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UNIVERSIDAD DE SONORA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS NOTAS DEL CURSO PROPEDEUTICO PARA QUIMICO BIOLOGOS. Lina Morales Peral José Luis Díaz Gómez Primera Versión Agosto del 2007

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UNIVERSIDAD DE SONORA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

NOTAS DEL CURSO PROPEDEUTICO

PARA QUIMICO BIOLOGOS.

Lina Morales Peral

José Luis Díaz Gómez

Primera Versión

Agosto del 2007

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1 . Institucidn educativa: 2. Divisiirn: 3, Licenciahrras usu;sri.ds: 4. Nombre del curso: 5. Chcter; 6. Unidad;

Univcrsidad de Sonora Ciencias Bioldgicas y de la Sdud Quimico Biblogo Clinico, Quhico cn Alimentus Propedeutico de matemiticas Obligatorio C ~ l l t r ~

IJ. INTRODUCM~N: Este curso es wii introducci6n a 10s contenidos rnatadtims Msicos del bachillerata, dt indispensable conscimientu para 10s estudiantes de nuevo ingrao a la carrcra de Quimico- BiBAogo. Por la corta dwaci6n del rnismo es imprescindibk que 10s estudiantes tengnn claridd dc que el mayor wfuerzo del cursa implica la reqmsdiiijilad de realizar un 'trabaj jo int~nsivo tanto en el aula de clues como fuera de ella.

1U, OWETIVO GENERAL: ~hrno~cneizar €1 nivel dc partida en el conocimiento de 10s contenidos rnutarnhticos elementales 3el buchillerato por parte de 10s evtudiorltes de nuevo iagrcso a la carrera de Q~irnico-Biblogo.

111.- EUONENTES Y RADICALES r

IV. F.I, PI.ANO CAR'~ESMO. O&ICAS DF, FIJNC~ONES L~NEALES,~ CIIADRATTCAS Y C~BICAS. ECUACIONES E NECUACIOXES I

V. RESOLUCI~N DE ECUACIONES DE PRiMER G R A W

VT SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2 X 2 Y DE 3 X 3

VIl. RESOLUCI~N DE ECUACTONES DE SEGUNDO G M D B

VUI. PROPIEDADES DE 1,OS COGARlTMOS

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3

1. DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA.

El Álgebra es la rama de las matemáticas cuyo objeto es el estudio general de todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades, dicho de otra forma, es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras). El concepto de cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética, pues en la aritmética, las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, mientras que en el álgebra tales cantidades pueden ser representadas mediante letras o números y letras. Los números se usan para representar cantidades conocidas y las letras para representar tanto cantidades conocidas como no conocidas. Como se dijo anteriormente, en el álgebra, una cantidad se puede representar mediante un número o una letra, sin embargo hay situaciones en que una sola letra o un solo número son insuficientes para representar una cantidad y se hace necesario utilizar números y letras combinados con las operaciones de multiplicación o división, cuando esto ocurre se llega al concepto de término algebraico. Ejemplos: a) 2x b) -5x2 c) 5axy2 d) (-4a+2c)x4 Como se puede observar, un término algebraico consta de un coeficiente representado mediante un número o varias letras que se combinan, una o más letras que representan incógnitas o variables, que son multiplicadas por el coeficiente y que se combinan entre sí multiplicándose o dividiéndose; y un número, letra o letras que hacen la función de exponentes de las letras que no forman parte del coeficiente. Expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -. Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si contiene más términos se habla de polinomio.

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4

Las expresiones algebraicas establecen relaciones matemáticas y permiten describir situaciones especiales o fenómenos físicos. La idea de su uso es simplificar la transmisión de información. Los factores literales en las expresiones algebraicas representan objetos de la misma naturaleza que se pueden distinguir mediante sus características. Por ejemplo, dentro de un salón de clases, se pudiera utilizar la literal x para indicar el número de personas nacidas en una ciudad específica y con la literal y a las personas que no nacieron en esa ciudad. El total de personas (literal T) en el salón de clases estará dado por T = x + y. En casos donde aparecen paréntesis, éstos junto con lo que se encuentra dentro de ellos se consideran como una sola cantidad. Por ejemplo, (a+b) se considera una sola cantidad. 2. LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES Si n es cualquier entero positivo, entonces: 4434421 K

factoresn

n aaaaa ***= , al entero n se le llama

exponente. Ejemplos: a) aaaa **3 = b) 7*7*7*7*7*7*777 = c) aaaa ***55 3 = d) ( ) ( )( )( )aaaa 5555 3 = Leyes de los exponentes Si a y b son números reales y m y n son enteros positivos, entonces: a) nmnm aaa += b) ( ) nnn baab =

c) ( ) mnnm aa =

d) nmn

m

aaa −=

e) n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

f) 10 =a

g) nn

aa 1

=−

La raíz se indica por medio de n a , y se lee “la raíz enésima de a; el signo se llama radical y debe cubrir a la expresión cuya raíz quiera extraerse, n es el índice e indica el orden del radical y a es el radicando e indica la expresión a la cual se le debe extraer la raíz.

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Ejemplos: a) ban = si y solo si abn = b) 416 = ya que 1642 = c) 283 −=− ya que ( ) 82 3 −=− Leyes de los exponentes fraccionarios o radicales

a) ( )qpp qpq

aaa ==

b) ( ) aann =

c) nnn baab =

d) n

nn

ba

ba=

e) mnm n aa = 2.1. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES. Una de las aplicaciones más importantes de las leyes de los exponentes y de la factorización es en la simplificación de expresiones algebraicas donde aparecen fracciones. a) Escribiremos una expresión equivalente a ( ) 32 −− ba en la cual aparecerán solamente exponentes positivos. De las leyes de los exponentes, se tiene que:

( )3

2

32−

−− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

abba

6

33

2 −

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ab

ab

3

6

6

3

ba

ab

=−

Por lo tanto

( ) 3

632

baba =

−−

b) Realizaremos la siguiente operación4

4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x .

4

44

44xx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2564

4

4

4 xx=

Por lo tanto

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6

2564

44 xx=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

c) Desarrollaremos la siguiente potencia5

3

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c

ba .

53

5525

3

2

)()(

cba

cba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

15

510

53

552

)()(

cba

cba

=

d) Simplificaremos la expresión 22

4

yxyx .

yyxxyx

yxyx

)()(

2

22

22

4

=

Si xy es diferente de cero, se tiene que:

yx

yyxxyx 2

2

22

)()(

=

Por lo tanto

yx

yxyx 2

22

4

=

Ejercicios: Simplificar las siguientes expresiones:

a) 2

2

324

3

43

28

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛aca

cba

b) ( ) ( )423235 −− yxyx

c) 21

53

48

baba−

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

aa

a

xxx

2

4

1

12

31

39

e) 45

32

25

32

18

6

ba

cba−−

f)

2

1

21

21

421

221

3

3

2

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

zyx

zx

zyx

g) 32 82 abab h) 4 33 273 xx

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i) 22

543

312

cabcba

j)3

22

63

4

32

430

152

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ca

bbca

k) 2

33

329−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛cx

bx

l) 5 592

5 1127

9

384

zyx

zyx

m) ab

ba6

153 54

3. OPERACIONES BÁSICAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se dice que un término algebraico es semejante a otro, si ambos tienen exactamente las mismas variables elevadas exactamente a los mismos exponentes y solamente pueden diferir en los números conocidos que aparecen como coeficientes en dichos términos. Se dice que un término algebraico es igual a otro, si ambos tienen exactamente las mismas variables elevadas exactamente a los mismos exponentes y los números conocidos que aparecen como coeficientes en dichos términos también son iguales. Cuando en una expresión algebraica aparecen dos o más términos semejantes combinados mediante las operaciones de adición o sustracción, ésta se puede simplificar realizando las adiciones o sustracciones correspondientes, tomando en cuenta el mismo orden en que se realizan las operaciones con los números reales para los coeficientes y dejando las mismas literales elevadas a sus correspondientes exponentes. La nueva expresión obtenida se dice que es igual que la original y se pueden relacionar mediante el signo =. Por ejemplo, simplificaremos la expresión xxxxxx 1512135104 −++−+ . Puesto que en la expresión algebraica dada aparecen puros términos semejantes, se suman y restan los coeficientes de la literal x, en el orden en que aparecen, encontrándose que dicha expresión puede ser escrita en su forma más simple como:

x19 , en cuyo caso se escribe xxxxxxx 191512135104 =−++−+ . Uso de paréntesis en expresiones algebraicas. En una expresión algebraica se efectúan primero las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y/o divisiones, y finalmente las sumas y restas. Por ejemplo, ((a + 3b - 5a) + 4 a + (6b + 2d + 3b)) = ((3b- 4 a) + 4 a + (9b + 2d))= 3b + 9b + 2d = 12b + 2d 3.1. ADICIÓN. Para sumar dos o más expresiones algebraicas, es recomendable observar si éstas tienen o no términos semejantes o iguales y en el caso de que los tengan se suman entre sí dichos términos y los términos no semejantes se escriben sin modificación alguna, al

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aplicar las leyes o propiedades adecuadas, se obtiene de esta manera la nueva expresión que llamaremos la suma de las expresiones dadas. Ejemplos:

a) x + x = 2x b) 4x + 8x = (4 + 8) x = 12x c) (x + 1) + (5x + 4) = (x + 5x) + (1 + 4) = 6x + 5 d) (2x + 3y – 5) + (4x – 5y) + (x2 + 2x – 4) = (2x + 4x + 2x) + (3y – 5y) + (-5 – 4)

+ x2 = 8x – 2y – 9 + x2 3.2. SUSTRACCIÓN. Para restar una expresión de otra, es recomendable escribir entre paréntesis la expresión que corresponde al sustraendo y observar si éstas tienen o no términos semejantes o iguales y en el caso de que los tengan se restan entre si dichos términos y los términos no semejantes se escriben sin modificar los que están en el minuendo y cambiándole signo a los que se encuentran en el sustraendo, al aplicar las leyes o propiedades adecuadas, se obtiene de esta manera la nueva expresión que llamaremos la resta de las expresiones dadas. Ejemplos:

a) 6x - x = 5x b) 4x - 8x = (4 - 8) x = -4x c) (x + 1) - (5x + 4) = (x - 5x) + (1 - 4) = -x - 3 d) (2x + 3y – 5) - (4x – 5y) = (2x + 3y - 5) + (-4x + 5y) = (2x – 4x) + (3y + 5y) – 5 = -2x + 8y - 5

3.3. MULTIPLICACIÓN. Para multiplicar dos expresiones algebraicas podemos utilizar las mismas leyes de las operaciones con números reales, así como las de los exponentes. Ejemplos: a) )( yxa + . Aplicando la ley distributiva se tiene que:

ayaxyxa +=+ )( b) ))(( yxyx −+ . Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

( ) )())(( yxyyxxyxyx −+−=−+ 22))(( yyxxyxyxyx −+−=−+

Simplificando la expresión, se encuentra que: 22))(( yxyxyx −=−+

c) ( )( )byaxbyax −+ Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

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( ) )())(( byaxbybyaxaxbyaxbyax −+−=−+ 2222))(( ybbyaxabxyxabyaxbyax −+−=−+

Simplificando la expresión, se encuentra que: 2222))(( ybxabyaxbyax −=−+

d) Elevaremos al cuadrado el binomio yx + . El cuadrado del binomio indicado lo podemos escribir como:

2)( yx + Cuyo significado es:

))(()( 2 yxyxyx ++=+ Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

( ) )()( 2 yxyyxxyx +++=+ 222)( yyxxyxyx +++=+

Simplificando la expresión, se encuentra que: 222 2)( yxyxyx ++=+

e) Elevaremos al cuadrado el binomio yx − . El cuadrado del binomio indicado lo podemos escribir como:

2)( yx − Cuyo significado es:

))(()( 2 yxyxyx −−=− Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

( ) )()( 2 yxyyxxyx −−−=− 222)( yyxxyxyx +−−=−

Simplificando la expresión, se encuentra que: 222 2)( yxyxyx +−=−

f) ))(( bxax ++ . Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

( ) )())(( bxabxxbxax +++=++ abaxbxxbxax +++=++ 2))((

Puesto que en esta última expresión no existen términos semejantes, no es posible simplificarla más. g) Elevaremos al cubo el binomio yx + . El cubo del binomio indicado lo podemos escribir como:

3)( yx + Cuyo significado es:

))()(()( 3 yxyxyxyx +++=+ Aplicando la leyes asociativa y distributiva, y las leyes de los exponentes, se tiene que:

[ ] )())(()( 3 yxyxyxyx +++=+ ))(2()( 223 yxyxyxyx +++=+

)()(2)()( 223 yxyyxxyyxxyx +++++=+

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3222233 22)( yxyxyyxyxxyx +++++=+ Simplificando la expresión, se encuentra que:

32233 33)( yxyyxxyx +++=+ h) Elevaremos a la cuarta potencia el binomio yx − . La cuarta potencia del binomio indicado la podemos escribir como:

4)( yx − Cuyo significado es:

))()()(()( 4 yxyxyxyxyx −−−−=− Aplicando las leyes asociativa y distributiva, y las leyes de los exponentes, se tiene que:

[ ][ ]))(())(()( 4 yxyxyxyxyx −−−−=− )2)(2()( 22224 yxyxyxyxyx +−+−=−

)2()2(2)2()( 222222224 yxyxyyxyxxyyxyxxyx +−++−−+−=− 4322322322344 22422)( yxyxyxyyxyxyxyxxyx +−+−+−+−=−

Simplificando la expresión, se encuentra que: 4322344 464)( yxyyxyxxyx +−+−=−

i) ))(( 22 yxyxyx ++− . Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

( ) )())(( 222222 yxyxyyxyxxyxyxyx ++−++=++− 32222322 ))(( yxyyxxyyxxyxyxyx −−−++=++−

Simplificando esta última expresión se encuentra que: 3322 ))(( yxyxyxyx −=++−

j) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− bababa

23

41

32

41 22 .

Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− babbaabbaabababa

23

41

32

23

41

23

41

41

23

41

32

41 2222

32222332

66

122

23

41

83

161

23

41

32

41 bababbabaabababa −++−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

322322

35

85

161

23

41

32

41 babbaabababa −+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

3.4 DIVISIÓN. En muchas ocasiones es necesario dividir una expresión entre otra, esto se puede hacer usando un algoritmo parecido al que se utiliza para dividir números naturales pero tomando en cuenta las leyes o reglas de los exponentes. a) Dividiremos la expresión 252 yx entre la expresión yx2 . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) )(2 225 yxyx ÷ ii) )/(2 225 yxyx

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iii) yxyx

2

252

iv) 252 2 yxyx

Cuando la expresión entre la que se divide (divisor) es una expresión algebraica que consta de un solo término cuyos elementos únicamente se encuentran multiplicando o dividiendo, como el caso que nos ocupa, la forma más simple de dividir, es usando la notación iii), y las leyes de los exponentes vistas con anterioridad, se encuentra que:

yxyxyx 3

2

25

22=

b) Dividiremos 222 1512125104 axaxxaxaxax +−+−− entre ax2 . Como se puede ver, la expresión que se va a dividir (dividendo) puede escribirse en forma simplificada como 22 12513 xaxax ++− , por lo que dividiremos esta última entre

ax2 , en lugar de dividir la expresión original. Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son:

)2()12513( 22 axxaxax ÷++− )2/()12513( 22 axxaxax ++−

axxaxax

212513 22 ++−

22 125132 xaxaxax ++−

Cuando la expresión entre la que se divide (divisor) es una expresión algebraica que consta de un solo término cuyos elementos únicamente se encuentran multiplicando o dividiendo, como el caso que nos ocupa, la forma más simple de dividir, es usando la notación iii), en cuyo caso se encuentra que:

axx

axax

axax

axxaxax

212

25

213

213513 2222

++−

=++−

Simplificando cada uno de los términos de la expresión que aparece a la derecha del signo =, se tiene que:

axx

axxaxax 6

25

213

213513 22

++−=++−

c) Dividiremos hhxhhxhhxhxhhxhx −++−−−+++ 232243223 24399464 entre h. Utilizando la notación del ejemplo anterior, se tiene que:

=−++−−−+++

=−++−−−+++

hh

hh

hxh

hh

hxh

hhx

hh

hxh

hhx

hhx

hhhxhhxhhxhxhhxhx

232243223

232243223

24399464

24399464

124399464 223223 −++−−−+++ hxhxhxhxhhxx d) Dividiremos el polinomio de cuarto grado 1464 234 ++++ xxxx entre el binomio de primer grado 1+x . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) )1()1464( 234 +÷++++ xxxxx

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ii) )1/()1464( 234 +++++ xxxxx

iii) 1

1464 234

+++++

xxxxx

iv) 14641 234 +++++ xxxxx

Utilizando la notación iv), se divide el primer término del dividendo (x4) entre el primer término del divisor (x) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra a continuación:

1463

14641

23

34

3

234

+++

+

+++++

xxxxx

xxxxxx

La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, hasta que el grado del polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra enseguida:

14333

1463

13

4641

2

23

23

34

23

234

++

+

+++

+

++++++

xxxx

xxxxx

xxxxxxx

133

14333

1463

133

4641

2

2

23

23

34

23

234

++

++

+

+++

+

+++++++

xxxxx

xxxxx

xx

xxxxxxxx

Nuevo dividendo

Nuevo dividendo

Nuevo dividendo

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011

33143

331463

1133

4641

2

2

23

23

34

23

234

++

+

++

+

+++

+

++++++++

xx

xxxx

xxxxx

xx

xxxxxxxx

El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:

)1)(133(1464 23234 ++++=++++ xxxxxxxx e) Dividiremos el polinomio de cuarto grado 1464 234 ++++ xxxx entre el trinomio de segundo grado 122 ++ xx . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) )12()1464( 2234 ++÷++++ xxxxxx ii) )12/()1464( 2234 ++++++ xxxxxx

iii) 12

14642

234

++++++

xxxxxx

iv) 146412 2342 ++++++ xxxxxx

Utilizando la notación iv), se divide el primer término del dividendo (x4) entre el primer término del divisor (x2) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra a continuación:

14522

146412

23

234

2

2342

+++

++

++++++

xxxxxx

xxxxxxx

La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, hasta que el grado del polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra enseguida:

Se termina el proceso

Nuevo dividendo

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14

12242

14522

12

46412

2

23

23

234

2

2342

++

++

+++

++

+++++++

xxxxxxxx

xxx

xxxxxxxx

01212

2421452

2

112

46412

2

2

23

23

234

2

2342

++

++

++

+++

++

++++++++

xxxxxxxxxx

xxx

xxxxxxxx

El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:

22234 )12(1464 ++=++++ xxxxxx f) Dividiremos el polinomio de cuarto grado 1464 234 ++++ xxxx entre el polinomio de tercer grado 13 23 ++ xx . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) )13()1464( 23234 ++÷++++ xxxxxx ii) )13/()1464( 23234 ++++++ xxxxxx

iii) 13

146423

234

++++++

xxxxxx

iv) 146413 23423 ++++++ xxxxxx

Utilizando la notación iv), se divide el primer término del dividendo (x4) entre el primer término del divisor (x3) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra a continuación:

13603

146413

23

234

23423

+++

+++

++++++

xxxxxxx

xxxxxxx

La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, hasta que el grado del polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra enseguida:

Nuevo dividendo

Se termina el proceso

Nuevo dividendo

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15

xxxxxxxx

xxxx

xxxxxxx

33103136

03

1146413

2

23

23

234

23423

+

+++

+++

+++

+++++++

El resultado anterior significa que la división no es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:

xxxxxxxxx 33)13)(1(1464 223234 +++++=++++ g) Dividiremos el polinomio de tercer grado 33 yx − entre el binomio de primer grado yx − . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) )()( 33 yxyx −÷− ii) )/()( 33 yxyx −−

iii) yxyx

−− 33

iv) 33 yxyx −−

Primero observamos que en el dividendo aparece dos términos, x3 y y3, si tomamos como variable principal del polinomio a la letra x, entonces debemos escribir el binomio como un polinomio completo de tercer grado agregando ceros y considerando el término y3 como su término independiente, según se muestra a continuación: 323 00 yxxxyx −++−

Utilizando, ahora si, la notación iv), se divide el primer término del dividendo (x3) entre el primer término del divisor (x) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra en seguida:

32

23

2

323

0

00

yxyxyxx

xyxxxyx

−+

−++−

La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, respecto a la variable principal considerada, hasta que el grado del polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra a continuación:

Se termina el proceso

Nuevo dividendo

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16

0

0

00

32

32

22

32

23

22

323

yxyyxy

xyyxyxyx

yxx

yxyxyxxxyx

−+

++−++−

El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:

))(( 2233 yxyxyxyx ++−=− h) Dividiremos el polinomio de tercer grado 33 yx + entre el trinomio de segundo grado 22 yxxy ++− . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) )()( 2233 yxxyyx ++−÷+ ii) )/()( 2233 yxxyyx ++−+

iii) 22

33

yxxyyx++−

+

iv) 3322 yxyxxy +++−

Primero observamos que en el dividendo aparece dos términos, x3 y y3, si tomamos como variable principal del polinomio a la letra x, entonces debemos escribir el binomio como un polinomio completo de tercer grado agregando ceros y considerando el término y3 como su término independiente, también posemos observar que en el divisor el trinomio que aparece no está ordenado en forma decreciente respecto del grado de la variable considerada como principal, por lo que debemos también ordenarlo, para que la división indicada quede como se muestra a continuación: 32322 00 yxxxyxyx ++++−

Utilizando, ahora si, la notación iv), se divide el primer término del dividendo (x3) entre el primer término del divisor (x2) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra en seguida:

322

223

32322 00

yxyyxxyyxx

xyxxxyxyx

+−

+−

++++−

La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, respecto a la variable principal considerada, hasta que el grado del polinomio que aparece como nuevo

Se termina el proceso

Nuevo dividendo

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17

dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra a continuación:

0

00

322

322

223

32322

yxyyxyxyyx

xyyxx

yxyxxxyxyx

+−

+−

+−

+++++−

El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:

))(( 2233 yxyxyxyx ++−=+ Ejercicios:

a) Encuentra la suma de las expresiones zyx 335 −+− y zyx 443

31

−−− .

b) Resta la expresión zyx 335 −+− de la expresión zyx 443

31

−−− .

c) A la expresión zyx 335 −+− réstale la expresión zyx 443

31

−−− .

d) Eleva al cuadrado la expresión byax + . e) Eleva al cuadrado la expresión byax − . f) Eleva al cuadrado la expresión 24 53 ba − . g) Realiza la siguiente multiplicación ))(( eycxbyax ++ . h) Realiza la siguiente multiplicación )3)(3( 2525 yxyx +− . i) Eleva al cubo la expresión yx − . j) Efectúa la siguiente multiplicación ))(( 22 yxyxyx +−+ . k) Divide la expresión 254 yx entre la expresión 22xy . l) Divide el polinomio 222 1512125104 axaxxaxaxax +−+−− entre 23ax . m) Divide hhxhhxhhxhxhhxhx +−−+++−−− 232243223 24399464 entre h. n) Divide el polinomio de cuarto grado 1464 234 ++++ xxxx entre el binomio de primer grado 1−x . o) Divide el polinomio de cuarto grado 1464 234 ++++ xxxx entre el trinomio de segundo grado 122 +− xx . p) Divide el polinomio de cuarto grado 1464 234 ++++ xxxx entre el polinomio de tercer grado 13 32 −+ xx . q) Divide el polinomio de tercer grado 33 yx − entre el binomio de segundo grado

22 xyxy ++ . r) Divide el polinomio de tercer grado 33 yx + entre el binomio de primer grado yx + .

Se termina el proceso

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4. Productos Notables

DefiniciónSon aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también “Identidades Algebraicas”. Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son : 1. Binomio de Suma al Cuadrado ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio Diferencia al Cuadrado ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3. Diferencia de Cuadrados ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4. Binomio Suma al Cubo ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

5. Binomio Diferencia al Cubo ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

6. Suma de dos Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

7. Diferencia de Cubos a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

9. Trinomio Suma al Cubo ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) 10. Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2) ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

11. Producto de dos binomios que tienen un término común ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Ejemplos : 1. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

Solución :

cx

bxx

axx 23222 )1()1()12( +

++++−

Aplicando producto notable en “a” que es una suma de binomios x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2

Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2

[ ] 2322

)1()1)(1(++

++− xd

xxx

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Aplicando en “d” diferencia de cubos, tenemos : (x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1 (x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)

2. Simplificar : M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

Solución Ordenando los productos notables tenemos : ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

* ** Aplicando : cubo de la suma de un binomio en “ * “, tenemos :

( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

Aplicando el producto de suma de cubos en : “* *”, tenemos :

( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

Remplazando en la expresión inicial tenemos : ( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12 Ordenando los factores tenemos :

( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12 ♦ aplicando productos notables en “♦” :

( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.

3. Simplificar :

233

42

)()( ba

babaK −−++

=

SoluciónDesarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :

232233223

42

3333 ba

babbaababbaaK −−+−++++

=

Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :

223

42

62 ba

abaK −+

=

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aababaK

2)2(462 223 −+

=

aaababaK

2)2(462 223 −+

=

aabaK

222 23 −

=

abaaK

2)(2 22 −

=

K = a2 - b2 Rpta. 4. Hallar el valor de P :

32 842 )19)(19)(19(801 ++++=P Solución :

32 8422 )19)(19)(19)(19(1 +++−+=P

32 844 )19)(19)(19(1 ++−+=P

32 88 )19)(19(1 +−+=P

32 16 )19(1 −+=P

32 16 191 −+=P P = 32 169=P 3216

9=P P = 91/2 9=P ∴ P = 3 Rpta.

5. Hallar el valor de E :

12

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−xx eeE

Solución :

14

2 22+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

−− xxxx eeeeE

14)1(2 22

++−

=− xx eeE

44222 +−+

=− xx eeE

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4

222 ++=

− xx eeE

42 22 xx eeE

−++=

42 22 xxxx eeeeE

−− ++=

( )4

2xx eeE−+

=

2

xx eeE−+

=

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1. Efectuar : R = (a + b + c) (a + b - c) + (a + b – c) (a – b + c) + ( a – b + c) (b + c – a) + ( b – c + a) (b – c – a) – 4ab

2. Reducir : 3 22 1)1)(1)(1)(1( ++−++−+= xxxxxxM

3. Calcular el valor de : 4 )257()17()5()3(1 ⋅⋅⋅=K

4. Simplificar : N = (x-2) ( x + 3) (x - 4)(x+1) – x2 (x – 1)2 + 14x (x-1) – 24

5. Si: 235 −x

Hallar el valor de K : K = x(x + 1) ( x + 2) (x + 3)

Ejercicios

1. Reducir : a) (ax + 1)2 (ax – 1)2 (a2x + 1)2 b) (a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a + 4) (a2 + 2 a + 4) c) (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) ( x4 – x2 + 1) (x4 – 1)

2. Hallar el valor de A : A = ( x + 2)2 (x – 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 (x – 2)2

3. Si : x + x-1 = 3 Hallar : E = x6 + x-6 4. Efectuar :

a) ( x + 1/x)2 ; b) ( x4 – x + 3)2 ; c) (x4 – 9) (x4 – 7) b) (x4 + 3)2 (x4 – 3)2 ; e) (x + y + 3) (x + y – 3); f) (x5 + 1) (x10 – x5 + 1)

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g) ( 23 75 + ) ; h) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 55 3

2

3

2

pm

pm

; i) (x – 2) (x-4) (x-9)

5. La suma de dos números es 5 y su producto 5. ¿cuál es la suma de sus cubos? 6. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de los

cuadrados.

7. Simplificar : xyyx 4)( 2 +−

8. Si : ( a + 1)2 = ( 3 +2) a calcular : 1)1(

4

22

++

=aaS

9. Calcular : 4 333 )21(3)22()23( +−+−+=A B = ( a + b + c)2 + (a + b – c)2 + (b + c – a)2 + ( c + a – b)2

10. Si : a + b + c = 2

a2 + b2 + c2 = 6 a3 + b3 + c3 = 17 Hallar : a . b . c

Si : A = ( x + 8) (x + 9) - (x + 7) ( x + 10) B = ( x – 5) ( x – 4) - (x – 6 ) (x – 3) Hallar A . B

11. Simplificar :

cbaxbccaxbaxE

+++−++++

=))((

12. Calcular :

W = a5 + b5

Si : a + b = 4 a . b = 2

Respuestas : 1) a) a4x; b) a6 – 64; c) x12 – 1; 2) A = x8 – 10 x6 + 33 x4 – 40x2 + 16; 3) E = 322 4) 50; 5) 21; 6) x + y; 7) 5 = 3; 9) 1; 10) 4; 11) x +a; 12) 464

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5. FACTORIZACIÓN EJERCICIOS DE PREPARACIÓN Los pares de factores enteros no negativos de 28 son 1·28,2·14 y 4·7. Encuentra todos los pares de factores enteros no negativos de los siguientes números:

1. 45 2. 60 3. 36 4. 24 5. 56

Esta sección se enfoca a la factorización, el proceso inverso de la multiplicación. Encontramos factores binomiales, dado el producto binomial y trinomial. Utilizamos los modelos de los azulejos y las tablas, resumimos un método de ensayo y error y factorizamos los productos notables trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. El máximo factor común sigue siendo importante. Podemos encontrar la altura y la base de un rectángulo a partir de su área; llamamos a este proceso factorización, que además de ser un proceso algebraico básico, convierte fórmulas a formas más usuales. Factorizamos expresiones como 3ab+3b2 a 3b(a+b), el producto de un monomio y un binomio. El proceso de encontrar polinomios cuyo producto es igual a un polinomio dado se denomina factorización. Por ejemplo, como 4x+12=4(x+3) tanto a 4 como a x+3 se les conoce como factores de 4x+12. También a 4(x+3) se le llama forma factorizada de 4x+12. Un polinomio que no puede escribirse como un producto de dos polinomios con coeficientes enteros es un polinomio primo o polinomio irreducible. Un polinomio está completamente factorizado cuando se escribe como un producto de polinomios primos con coeficientes enteros. Factorización del máximo factor común Los polinomios se factorizan por medio de la propiedad distributiva. Por ejemplo, para factorizar 6x2y3+ 9xy4 + 18y5, buscamos un monomio que sea el máximo factor común de todos los términos del polinomio. Para este polinomio 3y3 es el máximo factor común. Por la propiedad distributiva: 6x2y3+ 9xy4 + 18y5 = (3y3)(2x2) + (3y3)(3xy) + (3y3)(6y2) = (3y3) (2x2 + 3xy +6y2) Ejemplo: Factorice el máximo factor común de cada polinomio:

a) 9y5 + y2 El máximo factor común es y2

9y5 + y2 = y2 · 9 y3 + y2 ·1 = y2(9y3 + 1) b) 6x2t + 8xt + 12t = 2t(3x2 + 4x + 6) c) 14m4(m+1) – 28m3(m+1) – 7m2(m+1)

El máximo factor común es 7m2(m+1). Utilice la propiedad distributiva como sigue: 14m4(m+1) – 28m3(m+1) – 7m2(m+1) = [7m2(m+1)](2m2 – 4m -1)

= 7m2(m+1)( 2m2 – 4m -1)

Factorización por agrupación Cuando un polinomio tiene más de tres términos, algunas veces puede factorizarse por medio de un método llamado factorización por agrupación. Por ejemplo, para factorizar ax + ay + 6x + 6y, reúna los términos en dos grupos de manera que cada grupo tenga un factor común:

ax + ay + 6x + 6y = (ax + ay) + (6x + 6y)

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Factorice cada grupo para obtener ax + ay + 6x + 6y = a(x+y) + 6(x+y).

Ahora, la cantidad (x+y) es un factor común, que puede factorizarse, para producir ax + ay + 6x + 6y = (x+y)(a+6)

No siempre es obvio qué términos deben agruparse. La experiencia y los intentos repetidos son las herramientas más confiables para factorizar por agrupación. Ejemplo: Factorice por agrupación a) mp2 + 7m + 3p2 + 21 Agrupe los términos como sigue:

mp2 + 7m + 3p2 + 21 = (mp2 + 7m) + (3p2 + 21) Factorice el máximo factor común de cada grupo. (mp2 + 7m) + (3p2 + 21) = m(p2 + 7) + 3(p2 + 7) = (p2 + 7)(m+3) p2 + 7 es un factor común b) 2y2 – 2z – ay2 + az Una agrupación de los términos como la que acabamos de hacer produce

2y2 – 2z – ay2 + az = (2y2 – 2z) + (– ay2 + az) = 2(y2 – z) + a(- y2 + z).

La expresión - y2 + z es el negativo de y2 – z, así que los términos deben ser agrupados como sigue:

2y2 – 2z – ay2 + az = (2y2 – 2z) - (ay2 - az) = 2(y2 – z) – a(y2 – z) factorice cada grupo

= (y2 – z) (2-a) factorice y2 – z

Factorización de trinomios La factorización es el opuesto de la multiplicación. Como el producto de dos binomios por lo general es un trinomio, podemos esperar trinomios factorizables (que tengan términos sin factor común) que tengan como factores a dos binomios. Así, la factorización de trinomios requiere la utilización de la regla para multiplicar dos binomios en orden inverso. Ejemplo: Factorice cada trinomio. a) 4y2 – 11y + 6

Para factorizar este polinomio, debemos encontrar enteros a, b, c y d tales que 4y2 – 11y + 6 = (ax + b)(cy + d)

Utilizando la regla para el producto de dos binomios, vemos que ac = 4 y bd= 6. Los factores positivos de 4 son 4 y 1 o bien 2 y 2. Como el término central es negativo, consideramos sólo factores negativos de 6. Las posibilidades son -2 y -3 o bien -1 y -6. Ahora probemos con varios órdenes de estos factores hasta encontrar uno que proporcione los coeficientes correctos de y.

(2y -1)(2y -6) = 4y2 – 14y + 6 incorrecto (2y – 2)(2y – 3) = 4y2 – 10y + 6 incorrecto (y – 2)(4y – 3) = 4y2 – 11y + 6 correcto

El último intento da la factorización correcta. b) 6p2 – 7p – 5 De nuevo, probemos diferentes posibilidades. Los factores positivos de 6 podrían ser 2 y 3 o bien 1 y 6. Con factores como -5 sólo tenemos -1 y 5 o bien -5 y 1. Probemos diferentes combinaciones de estos factores hasta que encontremos el correcto.

(2p – 5)(3p + 1) = 6p2 – 13p – 5 incorrecto (3p – 5)(2p + 1) = 6p2 – 7p – 5 correcto

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Por lo tanto, 6p2 – 7p – 5 se factoriza como (3p – 5)(2p + 1). Cada uno de los patrones especiales de multiplicación pueden utilizarse en sentido contrario para obtener un patrón para factorizar. Los trinomios cuadrados perfectos pueden factorizarse como sigue. Trinomios cuadrados perfectos

x2 + 2xy + y2 = (x+y)2

x2 - 2xy + y2 = (x- y)2

Ejemplo. Factorice cada polinomio: a) 16p2 – 40 pq + 25 q2

Como 16p2= (4p)2 y 25 q2= (5q)2 , utilice el segundo patrón mostrado anteriormente con 4p en lugar de x y 5q en lugar de y para obtener

16p2 – 40 pq + 25 q2 = (4p)2 – 2 (4p)(5q) + (5q)2 = (4p-5q)2. Asegúrese que el término de en medio del trinomio que será factorizado, -40 pq en este caso, sea el doble del producto de los dos términos en el binomio 4p-5q:

-40 pq = – 2 (4p)(5q) b) 169 x2 + 104 xy2 + 16y4 = (13x + 4y2)2, ya que 2(13x)(4y2) = 104 xy2

Factorización de binomios El patrón para el producto de la suma y diferencia de dos términos proporciona la factorización siguiente: Diferencia de dos cuadrados

x 2 - y2 = (x+y)(x-y)

El producto especial (a+b)(a-b) = a2 – b2 puede utilizarse para resolver algunos problemas de multiplicación. Por ejemplo,

51 x 49 = (50+1)(50-1) = 502 – 12 = 2500 – 1 = 2499 102 x 98 = (100+2)(100-2) = 1002 – 22 = 10000 – 4 = 9996

Una vez que se reconocen estos patrones, las multiplicaciones de este tipo pueden hacerse mentalmente. Ejemplo.- Factorice cada uno de los polinomios siguientes: a) 4m2 – 9 Primero, reconozca que 4m2 – 9 es la diferencia de dos cuadrados, ya que 4m2 = (2m)2 y 9= 32. Utilice el patrón para la diferencia de dos cuadrados con 2m en lugar de x y 3 en lugar de y. Al hacerlo se obtiene

4m2 – 9 = (2m)2 - 32 = (2m+3)(2m-3) b) 256k4 – 625m4 Utilice dos veces el patrón para la diferencia de dos cuadrados como sigue:

256k4 – 625m4 = (16k2)2 – (25m2)2 = (16k2 + 25m2)( 16k2 - 25m2) = (16k2 + 25m2)(4k+5m)(4k-5m)

c) x2 – 6x + 9 - y4

Agrupe los primeros tres términos para obtener un trinomio cuadrado perfecto. Luego, utilice el patrón para la diferencia de cuadrados.

x2 – 6x + 9 - y4 = (x2 – 6x + 9) - y4 = (x-3)2 – (y2)2

= [(x-3) + y2][(x-3) - y2] = (x-3 +y2) (x-3 - y2)

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Una prueba geométrica para la propiedad de la diferencia de cuadrados se muestra a continuación. (La prueba sólo es válida para b>a>0).

b2- a2 = b(b-a) + a(b-a) = (b+a)(b-a) Factorice b-a en el segundo paso. A continuación, se listan otros dos resultados especiales de factorización. Cada uno puede verificarse si se multiplica el lado derecho de la ecuación.

Diferencia y suma de dos cubos Diferencia de dos cubos: x3 – y3 = (x-y)(x2 + xy + y2) Suma de dos cubos: x3 + y3 = (x+y)(x2 + xy + y2)

Ejemplo.- Factorice cada polinomio a) x3 + 27

Observe que 27 = 33, así que la expresión es una suma de cubos. Utilice el segundo patrón anterior.

x3 + 27 = x3 + 33 = (x+3)(x2 - 3x +9) b) m3- 64n3

Como 64n3 = (4n)3, el polinomio dado es una diferencia de dos cubos. Para factorizar, utilice el primer patrón anterior, reemplazando x con m y y con 4n.

m3- 64n3 = m3- (4n)3 = (m-4n)[m2+m(4n) +(4n)2)] = (m-4n)(m2+4mn+16n2)

c) 8q6 + 125 p9

Escriba 8q6 como (2q2)3 y 125p9 como (5p3)3, de modo que el polinomio dado es una suma de dos cubos.

8q6 + 125 p9 = (2q2)3 + (5p3)3 = (2q2 + 5p3)[( 2q2)2 - (2q2) (5p3) + (5p3)2] = (2q2 + 5p3)( 4q4 – 10 q2p3 + 25 p6)

Ejercicios.- Factorice el máximo factor común de cada polinomio: 1. 8m4+ 6m3 -12m2 2. 2p5 -10p4 16p3

3. 4k2m3 + 8k4m3 – 12k2m4 4. 28r4s2 + 7r3s -35r4s3

5. 2(a+b) + 4m(a+b) 6. 4(y-2)2 + 3(y-2) 7. 2(m-1) -3(m-1)2 + 2(m-1)3 8. 5(a+3)3 -2(a+3) + (a+3)2

Factorice cada uno de los polinomios siguientes por agrupación: 9. 6st + 9t -10s -15 10. 10ab – 6b + 35a -21 11. rt3 + rs2 -pt3 -ps2

12. 2m4+6 – am4 -3a 13. 16a2 + 10ab-24ab -15b2 14. 15 – 5m2-3r2+ m2r2

15. 20z2 -8zx -45zx + 18x2

16. Considere el polinomio 1-a+ab-b. Una forma factorizada aceptable es (1-a)(1-b). Sin embargo, hay otras formas factorizadas aceptables. ¿Cuál no es una forma factorizada aceptable para este polinomio? a) (a-1)(b-1) b) (-a+1)(-b+1) c) (-1+a)(-1+b) d) (1-a)(b+1) Factorice cada trinomio: 17. x2 – 2x – 15 18. r2+ 8r +12 19. y2 + 2y + 35 20. x2 – 7x + 6 21. 6a2 -48a-120 22. 8h2 -24h -320 23. 3m3 + 12m2 + 9m 24. 9y4-54y3 +45y2 25. 6k2 +5kp -6p2 26. 14m2 + 11mr -15r2

27. 5a2 – 7ab – 6b2 28. 12s2 +11st -5t2 29. 9x2 -6x3 +x4

30. 30a2+ am -m2 31. 24a4 + 10a3b – 4a2b2 32. 18x5 + 15x4z – 75x3z2

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EL PLANO CARTESIANO13

La necesidad de orientarse condujo a los seres hu-manos, desde la antiguedad mas lejana, a confeccio-nar mapas o cartas geograficas y a relacionar los pun-tos de una superficie mediante numeros.

Para fijar una figura en el espacio o en un plano ha-ce falta relacionarla con un sistema de referencia. Enel actual sistema geografico, cualquier lugar del mun-do queda determinado con precision si se conocensu latitud (a) y su longitud (b), es decir, si se tienen sudistancia a al norte o al sur del ecuador, y su distan-cia b al este o al oeste del meridiano de Greenwich.

a

b P

No basta con tener uno solo de estos datos, ya quehay lugares que tienen la misma latitud a. Observesela siguiente figura:

RENE DESCARTES (1596-1650)

Considerado el padre de la filosofıa moderna, Rene Descartes fue unpensador completo, que abordo tambien el estudio de las ciencias.En fısica, sin saber que Galileo ya lo habıa hecho, resolvio elproblema de las leyes que rigen el movimiento de caıda de loscuerpos. En matematicas, fue el creador de la geometrıa analıtica,para lo que establecio el sistema de coordenadas ortogonales,conocido en la actualidad como sistema cartesiano. Asimismo,contribuyo a simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica.Tras escribir las Reglas para la direccion del espıritu (1628-1629)y El mundo o Tratado de la luz (1633), en el que se incluyo suTratado del hombre, publico su obra de mayor relieve, el Discursodel metodo (1637), que servıa de prologo a la edicion conjunta detres ensayos de ındole cientıfica: la Dioptrica, la Geometrıa y losMeteoros. En 1641 escribio Meditaciones metafısicas, y en 1644, losPrincipios de la filosofıa. Por ultimo, en 1649 se publico su obraPasiones del alma.En el sistema depensamiento deDescartes, la filosofıaengloba a todas lasciencias. Represento elconocimiento como unarbol cuyas raıces son lametafısica y cuyo troncoes la fısica, del que salentres ramas principales–la medicina, lamecanica y la etica– delas que derivan todas lasotras ciencias.Consideraba que habıa tres sustancias: una infinita yautosubsistente, es decir, que existe por sı misma, a la quedenomino res infinita e identifico con Dios, y dos sustancias finitas,que dependen para su existencia de la res infinita, a las quellamo res cogitans o sustancia pensante y res extensa o sustanciacorporea, cuya principal caracterıstica es la extension en el espacio.

El pensamiento filosofico de Descartes se fundamenta en un metodoque consiste en tomar un punto de partida indudable sobre el queconstruir todo el conocimiento. En matematicas creo la geometrıaanalıtica segun el mismo principio, a partir de un sistema decoordenadas formado por dos rectas que se cortan en un punto,denominado origen.

Descartes fue el inventor de la nota-cion algebraica moderna, en la cual lasconstantes estan representadas por lasprimeras letras del alfabeto, a, b, c, y lasvariables o incognitas por las ultimas, esdecir, x, y, z.

aa a

Todos los puntos del globo terrestre que estan si-tuados en el mismo paralelo, a una distancia a delecuador tienen la misma latitud. Lo mismo sucedecon solo la longitud.

En matematicas, el sistema de referencia se formasobre un plano con dos rectas perpendiculares que seintersecan en un punto, que se denota con la letra O.

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242 El plano cartesiano

x

y

O

−1 1

1

−1

III

III IV

El punto O recibe el nombre de origen de coor-denadas. Se escoge tambien una unidad de medida,con la que se marcan con signo positivo las distanciasen las semirrectas desde el origen hacia arriba y ha-cia la derecha, y con signo negativo desde el origenhacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicularse denomina eje de abscisas o eje de las x, mientrasque el eje vertical se denomina eje de ordenadas o ejede las y. Este sistema de referencia se denomina siste-ma de ejes cartesianos o sistema cartesiano (de Carte-sius, nombre latinalizado de Rene Descartes, filosofoy matematico frances del siglo XVII). Con ello, to-do el plano queda dividido en cuatro cuadrantes (I,II, III y IV), que se numeran en sentido contrario almovimiento de las agujas de un reloj.

13.11 COORDENADAS DE UN PUNTO:EJERCICIOS DE LOCALIZACION DEPUNTOS Y OTRAS ACTIVIDADESEN EL PLANO CARTESIANO

Por cada punto P del plano pasan dos rectas perpen-diculares entre sı y paralelas a cada uno de los ejes,es decir, pasa una recta paralela al eje de las x y unarecta paralela al eje de las y.

x

y

0 A

PB •

Estas rectas cortan los dos ejes en dos puntos, Ay B. Si se consideran las distancias OA y OB, estasrepresentan la abscisa y la ordenada del punto P.

x

y

0 +3

P+5 •

En la figura superior, el punto P tiene como abscisa+3 y como ordenada +5. Por ello, se dice que P tie-ne como coordenadas +3 y +5, que se escribe de lasiguiente manera: P (+3, +5).

Si se fijan dos numeros en un orden determinado,por ejemplo +2 y +3, se dice que a este par ordenadole corresponde el punto P del plano que tiene comoabscisa +2 y como ordenada +3, es decir, el puntoP(+2, +3), como se muestra en la siguiente figura:

x

y

0 +2

P+3 •

Se debe prestar atencion en no confundir el eje delas abscisas con el de las ordenadas: el primer numerorepresenta el de la abscisa x y, en consecuencia, semarca sobre el eje horizontal de las x, mientras que elsegundo es la ordenada y, por tanto, se indica sobreel eje vertical de las y. Por ello, los puntos A (+5, +2)y B (+2, +5) tienen localizaciones muy diferentes:

x

y

0 +2 +5

B

A

+5

+2

A continuacion, se indican sobre un plano los pun-tos P (+1, +3), Q (–3, +5), R (–2, –3), S (+1, – 4).

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Representacion en el plano cartesiano de regiones y conjuntos de puntos que satisfacen... 243

x

y

1 2 3 4 5−1−2−3

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

• P

•Q

•R

• S

CODIGO

Se trata de descubrir el criterio con el que fueron ubicados losnumeros en las casillas y, una vez hallado, sustituir las letras A, By C por los valores correspondientes.

12

A B 25

34

43

51 C

Solucion al final del capıtulo

Se observa que si ambas coordenadas son positi-vas, el punto se encuentra en el primer cuadrante; sison ambas negativas, el punto se encuentra en el ter-cer cuadrante; si la abscisa es negativa y la ordenadapositiva, se localiza en el segundo cuadrante, y, final-mente, si la abscisa es positiva y la ordenada negativa,se encuentra en el cuarto cuadrante.

Por consiguiente, se puede afirmar que a cada pa-reja ordenada de puntos le corresponde un punto delplano, y viceversa; a cada punto del plano le corres-ponde una pareja ordenada de puntos.

13.21 REPRESENTACION EN EL PLANOCARTESIANO DE REGIONES YCONJUNTOS DE PUNTOS QUESATISFACEN CONDICIONESALGEBRAICAS SENCILLAS

Hasta ahora, se han representado en el plano pun-tos de la forma (+3, +5), (2, –6), (–4, –5), etc. No solose pueden encontrar como coordenadas de un puntonumeros enteros, sino que tambien pueden ser nume-ros fraccionarios o reales. Ası, se puede pedir colocar

los puntos

(+

12,−2

), (0,632, 1,56), por ejemplo.

Supongase que se fija una de las dos coordenadas,por ejemplo, que se fija la abscisa en el valor +3: pue-den considerarse todas las parejas de puntos que tie-nen como abscisa el valor fijo +3, y como ordenadacualquier numero de la recta real, es decir, –2, 22,16,539 o no importa que otro valor. ¿Que ocurre sise intenta representar este conjunto de puntos? Lasordenadas de las diferentes parejas de puntos puedendistar tan poco unas de otras que no se aprecia un es-pacio en blanco en su representacion. En consecuen-cia, se forma una recta que tiene abscisa +3.

x

y

0 +3

Como esta recta satisface la condicion de que, encada uno de sus puntos, su abscisa vale siempre 3,con independencia del valor de la ordenada, la expre-sion que representa a esta recta es x = 3, es decir,la primera coordenada (la que esta en el eje de las x)siempre es 3.

Mediante un razonamiento similar, se pueden con-siderar todas aquellas parejas de puntos que tienenuna misma ordenada. Supongase ahora que la orde-nada que se considera es, por ejemplo, +4: se consi-deran entonces todas las combinaciones de coordena-das que como abscisa tienen a un numero cualquierade la recta real, y como ordenada, +4. Ocurre lo mis-mo que en el caso anterior: al representar todos estospuntos, se forma la recta y = 4, constituida por el con-junto de puntos tales que su ordenada es siempre 4.

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244 El plano cartesiano

x

y

0

+4

Por tanto, si se pide representar las rectas x = a,basta con localizar el punto a en el eje de abscisas ytrazar una recta vertical que pase por ese punto.

x

y

0 a−a

De una manera similar, la recta y = b se represen-tara con facilidad, tras situar en el eje de ordenadas elpunto b y trazar una recta horizontal que pase por esepunto.

x

y

0

−b

b

Supongase ahora que se fija un punto en el eje deabscisas, por ejemplo x = 1, y que se quieren repre-sentar los puntos tales que su abscisa x es x < 1. Hastaahora se sabe representar los puntos tales que x = 1,formada por la recta vertical que pasa por el punto 1del eje de abscisas. Tambien se sabe representar x = 0,o x = −1 o x = −0, 5, todas ellas rectas con absci-

sas menores que 1. Ası pues, el conjunto de puntostales que x < 1 es el conjunto de puntos representa-dos por todas las rectas antes citadas y por todas lasdemas rectas verticales cuya abscisa sea menor que 1.Si se representan el conjunto de todas estas rectas,aparece una grafica como la siguiente:

x

y

0 1

En este tipo de grafica, una lınea discontinua sig-nifica que se consideran solo los puntos menores queun valor dado, en este caso, los puntos de abscisa me-nor que 1, por lo que los puntos de la recta de trazosdiscontinuos no pertenecen a la region senalada. Sise hubiese querido representar, en cambio, el conjun-to de puntos tales que x ≤ 3, la grafica hubiera sidola siguiente:

x

y

0 +3

Ahora, la recta x = 3 sı que se ha considerado, puessus puntos, que tienen como abscisa +3, cumplen lacondicion especificada. Si el conjunto de puntos a re-presentar es x ≥ a, se hace un razonamiento similar,y se observa que la region pintada, que correspondeal conjunto de puntos representados, queda en todomomento a la derecha de la vertical sobre el punto aen el eje de abscisas.

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246 El plano cartesiano

Tambien puede ser interesante representar los con-juntos de puntos tales que, por ejemplo, y < 3. Si sepiensa como antes, se sabe representar la recta y = 3,la recta y = 2, o cualquier recta y = b, de manera queb < 3. Entonces, el conjunto de puntos que represen-tan la region y < 3 es la siguiente:

x

y

+3

Tambien se sabran representar los conjuntos depuntos tales que y > c, y ≥ d o y ≤ e, donde c, dy e representan numeros reales.

¿Que aspecto tiene el conjunto de puntos que satis-facen 2 < x ≤ 5? Para empezar, se deben interpre-tar estas desigualdades por separado. Si se representa2 < x se tiene:

x

y

+2

La region correspondiente a x ≤ 5 se representa enel siguiente grafico:

x

y

0 5

Como tienen que respetarse ambas condiciones a lavez, considerense las dos representaciones juntas:

x

y

0 52

Ası, se concluye que el conjunto de puntos talesque 2 < x ≤ 5 es:

x

y

0 52

ESQUEMA DE LOS SIGNOS DE LAS COORDENADASCARTESIANAS DE UN PUNTO SEGUN SU CUADRANTE

III

III IV

(+,+)(−,+)

(−,−) (+,−)

Cuadrante Abcisa OrdenadaI + +

II − +

III − −IV + −

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1.1.16.1 La línea recta

Si son puntos en el plano cartesiano, y )y,B(xy )y,A(x 2211 )y,xM( es el punto medio del segmento AB, entonces las coordenadas de M son:

;2

xxx 21 +=

2y

y 21 y+=

De la Geometría Euclidiana se sabe que dos puntos distintos A y B determinan una línea recta; esto es, hay una única recta que pasa por A y B. Denótese r(A, B) dicha recta. Toda recta tiene una inclinación con respecto al eje x. Dicha inclinación es el ángulo entre el eje x y la recta. Véase la figura siguiente.

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Los ángulos de inclinación, θ , pueden restringirse al intervalo [ ]oo 180,0 o [ )rad rad, 0 π . La tangente del ángulo de inclinación θ se denomina PENDIENTE de la recta. Si A(x son puntos distintos en la recta r, la pendiente de r es: )y,B(xy )y, 2211

21

21r xx

yym

−−

=

Esta expresión solo es válida si r NO ES VERTICAL, esto es, si . 21 xx ≠ Véase la sección 3.3 del texto de Zill y Dewar. Ejemplo: Considérese la recta r que pasa por A(3, – 2) y B(– 4, 1). Encuéntrense: (a) las coordenadas del punto medio M del segmento AB; (b) la pendiente de la recta r. Solución

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(a) Las coordenadas de )y,xM( son:

;21

234x −=

+−=

21

2)2(1y −=

−+=

Así,

−−=

21,

21M

(b) La pendiente m de la recta r(A, B) es:

73

34)2(1m

−=

−−−−

=

Luego, 73m −=

El signo negativo de la pendiente indica que el ángulo de inclinación de la recta es mayor que 90º y menor que 180º. Si una recta es vertical (paralela al eje y), su inclinación es 90º (π /2 radianes), y CARECE de pendiente. Considérese la relación real: r = { y) 3 , ∈(x, }0cbyax :2 =++ con a, b, c constantes reales y al menos una entre a y b es diferente de cero. Una relación como r tiene como gráfica una línea recta.

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Véase la sección 3.3 del texto de Zill y Dewar. A continuación se analizan algunos casos particulares. Caso particular 1 b = 0 Debe ser a . La ecuación ax + by + c = 0, llamada ecuación de la línea recta, se transforma en:

0≠

acx −= .

En este caso, se trata de una recta VERTICAL (paralela al eje y). En general, una ecuación de la forma: x = x0 tiene como gráfica recta vertical, cuya distancia relativa al eje y es x0.

En la gráfica se observan las rectas verticales: x = – 3.5; x = 2. La primera está 3.5 unidades “a la izquierda” del eje y. La ecuación del eje y es: x = 0.

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Caso particular 2 a = 0 Debe ser ahora b≠ . La ecuación ax + by + c = 0, se transforma en: 0

bcy −= .

Se trata en este caso de una recta HORIZONTAL (paralela al eje x). En general, una ecuación de la forma: y = y0 tiene por gráfica una recta horizontal, situada a una distancia relativa al eje x igual a y0.

En la gráfica se observan las rectas verticales: y = – 1; y = 2.5. La ecuación del eje x es: y = 0. Es fácil deducir que la PENDIENTE DE UNA RECTA HORIZONTAL ES CERO. Caso particular 3 a y b . 0≠ 0≠La ecuación ax + by + c = 0, se transforma en:

acx

bay −−= .

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La ecuación adquiere ahora la forma general:

y = mx + d (con m 0≠ ) Puede probarse que m es la pendiente de la recta. El real d se llama ORDENADA DE LA RECTA EN EL ORIGEN, debido a que la recta corta al eje y en el punto (O, d). La ecuación y = mx + d es conocida como ecuación PENDIENTE – INTERCEPTO. Si dos rectas tienen ecuaciones respectivas 21 ry r

22

11

dxmydxmy

+=+=

,

entonces: (a) es paralela a si y solo si 1r 2r 21 m m = . De otro modo: dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Debe anotarse que dos rectas verticales cualesquiera (rectas sin pendiente), son

paralelas. (b) r es perpendicular a si y solo si 1 2r 1mm 21 −=⋅ . Es claro que una recta vertical cualquiera y otra horizontal son perpendiculares. Ejemplo: La recta r pasa por los puntos A(1, 1) y B(3, 7). Considérese además el punto C(– 5, 4). Encuéntrese: (a) La ecuación pendiente – intercepto de la recta r. (b) La ecuación ax + by + c = 0 de la recta que pasa por C y es paralela a r. 1r(c) La ecuación ax + by + c = 0 de la recta r que pasa por C y es paralela a r. 2

(d) La ecuación de la mediatriz del segmento 3r AB. Solución. (a) Sea m la pendiente de r. m = 3. (por qué?) Sea P(x, y) un punto cualquiera de r. La pendiente de AP es igual a m (por qué?)

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Así, 1x1y3

−−

=

Se obtiene así la ecuación: y = 3x – 2. Esta es la ecuación pendiente – intercepto de r. (b) Sea ahora (x, y) un punto de la recta (paralela a r) que pasa por C. 1r Es claro que: m.mr1 =

Luego, 3.5x4y=

+−

De este modo la ecuación ax + by + c = 0 de la recta es: 1r 3x – y + 19 = 0 (c) La pendiente , de la recta r es: 2mr 2

m1mr2 −= .

Por tanto, 31

2 −=mr

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Sea (x, y) un punto cualquiera de (que pasa por C). Así: 2r

31

5x4y

−=+−

Así, la ecuación de es: 2r X + 3y – 7 = 0 (d) La mediatriz del segmento 3r AB es la perpendicular a r que pasa por el punto

medio M del segmento AB. Se sabe que M(2, 4). Sea (x, y) un punto cualquiera de . 3r

31

2x4y

−=−− (Por qué?)

Se llega así a: x + 3y – 14 = 0 Esta es una ecuación de la mediatriz del segmento AB.

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Función Cuadrática

1

FUNCION CUADRATICA

Se llama función cuadrática a una función poli nómica real de variable real, que tiene grado dos. La función cuadrática tiene la forma:

f(x)=ax2 + bx + c, a ≠ 0 Ejemplos:

23)( 2 ++= xxxf 53)( 2 −+= xxxf 3)( 2 +−= xxf 2)( xxf =

49

37

53)( 2 −+= xxxf

El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, decir que Df = IR REPRESENTACIÓN GRAFICA La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y. Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba. Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es:

8

6

4

2

-2

-5 5 10

Esta parábola se abre hacia abajo si a< 0, y se dice que es cóncava hacia abajo. Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = – x2 + 2x +5 es:

6

4

2

-2

-4

-5 5 10

Aunque existen muchas técnicas especiales y métodos abreviados para graficar estas funciones, veremos un método práctico y directo, que consiste en determinar ciertos pares ordenados de la función cuadráticas claves para su gráfica. A continuación determinaremos esos pares ordenados para la función f(x)= x2 - 6x +5, es importante tener claro que para esta función a =1, b = -6, c = 5.

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Función Cuadrática

2

EJE DE SIMETRIA La curva llamada parábola que corresponde a la gráfica de una función cuadrática, es simétrica con respecto a una recta que es paralela al eje y, esta recta recibe el nombre de eje de simetría y

esta dado por abx

2−

= .

Para f(x)= x2 - 6x +5, el eje de simetría corresponde a 12

)6(⋅−−

=x 26

= 3=

El eje de simetría para f(x)= x2 - 6x +5, corresponde a x = 3 EL VERTICE Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia abajo el vértice será el punto máximo de la gráfica; si es cóncava hacia arriba será el punto mínimo. El vértice es un par ordenado donde x es el eje de simetría, y y se obtiene evaluando la ecuación con el eje de simetría. Ejemplo: Como en nuestro ejemplo f(x)= x2 - 6x +5, su gráfica es cóncava hacia arriba, ya que a> 0, su vértice es el punto mínimo. Dado que ya habíamos determinado que el eje de simetría, para el vértice x = 3, además el valor de y, se obtiene evaluando la función con 3. Entonces y = (3)2 - 6(3) +5 y = 9 – 18 + 5 y = -4 Por lo tanto el vértice corresponde al par ordenado (3, - 4) INTERSECCIÓN CON EL EJE Y La intersección con el eje de las ordenadas, corresponde al termino independiente de la ecuación f(x)= ax2 + bx + c, o sea corresponde a c. Por lo tanto la intersección con el eje y corresponde al par (0 , c ). En el ejemplo f(x)= x2 - 6x +5, la intersección corresponde al par (0, 5). INTERSECCION CON EL EJE X Sabemos que la intersección con el eje x, corresponde a un par ordenado donde “y” es cero. Por lo anterior y=0, además y= ax2 + bx + c entonces podemos encontrarla intersección de está parábola con el eje de las abscisas resolviendo la ecuación:

ax2 +bx + c = 0

El trinomio ax2 + bx + c es de segundo grado, tendrá a lo sumo dos ceros, es decir tendrá como máximo dos soluciones o raíces. Para saber el número de raíces reales que puede tener un trinomio cuadrático haremos uso de la formula llama discriminante, y se llama así por que nos permite discriminar cuantas soluciones reales tiene:

∆ = b2 – 4 ac

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Función Cuadrática

3

El estudio de discriminante nos dará el siguiente resultado: 1) Si ∆>0 entonces ax2 +bx + c = 0 tiene dos soluciones reales, la gráfica interseca dos veces el eje x. 2) Si ∆=0 entonces ax2 +bx + c = 0 tiene una sola solución real, la gráfica interseca una sola vez el eje x. 2) Si ∆<0 entonces ax2 +bx + c = 0 no tiene soluciones reales, la gráfica no interseca el eje x Ejemplo Determinar cuantas soluciones tiene la ecuación x2 - 6x +5 = 0 Como sabemos para este ejemplo a = 1 b = -6 c = 5 Entonces: ∆ = (-6)2 – 4 ⋅1⋅5 ∆ = 36 – 20 ∆ = 16 y como ∆ es mayor que cero podemos afirmar que tiene dos soluciones, además 16 es cuadrado perfecto, por lo tanto las raíces serán racionales. Para determinar sus soluciones hacemos usos de la fórmula general:

abx

2∆±−

=

1216)6(

1 ⋅+−−

=x 12

16)6(2 ⋅

−−−=x

246

1+

=x 2

462

−=x

51 =x 12 =x Esto significa que la parábola interseca al eje de las abscisas en los puntos (1, 0) y (5, 0). RESUMIENDO: Para dibujar la gráfica de una función cuadrática, debemos tener a mano los siguientes datos: Le tipo de concavidad, el eje de simetría, el vértice, la intersección con el eje y, la intersección con el eje x. Para dibujar la grafica que corresponde a la función f(x)= x2 - 6x +5 primero ubicamos todos los puntos en un eje de coordenadas:

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-6 -4 -2 2 4 6 8

x = 3

(3,-4)

(5,0)(1,0)

(0,5)

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Función Cuadrática

4

Luego unimos todos los puntos:

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-4 -2 2 4 6 8

y

x

x = 3

(3,-4)

(5,0)(1,0)

(0,5)

EJERCICIO Graficar las siguientes funciones:

1) 5) 54)( 2 −−= xxxf 9124)( 2 +−= xxxf

2) 6) 4113)( 2 +−−= xxxf 4)( 2 +−= xxf

3) 7) 2)( 2 ++−= xxxf xxxf 4)( 2 +−=

4) 8) 2510)( 2 −−−= xxxf 22)( xxf −=

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Función Cuadrática

5

INTERVALOS DE MONOTONIA Los gráficos de algunas funciones no tienen un comportamiento monótono, es decir, que toda la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente como la función lineal, sino que crece y decrece en un determinado dominio. Ejemplo: Determinar los intervalos de monotonía, de la función f(x)= x2 - 6x +5. R/. Gráficamente podemos observar que:

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-4 -2 2 4 6 8

y

x

Esta función es estrictamente decreciente en el intervalo: ] [3,∞− Esta función es estrictamente creciente en el intervalo: ] [+∞,3 No es necesario graficar la función cuadrática para determinar los intervalos de monotonía. Bastará con determinar el eje de simetría y la concavidad de la parábola. Ejemplo: Determinar los intervalos de monotonía, de la función f(x)= x2 - 6x +5 En este ejemplo a > 0, por lo que es cóncava hacia arriba, además el eje de simetría es x = 3

ya que 12

)6(⋅−−

=x

x= 3. Sabiendo que el dominio de la función cuadrática es de -∞ a + ∞, todo IR, y la información anterior, podemos hacer el siguiente dibujo:

+∞-∞

3

Del cual podemos decir que esta función es estrictamente: Decreciente en el intervalo: ] [3,∞−Creciente en el intervalo: ] [+∞,3

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Función Cuadrática

6

Ejemplo: Determinar los intervalos de monotonía, de la función f(x)=-2 x2 - 5x +3

En este ejemplo a < 0, por lo que es cóncava hacia abajo, además el eje de simetría es x = 45−

ya que 22)5(

−⋅−−

=x

x= 45−

.

Sabiendo que el dominio de la función cuadrática es de -∞ a + ∞, todo IR, y la información anterior, podemos hacer el siguiente dibujo:

-∞ +∞

-54

Del cual podemos decir que esta función es estrictamente:

Creciente en el intervalo: ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ −

∞−45,

Decreciente en el intervalo: ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ +∞− ,45

EJERCICIO Sin hacer la gráfica, determinar los intervalos de monotonía de las siguientes funciones:

1) 6) 54)( 2 −−= xxxf 9124)( 2 +−= xxxf

2) 7) 4113)( 2 +−−= xxxf 4)( 2 +−= xxf

3) 8) 2)( 2 ++−= xxxf xxxf 4)( 2 +−=

4) 9) 2510)( 2 −−−= xxxf 22)( xxf −=

5) 10) 8)( 2 += xxf 572)( 2 +−= xxxf

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Función Cuadrática

7

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Dados tres puntos en un plano, puede determinarse una función cuadrática, siempre y cuando:

1. Los puntos no sean colineales 2. Dos de ellos no pertenezcan a la misma recta vertical.

Si las características anteriores se cumplen, se puede encontrar una función cuadrática cuya gráfica pase por esos tres puntos. Hay tres casos que se pueden presentar:

1. Dos de los puntos dados están en el eje X. 2. Uno de los tres puntos esta en el eje X. 3. Ningún punto dado pertenece al eje X.

Para efectos del objetivo analizaremos solamente como resolver el caso 1: dos de los puntos dados están en el eje X. El método para encontrar la formula de dicho caso, lo analizaremos en el siguiente ejemplo: Un grupo de estudiantes con ayuda de tubos de PVC construye un arco de forma parabólica, para ser colocado en la entrada de su colegio. Las bases del arco están a 8 metros una de la otra. Los estudiantes cuentan con una cinta métrica de 2,5 metros. Desean saber cual es la altura máxima que alcanza el arco. Pero con su cinta solo pueden determinar que a 1 metro de la base la altura es de 2,5 metros. ¿Cuál es la altura máxima del arco? El primar paso es el de dibujar la forma de la parábola que nos describen.

Luego asociamos esta figura al eje de las coordenadas

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Función Cuadrática

8

De aquí podemos determinar tres pares ordenados (0,0) (8,0) (1, 2.5) Dado que: Teorema del factor: Sea P(x) un polinomio. Si P(a)=0 se dice que a es un cero del polinomio y una solución o raíz de la ecuación P(x)=0, por lo tanto (x–a) es un factor del polinomio P(x). Entonces podemos determinar que:

Ahora, a esta ecuación cuadrática podemos asociarle la función cuadrática de la siguiente manera:

f(x) = x2–8x

Aunque f(x) = x2–8x es una función que interseca al eje x en los puntos, (0,0) y (8,0), existen muchas graficas que pueden pasar por esos punto sin ser la que necesitamos.

Por lo tanto debemos determinar que constante a, determina la grafica que pasa por el punto ( 1 , 2.5 ) que es el que necesitamos, para ello:

f(x) = a(x2– kx) , a, k ∈ IR Así en nuestro ejemplo f(x) = a(x2–8x) la cual evaluamos en el punto que nos interesa para determinar el valor de a.

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Función Cuadrática

9

Entonces:

Puesto que ya sabemos el valor de la constante podemos determinar la forma de la función que determina los tres puntos facilitados por el problema:

f(x) = 145−

(x2–8x)

Dado que la grafica de esta función es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto máximo. Determinando el “y” del vértice, obtendremos la altura máxima del arco. Para Obtener “y” del vértice evaluamos la función con el valor del eje de simetría. El eje de

simetría en este caso es 4 que es el punto medio entre x1 y x2. O bien con la formula ab

2−

R/. Por lo anterior el punto más alto del arco es de 5,71 m. Otro tipo de problemas en las que la función cuadrática nos puede ayudar es cuando deseamos obtener el máximo provecho de una situación. Analicemos Ejemplo 1 Se desea hacer un corral de forma rectangular con 100m de malla, para encerrar algunos pollos, ¿cuál deben ser las dimensiones del corral para cubrir el área máxima? En primer lugar dibujaremos la situación que se nos plantea

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Función Cuadrática

10

Si x representa el ancho, además y representa el largo, tendríamos que el perímetro es 2x+2y , como solo contamos con 100m de malla, entonces este perímetro debe ser igual a 100 es decir

2x+2y = 100 Expresaremos a y en términos de x, para trabajar con una sola variable, por lo que

2x+2y = 100 2y = 100 - 2x y = 100 - 2x

2 y = 50 – x

El área de un rectángulo es base por altura por lo que el área deseada puede expresarse como A = x y Puesto que y expresado en términos de x es (50 – x)

A = x (50 – x)

Y puede escribirse A = 50x – x2

El área en función del ancho es

A(x) = 50x – x2

Como es una función cuadrática, los resultados se comportan gráficamente como una parábola. Esto significa que tiene un valor máximo que se obtiene con el vértice, y es precisamente lo que necesitamos saber. El x del vértice se obtiene mediante el eje de simetría

En este caso x = 1250−•

x = 25 Esto significa que el área máxima se obtiene cuando el largo es 25, y la longitud del ancho la determinamos por la formula y = 50 – x y = 50 – 25 y = 25

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Función Cuadrática

11

Por consiguiente la figura que con un perímetro de 100m encierra el área máxima es un cuadrado de 25 m de lado y el área máxima es de 625 m2 . Ejemplo 2 Un granjero dispone de 210 m de malla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares idénticos. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para obtener el área máxima? En primer lugar dibujaremos la situación que se nos plantea

Si x representa el ancho de cada rectángulo, además y representa el largo, tendríamos que el perímetro es 4x+3y, como solo contamos con 210m de malla, entonces este perímetro debe ser igual a 210 es decir

4x+3y = 210 Expresaremos a y en términos de x, para trabajar con una sola variable, por lo que

El área de un rectángulo es base por altura por lo que el área deseada puede expresarse como A = 2x y

Puesto que y expresado en términos de x es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

3470 x

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Función Cuadrática

12

Como es una función cuadrática, los resultados se comportan gráficamente como una parábola. Esto significa que tiene un valor máximo que se obtiene con el vértice, y es precisamente lo que necesitamos saber. El x del vértice se obtiene mediante el eje de simetría

Puesto que y expresado en términos de x es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

3470 x

Como es una función cuadrática, los resultados se comportan gráficamente como

Una parábola. Esto significa

Esto significa que el área máxima se obtiene cuando el largo es 4105

, y la longitud del ancho la

determinamos por la formula y = 3470 x

Por consiguiente la longitud de lo rectángulo es de 35 m y el ancho de cada rectángulo es de 26,25m y el área máxima es de 1837.5 m2

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Función Cuadrática

13

Esto significa que el área máxima se obtiene cuando el largo es 4105

, y la longitud del ancho la

determinamos por la formula y = 3470 x

Por consiguiente la longitud de lo rectángulo es de 35 m y el ancho de cada rectángulo es de 26,25m y el área máxima es de 1837.5 m2

Resuelva usted los siguientes: 1. En la entrada a la Ciudad de Cartago hay un parque con una escultura de forma de arco parabólico cóncavo hacia abajo. Sobre el suelo, la distancia entre los extremos es de 12 m; la altura del monumento a 1 m de cada uno de los extremos es de 1,5 m ¿Cuál es la altura máxima de este monumento? 2. Un salta montes da un salto y cae a 2 m de su posición inicial, cuando estaba a 0,70 m del lugar donde inicio el salto, estaba a 2,73 m del suelo. ¿Si su salto forma una parábola, cuál es la ecuación? ¿Cuál fue el punto más alto que alcanzo? 3. Un balín impacta con el suelo y da varios saltos. De donde impacta por primera vez con el suelo y el segundo golpe hay 22,5 cm. Cuando estaba a 5 cm. del primer impacto alcanzo una altura de 175 cm. Si su trayectoria es una parábola ¿cuál es la ecuación? ¿Cuál fue el punto más alto que alcanzo? 4. Un chorro de agua es lanzado en forma parabólica hacia arriba, desde el punto de partida hasta donde cae el chorro, hay 10 m, y pasa rozando una cuerda que está a 2 m de donde inicia el chorro, ésta cuerda está a 3 m sobre el suelo. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el chorro?

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Objetivos:

ü Definir ecuación de primer grado (lineal)

ü Definir ecuación literal.

ü Definir ecuación racional.

ü Despejar una variable aplicando las propiedades de la igualdad.

ü Suprimir denominadores de una ecuación racional.

Ecuaciones con literales:

Cuando se emplean letras para representar números, generalmente se utilizan

las primeras letras del alfabeto para representar cantidades conocidas y

constantes, y las últimas se reservan para representar cantidades variables o

incógnitas. Por ejemplo, si en una ecuación aparecen a, b, c y x, y, z, la x , y z serán

las incógnitas, y a, b, c se consideran cantidades conocidas aunque no se

especifique de momento sus valores numéricos. Sin embargo, si una ecuación no

tiene más que una letra, esa es la incógnita. Las ecuaciones en que entran

literales además de las incógnitas, se llaman ecuaciones literales.

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Ejemplo:

Resolver:

34357 +−+=++− baxxa

Trasponiendo: 5 x – x = a + 7 a - 4b + 3 - 3

Reduciendo términos: 4x = 8 a - 4b

Sacando 4 de factor común: 4 x = 4 ( 2 a - b)

Dividendo por 4 x= 2 a - b

En este caso, se dice que hemos hallado el valor de x en función de a y b,

considerando a a y b como cantidades conocidas y x como incógnita.

Ejemplo:

Resolver:

a x + b = c x + d

Transponiendo: a x – c x = d – b

Sacando x de factor común: x ( a – c ) = d - c

Dividendo por ( a – b)

ca

bdx

−−=

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Ecuaciones fraccionarias y supresión de denominadores

En todas la ecuaciones que hemos estudiado, llamadas ecuaciones enteras, los

números que figuran en ellas eran enteros, así como los coeficientes de las

incógnitas, pero estas cantidades también pueden ser fracciones. así

52

=z

es una ecuación de primer grado y el coeficiente de la incógnita z es ½. Es

evidente que la solución es z = 10. Esta solución puede hallarse dividiendo la

ecuación por el coeficiente ½, o, lo que es lo mismo, multiplicándola por 2,

puesto que dividir por una fracción es igual que multiplicar por el inverso de la

misma.

Ejemplo:

5 y + 5 = 20 + 2 ½ y

Trasponiendo,

5 y - 2 ½ y = 20 – 5

Reduciendo términos semejantes:

2 ½ y = 15

Dividiendo por 2 ½

y = 6

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Al llegar a 2 ½ y = 15, podríamos continuar del modo siguiente:

Expresar los dos miembros con su común denominador:

2

30

2

5 =y

Multiplicar por 2,

5 y = 30

Dividir por 5,

y = 6

que es la misma solución que la anterior.

Al pasar de la forma 2 ½ y = 15 a la ecuación 5 y = 30, se dice que se han quitado

denominadores.

Las ecuaciones con denominadores reciben el nombre de

“ecuaciones fraccionarias”

En la ecuación primitiva:

5 y + 5 = 20 + 2 ½ y

se pueden quitar denominadores antes de la transposición o después de ella. Si

expresamos los dos términos con su denominador común, 2 , tendremos:

yy2

5

2

40

2

10

2

10 +=+

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que es lo mismo que:

2

5

2

40

2

10

2

10 yy +=+

Su representación en forma de proporción será:

2

540

2

1010 yy +=+

multiplicando la ecuación por 2,

10 y + 10 = 40 + 5 y

Transponiendo:

10 y – 5y = 40 – 10

Reduciendo términos semejantes:

5y = 30

Dividiendo por 5.

y = 6

Por lo tanto, para resolver una ecuación con denominadores se reducen los

términos a un común denominador con el propósito de representar la

ecuación en forma de proporción y continuar después con la resolución de

acuerdo con las reglas estudiadas en la lección 4-1.

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Ejemplo:

ba

a

ba

x

b

x

+=

−+

Suma algebraica de las fracciones del primer miembro de la ecuación:

)(

)(

bab

xbbax

−+−

que es lo mismo que:

)()( bab

ax

bab

xbbxax

−=

−+−

Ahora expresemos la ecuación en forma de proporción:

ba

a

bab

ax

+=

− )(

Igualemos el producto de los medios al producto de los extremos:

[ ])()( bababaax −=+

esto es:

[ ]ba

bab

baa

babax

+−

=+−

=)(

)(

)(

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Objetivos:

ü Definir ecuación de segundo grado.

ü Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la

igualdad.

ü Resolver la ecuación de segundo grado aplicando factorizaciones.

ü Resolver la ecuación de segundo grado completando el trinomio cuadrado

perfecto.

ü Resolver la ecuación de segundo grado aplicando la formula general.

ü Identificar la naturaleza de las soluciones de la ecuación de segundo

grado analizando el discriminante.

Una ecuación con una incógnita es de segundo grado o cuadrática, cuando

después de reducirla a su más simple expresión, el más alto grado de la

incógnita es 2.

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La forma general de una ecuación de segundo grado es:

(1) ...... 02 =++ cbxax

en la cual a, b y c son los coeficientes

Ejemplo:

Los coeficientes de la ecuación:

086120 2 =+− xx

son:

a = 20 , b = -61 , c = 8

La ecuación es completa cuando a, b y c son distintos de cero, esto es la

ecuación tiene el término cuadrado, el término lineal y el término

independiente

Solución de ecuaciones de segundo grado en su forma incompleta:

La ecuación es incompleta cuando b = 0 , c = 0 o ambos son cero. La ecuación

incompleta tiene estas dos formas de presentación:

(3) ...... 0

(2) ..... 0

2

2

=+

=+

bxax

cax

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La solución de ecuaciones de segundo cuya presentación es de la forma (2) es

muy sencilla pues en ella solo se aplican trasposiciones simples, esto es:

a

cx

a

cx

cax

cax

−±=

−=

−=

=+

2

2

2 0

Así la incógnita es igual a más o menos la raíz cuadrada del cociente del

término independiente, entre el coeficiente de 2x , con el signo cambiado.

En la solución de la forma (3) solo hay que factorizar, de la siguiente forma:

0)(

02

=+

=+

baxx

bxax

Este último producto se anula si se anula uno de los dos factores. Así

para x = 0 tenemos una solución

y

para a x + b = 0 la otra

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esto es:

a

bx

x

−=

= 0

La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una

raíz nula, y la otra es igual al coeficiente de x tomado con signo contrario,

dividido entre el coeficiente de 2x

Resolución geométrica de la ecuación completa:

Los algebristas antiguos resolvían las cuadráticas por procedimientos

fundamentalmente geométricos, como el que consiste en completar un

cuadrado, según se ilustra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

5562 =+ xx

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Trácese un cuadrado cualquiera de lado x cuya área es 2x , colóquese, apoyados

en los lados de 2x , dos rectángulos de bases iguales a 3 unidades ( 3 = mitad

de 6, que es el coeficiente de el término lineal de la ecuación dada). Si a la

figura resultante se le agrega el cuadrado de área 23 se completa el cuadrado

total (ver figura anterior), cuya superficie es:

( ) ( ) ( ) ( ) 95536en violetaazulesen en violeta

2

azulesen

2 +=++ xx

esto es:

64)3(

95596

2

2

=+

+=++

x

xx

Despejando x de esta última ecuación tenemos:

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5

83

643

=

=+

=+

x

x

x

Este procedimiento sólo proporciona la raíz positiva.

Para completar el cuadrado, se ha agregado a cada miembro el cuadrado de la

mitad del coeficiente del término lineal

Resolución algebraica de la ecuación completa:

Ejemplo:

Resolver:

060112 =−+ xx

Pásese el término independiente al

segundo miembro 60112 =+ xx

Agréguese el cuadrado de la mitad del

coeficiente del término lineal a cada

miembro para completar el trinomio

cuadrado perfecto

222

2

1160

2

1111

+=

++ xx

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Exprese el trinomio cuadrado perfecto

como binomio al cuadrado

4

361

4

12160

2

112

=+=

+x

Extráigase la raíz cuadrada en los dos

miembros de la ecuación

4

361

2

11 2

=

+x

4

361

2

11 ±=+x

Despeje x

4

361

2

11 ±−=x

eso es:

2

19

2

11 ±−=x

Las soluciones son:

15

4

2

1

−=

=

x

x

Fórmula general:

Resolver la ecuación literal:

02 =++ cbxax

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Divídase cada término entre a,

para reducir este caso a la

forma anterior, y luego

proceder de igual manera

02 =++a

cx

a

bx

Pásese el término independiente

al segundo miembro

a

cx

a

bx −=+2

Agréguese el cuadrado de la

mitad del coeficiente del

término lineal a cada miembro

para completar el trinomio

cuadrado perfecto

a

c

a

b

a

bx

a

bx −

=

++

222

22

Exprese el trinomio cuadrado

perfecto como binomio al

cuadrado a

c

a

b

a

bx −=

+

2

22

42

Extráigase la raíz cuadrada en

los dos miembros de la ecuación2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

−=

+

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Despeje x

a

acb

a

bx

2

4

2

2 −±=+

eso es:

a

acb

a

bx

2

4

2

2 −±−=

Las soluciones son:

a

acbbx

2

42

1

−+−=

a

acbbx

2

42

1

−−−=

Ejemplo 1.-

Resolver aplicando la fórmula general

02092 =+− xx

Solución:

Sea

a = 1 b = -9 c = 20

Sustituyendo en la fórmula general tenemos:

2

19

)1(2

20)(1(481)9( ±=

−±−−=x

la raíces son:

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42

19

52

19

2

1

=−=

=+

=

x

x

Ejemplo:

Resolver aplicando la fórmula general

12

5

1

1

1

1 =+

+− xx

Para poder aplicar la fórmula general deberemos de reducir la ecuación a su

forma general, para ello realizaremos las operaciones con las fracciones

algebraicas con el propósito de expresar la ecuación como una proporción, esto

es:

12

5

)1)(1(

)1)(1()1)(1(=

−+−++

xx

xx

esto es:

12

5

1

22

=−x

x

Como el producto de los medios es igual al producto de los extremos tenemos

que:

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5524

)1)(5()12)(2(

2

2

−=

−=

xx

xx

Trasponiendo llegamos a la forma general de la ecuación de segundo grado:

05245 2 =++− xx

Con a = -5, b = 24 , c = 5 , aplicamos la fórmula general:

10

10057624

)5(2

)5)(5(4)24()24( 2

−+±−

=−

−−±−=x

510

2624

5

1

10

2624

2

1

=−

−−=

−=−

+−=

x

x

Comprobación:

12

5

6

1

4

1

15

1

15

1 =+=+

+−

12

5

5

4

6

5

5

41

5

61

15

11

15

11

=+−=+−

=+−

+−−

Ejemplo:

Resolver aplicando la fórmula general

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01)(2 =++− xnmmnx

Sean:

a = mn

b = -( m + n )

c = 1

Aplicando la fórmula general tenemos:

mn

mnnmnmx

2

4)()( 2 −+±+=

esto es:

mn

mnnmnmnmx

2

42)( 22 −++±+=

esto es:

mn

nmnmnmx

2

2)( 22 +−±+=

mn

nmnmx

2

)()( 2−±+=

mn

nmnmx

2

)()( −±+=

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Las raíces de la ecuación son:

nmn

m

mn

nmnmx

1

2

2

21 ==−++=

mmn

n

mn

nmnmx

1

2

2

22 ==+−+=

Comprobación:

01111

)(1

2=+−−=++−×

n

m

n

m

nnm

nmn

01111

)(1

2=+−−=++−×

m

n

m

n

mnm

mmn

La naturaleza de las raíces:

Las raíces de la ecuación general de segundo grado

02 =++ cbxax

son:

a

acbbx

2

42

1

−+−= a

acbbx

2

42

2

−−−=

El radicando, o sea, el binomio

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acb 42 − ,

se llama discriminante

o binomio característico de la ecuación de segundo grado. El carácter de las

raíces depende de dicho binomio y basta una simple inspección de él para

conocer la naturaleza de dichas raíces, sin necesidad de resolver la ecuación.

ecuación Discriminante Soluciones:

0342 =+− xx 41216)3)(1(4)4( 2 =−=−−

2

44 ±=x

x = 3 y x = 1

(dos raíces reales diferentes)

0242 =+− xx 8816)2)(1(4)4( 2 =−=−−

2

84 ±=x

(dos raíces reales diferentes)

0442 =+− xx 01616)4)(1(4)4( 2 =−=−−

2

04 ±=x

Una raíz real (doble)

0542 =+− xx 42016)5)(1(4)4( 2 −=−=−−

2

44 −±=x

raíces complejas

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Así tenemos que:

ü Si 042 >− acb las raíces son reales y diferentes.

ü Si 042 <− acb entonces acb 42 − es imaginario, las raíces soncomplejas.

ü Si 042 =− acb las raíces son reales, iguales , o sea hay una raízdoble.

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LOGARITMOS: Se llama logaritmo en base B de un número A a otro número n, tal que, B elevado a la n es igual a A, es decir: log B A = n ⇒ Bn = A log 2 8 = 3 ⇒ 23 = 8 log –2 4 = 2 ⇒ (-2)2 = 4 Propiedades:

1) Los números negativos no tienen logaritmos en el campo de los números reales, ya que un número positivo cualquiera tomado como base y elevado a cualquier potencia positiva o negativa da siempre resultado positivo. Ej: Si log 2 (-4) = n ⇒ se debe cumplir por definición que 2n = - 4 Como toda potencia de número positivo es positiva, ningún valor de n cumple la condición, es decir: log 2 ( -4) ⇒ imposible en R

2) Los logaritmos de base negativa no dan soluciones a cualquier número;

Ej: log –2 8 ≠ 3 ⇒ (–2) 3 ≠ 8; sin embargo: log –2 (- 8) = 3 ⇒ (-2) 3 = -8 es decir que si el número y la base son negativos, se obtiene el resultado correcto.

3) El logaritmo de la unidad de cualquier base es igual a 0.

Ej: log x 1 = 0 ⇒ x0 = 1 log 2 1 = 0 ⇒ 20 =1 log -5 1 = 0 ⇒ -50 =1

4) Logaritmo de base 1 a) Como toda potencia de base 1 es igual a 1, ningún valor de n cumple con

la definición de logaritmo, es decir: log 1 5 ≠ n ya que 1 n ≠5

b) Si a es igual a 1: log 1 a ⇒ log 1 1 = ∞ soluciones

5) El logaritmo de la inversa de un número, es el logaritmo de ese número

cambiado de signo: Ej: log n 1/ A = - log n A

Los logaritmos de números positivos y de base positiva diferente de 1, son siempre posibles 6) El logaritmo no es distributivo con respecto a la suma, resta, producto y cociente

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log ( A + B ) ≠ log A + log B

log ( A - B ) ≠ log A - log B log ( A . B ) ≠ log A . log B log ( A / B ) ≠ log A / log B

7) a) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

log A .B .C= log A + log B + log C b) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del

dividendo y el logaritmo del divisor: log A/B = log A – log B c) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el

logaritmo de la base: log A n = n. Log A d) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical

dividido por el índice de la raíz: log n B = log B / n Logaritmos decimales y logaritmos naturales:

1)Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos en base 10. Se expresan como log X. Ej: log 10 X ⇒ log X De acuerdo a la definición, el logaritmo de la unidad seguida de ceros es directamente el número de ceros. Ej: log 1 = 0 ⇒ 10 0 = 1 log 10 = 1 ⇒ 10 1 = 10 log 100 = 2 ⇒ 10 2 = 100 Los números positivos menores que uno (1) tienen logaritmos negativos. Estos son números enteros cuando se trata de la unidad precedida de ceros. Ej: log 0,1 = -1 ⇒ 10 –1 = 0,1 log 0,01 = -1 ⇒10 –2 = 0,01 Son irracionales cuando se trata de otros decimales como por ejemplo: log 0,02 = -1,6989... 2)Se llaman logaritmos Neperianos o Naturales a aquellos cuya base es el número e

Ej: log e X donde el número e vale: 2,7182 Consideremos la expresión: b = (1+1/n) n

Siendo n un número entero cualquiera, otorgándole valores crecientes a n, podemos hallar el correspondiente valor de b, así:

Para n = 2 ⇒ b = 2,25 n = 3 ⇒ b = 2,3703

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n = 10 ⇒ b = 2,5937 n = 100 ⇒ b = 2,7048 Se puede concluir que a medida que n aumenta, b también aumenta, en tanto que

el valor de n crece sin límites, el valor de b se va aproximando al valor constante 2,7182. Por lo tanto este es el límite de b, cuando n tiende a infinito. A este límite se lo llama e.

Cambio de base I) Por definición: log a X = y ⇒ ay = X II) Aplicamos a ambos miembros el logaritmo en base b ( log b)

Por propiedad uniforme: log b ay = log b X y . log b a = log b X , entonces despejando y:

y = log b X/ log b a

Recordando que en el primer paso y = log a X, entonces: Log a X = log b X / log b a En el caso particular de que a = e y que b = 10, entonces log e X = log 10 X / log 10 e ln X = log X / log e ⇒ ln X = log X / log 2,7182 ⇒ ln X = log X / 0,4343 ⇒ ln X = 2,303 log X ln X = log X / 0,4343 ⇒ log X = 0,4343 ln X Ej: Si a = 2 y b = 10, entonces como: log a X = log b X / log b a se concluye que:

Log 2 X = log X / log 2 MANEJO DE ECUACIONES EXPONENCIALES: Para calcular x en una función exponencial, debemos despejar la incógnita utilizando las propiedades de los logaritmos, como se realiza en el ejemplo: a) Dada la siguiente función que relaciona el crecimiento bacteriano en función del tiempo,

B = B0 . e α t encontrar el tiempo t en el cual la población aumenta el doble si α = 0,5 h-1. Debo aplicar el logaritmo conveniente, entonces: Ln B = ln (B0. e α t ) ⇒ Ln (B0 . 2) = ln B0 + α t ln e Ln B0 + ln2 – ln B0 = α t ⇒ ln 2 / α = t ⇒ t = 1,38 horas

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Las propiedades de los logaritmos se pueden utilizar, además, para simplificar la búsqueda del valor de x en ecuaciones con varios exponentes: ___ b) x = 32 2/3 . √ 53 . 0,1 - 2 0,8 Aplico log, pero debo recordar que no es distributivo con respecto a la resta, entonces: ___ Log (x + 2) = Log 32 2/3 . √ 53 . 0,1 0,8 log (x + 2) = 2/3. Log 32 + 3/2. Log 5 + log 0,1 – log 0,8 log (x + 2) = 1, 0034 + 1,0484 + (-1) – (- 0,0969) = 1,1487 x + 2 = antilog ( 1,1487) = 14,0842 x = 14, 0842 - 2 = 12, 0842