B solenoidale ^ Legge di Faraday Neumann Lenz ^ Legge di Gauss ^ Equazioni di Maxwell nel vuoto I...

B solenoidale 0 '

chiusaS

dSnB ^

Legge di Faraday Neumann Lenz

^ )'(

S

dSdt

ddfem nBlE

Legge di Gauss

Q

' S interna

ochiusaS

dS

nE ^

Equazioni di Maxwell nel vuotoEquazioni di Maxwell nel vuoto

oρ/ε E oρ/ε E

I eq. Maxwell

t

B

Et

BE II eq. Maxwell

0 B 0 B III eq. Maxwell

JB o JB o

equaz. Maxwell magnetostaica

^ '

S

o dSd nJlB

tεoo

Et

εoo

E

^ )' (

ΓS

oo dSεt

μ nE

IV equazione di Maxwell ? IV equazione di Maxwell ?

+ nuovo termine

Legge di Ampère - Maxwell

Hanno validità più generale rispetto a quelle per la magnetostatica

Hanno validità più generale rispetto a quelle per la magnetostatica

IV eq. Maxwell

0 J 0 '

chiusaS

dSnJ ^

valida solo con correnti stazionarie

JB oequazione Maxwell magnetostaica

JB o0

corrente di spostamentoattraverso superficie S

S

dSt

'

n

D ^

tt

εo

oo

)(

DE ; densità di corrente di spostamentot

D

Corrente di SpostamentoCorrente di Spostamento

IV eq. Maxwell vale nel caso generale IV eq. Maxwell vale nel caso generale

JB ot

εoo

EIV eq.Maxwell

JB o0t

εoo

)( E

Eo Jt

Nuovo termine continuità della caricaNuovo termine continuità della carica

t

ρ

J

In generale: eq. continuità della carica

t

QdS erno S

chiusaS

)(

' int

nJ ^

I

B Filo: corrente stazionaria

0 J

0

tfiloE

ΓRArea S

Condensatore pianoCondensatore piano

I=dQ/dt , Q carica condensatoreI=dQ/dt , Q carica condensatore

^ '

S

o dSd nJlB ^ ) (

ΓS

filooo dS

tεμ n

E

SoIRB 2R

IB o

2

attraverso S

attraverso SLegge di Ampère- Maxwell

Se calcolo B nella stessa posizione con

dovrei avere stesso risultato (Stokes)

Se calcolo B nella stessa posizione con

dovrei avere stesso risultato (Stokes) attraverso S’legge di Ampère - Maxwell

ΓRArea S

I

B

Superficie S’

^

'

S

o dSd nJlB ^ ) )(('

S

oo dSεt

μ nE

attraverso S’ attraverso S’legge di Ampère- Maxwell

Flusso attraverso S’ : senza corrente di spostamento

Flusso attraverso S’ : senza corrente di spostamento 0

lB d B=0

t

Q

t

AtRB oo

))((2

R

IB o

2

+ + + +

-E

I

ΓS

S’- - -

Area A

- +B B

00

)()()(

A

tQttE

I=dQ/dt

Equazioni di Maxwell nello spazio libero (=J=0):onde elettromagnetiche

Equazioni di Maxwell nello spazio libero (=J=0):onde elettromagnetiche

) II ( t

BE

)(

t

B

E

)( 2 EEE

1

2

2

22

tc

E

EEq. di D’Alambert (delle onde)

10x31 8 m/s με/c oo vel. luce nel vuoto

) II ( ) I ( 0t

BEE

(IV) (III) 0t

εoo

E

BB

)(

2

2

tt oo

EB IV eq. di

Maxwell

1

2

2

22

tc

E

E 2

2

22 1

t

E

cE x

x

2

2

22 1

t

E

cE y

y

2

2

22 1

t

E

cE z

z

Analogamente dalle (IV), (III) e (II)Analogamente dalle (IV), (III) e (II)

1

2

2

22

tc

B

B 2

2

22 1

t

B

cB x

x

2

2

22 1

t

B

cB y

y

2

2

22 1

t

B

cB z

z

6 equazioni delle onde (scalari) Ei , Bi i=x,y,x


Soluzioni : caso “unidimensionale” g= f ( x ± ct )

Soluzioni : caso “unidimensionale” g= f ( x ± ct )

qualsiasi funzione matematica

Componenti di E e di B si propaganonello spazio (onde elettromagnetiche)

Componenti di E e di B si propaganonello spazio (onde elettromagnetiche)

2

2

22

2

2

2

2

2 1

t

g

cz

g

y

g

x

g

g= Ei , Bi

i=x,y,x



Caso “unidimensionale”:

2

2

22

2 1

t

g

cx

g

combinazione lineare spazio tempo (termine di propagazione)

g= Ei , Bi

i=x,y,x

Soluzioni generali del caso ”unidimensionale”

Ei =E+ f( x -ct )+E- f( x +ct ) Bi =B+ f( x -ct )+B- f( x +ct )

Soluzioni generali del caso ”unidimensionale”

Ei =E+ f( x -ct )+E- f( x +ct ) Bi =B+ f( x -ct )+B- f( x +ct )

f (x - ct): propagazione +x f (x + ct): propagazione -x

f

x

f (0) a t=0 (x=0) f (0) a t?

x=ct

Consideriamo f (x - ct): sia f (0)

( i=x,y,x)

argomento nullox-ct=0

Es: in una zona dello spazio: J( t )

Nello spazio libero si propagano onde elettromagnetiche: chi le genera?

Nello spazio libero si propagano onde elettromagnetiche: chi le genera?

E( t )

B( t )

nelle zone circostantinelle zone circostanti

ecc. ecc. ecc. ecc.

nelle zone circostanti

B( t )

E (0,Ey,Ez) ; B (0,By,Bz) perpendicolari direzione propagazione

( onde trasversali)

E (0,Ey,Ez) ; B (0,By,Bz) perpendicolari direzione propagazione

( onde trasversali)

Caso “unidimensionale”: Ei , Bi

solo funzione x (propagano lungo x)(costanti nel piano zy) onde piane

Caso “unidimensionale”: Ei , Bi

solo funzione x (propagano lungo x)(costanti nel piano zy) onde piane

da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell

da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell

onda e.m. piana è trasversale ed ha E B

onda e.m. piana è trasversale ed ha E B

kversore propagazione ^

E

Bx

y

z

da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell : B : (0 , 0,Bz)

da conclusioni ottenute applicandole equazioni di Maxwell : B : (0 , 0,Bz)

E e B direzione propagazione (asse x)

E e B direzione propagazione (asse x)

E B | | k̂

E : (0 , Ey , 0) B : (0 , 0,Bz) E : (0 , Ey , 0) B : (0 , 0,Bz)

Consideriamo E (0 , Ey , 0) (polarizzato linearmente)

Consideriamo E (0 , Ey , 0) (polarizzato linearmente)

Perturbazione J (t) periodica :

λ= cT

f(x-ct) = A sin (kx- ω t)

k = k k vettore d’onda; k = 2π / λ ^

λ = lunghezza d’onda ( distanza percorsa durante periodo T)

k direzione propagazione (| | asse x) ^

f.ne d’onda: f(x-ct) = A sin (k[x-ct])

ampiezza argomento adimensionale

c=λ /T = 2π λ / (2π T)= ω / kω=2π / T pulsazione angolare

Onde piane monocromatiche Onde piane monocromatiche

Onde piane monocromatiche Onde piane monocromatiche

f = A sin (kx-ωt) monocromatica monocromatica piana

onda piana si propaga lungo asse x fronte d’onda | | piano yz

x coordinata del punto in cui si considera il valore della grandezzache si propaga (E, B)

x coordinata del punto in cui si considera il valore della grandezzache si propaga (E, B)

Ey= Eo sin (kx- ω t) Bz= Bo sin (kx- ω t)

Bo= Eo k/ω Bo = Eo /c

z)( Ey

E

x

Exy

t

Bz

k̂x

y

zE B | | k̂

E

B

II eq. Maxwellt

BE

t

B

E

Onda e.m. piana monocromatica polarizzata linearmente

Onda e.m. piana monocromatica polarizzata linearmente

Eo k Cos(kx- ω t) = Bo ω Cos (kx- ω t)

S energia per unità di tempo attraverso superficie unitaria

(intensità istantanea dell’onda)



(

chiusa

dwddt

dnS

V

V)^

+ lavoro del campo sulla materia

vuoto

o

22

o

B

2

1E

2

1

Vd

dUw

BES 1

o

S vettore di Poynting;

Superficie chiusa Σ

V S n

dΣ

^

Energia del campo elettromagneticoEnergia del campo elettromagnetico

Intensità media dell’onda

E2Z

1 )(

1 2

o

0

T

dttT

I S

oo

1

c

o

o

Zimpedenza

caratteristica vuoto

Bo = Eo /cBES 1

o

Per un’onda monocromatica piana:

)in )( 2 2

ωt(kxScμ

Et

o

o S )in 2 2

ωt(kxSZ

Eo





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