Meccanica 728 marzo 2011

Corpi estesi. Forze interne al sistema

Centro di massa e suo significato dinamico

1° eq. cardinale. Conservazione della quantita` di moto

Sistemi continui. Densita` di materia

Massa inerziale definita indipendentemente dal peso

Momento angolare e di forza. Cambio di polo

Coppia di forze

Momento delle forze interne

Sistema di forze parallele. Centro di forza

Sistemi di punti

• Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto materiale

• Ora considereremo sistemi formati da più punti materiali

• Accanto alle forze che si esercitano tra il sistema e l’ambiente, dette forze esterne (rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si esercitano tra punti appartenenti al sistema, dette pertanto forze interne

2

Forze interne ed esterne

• Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la forza totale agente sul punto

• Questa puo` essere pensata come somma di due termini, uno dovuto alle forze interne al sistema e uno dovuto a quelle esterne

• Sia le forze interne che esterne possono essere conservative o dissipative

Ei

Iii FFF

3

Risultante delle forze interne• Abbiamo un primo importante teorema: la risultante

di tutte le forze interne di un sistema e` nulla

• Questo e` conseguenza del 3o principio della dinamica: ad una forza agente sul punto i e dovuta al punto j, corrisponde la forza coniugata uguale e opposta alla precedente

• La risultante della coppia e` zero e quindi la somma delle risultanti e` pure zero

0i

IiF

Iijf

InnI

nI

nIn

IIIn

II

nj

Inj

j

Ij

j

Ij

ni ij

Iij

ni

Ii

fffffffff

ffffF

)1(212232111312

22

11

,...1,...1

............

...

Ijif

4

Grandezze meccaniche del sistema

• Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le grandezze meccaniche QM, momento angolare, energia cinetica

• Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza meccaniche del sistema come somma delle grandezze dei punti componenti– Massa:– QM: – Momento angolare:– Energia cinetica:

i

iii

i vmpP

i

iiii

i vmrLL

2

2

1i

ii

ii vmKK

i

imM

5

Centro di massa

• E` un punto ideale dello spazio la cui posizione e` definita da

• Attenzione che questa e` un’uguaglianza vettoriale

• Cio` significa che le coordinate del CM (p.e. in un sistema cartesiano) sono

ii

iii

CM m

rmr

ii

iii

CM m

xmx

ii

iii

CM m

ymy

ii

iii

CM m

zmz

Media dei raggi vettori pesata sulle masse dei punti

6

Velocita` del CM

• Calcoliamo la velocita` del CM

• Ne deriva l’importante teorema: la QM di un sistema e` uguale alla QM del CM, considerato come un punto materiale di massa M e velocita` vCM

M

P

m

vm

mdt

rdm

dt

rdv

ii

iii

ii

i

ii

CMCM

Media delle velocita` pesata sulle masse dei punti

CMvMP

7

Media delle accelerazioni pesata sulle masse dei punti

Accelerazione del CM

• Calcoliamo l’accelerazione del CM

• Ricordiamo la 2a legge della dinamica per il punto generico i

• e introduciamola nell’equazione precedente

M

am

mdtvd

m

dt

vda i

ii

ii

i

ii

CMCM

Ei

Iiiii FFFam

8

Moto del CM

• Troviamo• L’ultima uguaglianza deriva dal fatto che la

risultante delle forze interne e` nulla• D’altra parte

EEI

i

Ei

Ii

iiiCM FFFFFamaM

dt

Pdp

dt

d

dt

pd

dt

vdmamaM

ii

i

i

i

ii

iiiCM

9

Prima equazione della dinamica dei sistemi

• Abbiamo ottenuto l’importante teorema:

• Il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne

• Prima equazione della dinamica dei sistemi• O prima equazione cardinale della dinamica

ECM F

dt

PdaM

10

Proprieta` del CM

• Come risulta dalle definizioni di posizione, velocita` e accelerazione del CM, questo punto ci da` informazioni sulle proprieta` medie del sistema ma nulla ci dice sul moto dei singoli punti

11

Distribuzione continua di massa

• Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità discrete, gli atomi e le molecole

• Nel volume occupato da un corpo macroscopico, c’è un numero estremamente grande di tali costituenti elementari

• Si può allora ritenere con buona approssimazione che entro questi corpi la massa sia distribuita con continuità

• Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo differenziale e integrale

• Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza

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Densità di massa• Massa distribuita in un

volume– Densità spaziale

• Massa distribuita su di una superficie– Densità superficiale

• Massa distribuita lungo una linea– Densità lineare

• Dimensioni della densità

V

M

dV

dM

M

A

dM

dA

dM

dl

M

l

omogenea generale

3ML

ML 2

ML 113

Distribuzione continua di massa

• Viceversa si può trovare la massa: – in un volume V

– su di una superficie S

– lungo una linea L

V

dVM

M dAS

M dlL

14

Centro di massa in un corpo continuo

• Riprendiamo la definizione di CM

• Per un corpo con distribuzione continua di materia bastera` sostituire le sommatorie con integrali e le masse elementari con masse infinitesime

ii

iii

CM m

rmr

corpo

corpo

corpoCM dmr

Mdm

dmr

r

1

15

Centro di massa in un corpo continuo

• Ove abbiamo indicato con M la massa totale del corpo

• Le masse infinitesime sono contenute in volumi infinitesimi

• Se la densita` e` uniforme, gli integrali si riducono a integrali puramente geometrici

corpo

dmM

dVdm

corpo

corpo

corpo

corpo

corpo

corpo

corpo

corpo

corpoCM dVr

VdV

dVr

dV

dVr

dV

dVr

dm

dmr

r

1

16

CM di sottoinsiemi e CM globale

• Cerchiamo il CM di un corpo non connesso

17

1

2

• La prima sommatoria si riferisce al corpo 1 (di massa M1), la seconda al corpo 2 (di massa M2)

jjj

kkk

iiiCM rmrmM

rmM

r 11

jjj

kkk

jjj

kkkCM rm

MM

Mrm

MM

Mrm

M

Mrm

M

M

Mr

2

2

1

1

2

2

1

1 111

CM di sottoinsiemi e CM globale

• La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la seconda quella del corpo 2

• Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi

18

M

rMrMr CMCMCM

2211

CM di due corpi puntiformi

• Siano M e m le masse • Prendiamo come origine la posizione di uno dei due

corpi (l’1 p.e.) allora r1=0

• Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e la sua distanza da essi e` inversamente proporzionale alle loro masse

19

221 r

mM

m

mM

rmrMrCM

12r2

CM di due corpi puntiformi

• Detto

i vettori posizione dei due corpi rispetto al CM si possono scrivere

20

rmM

Mr

2

12

r2CM

r1

rmM

mr

1

12 rrr

Corpi con alta simmetria

• Se un corpo e` simmetrico rispetto ad un punto, un asse o un piano, il CM giace nel punto, sull’asse o sul piano, rispettivamente

• Se esistono piu` assi o piani di simmetria, il CM si trova nella loro intersezione

21

Conservazione della QM

• Se il sistema e` isolato, o le forze esterne hanno risultante nulla, e quindi , la QM si conserva

• In tal caso il CM si muove di moto rettilineo uniforme

• Attenzione: la QM dei singoli punti puo` cambiare nel tempo, e` la loro somma che rimane costante

0dt

Pd

.constP

0EF

M

PvCM

22

Conservazione solo in alcune direzioni

• La legge

• E` una legge vettoriale, per cui puo` accadere che la risultante delle forze esterne, pur non essendo nulla, abbia una o due componenti nulle

• In tal caso la QM si conserva nelle direzioni corrispondenti

EFdt

Pd

0 Ek

k Fdt

dP.constPk

23

Massa inerziale

• La conservazione della QM permette di definire la massa dinamicamente, senza riferimento al peso

• Consideriamo un sistema costituito da due corpi fermi e da una molla compressa di massa trascurabile che li collega

• Lasciando espandere la molla, la QM del sistema non varia, poiche’ l’unica forza in gioco, quella della molla, e` interna al sistema

24

Massa inerziale

• Quando la molla ha finito di espandersi

• Passando ai moduli

• Cioe` e` possibile misurare la massa di un corpo qualunque, rispetto ad un corpo campione, attraverso misure di velocita`

02211 vmvm

2

112 v

vmm

25

Massa inerziale

• Analizzando l’urto tra due corpi, Newton arrivo` alla conclusione che nell’urto tra due corpi isolati, la variazione di velocita` di uno e` in rapporto costante con la variazione dell’altro

Velocita` iniziali Velocita` finali26

Massa inerziale

• Newton estese poi la conclusione ad altri tipi di interazione, ad esempio quella elastica (dovuta ad una molla di massa trascurabile)

27

Massa inerziale

• In ogni interazione tra due punti materiali isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di velocita` ha sempre lo stesso valore e non dipende dal tipo di interazione

• k12 dipende solo dalla coppia di punti• (Poiche’ le variazioni di velocita` hanno segno

opposto, il segno negativo serve per rendere k12 positiva)

122

1 kv

v

28

Massa inerziale

• Se si assegna arbitrariamente una massa m1 ad uno dei due punti, la massa m2 dell’altro puo` quindi essere definita con riferimento al primo

• Sostituendo nella relazione precedente abbiamo un modo operativo di misura della massa inerziale

1

212 m

mk

2

1

1

2

v

v

m

m

29

Momento angolare

• Supponiamo di essere in un sistema inerziale• Il momento angolare totale di un sistema di

punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`

• Vogliamo trovare come cambia il momento angolare se lo calcoliamo rispetto ad un altro polo Q

i

iiO prL

pi

Ori

Ai

30

Notare che la QM e` sempre quella relativa

al sistema inerziale

Momento angolare

• In generale non e` necessario che il polo Q sia fisso, potendo questo muoversi di moto arbitrario

ri’pi Q

OrQ

riAi

• L’espressione del momento angolare rispetto a Q e`

• La relazione tra le distanze di Ai dai due poli e`

• Ove rQ(t) e` la distanza (orientata e dipendente dal tempo) tra i poli

i

iiQ prL

'

Qii rrr

'

31

Momento angolare

• Il calcolo del momento da`

• Il momento dipende dunque dal polo scelto, a meno che la QM non sia nulla

PtrL

prLprpr

prrprL

QO

iiQO

iiQ

iii

iiQi

iiiQ

'

32

Momento delle forze

• Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`

• Similmente a quanto fatto per il momento angolare, vogliamo trovare come cambia il momento delle forze se lo calcoliamo rispetto al polo (che puo` essere mobile) Q

i

iiO Fr

33

Momento delle forze

• L’espressione del momento delle forze rispetto a Q e`

• Il calcolo da`

• Ove F e` la risultante delle forze: a meno che questa non sia nulla, il momento dipende dal polo

i

iiQ Fr '

Ftr

FrFrFr

FrrFr

QO

iiQO

iiQ

iii

iiQi

iiiQ

'

34

Coppia di forze

• Un caso particolare importante e` quello di due forze uguali e opposte (non agenti sulla stessa retta)

• In tal caso la risultante e` nulla e il momento e` indipendente dal polo scelto

112121

12112211

FrFrr

FrFrFrFrO

O

F1

F2

r1r2

r12

35

Coppia di forze

• Il momento risultante e` un vettore perpendicolare al piano individuato dalle forze e dal vettore r12

• Il modulo e`

• Ove b e` il braccio della coppia, ovvero la distanza tra le rette d’azione delle due forze

bFFrO 1112 sin

F1

F2

r12O

b

36

Momento delle forze

• Approfondiamo l’argomento considerando il momento delle forze interne e il momento delle forze esterne, per un polo generico, fisso o in moto

• Dimostriamo ora un importante risultato valido per il momento delle forze interne

EO

IO

i

Eii

i

Iii

iiiO FrFrFr

37

Momento delle forze interne• Gli addendi della sommatoria

• si possono raggruppare in coppie coniugate secondo il 3o principio della dinamica

• Il momento relativo a una qualunque di tali coppie e`

i

Iii

IO Fr

Ijij

Iijiij frfr

ri

rj

fij

fji

O

e poiche’ le due forze sono uguali ed opposte I

ijjiij frr

38

Altrimenti il momento

non sarebbe nullo

Momento delle forze interne• La differenza dei raggi vettori ha la direzione

della congiungente i due punti e poiche’ anche le forze di interazione hanno questa direzione, ne segue

• Il momento totale delle forze interne risulta quindi nullo perche’ e` somma di termini tutti nulli

0ij

ri

rj

fij

fji

O

ri-rj02

1

i ijij

IO

39

Momento delle forze

• Visto in altro modo, abbiamo l’importante risultato che, per un polo arbitrario, il momento delle forze e` uguale al solo momento delle forze esterne

• Questo deriva da due proprieta` della 3a legge della dinamica:– Le forze di interazione sono uguali ed opposte– Le forze hanno la stessa retta d’azione

EOO

40

Sistema di forze parallele

• Sia u il versore che individua la direzione delle forze

• La risultante delle forze risulta parallela a u

• Il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O

uFuFuFFFi

ii

ii

i

uFruFruFrFri

iii

iii

iii

iiO

41

Sistema di forze parallele

• Introduciamo il centro delle forze parallele• Si dimostra facilmente che la posizione del

centro non dipende dal polo scelto• Per il momento di forza otteniamo dunque

• Questo significa che un sistema di forze parallele e` equivalente alla forza risultante F applicata nel centro di forza

FruFruFruFr CCCi

iiO

ii

iii

C F

Frr

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CM e peso

• Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti su ciascun elemento del corpo e`

• Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e coincide con il CM

• La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto

gMdmgPcorpo

43

CM

ii

iii

ii

iii

ii

iii

CG rm

mr

gm

gmr

P

Prr

CM e peso

• Rispetto ad un polo fisso, il momento risultante e`

• ovvero e` uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo

PrgMrgrMgdmrdmgrPdr CMCMCMcorpocorpocorpo

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Sistema di forze qualsiasi

• Un sistema di forze non parallele, applicate in punti diversi, non puo` essere rappresentato, in generale, dalla sola risultante delle forze F

• C’e` bisogno di introdurre anche il vettore risultante dei momenti di forza

• Detto in altro modo i vettori F e sono indipendenti fra loro

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Sistema di forze qualsiasi

• Vale il seguente risultato, che non dimostreremo

• Scelto un polo, un sistema di forze (applicate in punti diversi) e` equivalente ad una forza (uguale alla risultante delle forze) la cui retta d’azione passi per il polo e ad una coppia di momento uguale al risultante dei momenti rispetto al polo

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