1

Fluidi Due fasi: (a)  Fase liquida forma variabile ma volume invariante (o difficilmente modificabile)

I liquidi possono considerarsi incomprimibili a prima approssimazione. (b)  Fase gassosa forma e volume variabili. Riempiono il volume che occupano. Il comportamento dei fluidi dipende sempre, nell’ultima analisi, dalle leggi della meccanica ma la formulazione varia secondo la convenienza. Per ora, ci terremo alla descrizione macroscopica di fluidi continui , omogenei ed incomprimibili. Inizieremo con la

meccanica dei fluidi a quiete.

Statica dei fluidi

Si osserva che (1) un fluido esercita una forza su una superficie qualsiasi all’interno del fluido. (2)  La forza e’sempre la superficie (per un fluido a quiete). (3)  La forza e’ indipendente dell’orientamento della superficie. (4)  La forza e’ proporzionale all’area di superficie

⊥

2

In base a queste osservazioni, si definisce la pressione P in modo che:

PdAdFdA

dFP

=

=

ed attribuendo una direzione all’elemento di area,

Ad

Fd

chiusa. supeficie da e area di elementol' ˆˆ

uscentenndAAd

⊥

=

si puo’ esprimere l’elemento di forza agente (dall’esterno) sulla superficie in termini vettoriali:

APdFd

−=

Unita’ di pressione S.I. (M.K.S.) 1 Pascal (Pa) = 1 N/m2 c.g.s.: dyn/cm2 ( = ) Inoltre: 1 bar = 106 dyn/cm2 = 105 Pa

2101mN

n

3

Per stabilire come varia la pressione, si considerino le forze agenti su un elemento di fluido di sezione rettangolare e spessore infinitesimo dz.

superficie z0

z

dz dA

Fx(x) -Fx(x+dx)

Siccome l’mento e’ in equilibrio statico, e’ chiaro che le forze di pressione orizzontali devono equilibrarsi. Ad esempio, le forze agenti in direzione x, sugli elmenti di area verticali dA, devono essere uguali in modulo ed opposte in verso, qualsiasi siano le dimensioni orizzontali del nostro elemento . Questo implica che la pressione non varia in funzione delle coordinate nel piano orizzontale :

)0yP ottiene si nte,(Analogame =∂∂

Fz(z)

-Fz (z+dz)

La situazione e’ diversa per le forze esterne verticali perche queste comprendono, oltre alle forze di pressione, anche le forze gravitazionali, che corrispondono al peso dell’elmento, che puo essere considerato agente al proprio c.m. Segue dunque che, per l’equilibrio,

gdVdW ρ−=

dW

gdVdzzFzF zz ρ++= )()(ovvero che,

Legge di Stevino (in forma differenziale)

F(x) = P(x)dA = F(x + dx) = P(x + dx)dA = P(x)+ !P!x( )"

#$%dA&

!P!x = 0

:cioe'

)()( quindi e )()(

g - zP

gdzdPzPdzzPAdzgAdzzPAzP

ρ

ρ

ρ

=∂∂

−==−+

Δ+Δ+=Δ

!A

4

oppure

( )ifif zzgPP −−= ρ

Legge di Stevino

Con riferimento alla superficie,

P

0P

x

( )00 zzgPP −−= ρ

( )00 zzgPP −−=− ρ

e’ detta la “pressione differenziale

z

z0

rdSegue che, per calcolare la variazione di P tra due punti ( i ed f ), si tiene conto solo delle variazioni in spostamento verticale (indipendentemente dal cammino)

( )

( )if

z

z

z

zif

zzgP

dzgdzzPPPP

f

i

f

i

−−=Δ

−=∂

∂=−=Δ ∫∫

ρ

ρ

ir

fr

r

rd

dxdz

z

dove P0 e’ la pressione in superficie (es. La pressione atmosferica). Allora, P e’ detta la “pressione assoluta” e

5

Il barometro di Torricelli Si sa che:

( )ghP

yygPPρ

ρ

−=

−−=

0

00

e siccome

0=Pallora

ghP ρ=00Y

Y

0P

0=P

mercurio

Altre unita’ di pressione

Un “atmosfera (atm)”= la pressione esercitata da una colonna di mercurio a C, alta esattamente 76 cm. 1 “atm”= (13,5950 g/cm3)(980.665 cm/s2)(76.00 cm) = dyn/cm2

°0

610013.1 ×

2

25

dyn/cm 1333 Hg. mm 1 "" 1 013.1/10013.1==

=×

TorrbarmN

h

6

Tenuto conto della legge di Stevino, e’ facile dimostrare il principio dei vasi comnicanti:

a

b c Applicando la legge di Stevino ad un qualsiasi cammino tra a sul fondo ed un punto b in superficie ad uno dei vasi, si calcola che:

( )abab zzgPP −−=− ρ

Analogamente, per la differenza di pressione tra a ed un altro punto c in superficie al vaso comunicante, si ottiene

( )acac zzgPP −−=− ρAllora, posto che, essendo entrambi b e c a contatto con l’atomsfera,

Pb = Pc = P0Vale dire che,

( ) ( )acaaba zzgPzzgP −−=−− ρρ

e quindi che

cb zz =

z

7

E’ altrettanto facile interpretare la Legge di Pascal : “la pressione applicata ad un fluido e’ trasmessa, inalterata, a tutte le parti del fluido ed alle pareti del recipiente che lo contiene.

Si consideri, ad esempio, un fluido incomprimibile rinchiuso in un recipiente cilindrico da un pistone (leggero) sul quale e’ possibile applicare una pressione ΔP=F/A in aggiunta alla pressione atmosferica P0

P0

F

A

Inizialmente (prima di applicare la forza), la pressione P ad un punto generico e’ ( da Stevinio):

( )00 zzgPP −−= ρAumentando P0 di ΔP;

( )00' zzgPPP −−Δ+= ρ

ovvero

PPP Δ+='A questo risultato e’ sufficiente aggiungere che la pressione agisce ugualmente in tutte le direzioni

z

8

Il Principio di Archimede Un corpo immerso interamente o parzialmente in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato.

c.m.

c.s

La “spinta” (una forza verso l’alto) e’ la risultante di tutte le forze di pressione sulle pareti. Questa deve corrispondere al peso del fluido spostato agente al centro di spinta. Il “centro di spinta” e’ il centro di massa del fluido spostato. Questo non coincide generalmente con il c.m. del corpo ma deve allinearsi verticalmente col c.m. del corpo per evitare rotazioni.

c.g. c.s.=c.m(fluido). c.s.

Es. Equilibrio degli scafi c.g. e’ il centro di gravita’ dello scafo c.m. e’ il centro di massa del fluido Il volume d’acqua spostato e’ costante ma la sua forma cambia, e con essa, la posizione del c.m.

α

M M e’ il “metacentro”.Nel caso illustrato, la copia riporta all’equilibrio. Per equilibrio stabile, M deve essere sempre piu’ alto del c.g..

ττ

9

Es. Iceberg ( volume Vi , densita’ del ghiaccio ρi =0,92) giace , a quiete, nell’acqua (densita’ ρa =1,03). Si trovi la frazione immersa. Per l’equilibrio statico, dove le forze esterne agenti sull’iceberg sono il peso,

W

c.m. c.s.

S0

,=∑

iestiF

jgVjgMW iiiˆˆ ρ−=−=

che puo’ essere considerato agente al c.m. del iceberg, e la spinta

jgVS aaˆρ=

dove Va e’ il volume di acqua spostato. Anche la forza di pressione dell’acqua, distribuita su tutto la superficie dell’iceberg, puo’ essere considerata agente al centro di massa del fluido spostato, che viene detto il “centro di spinta , c.s.”, ed il c.s. deve collocarsi direttamente sotto il c.m. per un equilibrio stabile. Allora

gVgV aaii ρρ =e

9.003,192,0

===a

i

i

a

VV

ρρ

10

11

La dinamica dei fluidi ideali

),,,(),,,(),,,(

tzyxtzyxPtzyxv

ρ

Ognuna delle proprieta’( ) corrisponde ad un “campo”, cioe’ una funzione definita simultaneamente in ogni punto del fluido. Questo approcio (teoria dei campi) trova applicazioni ben al di la’ dei fluidi.

ρ,,Pve di assicurare che siano conformi con le leggi della fisica.

Generalmente, ci limiteremo considerare fluidi ideali, vale dire :continui, incomprimibili (ρ costante) e non-viscosi .

Per descrivere il moto in un fluido l’approcio piu’ consueto e’ quello di considerarne le proprieta’ macroscopiche (quelle accessibili ai nostri sensi), es

Se’ il moto e’ stazionario ( le proprieta’ non dipendono da t ) si possono definire linee di flusso nel modo seguente. Una linea di flusso e’ il percorso di ogni elemento di fluido che passa per un punto qualsiasi sulla linea.

p ⋅

12

Proprieta’ delle linee di flusso: dalla definizione segue che; La velocita’ del fluido e’ sempre tangenziale alla linea di flusso. Le linee di flusso non possono incrociarsi. Si puo’ definire un tubo di flusso con un insieme di linee di flusso passanti per una linea Chiusa che ne definisce la sezione ad un punto qualsiasi,

N.B. Segue dalle proprieta’ delle linee che lo costituiscono che le “pareti” di un tubo di flusso sono impermeabili

13

L’equazione di continuita’ corrisponde alla conservazione di massa Si consideri il segmento di un tubo di flusso sottile compreso tra le sezioni di area ΔA1 e ΔA2 : In un elemento di tempo , la massa del fluido che entra nel segmento passando per ΔA1 e’ dato da:

( )tvAVm ΔΔ=Δ=Δ 111111 ρρ

tΔ

Segue che la “portata di massa”;

1111 vAtm

Δ=Δ

Δρ

1AΔ

1VΔ

In modo analogo si ottiene la portata di massa uscente dal segmento di tubo attraverso ΔA2:

2222 vAtm

Δ=Δ

Δρ

2AΔ

Ma siccome la massa contenuta nel segmento di tubo e’ conservata (escludendo “fonti”e “pozzi”)

costante,

'

111222

21

=Δ

Δ=Δ

Δ=Δ

Avoppure

vAvAcioe

mm

ρ

ρρ

L’equazione di continuita’

tv Δ1

tv Δ2

14

Se il fluido e’ incomprimibile, l’equazione di continuita’ si riduce a: costante=ΔAv

AvΔ e’ detta la portata di volume.

Avdtdm Δ= ρ

viene anche chiamato il “flusso di massa” .

N.B. Se: 12 AA Δ>Δ (come nella figura) allora 12 vv <

Da questa osservazione si conclude che la densita’ delle linee di flusso varia direttamente con la velocita’ del fluido.

dove

15

L’equazione di Bernoulli corrisponde alla conservazione di energia meccanica. Pertanto, vale in assenza d’attrito (viscosita’)

1AΔ1xΔ

2xΔ

2AΔ1VΔ

2VΔ

1P

2P

y1

2y

Si consideri un tubo di flusso “sottile”. Il nostro “sistema” consiste nel fluido rinchiuso dalle superfici al flusso

21 e AA ΔΔ

Dall’equazione di continuita’: (conservazione di massa)

mxAxAoppure

mtvAtvA

Δ=ΔΔ=ΔΔ

Δ=ΔΔ=ΔΔ

222111

222111

ρρ

ρρ

e, per un fluido incomprimibile ( ) ρρρ == 21

VxAxA Δ=ΔΔ=ΔΔ 2211

Si consideri il lavoro compiuto sul sistema dalle forze esterne derivanti dalla pressione:

( ) VPPLcioexAPxAPL pp Δ−=ΔΔ−ΔΔ= 21222111 '

(N.B.!)Le forze di pressione sulle pareti laterali non compiono lavoro perche sono al flusso

1v

2v

⊥

⊥

16

Si consideri ora il lavoro compiuto dalle forze gravitazionali sul nostro sistema. Questo e’ :

( ) ( ) ) dell' variazione(g 1212 potenzialeenergiaUVyyyymgL gg −Δ−=Δ−−=−Δ−= ρ

La variazione di energia cinetica del sistema e’:

( )( ) Vvv

vvm

mvmvK

Δ−=

−Δ=

Δ−Δ=Δ

21

22

21

22

21

22

21

21

21

21

ρ

Dal teorema dell’energia dal cinetica ;

Lp + Lg = !K che corrisponde a Lp "!Ug "!K = 0

cioe’

( ) ( )

costante 21

021

21

021)(

2

21

221221

21

221221

=++

=+−+−−

=Δ−−Δ−−Δ−

gvgyP

quindi

vvgygyPP

oppure

VvvVyygVPP

ρρ

ρρρρ

ρρ

l’equazione di Bernoulli

17

caso particolare

Se v=0 (fluido statico)

2211 gyPgyP ρρ +=+oppure

( )2121 yygPP −−=− ρ La legge di Stevino

Si noti che tutti i termini nell’equazione di Bernoulli

costante 21 2 =++ vgyP ρρ

hanno unita’ di pressione.

gyP ρ+ Viene chiamata la “pressione statica”

2

21 vρ “ “ “ pressione dinamica”

NB! Infine, si noti che l’equazione di Bernoulli vale solo in assenza di forze dissipative (es. forze viscose)

18

e siccome A1>>A2 , v2>>v1. Ponendo si ottiene

101 ,, vPA

y

y1

y2 202 ,, vPA

Il teorema di Torricelli

Applicando l’equazione di Bernoulli alla superficie ( y=y1, sezione A1, pressione atmosferica P0 ) ed all’uscita del tubo di scarico (y=y2, sezione A2 << A1 e pressione sempre atmosferica P0 perche il fluido e’ a contatto con l’atmosfera) si ottiene:

2220

2110 2

121 vgyPvgyP ρρρρ ++=++

vale dire 222

211 2

121 vgyvgy ρρρρ +=+

Mentre, dall’equazione di continuita’, per fluido incomprimibile, si ottiene;

12

121122 vA

AvvAvA ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⇒=

01 ≈v2221 2

1 vgygy +≈

( )212 2 yygv −≈ Il teorema di Torricelli

19

h

A1 A2 v1

v2 P1 P2

strozzatura

Il venturimetro e’ una delle molte aplicazioni dell’equazione di Bernoulli

Serve a misurare la velocita’ dei fluidi ( o dello strumento rispetto al fluido in cui si muove). Comprende un condotto (area di sezione d’entrata A1) con strozzatura (area di sezione A2). L’entrata e la strozzatura sono collegati da un manometro contenente un fluido pesante ( densita’ ρ’ ). Per un fluido di densita’ ρ ed un’altezza media del condotto y1 (costante) , l’equazione di Bernoulli si riduce a;

y1

222

211 2

121 gvPgvP ρρ +=+

da cui P1 !P2 =

12! v2

2 ! v12( )

Ricordando che la differenza di pressione e’ misurata dal manomentro,

ghPP '21 ρ=−

si ottiene 12! v2

2 ! v12( ) = ! 'gh

e sfruttando l’equazione di continuita’

12

12

2211

vAAv

vAvA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

si ottiene

( )2221

22

1

212

2

21

'2

'121

AAghAv

ghvAA

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρρ

ρρ

ρ

ρ’

20

Insert tubo di pitot

Insert viscosita’ e flusso di fluidi viscosi in condotti?