MÓDULO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS - Tecnologico ......PRESENTACIÓN La Fundación Universitaria...

MÓDULO DE MATEMÁTICAS BÁSICASFundación Universitaria Tecnológico Comfenalco

Autores:Eduardo Mesías Salamanca Blanco

Carlos Arturo Espítia Triviño

ISBN: 978-958-59656-3-8

DiagramaciónAlpha Editores

Bosque, Tv. 51 # 20-109Tels.: 57-5 672 2518

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Cartagena de Indias, Bolívar, Colombia

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PRESENTACIÓN

La Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco, entre sus programas de formación, ofrece el curso nivelatorio de Fundamentos Básicos de Matemáticas a los estudiantes de primer semestre, con el objeto de fortalecer y profundizar en los conocimientos fundamentales matemáticos, entendiéndolo como una manera de aportar en la formación integral de los mismos.

La propuesta del módulo en matemáticas básicas está diseñada como estrategia o mecanismo de ayuda para los estudiantes de primer semestre de la Facultad de Ingeniería con la finalidad de facilitar el dominio y aplicación de los conceptos fundamentales de matemáticas para el fortalecimiento de las competencias lógico-matemáticas. Contiene lineamientos generales, planteamientos básicos motivadores y técnicas para el proceso de enseñanza-aprendizaje, para el desarrollo de las asignaturas de Cálculo Diferencial e Integral.

METODOLOGÍA

El presente módulo está diseñado con una metodología sustentada en la aplicación de estrategias de enseñanza–aprendizaje, las cuales tienen como objetivo fundamental contribuir a elevar los niveles de profundidad de los conocimientos y fortalecer las competencias matemáticas. Para el desarrollo de cada eje temático, se tienen en cuenta cuatro aspectos básicos del aprendizaje significativo: motivación, comprensión, participación y aplicación.

Que el estudiante quiera aprender, que esté interesado en las matemáticas (motivación), son catalizadores en los que este módulo se convierte en una herramienta que lo invita a estudiar mientras que el docente toma el rol de facilitador dentro del proceso enseñanza – aprendizaje, siendo el estudiante su actor principal, con métodos de aprendizaje cooperativos.

Se desarrolla el contenido de cada uno de los ejes temáticos con partes teóricas, ejercicios y problemas resueltos, para que el alumno comprenda los temas tratados (comprensión); así, pueden complementar y reforzar sus conocimientos previos.

Que trabaje activamente con la información que contiene el módulo (participación) le brinda la oportunidad de desarrollar su creatividad, de construir el conocimiento mediante la generación de preguntas y así, pueda poner en práctica (aplicación) los conocimientos adquiridos al momento de desarrollar las actividades propuestas en el módulo, al final de cada tema de trabajo.

De este modo, el docente acompañante deberá tener en cuenta en su práctica pedagógica, tal como lo plantea Ausubel (aprendizaje significativo), que el aprendizaje implica una reestructuración activa de las percepciones, ideas, conceptos y esquemas, que el aprendiz posee en su estructura cognoscitiva.

TABLA DE CONTENIDO

1. Tour por el mundo del conjunto de los números enteros……………………............91.1 Evolución histórica………………..……………….................……………………………………..91.2 Representación gráfica………………….….……..............…………………………………….101.3 Características de los números enteros………....……………………………………….....101.3.1 Actividades………………………..........…………………………………………………………….111.4 Valor absoluto de un número entero…………………...…....…………………………......131.4.1 Actividades……….........…………….……………………………………………………………….141.5 Relaciones de orden……….....…………………………………………………………………….141.5.1 Actividades propuestas………….....……………………………………………………………15

2. Operaciones básicas y propiedades…………………………………………………………….172.1 Suma de números enteros……………....………………………………………………………...172.1.1 Propiedades de la suma de números enteros……….………..………………………..182.1.2 Actividades……………............……………….…………………………………………………….192.1.3 Problemas de aplicación…………….......……………………………………………………….202.1.4 Actividades propuestas……………….......……………………………………………………...212.2 Resta de números enteros………………...………………………………………..………………252.2.1 Propiedades de la resta de números enteros……………………………………………...262.2.2 Actividades……………………………….…………......………………………………...............262.2.3 Problemas de aplicación………………….…….....…………………………………………….272.3 Multiplicación de números enteros………………………………………..…………………...282.3.1 Propiedades de la multiplicación de números enteros…………………..………..282.3.2 Actividades…………………......……………….………………………………………...............302.3.3 Problemas de aplicación…….....…………………………...……………………………………312.3.4 Actividades propuestas………….....………………….…………………………………………322.4 División de números enteros…………...…………………………………………..……………..342.4.1 Propiedades de la división de números enteros….…………….....…..……………..35

2.4.2 Actividades……………………………….........…….……………………………………………….362.4.3 Problemas de aplicación……………………....….……………………..……………………….372.4.4 Actividades propuestas………………………...…..……………………………………….......382.5 Potenciación de números enteros…………………………..…………………………………..402.5.1 Reglas de los signos en las potencias de números enteros…….......…...……412.5.2 Propiedades de la potenciación de números enteros……..............………………422.5.3 Actividades………………….........………………….……………………………………………….442.5.4 Problemas de aplicación………....…………..….……………………………………………….472.6 Radicación de números enteros……...……….....………………………………...............482.6.1 Ley de los signos de la radicación……………………..…………...…………………………492.6.2 Propiedades de la radicación de números enteros………......…….…………………492.6.3 Actividades…………….........…….………………………………………………………………….502.6.4 Problemas de aplicación…….……....………………………………………………………….52

3. Expresiones Algebraicas………..……………......………....….…………………………………...533.1 Actividades…………..........………….……….…………………………………………………………543.2 Términos semejantes………….....…………..………………………………………………………553.2.1 Actividades………………….........…………………………….…………………………………….563.3 Valor numérico de una expresión algebraica………..……..…………..…………………..563.3.1 Actividades………….........………………………………………….……………………………….57

4. Destrucción de signos de agrupación…………....……………………………………………..594.1 Actividades propuestas………..………....………………………………………………………...604.2 Problemas de aplicación…………………..………….………………………………................61

5. Glosario temático……………….........…………………………………………………………………63

6. Respuestas y soluciones de los ejercicios, las actividades y problemas propuestos……....…………………………..………………....…........………………69

7. Recursos de páginas web………....…………………………………………….…………………..89

8. Resumen…………….......………………………………………………………….……….................91

Módulo de Matemáticas Básicas

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1. TOUR POR EL MUNDO DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

1.1 Evolución histórica

El término entero proviene del alemán zahlen que traduce números. Los números enteros positivos y negativos son el resultado natural de las operaciones suma y resta.

Su empleo, con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad; no fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos.

El nacimiento de los números enteros se da para resolver casos de imposibilidad de la sustracción en N, expresiones como 5 - 28 no tienen solución en el conjunto de los números naturales, pero sí tienen solución en los enteros; las reglas que se utilizan para resolver este tipo de enunciados ya las utilizaban los matemáticos de la India desde hace muchos años.

En la antigüedad, los números negativos eran conocidos con el nombre de números deudos, números absurdos, números ficticios, raíces falsas. En esa época, el interés central era la solución de los problemas cotidianos en la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V en Oriente y no llegan a Occidente, sino hasta el siglo XVI.


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La representación que actualmente se maneja para los números enteros positivos y negativos se debe al matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV; antes de esta fecha, se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.

El conjunto de los números enteros se designa con la letra Z y son un conjunto infinito de números que incluye a los números naturales, que reciben el nombre de enteros positivos; los negativos de los números naturales reciben el nombre de enteros negativos y el 0.

Es decir ℤ = {..., − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3,...}, donde los tres puntos suspensivos indican que el conteo sigue.

1.2 Representación gráfica

El conjunto de los números enteros se representa en una recta numérica: al lado izquierdo se ubican los enteros negativos mientras que, al lado derecho, se ubican los enteros positivos, con el cero en el centro. Es decir: ℤ = ℤ- U { 0 } ℤ+

1.3 Características de los números enteros

• El conjunto de los enteros ℤ es un conjunto infinito.• El conjunto de los números enteros ℤ, está conformado por los enteros negativos

Z-, el cero y los enteros positivos ℤ+.• Los números enteros sirven para representar el dinero adeudado, temperatura

bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.• Entre dos números enteros siempre existe un número finito de números

enteros. Es decir, Z es un conjunto discreto.• ℤ no tiene primer elemento y tampoco tiene último elemento.• El conjunto de los enteros positivos ℤ+ , es igual al conjunto de los números

naturales N.

0 1 2 3 5 6 74-1-2-3-5-6-7 -4


11

• El conjunto de los naturales N está incluido en el conjunto de los enteros Z, es decir N pertenece a Z.

• Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural.• Todo número entero tiene un sucesor.• Un número entero y su sucesor se llaman consecutivos.• Todo número entero tiene antecesor.• Cualquier entero positivo es mayor que todo entero negativo.• El cero no tiene signo, es neutro.• Dados dos números negativos, entonces es mayor el que está más cerca del

cero.• De dos números positivos, es mayor el que está más lejos del cero.• Los números enteros miden magnitudes tanto positivas como negativas.• Todo número negativo es menor que cero.• Todo número positivo es mayor que cero.

1.3.1 Actividades

1. Responda falso o verdadero de acuerdo a cada uno de los siguientes enunciados.a. El primer elemento del conjunto de los enteros negativos, es el número

menos dos. _________b. Si un número entero es positivo, se puede decir que es mayor que cero.c. Si se tienen dos números negativos, se puede asegurar que es menor el

número que encuentra más lejos del cero. _________d. Dados los números enteros 3 y 8, se puede concluir que el 8 es el sucesor de 3.

__________e. Si un buzo se encuentra a 30 metros de profundidad, es correcto escribir +30

metros. ___________f. Si se suelta un globo y a los pocos segundos está a 15 metros de altura, se

concluye que el globo está a + 15 metros.___________


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2. Complete el texto colocando las palabras adecuadas en los espacios vacíos.a. El conjunto de los enteros Z es un ___________________.b. El conjunto de los números enteros Z, está conformado por los _____________

Z-, el cero y los ________________ Z+.c. Los números enteros _______________ el dinero adeudado, __________,

_____________ con respecto ________________, etc.d. Entre dos números enteros ______________________________ enteros. Es

decir, Z _______________________.e. ________________ Z no tienen primer elemento y tampoco tienen último

elemento.f. El conjunto de los enteros positivos ℤ+ __________________________ N.g. ___________________ N está incluido en el conjunto de los enteros Z, es

decir, N pertenece a Z.h. Todo número negativo ___________ que cero.i. Todo número positivo ____________ que cero.j. Todo ___________ es entero, pero ________ número entero _________.k. Todo número entero tiene _______________.l. Un número entero y su sucesor se llaman ________________m. Todo número entero tiene _____________n. Cualquier entero positivo ___________ que todo entero negativo.o. El cero no tiene signo, ______________.p. Dados dos números negativos, ______________ el que está ______________.q. De dos números positivos, ____________ el que está _______________.r. Los números enteros _________________tanto positivas como negativas.

3. Dadas las siguientes situaciones, exprese con un número entero la situación que se plantea.a. Nació en el año 314 antes de Cristo. _______b. El águila vuela a 3480 m de altura.________c. Ayer el termómetro marcó 5 grados bajo cero en New York. _______d. El ascensor bajó al tercer nivel del sótano. _______


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4. Complete la sopa de letras con las propiedades y conceptos relacionados con los números enteros.

C O N M U T A T I V A D

A V I T A I C O S A O I

E E M E N T O P E T T R

N M A Y O R Q U E S N O

O E R C V Y E E N P E S

I W O G H Q E S L A M E

S Q S U M A S T T B E C

I Z E V T R K O Q A L E

V L C M E N O R Q U E T

I L U I N I O R T U E N

D I S T R I B U T I V A

1.4 Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo; también se puede decir que es la distancia que lo separa del cero.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales y representa la distancia a la que se encuentra el número del punto cero u origen de la recta.


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0 1 2 3 4-1-2-3-4

0 1 2 3 4-1-2-3-4

Nota: El valor absoluto es una distancia, luego siempre será positiva.

Ejemplo:a. |− 25| = 25b. |+ 34| = 34c. - |− 12| = - 12d. - |− |− 74|| = - 74

1.4.1 Actividades

1. Determine el valor absoluto de las siguientes expresiones.

a. |− |− |− 37||| = b. - | |−55| − 48| = c. ||− 76| - |− 24|| = d. - |− |32| - |19|| =

2. Resuelva los siguientes ejercicios de valor absoluto y grafique su representación geométrica.

a. ¿A qué distancia se encuentra - 2 de cero?

b. ¿A qué distancia se encuentra +3 de cero?

1.5 Relaciones de orden

Para establecer las relaciones de orden en el conjunto de los números enteros se utiliza la siguiente ley.


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Ley de Tricotomía: Dado cualquier par de números enteros a y b, se verifica necesariamente una y solamente una de las siguientes condiciones:

1. a < b2. a = b3. a > b

En consecuencia, decimos que el conjunto de los números enteros está totalmente ordenado por la relación menor o igual.

Ejemplos:a. 5 < 8 porque 5 está más cerca del cero que 8.b. - 9 < 4 porque 9 es negativo.c. 6 = + 6 porque ambas cantidades son positivas.d. 7 > 2 porque 7 está más lejos del cero que 2.e. 4 > - 36 porque 4 es positivo.

1.5.1 Actividades propuestas

1. Determine la relación de orden rellenando el espacio en blanco con >, = , <, en cada una de las siguientes expresiones.

a. - 21 ___ 9b. + 76 ___ 29c. 53 ___ + 53d. - 17 ___ - 11e. - 44 ___ 20

2. De acuerdo a los siguientes gráficos, determine las relaciones de orden para los valores dados.

a. 0 1 2 3 4-1-2-3-4


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b.

c.

d.

0 1 2 3 4-1-2-3-4

0 1 2 3 4-1-2-3-4

0 1 2 3 4-1-2-3-4


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2. OPERACIONES BÁSICAS Y PROPIEDADES

El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo.

2.1 Suma de números enteros

Al sumar números enteros se pueden presentar las siguientes situaciones.

1. Cuando sumamos dos o más enteros positivos, entonces se suman las cantidades y al resultado se le coloca el signo más.

a. (+ 14) + (+ 6) = + 20b. (+ 4) + (+ 22) + (+ 6) = + 32c. (+ 19) + (+ 16) = + 35

2. Cuando sumamos dos o más enteros negativos, entonces se suman las cantidades y al resultado se le coloca el signo menos.

a. (- 8) + (- 7) = - 15b. (- 11) + (- 12) + (- 15) = - 38c. - 19 + (- 23) = - 42


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3. Si sumamos dos enteros de distintos signos, entonces se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

a. (- 14) + (+ 26) = + 12b. (+ 24) + (- 15) = + 9c. (- 29) + (+ 7) = - 22d. (+ 34) + (- 28) = - 6

2.1.1 Propiedades de la suma de números enteros

1. Clausurativa: La suma de dos enteros es otro número entero, es una operación cerrada. Ejemplos:

a. (- 44) + (+16) = + 60b. (- 19) + (- 5) = - 24

2. Conmutativa: En esta propiedad se cumple que el orden de los sumandos no altera la suma, es decir, se obtiene el mismo resultado.

Ejemplos:a. (- 8) + (+ 6) = (+ 6) + (- 8) = (- 2)b. (+ 11) + (- 5) = (- 5) + (+11) = (+ 6)

3. Asociativa: Podemos agrupar varios sumandos de diferentes formas y obtenemos el mismo resultado.

Ejemplos:a. 3 + (- 5) + 6 = 3 + [(- 5) + 6] = [3 + (- 5)] + 6 = + 4b. 16 + (- 9) + 8 = [16 + (- 9)] + 8 = 16 + [(- 9) + 8] = + 15


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4. Elemento neutro: Para la suma el elemento neutro es el cero ya que al sumar un entero con el cero se obtiene el mismo entero.

Ejemplos:a. 525 + 0 = 525b. 0 + (- 37) = - 37

5. Inverso aditivo u opuesto: Todo número entero tiene su opuesto, es decir, el opuesto de (+ 5) es (-5). Tienen la propiedad de que al sumarlos se obtiene el elemento neutro.

Ejemplos:a. 42 + (- 42) = 0b. (+ 57) + (- 57) = 0

2.1.2 Actividades

a. Complete el siguiente cuadro con los números que elija y realice la operación teniendo en cuenta el signo.

+ + 8 -9 +11

-7 +1 +4

-12 -21

b. Complete el siguiente cuadro con los números que elija y realice la operación teniendo en cuenta el signo.

+ +5 - 21 +19

+2 +7 +21

-8 - 29

-17 -12 +2


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c. Dados los siguientes valores a = -13, b = +25, c = -11, m = +14, n = +78, x = -9, y =-7; calcule el resultado de:

1. a + b =2. b + c =3. m + n =4. x + y =5. a + n =6. m + y=

2.1.3 Problemas de aplicación

1. El hijo de una persona nació en el año 20 antes de Cristo y murió 45 años después de Cristo. ¿A qué edad murió?

2. Un avión vuela a 9.000 m de altura y en ese mismo instante un helicóptero se encuentra exactamente debajo de él a 1.730 m. ¿A qué distancia se encuentran las dos naves?

3. Manuel vive en el edificio Grand Beach, el ascensor está en el sótano y sube hasta el piso 14º piso en donde él vive. ¿Cuántos pisos subió el ascensor?

4. Hoy a las 6:00 de la mañana el termómetro de mi casa marcaba 10 grados bajo cero y continuó así durante todo el día hasta las 4:00 de la tarde, bajando la temperatura hasta los 14 grados bajo cero. ¿Cuánto descendió la temperatura en ese periodo?

5. Después de subir 19 pisos, el ascensor del edificio El Estado se detiene en el piso 18. ¿Desde qué piso salió el ascensor?

6. Se toma la lectura de la temperatura en un termómetro en este momento y resulta de 27ºC después de haber subido 15ºC. Determine la temperatura inicial.


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1. Complete el enunciado de los siguientes conceptos.

a. El conjunto de los enteros negativos se representa con la letra mayúscula___ b. El valor absoluto se representa por medio de Dos barras verticales ___ c. El opuesto de + 6 es___d. El conjunto de los enteros positivos se representa con la letra mayúscula___e. El valor absoluto de -75 es___f. El antecesor de - 21 es___g. El conjunto de los números enteros es un conjunto___h. El sucesor de 27 es___

2. Ordene de mayor a menor los siguientes enteros.

a. - 34, - 15, 12, (+ 22), - 7.b. (+ 33), - 9, (+ 13), 0, - 47.

3. Utilice las relaciones de orden entre las siguientes expresiones para que sean verdaderas.

a. (- 16) ___ (- 8)b. (+ 155) ___ 155c. (+ 24) ___ 18d. (- 25) ___ (+ 17)e. (- 36) ___ (- 3)


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4. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la suma de enteros y realice los cálculos que definen estos valores.

+ + 43 - 39 + 28

- 15

+ 52

- 63

5. ¿Qué propiedad se cumple en cada una de las siguientes situaciones?

a. (+ 45) + 0 = 45b. (+ 45) + 5 + (+ 3) = 45 + [5 + (+ Res3)] = [(+ 45) + 5] + (+ 3) = + 53c. (- 17) + (- 38) = (- 38) + (- 17) = (- 55)d. (+ 75) + (+ 23) = + 98e. (+ 45) + (- 45) = 0

6. Resuelva los siguientes problemas:

a. En el año 6 antes de Cristo, nació un hombre y contrajo matrimonio a los 38 años después de Cristo. ¿Cuántos años cumplidos tenía el hombre?

b. En la ciudad de Bogotá, en un instante de un día cualquiera el termómetro marca una temperatura de 15 °C después de haberse incrementado la misma 18 ºC. Se desea saber cuál era la temperatura inicial de ese mismo día.

c. Una persona tiene una cuenta de ahorros en un banco de la ciudad y su saldo al día de hoy es de $ 540.000 pesos. Si mañana le cargan una factura de $ 218.000 pesos. ¿Cuál será el nuevo saldo en su cuenta de ahorros?

d. Luis después de subir 14 pisos en el edificio donde habita, llega al piso 24. ¿Desde qué piso partió Luis?


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7. Dados los siguientes textos matemáticos: ¿de qué manera se expresarían usando la notación de números enteros?

a. Pedro tiene en su bolsillo $ 2.500 pesos.b. El globo subió a 150 metros de altura.c. Una nave submarina bajó a 270 metros de profundidad.d. Sócrates nació en el año 470 antes de Cristo.e. El vagón de una mina de carbón descendió hasta una profundidad de 320

metros.

8. Juan le debe $ 10.000 pesos a María y $ 15.000 a Rosa. Exprese con números enteros las cantidades que está debiendo Luis.

9. Carlos trabaja como mensajero de una empresa comidas rápidas localizada en la carrera primera y realiza el sábado los siguientes recorridos: 20 cuadras hacia el oriente y regresa a la empresa, sale nuevamente y se dirige 15 cuadras hacia el occidente; luego va a almorzar a su casa que queda a 30 cuadras más hacia el occidente. ¿Cuántas cuadras recorrió Carlos en total?

a. 85 cuadras.b. 65 cuadras.c. 5 cuadras.d. 35 cuadras.

10. En un día de invierno, la temperatura en Quebec, Canadá era de - 5° C a las 10 de la mañana; al atardecer, la radio informó que hacía tres veces más frío que en la mañana. En ese momento la temperatura en Quebec era de:

a. 15° C.b. – 15° C.c. 10° C.d. – 10° C.


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11. Complete el siguiente crucigrama.

CRUCIGRAMA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

VERT

ICAL

1 12 23 3 4 5 6 7 48 9 5

10 6 7 11 12 8 13 9 14 15 16 10 17 11 18 19 12 20 21 13 22 23

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23HORIZONTAL

HORIZONTAL3. El orden de los sumandos no varía la suma.5. La resta de números enteros se obtiene sumando el minuendo al opuesto del

sustraendo.9. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.10. El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.11. El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos

de dicho número por cada uno de los sumandos12. Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de

la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.13. El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.


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VERTICAL1. La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados:

base” a” y exponente “n”. Se lee usualmente como “a elevado, a la n”.2. El valor absoluto de un número entero es un número natural que resulta al

suprimir su signo.4. El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da

el mismo número.6. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más

a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.7. La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene

como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

8. La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos

2.2 Resta de números enteros

Para restar dos números enteros, debemos tener en cuenta las siguientes reglas.Dados dos números enteros, a y b, entonces se cumple que:

1. a - (- b) = a + (+ b)2. a – (+ b) = a + (- b)

1. Para el primer caso a - (- b) = a + (+ b), podemos decir que cuando aparecen dos signos menos seguidos, entonces se cambian por dos signos más y se aplican las reglas de la suma de enteros.

Ejemplos:a. (+ 7) - (- 1) = (+ 7) + (+ 1) = + 8b. (- 2) - (- 5) = (- 2) + (+ 5) = + 3


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2. Para el segundo caso a – (+ b) = a + (- b), podemos decir que cuando aparece un signo menos seguido de un signo más, estos se intercambian de lugar y se aplican las reglas de la suma de enteros.

Ejemplos:a. (+ 2) - (+ 4) = (+ 2) + (- 4) = - 2b. (- 10) - (+ 3) = (- 10) + (- 3) = - 13

2.2.1 Propiedades de la resta de números enteros

En los números enteros solamente se cumple la propiedad clausurativa, es decir, la resta de dos números enteros no da como resultado otro número entero.

Ejemplos:a. (+ 17) - (- 2) = (+ 17) + (+ 2) = + 19b. (- 2) - (- 15) = (- 2) + (+ 15) = + 13c. (+ 21) - (+ 4) = (+ 21) + (- 4) = + 17d. (- 1) - (+ 32) = (- 1) + (- 32) = - 33

2.2.2 Actividades

1. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la resta de números enteros y realice las operaciones que dan el resultado de la tabla.

__ +13 -48 +28

-15

+24

-63


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2. Realice las siguientes restas:

a. De (+ 25) restar (- 10) = + 35b. De (- 30) restar (- 89) = + 69c. De (+ 191) restar (+ 89) = + 102d. De (- 39) restar (- 17) = - 22e. De (- 45) restar (+ 25) = - 70


1. Si una persona camina 325 pasos hacia adelante y luego retrocede 175 pasos. ¿Cuántos pasos avanzó finalmente la persona?

2. Dos termómetros en dos ciudades diferentes a las doce del día marcan respectivamente las temperaturas –14 ºC y 22 ºC. ¿Cuántos grados de diferencia hay entre las dos ciudades?

3. Si Sócrates nació en el año 470 a.C, y vivió 71 años, ¿en qué año murió?

4. Un técnico de ascensores llega al sótano del edificio después de bajar 11 pisos. Se necesita saber en qué piso se encontraba el técnico antes de bajar el ascensor.

5. Al enchufar un congelador, la temperatura comienza a bajar 3 grados cada 10 minutos; al momento de enchufarlo la temperatura estaba en 15°C. Si lleva 1 hora de enchufado, la temperatura en este momento es de:a. 3°C.b. – 3°C.c. 33°C.d. – 33°C.


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6. José vendió un caballo en $ 840.000, ganando $ 180.000. ¿Cuánto le costó el caballo inicialmente?a. $ 660.000b. $ 350.000c. $ 690.000d. $ 990.000

2.3 Multiplicación de números enteros

Para multiplicar números enteros debemos seguir dos pasos: primero se multiplican las cantidades y luego se le coloca el signo de acuerdo a la Ley de los signos de la multiplicación, la cual se detalla en la siguiente tabla.

+ × + = +

- × - = +

+ × - = -

- × + = -

De la tabla anterior podemos deducir que signos iguales siempre resultan positivo y signos diferentes, siempre negativo.

Ejemplo:a. (+ 5) (+ 4) = + 20b. (- 5) (- 6) = + 30c. (+ 2) (- 6) = - 12d. (- 4) (+ 7) = - 28

2.3.1 Propiedades de la multiplicación de números enteros

En la multiplicación de números enteros se cumplen las siguientes propiedades.


29

a. Propiedad clausurativa:La multiplicación de dos o más números enteros nos da como resultado otro número entero.Ejemplo:(- 5) (3) = - 15

b. Propiedad conmutativa.Al multiplicar dos o más números enteros podemos cambiar el orden de los factores y obtenemos el mismo resultado.Ejemplo:(- 2) (5) = (5) (- 2)

c. Propiedad asociativa.Al multiplicar dos o más números enteros podemos asociarlos cambiando el orden de los factores y obtenemos el mismo resultado.Ejemplo:[(- 2) (3)] (4) = (- 2) [(3) (4)]

d. Propiedad elemento neutro.En la multiplicación de números enteros existe un elemento neutro, el número “1”, que al multiplicarlo con cualquier entero da como resultado el mismo número entero.Ejemplo:(- 5) (1) = - 5

e. Propiedad distributiva con respecto a la adición o sustracción.En la multiplicación de números enteros, podemos repartir o distribuir un número con respecto a la adición o sustracción. Es decir, tomamos el factor y lo multiplicamos por cada uno de los sumandos, luego, efectuamos las operaciones indicadas teniendo en cuenta la ley de los signos.Ejemplo:(- 3) (2 + 5) = (- 3) (2) + (- 3) (5)


30

2.3.2 Actividades

1. Encuentre el producto de las siguientes multiplicaciones aplicando las reglas.

a. (12) (5) =b. (13) (4) =c. (- 27) (3) =d. (0) (72) =e. (- 8) (- 5) =f. (11) (- 8) =g. (- 30) (- 4) =h. (0) (- 40) =i. (- 35) (3) =j. (- 6) (- 7) =k. (- 5) (5) =l. (- 8) (- 2) =m. (20) (- 4) =n. (- 100) (0) =o. (- 25) (5) =p. (0) (6) =q. (9) (7) =r. (0) (36) =s. (- 30) (- 4) =t. (1) (- 34) =

2. Realice las siguientes multiplicaciones siguiendo las reglas.

a. (- 5) (- 6) (+ 3) =b. (- 4) (- 4) (- 4) =c. (- 2) (- 4) (+ 5) (+ 3) =d. (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) =e. (- 5) (- 3) (- 2) (- 4) (- 6) =


31

3. Indique la propiedad aplicada.

a. (3) (7) = (7) (3)b. [(8) (9)] (- 4) = (8) [(9) (- 4)]c. (- 11) x 0 = 0 x (- 11)d. (4) (- 11) (- 3) = (- 11) (- 3) (4)e. (27) (1) = 27f. (3 + 4) (- 5) = (3) (- 5) + (4) (- 5)


1. Camila le debe a Margot, Ximena y a Rosario, la suma de $ 7.000.

a. ¿Cuánta plata debe en total Camila?b. ¿Qué número entero usarías para representar la deuda que tiene Camila con

las tres?

2. Exprese cada una de las siguientes sumas como una multiplicación y luego halle el resultado de su producto.

a. 9 + 9 + 9b. (- 5) + (- 5) + (- 5) + (- 5) + (- 5)

3. Llene cada espacio entre los paréntesis con el número que corresponda en cada caso, de acuerdo a la propiedad distributiva de la multiplicación.

a. - 17. (- 3 + 14) = 51 + ( ) = ( )b. - 23. [(13 + 14) - 10] = - 621 + ( ) = ( )

4. Un buzo se encuentra reparando el casco de un submarino a una profundidad de -48 metros y sube a buscar una herramienta a una velocidad de 5 metros por segundo. ¿A qué profundidad se encontrará el buzo a los 6 minutos del ascenso?


32

5. En una casa hay dos vitrinas, cada una tiene tres niveles o entrepaños: en la primera hay 4 docenas de vasos en cada nivel y en la otra vitrina hay 4 decenas por nivel. Exprese la suma de los vasos que contiene cada vitrina como producto de dos factores, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y también calcule el total de vasos de las vitrinas.

6. En la escuela Pasitos Lindos, 30 niños tenían que pintar la misma cantidad de figuras navideñas para hacer el pesebre de navidad. Sin embargo, uno de ellos se enfermó entonces ahora todos los niños tendrán que pintar 3 figuras más. ¿Cuántas figuras navideñas eran en total?

7. Mario cobra al mes $ 650.000 y José $ 75.000 al día. Se requiere saber la diferencia de dinero cobrada entre los dos al final del año.

8. Un bus de la empresa Copetrán, ha recorrido 515 kilómetros en 5 horas y otro bus de la empresa Brasilia, hace un recorrido de 749 kilómetros en 7 horas. Después de 10 horas de marcha de ambos buses, ¿cuántos kilómetros ha recorrido cada bus?


1. Dos buses salen al mismo tiempo de la Terminal Norte de Medellín en direcciones opuestas: uno va a 95 km/h y el otro a 210 km/h. Al cabo de 8 horas de viaje, la distancia que los separará es de:

a. 760 km.b. 1.680 km.c. 2.440 km.d. 4.240 km.


33

2. Elvira, tiene una colección de fotos que se incrementa en 3 cada mes, el tiempo que tiene para aumentar su colección en 120 fotos es de:

a. 40 meses.b. 10 meses.c. 20 meses.d. 12 meses.

3. El producto de tres enteros negativos es:

a. Positivo.b. Negativo.c. Neutro.d. Positivo y negativo.

4. Un tren Sol que sale de Bogotá a las 6 de la mañana, llega a Nemocón a las 10 de la mañana. La velocidad media de los trenes que funcionan por este lugar es de 50 km/h.Entre Bogotá y Nemocón, se encuentra la ciudad de Zipaquirá.A las 8 de la mañana, ha salido de Nemocón otro tren (con la misma velocidad de 50 km/h) hacia Bogotá y curiosamente ambos llegan a ℤipaquirá a la misma hora. ¿Cuántos kilómetros hay entre Bogotá y Zipaquirá?

5. Un agricultor recogió en su parcela la producción anual de guayaba de 2.500 sacos en total y el peso de cada uno fue 50 kg. ¿Cuál fue el peso total en kg de su producción?

a. 12. 500b. 20. 000c. 125. 000d. 25. 000


34

6. De la terminal del norte de Medellín parten diariamente 387 buses con 52 pasajeros cada uno. Si durante 20 días se mantuvo la misma demanda de pasajeros ¿Cuántas personas salieron de dicha terminal?

a. 201. 240b. 402. 480c. 387. 000d. 154. 800

2.4 División de números enteros

La división de dos números enteros arroja como resultado otro número entero y el signo del resultado se debe tomar de acuerdo a la Ley de los signos, tal como se detalla en la tabla de abajo.

El resultado de dividir dos números enteros, no siempre es otro número entero; en algunos casos la división es inexacta, por eso se debe limitar esta operación solo para la división exacta, en la cual el residuo es cero.

Al dividir dos números enteros, se utiliza la siguiente tabla para identificar el signo del resultado.

+ ÷ + = +

- ÷ - = +

+ ÷ - = -

- ÷ + = -

De la tabla anterior, se pueden resumir dos grandes reglas: (a) en la división de números enteros signos iguales siempre dan positivos y (b) signos diferentes siempre dan negativos.


35

Por ejemplo: Realice las siguientes divisiones y aplique la ley de signos.

a. (+ 12) ÷ (+ 3) = + 4b. (- 25) ÷ (- 5) = + 5c. (+ 30) ÷ (- 5) = - 6d. (- 24) ÷ (+ 6) = - 4

Ejemplo: Efectúe la suma en el dividendo de las siguientes divisiones, luego halle el cociente de las mismas.

a. (+ 12 - 16 + 20) ÷ (2) = (16) ÷ (2) = + 8b. (- 5 + 20 - 15 + 35 - 85) ÷ (- 5) = (- 50) ÷ (- 5) = + 10c. (- 15 + 12 - 18 + 21) ÷ (- 3) = (0) ÷ (- 3) = 0d. (+ 8 - 14 + 20 - 8) ÷ (- 2) = (+6) ÷ (- 2) = - 3e. (- 8 - 12 + 16 - 20 + 24) ÷ (4) = (0) ÷ (4) = 0

2.4.1 Propiedades de la división de números enteros

El resultado de dividir dos números naturales o enteros, no siempre es otro número natural o entero, por lo tanto, podemos decir que la división de números enteros no es una operación interna.

Entonces, en la división de enteros no siempre se cumplen las propiedades clausurativa y conmutativa; como también No se puede dividir por cero.

Ejemplos:a. (- 6) ÷ (+ 5) No es una división exacta: se cumple la propiedad Clausurativa.b. (- 16) ÷ (+ 2) el resultado es (- 8), diferente al resultado de (+ 2) ÷ (- 16) el cual

No es exacto.c. (- 14) ÷ 0 no se puede resolver, porque no existe ningún cociente que multiplicado

por 0 sea igual al dividendo.


36

Realice las operaciones necesarias para obtener el resultado de:

a. (- 12) ÷ (+ 4) + [12 – 9 ÷ (+ 3)] (- 3 + 5) + 5(- 2) =b. (- 7 + 5) (- 3) + [- 4 (4 - (+ 8)) ÷ (+ 4)] + (- 10) ÷ (+ 2) =c. −12 · 3 + 18 ÷ (−12 ÷ 6 + 8) =d. 2 · [(− 12 + 36) ÷ 6 + (8 − 5) ÷ (− 3)] − 6 =e. [(− 2)5 · (− 3)2] ÷ (− 2)2 =

2.4.2 Actividades

1. El edificio Grand Bay tiene una planta baja, 3 sótanos y 45 pisos. La altura de cada piso es mayor en un metro que la altura de los sótanos. La profundidad a la que se encuentra el tercer sótano es de - 9 metros. Determine la altura total del edificio sobre el nivel del suelo.

2. Observe el proceso realizado en los siguientes ejercicios e indique si es correcto justificando la respuesta.

a. – 48 ÷ [(24) x 2] = (- 48) (- 1) = - 1b. – 48 ÷ (2) x 24 = (- 48) ÷ 48 = - 1c. – 48 ÷ 24 x 2 = (- 2) x 2 = - 4

3. Dos ayudantes de albañilería realizan una obra por $ 600.000 y trabajan durante 5 días. Uno recibe un jornal de $ 40.000 diarios. ¿A cuánto corresponde el jornal del otro?

a. $ 10.000b. $ 12.000c. $ 14.000d. $ 80.000


37


1. Lucía va al supermercado y compra los siguientes artículos: 5 libras de frijol rojo, 4 libras de lenteja, un pan tajado y una libra de arroz. Si la libra de frijol cuesta $1.750, la libra de lenteja $ 1.550, el pan $ 3.250 y una libra de arroz $ 1.700.

a. ¿Cuánto debió pagar Lucía por las compras que realizó?b. Si Lucía sólo llevó un billete de $ 20.000, ¿le alcanzó para pagar todas sus

compras?

2. Fredy, tiene una tarjeta de ahorro y su saldo la semana pasada era de $1.300.000. Ha hecho varios retiros y una consignación así: el primero para pagar los servicios públicos de $ 240.000, el segundo para cancelar la cuota del celular de $ 185.000 y el tercero para pagar el crédito de la universidad de $ 570.000; la otra transacción que realizó fue la consignación de $ 150.000.

a. Después de realizar los movimientos ¿le quedó dinero a Fredy?b. ¿Cuál es su nuevo saldo?

3. Un equipo de fútbol de la Región Atlántica en el campeonato nacional ha subido 8 posiciones; después, ha bajado 3; más tarde, ha bajado 5, y finalmente, ha subido 7. Indique mediante operaciones con números enteros las situaciones por las que ha pasado el equipo y diga cuál es la posición final del equipo respecto de la inicial.

4. Pedro y Pablo van en motocicleta y salen del mismo lugar. Pedro avanza 10 km y luego retrocede 7 km, mientras que Pablo avanza 12 km y retrocede 4 km.

a. ¿A qué distancia se encuentra Pedro de Pablo?b. ¿Quién ha avanzado más de los dos?c. ¿Quién ha recorrido más km?


38

5. Un edificio está formado por 4 sótanos, la planta baja y 25 pisos más. La altura de cada sótano es un metro mayor que la de cada piso. El sótano – 4 está a una altura de – 16 m. ¿Cuál es la altura del edificio?


1. Lea la siguiente información: Santiago resolvió el siguiente ejercicio y el profesor le dijo que el resultado es incorrecto. Encuentre y marque con lápiz los errores que tuvo Santiago al resolverlo y escriba el resultado correcto.

-36 ÷ (- 8 ÷ (- 5 + 3) + 12 ÷ (- 2 + 2 · 4)) + 3 · (- 8) + 3 · (- 12 + 5 · 2)=

= -36 ÷ (-8 ÷ -2 + 12 ÷ (-2 + 8)) + 3 · (-8) + 3 · (-12 + 5 · 2)

= -36 ÷ (- 8 ÷ -2 + 12 ÷ 6) + 3 · (-8) + 3 · (-12 + 5 · 2)

= -36 ÷ (4 + 2) + 3 · (-8) + 3 · (-7 + 2)

= -36 ÷ 6 + 3 · (-8) + 3 · -14

= -6 + 3 · (-8) + 3 · -14

= -3 · (-8) + 3 · -14

= -24 + -42

= -18


39

2. Marque con una X en los siguientes ejercicios de números enteros combinados, los que tienen soluciones correctas:

a. 16 ÷ (- 2) – (- 4 + 2) + 5 · (- 1) = - 11 ( )b. 8 – 6 ÷ (- 3) + 4 · (2) + 5 · (- 10) = - 58 ( )c. 4 – (- 5 + 2) – 15 ÷ (- 5) + 4 · (- 2) = - 2 ( )d. 2 + (8 ÷ 4) – (- 2 · 3) + 9 ÷ (- 3) = 13 ( )e. 8 ÷ (- 4) – (- 5 – 3) + 3 · 2 = 12 ( )f. 4 · 14 ÷ (- 2) + 9 · (- 3) – 2 ÷ (- 2) = - 54 ( )g. 3 – 4 ÷ (- 4) + 4 · (- 4) – 1 = - 3 ( )

3. Encuentre los valores de las letras a, b y c que cumplan en todos los ejercicios siguientes, la premisa de que su cálculo sea igual al de la solución dada al reemplazar las letras.

a. a + b – c = - 3b. a – b + c = - 1c. a + 2b – 2c = - 4d. 7b : (b + c) = 3e. a · c + 2b – 2c = - 10f. c · (b – a) = 20

4. Lea las siguientes situaciones e identifique qué operaciones se necesitan para resolverlas

a. Rosalía desea saber qué es más conveniente: si comprar 5 bolsas de un kilo de azúcar o comprar una bolsa de 5 kilos de azúcar. Sabe, además, que el valor de la bolsa de un kilo es $ 2.240 y el valor de la bolsa de 5 kilogramos es $ 11.200.

b. 20 trabajadores pavimentan 20 kilómetros de una carretera en 200 días. Suponiendo que todos trabajadores lo hacen de la misma forma.


40

¿Qué operación se debe hacer para saber cuántos kilómetros pavimenta 1 trabajador en 200 días?

c. Un maestro pintor dispone de $ 60.000 y debe comprar 4 galones de pintura que tienen el mismo valor.¿Qué operación se debe realizar para saber el precio de un tarro?

5. Hace 30 años se cambió la tubería del agua potable del Barrio Blas de Lezo y

a cada habitante le correspondían 90 litros de agua al día. Desde entonces el sector ha crecido en todo menos en el suministro de agua, pero en el último censo de este mismo año se explica que desde la Secretaría de Infraestructura, que ahora Blas de Lezo tiene 50.000 habitantes más que hace 30 años.

Este incremento de población ha creado muchos problemas con el agua y a partir de hoy se dispone de 10 litros de agua menos por habitante al día, lo que permite que esta llegue a todos los hogares del barrio. ¿Cuántos habitantes tiene hoy Blas de Lezo?

2.5 Potenciación de números enteros

La potenciación es una operación matemática que consiste en elevar un número entero a un exponente natural, el cual nos indica el número de veces que se repite el entero como factor, obteniendo como resultado un número llamado potencia. El número entero recibe el nombre de base entera y el número natural recibe el nombre de exponente natural. Entonces para todo a y b que pertenecen a los enteros y para toda n que pertenece a los naturales, se tiene que:


41

Ejemplo: Resolver.

a. (+ 3)2 = (+ 3) × (+ 3) = + 9Aquí, la base más tres se repite dos veces y se resuelve el producto.

b. (- 4)3 = (- 4) × (- 4) × (- 4) = - 64Aquí, la base menos cuatro se repite tres veces y se realiza el producto

Resolver las siguientes potencias:

a) (+ 2)2 =b) (- 3)3 =c) (+ 5)2 =d) (- 4)4 =e) (+ 6)3 =

2.5.1 Reglas de los signos en las potencias de números enteros

Para conocer el signo de la potencia teniendo en cuenta la base y el exponente, existen las siguientes reglas.

1. Las potencias de números enteros negativos y positivos en donde el exponente es un número par, arrojan siempre resultado positivo.

Exponente

Potencia

Base

an = ban = b


42

a) ( + )Par = +b) ( - )Par = +

Ejemplos:a) (+ 8)2 = + 64b) (- 5)2 = + 25

2. Las potencias de números enteros negativos y positivos en donde el exponente es un número impar, tienen el mismo signo de la base.

a) ( + )Impar = +b) ( - )impar = -

Ejemplos:a) (+ 2)5 = + 32b) (- 3)3 = - 27

2.5.2 Propiedades de la potenciación de números enteros

En la potenciación de números enteros se cumplen las siguientes propiedades.

1. La potencia de 0 es igual a 1.Cuando se eleva cualquier número entero, excepto el cero a la potencia cero, se obtiene como resultado de la potencia, el número uno. Es decir: a0 = +1 y, a pertenece a Z.

Ejemplos:a) (- 3)0 = + 1b) (+ 18)0 = + 1c) (- 345)0 = + 1


43

2. La potencia de 1 es igual a ese mismo númeroCuando se eleva cualquier número entero a la potencia uno, se obtiene el mismo número. Es decir: a1 = a, y a pertenece a los números enteros, Z.

Ejemplos:a) (- 2)1 = - 2b) (+7 )1 = + 7

3. Producto de potencias con la misma baseCuando se tiene el producto de dos potencias con la misma base, el resultado es otra potencia con esa base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de cada una de ellas. Es decir: (a)m × (a)n = (a)m+n

Ejemplos:a) (- 2)5 × (- 2)2 = (- 2)5+2 = (- 2)7 = - 128b) (+ 3)2 × (+ 3)3 = (+ 3)2+3 = (+ 3)5 = + 243

4. División de potencias con la misma baseCuando se dividen dos potencias de igual base el resultado es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de sus exponentes. Es decir: (a)m ÷ (a)n = (a)m-n

Ejemplos:a) (- 2)5 ÷ (- 2)2 = (- 2)5-2 = (- 2)3 = - 8b) (+ 6)9 ÷ (+ 6)7 = (+ 6)9-7 = (+ 6)2 = + 36

5. Potencia de una potenciaAl resolver la potencia de una potencia, se coloca la misma base y se multiplican sus exponentes. Es decir: (am)n = (a)mxn

Ejemplos:a) [(- 3)2]2 = (- 3)2x2 = (- 3)4 = + 81b) [(- 2)3]2 = (- 2)3x2 = (- 2)6 = + 64


44

6. Producto de potencias con el mismo exponenteCuando se tiene el producto de dos potencias de diferentes bases, pero de igual exponente, para resolverlo se multiplican las bases y se coloca el mismo exponente. Es decir: (a)m × (b)m = (a × b)m

Ejemplos:a) (- 5)2 × (+ 2)2 = (- 5 × (+2))2 = (- 10)2 = + 100b) (- 2)3 × (+ 3)3 = (- 2 × (+3))3 = (- 6)3 = - 216

7. Cociente de potencias con el mismo exponentePara resolver el cociente de potencias con el mismo exponente se deben dividir las bases y colocar el mismo exponente. Es decir: (a)n ÷ (b)n = (a ÷ b)n

Ejemplos:a) (- 12)3 ÷ (3)3 = ( - 12 ÷ 3)3 = (- 4)3 = - 64b) (- 6)3 ÷ (2)3 = ( - 6 ÷ 2)3 = (- 3)3 = - 27

2.5.3 Actividades

1. Desarrolle las siguientes potencias:

a. (- 1)8 =b. (- 2)2 =c. (2)2 =d. (- 3)3 =e. (- 3)4 =f. (- 4)5 =g. (- 3)0 =h. (2)3 =i. (- 15)4 =j. (18)0 =k. (- 2)3 =


45

l. (- 4)2 =m. (10)3 =n. (- 345)0 =o. (- 2)4 =p. (- 4)3 =q. (- 1)5 =r. (765)0 =

2. Aplique las propiedades de las potencias:

a. (32)33 =b. (73)5 =c. [(- 32)]3 =d. [(- 4)2]2 =e. {[(- 1)2]3}5 =f. [(- y)3]2 =g. [(x)2]3 =h. {[(- a)2]2}0 =i. 22 . 23 =j. (- 3)4 . (- 3)2 =k. (- 1)6 . (- 1)7 =l. (- 2)5 . (- 2)3 =m. (2)2 . (- 2)6 . (2)5 =n. (2)2 . (- 2)6 . (2)4 =o. (1)5 . (1)3 . (1)4 =p. (- 5)3 . (- 5)0 =q. (2)5 ÷ (2)3 =r. (3)6 ÷ (3)2 =s. (10)10 ÷ (10)10 =t. (- 4)5 ÷ (- 4)4 =u. [(3) (4)]2 =v. [(1) (- 4)]4 =


46

w. [(- 4) (- 8) (1)]0 =x. [(2) (3) (- 6)]3 =y. [(+ 15) (+ 3)]0 =z. [(9) (- 4) (- 10)]0 =aa. [(- 2) (- 5) (3)]2 =ab. [(3) (- 7)]3 =

3. Rellene la siguiente tabla con el cuadrado de los diez primeros números.

12 22 32 42 52 62 72 82 92 102

4. Rellene la siguiente tabla con los datos que se solicitan en cada casilla.

Producto Potencia Base Exponente Resultado

7×7×7×7×7 75

35

46

54

65

5. La expresión (342)2 es equivalente a:

a. 34×2×2b. (34)2× (34)2

c. 68d. (34×2) (34×2)


47

6. Si se tiene (82)2, ¿en qué inciso aparece una expresión igual?

a. 28

b. 212

c. 162

d. 48


1. El hotel Costa Norte tiene 5 pisos y en cada piso hay 5 habitaciones. Si en cada habitación hay cinco personas adultas y cada una de ellas hizo cinco llamadas telefónicas. ¿Cuántas llamadas hicieron en total las personas?

2. Martha compró 4 cajas de chocolatinas. Cada caja tenía 4 filas con 4 chocolatinas. ¿Cuántas chocolatinas hay en total en las cuatro cajas? Y si cada chocolatina costó $750 pesos, ¿cuánto dinero canceló Martha?

3. En la siguiente tabla, verifique los resultados de las operaciones de potenciación, y luego una con una flecha los términos de la derecha con los de la izquierda.

35 = 25

23. 24. 22 = 420

54 ÷ 52 = 10.000

(43. 42)4 = 512

(2 ÷ 4)5 = 243

(102)2 = 1÷ 32


48

2.6 Radicación de números enteros

La radicación de números enteros tiene como finalidad encontrar la base de la potencia, conociendo la potencia y el exponente. Para establecer una relación entre operaciones matemáticas podemos decir que la radicación es el proceso inverso de la potenciación.

En la radicación de números enteros intervienen los siguientes términos: índice, cantidad subradical, radical (símbolo de la radicación) y la raíz (como el resultado buscado).

Cuando el índice del radical es 2, recibe el nombre de raíz cuadrada y no se acostumbra a escribir el índice en la expresión. En los demás casos se debe escribir el índice de la raíz, es decir: si el índice es 3, raíz cúbica; si es 4, raíz cuarta y así sucesivamente.

Ejemplos:√81 = 9, porque 92 = 81√256 = 4, porque 44 = 2563√343 = 7, porque 73 = 343

a = bn

Símbolo de la raíz: Radical

Índice del radical

subradical

Raíz


49

2.6.1 Ley de los signos de la radicación

1. Si el índice es impar, la raíz lleva el signo del radicando2. Si el índice es par, sólo existe la raíz del radicando positivo. La del radicando

negativo No existe.

Ejemplos:a. √-25 = No existe b. 3√-27 = - 3

c. √9 = 3 d. √16 = 4 e. 4√-1 = No existe.

2.6.2 Propiedades de la radicación de números enteros

En la radicación de números enteros se cumplen las siguientes propiedades:

1. Raíz de un productoCalcular la raíz de un número se expresa como el producto de las raíces siempre que estas raíces se puedan calcular, es decir: n √ (a × b) = n√a × n√b

a. √ (36 × 16) = √36 × √16 = 6 × 4 = 24b. √ (25 × 9) = √25 × √9 = 5 × 3 = 15c. √ (64 × 49) = √64 × √49 = 8 × 7 = 56

2. Raíz de un cocienteLa raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces siempre que estas existan, es decir, se reparten las raíces y luego se calculan: n√ (a ÷ b) = n√a ÷ n√b


50

Ejercicios:

a. √ (169 ÷ 81) = √169 ÷ √81 = 13 ÷ 9b. √ (256 ÷ 296) = √256 ÷ √296 = 16 ÷ 14c. 3√ (121 ÷ 27) = 3√121 ÷ 3√27 = 11 ÷ 3d. 3√ (125 ÷ 216) = 3√125 ÷ 3√216 = 5 ÷ 6

3. Raíz de una raízPara calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se coloca misma la cantidad subradical, es decir: m√(n√ a) = mxn√a

Ejercicios:a) 3√ (2√64) = 3x2√64 = 6√64 = 2b) 3√ (4√4096) = 3x4√4096 = 12√4096 = 2

4. Potencia de una raízPara resolver la raíz a una potencia, se conserva el índice y se eleva a la potencia, la cantidad subradical, es decir: (n√a)m = n√(a)m

Ejercicios:a) (3√27)4 = 3√(27)4 = 81b) (4√625)3 = 4√(625)3 = 125

2.6.3 Actividades

1. Calcule el valor de las siguientes raíces y justifique la respuesta.

a) √121 =b) 3√512 =c) 4√625 =d) 3√216 =e) 5√243 =


51

2. Resolver los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los radicales de acuerdo a su tipo.a) √4 + 3√64 - 3√27 =b) -√81 + √81 ÷ 3√729 =c) √16 - 5√1024 × 3√125 =d) √25 + 2√(2√256) + 3√8 = e) √36 - 4√(10.000 ÷ 625) - 3√27 =

3. Preguntas de selección múltiple.

1. La expresión (√6 - √24)2 es igual a. 6b. 30 c. 18 d. – 6

2. Si x = 4; y = -1; z = -4, entonces el valor de √(2.x + 3.y - 5.z) es: a. 5b. 31 c. - 25 d. 10

3. La expresión √5.√7 es equivalente a:a. √74b. √12c. √35d. 4√12

4. Si tenemos la raíz cuadrada de x y como resultado exacto 27. ¿Cuál es el valor de x ? a. El doble de 27.b. Un tercio de 27.c. El cuadrado de 27. d. La raíz de 27.


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1. El piso de la sala de una casa es cuadrado y tiene en total 100 piezas de porcelanato de 40 x 40. ¿Cuántas piezas de porcelanato tendrá por cada lado?

2. Encuentre mentalmente la raíz cuadrada de los siguientes números:

a. 49 b. 25c. 81d. 100

3. Cecilia piensa así: “El número 12 está entre 9 y 16. Por lo tanto, su raíz cuadrada debería estar entre 3 y 4”. ¿Tiene razón?

4. ¿Entre qué números naturales debe estar la raíz cuadrada de 40?

5. ¿Entre qué números naturales debe estar la raíz cuadrada de 90?

6. Determine mentalmente el cuadrado de 50. De acuerdo con el resultado de la raíz de 580, ¿es mayor o menor de 50?

7 Ya se sabe que la raíz de 580 está entre 10 y 50. Determine mentalmente el cuadrado de 20. De acuerdo con el resultado, ¿la raíz de 580 es mayor o menor que 20?


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3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y signos de operaciones matemáticas que nos permiten traducir al lenguaje matemático, expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplos:a) 7x2

b) 4x3 + 6x

Las letras representan cantidades desconocidas, reciben el nombre de variables o incógnitas y son utilizadas en diversos campos de estudio como la matemática, geometría, física, economía, entre otros.

En la siguiente figura, el largo del rectángulo mide x cm, el ancho mide y cm, entonces se puede expresar:

xy

a. El perímetro como: 2x + 2yb. El área de la figura como: x.y


54

En las expresiones algebraicas se utilizan los conceptos de término, parte o factor numérico, parte o factor literal, y exponente.

Un término en una expresión algebraica es cada sumando que está separado por el signo más o el signo menos.

Ejemplo:3x2 y + 5x - 12y

Primer término Segundo término Tercer término

3.1 Actividades

1. Indique el número de términos que posee cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

a. 8x3 - 6y: Dos términos.b. 9a2 + 4b – 5: Tres términos.c. - 5x3 - 8xy + 4y: Tres términos.d. 5m4 + m3 – 3m2 + 7m: Cuatro términos.e. 25m4n 3 + m 3n5 – 3m 2n 7 + 7mn 9 – 4: Cinco términos.

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas y reciben su nombre de acuerdo al número de términos.

5x3

Expresión algebraica

Parte numérica

Parte literal

Exponente


55

a. Si tiene un solo término recibe el nombre de Monomio. Ejemplo: 6x 2

b. Si tienen dos sumandos reciben el nombre de Binomio. Ejemplo: 7x 3 + 2yc. Si tienen tres términos reciben el nombre de Trinomio. Ejemplo: 9x2 - 8xy + 3xd. Si tienen varios términos reciben el nombre de Polinomio.

2. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos:

a. 4 x 3 – 7 y + 3: Trinomio.b. 5 a 2 + 4 b: Binomio.c. - 5 x 3: Monomio.d. – 8xy +14 y: Binomio.e. 5m 4 + m3 – 8m2 + 3m: Polinomio.

3.2 Términos Semejantes

Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y los mismos exponentes. En ellos, la parte numérica no se tiene en cuenta al momento de clasificarlos.

Ejemplo: los términos 32 a2 y - 25 a2 son términos semejantes porque la parte literal a tiene el mismo exponente, que es 2.

Ejemplo: los términos -7 a2 b y 25 ab2 no son términos semejantes porque las partes literales a y b, no tienen los mismos exponentes.


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3.2.1 Actividades

1. Relacione los términos semejantes.

1 7m3n4 a 8 a2 b2

2 -14x3y b w2v2

3 mnp c -9pmn

4 -9abcd d 45x3y

5 a2b2 e 5dcba

6 -6h2j3k4 f -2y3xz4

7 -5xy3z4 g 45h2j3k4

8 15v3w h -5n4m3

2. Escriba tres términos semejantes para uno de los siguientes términos.

a. 4 m2 n:b. 24 x2 y:c. 7 y3 x2:d. 8 y4 x3:e. 5 z3 n5:

3.3 Valor Numérico de una expresión algebraica

Si en una expresión algebraica se reemplazan las letras por números asignados y se realizan las operaciones indicadas, entonces se obtiene un número que es el valor numérico de la expresión algebraica.

Ejemplo: Dada la expresión 4 m2n + mn y los valores m = 3, n = 2 entonces su valor numérico está dado por:


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4 m2 n + mn = 4 (3)2 (2) + 3.2= 4 (9) (2) + 6= 72 + 6= 78

Ejemplo: Dada la expresión -5a3 b4 + 3a2 -7ab3 y los valores a = 1 y b = 1, entonces su valor numérico está dado por:

- 5a3 b4 + 3a2 - 7ab3 = - 5(1)3(2)4 + 3(1)2 – 7(1)(2)3 == -5 . 1 . 16 + 3 . 1 -7 . 1 . 8 == -80 + 3 - 56 = - 133

3.3.1 Actividades

1. Un jugador de tiro al blanco recibe $ 500 por cada acierto y paga $ 450 cada vez que no acierta. Si de 30 tiros acierta 13, ¿en qué situación queda después del juego?

a. No gana ni pierde porque el dinero perdido es exactamente igual al dinero ganado.

b. Le quedan $ 14.150 porque: 13(500) + (- 450) = $ 14.150.c. Gana $ 650 porque el número de aciertos es mayor que el número de

pérdidas.d. Queda debiendo $ 1150 porque: 13(500) + 17(- 450) = - 1150.

2. Si a = (- 5), ¿cuál expresión es la correcta?

a. І a І = (- 5) porque el valor absoluto de un número es el mismo número.b. (-1) . a = (- 5) porque el producto de dos números de distinto signo siempre

es negativo.c. (- a) + a = 2a porque remplazando a por (- 5) en ambos términos de esta

igualdad, da (- 10).d. (- a) = 5 porque la expresión (- a) representa el opuesto de (a).


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3. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión, c - 3(2a + b) cuando a = 5, b = 7 y c = 9?

a. 51.b. – 32.c. 42.d. – 42.


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4. DESTRUCCIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación más usados en el campo de las matemáticas son:

a. El paréntesis ( )b. El corchete [ ]c. Las llaves { }d. El vínculo o barra _______

Para saber qué signo le corresponde a cada término se deben comprender las siguientes reglas:

a. Si el signo de agrupación está precedido del signo más, entonces los términos que están dentro del signo de agrupación resultarán con el mismo signo.

Ejemplo: Resolver: {- 20 + 53 – 56}{- 20 + 53 – 56} == {- 63} == - 63

b. Si el signo de agrupación está precedido del signo menos, entonces los términos que están dentro del signo de agrupación resultan con signos contrarios, es decir, se les cambia el signo.


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Ejemplo: Resolver: - {- 40 + 83 – 36}- {- 40 + 83 – 36} = = - {7} == - 7

Cuando se tiene una expresión algebraica con diferentes signos de agrupación y se busca eliminarlos, se empieza de adentro hacia afuera: primero se resuelven los paréntesis, el vínculo o barra, luego los corchetes y las llaves. Todo esto teniendo en cuenta las dos reglas básicas de los signos aritméticos; por último, sumamos los términos semejantes.

Ejemplo: Resolver: - {- 5 + 3[- 7 – 9 - 6(5 + 4 - 12) + 6 - 11]}- {- 5 + 3[- 7 – 9 - 6(5 + 4 - 12) + 6 - 11]} = - {- 5 +3[- 16 - 6(- 3) – 5]} = - {- 5 + 3[- 16 + 18 - 5]} = - {- 5 + 3[- 3]} = - {- 5 - 9}= 14

4.1 Actividades propuestas

1. Destruya los signos de agrupación de las siguientes expresiones:

a. 5 + [4 - {22x - 20y + 15 - (45 -12x -25y)}] b. 16 + (10x -12y - 6x) - (30 -15y -0x) c. 7+ [4 - {22x - 20y + 15 + (3 + 4x + 30 - 6y) - (45 - 12x - 25y)}]

2. Determine el número que representa cada una de las siguientes expresiones.

a. { - 10 . [7. 8 - (5 - 9)] + 17} + 5b. 22 + 15 – 17 – 14 + 35c. 8 – 22 - 14 + 25d. 2(13 - 2) + [{3 – 4 + (2 - 7)} - 8] - 6e. 8 – 6 . [ (5 . (6 – 3 . (5 - 2)) + 2) - 1] + 7f. 3 . [2 . { - (3 - 2) + 7 . 4 – 5 . (11 - 6)} + 8] - 2


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3. Al simplificar – [x + {- (x + y) - [- x + (y - z) - (- x + y)] - y}] se obtiene:

a. 2y – zb. - 2x – zc. - 2y + zd. 2x + z

4. Al simplificar: 8a - { 3b – [7 - (a - b) + (9a - 5)]} se obtiene:

a. 16a - 2b + 2b. 3b – 2 + 8ac. 8a – bd. 8a + b – 2

4.2 Problemas de aplicación

1. El nivel de una represa ha descendido 12 cm diarios durante 5 días y luego descendió 8 cm diarios durante 4 días. Para encontrar la modificación total, indique cuál de las cuatro opciones representa el comportamiento en la represa:

a. Adicionamos los dos descensos: (- 12) . 5 + (- 8) . 4 = (- 92). El nivel descendió 92 cm.

b. Buscamos la diferencia entre el primer descenso y el segundo:(- 60) - (- 32) = (- 28). El nivel descendió 28 cm.

c. Como el descenso duró 9 días, multiplicamos cada valor por 9: (- 12) . 9 + (- 8) . 9 = (- 180). El nivel descendió 180 cm.

d. Adicionamos lo que bajó por los primeros 5 días con lo que bajó los últimos 4 días: (- 12) . 5 + (- 8) . 4 = 60 - 32 = 28. El nivel descendió 28 cm.


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2. A partir del décimo día el nivel de la represa comenzó a subir 2 cm diarios. ¿En cuántos días habrá recuperado el nivel inicial?

a. Como había bajado 12 cm diarios durante 5 días, subiendo 2 cm diarios recupera el nivel en 30 días.

b. Como el descenso duró 9 días, se necesitarán otros 9 días para recuperar el nivel.

c. Como el nivel bajó primero 60 cm y luego 32, cuento de 2 en 2 hasta 92: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +…+ 2 = 92. El ascenso durará 46 días.

d. Como el descenso total fue 60 cm + 32 cm = 92 cm, divido 92 por 2: 92 ÷ 2 = 46. El ascenso dura 46 días.


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5. GLOSARIO TEMÁTICO

El objetivo de este glosario es poner a disposición de los estudiantes un recurso más que contribuya al fortalecimiento y apropiación del lenguaje matemático de las operaciones aritméticas básicas con números enteros y la destrucción de signos de agrupación.

• Aritmética: es la rama más antigua de la Matemática que se usa universalmente, propia del quehacer cotidiano, desde lo más elemental hasta en los cálculos más avanzados.

• Cociente: el cociente es el resultado de una división.

• Cociente: es la parte que se obtiene en el proceso de la división y corresponde al valor que representa las veces que contiene el divisor en dicha división.

• Cocientes de potencias de una misma base: es otra potencia en donde su exponente final se obtiene realizando una resta de los exponentes de las potencias.

• División de Números Enteros: la división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos, entre el dividendo y el divisor, y su signo se obtiene de la aplicación de la Ley de los signos.


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• División Exacta: una división es exacta cuando el residuo es cero. En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.

• División: la división es una operación matemática que consiste en determinar cuántas veces un número está contenido en otro número.

• Divisor: un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente. A los divisores también se les llama factores.

• Elementos que conforman la operación aritmética división: dividendo, divisor, cociente y residuo.

• Fracción: una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra.Diversas fracciones pueden tener el mismo valor, y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina, número racional.

• Ley de signos en la agrupación: cuando entre un número y un paréntesis o corchete, o entre dos paréntesis, o entre un paréntesis y corchete no aparece signo alguno, se considera que es un producto.

• Multiplicación: es una operación aritmética que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad tantas veces como lo indica la segunda.

• Número Opuesto: un número opuesto a un número entero es otro número, pero con signo contrario y con el mismo valor absoluto.

• Números Enteros Negativos: son los números que están precedidos del signo menos.

• Números Enteros Positivos: son los números que están precedidos del signo más.


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• Números Enteros Positivos: todos los números enteros positivos son mayores que cero.

• Números Enteros: son todos los números naturales precedidos por un signo, positivo o negativo.

• Números Enteros: son una generalización del conjunto de los números naturales, es decir, que el conjunto de los números enteros está constituido por números positivos, negativos y el cero.

• Números Enteros: un número entero se reconoce porque no tiene parte decimal.

• Potencia de una potencia: es otra potencia en donde su resultado se da por la multiplicación de sus exponentes.

• Potenciación: la potenciación de un número muestra cuantas veces se usa el número en una multiplicación.

• Producto de potencias de una misma base: es la multiplicación de dos potencias que da como resultado una potencia con la misma base, en la que el exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores.

• Producto: es el resultado obtenido del proceso que se deduce de la operación aritmética de la multiplicación.

• Propiedad Asociativa: al sumar números enteros, la manera de asociarlos no altera su resultado.

• Propiedad Conmutativa: el resultado de la suma de enteros no depende del orden en que se suman.


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• Propiedad Elemento Neutro: el elemento neutro de la suma de números enteros es el número cero (0), porque al sumar cero con cualquier número, el resultado es el mismo.

• Propiedad Elemento Opuesto: es aquel número entero que tiene el mismo valor absoluto de ese número, pero de distinto signo.

• Propiedad o jerarquía en las operaciones con enteros: primero se resuelven los paréntesis y corchetes, luego las llaves resolviendo las operaciones ubicadas dentro o fuera de ellas. Seguidamente se hallan los productos y divisiones para después resolver las restas y las sumas.

• Radicación: es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado por sí mismo una cantidad de veces arroje como resultado otro número determinado.

• Radicación: es una operación inversa de la potenciación en donde se evidencia el total y el exponente, y se requiere hallar la base.

• Raíz cuadrada de un número entero: es la operación que da como resultado otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

• Representación de los números enteros: al conjunto de los números enteros se les simboliza por la letra mayúscula Z.

• Representación de los números enteros: cuando se representan los números enteros en una recta, un número es mayor que otro si se encuentra situado más a la derecha y es menor si está a la izquierda.

• Resta o sustracción: es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.


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• Resultado de una suma o resta: es el valor obtenido al sumar o restar números enteros.

• Suma de Enteros Positivos y Negativos o viceversa: se restan los valores absolutos de ambos números y al resultado se le pone el signo del que tiene el mayor absoluto.

• Suma o adición: es la operación matemática que consiste en combinar o añadir dos números o más, para obtener una cantidad total, también se define como el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una colección final.

• Valor Absoluto: entre los números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

• Valor Absoluto: entre los números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

• Valor Absoluto: es el número que se representa entre dos barras verticales; si se trata de un número entero este se obtiene al quitarle el signo.


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6. RESPUESTAS Y SOLUCIONES DELOS EJERCICIOS, LAS ACTIVIDADES Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Capítulo 1

Actividades 1.3.1 Páginas 11 - 131. Responda falso o verdadero de acuerdo a cada uno de los siguientes

enunciadosa. Falsob. Verdaderoc. Verdaderod. Falsoe. Falsof. Verdadero

2. Complete el texto colocando palabras adecuadas en los espacios vacíosa. Conjunto infinitob. Enteros negativos. Enteros positivosc. Sirven para representar. Temperatura bajo cero. Profundidades. Al nivel del mard. Siempre existe un número finito de números. Es un conjunto discreto.e. Los números enterosf. Es igual al conjunto de los números naturalesg. El conjunto de los naturales


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h. Es menori. Es mayorj. Número natural. No todo. Es naturalk. Un sucesorl. Consecutivosm. Antecesorn. Es mayoro. Es neutrop. Entonces es mayor. Más cerca de ceroq. Es mayor. Más lejos del ceror. Miden magnitudes

3. Dadas las siguientes situaciones, exprese con un número entero la situación que se planteaa. - 314b. + 3480c. - 5d. – 3

4. Complete la sopa de letras con las propiedades y conceptos relacionados con los números enterosSolución:

• Conmutativa.

• Asociativa.

• Opuesto.

• Resta.

• Suma

• División.

• Distributiva.

• Neutro.

• Antecesor.


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• Sucesor.

• Mayor que.

• Menor que.

• Elemento.

Actividades 1.4.1 Página 14

1. Determine el valor absoluto de las siguientes expresionesa. + 37b. - 7c. + 52d. – 51

2. Resuelva los siguientes ejercicios de valor absoluto y grafique su representación geométricaa. + 2b. + 3

Actividades propuestas 1.5.1 Páginas 15 - 16

1. Determine la relación de orden rellenando el espacio en blanco con >, = , <, en cada una de las siguientes expresiones.a. <b. >c. =d. <e. <

2. De acuerdo a los siguientes gráficos, determine las relaciones de orden para los valores dadosa. En la gráfica a de la recta numérica, - 4 es menor que 3, o lo que es lo

mismo - 4 < 3.


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b. En la gráfica b de la recta numérica, el valor - 3 es mayor que el valor - 1, lo que quiere decir que - 1 > - 3.

c. En la gráfica c de la recta numérica, el valor de 1 es menor que el de 4, porque 4 se encuentra más lejos del cero en la recta real; es decir 1 < 4.

d. En la gráfica d de la recta numérica, se puede deducir que los valores de - 4 y de 4 se encuentran a igual distancia del cero, es decir son iguales a + 4.

Capítulo 2

Actividades 2.1.2 Páginas 19 - 20

a. Complete el siguiente cuadro con los números que elija y realice la operación teniendo en cuenta el signo.Respuestas:i. (- 7) + (- 9) = - 16ii. (- 12) + (+ 8) = - 4iii. (- 12) + (+ 11) = -1

b. Respuestas:i. (+ 2) + (- 21) = - 19 ii. (- 8) + (+ 5) = - 3 iii. (- 8) + (+19) = + 11 iv. (- 17) + (-21) = - 38

c. Dados los siguientes valores a = - 13, b = + 25, c = - 11, m = + 14, n = + 78, x = - 9, y = - 7; calcule el resultado de:Respuestas:I. (- 13) + (+ 25) = + 12II. (+ 25) + (- 11) = + 14III. (+ 14) + (+ 78) = + 92IV. (- 9) + (- 7) = - 16V. (- 13) + (+ 78) = + 65

VI. (+ 14) + (- 7) = + 7


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Problemas de aplicación 2.1.3 Página 20

1. Solución: Como nació en el año 20 a.C entonces tenemos - 20, pero como no puede existir una edad negativa, para significar su valor se usa el valor absoluto de este número, es decir: |- 20| = + 20De la misma manera, la edad en que murió será una cantidad positiva, por tanto, tenemos: |- 20| + 45= + 20 + 45 = + 65. Respuesta: murió a los 65 años de edad

2. Solución: En esta situación se debe realizar una resta de números enteros así, 9.000 - 1730 = 7.270. Respuesta: 7.270 m.

3. Solución: Como Manuel se encuentra en el sótano, se dice –1 y como vive en el piso 14, se dice +15, entonces tenemos una suma de | -1| + 14 = + 1+ 14 = 15.Respuesta: Subió 15 pisos

4. Solución: Como se trata de dos números negativos, se debe realizar una resta para obtener el resultado, así: (-14) - (-10) = - 4ºC. Respuesta: descendió 4º bajo cero.

5. Solución: En este caso tenemos la resta de: 18 - (+19) = - 1. Respuesta: Salió del sótano 1.

6. Solución: Como la temperatura actual es de 27ºC y había subido 15ºC, entonces se debe realizar una resta así: 27 - 15 = 12. Respuesta: La temperatura inicial era de 12ºC.


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1. Complete el enunciado de los siguientes conceptosRespuestas:a. Z-

b. – 6c. Z+

d. ||e. |- 75|f. -20g. Infinitoh. 28

2. Ordene de mayor a menor los siguientes enteros.a. 22 >12 > - 7 > - 15 > - 34b. 33 >13 > 0 > - 9 > - 47

3. Utilice las relaciones de orden entre las siguientes expresiones para que sean verdaderasRespuestas:a. <b. =c. >d. <e. <

4. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la suma de enteros y realice los cálculos que definen estos valoresRespuestas:a. (- 15) + (+ 43) = + 28b. (- 15) + (- 39) = - 54c. (- 15) + (+ 28) = + 13


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d. (+ 52) + (+ 43) = + 95e. (+ 52) + (- 39) = + 13f. (+ 52) + (+ 28) = + 80g. (- 63) + (+ 43) = - 20h. (- 63) + (- 39) = - 102i. (- 63) + (+ 28) = - 35

5. ¿Qué propiedad se cumple en cada una de las siguientes situaciones?Respuestas:a. Elemento neutro.b. Asociativa.c. Conmutativa.d. Clausurativa.e. Inverso aditivo u opuesto

6. Resuelva los siguientes problemas.a. 44 añosb. 3 °Cc. $ 322.000 pesosd. Desde el piso 10

7. Dados los siguientes textos matemáticos. ¿de qué manera se expresarían usando la notación de números enteros?Respuestas:a.(+ 2.500)b.(+ 150)c.(- 230)d.(- 470)e.(- 320)


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8. Juan le debe $ 10.000 pesos a María y $ 15.000 a Rosa. Exprese con números enteros las cantidades que está debiendo Luis.Respuesta: Luis debe a María, - 10.000; Luis debe a Rosa, - 15.000

9. Carlos trabaja como mensajero de una empresa comidas rápidas localizada en la carrera primera y realiza el sábado los siguientes recorridos: 20 cuadras hacia el oriente y regresa a la empresa, sale nuevamente y se dirige 15 cuadras hacia el occidente; luego va a almorzar a su casa que queda a 30 cuadras más hacia el occidente. ¿Cuántas cuadras recorrió Carlos en total?Respuesta: a. 85 cuadras

10. En un día de invierno, la temperatura en Quebec, Canadá era de - 5° C a las 10 de la mañana; al atardecer, la radio informó que hacía tres veces más frío que en la mañana. En ese momento la temperatura en Quebec era de:Respuesta: - 15 °C

11. Complete el siguiente crucigramaSoluciónHorizontales3 - Conmutativa5 - Resta9 - Elemento Opuesto10 - Interna11 - Distributiva12 - Raíz13 - Asociativa

Verticales1 - Potencia2 - Valor absoluto4 - Elemento Neutro6 - Orden


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7 - Multiplicación8 - División


1. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la resta de números enteros y realice las operaciones que dan el resultado de la tablaRespuestas:a. (- 15) - (+ 13) = (- 15) + (- 13) = - 28b. (- 15) - (- 48) = (- 15) + (+ 48) = + 23c. (- 15) - (+ 28) = (- 15) + (- 28) = - 43d. (+ 24) - (+ 13) = (+ 24) + (- 13) = + 9e. (+ 24) - (- 48) = (+ 24) + (+ 48) = + 72f. (+ 24) - (+ 28) = (+ 24) + (- 28) = - 4g. (- 63) - (+ 13) = (- 63) + (- 13) = - 76h. (- 63) - (- 48) = (- 63) + (+ 48) = - 15i. (- 63) - (+ 28) = (- 63) + (- 28) = - 91

2. Realice las siguientes restas:Respuestas:a.+ 35b.+ 69c.+ 102d.– 22e.- 70

Problemas de aplicación 2.2.3 Páginas 27 - 28

1. Solución: 325 – 175 = 150, la persona avanzó 150 pasos.2. Solución: 22 - (- 14) = 22 + 14 = 36 ºC. Entre las dos ciudades hay 36 ºC de

diferencia.


78

3. Solución: Teniendo en cuenta que la fecha de nacimiento es antes de Cristo se debe considerar como negativo el número, por tanto, se plantea: - 470 + 71 = - 399. Luego, Sócrates murió en el año 399 a.C.

4. Solución: - 1 + 11 = 10. El técnico se encontraba en el piso 10.5. Solución: b. -3°C6. Solución: a. $ 660.000


1. Encuentre el producto de las siguientes multiplicaciones aplicando las reglasRespuestas:a. + 60b. + 52c. – 81d. 0e. + 40f. – 88g. + 120h. 0i. – 105j. + 42k. - 25l. + 16m. – 80n. 0o. - 125p. 0q. + 63r. 0s. 120t. - 34


79

2. Realice las siguientes multiplicaciones siguiendo las reglas.Respuestas:a. + 90b. – 64c. + 120d. + 81e. – 720

3. Indique la propiedad aplicada.Respuestas:a. Conmutativa.b. Asociativa.c. Conmutativa.d. Conmutativa.e. Elemento neutro.f. Distributiva.


1. Solución: a. $ 7.000 x 3 = $ 21.000. Camila debe $ 21.000 pesos.b. La deuda se representa con el número entero: - 21.000

2. Solución:a. 27b. - 25

3.Solución:a. - 17. (- 3 + 14) = 51 + ( - 238 ) = ( - 187 )b. - 23. [(13 + 14) - 10] = - 621 + ( 230 ) = (- 391 )


80

4.Solución:El buzo ha ascendido 5 x 6 = 30 metros y se encontrará a una profundidad de: - 48 + 30 = - 18 metros.

5.Solución:Una docena son 12 vasos. Una decena son 10 vasosLuego la suma de los vasos es: 4 x 12 + 4 x 10Teniendo en cuenta la propiedad distributiva tenemos:4 x (12 + 10) = 88 El total de vasos de las vitrinas es 88.

6.Solución: Ahora son 29 niños que tendrán que pintar 3 figuras más cada uno, es decir, el que se enfermó pintaba 29 x 3 = 87 figuras.Luego como todos tenían que pintar la misma cantidad de figuras, entonces: 87 x 30 = 2.610 figuras.En total eran 2.610 figuras navideñas.

7.Solución:Mario cobrará en un año: 650.000 x 12 = $ 7.800.000.En un año de 365 días José habrá cobrado: 365 x $ 75.000 = $ 27.375.000.La diferencia a favor de José será: $27.375.000 – $7.800.000 = $ 19.575.000.La diferencia de dinero al final cobrada entre los dos es de, $ 19.575.000.

8.Solución: El bus de Copetrán ha recorrido 1.030 km, y el bus de Brasilia, 1.070 km.


81

Actividades propuestas 2.3.4 Páginas 32 - 34 1. c. 2240 Km2. a. 40 meses3. b. Negativo4. 200 kilómetros5. c. 125.000 kg6. b. 402.480 personas


1. Solución: La profundidad o altura de cada sótano es de – 9 ÷ 3 = - 3La atura de cada piso es de 4 metros, luego como el edificio tiene 46 pisos, incluida la planta baja, entonces su altura total es: 46 x 4 = 184 metros.

2. Solución:Los procedimientos a y b son correctos porque en el punto a se debe resolver primero lo que está dentro del corchete. Si no hay paréntesis, se empieza por la operación que está a la izquierda, que en este caso es la división como ocurre en el punto b.

3. d. $ 80.000


1.Respuestas:c. Lucia, debió pagar $ 19.900 pesosd. Sí, le alcanzó con el billete que llevó.


82

2.Respuestas:a. Síb. El nuevo sueldo es de $ 455.000 pesos

3.Respuesta: 8 – 3 - 5 + 7 = 7.La posición final que ocupa el equipo es el séptimo puesto del campeonato, es decir una posición por debajo de la posición inicial.

4.Respuestas:a. A 5 kmb. Pablo, ha alcanzado másc. Pedro ha recorrido más kilómetros

5.Respuesta:La altura del edificio es de 94 metros.


1.Forma correcta de solución:- 36 ÷ (- 8 ÷ (- 5 + 3) + 12 ÷ (-2 + 2. 4)) + 3 · (- 8) + 3. (- 12 + 5 · 2)== - 36 ÷ (- 8 ÷ (- 2) + 12 ÷ (- 2 + 8)) + 3 · (- 8) + 3 · (- 12 + 10)= - 36 ÷ (4 + 12 ÷ 6) - 24 + 3 · (- 2)= - 36 ÷ (4 + 2) - 24 - 6= - 36 ÷ 6 - 30= - 6 - 30= - 36


83

2.Respuestas: a = - 11, e = 12 y f = - 54

3.Respuestas: a = - 2, b = 3 y c = 4.

4.Respuestas: a. Las operaciones que se necesitan para resolver el problema son multiplicación

o división.b. La operación que se debe hacer para resolver el problema es una división.c. La operación que debe realizar para resolver el problema es una división.

5.Respuesta: 450.000 habitantes.

Actividad 2.5 Página 41

Respuestas:a. + 8b. 27c. + 25d. + 256e. + 108


1.a. 1b. 4c. 4d. - 27


84

e. 81f. - 1024g. 0h. 8i. 50625j. 0k. - 8l. 16m. 1000n. 0o. 16p. - 64q. - 1r. 0

2.a. 2187b. 729c. 256d. 1e. y6

f. x6

g. 1h. 32i. 729j. -1k. 256l. 8192m. 4096n. 1o. -125p. 4


85

q. 81r. 1s. -4t. 144u. 256v. 1w. -46656x. 1y. 1a. 900ab. 9261

3.12 22 32 42 52 62 72 82 92 102

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

4.Producto Potencia Base Exponente Resultado

7 × 7 × 7 × × 7 75 7 5 16.807

3 × 3 × 3 × 3 × 3 35 3 5 243

4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 46 4 6 4.096

5 × 5 × 5 × 5 × 5 55 5 5 3.125

6 × 6 × 6 × 6 × 6 65 6 5 7.776

5. b. (34)2 × (34)2

6. b. 212


1. Respuesta: 55 = 3.125 llamadas2. Respuesta: 43 chocolatinas y canceló $ 48.000 pesos.


86


1.Respuestas:a) 11b) 8c) 5d) 6e) 3

2.Respuestas:a) 3b) 0c) -14d) 12e) 1

3. 1. a. 62. a. 53. c. √354. c. El cuadrado de 27


1.Respuesta: Tiene 10 piezas por cada lado, por lo que la raíz cuadrada de 100 es 10.

2.Respuestas: 7, 5, 9 y 10 respectivamente


87

3.Respuesta: Sí, porque, aunque no son exactas las raíces, entre ellas está la solución.

4.Respuesta: Entre 6 y 7

5.Respuesta: Entre 9 y 10.

6.Respuesta: Es menor de 50.

7.Respuesta: Es mayor de 20.

Capítulo 3


1. Respuesta: d. Queda debiendo $ 1150 porque: 13(500) + 17(- 450) = - 1150.

2.Respuesta: d. (- a) = 5 porque la expresión (- a) representa el opuesto de (a).

3.Respuesta: d. – 42


88

Capítulo 4

Actividades propuestas 4.1 Páginas 60 - 61

1.a. Respuesta: 55 – 34 x – 5 yb. Respuesta: 21 + 14 x + 2 yc. Respuesta: 26 – 14 x – y

2. Respuestas:a. 578.b. 41.c. – 3.d. 2.e. 92.f. 34.

3. Respuesta: a. 2y – z

4. Respuesta:a. 16a - 2b + 2

Problemas de aplicación 4.2 Páginas 61 - 62

1. Respuesta: a. Adicionamos los dos descensos: (-12) . 5 + (- 8) . 4 = (- 92). El nivel descendió 92 cm

2. Respuesta: a. Como había bajado 12 cm diarios durante 5 días, subiendo 2 cm diarios recupera

el nivel en 30 días.


89

7. RECURSOS DE PÁGINAS WEB

Autor desconocido. (s.f.). Matemáticas: Potencia y radicación. Recuperado de Barbero Corral, E. (s.f.) Documento sin título. Recuperado de http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena2/1quincena2_ presenta_1a.htm.

Centro de Estudios Universitarios “Adolfo López Mateos”. (s.f.) Recuperado de http://www.ceualm.com/CGI-BIN/material/20140828125950.pdf.

Coordinación de Universidad Abierta y Educación a distancia – (UNAM). (2011).Introducción a los números enteros. Recuperado de http://cuaed.unam.mx/ math_media/aritmetica/intro_num_enteros/index.php.

Fundación Universitaria San Martín. (s.f.). Recuperado de http://www.sanmartin.edu.co/distancia/sistema/matcero/capitulo2.htm.

Galeazzi Alvarado, J. (s.f.). Guía de Matemáticas para el examen de ingreso a la UNAM. (Parte 1, p.2). Recuperado de http://www.monografias.com/ trabajos67/guia-matematicas-uno-ingreso/guia-matematicas-uno-ingreso2. shtml.

http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas133.htm


90

Norma. (2004). Alfa 7 con estándares. (3ª edición) Recuperado de https://books. google.com.co/books?id=6O13lWwGPqoC&pg=PA3&lpg=PA3&dq=glosario +de+los+n%C3%BAmeros+enteros&source=bl&ots=1dNjUu2Ued& sig=wspPoq6ℤ_N2h2g5kCNoROTRgpu8&hl=es-.419&sa=X&ved=0CDcQ6AEwBWoVChMIzLCY8KLwxwIVxyoeCh27BQy-#v=onepage&q=glosario%20de%20los%20n%C3%BAmeros%20enteros&f=false

Ramo García, A. (1999). Problemas, ejercicios, Matemáticas de Aplicaciones Didácticas. Recuperado de http://www.aplicaciones.info/decimales/problemas.htm.

Waner, S. (2007). Radicales y Exponentes Racionales. Recuperado de http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_2B.html.


91

8. RESUMENPropiedades de las operaciones de los números enteros:

Z

+ ×

Propiedad asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c

Propiedad conmutativa a + b = b + a a × b = b × a

Elemento neutro a + 0 = a a × 1 = a

Elemento opuesto a + (- a) = 0 -----------

Propiedad distributiva a × (b + c) = (a × b) + (a × c)


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