Matematicamente - Community di studenti, docenti e ...€¦ · Created Date: 10/9/2008 5:11:27 PM

Prof. Raffaele SANTORO

Classi 6-7 (5 periodi per settimana)

Seconda Edizrone

Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 1994195

Tutti i diritti riservati.

Riproduzione vietata con qualsiasi mezzo.

Ind ice

Capitolo I

Matrici e Determinanti..... ...................1

Gapitolo 2

PunÍi, vettori e relte nel piano (richiami) ............ ..,..........23

Gapitolo 3

Trasformazioni nel piano. Aspetto unalitico e matriciale........., .....37

Capitolo 4

Punti, vettori, piani e rette nello spazio .............55

Capitolo 5

Equazione della sfera e applicazioni........ .........95

Gapitolo 6

Isometrie nello spafio. Aspetto analitico e matriciale............ .........107

Appendice

Problemi supplementari ......1 19

Prefazione alla 2^ edizione

Le ragioni della nascita della prima edizione di questo corso di Geometria restano valide: I'assenza,nel panorama editoriale italiano, di un corso di Geometria dello spazio con I'ausilio dello strumentovettoriale e matriciale, come previsto dal programma di Matematica delle classi 6-7 (5 periodi persettimana) delle Scuole Europee.

Tuttavia, la disponibilità di un corso 'su misura ' per le Scuole Europee ha spinto alcuni colleghi avolersi sobbarcare la fatica di una traduzione della prima edizione in altre lingue. Sono così compar-se, in ordine di tempo, una versione in francese (a cura del collega J.P. MASCLE, Luxembourg), unaversione in danese (a cura del collega J. THORSEN, Luxembourg) ed una versione in tedesco (a curadel collega D. KOzuNG, Bruxelles II). A tutti questi colleghi va un sentito ringraziamento, ancheperchè hanno condiviso con me la filosofia dei 'diritti d'autore' di questo corso: il prezzo di ognicopia viene fissato aggiungendo al costo di riproduzione 100 FB da inviare ai Comitati Unicef.

Questa seconda edizione esce per rimediare ad alcune omissioni e per tener conto dei suggerimenti di

alcuni colleghi. Questi i cambiamenti piu importanti:o per il capitolo terzo: omotetie e proiezione ortogonale su un retta;. per il capitolo quarto: maggior peso alle proprietà geometriche di rette e piani nello spazio;o per tutti i capitoli: aumento del numero degli esercizi proposti e correzione di errori residui.

Anche se, owiamente, i colleghi possono seguire l'itinerario di studio che ritengono più opportuno,

mi permetto di suggerire un itinerario che mi sembra ottimale per trarre il massimo profitto da questo

corso:Classe 6. Capitolo 1 (Matrici e determinanti).. Capitolo 2 (Punti, vettori e rette del piano - Richiami).. Capitolo 4 (Punti, vettori, piani e rette dello spazio).

Classe 7. Ripasso dei capitoli 1,2 e 4 (visti in Classe 6).o Capitolo 5 (Equazione della sfera e applicazioni). Capitolo 3 (Trasformazíoni del piano - Aspetto analitico e matriciale).. Capitolo 6 (Trasformazioni dello spazio - Aspetto analitico e matriciale).o Risoluzione di tutti i problemi previsti nell'Appendice.

Resta I'auspicio che il corso, nelle sue diverse versioni, possa servire, oltre che per la preparazione al

Bac Europeo, anche per la preparazione all'esame d'ingresso in alcune Università e come punto di

partenzadi un primo corso di Geometria per l'Università.

Luxembourg, Luglio 1994

Raffaele SANTORO

Capitolo I

2 SOMMA DI DUE MATRICI DELLO STESSO TIPO.. ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 MOLTIPLICAZIONE DI UNA MATRICE PER UN NUMERO REALE.... ............. 3

4 DETERMINANTE DI UNA MATRTCE QUADRATA """"""""""' 4

Io caso: maîrice 2x2... . . . . . . . . . . . """"""""""""" 4

2o caso: matrice3xJ... . . . . . . . . . . . """"""""""""" 5

3o csso: matrice nxn (con n> 3). """""""""' 7

5 PRoDorro DI DUE MATRICI.. . . . . """"""""""" ' 9

6 RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI CON LA REGOLA OT CN.IUNN. ........ I I

7 MATRICE INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA.. ............. 13

Io caso: n = 2 . . . . . . . . . . . . " " " " " " " " 13

2o cuso: n = 3 . . . . . . . . . . . . " " " " " " " " 14

3o caso: n > 3... . . . . . . . . . """""""" 16

8 RISOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE CON IL CALCOLO MATRICIALE """"""""""" 18

9 ANELLo DELLE MA'IIIcI QUADRATE DI oRDtNE N.""""""""' """""""" 19

2 Cap. 1. Matrici e determinanti

1 Definizioni

una matrice reale (a elementi in R, insieme de numeri reali) è una tabellarettangolare mxn (m righe e n colonne) di numeri reali. Sono matrici reali, adesempio:

La matrice A è una matrice rettangolare 3x I avente 3 righe e I colonna. La matrice Bè una matrice quadrata 2x2 avente due righe e due colonne. La matrice c è unamatrice rettangolare 2x3 avente 2 righe e 3 colonne.

In generale, una matrice A con m 'ighe e n colonne si indica così:

dove 4,,(da leggere 'a uno uno'), ar, (daleggere 'a uno due'), ..., a* (da leggere 'aemme enne') sono gli elementi della matri ce. La matrice A, a volte, è anche indicatacon [a.,], oppure (a,,), do'ue 4,, è un generico elemento della matrice (l'elemento s-simo della riga r-sima).

Se rn : n,lamatrice si dice matrice quadrata di ordine n e, inquesto caso, glielementi ar,az2, ..., an, si dicono elementi delladiagonale principale.

Una matrice quadrata con gli elementi della diagonale principale tutti uguali a I e glialtri elementi tutti uguali a 0 si dice matrice unitaria. Ad esempio la matrice unitaria 3x 3 è

Una matrice, anche non quadrata, con tutti gli elementi uguali azero si dice matricenulla. Ad esempio, la matrice

é la matrice nulla2x2.

,:[+] ,=(: -]),,=[', i;')

III

)

a t t a t z a r n

Qzt azz Q2n

(

I

.ao,l 0^2 A^,

l o o ì, : i o r o i\0 0 1)

(o 'ì\0 0)

R.SANTORO'. Geometria

'= [-: j] = 'o=(: -l r)

E s e m p i o ( t 3 ì ( t , ì

t" '=[_1 - l" '=[ i _or]

' . " '* inarec:A+B'

Risulta:

( t 3 ì j 2 ì ( ' - ' r + z l ( o s ìC : i 2 - + i + i 3 o i = i 2 + 3 - 4 + o i = i s - 4 i

[ - ' t ) [ t 4 ) [ - ' * ' t - 3 ) [ o - 2 )

Cap. 1 . Matricie determinanti 3

Una matrice Ain cui si scambiano tra di loro le righe con le colonne dà luogo adun'altra matrice 'A che si chiama trasposta di l. Così, ad esempio:

2 Somma di due matrici dello stesso tipo

Sia A,n,n I'insieme delle matri ci mxn.In questo insieme si definisce I'operazione ' + '

(somma) che associa a due matrici A eB una terza matrice C : A + B.tale che:

Soluzione:

E facile rendersi conto che la struttura (A.,nr+) è una struttura di gruppo commu-

tativo, dove I'elemento neutro è la matrice nulla mxn e la matrice inversa ai e = la^f, , f

' l , . Iè la matrice A' : l-aul (tale matrice prende anche il nome di matrice oppostct di A e

viene indicata con -A). Qui le propietà di gruppo derivano dalla definizione stessadella somma di due o più matrici come somma degli elementi corrispondenti dellematrici da sommare: dal momento che I'insieme di numeri reali, rispetto all'operazio-

ne somma é una struttura di gruppo commutativo, anche (Am"nr+) sarà una struttura di

gruppo commutativo.

3 Moltiplicazione di una matrice per un numero reale

Se .1 = fr,,] O una matrice di A*"n, si definisce prodotto della matrice A per il numero

reale k quella matrice, B, i cui elementi sono gli elementi di,4 moltiplicati per fr:

(u -1",,],8 = [r,"]) + c:b,,]=b,,*b,,1

kA = kb ,"f= W ,,1= [ó," ] = B.

R.SANTORO: Geometria

4 Cap. 1'. Matricie determinanti

Esempio (t 2 -31Se I =[Z

I 0 J, determinare le matrici -2A e 3A.

l a , , a , . ld e t A = 1 " ' ' l =

o , r o z z - a z r a t zlar t azz l

Soluzione:

La moltiplicazione di una matrice di A,n,n per un numero reale è un'operazione esternaad An,,,n, in quanto risulta essere un'applicazione / di RxA*,n in A,n"n:

/ : R x A , n , n ) A , n , n .

Si può considerare la struttura (4.*n ,R, *), dove'+'indica la somma (operazione

interna) di due matrici di A*n e 'R' sta ad indicare I'operazione esterna di moltiplica-

zione degli elementi di A,n,n per un elemento di R (insieme dei numeri reali e insiemedegli operatori). E facile rèndersi conto allora che la struttura

(A'n,.n ,R, *) è una struttura di spazio vettoriale reale.

I 'vettori' di questa struttura sono le matrici di An.,,n

4 Determinante di una matrice quadrata

Il determinante di una matrice quadrata è un numero associato alla matrice stessa.Tale numero si ottiene a partire dagli elementi della matrice applicando determinateregole di calcolo.In questa sede si considereranno principalmente i casi delle matrici quadrate di ordinen con n:2 o n: 3 e si farà un rapido cenno a come calcolare il determinante di unamatrice quadrata con n > 3.

10 caso: matrice2x2.

(o , , a , , lSia A:l I la matrice. Si definisce determinante di I il numero:

\4zr azz)

Risulta subito:(-z -4 61 3 6 -el-zA=l-+ -2 oJ'" =[.u 3 o )


Cap. 1: Matricie determinanti S

Esempio (-t 2l (z _tìse'a =[

: t , , l t u=[r

4 ) 'calcolare detAe detB'

l - r t ld e t A = l ^ l l = - l . t - 3 . 2 - - t - 6 = - 7 ;

I 3 r l

a " t a = 1 2 . - . t l =

2 . 4 - 1 . ( - r ) = 8 + l = 9 .l l 4 l

20 caso: matrice 3x3.

(o, , arz o, r ì

Sia I :lo^ azz a* i

la matrice. Si defrnisce determinante di A il numero:

\asr ay arr)

lo, e,, o,.,I | || "

' z ' ' l l o , a r r l l o^ a r r l l o , a r r l

de f A = lq , e . , , a r " r l = a , , l - - - ' l -

a , r l ' ' ' " 1+

a , ^ l ' ' " l =

I - - "1 "

lay arr l ' ' la ! or r l ' - la | an llqt t Qzz anl

= orr(arrar, - atzazz) - arr(a.rrar, - arrazz) + arr(arrar, - atrazr) =

= qttq2zo, - AttA3zQT - Cl.nA2tAT + AnA3tQ2.. + OBA2tA3z - ABA3IA22

Soluzione: Si ha:

Ci sono 6 modi diversi per calcolare il determinante di una matrice 3x3, aseconda della riga o della colonna che si sceglie per sviluppare il calcolo. Ineffetti, si prendono gli elementi di una riga o di una colonna, moltiplicati per ilsegnante (-1)'*' (r è il numero di riga e s il numero di colonna dell'elemento),ciascuno moltiplicato ancora per il determinante 2x2 che si ottiene eliminandodal determinante dr partenza la riga e la colonna dell'elemento considerato; sisommano i 3 risultati ottenuti.

Esempio (t 2 -11

Calcolare il determinante della matrice o =lt t o I[ r - 2 3 )

Soluzione: Sviluppando secondo gli elementi della prima riga, si ha:

l r r - r ll ^ '

' l l r o l l l o l l : r ldetr :13 i î l : ' l r t l - ' l ' : l - ' l r -z l :

l l - 2 3 l= 1 . 3 - 2 . 9 - 1 . ( - 7 ) = 3 - 1 8 + 7 = - 8

Oppure (sviluppando secondo gli elementi dellaterzacolonna):


6 Cap. 1: Matricie determinanti

I r 2det,4 =

13 I

11 -2

= -1. ( -7) + 3. ( -5) = 7 - 15 = -8

Dall'esempio precedente si vede subito che, per il calcolo del determinante,conviene scegliere la riga o la colonna contenente il massimo numero dielementi nulli.

E facile rendersi conto che:o il determinante di una matrice unitaria è uguale a Io il determinante di una matrice nulla è uguale a zeroo il determinante di una matrice avente almeno una riga o una colonna

di elementi nulli è uguale azeroo il determinante di una matrice avente due righe o due colonne di

elementi rispettivamente uguali o proporzionali è uguale ̂ zero

- r l' l l l l l l t z l l r 2 l

î l : - ' l ' - r l -o l ' - r l * '1 , r l=a tì l- l

Nel caso delle matrici 3x3 esiste una regola pratica, per il calcolo del lorodeterminante, chiamata regola di Sarrus: si riscrivono le prime due colonnedel determinante come quarta e quinta colonnafittizie, in modo da potereffettuare sei prodotti diversi in diagonale (da sinistra a destra, i primi tredall'alto verso il basso, gli ultimi tre dal basso verso I'alto) secondo lo schemaseguente:

lo,,

hÈIl valore del determinante é allorq dato dalla somma di 6 prodotti, di 3 fattoriciascuno, in diagolale; i singoli addendi sono presi col proprio segno seprovenienti dalla prima serie di prodotti, con il segno opposto al proprio seprovenienti dalla secondq serie.Effettuando tali prodotti si ha che:

lo , , arz a, r la , Qtz

det A =la^ azz arrla^ az2 =

lo' atz orrlo, otz

= anaz2a$ + AnAnA3r + aBct2tq32 - a3ra22q1 - ata\a| - aVaztan .

Ad esempio, calcolando il determinante della matrice I dell'esempioprecedente con la regola di Samrs, si ha:

d e t A : 1 . 1 . 3 + 2 . 0 ' I + ( - 1 ) . 3 . ( - 2 ) - 1 . 1 . ( - 1 ) - ( - 2 ) . 0 . 1 - 3 . 3 . 2 : 3 + 6 + I - l 8 : -8 .


Cap. 1: Matricie determinanti 7

30 caso: matrice nxn (con n > 3\.

La regola di calcolo enunciata sopra per un determinante 3x3 vale in generaleanche per un determinante nxn (con n > 3). In questo caso ci sono 2n modidiversi per il calcolo del determinante e tutti questi modi conducono allo stessorisultato.Non è il caso, in questa sede, di sviluppare una teoria completa del calcolo deideterminanti, in quanto lo studente che continuerà gli studi scientificiall'Università avrà modo e occasione di studiare una tale teoria. Ci si limita,qui, solo a citare alcuni risultati importanti, omettendone la faciledimostrazione:

1. Se lutti gli elementi di una riga o di una colonna dí una malrice sonomoltiplicati per un numero reale k il valore del determinante dellamalrice viene moltiplicato per k

2. Se tutti gli elernenti di una md*ice nxn sono moltiplicdtÌ per h il valoredel determinante della matrice viene moltîplicato per W.

3. Scambiando fra di loro gli elementi di due righe o dî due colonine di unamatrice, il determinante della matrice cambia,di segno.

4. Sostituendo gli elementi di una riga di una maftice con la somma deglielementi di questa riga con gli elementi corrispondenli di un'altra rigadella matrice, il valore del determinante della matrice non cambia. Stessacosa per gli elementi di una colonna.

Le proprietà 1. 3. e 4., in particolare, sono molto importanti in quantoconsentono, con passaggi successivi, di trasformare un determinante in unaltro per cui gli elementi di una riga (eccetto uno) o gli elementi di unacolonna (eccetto uno) sono nulli, facilitando il calcolo del valore deldeterminante.Esempio

Soluzione:

1 2 r 3 - r l

Calcolare il determin*t" D = ll :, i :l

14 | 2 -31A questo determinante si applicano le proprietà precedenti perfàr comparire nella seconda linea 3 elementi nulli.Moltiplicando gli elementi dell'ultima colonna per -2 si ha(proprietà 1.: il de-terminante viene moltiplicato per -2,

dunque bisogna dividere il nuovo determinante per -2):

1 2 r 3 z l111 4 o -41-tlt -2 t -ol1 4 | 2 6 l

D _



Sostituendo gli elementi dell'ultima colonna con la sommadegli elementi delle colonne 2 e 4 precedenti si ha (proprietà4. ) :

Sostituendo agli elementi della seconda colonna gli elementidati dalla somma dei corrispondenti elementi delle precedentic o l o n n e l e 2 s i h a :

A questo punto, essendo gli elementi della seconda riga tuttinulli (eccetto il primo), si può concludere il calcolo deldeterminante di ordine 4 con il calcolo di un solo determinantedi ordine 3:

Il procedimento può sembrare artificioso, ma risulta utile in quanto, nell'esem-pio precedente, con i successivi passaggi si è potuto calcolare un determinantedi ordine 4, che richiedeva il calcolo di 3 (era già presente uno 0 nella secondariga) determinanti di ordine 3 con il calcolo di 2 determinanti di ordine 2 (masi sarebbe potuto fare meglio!). Inoltre, con un po' di pratica, si possonosaltare alcuni passaggi (da fare mentalmente).

1 2 1 3 3 ll l l 4 0 0 l'=-tlt -2 r -61 '

t l1 4 | 2 7 l

Si moltiplicano ora gli elementi della prima colonna per -4, ilvalore del determinante risulta allora:

1D : *

l - s | 3 3 lr ( r l l - + 4 o o lD--;l-ùl-n -2 ' -rl

l - 1 6 1 2 7 l

-8 -7 ' ' l- 4 0 o o l-r2 -r4 r -ul- 1 6 - 1 5 2 7 l

t - 7 3 0 t1 l I= - - l _ 1 4 | 7 l :L t I

l-15 2 -sl

| - " " l| - t 1 1 l

l l - lD=r(- lX-4)l-14 t -ul

l - 1 5 2 7 l

í l r 7 l l - tq=-tl-7 12 -sl-3 1-rs

7 l l r .. l i= - ;(-7 (-re) - 3.r 7s): r-"1) L



5 Prodotto di due matrici

La definizione del prodotto di due matrici è piuttosto complicata in quanto, in primoluogo, non sempre tale prodotto è consentito secondo lo schema classico riga-colonna.Pertanto si comincia a vedere, con questo schema, il prodotto di due matriciquadrate di ordine 2:

+ atrby

+ arrbu

Il risultato è la matrice C, i cui elementi sono dati da:c,, = a,tbt, + a,rbr, .Nello schema adottato riga-colonna, un elemento della matrice prodotto, c"*, èdunque uguale alla somma dei prodotti degli elementi della riga r-sima dellamatrice A per i corrispondenti elementi della colonna s-sima della matrice B.

Lo schema può essere generalizzato al caso del prodotto di due matrici quadrate diordine n (n > 2).In questo caso, gli elementi della matrice prodotto C sono dati da:

arrbr, + orrbrr\t = l

arrbr, + arrbrr)o u =(7"", """,,)

?;,", u;,,,) =(:,",uu,,:,

cr, = arrbr, * arzbzr+...+ornbn = I arib*.l = _

Lo schema seguente può aiutare avisualizzare come si ottiene la matrice prodotto:

a t t

a z t

atz ar . , arn

ozz Q2, 42,

fi,, a; " r; ' a;)

(u,,ib , 'I

lu,,t ;

r

Lo,bu,

\îLo,bu,

l = r l , = nsr s-

Lo,b,, Lo,b,,i= l i= li:n i=tl\- sr

Lo,b,, Lo,b,,i= l i= l

b,,

bD

b,z

ui.,,

to,,b,,r

Lo,b,,,= l

r4lI bnj" ' lb*l

I" ' l

b^]

br,

ót, I

t -u - lI

b,,, )

5

Lo,,b,,,

[]o,o'i=n i=nsr sa

Lo,,b,, Lo,,b,,i= l i= l

La^,b,,

La definizione riga per colonna si può anche estendere alle matrici non quadrote, ma

con una restrizione importante; il numero delle colonne della prima matrice deve

essere uguale al numero delle righe della seconda matrice. In tal caso, il prodotto di

una matrice A (mxp) per una matrice B @xn) è una matrice C (mxn). Simbolicamente:

I=n l= l lr- sr

Lo,,b,, Lo,,b,,i= l i= l



Esempio I

Soluzione:

Esempio 2

Soluzione:

Esempio 3

Soluzione:

Esempio 4

Soluzione:

E facile rendersi conto che, in generale, il prodotto di due matrici non è commutativo'.

A . B + B . A

Se si hanno due matrici quadrate dello stesso ordine, A e B, si dimostra che:

det(A'B):detA'detB ,

cioè: l/ determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinantidelle due matrici.

A, . , ' 8 , . , :C ,^^(m*p) -(prn) -(mxn)

( t r l Í - r ìcatcolare.:

[_, tJ [, 3 )

( r . t + z . z t . ( - 1 ) + 3 . 3 1 0 8 lRisul ta: c:

[ -z.r*r . , -2.(-r)*r . :J: [o 5)

( r - l 2 \ ( 3 t ìCalcolare.:

[t, , ,) l: :r)

Risulta:

" : ( t .3+( - l ) . ( -2 )+2 .2 1 .1+( - l ) .4+2 f - r l ' l _ [e -s l

\ 3 . 3 + 2 . ( - 2 ) + 1 . 2 3 . 1 + 2 . 4 + 1 . ( - l ) ) - \ t 1 0 ) '

f ' lCalcolare C: (l z -t)

i t"

i\-J,/

Risulta: c : (t .2 +2. I + (-l). (-3))= (7)

( r z r l [ ' r ]Calcolare r: i-, I -l

i i r i\ l 0 2 ) \ - r )

( t t + 2 . 2 + 3 ( - r ) ì l r ì

Risu r ta : , : i - 2 .1+1 .2+( - l ) . ( -1 ) i = i I i( t . t + 0 . 2 + 2 . ( - r ) ) \ - t )


Cap. 1 . Matricie determinanti 11

6 Risoluzione dei sistemi l ineari con la regola di Gramer

Un sistema lineare di2 equazioni in 2 incognite è un sistema del tipo:

l o , , r + e , . V = b ,

t r r , t . o , r , r= i , ( l ) '

dove a,,, ar, at2, azt, a22, b, e br, sono numeri reali.Un sistema del tipo (l) è risolto quando si trova una coppia (xy) di numeri reali chesoddisfa entrambe le equazioni.Esistono diversi metodi di risoluzione di un sistema del tipo (1) (sostituzione,confronto, riduzione), già studiati negli anni passati. Ma esiste anche un quartometodo che utilizza il calcolo di opportuni determinanti.

Questo è il metodo o regola di Cramer, che fornisce subito la soluzione del sistemadato:

I o , , , + q , , v = b ,I r l

1 ----\

l a r rx+azz l=bz

lu' o"llb, ar',|

v _ | - - - , _^ - l l -

lo t , o t r l

lat azzl

lo" u'llo^ btl

brar, - bra,

aÍazz - aztatz

brar, - bra^

at tqzz - az tq rz

| 1"" b,l

l'=F-r,l:I laz r azz l

con D : a ,ezz -a r ra r r *0 .

EsempioRisolvere il sistema lineare { z * + y = z

l x+ 3Y = -1

Soluzione: Applicando al regola di Cramer precedente, si ha subito:

1 3 1 lt ll-1 3l

f : -" - 12 t l I e+ l 10 ̂l t 3 l l " = 6 { = l = '---l f

l t r l - i - 2 - 3l -

" ì l v = - = - l

I t - t l l ' sY : D r l

t l11 3l



L'aspetto piu interessante della regola di Cramer consiste nel fatto che questa égenerulizzabile alla risoluzione di un sistema lineare di n equazioni in n incognite. peresempio, nel caso di un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite, si ha:

' l *=4' b i ^ - Dl a r í + a r z ! * Q n Z = , I D

) q a x + q z z ! * Q z t Z = b , = l r r = É Q )

(43 l x+ an ! *a . .2 =b ,

l , = O ,

l . ,dove:

lo,, Qtz b,lo, =lo, ezz brl

la' etz brl

It, an o,l lo,,=lu, ezz au!, D, =la,lb, etz aul lo'

lo,,D =1o,,

i|o,,,

f*-zt,+r=] 3 x + y - z =| 4 x - y : 2

a , . o , . l, r l

azz arrl , D,I

Qz- , c l . r l

:, o,,lb2 orrl,

4 ar.l

con D + 0 (D viene chiamato determinante dei coefficienti del sistema lineare).

Le (2) fomiscono chiaramente la regola di Cramer per la risoluzione di un sistemalineare di 3 equazioni lineari in 3 incognite: ciascunà incognita è uguale ad una.frazione che ha al denominatore il determinante dei coffiienti del sistema ed alnumeratore lo stesso determinante, che ha al posto dei iofficienti dell,incognita chesi sta calcolando i termini noti (o i secondi membri) det sritema stesso.

Discussione dei casi possibili:

l . D * 0

2 . D : 0

Esempio I

Soluzione:

Il sistema si dice determinato ed ammette una soluzione unica, cioèuna tema di valori (x, y, z) che verifica le 3 equazioni del sistema.

Il sistema può non avere soluzioni (sistema impossibile) oppure puoavere infinite soluzioni (sistema indeterminato).

Due esempi rappresentativi di cio che può succedere quando D:0chiariranno meglio le idee.

Discutere il seguente sistema lineare:

I

Per questo sistema il determinante dei coefficienti é nullo ( D:0).Facendo la somma, membro a membro, delle prime due equazioni, siottiene l'equazione 4* - y: 4, che è in contraddizione conlarcrzaequazione del sistema. Essendo le sue equazioni contraddittorie fra diloro, il sistema risulta impossibile.



Esempio 2

Soluzione:

7 Matrice inversa di una matrice quadrata

Se l indica una matrice unitaria di ordine n e A è una matrice quadrata di ordine n, sichiama matrice inversa della matri ce A lamatrice A-r tale che:

A . A - 1 _ A - t . A _ IIl calcolo diretto di l-r non sempre è facile. Anzi è tanto più difficile quanto piùgrande è n: basti pensare che, per determinar e A'r conmeiodo diretto, è necessariorisolvere n sistemi lineari di n equazioni con n incognite ciascuno.Per tale ragione, in questa sede, il calcolo sarà limitato ai casi n:2 en : 3 con ilmetodo diretto e si indicherà una regola generale (senza dimostrazione) nel casogenerale.

l o c a s o : n = 2 .

I r - 2 y t z = lRisolvere il sistema lineare: ll* + y _ z = 3 .

| 4 x - Y = 4Il determinante dei coefficienti é nulro (D:0). In questo caso,sommando membro a membro le prime due equaziàni, si ottieneproprio laterza equazione del sistema, che risulta p"r"iò inutile. Ilsistema dato è equivalente allora al sistema

) * - Z y * z = ll 3 x + y - z = 3 '

ridotto alle sole prime due equazioni del sistema precedente.Quest'ultimo sistema, potendosi scrivere:

, ll x = l + ; zJ l

1 4 'l V = - zr - 7

ammette infinite soluzioni, una per ogni valore assegnabile a z.Dunque il sistema è indeterminato.

Siano

(o, , 4, ' l ( , v lA=lor, ,

o ' r ' r ) " l - '=1, " r )

dove x, y, z e t sono gli elementi incogniti della matri ce A-l da determinare.La definizione di matrice inversa consente di scrivere, dall'uguagl ianzadi duematrici, due sistemi di due equazioni lineari in due incognite. Deve essere:

(o, , o, \ ( , / l ( t o lfo, ' o,I1, tJ=[o I-



(a,rx+arrz a,rY+a.,rt \ ( t 0l f . f f l\orrr+orr, azr!*orrr)=\o rJ =

l tzl

Risolvendo separatamente i due sistemi (l) e (2) con la regola di cramer, si ha:

I t r o , , lI lo o',',1 u,.I v -

- - l

( o,,, + cr,.z =, I I:" :"1- aet 't

6 ) J " ' �l a 2 t x + a z z z = 0 i I o , ,

1 l

l__ lo r , o l -azr

i f ' r atzl det,a

L l4z ' azz l

(det A + 0)

I o , , y * t t , . Í = 0( 2 ) 1 ' � "

, =' lau! * arrt = |

lo a, ' ,1t - ll l e , . l -a . -

u r = , t t l

- . . 1 2

' larr Q't l det At - tlan azzl

lo,, olt " l

, - l a r , l l - Q ,I lo,, tl o,

I r = r--_---

i lo t r o tz l det At i tI lazr azzl

-"rr ì

q r , ) '

Nel caso n: 2 e facile ricordare come determinare la matrice inversa di unamatrice dataA con queste osservazioni:

o gli elementi della diagonale principale della matrice I si devono scambiareo gli elementi della seconda diagonale della matrice I devono cambiare di

segnoo tutti gli elementi vanno divisi pcr il determinante della matrice l.

2o caso : n :3 .

Siano

atz

Qzz

atz

( o,,

Quindi la matrice O-' =lW

\d"t,4

-a.,, \

d e t A l | ( o netr l= d.t ,< l-o.,

d"t il

",, ì , ?,,

xrz "','ìo r r i e A - t = l * r , x zz * r . 1 ,a.r) \x:r xtz xrr)

Io , ,A = i a ,

[. ';,

R.SANTORO. Geometria

Cap. 1: Matricie determinanti 1S

dove le xU sono le incognite da determinare per definire l-r.

La definizione di matrice inversa (,q. î = 1) consente di scrivere, dallauguaglianza di due matrici, tre sistemi di tre equazioni lineari in tre incognite:

Risolvendo separatamente i sistemi (l), (2) e (3), si ha (purché d,etA * 0):

t lo, , erz " , , ì l r , r xrz " , , ì

| o oì f rr llo t t

azz qzt l ' l x l xzz r l i= i 0 I 0 i = J tZ l

\a' otz orr/ ("., , xtz rrr) [O 0 | ) l t : l

det A

lo,, I o,, lIo, o ",.1lo' o ";,1

det A

1",, atz 1l

lol azz 0l

lo, otz 0l

I or r " r , * arzxzt * ar rxr , = 1

(1 ) l a l x t t

*azzxz r+avx3 t=0 =+

[4 : rxr r I Azzxzr I QrrXr , = 0

(

lanxn * arzxzz + arrxrt = 0

lazf in+a22x22+ctBx, = I =

lqyxn + a32x22 + errxr, = 0

forr*r, + Qt2xz3 * Lrrxr, = 0

(3) lrarrxr, + a22xB + arx'- 0 =,

[a:rxr: * Qzzxzz * arrxr.. = |

^ l l -

n 2 l -

^ 3 | -

det A

lt an o,rll0 a, a,^ l

lo etz ";llo, a,. lI

-- '-l

_ l a z z a n l _ A r t

detA detA

lo',, a,,l-t - '- l_ la t r ay l _

-4,

detA detA

lo, a' ,1t - - - lla , o . , l 4 , "

detA detA

(2)

| -4 , ,l v

i " detA

| 4. .l vl ^ 1 1 - -

| " de tA

| -4,.l v

| . " detAI 4 , ,l Y

| ' ' de tA

| -4 , .\ w

1^" -

det Ai A. -I Y

l^t ' -

det Iln generale, quindi, si ha:

ìr _(-r)r+s A,,ers___MI__ (Notare: Xrr, A rr)

rldove Ay e il determinante che si ottiene dal determinante di I eliminando lariga s-sima e la colonna r-sima.


16 Cap. 1. Matricie determinanti

A* sichiama anche minore dell,elemento a,,, di A,

C rr: (-I)'*tA., si chiama anche minore complementare ocofattore dell'elemento a., di A.

Concludendo, la matrice inversa di A è data da:

3 0 c a s o : n > 3

La formula precedente può essere estesa al caso generale di una genericamatrice quadrata di ordine n (con n22):

. (c,, C, c,,ìt'= rfilc,', ;,:, .;, I\C,, Cn Crr)

dove, al solito, Crr:(-l)r*tA*

La matrice dei cofattori di una matrice I si dice matrice aggiunta dellamatrice A (e si indica con r*). Allora, si puo anche dire che la matrice inversadella matrice A è uguale alla matrice aggiunta della matrice traspost a di Adiviso il determinante di A:

t-t ("q\/t

det A

sempre che sia detA + 0.

Da quanto precede risulta che, per ogni n,larnatrice inversa di unamatrice quadrata I di ordine n esiste solo se detA+O.Tali matrici si dicono regolari o non singolari.Una matrice A per cui detl : 0 si dice. invec e" singolare.Quindi: una mallice singolare non ammeÍte inver;o.

Esempio | (t _11Datalamatrice U=lr.

,-J , determinareA-1.

Risulta subito che (essend o detA: 5): A-t =:( t-

ll .^ - s [_2 t ) '

Soluzione:


Cap. 1: Matricie determinanti 1Z

Datatamatrice ^ =lr1 ; Íl , 0.,.", inare A-r .( - r 2 3 )

Esempio 2

Soluzione:

- 9 - 1 0 : - 1 9

;*" si vede dagli esempi precedenti, il metodo dei cofattori risulta abbastanzaefficace in quanto, essendo del tutto meccanico, riduce le possibilità di enori dicalcolo.

Si ha:

lz t - ' l_ l r -31 .1, , l_aet,a=lr o ,a- lr r l -r l_, 2l_

l - r 2 3 llo 2l

n , t = 1 , . l = - 4 = C , t = - 4

t - " l

I r 2 l4,, =l-t :l= s = Cn = -5

t r 0 tA " = l _

, , l = 2 + C , , = )|

- - l

I r - 3 lA r , = 1 . " l = 9 = C r , - - 9

l z J l

l t - ? lA r r = l - . ^ - l = : > C r r = 3

l - r 3 ll z r ln " = l - t

2 l = 5 = C r r - - 5I t - 3 l' 4 . , = l o

, l = '= c r , =2j . r r lt z - J l

o ' r = l r 2 l = t = c t z = - 7

lz r ln ' = l r o l = - 1 e C n = -

(-+ -s 2lDunque: A- t = _al _, , , lt n ,

, - 5 - t )


8 Risoluzione di un sistema lineare con il calcolo matriciale

Un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite (ma il discorso può estendersi ancheal caso generico di un sistema lineare di n equazioni in n incognite):

(la t f l + an! - t or rz = b,

lrorr* + azz! * arrz = b, (1)

l a \ x+ay ! *a r r z=b ,

può scriversi sotto la forma matriciale

A.X: B Q\

dove:

(o,, atz o,, ì f'rl lr, IA = l o , a , , a , . l , x = l u l . g = l t , l .

[r' o, o'r-r) lt) l;r)

La matrice Xdelle incognite del sistema lineare si può determinare, a partire dalla (2),moltiplicando ambo i membri dell'equazione matriciale a sinistr a per l-r (suppostoche A, matrice dei coefficienti del sistema, sia regolare, supposto cioè che il sistemasia determinato):

A-t.(A.X): A-t.B = (A-I.A\X: A-t.B > I.X: A-t.B =

l8 Cap. 1. Matrici e determinanti

X _ A - I

Dunque, per risolvere il sistema (1), supposto determinato (cioè con det A ;e 0), bastamoltiplicare A-t per B ed avere la matricexdelle incognite da determinare.

Resta, in ogni caso, la difficoltà del calcolo della matrice inversa (in matematica nonci sono vie speciali per i re!), come risulta dall,esempio che segue:

Esemp io l z * *y -3y= l

Risolvere il sistema lineare: 1 x +22 = 3

L-x + 2y +32 = -2

Soluzione:

Ir sisrema si puo scrivere sotto ra ,",^^'1,1 ; ; ì i ; ì : í ' ] ì ."[ - r 2 3) \ , ) l -z)

cui si ha ancora (utllizzando il calcolo della matrice inversa fattonell'esempio del paragrafo precedente):

R.SANTORO. Geometria

Cap. 1: Matrici e determinanti 19

(ts I

l ' ì 2 : : ì l : ì , ( - : - s ' ì t ' ì l î |i y i = i I 0 2 it;l-[-, ; ;) i:j=-#l; j, _"ii:,)=i;li

t e )(consiglio metodologico: in casi come questi é sempre bene fare laverifica dei risultati sostituendo la soluzione trovata nelle equazionidel sistema dato. Nel caso in cui la verifica non dia i risultati sperati ébene rifare i calcoli!)

9 Anello delle matrici quadrate di ordine n

Sia An,n I'insieme delle matrici quadrate di ordine n. In An,n si sono definite dueoperazioni interne: la somma e la moltiplicazione di due móiiici. Se si considera lastruttura algebrica (An,n , *, .), è facile convincersi, da quanto visto finora, che dettastruttura costituisce un anello non commutativo e unitario,le cui proprietà possonoriassumersi così:

. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ,

2 . A + A o = A o * A = A

3 . A + ( - A ) = ( - A ) + A = A o4 . A + B : B + A

5 . A . ( B . C ) : ( A . B ) . C

6 . A . ( B + C ) = A . B + A . C7 . ( A + B ) . C = A . C + B . C

8 . 1 , , . A = A . 1 , ,

(A, e A,,n matricenulla)

(- A . 4,", matrice opposta)

(1, e 4,,, , matrice unitaria di ordine n)

dove le matrici A, B e C sono sempre matrici arbitrarie di An,n.L'anello (An,n , *, ') non è un dominio d'integrità,in quanto vi sono divisori dellozero, esistono, cioè, matrici non nulle tali che il loro prodotto è una matrice nulia,come nel caso delle matrici

per cui risulta:

0 -11 (" t r \' :

[ , - : ) "u: [ ; ; )

(z -lì fz 3) (o olz B=[: - ; ) l^ o. , l=[o o).

nonostante A e B siano manifestamente delle matrici non nulle.



l0 Esercizi

Date re matrici: ^ =(: _t,),, =

[j, ]) , oo.,-inare:

a) A+ 8,2A, - 38, det A, d ,et Bb) A. B, At , 82 , det7A. B), det A .d,et Bc ) A - ' , B - t , t r - t . 8 , A . B - 1 .

2 Date le matrici:

l z 3 ì ( r r 2 r Q o - ' ì ( to = l : ^ ' i ' " = [ . o - r r J ' t = i ' I r i ' ' = i '

\ r z ) \ l _ 2 3 ) [ +determinare (ove possibile):a ) A . B , A . C , B , C , C . Db) det C, det D, det(C. D)c) C- ' , D- t , C- t .D .

3 Applicando la regola di cramer, risolvere i sistemi lineari:l z * - r * . ' (I

z = l l x _ 2 y + 3 2 = 4

a ) 1 x + 3 y + 2 2 = 0 , b ) 1 2 x + ) t t z = _ 2 .

| 3 x + y - z = 2 l 4 x + y _ 2 2 : 3

( t - r 2 l ( z r o l7 Da te l ema t r i c i A=10 1 3 i ea= i r 2 - 3 l , ca r co ra re :

[ r | 3) \ -2 o t )a) AB. BAb) detl, detB, det(AB), det(BA)c) A't. B' l

- 2 3 lIt - r i

7 ) )

Determinare il parametro kin modo che la ̂ ^rrr""(r) X Í'ì .,*,,,

[ - r 3 k )singolare.

sono date le matric ( o' a'l ( t' ó'l

' ' n =l-o, o',)

" u = [-4

-í,) 'suo'do che det(A'B) :

detA.detB,dimostrare che: (af * oiY|i *b:)= Q,b, - orbr'J * Qrb, + o,br'J .

Dare la matrici .r =(l 2l (s 7\

[, ì) , u =ll sJ , alrnot,rare che è AB*BA+A'B+AB'+

A'B'+B'A'(dovc A'indica la matrice trasposta di A),ma che il determinante diciascun prodotto è sempre 4.



( r 2 2 lt - - - - li 3 3 3 l| ) 1 î l

Data la matrice I ai 3 3 3 i ,i 2 2 I I( l - l

a )a) dimostrare che il minore complementare di ciascun elemento coincide con

I'elemento stesso;b) calcolare il determinante della matrice;c) determinare la matrice inversa di quella data.

Dimostrare che

l r - r - r z : 112 Risolvere il sistema: j ," - 3y +22 =2 , distinguendo i vari casi che possono

f - 4 x + 4 y + a z : apresentarsi al variare del parametro a.

13 Applicando la regola di cramer, risolvere il sistema di equazioni:

| * * y + z + t = 7

) , - y + z + t = 0

l x + y - z + t : - l

f " * y + z - t : o

14 Risolvere il sistema dell'esercizio precedente con il metodo matriciale visto nelparagrafo 8.

1 - 2 32 - 1 42 3 - 4

3 - 4 5

-41" l-]l = -roo.

- ì l" l6 l

t 0

l l

l r 0 _ 2 3 l

cur.oru,.., l] : i -]l

l ; ; ; ; iRisolvere i sistemi proposti nell'esercizio 3 con il metodo matriciale visto nelparagrafo 8.

t l15 Calcolare la matrice inversa della matri ce A =tt 2

\-tvalori del parametro a esiste.

o o ì

i I Precisando Per quali


22 Cap.1: Matricie determinanti

( t - 2 o l ( t 2 o l I , l ( z \16 sonodate lemarr ic i : n= lo -2 r l ,a= lo , ,1 , *= l t r l "u : I ; I(.-r | | (. ' ol 1",) [-'J

a) Risolvere il sistema(A.B)X: B.b) Si può dire che la matrice X, soluzione del sistema precedente, é anche

soluzione del sistema (B .AV: B?

17 Spiegare se è possibile affermare che la struttura (e,,,,,*, .), dove e,-,, éI'insieme delle matrici quadrate regolari, é una struttura di corpo noncommutativo o no.

18 Dimostrare che è nullo un determinante avente due righe o due colonne dielementi corrispondenti propor zionali.

19 Dimostrare le proprietà dei determinanti enunc iate apaginaT.

20 Determinare, nel piano xoy, il luogo dei punti per i quali risulta nullo ildeterminante:

l u - v - l it ' Il o x r ll - * ' Y 1 l

2l Determinare, al variare del param etÍo a,le soluzioni del seguente sistema lineareomogeneo:

l 2 x - a y * z = 0

\ x + 3 y * a z = 0

l x - 4 Y = Q

22 Per le affermazioni che seguono, dire quali sono vere e quali sono false,giustificandone la risposta (A e B sono matrici quadrate di ordine n):a) keR = det(fr1): lt detA.b) (deta : detB : 0) = det(l+B):0.c) {det(l+ B):0, det(A-B):0} = o defA: 0 o detB : 0.


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