo fare un passo avanti e cercare di capire come un sistema di particelle di due particellepuò essere descritto. Ci limiteremo al caso di due punti materiali. Le equazioni fondamentali, perdue punti materiali di massa M1 ed M2 sono:

M1a1 = Fe1 +F12 M2a2 = F

e2 +F21 (1)

dove con il pedice ”1” indicheremo il Sole e con il pedice ”2” la Terra. La forza F12 è la forzagravitazionale esercitata dalla Terra sul Sole, mentre la forza F21 è la forza gravitazionale che ilSole esercita sulla Terra. Per la terza legge di Newton, avremo

F12 = −F21 (2)

Inoltre, con Fe1 e F

e2 abbiamo indicato le risultanti di tutte le forze che il restante universo

esercitano, sul Sole e sulla Terra rispettivamente. Nella descrizione del moto del sistema Sole-Terra,

182

7 I due corpi

si possono trascurare le azioni gravitazionali degli oggetti fuori dal sistema solare. Anzi, potremopensare, con buona approssimazione, che la sola forza esterna agente sul sistema Sole-Terra sia laforza gravitazionale esercitata dalla Luna su entrambi:

Dobbiamo allora risolvere il problema del moto del sistema Sole-Terra, sotto la sola azione dellaforza di gravitazione universale della Luna. Il metodo di risoluzione di un tale problema consiste nelseparare l’azione delle forze esterne dalle quelle interne. Si procede nel modo seguente. Sommiamomembro a membro le due precedenti equazioni:

M1a1 +M2a2 = Fe1 +F12 +F

e2 +F21

Per il principo di azione e reazione, la somma delle forze interne è nulla, quindi la precedenteequazione si riduce a

M1a1 +M2a2 = Fe1 +F

e2 (3)

7.1.1 Il Centro di Massa

Questa equazione può essere interpretata in termini di equazione del moto di un singolo puntomateriale fittizio, detto Centro di Massa. Il Centro di Massa è un punto materiale fittizio, cui vieneassegnata una massa, indicata con MCM pari alla massa totale del sistema in esame

MCM =M1 +M2 (4)

ed una posizione, indicata da RCM , espressa dalla relazione

RCM =M1r1 +M2r2

MCM(5)

dove r1 e r2 sono i vettori posizione dei punti materiali ”1” e ”2”, rispetto ad un sistema diriferimento inerziale. Poiché le masse dei corpi sono costanti, il punto materiale Centro di Massasi muoverà con velocità

183

§7.1 Il problema dei due corpi

VCM =M1v1 +M2v2

MCM(6)

dove v1 e v2 sono le velocità dei punti materiali ”1” e ”2”, rispetto ad sistema di riferimento in-erziale. Infine, se si indicano con a1 e a2 le accelerazioni dei punti materiali ”1” e ”2”, l’accelerazionedel Centro di Massa sarà

aCM =M1a1 +M2a2

MCM(7)

Quest’ultima relazione può essere riscritta nel modo seguente:

MCMaCM =M1a1 +M2a2 (8)

Se si confronta la (8) con la (3), quest’ultima equazione, diventa:

MCMaCM = Fe1 +F

e2 (9)

Per completare la nostra interpretazione di tale equazione in termini di singolo punto materiale,dobbiamo assumere che la risultante delle forze esterne,

FeCM = Fe

1 +Fe2 (10)

agisce sul solo Centro di Massa. In tal caso, l’eq.(3), ovvero l’equazione (9) diventa

MCMaCM = FeCM (11)

Graficamente, il problema delle forze esterne si è ridotto a

La soluzione di tale equazione ci risolverà il problema del moto del Centro di Massa:

RCM = RCM (t) (12)

184

7 I due corpi

Si può allora dire che l’azione delle forze esterne governa il moto del Centro di Massa. Inparticolare, se si possono trascurare le azioni delle forze esterne, Fe

CM = 0, avremo

MCMaCM = 0

ed il Centro di Massa si muoverà di moto rettilineo uniforme o sarà fermo:

VCM = costante

Per il sistema di due punti materiali questa è la forma che assume il principio d’inerzia.Avendo risolto il problema dell’azione delle forze esterne sul sistema di due particelle, possiamo

pensare al problema del moto per le sole forze interne.

7.1.2 La massa ridotta

Le equazioni (1), escludendo le forze esterne, per le quali abbiamo già risolto il problema, si riduconoa

M1a1 = F12 M2a2 = F21 (13)

che possiamo riscrivere come:

a1 =F12M1

a2 =F21M2

Sottraendo , membro a membro, la prima dalla seconda, avremo

a2 − a1 = F21M2− F12

M1

Poiché, F12 = −F21, per il princio di azione e reazione, la precedente equazione diventa

185


a2 − a1 = F21M2

+F21M1

ovvero

a2 − a1 =µ1

M1+

1

M2

¶F21 (14)

Anche questa equazione, come quella per le sole forze esterne, può essere interpretata in termini diun singolo punto materiale, fittizio, detto massa ridotta. La massa di tale punto è, per definizione,data dall’espressione

Mµ =M1M2

M1 +M2(15)

e la sua posizione posizione sarà individuata dal vettore

rµ = r21= r2 − r1 (16)

Nel caso del sistema Sole-Terra, il punto materiale di massa ridotta è quel punto materialefittizio, che possiede la massa (15) e il cui vettore posizione è il vettore posizione della Terra, riferitoad un sistema di riferimento con l’origine nel centro del Sole. La velocità del punto materiale dimassa ridotta sarà

vµ = v2 − v1 (17)

mentre la sua accelerazione sarà

aµ = a2 − a1 (18)

186

7 I due corpi

Se si tiene conto della eq.(18) e della definizione di massa ridotta, eq (15), l’equazione del moto,per le sole forze interne, diventa

aµ =

µ1

µ

¶F21

ovvero

Mµaµ = F21 (19)

Graficamente,

La soluzione di tale equazione ci risolverà il problema del moto della massa ridotta:

rµ = rµ (t) (20)

Possiamo dire che, le forze interne governano il moto del punto materiale di massa ridotta.Abbiamo ricondotto il problema del moto dei due punti materiali (punti materiali reali)M1 edM2,al problema del moto di due punti materiali fittizi, il Centro di Massa, Mtot e la Massa Ridotta, µ.

7.1.3 La soluzione del problema

Risolto il problema del moto dei due punti materiali fittizi, cioè attenuta la forma esplicita della(12) e (20), si può risalire, usando la

RCM =M1r1 +M2r2

MCM(5)

e la

rµ = r2 − r1 (16)

187


al problema del moto effettivo, cioè trovare

r1 = r1 (t) r2

7 I due corpi

la posizione del Centro di Massa coincide praticamente con il centro del Sole

RCM =M1r1 +M2r2

MCM

∼= r1e la forza interna è la forza di gravitazione universale

FG = −GM1M2

r2ur

dove r = r21 . Allora, si può approssimare l’equazione per le forze interne

Mµaµ = −GM1M2

rur

con l’equazione

M2a2 = −GM1M2

rur

ponendo il centro del sistema di riferimento nel centro del Sole. Questa è l’usuale forma del-l’equazione del moto (equazione di un singolo punto materiale) usata per la discussione delle leg-gi cinematiche di Keplero. La grande differenza di massa tra il Sole e la Terra rende questaapprossimazione ragionevole, per una discussione generale.

7.1.6 Esempi

Ora mostreremo alcune applicazioni del problema dei due corpi.Esempio 1: Si abbiamo due corpi poggiati su di un piano orizzontale privo di attrito. I due

corpi sono legati da una fune inestensibile e di massa trascurabile. Al corpo di massaM2 è applicatauna forza F .

Nella parte destra sono analizzate le forze agenti su ciascun corpo. Si può osservare che latensione della fune svolge il ruolo di forza interna mentre la forza F quella di forza esterna alsistema. Le due tensioni sono uguali e di segno contrario. Le equazioni del moto per le dueparticelle sono:

189

§7.2 Le equazioni cardinali

M1a1 = Fτ M2a2 = −Fτ +F

sommando membro a membro si ottiene

M1a1 +M2a2 = F

da cui, poiché il filo è inestensibile, si ha

a1 = a2 = a

e quindi

(M1 +M2)a = F

L’accelerazione con cui si muovono i due corpi è uguale a quella con cui si muove il Centro diMassa del sistema. Ora nota l’accelerazione dall’equazione

M1a = Fτ

otteniamo la tensione della fune.

7.2 Le equazioni cardinali

Ora deriveremo delle equazioni che riguandano il comportamento globale del sistema di due parti-celle.

7.2.1 L’equazione per la quantità di moto

Se abbiamo due particelle possiamo definire la quantità di moto totale del sistema ptot, come segue:

ptot ≡M1v1 +M2v2 = p1 + p2 (1)

Abbiamo dimostrato nella precedente sezione che, l’equazione del moto delle due particelle, sipuò ridurre a:

M1a1 +M2a2 = Fe1 +F

e2 (2)

Il primo membro si può anche scrivere

d

dt(p1 + p2) = F

e1 +F

e2

ovvero

190


r1 ∧M1a1 = r1 ∧ Fe1 + r1 ∧F12

r2 ∧M2a2 = r2 ∧ Fe2 + r2 ∧F21

Sommiamo membro a membro

r1 ∧M1a1 + r2 ∧M2a2 = r1 ∧Fe1 + r1 ∧ F12 + r2 ∧Fe

2 + r2 ∧ F21che riscriviamo, usando la terza legge di Newton, ancora come

r1 ∧M1a1 + r2 ∧M2a2 = r1 ∧Fe1 + r2 ∧ Fe

2 + r1 ∧ F12 − r2 ∧ F12ovvero

r1 ∧M1a1 + r2 ∧M2a2 = r1 ∧Fe1 + r2 ∧ Fe

2 + (r1 − r2) ∧ F12 (4)

Ma la quantità

(r1 − r2) ∧ F12 = 0 (5)

perché i due vettori sono paralleli. Allora, la (4) è diventata

r1 ∧M1a1 + r2 ∧M2a2 = r1 ∧ Fe1 + r2 ∧Fe

2 (6)

Le quantità al secondo membro definiscono il momento totale delle forze esterne, τ etot:

τ etot = r1 ∧ Fe1 + r2 ∧ Fe

2 = τ e1 + τ e2 (7)

Le equazioni (6) diventeranno

r1 ∧M1a1 + r2 ∧M2a2 = τ etot (8)

Proviamo a modificare il primo membro della (8), prima esplicitando le accelerazioni:

r1 ∧M1dv1dt

+ r2 ∧M2dv2dt

= τ etot (9)

Mostriamo che

d

dt(r1 ∧M1v1) = r1 ∧M1

dv1dt

ovvero

192

7 I due corpi

dJ1dt

= r1 ∧M1dv1dt

(10)

Infatti,

d

dt(r1 ∧M1v1) =

dr1dt∧M1v1 + r1 ∧M1

dv1dt

ovvero

d

dt(r1 ∧M1v1) = v1 ∧M1v1 + r1 ∧M1

dv1dt

ma v1 ∧M1v1 = 0, quindi la (10) è dimostrata. Anche per seconda particella si avrà

d

dt(r2 ∧M2v2) = r2 ∧M2

dv2dt

ovvero

dJ2dt

= r2 ∧M2dv2dt

(11)

Allora la (9) diventa

dJ1dt

+dJ2dt

= τ etot

ovvero

dJtotdt

= τ etot (12)

La variazione nell’unità di tempo del momento della quantità di moto rispetto ad un polo èuguale al momento delle forze esterne rispetto allo stesso polo. Se il sistema è isolato, τ tot = 0:

dJtotdt

= 0 → Jtot = J0tot (13)

cioè, in un sistema isolato, il momento angolare totale si conserva.

Forze parallele e Centro di Gravità

Come applicazione dei risultati precedenti consideriamo il caso in cui tutte le forze agenti sullesingole particelle siano parallele. Questo è il caso, per esempio della forza di gravità. Se facciamoriferimento alla forza di gravità la risultante delle forze si può facilmente calcolare:

Fetot =M1g+M2g = (M1+M2)g (1)

Ma noi abbiamo dimostrato che l’equazione per le sole forze esterne si può scrivere

193


MCMaCM = Fetot (2)

dove MCM =M1+M2

Allora, dalle precedenti equazioni deriviamo la relazione:

(M1+M2)aCM = (M1+M2)g

ovvero

aCM = g

Questa uguaglianza suggerisce che, nel caso di forze parallele, la risultante delle forze esterne sipuò pensare come se fosse applicata nel Centro di Massa. Allo stesso suggerimento si arriva se sicalcola il momento delle forze esterne parallele.

τ etot = r1 ∧F1 + r2 ∧ F2 = r1 ∧M1g + r2 ∧M2g =M1r1 ∧ g +M2r2 ∧ govvero

τ etot = (M1r1 +M2r2) ∧ gSe si ricorda il vettore posizione del centro di massa, avremo:

τ etot =MtotRCM ∧ gAllora la somma dei momenti delle forze peso rispetto ad un qualunque polo (scelto come origine

degli assi) è uguale al momento della forza risultante applicata nel Centro di massa rispetto allostesso polo. Il fatto che il Centro di Massa sia il possibile punto ove si possa pensare applicata larisultante della forza peso, fa si che lo stesso punto, individuato dalla relazione

RCG =M1gr1 +M2gr2M1g +M2g

=M1r1 +M2r2M1 +M2

che come si vede coincide con il Centro di Massa, vengo anche chiamato Centro di Gravità.

7.2.3 Cosa si può generalizzare

Nel caso di N particelle le precedenti equazioni cardinali si possono tutte generalizzare. Infatti, sipuò provare che, definita la quantità di moto totale del sistema, come

ptot ≡M1v1 +M2v2 + .....+MNvN = p1 + p2 + .......+ pn (1a)

194

7 I due corpi

il momento della quantità di moto totale del sistema, rispetto ad uno stesso polo preso come originedel sistema di riferimento, come

Jtot = r1 ∧M1v1 + r2 ∧M2v2 + .......+ rN ∧MNvN = r1 ∧ p1 + r2 ∧ p2 + .......+ rN ∧ pN (2a)

procedendo come si è fatto per le due particelle si ottengono sia

dptotdt

= Fe1 +F

e2 + .....+Fe

N (3a)

chedJtotdt

= τ etot (4a)

doveτ etot = r1 ∧ Fe

1 + r2 ∧Fe2 + ......+ rN ∧ Fe

N = τ e1 + τ e2 + ......+ τ en (5a)

Infine, sono riscrivibili tutte le equazioni sulle forze parallele ed il centro di gravità.

7.3 Lavoro ed energia cinetica

Se si hanno due particelle, abbiamo imparato che occorre tener conto sia delle forze interne chedi quelle esterne al sistema. Ciascuna forza potrà compiere un lavoro sul corpo su cui agisce.Possiamo dire che sulla particella M1 agiranno sia una forza interna che la risultante delle forzesesterne, quindi ci saranno due forze che potranno compiere un lavoro sulla particellaM1. Lo stessodicasi per la seconda particella. In conclusione, su un sistema di due particelle ci devono esserequattro possibili contributi al lavoro totale esarcitato da forze sul sistema. Andiamo ad esaminarequesti contributi ed il loro esito sul moto dei due corpi.

Come ovvia generalizzazione del caso di singola particella, l’energia cinetica totale del sistemadi due particelle, si scriverà:

Etot ≡ 12M1v

22 +

1

2M1v

22 = E1 + E2 (1)

Ricordiamo che, nel caso di particella singola, abbiamo dimostrato che il lavoro è sempre ugualealla variazione di energia cinetica:

LF (A→ B) =1

2Mv2B −

1

2Mv2A (2)

Nel caso di due particelle si dimostra che la somma del lavoro fatto sia dalle forze interne cheesterne è ancora uguale alla variazione di energia cinetica totale tra due configurazione

Letot (A→ B) + Li

tot (A→ B) = Etot (B)− Etot (A) (3)

195

§7.3 Lavoro ed energia cinetica

Prova:Riscriviamo l’equazione fondamentale per ciascuna delle singole particelle:

M1a1 = Fe1 +F12

M2a2 = Fe2 +F21

che trasformiamo in

M1a1 ·∆r1 = Fe1 ·∆r1 +F12 ·∆r1

M2a2 ·∆r2 = Fe2 ·∆r2 +F21 ·∆r2

e sommando membro a membro, si ottiene

M1a1 ·∆r1 +M2a2 ·∆r2 = Fe1 ·∆r1 +Fe

2 ·∆r2 +F12 ·∆r1 +F21 ·∆r2 (4)

Al secondo membro abbiamo i quattro contributi, annunciati nell’introduzione. I primi duesono dovuti alle forze esterne e li indicheremo come lavoro delle forze esterne, Le

tot (A→ B):

Fe1 ·∆r1 +Fe

2 ·∆r2 = Letot (A→ B) (5)

Gli ultimi due contributi sono dovuti all’azione delle forze interne e le indicheremo comeLitot (A→ B):

F12 ·∆r1 +F21 ·∆r2 = Litot (A→ B) (6)

In definitiva, la 84) è diventata:

M1a1 ·∆r1 +M2a2 ·∆r2 = Letot (A→ B) + Li

tot (A→ B) (7)

Inoltre, in analogia con le dimostrazioni fatte sulla particella singola,

Ma ·∆r = E (B)− E (A)deve aversi, al primo membro della (7)

M1a1 ·∆r1 = E1 (B)− E1 (A)e

M2a2 ·∆r2 = E2 (B)− E2 (A)

196

7 I due corpi

Sommando membro a membro le due ultime equazioni:

M1a1 ·∆r1 +M2a2 ·∆r2 = E1 (B)− E1 (A) + E2 (B)− E2 (A) (8)

ovvero, posto

Etot (B) = E1 (B) + E2 (B) Etot (A) = E1 (A) + E2 (A) (9)

avremo che

M1a1 ·∆r1 +M2a2 ·∆r2 = Etot (B)− Etot (A) (10)

Allora la (7) diventa

Etot (B)− Etot (A) = Letot (A→ B) + Li

tot (A→ B)

Abbiamo così dimostrato la (3). Essa ci dice che la variazione dell’energia cinetica totale delsistema tra due configurazioni è uguale alla somma dei lavori totali fatti, sia dalle forze esterne chedalla forze interne, per portare il sistema da una configurazione all’altra (la (3) è anche nota comeil teorema dell’energia cinetica per i sistemi con più particelle).

7.3.1 L’energia propria del sistema

Alcune ulteriori relazioni possono essere ottenute se le forze in gioco sono conservative. Infatti, sele forze interne sono conservative, possiamo definire una energia potenziale totale interna, mediantela seguente relazione:

Litot (A→ B) = U i

tot (A)− U itot (B) (10)

Facciamo osservare che A, rappresenta l’insieme delle posizioni di tutte le particelle ad un certoistante; B è l’insieme delle posizioni ad un istante finito successivo. A e B sono due differenticonfigurazioni del sistema.

Si intende per energia propria , U , di un sistema di particelle, le cui forze interne sianoconservative, la quantità

U ≡ Etot + U itot (11)

In tal caso, la (3), si scrive

U (B)− U (A) = Letot (A→ B) (12)

197

§7.4 Esempi

cioè, la variazione di energia propria di un sistema di particelle, tra due configurazioni, è ugualeal lavoro totale delle sole forze esterne per portare il sistema da una configurazione iniziale ad unafinale. Se il sistema è isolato, le forze esterne sono assenti, e possiamo scrivere

U (A) = U (B) (13)

Per un sistema isolato, le cui forze interne sono conservative, l’energia propria del sistema simantiene costante nel tempo.


Nel caso di N particelle tutte le equazioni della precedente sezione si possono generalizzare. Infatti,definendo l’energia cinetica totale come

Etot ≡ 12M1v

22 +

1

2M1v

22 + .....+

1

2MNv

2N = E1 + E2 + .....+ E2 (1a)

si può generalizzare il teorema dell’energia cinetica

Etot (B)− Etot (A) = Letot (A→ B) + Li

tot (A→ B) (2a)

dove il lavoro sia esterno che interno deve essere esteso a tutte le forze e lo spostamento è riferitoa tutte le particelle. In maniera analoga tutte le equazioni che vanno dall’eq. (10) alle (13) sonogeneralizzabili, con le dovute nuove interpretazioni.

7.4 Esempi

Esempio 1: Due corpi di massa nota M1 e M2 sono a contatto come è mostrato in figura. Tra idue corpi vi è attrito ed il coefficiente di attrito statico λs è anch’esso noto. Il corpo M2 è poggiatosu di un piano senza attrito, mentre M1 è sospeso. Su M1 si esercita una forza F . Determinare ilvalore minimo di F affinchè il corpo non cada.

198

7 I due corpi

Come si vede dal grafico delle forze agenti sui due corpi, vi sono due forze interne: la forza diattrito Fa e la reazione dei due corpi.FR . Le equazioni del moto delle singoli corpi sono:

M1a1 = F+Fa +M1g +FR (1)

M1a1 = Fr +Fa +M2g +FR (2)

dove Fr è la reazione vincolare esercitata dal tavolo suM2. Decomponiamo lungo gli assi le dueequazioni.

M1ax1 = F − FR (3a)

M1ay1 = Fa −M1g (3b)

M2ax2 = FR → ax2 =FRM2

(4a)

M2ay2 = Fr − Fa −M2g (4b)

Affinché il corpo M1 non scivoli, occorre non vi sia moto lungo l’asse y, e dalla (3b), segue:

0 = Fa −M1g → Fa =M1g (5)

Ma, per definizione di forza di attrito,

Fa = λsFR → FR =Faλs=

M1g

λs(6)

Anche il corpo M2 non si muove lungo l’asse y e dalla (4b) segue:

0 = Fr − Fa −M2g → Fr = Fa +M2g (7)

I due corpi avranno la stessa accelerazione nella direzione dell’asse:

ax1 = ax2 = a (8)

Sommando membro a membro la (3a) e la (4a) si trova:

(M1 +M2) a = F (9)

Usando la (4a), avremo

(M1 +M2)FRM2

= F (10)

199

§7.5 Collisioni elastiche

ed infine, usando la (6) si otterrà il risultato cercato:

(M1 +M2)1

M2

M1g

λs= F (11)

Osservazione: Notiamo che in questo esempio la forza di attrito, che è una forza interna, nonè conservativa e quindi in questo caso, non si può definire una energia interna e quindi una energiapropria. Solo l’introduzione del Primo Principio della Termodinamica potrà portare chiarezza alproblema della conservazione dell’energia.

7.5 Collisioni elastiche

Siano dati due punti materiali di massa M1 ed M2. Chiameremo collisioni binarie (o urto binario)tra i due punti materiali, l’evento fisico, estremamente breve nel tempo ed estremamente localizzatonello spazio, durante il quale i due punti materiali variano bruscamente le proprie velocità. Se v1e v2 sono le velocità prima dell’urto, le velocità delle stesse particelle dopo l’urto saranno indicatecon v01 e v02:

Inoltre, durante l’urto, le forze esterne si possono trascurare sempre. In virtù di quest’ultimaproprietà dell’urto, l’equazione fondamentale della dinamica dei due punti materiali, come si evincedallo studio del problema dei due corpi, ci dice che:

a) la quantità di moto totale del sistema dei due punti materiali è costante nel tempo, inparticolare prima e dopo l’urto, ovvero

M1v1 +M2v2 =M1v01 +M2v

02 (1)

b) Il momento quantità di moto totale del sistema dei due punti materiali è costante nel tempo,in particolare prima e dopo l’urto, ovvero

j1 + j2 = j01 + j

02 (2)

200

7 I due corpi

d) Inoltre, poiché l’urto è estremamente localizzato nello spazio, l’energia potenziale interna delsistema non varia durante l’urto, ovvero, l’energia iniziale posseduta da un punto materiale è solocinetica.

Si dice che l’urto è elastico, quando l’energia cinetica del sistema delle due particelle primadell’urto è uguale all’energia cinetica del sistema delle due particelle dopo l’urto:

1

2M1v

21 +

1

2M2v

22 =

1

2M1v

012 +

1

2M2v

022 (3)

Se la precedente relazione non è verificata l’urto sarà detto anelastico. In tal caso, è chiaro che, inqualche modo, si sta verificando che il corpo non è più puntiforme.

Possiamo concludere dicendo che le equazioni che governano le collisioni elastiche sono, in unsistema inerziale generico S,(

M1v1 +M2v2 =M1v01 +M2v

02

12M1v

21 +

12M2v

22 =

12M1v

012 + 1

2M2v022 (4)

Notiamo che le equazioni che esprimono la conservazione della quantità di moto sono vettoriali,mentre quella che esprime la conservazione dell’energia cinetica è scalare.

7.5.1 Esempi

Esempio 1 Un punto materiale di massa M1 urta elasticamente un punto materiale di massa M2,inizialmente fermo. Determinare la velocità di M2, dopo l’urto, in funzione dell’angolo di rinculo,φ2, del rapporto di massa e della velocità di M1 prima dell’urto.

Nella figura, gli angoli φ1 e φ2 sono gli angoli di deflessione, rispetto alla direzione incidente,delle particelle M1 ed M2 rispettivamente. Le ipotesi sull’urto ci consentono di scrivere le dueseguenti equazioni:

M1v1 =M1v01 +M2v

02 (1)

201

§7.5 Collisioni elastiche

1

2M1v

21 =

1

2M1v

012 +

1

2M2v

022 (2)

dove gli apici sulle velocità indicano le quantità dopo l’urto. Introducendo la quantità

A ≡ M2

M1(3)

le precedenti equazioni diventano

v1 = v01 +Av02 (4)

v21 = v012 +Av02

2 (5)

Ricavando v01 dalla (4) e sostituendo nella (5) si trova

2v1 · v02 = v022 (A+ 1)ed esplicitando il prodotto scalare

2v1v02 cosφ2 = v

022 (A+ 1)

si ottiene il risultato cercato:

v02 =2v1A+ 1

cosφ2 (6)

Chiameremo urto centrale l’urto caratterizzato da un angolo di rinculo nullo, φ2 = 0. In tal caso,le due particelle dopo l’urto si potranno muovere solo llungo la direzione della particella incidente.

Esempio 2 Un punto materiale di massa M1 urta elasticamente un punto materiale di massaM2, inizialmente fermo. Determinare l’energia cinetica di M2, detta energia trasferita, dopo l’urto,in funzione dell’angolo di rinculo, φ2, del rapporto di massa e dell’energia di M1 prima dell’urto.

Indicheremo con T, l’energia trasferita. La velocità di M2 dopo l’urto è stata determinata nelprecedente esempio:

202

7 I due corpi

2v1v02 cosφ2 = v

022 (A+ 1) (1)

dove A =M2/M1. Quadrando la (1) e moltiplicando per M2/2, troveremo

T =4M1M2

(M1 +M2)2E1 cos2 φ2 (2)

Introducendo la quantità

γ ≡ 4M1M2

(M1 +M2)2 (3)

la precedente equazione diventa

T == γE1 cos2 φ2 (4)

ovvero, introducendo anche la notazione

TM ≡ γE1 (5)

avremo

T = TM cos2 φ2 (6)

La quantità TM rappresenta la massima energia trasferibile in un urto binario ed elastico e siottiene in un urto centrale (la particella 2 rincula nella stessa direzione della particella incidente).

Esempio 3: Un punto materiale di massa M1 urta elasticamente e centralmente un puntomateriale di massa M2, inizialmente fermo. Determinare le velocità di M1 e M2, dopo l’urto, intermini del rapporto di massa M2/M1 = A e della velocità di M1 prima dell’urto, nel caso in cuiA >> 1.

203

§7.6 Complementi

Le equazioni di partenza sono:

M1v1 =M1v01 +M2v

02 (1)

1

2M1v

21 =

1

2M1v

012 +

1

2M2v

022 (2)

Ricaviamo v01 dalla (1)

v01 =M1v1 −M2v

02

M1(3)

che sostituita nella (2) ci darà:

£(1 +A) v02 − 2v1

¤v02 = 0 (4)

Questa equazione ammette due soluzioni:

v02 = 0 v02 =2

1 +Av1 = 2

M1

M1 +M2v1

La prima soluzione, comporta anche che v01 = v1,

v02 = 0 v01 = v1

corrisponde al caso in cui l’urto non è avvenuto e quindi va scartata. Rimane la seconda soluzione,che esplicitata è

v01 =1−A

1 +Av1 =

µM1 −M2

M1 +M2

¶v1 v02 =

2

1 +Av1 = 2

M1

M1 +M2v1 (5)

Nel caso in cui, A >> 1, le precedenti equazioni diventano

v01 ∼= −v1 v02 ∼=2

Av1 (6)

cioè, M1 rimbalza su M2 ed M2 prosegue nella direzione della particella incidente.

7.6 Complementi

Nel precedente capitolo abbiamo studiato la dinamica relativa, ovvero la meccanica vista da duesistemi di riferimento, in moto relativo l’uno rispetto all’all’altro. Nella precedente sezione, abbiamointrodotto il Centro di Massa. ora vogliamo mostrare che un sistema di riferimento solidale con ilCentro di Massa ha delle importanti proprietà

204

7 I due corpi

7.6.1 Centro di Massa e sistema solidale con il Centro di Massa

Si abbia un sistema di due particelle di massa M1 e M2,

Si definisce Centro di Massa (CM) del sistema di due particelle il punto materiale fittizio, dimassa uguale alla massa totale del sistema

MCM =M1 +M2 (1)

e la cui posizione nello spazio è individuata dal seguente vettore posizione

RCM =M1r1 +M2r2M1 +M2

(2)

Notiamo subito che, dalla (1) e (2), segue

MCMRCM =M1r1 +M2r2 (3)

ovvero

MCMVCM =M1v1 +M2v2 (4)

dove VCM è la velocità con cui si muove il Centro di Massa. La precedente equazione, ci dice che

La quantità di moto totale del sistema dei due punti materiali è uguale alla quantità di mo-to posseduta dal punto materiale fittizio, Centro di Massa. Per alcune considerazioni, si potrà”sostituire” il sistema dei due punti materiali con il Centro di Massa.

Consideriamo, un secondo sistema di riferimento, con l’origine coincidente con il Centro diMassa:

205

§7.6 Complementi

Data l’importanza che questo nuovo sistema di riferimento ha nella Fisica, per individuare legrandezze fisiche misurate da un osservatore, solidale con esso, le individueremo ponendoci soprauna tilde, a. Nel precedente grafico, si vedono i vettori posizione, r1 e r2 misurati dall’osservatoresolidale con il Centro di Massa, insieme ai tradizionali vettori posizione ed al vettore posizione delCentro di Massa. Usando la regola di somma dei vettori troviamo subito il legame tra i tre vettoriposizione e le rispettive velocità:

r1 = RCM + r1 r2 = RCM + r2 (5)

v1 = VCM + v1 v2 = VCM + v2 (6)

dove v1 e v2 sono le velocità delle due particelle, misurate dall’osservatore solidale con il Centro diMassa. Moltiplichiamo ambo i membri delle due precedenti equazioni (6), per le rispettive massa

M1v1 =M1VCM +M1v1 M2v2 =M2VCM +M2v2

e poi sommiamo membro a membro

M1v1 +M2v2 =M1VCM +M2VCM +M1v1 +M2v2

Si può riorganizzare l’equazione in maniera tale da ottenere:

M1v1 +M2v2 −MCMVCM =M1v1 +M2v2 (7)

Ma per la (4), il primo membro dell’ultima equazione è nullo, quindi

0 =M1v1 +M2v2 (8)

La (8) ci dice che, la quantità di moto totale di un sistema di due particelle, quando è misuratadall’osservatore solidale con il Centro di Massa, è sempre nulla.

Questa è la proprietà più importante del sistema del Centro di Massa ed è vera sempre, perqualunque numero di particelle. Riscriviamo la (7), come segue

206

7 I due corpi

M1v1 +M2v2 =MCMVCM +M1v1 +M2v2 (9)

che possiamo leggere dicendo che, la quantità di moto totale di un sistema di due particelle, in ungenerico sistema di riferimento inerziale S, è la somma della quantità di moto posseduta dal Centrodi Massa,MCMVCM , e dalla quantità di moto totale dello stesso sistema, misurata dall’osservatoresolidale con il Centro di Massa, M1v1 +M2v2.

Tuttavia, per la (8), quest’ultima quantità sappiamo che vale zero. quindi

M1v1 +M2v2 =MCMVCM (10)

La quantità di moto, posseduta da un sistema di punti materiali, in un qualunque sistema inerziale,è sempre uguale alla quantità di moto posseduta dal Centro di Massa del sistema.

L’energia cinetica in differenti sistemi di riferimento

Siano dati due punti materiali di massaM1 edM2 e siano v1 e v2 le velocità dei due punti materialimisurati da un osservatore posto in un sistema di riferimenti inerziale S:

dove r1 e r2 sono i vettori posizione dei due punti materiali.L’energia cinetica totale, del sistemadei due punti materiali è

Etot = 1

2M1v

21 +

1

2M2v

22 (1)

Introduciamo un sistema solidale con il entro di Massa, e misuriamo la stessa energia cineticatotale, del sistema dei due punti materiali, da questo nuovo sistema sistema di riferimento.

207

§7.6 Complementi

Dalla figura si vede che, i vettori posizione e velocità sono legati dalle seguenti relazioni:

r1 = RCM + r1 r2 = RCM + r2 (2)

v1 = VCM + v1 v2 = VCM + v2 (3)

dove le quantità con la tilde, (r1, r2, v1, v2), sono misurate dall’osservatore solidale con il Centrodi Massa e RCM e VCM sono i vettori posizione e velocità del punto materiale fittizio, Centro diMassa. Usando la (3), si può riscrivere la (1), come segue:

Etot = 1

2M1 (VCM + v1)

2 +1

2M2 (VCM + v2)

2 (4)

Analizziamo i due quadrati al secondo membro. Avremo

(VCM + v1)2 = (VCM + v1) · (VCM + v1)

dove abbiamo usato, al secondo membro, il prodotto scalare tra due vettori. Svolgendo, il secondomembro avremo

(VCM + v1)2 = V2

CM + v21 + 2VCM · v1 (5a)

In maniera analoga, potremo scrivere

(VCM + v2)2 = V2

CM + v22 + 2VCM · v2 (5b)

La (4), usando la (5a) e (5b), diventa

Etot = 1

2M1

¡V2

CM + v21 + 2VCM · v1¢+1

2M2

¡V2

CM + v22 + 2VCM · v2¢

che possiamo riscrivere come

208

7 I due corpi

Etot = 1

2(M1 +M2)V

2CM +

1

2M1v

21 +

1

2M2v

22 +VCM · (M1v1 +M2v) (6)

Ma la quantità di moto totale del sistema dei due punti materiali, quando è misurata dall’osservatoresolidale con il Centro di Massa, essa è nulla

M1v1 +M2v2 = 0 (7)

Allora, la (6) si riduce a

Etot = ECM +1

2M1v

21 +

1

2M2v

22 (8)

dove abbiamo introdotto, l’energia cinetica del punto materiale fittizio, Centro di Massa:

ECM =1

2(M1 +M2)V

2CM =

1

2MCMV

2CM (9)

La (8) ci dice chel’energia cinetica totale, del sistema dei due punti materiali, misurata dal un generico sistema

inerziale S, è la somma dell’energia cinetica posseduta dal Centro di Massa e dell’energia cineticatotale misurata dall’osservatore solidale con il Centro di Massa.

Poiché, l’energia cinetica è sempre positiva, possiamo sempre scrivere che

Etot ≥ 12M1v

21 +

1

2M2v

22 (10)

cioè, l’energia cinetica totale del sistema, quando è misurata nel sistema solidale con il Cen-tro di Massa, risulta sempre essere minore o uguale alla stessa energia cinetica misurata in unqualunque altro sistema inerziale S. Ovvero, il sistema solidale con il Centro di Massa è il sistemaenergeticamente più conveniente.

Il momento della quantità di moto in differenti sistemi di riferimento

Siano dati due punti materiali di massaM1 edM2 e siano v1 e v2 le velovità dei due punti materialimisurati da un osservatore posto in un sistema di riferimenti inerziale S. Introduciamo il sistema diriferimento solidale con il Centro di Massa. Le relazioni tra i vettori posizione e velocità, nei duesistemi di riferimento, sono

r1 = RCM + r1 r2 = RCM + r2 (1)

v1 = VCM + v1 v2 = VCM + v2 (2)

dove le quantità con la tilde, , sono misurate dall’osservatore solidale con il Centro di Massa eRCM e VCM sono i vettori posizione e velocità del punto materiale fittizio, Centro di Massa. Se

209

§7.6 Complementi

moltiplichiamo le (2), per le rispettive masse, troviamo le relazioni tra le quantità di moto nei duesistemi di riferimento:

M1v1 =M1VCM +M1v1 M2v2 =M2VCM +M2v2 (3)

Introduciamo il vettore momento della quantità di moto totale del sistema dei due punti materiali,nel generico sistema inerziale S:

Jtot = r1 ∧M1v1 + r2 ∧M2v2 (4)

Lo stesso vettore, nel sistema solidale con il Centro di Massa, si scriverà,

Jtot = r1 ∧M1v1 + r2 ∧M2v2 (5)

Ci proponiamo di trovare la relazione che intercorre tra quest’ultime due quantità vettoriali.Usandola (1) e (3), la (4) si può riscrivere come

Jtot = (RCM + r1) ∧ (M1VCM +M1v1) + (RCM + r2) ∧ (M2VCM +M2v2)

che può essere riscritta come

Jtot = JCM + (M1r1 +M2r2) ∧VCM +RCM ∧+(M1v1 +M2v2) (6)

dove abbiamo introdotto il momento della quantità di moto del punto materiale fittizio, Centro diMassa:

JCM = RCM ∧ (M1 +M2)VCM = RCM ∧MCMVCM (7)

Ma la quantità di moto totale, quando è misurata dall’osservatore solidale con il Centro di Massa,è sempre nulla

M1v1 +M2v2 = 0

Allora, la (6) si riduce a

Jtot = JCM + (M1r1 +M2r2) ∧VCM + Jtot (8)

Mostriamo che

M1r1 +M2r2 = 0 (9)

Moltiplichiamo ciascuna relazione, contenuta nelle (1)

210

7 I due corpi

r1 = RCM + r1 r2 = RCM + r2 (10)

per la massa corrispondente

M1r1 =M1RCM +M1r1 M2r2 =M2RCM +M2r2

e sommiamo membro a membro

M1r1 +M2r2 = (M1 +M2)RCM +M1r1 +M2r2

ovvero

M1r1 +M2r2 − (M1 +M2)RCM =M1r1 +M2r2 (10)

Il primo membro della (10) è nullo. Infatti, dalla definizione di vettore posizione del punto materialefittizio, Centro di Massa,

RCM =M1r1 +M2r2M1 +M2

(11)

segue

(M1 +M2)RCM =M1r1 +M2r2

che dimostra che il primo membro della (10) è nullo. In definitiva, la relazione (8) tra i due momentidella quantità di moto totali, si riduce a

Jtot = JCM + Jtot (12)

che ci dice che il momento della quantità di moto totale, misurato in un sistema inerziale S è lasomma del momento della quantità di moto posseduto dal punto materiale fittizio, Centro di Massa,e del momento della quantità di moto misurato dall’osservatore solidale con il Centro di Massa.


Tutti i risultatati dei paragrafi precedenti sono generalizzabili al caso diN particelle. Per la quantitàdi moto, avremo

M1v1 +M2v2 + ...........+MNvN =MCMVCM (1a)

Per l’energia cinetica

1

2M1v

21 + ..........+

1

2MNv

2N = ECM +

1

2M1v

21 +

1

2M2v

22 + .....+

1

2M2v

2N (2a)

211

7 I due corpi

Caso di masse uguali M1 =M2:Avremo:

v1 + v2 = v01 + v

02 v

02 − v

01 = −ε (v2 − v1) (2)

Limitiamoci al caso in cui l’urto è centrale. In tal caso,

v02 + v

01 = v1 + v2 v

02 − v

01 = −ε (v2 − v1)

Sommando membro a membro le due ultime equazioni si trova

v01 =

1

2[v1 (1− ε) + v2 (1 + ε)] (3)

v02 =

1

2[v1 (1 + ε) + v2 (1− ε)] (4)

In caso di urto elastico (ε = 1) si otterranno le seguenti soluzioni:

v01 = v2 v

02 = v1 (5)

Le particelle dopo l’urto si sono scambiate le velocità. In caso di urto totalmente anelastico(ε = 0) si ottiene:

v01 =

v1 + v22

v02 =

v1 + v22

(6)

Le particelle dopo l’urto viaggiano unite.

Caso di masse differenti (M1 6=M2) :

Le equazioni di partenza sono ora:

M1

³v1 − v0

1

´=M2

³v

02 − v2

´v

02 − εv2 = v

01 − εv1 (7)

Moltiplicando la seconda per M1 e sommando membro a membro, si trova

v01 =

1

2M2[M1v1 + ε (M1 −M2) v1 +M2v2 − ε (M1 −M2) v2] (8)

v02 =

1

2M2[M1v1 (1 + ε) + v2 (M2 −M1ε)] (9)

213

§7.7 Problemi

7.7 Problemi

1 Un punto materiale di massa M1 = 0, 12kg è fermo nell’origine di un sistema di riferimento.Lungo l’asse x è posto un punto materiale di massa M2 = 0, 25kg. Se M2 si avvicina, con unavelocità costante di v metri al secondo, si determini la velocità del centro di massa.

Soluzione

VCM =M2

M1 +M2v

214

Capitolo 8

Corpo rigido: elementi

8.1 Cinematica di un sistema rigido di due punti mateiali

Consideriamo due punti materiali di massa M1 ed M2. Su tale sistema agiranno sia le forze interneche le forze esterne. Supponiamo di vincolare la distanza reciproca tra i due punti materiali, conun’asta rigida, ma di massa trascurabile. Chiameremo tale sistema, corpo rigido di due puntimateriali. In questo caso, le forze interne non possono svolgere alcun ruolo ed il moto dipenderàsolo dall’azione delle forze esterne. Per capire come descrivere il nuovo del nostro corpo rigido, (duecorpi vincolati nella distanza reciproca) supponiamo che il moto si svolge in un piano.

Durante un certo intervallo temporale il corpo rigido si è spostato, da una posizione iniziale adun finale, sempre rimanendo nello stesso piano. Abbiamo mostrato che un sistema di due particelle,sotto l’azione delle forze esterne, è equivalente, da un punto di vista globale al moto del Centro diMassa, sotto l’azione della risultante delle forze esterne. Utilizziamo il Centro di Massa per farciaiutare nella descrizione del moto del corpo rigido.

215

§8.2 Rotazione intorno ad un asse fisso

Mostriamo graficamente che possiamo ottenere la posizione finale del corpo rigido, effettuandouna traslazione del corpo rigido e poi una rotazione, intorno al Centro di Massa. Graficamenteavremo:

Questo risultato, mostrato in un caso di moto particolare è vero in generale: Qualunque sia ilmoto di un sistema rigido esso è descrivibile mediante la composizione di una traslazione e di unarotazione intorno ad un asse (l’asse, può variare, in generale, istante per istante). Inoltre, si puòdimostrare che la velocità angolare ω con cui ruotano le due particelle, intorno all’asse di rotazioneè la stessa per i due corpi. Si potrebbe anzi dire che due particelle sono rigidamente legate se laloro velocità angolare, intorno ad un asse qualsiasi, è sempre uguale. Ci occuperemo in seguito solodi rotazione, del corpo rigido, intorno ad un asse fisso di rotazione.

8.2 Rotazione intorno ad un asse fisso

Supponiamo che in nostro corpo rigido sia nel piano (xy) e sia l’asse z, l’asse di rotazione. Duranteil loro moto ciascun punto materiale descriverà un’orbita circolare ed in ogni istante avranno, comeabbiamo già detto, la stessa velocità angolare:

Tuttavia, essendo ad una distanza differente dal centro di rotazione, le loro velocità tangenzialisaranno differenti:

v1 = ωr1 v2 = ωr2 (1)

216

8 Corpo rigido: elementi

Possiamo concludere dicendo che, durante la rotazione, i due punti materiali, pur avendodifferente velocità, hanno la stessa velocità angolare e valgolo le relazioni (1).

8.2.1 L’energia cinetica

Proviamo a vedere la forma che assume l’energia cinetica del sistema rigido, in una rotazione in cuisono valide le relazioni (1). Sappiamo che l’energia cinetica totale del sistema di due punti materialiè

E = 1

2M1v

21 +

1

2M2v

22 (2)

Essendo il sistema rigido, valgono le relazioni (1), quindi

E = 1

2M1 (ωr1)

2 +1

2M2 (ωr2)

2 =

µ1

2M1r

21 +

1

2M2r

22

¶ω2 (3)

Introdotto il momento d’inerzia del corpo rigido, intorno all’asse z :

Iz =M1r21 +M2r

22 (4)

L’energia cinetica diventa

E = 1

2Izω

2 (5)

Il confronto. con l’energia cinetica della singola particella suggerisce di vedere il momentod’inerzia, intorno all’asse di rotazione come la ”massa” del sistema ruotante, pur non avendo ledimensioni di una massa.

8.2.2 Il momento della quantità di moto

Proviamo a calcolare il momento della quantità di moto del nostro corpo rigido, nel caso in cuiruoti, intorno all’asse z, come nel precedente esempio. Per definizione il momento della quantità dimoto del sistema di due particelle è

J = r1 ×Mv1 + r2 ×Mv2 (6)

Poiché sia i vettori posizione che i vettori velocità giacciono nel piano xy e sono tra lororeciprocamente ortogonali, potremo scrivere.

Jz = r1M1v1 + r2M2v2 (7)

Poiché, i due corpi formano un corpo rigido, valgono le relazioni (1):

217

§8.2 Rotazione intorno ad un asse fisso

Jz = r1M1ωr1 + r2M2ωr2 =¡M1r

21 +M1r

22

¢ω

da cui, riutilizzando il momento d’inerzia, (4), si avrà

Jz = Izω (8)

8.2.3 L’equazione del moto

Abbiamo mostrato che l’equazione cardinale di un sistema di due particelle, per il momento dellaquantità di moto, si scrive

dJtotdt

= τ etot (9)

Questa equazione è equivalente a tre equazioni scalari. Se ci si limita al moto del nostro corporigido, intorno all’asse z, potremo considerare solo l’equazione:

dJzdt

= τ ez (10)

dove abbiamo eliminato il pedice ”tot”, per non appesantire la notazione. Poiché, vale la (8),troveremo

d

dt(Izω) = τ ez

da cui

Izdω

dt= τ ez (11)

Inoltre, poiché,

α =dω

dt(12)

è l’accelerazione angolare, l’equazione caridinale si può scrivere:

Izα = τ ez (13)

218


8.3 Rotolare senza strisciare

Un moto particolare dei corpi rigidi è il rotolamento senza strisciare. Illustriamo tale moto pensandoad una ruota che rotola. La presenza dell’attrito tra la ruota e la strada fa si che, istante per istante,la linea di contatto tra la ruota e la strada sia fissa.

Il moto può essere descritto in due modi. Nel primo, si può pensare ad una traslazione delcentro della ruota e ad una rotazione intorno ad un asse passante per il centro della ruota (graficocentrale). Nel secondo caso (grafico a destra), la descrizione del moto è quella di una rotazione,istante per istante, intorno alla linea di contatto tra ruota e strada. La velocità angolare istantanea,con cui avviene la rotazione, intorno all’asse passante per il centro della ruota o all’asse passanteper la linea di contatto tra ruota e strada, è la stessa.

Ci proponiamo di determinare il legame tra la velocità di traslazione VCM del centro della ruota(Centro di Massa della ruota) e la velocità angolare, attorno ad un asse passante per il centro dellaruota. All’istante t, sia a il punto di contatto tra la ruota ed il piano stradale. Il punto B, invece,rappresenta il punto di contatto tra la ruota e la strada al tempo t+∆t. Dalla figura

segue:

AB = R∆φ (1)

D’altra parte, durente l’intervallo temporale ∆t, il Centro di Massa si è spostato da O ad O’.per cui,

AB = OO0 = VCM∆t (2)

219

§8.4 Teorema di Huygens-Steiner

Allora,

R∆φ = VCM∆t

da cui, nel limite per ∆t→ 0, si ha

Rω = VCM (3)

che è la relazione cercata.

8.4 Teorema di Huygens-Steiner

Consideriamo un sistema di due particelle (non necessariamente rigido). Supponiamo che le dueparticelle siano nello stesso piano e che tale piano ruoti intorno ad uno stesso asse.Sia z l’asse dirotazione. Indichiamo con r1 e r2 le distanze, supposte fisse, di M1 e M2 dall’asse z. Il momentod’inerzia del sistema rispetto all’asse z sarà dato da

Iz =M1r21 +M2r

22 (1)

Mostriamo che (teorema di Huygens-Steiner) il momento d’inerzia Iz relativo ad un arbitrarioasse z è uguale al momento d’inerzia ICM , relativo al un asse passante per il Centro di Massa,e parallelo al prescelto asse z, più il prodotto della masse totale del sistema per il quadrato delladistanza d, tra i due assi:

Iz = ICM +Mtotd2 (2)

Consideriamo un sistema riferimento con l’origine nel Centro di Massa ed un asse paralleloall’asse z.

Si consideri un piano ortogonale all’asse z. Sia O l’intersezione dell’asse con il piano, doveporremo gli assi x ed y. Un punto generico del sistema può riferirsi sia ad O che al Centro di Massa,CM; siano rn e rn (con n=1,2) i vettori posizione del generico punto del sistema rispetto ad O eda CM. Si può scrivere

rn = rn + d

dove d è il vettore posizione del CM rispetto ad O. Utilizzando la precedente equazione la (1)

220


diventa

Iz =2X

n=1

Mnr2n =

2Xn=1

Mn (rn + d)2

=2X

n=1

Mnr2n +

2Xn=1

Mnd2 + 2d ·

2Xn=1

Mnrn

Poiché

2Xn=1

Mnrn = 0

e

ICM =2X

n=1

Mnr2n

la relazione (2) è dimostrata.

8.5 Momenti d’inerzia per corpi estesi

Finora abbiamo considerato il corpo rigido come un insieme discreto di punti materiali. In realtàquando si pensa ad un corpo rigido si pensa ad un corpo macroscopico, che sebbene costituitoda atomi e molecole lo vediamo come una distribuzione continua di materia. Questo significa chestiamo assumendo di suddividere un corpo rigido in un gran numero di piccole parti, per ciascunadelle quali vale la meccanica precedentemente descritta e le varie quantità del corpo rigido totalesono ottenute usando il calcolo integrale. Per capire come si usi il calcolo integrale proseguimocome segue.

Supponiamo che il corpo rigido sia costituito da un numero discreto di parti. In tal caso, rn èla distanza media della generica parte dall’asse, ed il momento d’inerzia rispetto all’asse scelto sarà

I =Xn

δMnr2n (1)

dove con δMn abbiamo indicato la massa associata alla generica parte in cui abbiamo pensatosuddiviso il corpo rigido. Nel caso in cui la suddivisione che abbiamo operato si riduce ulteriormente,assegnando a ciascuna parte in cui abbiamo suddiviso il corpo rigido una massa via via sempre piùpiccola (δMn → 0) la precedente somma diventa un integrale:

I =

ZdMr2 (2)

Inoltre

221

§8.5 Momenti d’inerzia per corpi estesi

dM = ρMd3r (3)

dove ρM è la densità di massa del corpo e d3r è il volume infinitesimo contenente la massainfinitesima dM. Sostituendo la (3) nella (2) si trova

I =

ZρMr2d3r (4)

Applichiamo la precedente equazione al caso di una sbarretta omogenea di lunghezza L e sezioneA, la cui rotazione avviene intorno ad un asse perpendicolare alla sua lunghezza, e passante per ilsuo centro.

Il calcolo consiste essenzialmente nella determinazione di dM e nel fissare gli estremi d’inte-grazione. Un elemento infinitesimo di massa, che sia ad una distanza r dal centro della sbarretta,può pensarsi contenuto in un volume di base A ed altezza dr di modo che

dM = ρMAdr

D’altra parte, avendo supposto omogenea la sbarretta, la sua densità si può scrivere ρM =

Mtot/AL, di modo che il momento d’inerzia diventa:

I =Mtot

L

Z L/2

−L/2drr2 =

1

12MtotL

2

Senza procedere ad ulteriore calcoli, diamo qui di seguito alcune espressioni di momenti d’inerziadi corpi a densità uniforme, di uso frequente.

a) Momento d’inerzia di un guscio sferico, rispetto ad asse coincidente con un qualunquediametro:

Si trova

I =2

3MtotR

2

dove R è il raggio del guscio.b) Momento d’inerzia di una sfera piena, rispetto ad asse di rotazione coincidente con un

qualunque diametro:

I =2

5MtotR

2

dove R è il raggio della sfera.c) Momento d’inerzia di un disco pieno, rispetto all’asse passante per il centro ed ortogonale al

disco:Si trova

222


I =1

2MtotR

2

dove R è il raggio del disco

8.6 Esempi

Si determini il momento d’inerzia di una sfera piena, rispetto ad un asse tangente alla sfera, il cuiraggio è R. Utilizzando il teorema di Huygens-Steiner

It = ICM +MtotR2 =

2

5MtotR

2 +MtotR2

ovvero

It =7

5MtotR

2

Esempio Una sfera piena di massa M e raggio R, rotola senza slittare dalla sommità di unpiano inclinato di altezza h ed inclinazione θ. Si trovino le equazioni del moto della sfera. Sianalizzino le forze agenti sulla sfera, e il loro punto di applicazione per il calcolo dei momenti. Vi èin tal caso una forza peso pensabile applicata al CM; la reazione del piano Fr , applicata nel puntodi contatto tra piano e sfera e nello stesso punto la forza di attrito (statico) Fa. L’equazione delmoto per il CM è:

MaCM =Mg sin θ − Fa (1)

mentre quella del momento angolare, rispetto al Centro di Massa, è

Iα = RFa

(il momento della reazione e della forza peso sono entrambi nulli); Poiché I = 2MR2/5,quest’ultima equazione si scrive

α =5

2

FaMR

(2)

Abbiamo due equazioni e tre incognite (aCM , α, Fa) . Osservando che l’accelerazione lineare delCM è pari a quella di un punto tangente alla sfera, istante per istante, si può scrivere

aCM = Rα (3)

che è la terza equazione.Esempio Della sfera del precedente esempio, si determini la velocità di arrivo in fondo al piano

inclinato, se la velocità iniziale della sfera è nulla

223

§8.6 Esempi

L’unica forza che compie lavoro diverso da zero è quella peso. Si può allora scrivere

Mgh =1

2MV 2CM +

1

2ICMω2 (1)

dove

VCM = Rω ICM =2

5MR2 (2)

Sostituendo le (2) nella (1) e risolvendo rispetto alla velocità, si trova

VCM =

r5

7(2gh)

Esempio Un corpo di massa M è appeso ad un filo (senza peso) avvolto intorno ad una ruotadi raggio R e momento d’inerzia I, rispetto ad un asse che passa per il suo centro ed ortogonale allaruota (la ruota gira senza attrito intorno a questo asse di simmetria). Si determini l’accelerazionedi M, nonché la tensione del filo.

Abbiamo due corpi da prendere in considerazione. Il corpo M che scende e la ruota che gira.L’equazione del moto di M è

Ma =Mg − Fτ

Mentre l’equazione per la ruota che gira è

Iα = τ

dove α è l’accelerazione angolare e τ il momento della forza applicata. L’unica forza agentesulla ruota è la tensione del filo, per cui τ = RFτ . Le equazioni da risolvere sono

a = g − FτM

Iα = RFτ

Poiché le incognite sono tre (a, Fτ , α), ci occorre un’altra equazione. L’equazione che deriveremo,di natura puramente geometrica, consente, in una pura rotazione, di collegare l’accelerazione linearecon quella angolare. Quando la ruota gira di un angolo θ , un punto sul bordo della ruota si èspostato di un tratto s = Rθ;

dello stesso tratto si è svolto il filo e si è spostato verso il basso il corpo di massa M; quindi

x = Rθ

da cui

224


a = Rd2θ

dt2= Rα

che rappresenta la terza equazione. Risolvendo le tre equazioni si ottiene:

a =m

M + I/R2g Fτ =

I/R2

M + I/R2Mg

Esempio Il pendolo fisico Un qualsiasi corpo rigido, sospeso per un punto O, diverso dal CM,si pone in oscillazione intorno alla posizione di equilibrio se viene da essa allontanata. Se I0 è ilmomento d’inerzia rispetto ad O e d la distanza di O dal CM, ci proponiamo di determinare ilperiodo di oscillazione di tale pendolo.

Siamo nel caso di pura rotazione intorno ad O, e l’equazione del moto

d

dtJ = τ

si scrive in tal caso

IOd2θ

dt2= −Mtotd sin θ

Per piccoli angoli di oscillazione, la precedente equazione si riduce a

d2θ

dt2+ ω2θ = 0

dove

ω2 =Mtotgd

I0(1)

Il periodo cercato è allora

T =2π

ω= 2π

sI0

Mtotgd(2)

La quantità

lr =I0

Mtotd(3)

è detta lunghezza ridotta.

225

Capitolo 9

Gravitazione

Il moto dei pianeti e la costituzione della materia hanno da sempre attirato l’interesse degli uomini.Il successo della meccanica di Newton, anche presso i suoi contemporanei fu senza dubbio legato allacapacità della sua meccanica di spiegare le leggi che regolavano il moto dei pianeti. La descrizionedi questo importante evento della storia della scienza è uno degli argomenti di questo capitolo.D’altro canto, la fisica contemporanea è rivolta, per gran parte, verso la risoluzione di problemi delmondo microscopico ed in un corso universitario non si può mancare di descrivere il tentativo dellameccanica classica di avvicinarsi a tale mondo. Mostreremo, che lo stesso formalismo usato perrisolvere il moto dei pianeti può introdurci al mondo microscopico. Questa similarità di formalismo,ha indotto inizialmente gli scienziati a rappresentarsi il mondo microscopico (l’atomo) in manierasimile al mondo planetario (modello planetario dell’atomo). Ancora oggi, sebbene su altre basi,l’infinitamente piccolo viene sempre più avvicinato all’infinitamente grande. Tutto ciò avvalora iltentativo di questo capitolo di avvicinare fin dal primo anno il mondo del molto piccolo al mondodel molto grande secondo la meccanica classica.

9.1 Il problema di Keplero

La deduzione delle leggi di Keplero come conseguenza della forza di gravitazione universale tra ilSole ed i pianeti del Sistema Solare, va sotto il nome di problema di Keplero. Keplero nel 1600fu preso come assistente dall’astronomo danese Tycho Brahe, nel suo laboratorio di Praga, con ilcompito preciso di fare un modello eliocentrico che descrivesse l’orbita di Marte, in accordo coni precisi dati sperimentali raccolti da Brahe. Dopo anni di tentativi fatti con curve geometrichea base di circonferenza e trovando un disaccordo di appena 8 minuti di arco tra i valori dei suoimodelli ed i valori di Brahe, decise di abbandonare l’ipotesi millenaria che voleva i pianeti su orbite

226

9 Gravitazione

circolari. Eliminata l’ipotesi di orbite circolari, l’indagine di Keplero approdò alle orbite ellittiche(era compiuta un’altra grande rivoluzione rispetto alla visione aristotelica del mondo!).

Una derivazione rigorosa della prima e della terza legge di Keplero è mostrata nei complementi.La seconda legge, quelle delle aree descritte dai raggi vettori, è stata mostrata come conseguenzadella conservazione del momento della quantità di moto, per le forze centrali.

Ora mostreremo che, nell’ipotesi, in cui i pianeti abbiano un moto uniforme, su delle orbitecircolari, la validità della legge di gravitazione universale tra i pianeti ed il Sole, comporta che ilrapporto tra il cubo del raggio dell’orbita ed il quadrato del periodo di rotazione sia costante

r3

T 2= kG

Ci proponiamo di determinare il valore della costante kG.Un pianeta, in rotazione uniforme su una circonferenza è soggetto ad una accelerazione cen-

tripeta

ac =v2

r

dove v è la velocità tangenziale del pianeta ed r il raggio della sua orbita.L’equazione del motodel pianeta, nella direzione radiale, è

Mv2

r= G

MSM

r2

da cui deduciamo

v2 = GMS

r(1)

D’altra parte, poichè il moto è circolare uniforme, avremo

v =2πr

T

ovvero

v2 =4π2r2

T 2(2)

Dal confronto, della (1) e (2), segue

GMS

r=4π2r2

T 2

da cui deduciamo che

227

§9.2 Esempi

GMS

4π2=

r3

T 2

Quindi,

kG = GMS

4π2

9.2 Esempi

Esempio Determinare la massa del Sole, nell’ipotesi che le orbite dei pianeti siano circolari.Se si approssimano le orbite dei pianeti con delle circonferenze, la terza legge di Keplero si può

scrivere

GMS

4π2=

r3

T 2

dove MS è la massa del Sole, r è il raggio orbitale di un pianeta e T il suo periodo dirivoluzione.Dalla precedente relazione segue

MS =4π2

G

r3

T 2

Per il calcolo della massa del Sole si può usare un pianeta qualsiesi del sistema solare. Usandola Terra, con r = 14, 96× 1010m e T = 31, 56× 106s si trova che

MS = 1, 92× 1030kgEsempio 3 Determinare il raggio dell’orbita di un satellite artificiale in orbita geostazionaria

intorno alla Terra.Le orbite geostazionarie sono circolari ed hanno lo stesso periodo di rotazione della Terra intorno

al suo asse.Per le orbite circolari, la terza legge di Keplero si può scrivere

GM0

4π2=

r3

T 2

dove M0 è la massa della Terra, r il raggio dell’orbita geostazionaria e T il periodo di rotazionedella Terra su se stessa. Risolvendo per r, si trova

r = T 2/3µGM0

4π2

¶1/3Sostituendo i valori ( G = 6, 67 × 10−11Nm2/kg2, M0 = 5, 98 × 1024kg e T = 24 × 3600s) si

trova r = 4, 23× 107m.

228

9 Gravitazione

Esempio 4 Si determini l’espressione dell’energia totale di un pianeta del sistema solare,nell’ipotesi che le orbite dei pianeti siano circolari.

L’equazione radiale del moto di un pianeta di massa M, in moto su di una circonferenza diraggio r è

Mv2

r= G

MSM

r2

dove v è la velocità tangenziale del pianeta.Dalla precedente relazione, troviamo che, l’energiacinetica del pianeta si può scrivere

E = 1

2GMSM

r(1)

L’energia potenziale dello stesso pianeta, nell’ipotesi che lo zero dell’energia potenziale si postoa distanza infinita si scrive

U (r) = −GMSM

r(2)

L’energia totale si trova sommando la (1) e la (2)

U = E + U = 1

2GMSM

r−G

MSM

r= −1

2GMSM

r

L’energia totale è la metà di quella potenziale ed è negativa.Esempio 5 La velocità di fuga dalla Terra è la minima velocità necessaria ad un corpo per

lasciare la Terra. Determinare tale velocità.Scriviamo la conservazione dell’energia meccanica per un corpo che deve lasciare la Terra.

Scriveremo l’energia totale meccanica in due punti della sua eventuale traiettoria: nel punto A postosulla superficie della Terra e nel punto B posto a distanza infinita.La conservazione dell’energia siscrive:

1

2Mv2A −G

M0M

R0=1

2Mv2B

dove M⊕ e R⊕ sono la massa ed il raggio medio della Terra.La condizione di minima energia siotterrà ponendo vB = 0, quindi

1

2Mv2f −G

M0M

R0= 0

da cui

vf =

r2GM0

R0

229

§9.3 Complementi

La velocità di fuga non dipende dal corpo ma solo dal pianeta. Nel caso della Terra, sostituendoi valori alle varie quantità (G = 6, 67× 10−11Nm2/kg2, M0 = 5, 98× 1024kg e R0 = 6, 38× 106m)si trova vf = 11, 2km/s = 40200km/h.

9.3 Complementi

9.3.1 L’equazione polare delle coniche

Una sezione conica (o semplicemente conica) è una curva piana, descritta da un punto che duranteil suo moto, mantiene costante il rapporto tra, la sua distanza da un punto fisso (detto fuoco)e la sua distanza da una retta (detta direttrice). Il rapporto costante è detto eccentricità e loindicheremo con e.

In Figura è indicato un generico tratto di sezione conica, con il fuoco F e la distanza dalladirettrice ld . Sono inoltre indicate le coordinate polari che utilizzeremo per descrivere le coniche.Con semplici considerazioni geometriche possiamo scrivere

e =FP

PQ=

r

ld − r cos θ(1)

che può poi riscriversi

r =lde

1 + e cos θ

oppure, introducendo il parametro di scala

β = lde (2)

si ottiene

230

9 Gravitazione

β

r= 1 + e cos θ (3)

Se 0 < e < 1 , la sezione conica è una ellisse; se e = 1 è una parabola e se e > 1 è unaiperbole. Nel caso e = 0 si ottiene un cerchio. Poiché cos (−θ) = cos θ, tutte le sezioni coniche sonosimmetriche rispetto all’asse passante per il fuoco ed ortogonale alla direttrice.

9.3.2 L’ellisse

Il caso 0 < e < 1, abbiamo detto che descrive l’ellisse:

Il semiasse maggiore è indicato con a, mentre quello minore con b. Il punto più vicino al fuoco,ove risiede il Sole, ovvero il punto indicato con A, è detto perielio (il suo valore è rp = 1, 47 ·108km),quello più lontano dal fuoco, indicato con B, è detto afelio (il suo valore è ra = 1, 52 · 108km). Ivalori delle velocità della Terra al perielio ed all’afelio sono rispettivamente vp = 30, 2km/s eva = 29, 2km/s. Come si può vedere sono delle velocità ragguardevoli se confrontate con quelle cuisiamo abituati nella vita quotidiana.

Ci proponiamo di derivare alcune di queste grandezze geometriche in funzione dell’eccentricitàe del parametro di scala.

A)- Il perielio, rp: Dalla (3), per θ = 0

rp =β

1 + e(4)

B)- L’afelio, ra: Dalla (3), per θ = π

ra =β

1− e(5)

Noti i valori dell’afelio e del perielio, dalle due precedenti equazioni, possiamo derivare i valoridell’eccentricità e del parametro di scala. Si trova

231

§9.3 Complementi

e =ra − rpra + rp

= 0, 0167 β =2rarpra + rp

= 1, 72km (6)

C)-Il semiasse maggiore:Poiché

2a = rp + ra

segue

a =β

1− e2(7)

D)-Il semiasse minore: Dal triangolo OCF segue

b = OC =pCF 2 −OF 2

Ma

OF = OA− FA = a− rp = ae (8)

Inoltre, da CF/CD = e segue

CF = e (CD) = e (OF + ld) = a (9)

In definitiva

b =

qa2 − (ae)2 = a

p1− e2 (10)

9.3.3 La terza legge di Keplero

Nel caso di una orbita ellittica il semiasse maggiore è dato dalla (7):

a =β

1− e2

Se si sostituisce in tale equazione, i valori trovati per l’eccentricità ed il parametro di scala,troveremo

a =k

2 |E0| (11)

da cui

|E0| = k

2a=

GMSM

2a(12)

232

9 Gravitazione

cioè, l’energia totale di una orbita ellittica dipende dalla massa del Sole, dalla massa del pianetae dal semiasse maggiore.

Sappiamo che la velocità areolare è data da

d

dtArea =

J

2M

possiamo, integrando rispetto al tempo, trovare la relazione tra l’area dell’ellisse ed il tempoimpiegato a percorrere l’intera orbita (cioè, il periodo T di rivoluzione)

Area =J

2M

Z T

0dt =

J

2MT (13)

da cui, poiché Area = πab,

T 2 =

µ2M

J

¶2(πab)2 (14)

Utilizzando la (10) e la relazione β = J2/Mk si trova

T 2 =4π2M

ka3 =

4π2

GMSa3 (15)

cioè, il quadrato del periodo di un pianeta è direttamente proporzionale al cubo del suo semiassemaggiore (Terza legge di Keplero). La costante di proporzionalità dipende dalla massa del Sole edalla costante di gravitazione universale.

9.3.4 Il problema di Keplero e l’equazione fondamentale

Ci proponiamo di risolvere l’equazione del moto della Terra soggetta alla forza gravitazionale delSole:

M⊕dv

dt= −GMSM0

r2ur (1)

Poiché

d

dt(r ∧ v) = r ∧ dv

dt(2)

utilizzando l’espressione dell’accelerazione data dall’equazione fondamentale possiamo scrivere:

d

dt(r ∧ v) = r ∧

µ−GMS

r2ur

¶Poiché il secondo membro è nullo, il vettore

233

§9.3 Complementi

h ≡ r ∧ v (3)

è un vettore costante (è la conservazione del momento angolare!). Notiamo che il moto è pianoperché r rimane ortogonale ad h:

r · h = r · (r ∧ v) = 0 (4)

Calcoliamo ora la quantità

dv

dt∧ h = −GMS

r2ur ∧ (r ∧ v) (5)

Poiché h è costante, la precedente equazione diventa

d

dt(v ∧ h) = −GMS

r2ur ∧ (r ∧ v) (6)

Inoltre

r ∧ v = r ∧ rdurdt

e la (6) diventa

d

dt(v ∧ h) = −GMSur ∧

µur ∧ dur

dt

¶(7)

Ricordando che a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b− (a · b) c, possiamo scrivere

ur ∧µur ∧ dur

dt

¶= −dur

dt(8)

e l’equazione (7) diventa

d

dt(v ∧ h) = GMS

durdt

(9)

Il vettore di Runge-Lenz

La precedente equazione asserisce che il vettore

bRL ≡ v ∧ h−GMSur (10)

detto di Runge-Lenz, è una costante del moto. Moltiplichiamo scalarmente il vettore di Runge-Lenz e scriviamo

234

9 Gravitazione

r · (v ∧ h) = r · bRL + r ·GMSur

che semplificata diventa

h2 = r (GMS + bRL cos (ur · uRL))ovvero

1

r=

GMS + bRL cos (ur · uRL)h2

(11)

Scegliendo come asse polare la direzione del vettore di Runge-Lenz, la precedente equazione siriduce a

β

r= 1 + e cos θ

se si pone

β ≡ h2

GMSe ≡ bRL

GMS(12)

Abbiamo ritrovato l’equazione della conica. Potremmo anche dire che l’esistenza, nel caso delpotenziale 1/r, di una traiettoria chiusa è attribuibile alla conservazione del vettore di Runge-Lenz.

9.3.5 La gravità terrestre

Ci apprestiamo a fare un’analisi più approfondita della forza e dell’energia potenziale gravitazionale.Analizzeremo la forza e l’energia gravitazionale associata a corpi estesi, di densità costante edessenzialmente sferici (la Terra sarà assimilata a tali corpi). Il motivo di passare all’analisi dei corpiestesi è evidente. Non sempre la Terra, per esempio, può considerarsi un corpo puntiforme. Anzi lanostra esperienza quotidiana ci dice che essa è enorme rispetto a noi. Allora dobbiamo sviluppareuna meccanica adatta ai corpi macroscopici. In attesa di approfondire meglio questo aspetto nellasua forma generale in capitoli successivi, ora proveremo a derivare alcuni risultati sulla forza digravitazione prodotta da corpi estesi sferici, utilizzando le proprietà di simmetria del problema;mostreremo che la forza agente su una particella posta dentro una sfera piena e diversa dalla forzaagente sulla stessa particella posta all’esterno della sfera. Vogliamo precisare che la particella cheuseremo, per derivare l’espressione della forza, sia all’interno che all’esterno della sfera, deve esseretanto piccola da non influenzare la forza gravitazionale prodotta della sfera. Tale particella vienedetta particella di prova e la sua massa sarà anch’essa detta massa di prova.

Abbiamo già avuto modo di discutere diversi aspetti della forza di gravitazione universale:

FG = −GM1M2

r2ur (1)

235

§9.3 Complementi

Abbiamo già visto che essa è conservativa, produce moti piani e spiega le leggi di Keplero. Laconsuetudine vuole che la forma dell’energia potenziale nel caso della Terra sia diversa per i corpilontani dalla Terra, da quella per i corpi vicini ad essa. Se si prende il punto O, che serve a definirel’energia potenziale, all’infinito si trova la seguente espressione:

U (r) = −GM0M

r(2)

il cui andamento viene delineato in figura a sinistra:

mentre prendendo lo stesso punto sulla superficie della Terra si ottiene

U (r) = GM0M

R0− GM0M

r(3)

Il cui andamento grafico è nella figura di destra- La (3) si può scrivere

U (r) = GMM0

rR0(r −R0) =

GMM0

rR0h =M

µGM0

R20

¶hR0r

dove h è l’altezza del corpo rispetto al suolo. Poiché g = GM0/R20, si ha

U (r) =MghR0r

Vicino alla Terra, r ed R0 sono praticamente uguali e ritroviamo il risultato derivato dalla forzapeso, cioè:

U (h) ∼=Mgh (4)

Tale espressione è allora una forma approssimata dell’energia potenziale (3).

L’energia potenziale della Terra come energia di legame

Ci proponiamo di calcolare la velocità minima necessaria ad un corpo per fuggire dalla Terra.Sebbene abbiamo già calcolato tale quantità, ripeteremo il suo calcolo usando il teorema di con-servazione dell’energia meccanica. Scriviamo l’energia meccanica del corpo, che vogliamo far usciredalla Terra, in due punti della sua traiettoria: sulla superficie della Terra, quando il corpo parte

236

9 Gravitazione

con una certa velocità iniziale ed a distanza praticamente infinita, dove il corpo arriva con velocitànulla. In tal caso, si ha

1

2Mv2f =

GMM0

R⊕da cui

vf =

r2GM0

R0(5)

o utilizzando la definizione dell’accelerazione di gravità

vf =p2gR0 (6)

Come si vede la velocità di fuga è indipendente dalla massa del corpo (o dalla sua inizialeorientazione): ogni corpo ha bisogno della stessa velocità iniziale per fuggire dalla Terra, a paritàdi latitudine. Usando per g il valore di 9, 81m/s2 e per R0 il valore di6, 37 · 103km si trovavf =11, 2km/s ' 40200km/h.

Il problema della velocità di fuga dalla Terra può anche essere visto sotto un altro aspetto. Dalla(5) si vede che un corpo la cui energia cinetica sulla superficie della Terra è inferiore all’energia

EL ≡ GMM0

R0(7)

non potrà mai lasciare la Terra e sarà sempre nella sua attrazione. Per tale motivo l’energia EL sichiama talvolta energia di legame della Terra. Un sistema Terra-punto materiale è detto legato onon legato a seconda che l’energia cinetica del corpo sulla superficie della Terra è minore o maggioredell’energia di legame.

La gravità all’interno della Terra

La forza peso, abbiamo visto, è un caso particolare della forza di gravitazione universale. Siamostati tuttavia un pò grossolani nelle nostre precedenti considerazioni. Poiché vogliamo anche inda-gare il comportamento della forza gravitazionale all’interno della Terra stessa, sarà meglio rivederein maggior dettaglio le precedenti analisi. La forza di gravitazione universale è applicabile rig-orosamente solo per corpi che si possono considerare puntiformi, ovvero per corpi posti a distanzarelativa molto più grande delle loro dimensioni fisiche. Per un corpo prossimo alla Terra, la Terranon può certo considerarsi puntiforme, e le nostre precedenti considerazioni appaiono quantomenopoco rigorose. D’altra parte, le precedenti conclusioni erano certamente corrette: il moto dei corpinelle vicinanze della Terra è governato dalla forza peso. In altre parole, la Terra si comporta per icorpi prossimi ad essa, come se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro. Cosa rende pos-sibile un tale risultato? La risposta è nella natura stessa della forza gravitazionale (forza centrale,

237

§9.3 Complementi

con la particolare dipendenza funzionale: inverso del quadrato della distanza) come proveremo trabreve.

Il guscio sferico

Vogliamo conoscere la forma dell’energia potenziale e della forza gravitazionale prodotta da un corpola cui massa è uniformemente distribuita su una sfera cava (guscio) di raggio R0. Analizzeremo ilproblema separatamente, prima nel caso in cui il punto ove vogliamo conoscere la forza è esternoal guscio e poi il caso in cui il punto è interno al guscio.

Caso a: Il punto P, di massa M è esterno al guscio.

Dividiamo il guscio in tante strisce circolari, aventi tutte il centro sulla congiungente il centrodel guscio con il punto P. Il raggio della striscia è R⊕ sin θ e la sua larghezza è R0dθ . Quindi l’areadi una generica striscia può scriversi:

Ast = (2πR0 sin θ) (R0dθ) = 2πR20 sin θdθ (8)

Sia Mgu la massa totale del guscio. Allora Mgu/4πR20 è la massa per unità di area del guscio.

La massa della generica striscia sarà:

Mst =Mgu

4πR202πR20 sin θdθ =

Mgu

2sin θdθ (9)

Se R è la distanza comune, di tutti i punti della striscia, dal punto P, allora, possiamo scrivere

dU = −GM (Mgu/2) sin θdθ

R= −GMMgu

2Rsin θdθ (10)

Se r è la distanza tra P ed il centro del guscio, possiamo scrivere

R2 = R20 + r2 − 2R⊕r cos θ (11)

Poiché R⊕ ed r sono costanti, differenziando ambo i membri, si ottiene

2RdR = 2R0r sin θdθ

da cui

238

9 Gravitazione

sin θdθ =RdR

R0r(12)

Sostituendo tale relazione nella (10), otteniamo l’energia potenziale prodotta dalla striscia nelpunto P

dUst = −GMMgu

2R0rdR (13)

Per ottenere l’energia gravitazionale, prodotta in P da tutto il guscio, dobbiamo sommare ilcontributo di tutte le strisce, in cui possiamo pensare diviso tutto il guscio, ovvero integrare la(13). Poiché in A, R vale r −R0 ed in B vale r +R0 , otteniamo

Ugu (r) = −GMMgu

2R0r

Z r+R0

r−R0dR = −GMguM

r(14)

E la forza è, ovviamente,

Fgu = −GMguM

r2(15)

La forza gravitazionale, prodotta dal guscio, nei punti ad esso esterni, è uguale alla forzagravitazionale prodotta da un punto materiale, di massa pari a quella del guscio, posto nel centrodel guscio. Se la Terra fosse un guscio, con massa uniformemente distribuita, le conclusioni delsecondo capitolo sarebbero rigorosamente dimostrate.

Caso b: Il punto P, di massa M è interno al guscio.

Il procedimento è identico fino alla (14). Nel calcolo dell’integrale cambiano gli estremi diintegrazione. Si trova

Ugu = −GMguM

2R0r

Z R0+r

R0−rdR = −GMguM

R0(16)

e la forza diventa

Fgu = 0 (17)

La forza all’interno del guscio è nulla.

239

§9.3 Complementi

La sfera piena

Supponiamo di avere un corpo sferico uniformemente riempito di materia. Tale sfera può pensarsicome la somma di tanti gusci, uno dentro l’altro. Anche in tal caso distingueremo i punti esternida quelli interni.

Caso a: Il punto P, di massa M, è esterno alla sfera.Nella (15) l’unica cosa che differenzierebbe un guscio da un altro è la massa. Quindi la forza

prodotta dalla sfera piena, nei punti esterni può scriversi

Fsf = −GM

r2

Xgu

Mgu = −GMMsf

r2(18)

cioè, una sfera, omogeneamente piena, produce nei punti ad essa esterni, una forza uguale aquelle che produrrebbe una particella puntiforme di massa uguale a quella della sfera, posta nelcentro della sfera stessa. Se la Terra è assunta essere una sfera omogeneamente piena, i risultatidel secondo capitolo sono rigorosamente validi.

Caso b: Il punto P, di massa M, è interno alla sfera.Fissato un punto P, interno alla sfera piena, possiamo pensare alla sfera geometrica che passa

per il punto P. Tale sfera divide il corpo sferico (la Terra) in due regioni: la regione esterna allasfera passante per il punto P; la massa contenuta in tale regione genera una forza risultante nulla(ciascun guscio esterno esercita una forza risultante nulla); la regione interna alla sfera passanteper il punto P; il campo in P è proporzionale alla massa contenuta nella sfera passante per P. Saràsufficiente, in tal caso calcolare solo la massa contenuta in questa sfera. SeM0 la massa totale dellaTerra,

ρM⊕ =M043πR

30

è la massa per unità di volume (densità) della Terra. La massa contenuta nella sfera passanteper P è

M043πR

30

4

3πr3 =M0

r3

R30

La forza gravitazionale, nei punti interni alla sfera, è

Fsf = −GM

r2M0r

3

R30ur = −GMM0

R30rur = −Mg

R0rur (19)

ove g è l’accelerazione di gravità. La gravità all’interno della Terra è proporzionale alla distanzadel punto P dal centro (la forza aumenta, perché la gravità va come r−2 mentre la massa va conr3). Nella Figura.sotto sono descritti gli andamenti delle equazioni (18) e (19).

240

9 Gravitazione

Notiamo che se riscriviamo la massa della Terra in termini della sua densità, la (46) si puòanche scrivere come segue:

Fsf = −G43πρM0

rur (20)

Esempio: Supponiamo di voler calcolare l’energia gravitazionale di una sfera piena, omogeneaed uniforme. Tale energia è prodotta dall’interazione reciproca di tutti i punti materiali che costitu-iscono la sfera. Se si pensa che inizialmente le particelle che costituiscono la sfera attuale fossero adistanza reciproca infinita, allora l’energia propria è pari al lavoro che le forze gravitazionali devonofare per costituire la sfera nella forma attuale.

Per calcolare tale energia si può procedere come segue. Supponiamo che R sia il raggio dellasfera e ρM la sua densità. Consideriamo l’interazione della sfera piena di raggio r (r < R) con lostrato di materia compreso tra r e r + dr. Possiamo scrivere:

dU (r) = −GMsfMst

r(1)

da cui

dU (r) = −Gr

µ4π

3r3ρM

¶ ¡4πr2drρM

¢= −(4πρM)

2

3Gr4dr

Integrando tra 0 ed R,otteniamo

U = −35G (4πρM)

2 r5 (2)

ovvero

U = −35GM2

R(3)

L’energia propria del Sole, con tale formula è U (Sole) ∼= −2× 1041J . Se si sostituisce −GM2

con q2e , dove con qe indichiamo la carica dell’elettrone, otteniamo

U = 3

5Gq2eR

(4)

che rappresenta l’energia potenziale (energia propria) di una distribuzione sferica uniforme dicariche.

241

§9.4 Esempi

9.4 Esempi

Esempio: Supponiamo di poter scavare una galleria attraverso tutta la Terra, passando per ilsuo centro. Determinare l’equazione del moto, di un corpo che è posto nella galleria, inizialmentefermo, ad una distanza di r0 = 100m; r0 ¿ R⊕ dal centro della Terra. Si stabilisca, inoltre, lasua posizione, dopo un secondo.

La forza gravitazionale esercitata dalla Terra su di un corpo che si trova ad una distanza r dalsuo centro è, per la (19):

F = −GMM0

R30rur = −Mg

R0rur

L’equazione del moto sarà, lungo la direzione radiale:

Mar +Mg

R0r = 0 (1)

ovvero

ar + ω2r = 0 (2)

dove abbiamo posto

ω2 = g/R0 (3)

La soluzione di tale equazione, come sappiamo, è

r = A cos (ωt+ φ)

Poiché al tempo t = 0, (r = r0, v = 0), avremo

r0 = A cosφ 0 = −A sinφ

ovvero A = r0, φ = 0. La soluzione finale sarà allora:

r (t) = r0 cos (ωt)

Sapendo che g = 9, 81m/s2 e R0 = 6, 34 × 106m, si troverà prima ω = 1, 2 × 10−3rad/s e poir (t = 1s) = 99, 9m.

Esempio: Determinare l’equazione del moto di un corpo che invece di oscillare lungo il diametrodella Terra oscilla lungo una corda di lunghezza l.

242

9 Gravitazione

Se r è la distanza del corpo dal centro della Terra, la forza (radiale) sarà sempre

F = −Mg

R⊕rur

Poiché il corpo è vincolato a muoversi lungo la corda, di tale forza occorrerà considerare lacomponente lungo la corda. Essa in modulo vale,

Fx =Mg

R⊕r sinα

che diventa

Fx =Mg

R⊕x

per cui l’equazione del moto del corpo sarà

ax + ω2x = 0

dove abbiamo posto, come nel precedente esempio ω2 = g/R0. Se il corpo è lasciato caderelungo il tunnel, a partire dalla superficie della Terra con velocità iniziale nulla troveremo

x (t) =l

2cos (ωt)

9.5 Problemi

1 Fuori dal nostro sistema solare esiste un pianeta la cui massa è α volte la massa della Terra,cioé M = αM0. Come la Terra, il pianeta ha la sua Luna che orbita su una circonferenza diraggio R = βRL, dove RL è il raggio medio dell’orbita della Luna intorno alla Terra. Si determini,il periodo di rivoluzione della Luna del pianeta, in unità del periodo di rivoluzione della Lunadella Terra, TL, nell’ipotesi che la traiettoria di rivoluzione della Luna, intorno alla Terra, sia unacirconferenza e che il suo moto sia determinato solo dalla Terra.

Soluzione:

T =

sβ3

αTL

243

§9.5 Problemi

2 In un nuovo sistema solare esiste un pianeta la cui massa è α volte la massa della Terra, cioèM = αM0. Si determini l,accelerazione di gravità, in unità dell’accelerazione di gravità della Terra,g0, del nuovo pianeta, supposto sferico e di densità uniforme, se il suo raggio è R = βR0 dove R0 èil raggio medio della Terra.

Soluzione

g =α

β2g0

3 Si scopre un nuovo sistema solare, con una sola stella ed un solo pianeta. Supponendo cheil pianeta si muova, intorno alla stella, su di una orbita circolare di raggio r = αr0, dove r0 è ilraggio orbitale medio della Terra, nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole ed abbia un periododi rivoluzione T = βT0, dove T0 è il periodo di rivoluzione della Terra, si determini la massa dellastella, in unità di masse solari, MS .

Soluzione

M =α3

β2MS

4 Si determini la velocità di fuga del seguente pianeta del sistema solare. I dati necessari sonoriportati nella tabella 1.

Soluzione

vf =

r2GM

R

5 Si determini il raggio dell’orbita circolare di un satellite che ruota, con un periodo T, intorno adun pianeta del sistema solare, per il quale la costante kG = 4π2/GM sia uguale a 0, 99×10−13s2/m3.

Soluzione

r =

µ1

kG

¶1/3T 1/3

244

Capitolo 10

Appendici matematiche

Ora sintetizzeremo alcune conoscenze di matematica indispensabili per poter affrontare il corso dimeccanica.

10.1 Funzioni trigonometriche

Sebbene tali funzioni siano definite usando un cerchio goniometrico esse sono più utilizzate all’in-terno di un triangolo rettangolo. Si abbia un triangolo rettangolo, dove r è l’ipotenusa, ed x ed y

sono detti cateti. Inoltre sia φ l’angolo opposto ad y. Valgono le seguenti definizioni:

sinφ =y

rcosφ =

x

rtanφ =

y

xcotφ =

x

ysecφ =

r

xcscφ =

r

y(1)

Notiamo che, dalle (1) seguono le seguenti identità:

tanφ =sinφ

cosφcotφ =

cosφ

sinφsecφ =

1

cosφcscφ =

1

sinφ(2)

sin2 φ+ cos2 φ = 1 sec2 φ = 1 + tan2 φ csc2 φ = 1 + cot2 φ (3)

Inoltre valgono le seguenti formule di addizione

sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ (4)

cos (α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ (5)

245

§10.1 Funzioni trigonometriche

tan (α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ (6)

e duplicazione

sin 2α = 2 sinα cosα cos 2α = 2cos2 α− 1 = cos2 α− sin2 α (7)

e bisezione

sinα

2=

r1− cosα

2cos

α

2=

r1 + cosα

2(8)

e prostaferesi

sinα+ sinβ = 2 sinα+ β

2cos

α− β

2cosα+ cosβ = 2cos

α+ β

2cos

α− β

2(9)

Valgono, inoltre, per un qualunque triangolo, il teorema di Carnot,:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ (10)

e quello dei seni:

sinα

a=sinβ

b=sin γ

c(11)

dove a, b, e c sono i lati del triangolo e α, β, e γ sono gli angolo opposti ai precedenti lati.Tra angoli complementari si hanno le seguenti relazioni:

sin³π2− φ

´= cosφ cos

³π2− φ

´= sinφ tan

³π2− φ

´= cotφ (12a)

mentre, tra angoli che differiscono di 90◦, si ha:

sin³π2+ φ

´= cosφ cos

³π2+ φ

´= − sinφ tan

³π2+ φ

´= − cotφ (12b)

ed infine, tra angoli supplementari, si hanno le seguenti relazioni.

sin (π − φ) = sinφ cos (π − φ) = − cosφ tan (π − φ) = − tanφ (12c)

Alcuni valori utili delle funzioni trigonometriche.

sin 0◦ = 0 sin 30◦ =1

2sin 45◦ =

√2

2sin 60◦ =

√3

2sin 90◦ = 1 (13)

cos 00 = 1 cos 30◦ =√3

2cos 45◦ =

√2

2cos 60◦ =

1

2cos 90◦ = 1 (14)

246

§10.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche

ovvero

x = ln (ex) (5)

da cui segue anche che

1 = ln e (6)

Valgono le seguenti regole:

ln (xy) = lnx+ ln y ln³yx

´= ln y − lnx ln (xa) = a lnx (7)

Data la relazione

b = ax (8)

con a, b > 0 ed a 6= 1 , la soluzione si chiama logaritmo in base a di b:

loga b = x (9)

Si possono usare differenti basi, quella che usa il 10 si chiamo logaritmo decimale, log x; Si ha

log 1 = 0 log 10 = 1 (10)

Il legame tra il logaritmo naturale e quello decimale è il seguente. Se N è un numero positivoqualunque e si pone

x = lnN → N = ex

Se si prende il logaritimo decimale di entrambi i membri si ottiene:

logN = log ex = x log e → x =logN

log e

Se si confrontano le due espressioni di x, si trova

lnN =logN

log e=logN

0.43(11)

Si chiama funzione logaritmica in base a, con a > 0 ed a 6= 1 ,la funzione

f (x) = loga x (12)

248

10 Appendici matematiche

10.3 Approssimazioni

Molto utile, in varie applicazioni, è lo sviluppo della potenza di un binomio:

(1 + x)n = 1 + nx+n (n− 1)

2!x2 +

n (n− 1) (n− 2)3!

+ ................ (1)

Usando la (1) si ottengono le seguenti approssimazioni, al primo ordine,

(1 + x)n ' 1 + nx (2)

da cui

√1 + x = (1 + x)1/2 ' 1 + x

2(3)

1√1 + x

= (1 + x)−1/2 ' 1− x

2(4)

10.4 Alcune regole di derivazione

Se uno scalare, k non dipende dal tempo, la sua derivata temporale è nulla:

d

dtk = 0 (A.1)

Se la dipendenza temporale di una funzione è del tipo tn, dove n è un numero intero arbitrario,allora

d

dttn = ntn−1 (A.2)

Come caso particolare, ddt t = 1.Le derivate di alcune funzioni trigonometriche:

d (sin t)

dt= cos t

d (cos t)

dt= − sin t (A.3)

Se k non dipende dal tempo e f(t) è una funzione di t, allora

d

dtkf (t) = k

d

dtf (t) (A.4)

Se f(t) e g(t) sono due funzioni di t,

d

dt[f (t) + g (t)] =

d

dtf (t) +

d

dtg (t) (A.5)

Se F(g(t)), allora

249

§10.5 Serie di Taylor e Mac Laurin

d [F (g (t))]

dt=

dF

dg

dg (t)

dt(A.6)

Come applicazione di quest’ultima proprietà (derivata di funzione di funzione) consideriamo ilcaso di F (g (t)) = sin (ωt) dove ω non dipende dal tempo. Si trova

d

dtsin (ωt) = ω cos (ωt) (A.7)

Inoltre

d

dt[f (t) g (t)] = f (t)

dg (t)

dt+ g (t)

df (t)

dt(A.8)

d

dt[a (t)b (t)] = a (t)

db (t)

dt+

da (t)

dtb (t) (A.9)

d

dt[a (t) · b (t)] = a (t) · db (t)

dt+

da (t)

dt· b (t) (A.10)

d

dt[a (t) ∧ b (t)] = a (t) ∧ db (t)

dt+

da (t)

dt∧ b (t) (A.11)

10.5 Serie di Taylor e Mac Laurin

Se si assume che una funzione f (x) ammette derivate fino all’ordine n, nell’intervallo (x0, x) allorasi può scrivere

f (x) ' f (x0) + (x− x0) f0 (x0) +

(x− x0)2

2!f 00 (x0) +

(x− x0)3

3!f 000 (x0) + .....

.+(x− x0)

n−1

(n− 1)! f (n−1) (x0) +(x− x0)

n

(n)!f (n) (σ) (1)

dove σ è un conveniente punto compreso tra x0 ed x. La (1) è detta serie di Taylor di puntoiniziale x0.ed il termine

(x− x0)n

(n)!f (n) (σ)

è detto resto. Se si pone x0 = 0 nella (1), si ottiene la serie di Maclaurin:

f (x) ' f (0) + xf 0 (0) +x2

2!f 00 (0) +

x3

3!f 000 (0) + ......+

xn−1

(n− 1)!f(n−1) (0) +

(x)n

(n)!f (n) (σ) (2)

250


Alcuni esempi:

sinx ' x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ ...... (3)

cosx ' 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ ...... (4)

ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ ........ (5)

e−x = 1− x+x2

2!− x3

3!+ ........ (6)

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + ...... per − 1 < x < 1 (7)

1

(1− x)2= 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + ...... per − 1 < x < 1 (8)

10.6 Sull’integrazione

La risoluzione dell0equazioni del moto comportala necessità di ottenere le espressioni della velocitàe dello spazio a partire dalle espressioni (equazioni) contenenti l’accelerazione. Molto spesso larisoluzione comporta una operazione di integrazione. Lo scopo di questo paragrafo è di presentarel’operazione d’integrazione come un procedimento inverso rispetto al procedimento che consente diottenere velocità ed accelerazione dal vettore posizione. L’operazione d’integrazione è affermata daun teorema che nella notazione moderna, si scrive:

d

dt

µZ t

af (x) dx

¶= f (t) (B.1)

e si legge: la derivata (temporale) di un integrale rispetto all’estremo superiore di integrazionet(a è l’estremo inferiore di integrazione) è uguale alla funzione integranda f(x), valutata in t, cioèf(t).

Stabilita l’esistenzadellaoperazionediintegrazione, proponiamoci di vedere in che cosa consiste ilcalcolo di una integrazione. Innanzitutto, non sempre, almeno in termini analitici (cioè in termini difunzioni note) è possibile effettuare una operazione di integrazione. L’operazione diventa possibilequando esiste una funzione primitiva F(x) di f(x), tale cheZ t

af (x) dx = F (t)− F (a) (B.2)

251

§10.6 Sull’integrazione

cioè, deve esistere una funzione F(x), tale che il valore dell0integrale(integrale definito tra a edt) sia uguale alla differenza tra i valori della funzione negli estremi dell0intervallo di integrazione.Dalle due ultime equazioni (teoremi!) segue,

d

dt[F (t)− F (a)] = f (t)

ovvero, poiché F(a) non dipende da t,

d

dtF (t) = f (t) (B.3)

cioè, l’operazione di integrazione è possibile quando esiste una funzione primitiva F(t) di f(t)ed inoltre la derivata di tale primitiva è esattamente la funzione di partenza. Quando la primitivaesiste, si scrive Z

f (x) dx = F (x) +A (B.4)

dove A è una costante arbitraria. Il primo membro si chiama integrale indefinito di f(x). Lavariabile di integrazione è una variabile fittizia, nel senso che ai fini dell’integrazione si può usareun qualsiasi simbolo per indicare la variabile rispetto a cui si effettua l’integrazione. Di seguitodiamo alcune espressioni di primitive di funzioni:Z

ctn = ctn+1

n+ 1+A (n 6= −1) (B.5)Z

t−1dt = ln t+A (t > 0) (B.6)

Zect =

ect

c+A (c 6= 0) (B.7)Z

cos (ωt) dt =1

ωsin (ωt) +A (ω 6= 0) (B.8)Z

sin (ωt) dt = − 1ωcos (ωt) +A (ω 6= 0) (B.9)Z

tan tdt = − ln (cos t) +A (B.10)Z1

1 + t2= arctan t+A (B.11)Z

1√1− t2

dt = arcsin t+A (B.12)

252


Z1√

t2 − 1dt = ln³t+

pt2 − 1

´+A (B.13)

253

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