Cos’ è un numero primo?

• Un NUMERO PRIMO è un numero naturale divisibile unicamente per se stesso e per uno, e diverso da uno.

• Ad esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...

• L'unico numero primo pari è 2.

Importanza dei numeri primi

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA

Ogni numero naturale può essere scomposto in fattori primi, e tale

scomposizione è unica.

Si ottiene: 12= 22x3 e 18= 2x32

Scomposizione in fattori primi

Scomponiamo il 12 e il 18 in fattori primi12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3

1 1

Calcoliamo il M.C.D. (6;8) 6=2x3 8=23

M.C.D. (6;8)=2

Massimo comun divisore

Scomponiamo i numeri in fattori primi.Scegliamo solo i fattori comuni con il più piccolo esponente

8 2 6 2

4 2 3 3

2 2 1

1

Calcoliamo il m.c.m. (12;18) 12= 22x3 18= 2x32

m.c.m. (12;18)= 22x32 =36

Minimo comune multiplo

scomponiamo i numeri in fattori primisi scelgono tutti i fattori comuni e non comuni.tra quelli comuni si prendono quelli con l’esponente maggiore.

12 2 18 2

6 2 9 3

3 3 3 3

1 1

Quesito

Un fioraio prepara dei mazzi di fiori uguali con 70 rose, 42 margherite e 84 tulipani.

Quanti mazzi ottiene?

Soluzione

Affinché i mazzi siano tutti uguali, il fioraio dovrà farne in numero tale che sia divisibile per 70, 42 e 84.

Quindi tale numero è il MCD(70,42,84)702 4

22 8

42

35

5 21

3 42

2

7 7 7 7 21

3

1 1 1 7 7

1

70=2x5x742=2x3x784=22x3x7Si prendono tutti i fattori comune presi una sola volta col minimo esponenteM.C.D (70,42,84)=2x7=14

I TRE AEREI

Tre aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Verona e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte: il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il terzo ogni 6 giorni. Dopo quanti giorni i tre aerei si troveranno di nuovo insieme a Verona ?

Risposta

Il primo ogni 5 giorni, il secondo ogni 10 giorni e il terzo ogni 6 giorni.

Problema di MINIMO COMUNE MULTIPLO:

5 5 10 2 6 2

1 5 5 3 3

1 1mcm (5; 10; 6) = 5x2x3=30 giorni

5=510=2x56=2x3

Metodo di Euclide

• C’e’ un altro metodo per calcolare il M.C.D. di due numeri, questo metodo è stato scoperto da Euclide intorno al 400a.c.:

• Dati due numeri a,b il MCD di a e b si calcola sostituendo ad a e b il minore di a e b e la differenza di a e b fino ad arrivare a 0, il MCD tra a e b è il numero prima di 0

• ESEMPI

Divisibilità per 2

un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari

divisibilità per 3

un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3

divisibilità per 4

un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4

divisibilità per 5

un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5

divisibilità per 6

un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3

Divisibilità per 7

un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7.

» per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676.

ESEMPIO

Divisibilità per 8

un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre

divisibilità per 9

un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9

divisibilità per 10

un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

divisibilità per 11

un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11

» per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0

divisibilità per 12

un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4

Divisibilità per 13

un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13» per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)

divisibilità per 17

un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17

» per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17

divisibilità per 19

un numero è divisibile per 19, dopo averlo scomposto nella forma 100a + b, solo se è divisibile a + 4b, oppure se in esso la differenza fra le sue cifre prima dell'ultima moltiplicate per nove e l'ultima è uguale a 0, 19, o un multiplo di 19 (ad esempio 817 è divisibile per 19 perché lo è 81 x 9 - 7)

divisibilità per 20

un numero è divisibile per 20, se l'ultima cifra è 0 e la penultima è 0,2,4,6 o 8.

divisibilità per 23

un numero è divisibile per 23 se è divisibile per 23 la somma della cifra delle decine e del settuplo della cifra delle unità, oppure se in questo la differenza fra le cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 16 è uguale a 0, 23 o un multiplo di 23 (ad esempio 1633 è divisibile per 23 perché lo è 163 - 3 x 16)

divisibilità per 25

un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75

divisibilità per 29

un numero è divisibile per 29 se (e solo se) lo è anche la cifra delle decine sommato al triplo della cifra delle sue unità (261 lo è in quanto 26 + 3*1 = 29), oppure se in questo la differenza fra le sue cifre precedenti l'ultima e l'ultima moltiplicata per 26 è uguale a 0, 29 o un multiplo di 29 (ad esempio, 957 è divisibile per 29 perché lo è 95 - 7 x 26)

divisibilità per 100

un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

ESEMPIO PER 7

95676

9567 -2x6 12

9555

955 -2x5 10

945

94 -2x5 10

84

8 -2x4 8

0

23571

2357 -2x1 2

2355

235 -2x5 10

225

22 -2x5 10

12

ESEMPIO PER 13

8528

884 852+4*8

104 88+4*4

26 10+4*4

Divisibile per 13

856768591 8567+4*6863 859+4*198 85+4*341 9+8*3Non è divisibile per 13

ESEMPIO PER 17

856768597 8567-5*6894 859-5*7109 89-5*455 10-5*9303152584

238 258-5*417 23-5*8Divisibile per 17

2103954210375 210395-5*421012 21037-5*52091 2101-5*2204 209-5*10 20-5*4Divisibile per 17

EUCLIDE

18 12

12 18-12=6

6 12-6=6

6 6-6=0 MCD=6

EUCLIDE 2

225 405

225 405-225=180

180 225-180=45

45 180-45=135

45 135-45=90

45 90-45=45

45 45-45=0 MCD=45