1

M.C.D. e m.c.m.

Def:

si dice massimo comun divisore di due o più numeri (M.C.D.) il maggiore dei loro

divisori comuni.

Es:

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } divisori di 18

D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } divisori di 24

D(18, 24) = { 1, 2, 3, 6} divisori in comune a 18 e 24

Massimo divisore comune: M.C.D. (18, 24) = 6

REGOLA

Per calcolare l’M.C.D. di due o più numeri, con il metodo della scomposizione in

fattori primi:

1) si scompongono in fattori primi i numeri dati;

2) si moltiplicano fra loro i fattori primi in comune, ciascuno preso una sola volta

con l’esponente più piccolo.

Esempio:

Calcolare l’M.C.D. (540, 840, 1188)

2

11321188

7532840

532540

32

3

32

si evidenziano i fattori in comune

Si scelgono quelli con l’esponente più piccolo: 22 e 3 e si moltiplicano

tra loro

123432)1188,840,540( 2MCD

Def:

due o più numeri si dicono PRIMI FRA LORO o COPRIMI se hanno MCD = 1,

ovvero se NON hanno divisori comuni.

Es:

7214

39 2

non hanno numeri primi in comune MCD(9, 14) = 1

Osservazioni:

Due o più numeri primi sono primi fra loro

Es:

717

313 l’unico fattore in comune è 1 MCD(3, 7) = 1

Due o più numeri primi fra loro non sono necessariamente primi

Es:

5315

28 3

8 non è primo, 15 non è primo MCD(8, 15) = 1

3

Def:

si dice minimo comune multiplo di due o più numeri (m.c.m.) il minimo dei loro

multipli comuni (il più piccolo).

Es:

Calcolare l’ m.c.m. tra 6 e 8.

M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, …} multipli di 6

M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ….} multipli di 8

M(6, 8) = {24, 48, 72, …..} multipli in comune di 6 e di 8

m.c.m. (6, 8) = 24 il più piccolo multiplo in comune

REGOLA:

per calcolare l’m.c.m di due o più numeri con il metodo della scomposizione in

fattori primi:

1. si scompongono i numeri dati in fattori primi;

2. si moltiplicano fra loro tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ciascuno

preso una sola volta con l’esponente più grande.

Es:

Calcolare m.c.m.(540, 840, 1188).

1. Scomponiamo i numeri in fattori primi

11321188

7532840

532540

32

3

32

si prendono TUTTI i fattori solo una volta

4

2. Prendiamo tutti i fattori, se ce ne sono di uguali si scelgono quelli con

l’esponente più grande

160'831175278117532)1188,840,540.(.. 33mcm

PROBLEMI CHE SI RISOLVONO CON M.C.D. E m.c.m.

1. Se si devono dividere le grandezze date in PARTI UGUALI, che siano le

maggiori possibili, si deve trovare il loro M.C.D.

2. Se si hanno avvenimenti periodici e si vuole sapere quando capiteranno

insieme, si deve trovare il loro m.c.m.

Es. 129 pag. 249.

R = 180 numero di mazzi uguali = ?

G = 150 quante rose uguali ci sono in ogni mazzo = ?

B = 120

Numero mazzi uguali = M.C.D. (180, 150, 120) =

180 =

150 =

120 =

Rose rosse in ogni mazzo =

Rose gialle in ogni mazzo =

Rose bianche in ogni mazzo =

Rose in totale in ogni mazzo = R + G + B = 6 + 5 + 4 = 15

5

Es. 134 pag. 250

P = 6 s dopo quanti s si accendono insieme = ?

S = 8 s

T = 15 s

m.c.m. (6, 8, 15) = = 2 m

6 =

8 =

15 =