Dispensa sui radicali - Altervista sui radicali.pdfm.c.m. degli indici dei singoli radicali ( dopo...
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Pagina 1 A DEFINIZIONE DI RADICALE INDICE PARI : Si chiama rad condizioni: 1. a ≥ 0 (Condizione d 2. b ≥ 0 ( Condizione INDICE DISPARI : Si chiama caso il radicale esiste per ogni va N.B. L’indice di radice deve esse PROPRIETA’ INVARIAN Il valore di un radicale non camb 1. si moltiplicano l’indice d positivo p; 2. si dividono l’indice di ra In simboli : np np n m a a = REGOLA DI SEMPLIFICA quando ciò sia possibile, si divi M.C.D. Δlessio ∫abelli Studente di Matematica “Sapienza - Università di Roma” Dipartimento di Matematica “Guido Castelnuovo” web-site: www.sabelli87.altervista.org e-ma APPUNTI SUI RADICALI dice n-esima di a il numero reale b tale che b di esistenza : radicando maggiore o uguale a e di segno : radicale maggiore o uguale a zero a radice n-esima di a il numero reale b tale c alore del radicando a e ha lo stesso segno di a ere un numero naturale positivo ( non ha sig NTIVA bia se : di radice e l’esponente del radicando per uno adice e l’esponente del radicando per un loro p AZIONE DI RADICALI : Per semplific ide l’indice della radice e l’esponente del ra ail [email protected] b n =a con le seguenti a zero ) ; o ) . che b n =a e in questo a . gnificato 0 a ) stesso numero intero divisore comune. care un radicale , adicando per il loro
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APPUNTI SUI RADICALI
DEFINIZIONE DI RADICALE
INDICE PARI : Si chiama radice n
condizioni:
1. a ≥ 0 (Condizione di esistenza : radicando maggiore o uguale a zero )
2. b ≥ 0 ( Condizione di segno : radicale maggiore o uguale a zero )
INDICE DISPARI : Si chiama radice n
caso il radicale esiste per ogni valore del radicando
N.B. L’indice di radice deve essere un numero naturale positivo ( non ha significato
PROPRIETA’ INVARIANTIVAIl valore di un radicale non cambia se :
1. si moltiplicano l’indice di radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero
positivo p; 2. si dividono l’indice di radice e l’esponente del radicando per un loro divisore comune.
In simboli :
np npn m aa =
REGOLA DI SEMPLIFICAZIONE DI RADICALI
quando ciò sia possibile, si divide l’indice della radice e l’esponente del radicando per il loro
M.C.D.
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“Guido Castelnuovo”
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APPUNTI SUI RADICALI
Si chiama radice n-esima di a il numero reale b tale che b
(Condizione di esistenza : radicando maggiore o uguale a zero )
( Condizione di segno : radicale maggiore o uguale a zero )
Si chiama radice n-esima di a il numero reale b tale che
cale esiste per ogni valore del radicando a e ha lo stesso segno di a .
L’indice di radice deve essere un numero naturale positivo ( non ha significato
PROPRIETA’ INVARIANTIVA Il valore di un radicale non cambia se :
moltiplicano l’indice di radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero
si dividono l’indice di radice e l’esponente del radicando per un loro divisore comune.
np
REGOLA DI SEMPLIFICAZIONE DI RADICALI : Per semplificare un radicale ,
quando ciò sia possibile, si divide l’indice della radice e l’esponente del radicando per il loro
mail [email protected]
bn=a con le seguenti
(Condizione di esistenza : radicando maggiore o uguale a zero ) ; ( Condizione di segno : radicale maggiore o uguale a zero ) .
tale che bn=a e in questo
a .
L’indice di radice deve essere un numero naturale positivo ( non ha significato 0 a )
moltiplicano l’indice di radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero
si dividono l’indice di radice e l’esponente del radicando per un loro divisore comune.
: Per semplificare un radicale ,
quando ciò sia possibile, si divide l’indice della radice e l’esponente del radicando per il loro
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RIDUZIONE DI PIU’ RADICALI ALLO STESSO INDICE
REGOLA : Per ridurre due o più
m.c.m. degli indici dei singoli radicali ( dopo averli ridotti al massimo ) ; si divide poi il
m.c.m. per ciascun indice e il quoziente ottenuto si moltiplica per l’esponente del rispettivo
radicando.
ES. : Ridurre allo stesso indice
Poiché m.c.m.( 3; 2; 4 ) = 12 si ha :
PRODOTTO E QUOZIENTE DI RADICALI
REGOLA : Il prodotto di due o più radicali
radicale che ha come indice lo stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi.
In simboli : nnn aba =⋅
N.B. Se i radicali non hanno lo stesso indice ,
la regola del prodotto .
REGOLA : Il quoziente di due radicali
che ha come indice lo stesso indice e
In simboli : n
nnn ba =÷
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RIDUZIONE DI PIU’ RADICALI ALLO STESSO INDICE
: Per ridurre due o più radiceli allo stesso indice si assume come indice comune il
m.c.m. degli indici dei singoli radicali ( dopo averli ridotti al massimo ) ; si divide poi il
m.c.m. per ciascun indice e il quoziente ottenuto si moltiplica per l’esponente del rispettivo
Ridurre allo stesso indice 3 a ; a ; 4 3a .
Poiché m.c.m.( 3; 2; 4 ) = 12 si ha : 12 4a ; 12 6a ; 12 9a .
PRODOTTO E QUOZIENTE DI RADICALI
: Il prodotto di due o più radicali dello stesso indice è uguale ad un unico
radicale che ha come indice lo stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi.
ba ⋅
Se i radicali non hanno lo stesso indice , prima si riducono allo stesso indice ,
: Il quoziente di due radicali dello stesso indice è uguale ad un unico radicale
che ha come indice lo stesso indice e come radicando il quoziente dei radicandi.
nn
b
aba
b
a =÷= con 0≠b
mail [email protected]
radiceli allo stesso indice si assume come indice comune il
m.c.m. degli indici dei singoli radicali ( dopo averli ridotti al massimo ) ; si divide poi il
m.c.m. per ciascun indice e il quoziente ottenuto si moltiplica per l’esponente del rispettivo
è uguale ad un unico
radicale che ha come indice lo stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi.
si riducono allo stesso indice , poi si applica
è uguale ad un unico radicale
come radicando il quoziente dei radicandi.
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N.B. Se i radicali non hanno lo stesso indice ,
la regola del quoziente .
TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO E FUORI DAL SEGNO DI RADICE
REGOLA DEL TRASPPORTO DI UN FATTORE
RADICE : Un fattore (non negativo) che moltiplica un radicale di indice
portato sotto il segno di radice , come fattore del radicando, purché si moltiplichi il suo
esponente per l’indice n del radicando .
In simboli : n nn baba ⋅=⋅
REGOLA DEL TRASPPORTO DI UN FATTORE
RADICE : Dato un radicale di indice
esponente m=np ( cioè multiplo di
radice , con esponente uguale a
In simboli : pn np aba ⋅=⋅
N.B. Se l’esponente del radicando è maggiore,
va fuori dal segno di radice avrà per esponente il
fattore e l’indice della radice , mentre sotto il segno di radice figura lo stesso fattore elevato ad un
esponente uguale al resto della divisone
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Se i radicali non hanno lo stesso indice , prima si riducono allo stesso indice ,
TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO E FUORI DAL SEGNO DI RADICE
REGOLA DEL TRASPPORTO DI UN FATTORE SOTTO IL SEGNO DI
: Un fattore (non negativo) che moltiplica un radicale di indice
portato sotto il segno di radice , come fattore del radicando, purché si moltiplichi il suo
del radicando .
b oppure nn
n
a
bb
a=⋅1
.
REGOLA DEL TRASPPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI
: Dato un radicale di indice n, un fattore del radicando che compare con un
( cioè multiplo di n ) può essere trasportato, come fattore, fuori dal segno di
radice , con esponente uguale a p , cioè al quoziente tra m e n.
n b oppure np
nnp
baa
b ⋅= 1.
Se l’esponente del radicando è maggiore, ma non multiplo dell’indice di radice, il fattore che
va fuori dal segno di radice avrà per esponente il quoziente della divisione tra l’esponente del
fattore e l’indice della radice , mentre sotto il segno di radice figura lo stesso fattore elevato ad un
resto della divisone stessa .
mail [email protected]
si riducono allo stesso indice , poi si applica
TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO E FUORI DAL SEGNO DI RADICE
IL SEGNO DI
: Un fattore (non negativo) che moltiplica un radicale di indice n, può essere
portato sotto il segno di radice , come fattore del radicando, purché si moltiplichi il suo
DAL SEGNO DI
, un fattore del radicando che compare con un
) può essere trasportato, come fattore, fuori dal segno di
ma non multiplo dell’indice di radice, il fattore che
tra l’esponente del
fattore e l’indice della radice , mentre sotto il segno di radice figura lo stesso fattore elevato ad un
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ES : 5532750 3 ⋅=⋅⋅=
5 3225 137 yxxyyx =
POTENZA ED ESTRAZIONE DI RADICE DI UN RADICALE
REGOLA DI POTENZA DI UN RADICALE
p intero , si ottiene elevando a potenza il radicando .
In simboli : ( ) (n mp
n m aa =
REGOLA PER LE SUCCESSIVE ESTRAZIONI DI RADICE
un radicale è uguale a un radicale che ha
In simboli : mnn m aa ⋅=
ADDIZIONE ALGEBRICA TRA RADICALI
RICORDA : normalmente si ha
( pensa : 916916 +≠+
normalmente si ha
( pensa : 925925 −≠−
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532 ⋅⋅
POTENZA ED ESTRAZIONE DI RADICE DI UN RADICALE
REGOLA DI POTENZA DI UN RADICALE : La potenza p-esima di un radicale, con p intero , si ottiene elevando a potenza il radicando .
) n mppm a=
REGOLA PER LE SUCCESSIVE ESTRAZIONI DI RADICE: La radice nun radicale è uguale a un radicale che ha per indice il prodotto degli indici .
ADDIZIONE ALGEBRICA TRA RADICALI
normalmente si ha nnn baba +≠+
infatti 525916 ==+ mentre 16 +
normalmente si ha nnn baba −≠−
infatti 4169125 ==− mentre 25
mail [email protected]
POTENZA ED ESTRAZIONE DI RADICE DI UN RADICALE
esima di un radicale, con
: La radice n-esima di per indice il prodotto degli indici .
7349 =+=+ )
235925 =−=− )
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Un radicale si dice ridotto quando sul radicando si sono
si sono portati fuori dal segno di radice tutti i fattori per i quali ciò sia possibile .
Il fattore che si trova davanti ad un radicale ridotto si chiama
ES : Riduci i seguenti radicali :
233218 2 =⋅= ; 3 è il coefficiente del radicale ridotto ;
444
5
4 23
2
3
2
81
32 == ; 2/3 è il coefficiente del radicale ridotto .
2
35
9543
1065
2232
abcba
abc
cba ==
Due o più radicali si dicono simili
REGOLA DELLA SOMMA DI RADICALI :
� la somma algebrica di due radicali coefficiente la somma algebrica dei coefficienti ;
� la somma di più radicali proprio segno e sommando tra loro gli eventuali radicali simili.
ES : Calcola il valore delle seguenti espressioni :
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quando sul radicando si sono eseguite tutte le semplificazioni possibili e
si sono portati fuori dal segno di radice tutti i fattori per i quali ciò sia possibile .
Il fattore che si trova davanti ad un radicale ridotto si chiama coefficiente del radicale.
radicali :
3 è il coefficiente del radicale ridotto ;
; 2/3 è il coefficiente del radicale ridotto .
32
232
22
abc ;
2
32cab è il coefficiente del radicale ridotto
simili se i loro radicali ridotti differiscono solo per il coefficiente.
REGOLA DELLA SOMMA DI RADICALI :
la somma algebrica di due radicali simili è un radicale simile ad essi, che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti ; la somma di più radicali qualunque si ottiene scrivendoli uno dopo l’altro con il proprio segno e sommando tra loro gli eventuali radicali simili.
lcola il valore delle seguenti espressioni :
mail [email protected]
eseguite tutte le semplificazioni possibili e
si sono portati fuori dal segno di radice tutti i fattori per i quali ciò sia possibile .
coefficiente del radicale.
è il coefficiente del radicale ridotto
se i loro radicali ridotti differiscono solo per il coefficiente.
è un radicale simile ad essi, che ha per
si ottiene scrivendoli uno dopo l’altro con il
Pagina 6
1) −+−− 1085
183
4
323
5
6
4
33
2
3232
+−+
−−=
2) aaaaa =+=+ 393
3) 25452205 −=+−
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−+−−=−2
33
5
6223
4
32318
2
1
320
92
2
1 +−=
.
( ) aa+3
( ) 5556215652 =+−=+
mail [email protected]
=2
