1

MACCHINA SINCRONA. NOTA: la trattazione fa riferimento alla Macchina Sincrona (MS) Isotropa e Lineare. Solo alla fine si farà qualche cenno alla MS a poli salienti, e al caso di macchina non lineare.

PARTE I : STRUTTURA E PRINCIPI DI FUNZIONAMENTO

1. Generalità e caratteristiche costruttive. La macchina sincrona (MS) è una macchina elettrica rotante, funzionante in corrente alternata, chiamata sincrona perché la velocità di rotazione è la stessa del campo rotante. Come visto nello studio del Campo Rotante, tale velocità è:

0 2

rad

p s

oppure 120

of

N rpmp

dove p è il numero di poli della macchina, ω e f sono pulsazione e frequenza delle grandezze elettriche ai morsetti. La MS è costituita da due strutture magnetiche affacciate al traferro: - una è preposta a generare un campo magnetico stazionario, e per questo è chiamata induttore, o struttura di campo

(field, in inglese), o di eccitazione; questa struttura solitamente è interna, e solitamente è quella rotante (rotore); - l’altra struttura alloggia un avvolgimento in cui vengono indotte fem, e per questo è detta indotto; viene anche indicata

come armatura (armature, in inglese); questa struttura solitamente è esterna, e solitamente è stazionaria (statore). In relazione all’andamento della riluttanza del traferro, lungo la periferia del traferro stesso, le MS sono di due tipi: a riluttanza costante (MS Isotropa) o variabile (MS Anisotropa). In entrambe le tipologie, l’indotto è un cilindro ferromagnetico cavo, in cui la superficie interna (quella prospiciente al traferro) è dotata di cave, per alloggiare l’avvolgimento; di solito l’avvolgimento è trifase simmetrico, di norma collegato a stella, e presenta p poli (p è sempre pari).

L’induttore è conformato in modo da realizzare p polarità magnetiche alternate; p è uguale al numero di poli dell’avvolgimento di statore. Il campo magnetico è statico, per cui può essere creato o con magneti permanenti (MP), o con avvolgimenti percorsi da corrente continua. Più in dettaglio, le polarità magnetiche possono essere realizzate nei seguenti modi: 1) poli salienti con avv. concentrati, 2) poli lisci con avv. distribuiti, 3) MP superficiali (“surface), 4) MP interni (“interior”, “buried”, embedded”), 5) MP magnetizzati circonferenzialmente e inseriti come delle razze (“spoke”). Ricordando che la permeabilità di un MP è prossima a quella dell’aria, si comprende che le strutture 2) e 3) sono isotrope, le 1) 4) 5) anisotrope. La fig. 1.1 mostra uno schema di principio delle varie tipologie di induttore.

N

N N S

S S

polarità alternate

da realizzare

avvolg. concentrati

avvolg. distribuiti

MP superficiali (“surface” )

MP interni (“interior”)

MP a raggiera

(“spoke”) Fig. 1.1: strutture di principio per l’induttore di una Macchina Sincrona.

Si descrivono ora alcune caratteristiche delle MS in cui il campo è generato da un avvolgimento; in tali macchine, l’induttore è il rotore, per cui solitamente si fa riferimento al rotore. Le caratteristiche di dettaglio delle due tipologie di rotore sono le seguenti: rotore anisotropo (fig.1.2a): ciascun polo è costituito da una struttura magnetica a forma di parallelepipedo (corpo del polo) e termina con una espansione polare; per questo motivo, questo rotore viene detto “a poli salienti”. Il traferro compreso fra l'espansione e lo statore è variabile, aumentando dall'asse del polo verso entrambe le estremità dell'espansione, grazie alla sagomatura di quest'ultima. L’avvolgimento è di tipo concentrato, essendo ciascun corpo del polo avvolto con una bobina. A causa delle forze centrifughe che si sviluppano nella rotazione, questo tipo di struttura rotorica non è adatta per macchine che hanno velocità di rotazione elevata, cioè per macchine con basso numero di poli (N = 120*f/p, per cui a pari frequenza, la velocità aumenta al diminuire del numero di poli). rotore isotropo (fig.1.2b): è dotato di un avvolgimento distribuito, con i lati attivi disposti in cave ricavate su una porzione pari a circa 2/3 della superficie di rotore. Questa struttura è l’unica adeguata a macchine veloci, cioè a 2 o 4 poli . Viene anche detto liscio perché, trascurando la disuniformità dovuta alla presenza delle cave, il traferro tra statore e rotore è costante in tutti i punti della periferia della macchina.

Come visto nella parte di Introduzione alle Macchine Rotanti, gli accorgimenti costruttivi (limitazione dei conduttori a 2/3 del passo polare, nelle MS Isotrope, sagomatura dei poli nelle MS Anisotrope) sono finalizzati ad ottenere una distribuzione sinusoidale dell’induzione al traferro. Dato che l’induttore è il rotore, l’avvolgimento di eccitazione è in rotazione; per alimentarlo, ci sono due modalità: - tramite un sistema di anelli (solidali col rotore) e spazzole striscianti (fisse sullo statore);

1

2

- tramite una cosiddetta “eccitatrice statica”, cioè un sistema costituito da un piccolo generatore a MP, in cui l’induttore è sullo statore, e l’indotto è sul rotore; in serie all’indotto vi è un sistema di conversione statica CA-CC, in modo da ottenere una corrente continua che può alimentare l’induttore della MS; in tal modo, si riesce ad evitare l’impiego di spazzole e contatti striscianti (che danno problemi di usura e di scintillio).

Fig.1.2a. MS anisotropa a 4 poli. Fig. 1.2b. MS isotropa a rotore avvolto

Tornando a parlare delle MS in generale, sia nel caso di rotore liscio che nel caso di rotore a poli salienti esistono due particolari direzioni radiali che costituiscono assi di simmetria: asse polare (AP), o asse diretto, indicato solitamente con d: costituisce l'asse magnetico secondo il quale è diretto il flusso di un polo (quando sia percorso da corrente il solo avvolgimento induttore). A seconda che il flusso sia uscente o entrante dal polo di induttore si parla di asse polare Nord o Sud; asse interpolare (AI), o asse in quadratura, indicato solitamente con q: individua la bisettrice tra le direzioni di due assi polari adiacenti. Considerando che fra i due assi vi è metà polo, cioè 90° elettrici, si capisce che tali assi sono in quadratura elettrica (da qui il nome di asse in quadratura); ovviamente, in una macchina a 2 poli, fra tali assi vi è anche quadratura spaziale (cioè vi sono 90° meccanici), mentre in una macchina con p poli, l’angolo elettrico fra i due assi è sempre 90°, ma l’angolo meccanico è 90°*2/p .

dq

q

d q

q

Dal punto di vista della struttura magnetica, lo statore, in quanto interessato da un processo di magnetizzazione variabile nel tempo (campo magnetico rotante) è realizzato con lamierini (aventi spessore di 0,5 mm): i lamierini sono accostati fra loro con i piani di laminazione in senso perpendicolare all'asse della macchina. Il rotore, essendo eccitato in c.c. o a magneti permanenti, viene percorso da un flusso costante nel tempo: pertanto, in linea di principio esso può essere realizzato in materiale magnetico massiccio.

La MS può essere impiegata sia come motore, sia come generatore. Quando la MS è usata come generatore, prende il nome di alternatore. La cosiddetta “energia elettrica” viene appunto prodotta da alternatori connessi alla rete: l'alternatore eroga potenza elettrica attiva, a fronte di una potenza meccanica assorbita all'albero; si può anche verificare uno scambio di potenza reattiva, che può essere erogata (comportamento come condensatore) o assorbita (comportamento come induttore). Nella parte di Introduzione alle ME rotanti si è visto che la fem indotta in una spira ha sia la frequenza sia l’ampiezza proporzionale alla velocità relativa fra spira e campo rotante. È quindi chiaro che la frequenza della fem generata dipende dalla velocità di rotazione. Negli impianti di generazione tradizionale, in cui si può decidere la velocità di rotazione della macchina, gli alternatori sono connessi direttamente alla rete, e quindi il funzionamento avviene a frequenza e tensione (in valore efficace) costanti; negli impianti di generazione eolica, la velocità è imposta dal vento, quindi occorrono poi dei sistemi di conversione statica (basati su convertitori elettronici) per ottenere una tensione generata a frequenza e ampiezza costante (quella di rete). A tensione a frequenza di alimentazione costanti, l’impiego da motore non è molto diffuso, sia perché la velocità di rotazione sarebbe costante, sia perché tale motore non è in grado di auto avviarsi. In particolare, per l’avviamento è necessario ricorrere ad uno dei seguenti sistemi:

impiego di una gabbia di scoiattolo (detta “gabbia di smorzamento”), del tutto simile a quella delle macchine asincrone, che consente l’avviamento asincrono; la macchina poi si sincronizza (“prende il passo”);

impiego di un motore di lancio (cioè un motore che accelera il rotore fino alla velocità di sincronismo, dopo di che essa è in grado di continuare a ruotare da sola, producendo o assorbendo coppia meccanica).

L’introduzione di convertitori elettronici, in grado di regolare a piacere la tensione e la frequenza di alimentazione, ha consentito la rapida diffusione di questi motori. Infatti, la regolazione della tensione e della frequenza ha permesso l’avviamento e la regolazione di velocità in un ampio campo; la macchina prende il nome di servomotore, e il sistema macchina + convertitore + sistema di controllo costituisce un azionamento elettrico (in inglese: drive); in questo caso, l’avviamento è effettuato aumentando gradualmente la frequenza, partendo da valori molto bassi via via crescenti.

2

3

Oggi, solo i motori sincroni di grossa potenza hanno eccitazione generata da un avvolgimento in cc: la maggior parte dei motori sincroni in bassa e media potenza ha eccitazione fornita da magneti permanenti (MP): tali motori sono detti A.C. BrushLess (proprio per l’assenza del sistema di anelli e spazzole) e sono sempre alimentati da convertitore. In questa dispensa si presenteranno proprietà e caratteristiche di funzionamento di MS utilizzate sia per funzionamento a tensione e frequenza costante, sia per alimentazione da convertitore. Come anticipato, si supporrà la macchina isotropa e lineare (si fa l’ipotesi che la permeabilità del circuito ferromagnetico sia infinita). Inoltre, si considereranno MS in cui l’induttore è il rotore. Infine, per l’introduzione del funzionamento, si farà rifermento al funzionamento da motore.

NOTA SULLE CONVENZIONI. Quando si passa dalle convenzioni dei generatori a quelle degli utilizzatori, a pari convenzione di misura della tensione e della f.e.m. si rovescia la convenzione di misura delle correnti, delle f.m.m. e dei flussi; per questo motivo, si assume che il fasore elettricof ed il vettore

spaziale Φ f

, rispetto al fasore f.e.m.Ef sono in quadratura in anticipo nel funzionamento da

generatore, ed in ritardo nel funzionamento da motore; ciò corrisponde ad utilizzare la relazione

ωE j per il funzionamento da motore e ωE j per quello da generatore.

Ef

f

GEN

Φ f

Ef

f

MOT

Φ f

Angolo di carico . É l’angolo compreso fra fasore f.e.m.Ef e fasore tensione di faseVf

(oppure, che è lo stesso, fra vettore spaziale Φ f

e vettore spaziale flusso concatenato di

statore s

, vettore non considerato in questa dispensa). Per quanto riguarda il verso, lo si

considera positivo daVf versoEf , in modo che nel funzionamento da generatore si abbiano potenza e quindi coppia positive.

Ef Vf

δ Ef

Vf δ

Angolo di coppia γ. É l’angolo fra i fasori spaziali aI

ed fI

, cioè l’angolo fra le f.m.m. di

statore e rotore. Per quanto riguarda il verso, lo si considera positivo da fI

verso aI

, in modo

che nel funzionamento da motore si abbiano potenza e quindi coppia positive.

γ fI

aI

γ

fI

aI

Si fa notare che le convenzioni adottate sono tali che la posizione dei vettori spaziali nel piano complesso corrisponde alla posizione fisica delle f.m.m. della macchina: ciò è fondamentale per cogliere la realtà fisica di campi e coppie. NOTA su N° FASI e N° POLI In una macchina reale ci sono 3 fasi e p poli, quindi ci sono 3 famiglie di fasori elettrici (sfasate di 120° elettrici) e p famiglie di vettori spaziali (sfasati di 360/p ° meccanici). Ma per cogliere le relazioni fra fasori elettrici e vettori spaziali, occorre che ci siano solo 1 famiglia di fasori elettrici ed 1 di vettori spaziali. Per avere una sola famiglia di vettori spaziali, si considera una macchina a 2 poli: ecco perché tutta la trattazione sarà effettuata su una macchina a 2 poli. Per avere una sola famiglia di fasori elettrici, bisognerebbe considerare il fasore di Park, perché la sua espressione mostra che esso tiene conto di tutte le 3 fasi; d’altra parte, si è visto che, con un’opportuna scelta dei riferimenti, i vettori di Park sono allineati con le corrispondenti grandezze della prima fase di statore: ecco perché tutta la trattazione sarà effettuata considerando solo le grandezze della prima fase di statore. NOTA sulla NOTAZIONE. In tutta la trattazione: - il pedice f indica le grandezze della struttura di campo (da inglese field) o di eccitazione, cioè dell’induttore; unica eccezione, il simbolo V f , che indica la tensione di fase; - il pedice a indica le grandezze della struttura di armatura, non le grandezze della “fase a”. Bibliografia [1] S.Crepaz, Macchine Elettriche, CLUP, 1976 [2] Perini, Di Gerlando, Dispensa di Macchine Elettriche, 2008, in rete. [3] Manigrasso, Macchine Elettriche, CUSL, 2000. [4] Manigrasso, Mapelli, Mauri, Azionamenti Elettrici, Pitagore Editrice Bologna, 2007. [5] Hendershot, Miller, Design of BLPM Motors, Magna Physics Publications – Clarendon Press Oxford, 1994. [6] Slemon, Straughen, Electric Machines, Addison Wesley, 1980

3

4

2. Funzionamento con solo induttore percorso da corrente (funzionamento a vuoto). Il funzionamento di una MS con solo induttore percorso da corrente è detto funzionamento a vuoto. Questa condizione di funzionamento è già stata descritta nella parte di Introduzione alle Macchine Rotanti; si richiamano gli elementi fondamentali. Tutte le grandezze hanno qui il pedice f (da inglese field). Il funzionamento a vuoto si realizza lasciando aperto l'avvolgimento di armatura, mantenendo in rotazione il rotore a velocità costante ed alimentando con corrente continua l'avvolgimento dell'induttore. Tale corrente, detta corrente di eccitazione o di campo If , genera un campo magnetico al traferro che, in quanto prodotto dal rotore, è solidale con esso

e ruota con la stessa velocità 0 [rad/s] del rotore rispetto allo statore; la “velocità elettrica” è = 0 p/2. L’avvolgimento induttore è percorso da una corrente continua di valore If. Se il numero di spire per polo è Nf, la corrente If genera una f.m.m. Mf = Nf If.

La f.m.m. Mf genera un’induzione di valore massimo oμδf fB M .

Tramite accorgimenti vari, si fa in modo che la distribuzione spaziale dell’induzione sia sinusoidale; tale distribuzione

genera un flusso del polo oδ

μ2 2τ τ Λπ π δf f f fB M M .

Oltre al vettore spaziale flusso di poloΦ f

(che, si ricorda, ha moduloΦ f ed è allineato con l’asse del polo) , si possono

definire i vettori spaziali fI

fM

fB

, tutti in fase con Φ f

.

Il flusso di polo Φf si concatena con ciascuna spira dell’avvolgimento di armatura, dando un flusso concatenato di spira, di valore rms Ψfsp = Φf / √2 .

Al flusso Ψfsp si associa un fasore elettricoΨfsp , che si è visto essere in fase con il vettore spaziale flusso del poloΦ f

.

Il flusso Ψfsp induce in ciascuna spira un f.e.m. di valore rms Efsp = Ψfsp ; alla f.e.m. Efsp si associa un fasore f.e.m. Efsp , che (considerando il funzionamento da motore, e quindi adottando come legame flusso-f.e.m. la regola della mano sinistra) risultaEfsp = j Ψfsp , cioè risulta in quadratura in anticipo rispetto al fasoreΨfsp , e quindi rispetto al

vettore spaziale flusso del poloΦ f

.

Le considerazioni fatte per una spira si applicano anche all’intero avvolgimento di fase di armatura: esiste un flusso totale concatenato con l’avvolgimento Ψf , a cui si associa un fasoreΨf , che è in fase con il vettore spaziale flusso del

poloΦ f

; il fasoreΨf induce nell’avvolgimento una f.e.m. risultante Ef , cui si associa un fasore f.e.m.Ef = j Ψf ,

che risulta in quadratura in anticipo rispetto al fasoreΨf , e quindi rispetto al vettore spaziale flusso del poloΦ f

.

Per quanto riguarda i moduli, si è visto che Ef = fa U/2 Efsp = fa U/2 Φf / √2 = Ψf .

Quindi, ai vettori spaziali fI

fM

fB

Φ f

, si aggiungono i fasoriΨf (in fase con i vettori spaziali precedenti), edEf

(in quadratura in anticipo rispetto ai vettori spaziali precedenti). Dato che i 3 avvolgimenti di armatura sono sfasati tra loro di 120° nello spazio, le 3 f.e.m. indotte sono fra loro sfasate di 120° nel tempo, ma come detto si decide di rappresentare le sole grandezze (f.e.m. , tensione e corrente) relative alla prima fase; le altre fasi sono interessate dalle medesime grandezze ma sfasate di 120° e 240° nel tempo rispettivamente. Il diagramma vettoriale di questa condizione di funzionamento è rappresentato in fig. 2.1: come giusto, il vettore

spaziale Φ f

è allineato con l’asse magnetico dell’avvolgimento di eccitazione (in questo caso, posto sul rotore).

Si osservi che, a vuoto, la tensione di fase dell’avvolgimento statorico Vf0 è pari alla f.e.m. Ef , per cui la legge alla

maglia del circuito statorico risulta Vf0 =Ef . Caratteristica di magnetizzazione Si consideri la caratteristica di magnetizzazione Φf ( Mf ) , cioè il legame tra flusso f e f.m.m. Mf di eccitazione. Dalle relazioni precedenti si riconosce che, a velocità costante, l’ampiezza della f.e.m. di fase Ef è proporzionale al

flusso f e la fmm Mf è proporzionale alla corrente di eccitazione If ; dunque, la caratteristica di magnetizzazione rappresenta anche il legame tra l’ampiezza della f.e.m. di fase e la corrente di eccitazione: Ef = Ef (If ) . Questa caratteristica può essere desunta sperimentalmente, da una prova a vuoto, in cui si alimenta l’induttore, lo si pone in rotazione a velocità costante, e si misura la fem indotta nell’avvolgimento di armatura Ef , al variare della corrente di eccitazione If . Nel caso di macchina trifase (che è il più frequente), si considera non la f.e.m. di fase, ma la f.e.m. concatenata (che è √3 volte superiore); inoltre, nel funzionamento a vuoto, tale f.e.m. coincide con la tensione ai morsetti, per cui si parla di tensione a vuoto V0 ; la caratteristica di magnetizzazione presenta dunque V0 = √3 Ef in funzione di If (fig. 2.2). Nell’ipotesi assunta di macchina lineare, la caratteristica viene chiamata caratteristica di traferro, e il legame tra l'ampiezza della f.e.m. Ef e l'ampiezza della corrente di eccitazione If è un semplice coefficiente di proporzionalità Kf :

4

5

Ef = fa U/2 Efsp = fa U/2 Φf / √2 = fa U/2 Λδ Mf / √2 = fa U/2 Λδ Nf If / √2 = Kf If

2 2

f a fK f U N

.

Nella realtà, la macchina non è lineare, perché la permeabilità del ferro non è infinita; questo comporta che il legame fra f = Λδ Mf si modifica in f = Mf / ( 1/ + 1/fe ), dove fe è la permeanza del circuito magnetico in ferro, non

lineare. Ne segue che la caratteristica di magnetizzazione si piega, con andamento analogo alla caratteristica B(H) dei materiali ferromagnetici (fig. 2.2).

fM

fI

Ef

f

fB

f

Fig.2.1: diagramma vettoriale del funzionamento a vuoto.

caratteristica di traferro

caratteristica reale

If

Vo =√3 Ef

Fig.2.2: caratteristica di magnetizzazione.

3. Funzionamento con solo indotto percorso da corrente. Si supponga ora che, con il rotore in movimento con velocità angolare meccanica 0 , l'avvolgimento di rotore non sia alimentato, mentre quello trifase di statore sia alimentato mediante un sistema trifase equilibrato di correnti sinusoidali di valore efficace Ia . Anche questa condizione di funzionamento è già stata descritta nella parte di Introduzione alle Macchine Rotanti; si richiamano gli elementi fondamentali. Le grandezze hanno qui il pedice a (da inglese armature). NOTA: in tutta la trattazione, il pedice a significa “armatura” non “fase a”. La pulsazione delle correnti di alimentazione degli avvolgimenti di statore sia tale che la f.m.m. ruoti con una velocità meccanica uguale a quella di rotazione del rotore 0 : in una macchina a 2 poli, = 0 ; in generale = 0 p / 2 .

Il sistema di correnti genera una f.m.m. (a distribuzione spaziale sinusoidale) di ampiezza 3 2

a a a M aU

M f I K Ip

.

La f.m.m. Ma genera un’induzione (anch’essa a distribuzione spaziale sinusoidale) di valore massimo oμδa aB M .

Tale distribuzione genera un flusso del polo oδ

μ2 2τ τ Λπ π δa a a aB M M .

Come visto, si definiscono i vettori spaziali aM

aB

Φa

, tutti in fase fra loro, ed in fase con il fasore corrente della

prima faseIa ; si definisce anche il vettore spaziale aI

, detto vettore di Park, che riassume le proprietà di aM

edIa .

Dato che si ha un campo rotante, tutti i ragionamenti fatti per flusso concatenato e f.e.m. (di spira e di avvolgimento), riferiti all’avvolgimento di eccitazione, possono essere qui ripetuti per l’avvolgimento di armatura. In particolare, esiste un flusso totale concatenato con l’avvolgimento Ψr , a cui si associa un fasoreΨr , che è in fase con il vettore spaziale

flusso del poloΦa

; il fasoreΨr induce nell’avvolgimento una f.e.m. risultante Er , cui si associa un fasore f.e.m.

Er = j ωΨr , che (sempre considerando il funzionamento da motore) risulta in quadratura in anticipo rispetto al

fasoreΨr , e quindi rispetto al vettore spaziale flusso del poloΦa

. Per quanto riguarda i moduli, Er = fa U/2 Er.spira = fa U/2 ω Φa / √2 = ω Ψr .

Quindi, ai vettori spaziali aM

aB

Φa

aI

, si aggiungono i fasoriΨr (in fase con i vettori spaziali precedenti), edEr

(in quadratura in anticipo rispetto ai vettori spaziali precedenti); dato che sia il fasore elettricoIa , sia il fasore elettrico

Ψr sono in fase con i vettori spaziali definiti, risulta che Ia e Ψr sono in fase fra loro. Dato che i 3 avvolgimenti di armatura sono sfasati tra loro di 120° nello spazio, le 3 f.e.m. indotte sono fra loro sfasate di 120° nel tempo, ma come detto si decide di rappresentare le sole grandezze (f.e.m. , tensione e corrente) relative alla prima fase; le altre fasi sono interessate dalle medesime grandezze ma sfasate di 120° e 240° nel tempo rispettivamente. Il diagramma vettoriale di questa condizione di funzionamento è rappresentato in fig. 3.2a ; si ricorda che, nel caso di un avvolgimento trifase, il riferimento spaziale è l’asse magnetico della prima fase di armatura. Nell’ipotesi di macchina lineare, dalle relazioni precedenti si riconosce che la f.e.m. di armatura Er è proporzionale alla corrente di armatura Ia ; il coefficiente di proporzionalità è detto reattanza di reazione Xr :

2 2 2 2 2 2a a M a

r a a a r aM K I

E f U f U f U X I

.

5

6

Si riconosce che Xr ha la tipica forma di una reattanza ( N2 ):

2 2M

r aK

X f U

3 2

M aU

K fp

2( )3 2 3

22 2a

r a af UU

X f U fp p

.

Nell’espressione di Xr si osservi che Λδ è la permeanza del circuito magnetico visto da una fase di armatura, ma Xr rende ragione dell’effetto del campo risultante trifase; la cosa è possibile perché Λδ è poi moltiplicata per KM, che è il rapporto fra la fmm trifase e la corrente di fase. Dato che, come detto, il fasore correnteIa è in fase con il fasore flusso concatenatoΨr , fasorialmente si può

scrivereEa = j XrIa , come se il fasore Ea fosse associato alla sola corrente Ia (si osservi che la cosa non è

scontata, perché Ψr è il flusso dovuto all’insieme delle 3 fasi, mentre Ia è la corrente di 1 fase).

Oltre al campo rotante aM

, la correnteIa dà anche origine ad un flusso di dispersione Φℓ (pedice ℓ dall’inglese

leakage), cioè un flusso che si concatena solo con l’avvolgimento statorico e non attraversa il traferro: tale flusso ha due componenti principali, cioè il flusso disperso in cava e quello intorno alle teste di matassa (Fig. 3.1). Tale flusso è proporzionale alla f.m.m. Ma tramite una permeanza di dispersione Λℓ : Φℓ = Λℓ Ma . Il flusso Φℓ si concatena con l’avvolgimento di armatura, dando luogo ad un flusso concatenato di dispersione Ψℓ . Dato che le correnti sono variabili nel tempo, anche Ψℓ varia nel tempo, quindi induce nell’avvolgimento di armatura una f.e.m. di dispersione Eℓ , il cui modulo sarà Eℓ = ω Ψℓ . Procedendo in modo analogo a come fatto per Xr , si riconosce che Eℓ è proporzionale a Ia , e si può quindi definire una reattanza di dispersione Xℓ tale che Eℓ = Xℓ Ia .

a)

ROTORE CONDUTTORI

STATORE DENTATO FLUSSO DI DISPERSIONE

b) Fig. 3.1: illustrazione schematica del flusso disperso in cava (a), attorno alle teste di matassa (b).

A questo punto, si può definire un unico flusso di armatura Ψa dato dalla somma di Ψr e Ψℓ , un’unica f.e.m. di armatura Ea , data dalla somma di Er ed Eℓ , ed un’unica reattanza di armatura, data dalla somma di Xr ed Xℓ ; tale reattanza prende il nome di reattanza sincrona Xs : Ea = Er + Eℓ = (Xr + Xℓ ) Ia = Xs Ia .

Passando ai fasori, dato che le reattanze sono quantità scalari, i tre fasori Ea Er Eℓ sono tutti in fase fra loro, ed in

quadratura rispetto al fasore correnteIa (fig. 3.2b).

Si osserva che, in tale condizione di funzionamento, la tensione di fase dell’avvolgimento statorico Vf è la somma

della f.e.m. Ea e della caduta sulla resistenza Ra del circuito di armatura, per cui (considerando il funzionamento da

motore) la legge alla maglia del circuito statorico risultaVf =Ea + RaIa = (Ra + j Xs )Ia . Si fa inoltre notare che la sovrapposizione delle f.e.m. deriva dalla sovrapposizione dei flussi, e ciò è lecito solo nell’ipotesi di linearità della macchina; si analizzerà più avanti come operare nel caso reale di macchina non lineare.

aB

Ia

Err

a

aI

aM

a

Ea

Er

Eℓ

aB

Ia a

a

aI

aM

a

Fig. 3.2: diagramma dei vettori nel funzionamento con solo indotto percorso da corrente

6

7

4. Funzionamento a carico. Nel funzionamento a carico sono percorsi da corrente sia l'avvolgimento di eccitazione che gli avvolgimenti di armatura. Si tratta allora di sovrapporre le due condizioni di funzionamento analizzate precedentemente, considerando che, essendo il circuito di armatura unico, la legge alla maglia risultaVf =Ef ± (Ea + RaIa ) =Ef ± (Ra + j Xs )Ia Leggi alla maglia. L’espressione precisa della legge alla maglia dipende dal tipo di funzionamento (motore o generatore), a cui sono associate precise convenzioni di segno (utilizzatore o generatore). In particolare:

- se si considera il funzionamento da generatore, si adotta la convenzione dei generatori (corrente uscente dove punta la tensione), e la legge alla maglia risulta Ef =Vf + (Ea + RaIa ) =Vf + (Ra + j Xs )Ia .

- se si considera il funzionamento da motore, si adotta la convenzione degli utilizzatori (corrente entrante dove punta la tensione), e la legge alla maglia risulta Vf =Ef + (Ea + RaIa ) =Ef + (Ra + j Xs )Ia ;

Circuiti equivalenti. A queste leggi si possono associare i circuiti equivalenti di Fig. 4.1, in cui sono rappresentate tutte le 3 fasi statoriche, supposte collegate a stella, con centrostella accessibile.

Ef j XsIa

IaXs Vf Pelett

RaIa

Ef j XsIa

IaXs Vf Pelett

RaIa

Fig.4.1: Circuiti equivalenti nel funzionamento da generatore (a) e motore (b)

Diagrammi fasoriali. Rappresentando graficamente le leggi alla maglia si ottengono i diagrammi fasoriali. Prima di vedere i diagrammi, si definiscono i seguenti angoli: - angolo dalla correnteIa verso la tensioneVf : è il solito angolo del fattore di potenza (si ricorda che -90°<<90°);

- angolo dalla tensioneVf verso la femEf : è detto angolo di carico;

Considerato che la correnteIa può essere in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione Vf , si hanno 2 possibilità per ciascuno dei due funzionamenti (motore e generatore). Ricordando il comportamento in regime sinusoidale dei carichi L e C, si ha che: - per un generatore (con le convenzioni dei generatori), corrente in ritardo ( > 0) significa che il generatore vede un carico L (il generatore eroga Q, assorbita dal carico L), e corrente in anticipo ( < 0) significa che il generatore vede un carico C (il generatore assorbe Q, erogata dal carico C); - per un motore (con le convenzioni degli utilizzatori), corrente in ritardo ( > 0) significa che il motore si comporta da carico L (cioè, assorbe Q), e corrente in anticipo ( < 0) significa che il motore si comporta da carico C (cioè, eroga Q). A questo punto, considerato che la cdt j XsIa è in quadratura in anticipo sulla correnteIa , e tenuto conto della legge alla maglia, i diagrammi fasoriali sono quelli mostrati in fig. 4.2, in cui, per semplicità, si è trascurata la c.d.t. sulla resistenza di armatura. In particolare si osserva che, nell’ipotesi assunta di trascurare la resistenza di armatura, si ha che: - nel generatore si ha sempreEf in anticipo rispetto aVf (quindi > 0), mentre nel motore si haEf in ritardo rispetto

aVf (quindi < 0); - in entrambi i funzionamenti (motore o generatore), se la macchina eroga Q, si dice che la macchina lavora in sovraeccitazione, mentre se assorbe Q, e si dice che lavora in sottoeccitazione. La costruzione è nota storicamente sotto il nome di costruzione di Behn-Eshemburg o costruzione dell'unica reattanza; si fa notare che l’utilizzo della reattanza sincrona è associato all’ipotesi di caratteristica di magnetizzazione lineare della macchina (la sovrapposizione delle f.e.m. deriva dalla sovrapposizione dei flussi, e ciò è lecito solo nell’ipotesi di linearità), per cui la costruzione di Behn-Eshemburg è valida solo nell’ipotesi di linearità magnetica. Diagrammi vettoriali. Per una rappresentazione completa, e per una migliore comprensione fisica del funzionamento della macchina, occorre introdurre nei diagrammi fasoriali precedenti i vettori spaziali della macchina, e la sezione assiale della macchina.

Per quanto riguarda i vettori spaziali, si ricorda che i vettori spaziali fI

fM

fB

Φ f

sono in fase con il fasoreΨf , e i

vettori spaziali aM

aB

Φa

aI

sono in fase con il fasore corrente di armatura aIa.

Occorre ricordare che, quando si passa dalle convenzioni dei generatori a quelle degli utilizzatori, a pari convenzione di misura della tensione e della f.e.m. si rovescia la convenzione di misura delle correnti, delle f.m.m. e dei flussi; questo comporta che, se per gli utilizzatori si considera e = p ed E = j , per i generatori si deve considerare e = -

p ed E = - j ; come conseguenza, il vettore spaziale f

ed il fasore elettricoΨf , rispetto al fasoreEf sono

in quadratura in anticipo nel funzionamento da generatore, ed in ritardo nel funzionamento da motore.

7

8

E’ anche utile definire un nuovo angolo, cioè l’angolo dalla f.m.m. fm

verso la f.m.m. aM

: è detto angolo di coppia,

e nel funzionamento da generatore si ha + + + 90 = 0, mentre nel funzionamento da motore + + - 90 = 0. I diagrammi vettoriali risultanti sono mostrati in fig. 4.3 in cui ancora, per semplicità, si è trascurata la c.d.t. sulla resistenza di armatura. In particolare si osservi che, nell’ipotesi assunta di trascurare la resistenza di armatura, nel

funzionamento da generatore si ha sempre fm

in anticipo rispetto a aM

(quindi < 0), mentre nel motore si ha fm

in

ritardo rispetto a aM

(quindi > 0). Per quanto riguarda la sezione assiale della macchina, si ricorda che 1) il vettore spaziale flusso di polo di

eccitazioneΦ f

è sull’asse magnetico dell’avvolgimento di eccitazione; 2) con le convenzioni solite (ossia il riferimento

spaziale per la fmm è l’asse magnetico della fase a, l’istante t = 0 è quello in cui è massima la corrente nella fase a), nell’istante t = 0 il fasore corrente si trova allineato con l’asse magnetico della fase a; la situazione è mostrata in fig. 4.4. Si fa notare che, dato che i fasori ruotano in senso antiorario, anche i vettori spaziali devono ruotare in tale verso, e

quindi anche il rotore (con cui è solidale il vettore spaziale flusso di eccitazione Φ f

)

IL

Vf Q

φ

Vf

IL

IC

Vf Q

φ

Vf

IC

φ

Ef

j XsIa

Vf

Ia

GEN con carico L

δ

φ

GEN con carico C

δEf

j XsIa

Vf

Ia

φ

MOT si comporta da L

δ

Ef

j XsIa

Vf

Ia

φ

MOT si comporta da C

δ

Ef

j XsIa

Vf

Ia

Fig. 4.2: diagrammi fasoriali nei 4 possibili modi di funzionamento

φ

Ef

j XsIa

Vf

GEN con carico L

δ

aM

Ia

a a

fm

f f γ

fI

aI

φ

GEN con carico C

δ

Ef

j XsIa

Vf

aM

Ia

a a

fm

f f

γ

fI

aI

φ

MOT si comportacome L

δ

Ef

j XsIa

Vf

aM

Ia

aa

fm

f f

γ fI

aI

φ

MOT si comporta come C

δ

Ef

j XsIa

Vf

aM

Ia

aa

fm

f fγ

fI

aI

Fig. 4.3: diagrammi vettoriali nei 4 possibili modi di funzionamento

Ef

jXsIa

Vf

GEN con carico L

Ia a

f

a

Ef

jXsIaVf

GEN con carico C

Ia a

f

a

MOT si comporta come L

Ef

jXsIa

Vf

Ia a

f

a

MOT si comporta come C

Ef jXsIa

Vf

Ia a

f

a

Fig. 4.4: diagrammi vettoriali nei 4 possibili modi di funzionamento, nella sezione di macchina, nell’istante t = 0

8

9

5. Coppia Coppia e caratteristica meccanica. Dai diagrammi vettoriali precedenti si ricavano le espressioni delle potenze attive e reattive; dall’espressione della potenza attiva si ricava poi la coppia: P = 3 Vf Ia cos Q = 3 Vf Ia sin( ) C = P / o = 3 Vf Ia cos / o Si deduce che la caratteristica meccanica della MS (cioè il legame fra coppia e velocità di rotazione) è costituita da un segmento verticale nel piano C – , spiccato in corrispondenza all'ascissa = 0. Si noti che questa caratteristica meccanica è la medesima, sia nel funzionamento della macchina come generatore che nel funzionamento come motore.

C

o

CMAX

-CMAX Osservazioni sul verso delle coppie Ricordando il principio di allineamento (se due strutture ferromagnetiche libere di ruotare sono sede di f.m.m., il sistema si porta nella posizione di allineamento delle f.m.m.), è agevole ricavare il verso della coppia che agisce sulla

struttura mobile (cioè sul vettore spaziale fm

): il verso è tale da allineare le due f.m.m., col percorso minimo.

Riconsiderando allora i diagrammi vettoriali di fig. 4.2 (riportati in fig. 5), si ha che:

- per il principio dell’allineamento, il verso della coppia elettromagnetica Cef agente su fm

è quello dell’angolo γ ;

- per il principio di azione e reazione, il verso della coppia elettrom. Cea agente su aM

, cioè sullo statore, è opposto;

- per il bilancio dinamico, il verso della coppia meccanica Cm agente su fm

è opposto alla coppia elettrom. Cef (e

quindi è concorde con il verso della coppia elettrom. Cea ). Il verso della coppia meccanica Cm è coerente con l’analisi dinamica della macchina: infatti, come precedentemente osservato, il rotore ruota in senso antiorario, e si riconosce che in un generatore, la coppia meccanica è motrice, quindi concorde con la velocità di rotazione , mentre in un motore, la coppia meccanica è resistente, quindi opposta alla velocità di rotazione .

Dall’analisi, si conclude che in un generatore, fm

trascina aM

, mentre in un motore è l’opposto.

φ

Ef

j XsIa

Vf

GEN con carico L

δ aM

fm

γ Cef

Cm

Cea

φ

GEN con carico C

δ

Ef

j XsIa

Vf

aM

fm

γ Cef

Cm

Cea

φ

MOT si comportacome L

δ

Ef

j XsIa

Vf

aM

fm

γ Cef

Cm

Cea

φ

MOT si comporta come C

δ

Ef

j XsIa

Vf

aM

fm

γ Cef

Cm

Cea

Fig. 5: diagrammi vettoriali nei 4 possibili modi di funzionamento e coppie agenti.

9

10

PARTE II: FUNZIONAMENTO A FREQUENZA E TENSIONE COSTANTE: FUNZIONAMENTO DA GENERATORE COLLEGATO AD UNA RETE DI POTENZA PREVALENTE,

CHE IMPONE TENSIONE E FREQUENZA Le MS che lavorano a frequenza e tensione costante sono principalmente usate come generatori, e prendono il nome di alternatori; salvo rari casi in cui tali macchine alimentano dei sistemi isolati (“funzionamento in isola”), esse sono collegate ad una rete elettrica di potenza prevalente, che presenta un sistema trifase simmetrico di tensioni di sequenza diretta con frequenza ed ampiezza costanti pari a quelli nominali di macchina, e tali valori sono imposti alla macchina. 6. Coppia, procedura di parallelo e modi di funzionamento Espressioni di potenze e coppia. Partendo dai diagrammi vettoriali di fig.4.2, si possono ottenere le espressioni della potenza attiva e reattiva, e dalla potenza attiva ricavare la coppia. Proiettando sul fasore tensione di armaturaVf e sulla retta ad esso ortogonale, si osserva che (Fig. 6.1): Ef sin (δ) = Xs Ia cos( ) , Ef cos (δ) = Vf + Xs Ia sin( ) =>

Ia cos = Ef sin (δ) / Xs e Ia sin( ) = ( Vf - Ef cos (δ) ) / Xs =>

P = 3 Vf Ia cos = 3 Vf Ef sin (δ) / Xs

Q = 3 Vf Ia sin( ) = 3 Vf ( Vf - Ef cos (δ) ) / Xs =

= 3 Vf 2 / Xs - 3 Vf Ef cos (δ) / Xs

C = P / 0 = 3 Vf Ef sin (δ) / ( Xs 0 ) .

Ricordando il segno di , si verifica quanto precedentemente affermato (a proposito delle convenzioni): con la scelta effettuata, la coppia di un generatore è positiva (mentre è negativa quella di un motore).

φ

Ef

Xs Ia cos φ

Vf

δ

aM

Ia

aa

fm

f f

γ

φ Xs Ia sin φ

fI

aI

Fig. 6.1: diagramma vettoriale cui riferirsi per visualizzare le

espressioni delle potenze e della coppia

Un procedimento alternativo per valutare le potenze consiste nel valutarla potenza apparente complessa, a partire dalle espressioni vettoriali delle grandezze. PostoVf = Vf eE f = Ef ·exp(j) = Ef cos() + j Ef sin() , dalla legge alla

magliaE f =V f + j XsIa ,si ricava l’espressione del fasore corrente Ia = ( E f -V f ) / j Xs . Valutando la potenza apparente complessa si ritrovano le espressioni precedenti di P e Q:

cos( ) sin( ) 33 3 3 sin( ) cos( )

f f f f f ff a f f f f f

s s s

E V E jE V VA V I V V E j E V P jQ

jX jX X

Dalle espressioni precedenti si desume che, nel funzionamento a tensione e frequenza costanti, la coppia massima si ha per sin (δ)=1, cioè δ = 90°. Ovviamente, ciò è valido nell’ipotesi fatta di trascurare la resistenza del circuito di armatura (ipotesi normalmente accettabile perché le macchine che lavorano a tensione e frequenza costanti sono solitamente generatori di potenza elevata, con resistenza trascurabile rispetto alla reattanza) Procedimento per realizzare il parallelo con la rete La connessione si esegue, si veda la Fig. 6.2, con la procedura nel seguito indicata: - si predispone un sistema di misura in grado di accertare l'ampiezza, la frequenza ed il senso ciclico delle f.e.m. di macchina e delle tensioni di rete. In figura, Or è il baricentro delle tensioni di fase della rete, al quale viene connesso il baricentro O delle f.e.m. di macchina: vengono con questo identificati i fasoriVf di rete eEf di macchina; - si alimenta l'induttore tramite un sistema di spazzole ed anelli che consente di addurre la corrente sul rotore, ed avvalendosi del motore primo MP si accelera il rotore fino a pervenire alla velocità corrispondente alla frequenza di rete: in questa fase si verifica che il senso ciclico delle f.e.m. di macchina sia uguale a quello di rete (altrimenti occorre correggerlo) e si corregge la corrente di eccitazione fino a che il modulo delle f.e.m. di macchina sia uguale a quello delle tensioni di rete; - si corregge la velocità angolare r , con piccole accelerazioni impresse tramite il motore primo, fino a renderla uguale alla pulsazione di rete e fino a che i fasoriVf rappresentativi delle tensioni di rete siano allineati con i corrispondenti

fasoriEf delle f.e.m. di macchina: a questo punto si chiude l'interruttore di rete realizzando cosi il parallelo. Funzionamento a vuoto (in parallelo alla rete) In questa situazione il motore primo fornisce all'alternatore la potenza corrispondente alle perdite a vuoto, la corrente di eccitazione è quella necessaria per avere ai morsetti una f.e.m. pari alla tensione di rete e la corrente di indotto è nulla. I fasoriEf eVf coincidono, quindi la corrente di armatura è nulla.

Ef Vf

10

11

ω ωrVf

Ef

Vf

Ef

Fig. 6.2: schema per il collegamento della MS alla rete.

Funzionamento come condensatore rotante A partire dal funzionamento a vuoto, se si incrementa la corrente di eccitazione, la macchina funzionerà perfettamente da condensatore rotante, se si regola la potenza meccanica fornita dal motore primo in modo che esso fornisca una potenza pari alle perdite della macchina. In questa situazione, la corrente (misurata con la convenzione dei generatori) è in quadratura in ritardo sulla tensione; invece, se non viene aggiustata la potenza del motore primo, l’alternatore assorbirà dalla rete la quota parte di potenza attiva corrispondente alle proprie perdite non fornita dal motore primo, e presenterà quindi una piccola componente in fase con la tensione (oltre a quella, preminente, in quadratura). Il funzionamento come condensatore rotante viene utilizzato per regolare la potenza reattiva di importanti nodi di rete; non vi sono applicazioni altrettanto significative per il funzionamento come induttore rotante, che si ottiene a partire dal funzionamento a vuoto riducendo la corrente di eccitazione.

Convenzioni di generatore => la legge alla maglia risulta Ef =Vf + j XsIa .

Ef j XsIa Ia

Xs Vf

condensatore rotante: il generatore vede un carico L

Ef

j XsIa

Vf

Ia

IaVf

induttore rotante: il generatore vede un carico C

Ef

j XsIa

Vf

Ia

Ia Vf

Fig. 6.3: funzionamento da condensatore o induttore rotante. Funzionamento da generatore Se, a partire dal funzionamento a vuoto, a parità di corrente di eccitazione si aumenta la potenza meccanica fornita dal motore primo (aumentando l'iniezione d'acqua o di vapore per le turbine o di combustibile per i motori termici), la coppia motrice supera quella elettromagnetica che le fa equilibrio, e l'induttore tende ad accelerare; la f.e.m. di induttore si porta in anticipo rispetto al fasore rappresentativo della tensione di rete, l’angolo di carico , da nullo che era, inizia ad aumentare (con segno positivo), comportando un incremento della coppia elettromagnetica, ed entrambe (angolo e coppia elettromagnetica) aumentano finché si raggiunge una condizione di equilibrio con la coppia motrice del motore primo. Dato che l’angolo di carico è positivo, la macchina sta generando potenza attiva (elettrica). La macchina funziona allora come generatore, sovra-eccitato o sotto-eccitato a seconda dell’ampiezza della fem di eccitazione Ef (che a sua volta dipende dall’ampiezza della corrente di eccitazione): - se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in ritardo su tensione => macchina vede carico L => macchina eroga potenza reattiva => sovra-eccitazione; - se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in anticipo su tensione => macchina vede carico C => macchina assorbe potenza reattiva => sotto-eccitazione.

11

12

Convenzioni di generatore => la legge alla maglia risulta Ef =Vf + j XsIa .

Ef j XsIa Ia

Xs Vf

Pelett

φ

Ef

j XsIa

Vf

Ia

δ

generatore sovraeccitato:

vede un carico L IaVf

generatore sotto eccitato: vede un carico C

φ

δ

Ef

j XsIa

Vf

Ia

IaVf

Fig. 6.4: funzionamento da generatore. Funzionamento da motore. Se a partire dal funzionamento a vuoto la macchina viene collegata, ad esempio tramite un giunto elettromagnetico, ad un carico meccanico, la coppia resistente del carico tende a rallentare l'induttore; la f.e.m. di induttore si porta in ritardo rispetto al fasore rappresentativo della tensione di rete, l’angolo di carico , da nullo che era, inizia ad aumentare (con segno negativo), comportando un incremento della coppia elettromagnetica, ed entrambe (angolo e coppia elettromagnetica) aumentano finché si raggiunge una condizione di equilibrio con la coppia resistente del carico meccanico. Dato che l’angolo di carico è negativo, la macchina sta assorbendo potenza attiva (elettrica). La macchina funziona allora come motore, sotto-eccitato o sovra-eccitato a seconda dell’ampiezza della fem di eccitazione Ef (che a sua volta dipende dall’ampiezza della corrente di eccitazione): - se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in ritardo su tensione => macchina si comporta da carico L => macchina assorbe potenza reattiva => sotto-eccitazione; - se l’ampiezza di Ef è tale che la corrente va in anticipo su tensione => macchina si comporta da carico C => macchina eroga potenza reattiva => sovra-eccitazione.

Convenzioni di motore => la legge alla maglia risulta Vf =Ef + j XsIa .

Ef j XsIa Ia

Xs Vf

Pelett

motore sotto eccitato: si comporta da L

IaVf

φ

δ

Ef

j XsIa

Vf

Ia

φ δ

Ef

j XsIa

Vf

Ia

motore sovra eccitato: si comporta da C IaVf

Fig. 6.5: funzionamento da motore. 7. Stabilità statica nel funzionamento della MS a frequenza e tensione costanti . Caratteristica pseudo–meccanica. Più che la caratteristica meccanica C() è importante quella pseudo–meccanica C = C(), cioè il legame tra la coppia e l’angolo di carico . In fig.7.2 sono riportate due caratteristiche pseudo–meccaniche C(), per due valori della f.e.m. Ef (ovvero della corrispondente corrente di eccitazione If ), con Ef 2 > Ef 1 , cioè I f 2 > If 1 . Dalla figura, si nota che lo stesso valore di coppia C* può corrispondere ad entrambi i valori della corrente di eccitazione. Tuttavia, per i corrispondenti angoli di carico il senso della disuguaglianza è 12 , cioè invertito

rispetto a quello relativo alle correnti di eccitazione. Questo è in accordo con il seguente ragionamento: si consideri una macchina con rotore avvolto (non con magneti permanenti) e quindi in grado di modificare il flusso f di eccitazione. Un aumento della corrente di eccitazione non modifica la potenza Pm erogata all’albero, poiché questa dipende solo dalla potenza attiva erogata ai morsetti, che non è stata modificata variando la corrente di eccitazione If . Dal punto di vista analitico, un aumento della corrente di eccitazione aumenta sì la f.e.m. Ef indotta negli avvolgimenti di fase

statorici, ma dà luogo ad una riduzione dell’angolo di carico , così che il prodotto sinE f sia costante.

Stabilità statica Dalla caratteristica pseudo–meccanica, si deduce che esiste un angolo di carico limite (lim = 90° el.) che non può essere superato, pena l'innesco di condizioni di instabilità nel funzionamento della macchina: si spiega ora il motivo. Il motore sia alimentato da una terna trifase di tensioni simmetrica di pulsazione e stia ruotando in sincronismo alla velocità angolare meccanica 0 ed elettrica r = (p/2)0 = .

12

13

Il rotore sia in condizioni di equilibrio (a velocità costante) sotto l’azione della coppia elettromagnetica C del motore (coppia motrice) e della coppia del carico Cr (coppia resistente) (fig.7.1); ovviamente si ha C = Cr ; sia

C1 il valore di tali coppie. L’angolo di carico sia = 1. In tali condizioni, tutti i fasori elettrici ed i vettori spaziali sono sincroni, e rotanti alla velocità elettrica .

Fig. 7.1: rappresentazione schematica del motore e delle

coppie agenti sull’albero.

0 30 60 90 120 150 180

[gradi el.]

If

If2If1C*

2 1

Coppia C

MOTORE ( < 0)

GENERATORE( > 0)

Fig. 7.2. Caratteristica pseudo–meccanica per due valori

della corrente di eccitazione If.

0 30 60 90 120 150 180

[gradi el.]

C3

3 4

Coppia C C4*

lim = 90

STALLO

FUGA

2 1

C2

C1

lim = -90

Fig. 7.3:limiti di stabilità della MS.

Si aumenti di poco e lentamente la coppia resistente Cr , passando attraverso condizioni di equilibrio (regime “quasi statico”). Il rotore tende a rallentare, poi riacquista la normale velocità sincrona, ma nel frattempo “ritarda” rispetto alla sua posizione originale; l’angolo di carico quindi aumenta in modulo, portandosi al valore 2. Dalla caratteristica pseudo–meccanica (fig. 7.3), si osserva che la coppia elettromagnetica C aumenta in modulo (C = C2), così da uguagliare la coppia resistente Cr. Si è di nuovo in una condizione di equilibrio a velocità costante e pari a quella di sincronismo. Attraverso condizioni di equilibrio “quasi-statiche”, il motore si porti nella condizione = lim = -90°. Se si incrementa

ulteriormente la coppia resistente Cr , l’angolo di carico raggiunge un valore < -90°. Dalla caratteristica pseudo -

meccanica C(), si osserva come la coppia elettromagnetica C diminuisca. Essendo la coppia elettromagnetica C (motrice) minore della coppia resistente Cr , il rotore perde il sincronismo con il campo rotante (si dice che la macchina

perde il passo) e tende a fermarsi (“va in stallo”). Il valore lim = -90° el. è quindi il limite di stabilità statica.

Un comportamento analogo si ha nel caso di generatore; in tal caso, se si supera lim = 90° el., la coppia elettromagnetica non riesce più ad equilibrare la coppia motrice, e la perdita di passo porta il motore ad accelerare indefinitamente (si dice che la macchina “va in fuga”). Per ovviare al pericolo di instabilità, occorre aumentare la corrente di eccitazione. In tal caso, restando costanti le coppie sia resistente che motrice, si riduce (in modulo) l’angolo di carico (fig. 7.2). Nella pratica, è opportuno che l'angolo di carico sia sempre adeguatamente inferiore al valore limite lim = ±90° el. , anche in considerazione delle sovraelongazioni oscillatorie del rotore, che si verificano durante i transitori meccanici connessi alle variazioni di carico della macchina. Un criterio tipicamente adottato è quello di adottare come limite per l’angolo di carico quel valore ’lim tale che un prefissato incremento di potenza attiva (tipicamente, il 10% della

potenza massima della macchina) porti l’angolo di carico al valore limite lim = 90° el. Il valore ’lim si ricava con una costruzione grafica che sarà illustrata con riferimento al diagramma polare della MS. 8. Caratteristiche di funzionamento della MS a frequenza e tensione costanti . Dati di targa Nel funzionamento con valori costanti di frequenza e tensione ai morsetti, i dati di targa sono: - la tensione e la frequenza nominali (dati connessi alla progettazione del sistema di isolamento e del sistema

meccanico); - la corrente nominale di indotto (e quindi le perdite nominali nel rame di indotto, dato che, assieme alle perdite nel

ferro, individua la progettazione del sistema di raffreddamento dell'indotto); - la tensione nominale dell'induttore (che determina il sistema di isolamento dell'induttore). - la corrente di eccitazione nominale (e quindi le perdite nel rame di induttore, dato che determina il sistema di

raffreddamento dell'induttore);

13

14

Diagramma polare Partendo dal diagramma dei fasori di Behn-Eshemburg, si può ottenere il cosiddetto “diagramma polare” della MS isotropa, utile per visualizzare i limiti di funzionamento della macchina stessa nel servizio continuativo a tensione e frequenza costanti: tali limiti identificano la cosiddetta “Curva di capability” dell’alternatore. Si considera, come riferimento, il caso di un generatore sovraeccitato, ma come si vedrà, la procedura vale in tutti i casi di funzionamento possibili (i 4 casi di fig. 4.2 o 4.3). Si consideri quindi il diagramma vettoriale di un generatore sovraeccitato (fig. 4.2a), e si dividano tutti i fasori per jXs :

si ottiene il triangolo delle correnti indicato in Fig. 8.1 (dividere per j significa ruotare di -90°); si osservi cheEf / jXs è proporzionale alla corrente di eccitazione If , come risulta dalla relazione che lega Ef a If : Ef = Kf If .

Nel diagramma fasoriale ottenuto, sia O il punto iniziale del fasoreIa , O’ il punto iniziale del fasoreVf / jXs , P il

punto finale dei fasoriIa eEf / jXs . Se ora si considera un piano cartesiano con origine nel punto O, si riconosce che

ogni punto P del piano identifica la corrente di indotto OP, l’angolo , la corrente di eccitazione O’P (che è proporzionale a Ef / jXs ) e l’angolo . Tramite un cambiamento di scala di un fattore Vf , sull’asse reale (che qui è quello verticale) si possono leggere le

potenze attive, e sull’asse immaginario le reattive. Nel I e IV quadrante la macchina funziona da generatore ( > 0), e nel II e III da motore ( < 0). Nel I e II quadrante vi è potenza reattiva assorbita, nel III e IV erogata. Circonferenze di centro O indicano funzionamento a corrente di armatura Ia (o potenza apparente) costante; ugualmente, circonferenze di centro O’ indicano funzionamento a corrente di eccitazione If costante. I luoghi dei punti limite di funzionamento (“Curva di capability”) sono i seguenti: - cerchio con centro O e raggio pari alla corrente di armatura nominale Ia_n : identifica il limite termico associato alla massima corrente di armatura, o massima potenza apparente; - cerchio con centro O’ e raggio pari alla corrente di eccitazione nominale If_n : identifica il limite termico associato alla massima corrente di eccitazione; - orizzontale di ordinata Pmax : massima potenza meccanica fornita dal motore primo: il motore primo è progettato per una coppia massima continuativa (e quindi per una potenza massima) che non deve essere superata; ovviamente, tale limite esiste solo nel funzionamento da generatore; - verticale per O’: limite di stabilità statica < /2 : la precedente discussione sulla stabilità statica ha mostrato che occorre limitare (a pari corrente di eccitazione e cioè a pari f.e.m.) l’iniezione di potenza da parte del motore primo, nel senso che, pervenuti alla condizione di carico corrispondente a = /2, la coppia elettromagnetica Te non può più crescere, perché se aumenta la coppia fornita dal motore primo Tm non si può raggiungere una condizione di equilibrio statico tra le due coppie. Questa limitazione pertinente l’equilibrio statico tra coppia motrice e coppia elettromagnetica viene visualizzato sul diagramma polare escludendo la zona di funzionamento con > /2. Come detto, per sicurezza si evita di raggiungere = /2, per cui si esclude anche una zona, con andamento circa parabolico, a ridosso di = /2. La costruzione grafica che identifica tale zona è mostrata in fig. 8.2: - scelto un valore ammissibile per l’incremento in potenza P , si suddivide il segmento Pmax in NP segmenti,

con NP = Pmax /P ; in fig. 8.2 si è assunto P = 0.1 Pmax , quindi NP = 10 ; - si tracciano delle rette orizzontali, passanti per i vari segmentini: tali rette rappresentano luoghi a potenza costante; - puntando in O’, per ciascun segmentino, si tracciano delle circonferenze, che rappresentano quindi luoghi di

funzionamento a corrente di eccitazione costante; - per ciascuna circonferenza, si identifica l’intersezione con la retta orizzontale appena inferiore; - la curva parabolica che unisce queste intersezioni identifica la zona limite cercata. Infatti, a causa dell’elevata costante di tempo del circuito di eccitazione, un incremento repentino della potenza attiva porta il sistema a muoversi su una curva a corrente di eccitazione costante (che sono appunto le circonferenze tracciate); allora, a partire da un qualunque punto P della curva parabolica, se la potenza subisce un incremento P, le nuove condizioni di funzionamento saranno quelle del punto P’, che si trova sulla verticale, cioè con = /2. Si è quindi ottenuto lo scopo prefissato: identificare il luogo dei punti che, con un incremento prefissato di potenza, portano il sistema ai limiti della stabilità. Regolazione della potenza in un alternatore. Il diagramma polare consente di visualizzare rapidamente le operazioni da effettuare per regolare in un alternatore le potenze attiva P e reattiva Q scambiate con la rete. In particolare: - la potenza P coincide, a meno delle perdite, alla potenza meccanica Pm entrante dal motore primo; - la potenza Q dipende dal punto di funzionamento, e varia al variare sia di Pm, sia della corrente di eccitazione If ; - se non si variano nè Pm, nè If , il punto di lavoro non si muove; - se si varia Pm, senza regolare If , ci si muove su una circonferenza di raggio OP, e Q varia; - se si varia If, senza regolare Pm, ci si muove su una retta orizzontale passante per il punto P, e ancora Q varia; - se si vuole mantenere inalterata Q, occorre modificare sia la corrente di eccitazione If, sia la potenza attiva P del

motore primo in modo da muoversi su una retta verticale passante per il punto P.

14

15

Funzionamento in corto circuito di un generatore sincrono. Si intende il funzionamento in caso di un corto circuito trifase franco ai morsetti del generatore. Lo studio di tale funzionamento consiste nel determinare il legame fra la corrente di eccitazione If e la corrente di armatura di corto circuito Ia_k ; tale legame è detto caratteristica di corto circuito. Per ricavarla, si usa la costruzione di Behn-Eshemburg (Fig. 8.3a): fissata la corrente Ia_k , la f.e.m. vale j Xs Ia_k ed entrando con tale f.e.m. nella caratteristica di magnetizzazione del traferro (Fig. 8.3b), si ricava la corrente di eccitazione If ; l’uso della caratteristica di traferro è dovuto all’ipotesi di linearità, sottesa alla costruzione di Behn-Eshemburg. Dato che Ef = Xs Ia_k e ricordando che Ef = Kf If , si ha Ia_k = (Kf / Xs ) If = Kk If : si verifica quindi che il legame Ia_k = Ia_k (If ) , è lineare (Fig. 8.3c). Tale relazione indica anche il modo per ricavare la corrente di corto circuito: nota If si ha Ia_k = (Kf / Xs ) If Determinazione sperimentale della reattanza sincrona in macchine di potenza elevata. Nelle macchine sincrone di potenza elevata, la resistenza del circuito di armatura è molto piccola, per cui si può trascurare, e la legge alla maglia risulta Ef =Vf ± j XsIa . Dalle relazioni precedenti, si deduce che la reattanza sincrona può essere ricavata sperimentalmente in due modi: 1) tramite due prove, effettuate a pari corrente di eccitazione If , una a vuoto, in cui si misura Ef , ed una di corto circuito, in cui si misura Ia_k ; poi, Xs = Ef /Ia_k ; 2) dalle caratteristiche a vuoto ed in corto circuito, dal rapporto Xs = Kf / Kk .

Si verifica che il valore p.u. di Xs è compreso fra 1 e 2, cioè 1 23

s s ns

n n

X X Ix

Z V

P

OO’

Fig. 8.1: diagramma polare della MS isotropa e “Curva di capability” di un alternatore

Fig.8.2: zona di funzionamento

stabile con incrementi di potenza pari a 0.1 Pmax .

Fig. 8.3: funzionamento in corto circuito.

15

16

PARTE III: FUNZIONAMENTO A TENSIONE E FREQUENZA VARIABILI: FUNZIONAMENTO DA MOTORE, ALIMENTATO DA UN CONVERTITORE CHE IMPONE LA CORRENTE.

Quando la MS è utilizzata come motore, è quasi sempre alimentata da un convertitore in grado di imporre una corrente voluta, ossia un sistema trifase di correnti sinusoidali di ampiezza, fase e frequenza desiderate. 9. Coppia e stabilità nel caso di alimentazione a corrente impressa Espressioni di potenze e coppia. Procedendo in modo analogo a prima, cioè partendo dai diagrammi vettoriali di fig.4.2, si possono ottenere le espressioni della potenza attiva e reattiva, e dalla potenza attiva ricavare la coppia. Proiettando sul fasore corrente di armaturaIa (si veda per es. la fig.9.1), si ha:

Vf cos( ) = Ef cos( + δ ) , Vf sin( ) = Ef sin( + δ ) – Xs Ia ;

considerando il funzionamento da motore, si ha γ + + δ – 90 = 0, cioè ( + δ ) = (90 – γ ) , da cui cos( + δ )= sin (γ) e sin( + δ ) = – cos(γ). Quindi Vf cos( ) = Ef sin (γ) e Vf sin( ) = Ef cos(γ) + Xs Ia , da cui:

P = 3 Vf Ia cos = 3 Ia Ef sin (γ)

Q = 3 Vf Ia sin( ) = 3 Ia ( Ef cos(γ ) + Xs Ia ) = = 3 Ia Ef cos(γ ) + 3 Xs Ia

2

C = P / 0 = 3 Ia Ef sin( ) / 0 = 3 p/2 Ia f sin( ) .

φ δ

Ef

j XsIa

Vf

aM

Ia

a a

fm

f fγ

fI

aI

Fig. 9.1: diagramma vettoriale cui riferirsi per visualizzare le espressioni

delle potenze e della coppia

Ricordando il segno di , si verifica quanto precedentemente affermato (a proposito delle convenzioni): con la scelta effettuata, la coppia di un motore è positiva (mentre è negativa quella di un generatore). Anche qui si giunge al medesimo risultato valutando la potenza complessa; ponendof sull’asse reale, si haEf = jEf

Ia = Ia e j , V f =E f + j XsIa = jEf + j Xs Ia e j , A = 3V f Ia = 3 ( jEf + j Xs Ia e j ) Ia e - j

2 2 23 3 cos( ) sin( ) 3 sin( ) 3 cos( )jf a s a f a f a s a f a f a s aA j E I e X I j E I jE I X I E I j E I X I P jQ

.

Dalle espressioni presentate, si ricava che, nel funzionamento a corrente impressa, la coppia è massima per sin (γ)=1, ossia γ = 90° . Questo è valido anche se si tiene conto della resistenza del circuito di armatura, perché questa resistenza non altera la potenza meccanica uscente, ma semplicemente fa aumentare la potenza elettrica entrante. NOTA: nei due funzionamenti da generatore o da motore, la MS è la stessa, quindi l’espressione della coppia presentate per il funzionamento da generatore è valida anche nel funzionamento da motore, e viceversa. Le due espressioni sono diverse perché è diversa la grandezza impressa (cioè la grandezza di alimentazione): nel funzionamento da alternatore, la grandezza impressa è la tensione Vf, per cui si evidenziano Vf e ; invece, nel funzionamento da motore, la

grandezza impressa è la corrente Ia , per cui si evidenziano Ia e . Relazione con giunto elettromagnetico. L’espressione della coppia ottenuta consente un’interessante osservazione. I fasori corrente sono in fase con i rispettivi vettori spaziali campo magnetico, per cui l’angolo fra i due campiBa eBf è proprio l’angolo ; inoltre Ef = 0 Ψf ,

per cui C = 3 Ia Ψf sin( ) ; infine, ricordando che Ia è proporzionale a Ba , e Ψf è proporzionale a Bf , si può scrivere che la coppia è proporzionale al prodotto dei due campi e al seno dell’angolo compreso: si ritrova l’espressione della coppia ricavata nello studio del giunto elettromagnetico; ciò mostra che il principio di funzionamento del motore sincrono è lo stesso del giunto elettromagnetico. Esempi di diagrammi vettoriali per due condizioni di carico In questo caso, essendo le correnti imposte dal convertitore, è semplice disegnare i diagrammi vettoriali per due condizioni di carico, identificate dagli angoli γ1 e γ2 (fig. 9.2), perché il fasore corrente non cambia. Se la coppia di

carico aumenta, γ aumenta => Φ f

si allontana da Ia ; se If non varia, anche Ef non varia in modulo, ma cambia la

fase; dalla legge alla maglia si ricava poi la tensione ai morsetti Vf . Assenza di instabilità nel caso di alimentazione a corrente impressa. Sostituendo l’angolo di carico δ con l’angolo di coppia γ, si potrebbe ripetere il ragionamento precedentemente effettuato a riguardo della stabilità statica, concludendo che γ = 90° è un limite di stabilità; infatti, fintanto che γ < 90°, al crescere della coppia di carico γ aumenta, e la coppia elettromagnetica aumenta anch’essa (fig. 9.3); raggiunto γ = 90°, se la coppia di carico aumenta ancora, γ aumenta, ma la coppia elettromagnetica cala (fig. 9.3). Si conclude quindi che per avere un funzionamento stabile, occorre mantenere γ < 90°.

16

17

In realtà, normalmente, insieme al convertitore elettronico è presente un sistema di controllo in anello chiuso che può imporre un valore definito dell’angolo di coppia; in tal caso, i problemi di instabilità non esistono più, in quanto l’angolo di coppia è appunto imposto dal controllo, per cui (posto che la coppia di carico non superi il valore massimo che la macchina può fornire) la macchina può funzionare con qualsiasi valore di γ .

γγ

Fig. 9.2: diagramma vettoriale del motore riportato sul

piano della macchina. Con linea continua ed in tratteggio sono rappresentati i diagrammi vettoriali per

un angolo di carico pari rispettivamente a γ1 e γ2.

0 30 60 90 120 150 180

γ [gradi el.]

C1

γ1 γ 2

Coppia C

C2

*

γ 3

Fig. 9.3: caratteristica pseudo – meccanica

del motore sincrono. Generalmente si impone γ = 90° (fig. 9.4a), perché si ha coppia massima a parità di correnti assorbite (sia corrente di armatura Ia , sia corrente di campo If ), oppure (che è lo stesso) corrente minima a parità di coppia. In relazione ad altre esigenze, tipicamente di deflussaggio, si può decidere di imporre γ > 90°. Infatti: per “deflussaggio” si intende il fatto che oltre la velocità base il flusso di eccitazione viene ridotto: questo perché dal campo di operatività si vedrà che quando si raggiunge la velocità base, anche la fem raggiunge il valore massimo, e da qui in poi, se si vuole aumentare la velocità, occorre calare il flusso, in modo che la fem rimanga costante; dato che il flusso erogato da un magnete è costante, l’unico modo per ridurre tale flusso consiste nel creare, tramite la corrente di armatura, un campo smagnetizzante, cioè che si oppone a quello del magnete; questo si può ottenere se la f.m.m. statorica ha una componente in opposizione a quella rotorica, e ciò comporta (come mostrato in fig. 9.4b) γ > 90°. Si osservi che nel caso di de flussaggio, Ia cambia fase, ma non modulo. Si fa notare che, per quanto detto a proposito della stabilità, il funzionamento con γ = 90° oppure γ > 90° è possibile solo in presenza di un sistema di controllo.

γ

γIad

Fig. 9.4: diagramma vettoriale del motore sincrono in corrispondenza alla condizione

di massima coppia (γ = 90°, fig. 9.4a) ed alla condizione γ > 90° (indebolimento di campo, fig. 9.4b).

17

18

10. Campo di operatività a regime al variare della tensione e della frequenza Limiti a cui è sottoposta la macchina Nel funzionamento a tensione e frequenza varabili, il sistema macchina + convertitore è sottoposto ad un insieme di restrizioni che riguardano: - il sistema di isolamento e di raffreddamento; - il sistema meccanico; - il circuito magnetico, in relazione ai materiali impiegati; - il sistema dei generatori pilotati di alimentazione. Il sistema di isolamento viene progettato in modo da assicurare alla macchina una vita media probabile convenientemente lunga; la qualità della progettazione viene provata in base alle norme internazionali IEC assoggettando la macchina ad una serie di prove standardizzate di intensità commisurata alla "tensione nominale di isolamento" . Il sistema di raffreddamento e/o di accumulazione delle perdite consentirà funzionamenti di regime (continuativo, intermittente o di durata limitata) con perdite da contenere opportunamente (in relazione alla classe del materiale isolante) oppure colpi di calore (con accumulo delle perdite senza sensibile smaltimento) per effetto di picchi di corrente di durata convenientemente limitata in relazione alla temperatura iniziale degli avvolgimenti ed alle riduzioni della vita media probabile degli isolamenti che si ritiene utile di accettare. Il sistema meccanico della macchina (tipicamente i cuscinetti e gli ammaraggi degli avvolgimenti) sarà progettato per una velocità angolare nominale che definisce, quando sia correlata alle norme IEC, le prove di velocità di tipo e di accettazione atte a qualificare la progettazione meccanica. Il materiale magnetico impiegato è soggetto a saturazione; tale fenomeno è particolarmente sensibile per il dente interposto tra due cave nella zona in cui è massima l'induzione al traferro. Se si accetta di assegnare, si veda la Fig. 10.1, metà del passo di cava c (arco di periferia corrispondente ad una cava c = D / c dove D è il diametro al traferro e c il numero totale delle cave) al dente e metà alla apertura di cava bc , l'induzione ideale (in assenza di saturazione) nel dente è doppia che nel traferro (più che doppia in alcune zone del dente se si tiene conto dell'intaglio creato dalla bietta, si veda la Fig. 10.1). Dal momento che nei materiali attuali, come ordine di grandezza, induzioni nei denti dell'ordine di 2 T danno luogo a saturazione (per modo che al crescere della fmm non cresce più il flusso al traferro) le induzioni massime al traferro saranno inferiori a circa 1 T. Se ne conclude che il flusso al traferro ottenibile è limitato sostanzialmente dalle dimensioni (diametro al traferro e lunghezza del pacco lamiere) della macchina. (Il flusso al traferro è il flusso risultante nel traferro, dovuto alla composizione dei due flussi di eccitazione e di armatura).

Fig. 10.1: struttura dentata di statore. La “bietta” è la barra in materiale

amagnetico usata per chiudere la cava, in modo da evitare l’uscita del

conduttore.

Occorre infine considerare che il sistema dei generatori pilotabili (in grado di fornire correnti o tensioni di ampiezza e frequenza regolabili) costituisce un sistema di potenza finita in grado di erogare punte di corrente limitate dalla modesta capacità termica delle valvole. Queste limitazioni vanno considerate come parte integrante di quelle tipiche della macchina elettrica quando si consideri il sistema generatore pilotabile/motore. Campo di operatività Si definisce “Campo di operatività” l’insieme delle curve luogo dei valori limite ammissibili per le diverse grandezze elettromagnetiche (corrente e tensione di armatura, f.e.m. di indotto, flusso al traferro, coppia) al variare della velocità angolare della macchina; l’andamento qualitativo è mostrato in Fig. 10.2. Assumendo il flusso di eccitazione f pari al valore massimo ammissibile s in relazione alla saturazione, la f.e.m. crescerà proporzionalmente alla velocità. Una volta superata la "velocità base" b (quella per la quale la f.e.m e eguaglia la tensione nominale di isolamento v dove in queste considerazioni, per semplicità, si accetta che e v, cioè si trascura la cdt su resistenza ed induttanza di armatura) la f.e.m. verrà mantenuta costante ed il flusso f si ridurrà proporzionalmente ad 1 / (zona di de flussaggio) fino alla velocità massima M imposta dal sistema meccanico. Per quanto riguarda la corrente di armatura, se il sistema di smaltimento delle perdite ha una efficacia indipendente dalla velocità (macchine a ventilazione forzata) allora la corrente ammissibile negli intervalli di lavoro del motore elettrico è costante con la velocità, dipenderà dal sistema di alimentazione e dal tipo di servizio (crescerà passando dal servizio continuativo, a quello di durata limitata, a quello intermittente, a quello di picco). Nella figura si è considerato il caso di una macchina a ventilazione forzata, funzionante in servizio continuativo a corrente isc . Al contrario, in una macchina auto ventilata, l’efficacia del raffreddamento aumenta con la velocità, per cui a bassa velocità può essere richiesto un calo della corrente massima erogabile. Nell’ipotesi che la corrente di armatura sia mantenuta costante, dall’espressione della coppia C = 3 p/2 Ia f sin( ) si riconosce che la coppia massima (sin = l) erogabile in servizio continuativo dovrà essere non superiore a 3 p/2 isc s nel campo di velocità inferiore alla velocità base per poi ridursi proporzionalmente ad 1 / (perché f si riduce come 1 / ) nella zona di de flussaggio; in tale zona, anche sin si riduce proporzionalmente ad 1 / .

CA

VA

DE

NT

E

CA

VA

BIE

TT

A

18

19

Si fa notare che la curva di coppia in Fig. 10.2 rappresenta l’inviluppo dei valori massimi per ogni valore di velocità; infatti, si è mostrato precedentemente che la caratteristica meccanica della MS è costituita da un segmento verticale nel piano C – , spiccato in corrispondenza all'ascissa = 0; se però si fa variare la velocità 0, si ottengono una serie di segmenti paralleli, e se si uniscono i valori massimi di questi segmenti si ha appunto la curva che dà il campo di operatività della coppia. La variazione di 0 è resa possibile proprio dal fatto che la macchina è alimentata tramite un convertitore elettronico, in grado di regolare sia la tensione che la frequenza di alimentazione. Altri esempi di caratteristiche meccaniche limite, tratte dai cataloghi dei produttori di motori sincroni, sono riportate in fig. 10.3. Le diverse curve si differenziano per il tipo di servizio:

C

o

CMAX

-CMAX

o

CMAX

continuativo; intermittente 50% (5 minuti di funzionamento e 5 minuti fermo); intermittente 20% (2 minuti di funzionamento e 8 minuti fermo); limite di tensione del motore.

Si fa notare che il servizio intermittente è generalmente di durata pari a 10 minuti, a meno che diversamente specificato. Si osservi che le curve reali di coppia non sono piatte, ma leggermente calanti.

Fig.10.2: campo di operatività di una MS. Fig. 10.3. Caratteristica meccanica limite di una MS.

S1: servizio continuativo; S3: servizio intermittente (10 min).

11. Servomotori A.C. BRUSHLESS Vengono chiamate A.C. BrushLess (o BrushLess sinusoidale) delle macchine sincrone, alimentate da un convertitore che impone correnti o tensioni sinusoidali, in cui l’eccitazione sia fornita non da un avvolgimento ma da magneti permanenti (MP); sono così chiamate per l’assenza di un sistema di spazzole. Sono oggi ampiamente utilizzate per azionamenti di bassa e media potenza. Il principio di funzionamento è comunque quello di una MS. Costanti di f.e.m. e coppia. Dato che il flusso di eccitazione Φf è generato da un MP, esso è costante; la f.e.m. della macchina Ef risulta quindi

proporzionale alla velocità di rotazione 0 , e la costante di proporzionalità è il numero di paia poli moltiplicato per il flusso ΨMP generato dal MP e concatenato con l’avvolgimento statorico:

Ef = fa U/2 Efsp = fa U/2 Φf / √2 = fa U/2 0 p/2 Φf / √2 = p/2 fa U/2 Φf / √2 0 = p/2 ΨMP 0 .

Il coefficiente di proporzionalità fra f.e.m. concatenata e velocità di rotazione 0 viene chiamata costante di fem:

Ec = √3 Ef = √3 p/2 ΨMP 0 = KE 0 . In questa relazione, KE è espressa in [rad/s]; nella pratica, KE si misura in [V/krpm], per cui si utilizza un’altra

relazione: Ec = KE *1000 /1000*N0 *(2/60) = KEN *N0 /1000 .

La coppia può essere espressa come C = 3 Ef Ia sin( ) / 0 = 3 p/2 ΨMP Ia sin( ) = √3 KE Ia sin( ) = KT Ia sin( ) La costante KT = 3 p/2 ΨMP = √3 KE è detta costante di coppia, e si misura in [Nm/A]; si osservi che Ia è il valore rms della corrente di fase.

19

20

Andamento nel tempo delle grandezze di alimentazione di un A.C. BrushLess Si ricavano ora le espressioni, in funzione del tempo, delle grandezze di alimentazione che il convertitore elettronico deve fornire ad un servomotore BrushLess; in particolare, nel caso di alimentazione a corrente impressa si ricava l’espressione della corrente, e nel caso di alimentazione a tensione impressa l’espressione della tensione. Per la trattazione si fa riferimento al diagramma vettoriale di fig. 11a e al diagramma fasoriale di fig. 11b.

Re

Ia

fI

Im

θγ

Vf

Ia

j Xs Ia

Ef

Ra Ia

If

φ δ

γ

Fig. 11: diagrammi usati per ricavare le espressioni di correnti e tensioni di alimentazione di un servomotore BLAC

Alimentazione a corrente impressa

Il modulo del vettore spaziale corrente dipende dalla coppia che si vuole erogare e dall'angolo : Ia T( )T

KT sin ( ).

Assumendo come riferimento l'asse polare, la fase del vettore spaziale corrente èl'angolo stesso.

Quindi l'espressione del vettore spaziale corrente è Ia T( )

Ia T( ) exp j ( )T

KT sin ( )exp j ( )

L'andamento delle correnti di fase in funzione del tempo si ottiene passando dal vettore spaziale al regime sinusoidale, cioèconsiderando l'ampiezza del vettore e aggiungendo l'andamento temporale della fase spaziale. La fase spaziale è la posizionedell'asse polare rispetto al sistema di riferimento statorico, cioè l'angolo = o + t, con o = valore iniziale dell'angolo e =velocità meccanica; l'angolo va però espresso in angoli elettrici, per cui occorre scrivere *p/2 = o*p/2 + *p/2 *t

Quindi i t T ( ) 2T

KT sin ( ) cos

p

2 t o

p

2

Si osserva che può cambiare nel tempo.

Il convertitore elettronico deve, istante per istante, alimentare il motore con tale corrente. Più precisamente, un "supervisore"

decide, in base a certi obiettivi, i valori desiderati T* e , e le leggi di variazione temporale desiderate (t) ; il sistema dialimentazione e controllo garantisce che tali leggi siano seguite, acquisendo (o stimando tramite un modello matematico) i valori

istantanei effettivi di (t), e cercando di annullare la differenza fra tali valori effettivi ed i valori desiderati (t).

Alimentazione a tensione impressa.La tensione di fase deve essere tale da produrre la corrente precedente; questo si verifica se si soddisfa il diagramma vettoriale,cioè se le componenti cartesiane del fasore tensione soddisfano le relazioni

Vfy Ef Ra Ia sin ( ) Xs Ia cos ( ) Vfx Ra Ia cos ( ) Xs Ia sin ( ) IaT

KT sin ( )

Bisogna poi ricordare che la fem di macchina Ef e la reattanza sincrona Xs dipendono dalla velocità: In conclusione, le componenti cartesiane del fasore tensione devono essere

Ef p

2 f Xs

p

2 Ls

Vfy T ( ) fT

KT sin ( )Ra sin ( )

p

2 Ls cos ( )

Vfx T ( )T

KT sin ( )Ra cos ( )

p

2 Ls sin ( )

In forma polare, il fasore tensione ha modulo Vf Vfx2

Vfy2 e fase 90 - , con atan

Vfx

Vfy

Quindi, il fasore tensione è Vf

T ( ) Vf T ( ) exp j 90 T ( )( )[ ]

Anche qui, l 'andamento delle tensioni di fase in funzione del tempo si ottiene passando dal fasore al regime sinusoidale, cioèconsiderando l'ampiezza e aggiungendo la dipendenza dal tempo della fase spaziale :

v t T ( ) 2 Vf T ( ) cos p

2 t o

p

2 90 T ( )

Allo stesso risultato si perviene considerando che la tensione è sfasata di rispetto alla corrente, perciò la fase della tensione siricava sommando alla fase della corrente.

+ + - 90 = 0 => = 90 - - => faseVf p

2 t o

p

2

90 ( ) p

2 t o

p

2 90

Il convertitore elettronico deve, istante per istante, alimentare il motore con tale tensione. Come prima, un "supervisore" decide i valori

desiderati T* (t) (da cui deriva anche (t) ) e il sistema di alimentazione e controllo garantisce che tali leggi siano seguite

Se il convertitore fornisce tensione e corrente con le leggi presentate, le grandezze elettriche (tensioni, f.e.m., correnti, flussi, potenza) e meccaniche (coppia) hanno, in funzione della velocità, gli andamenti precedentemente mostrati in fig. 10.2, come mostrato dal seguente esempio.

20

21

Dati motore di prova

p 2 Lph.ph 16 103

LsLph.ph

2 Ra 8 fn 0.7 fn 50 Tn 10

n 2 fn2

p n 314.159 Efn 2 fn fn Efn 219.911 KT

3 Efn

n KT 2.1 In

Tn

KT In 4.762

Pn Tn n Pn 3.142 103

3 Efn In 3.142 103

Relazioni di validità generale ott

2 Iarm T( )

T

KT sin ( )

Vfy T ( ) p

2

T

KT sin ( )Ra sin ( )

p

2 Ls cos ( )

Vfx T ( )T

KT sin ( )Ra cos ( )

p

2 Ls sin ( )

Vfase T ( ) Vfx T ( )2

Vfy T ( )2

Vfn Vfase ott Tn n fn Vfn 258.284

Espressione delle grandezze in funzione di

Tm ( ) if n TnPn

f ( ) if n fnEfn

( ) if n ott asinn

P ( ) Tm ( ) Ef ( ) f ( ) p

2

Ia ( ) Iarm ( ) Tm ( ) Vf ( ) Vfase ( ) Tm ( ) f ( )

0 10 2 2 fn2

p

Campo di operatività nel caso = ott

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1Tm ( )

Tn

f ( )

fn

Ia ( )

In

Vf ( )

Vfn

Ef ( )

Vfn

P ( )

Pn

n

21

22

PARTE IV: NON LINEARITA’ E ANISOTROPIA Premessa su Principio di Sovrapposizione delle Cause e degli Effetti (PSCE) Se un sistema fisico è lineare (cioè fra una causa ed un effetto esiste una relazione di proporzionalità), vale il PSCE, per cui l’effetto risultante dovuto a più cause agenti contemporaneamente è pari alla sovrapposizione degli effetti che ciascuna causa produce agendo da sola. Se un sistema è non lineare, il PSCE non vale, per cui non si possono sovrapporre gli effetti, ma occorre sovrapporre le cause per ottenere la causa risultante, poi da questa si passa all’effetto risultante. ES: siano c1 e c2 due cause che producono rispettivamente gli effetti e1 ed e2; sia c3 = c1 + c2 la causa risultante, e sia e3 l’effetto prodotto da c3 Sistema lineare: e3 = e1 + e2

Sistema non lineare: e3 e1 + e2

Nel caso di un circuito magnetico, il ragionamento si applica alla caratteristica di magnetizzazione, cioè al legame fmm-flusso o corrente-fem. Allora: - in una macchina lineare, la fem risultante dovuta all’azione di più fmm agenti contemporaneamente si ottiene

sommando le fem causate dalle singole fmm; infatti, nel caso di MS lineare, il diagramma fasoriale del funzionamento a carico (cioè con fmm sia di induttore, sia di indotto) è stato ottenuto per semplice sovrapposizione dei diagrammi fasoriali delle due condizioni di funzionamento con solo induttore alimentato (sola fmm di induttore) e solo indotto alimentato (sola fmm di indotto);

- in una macchina non lineare, il procedimento precedente non è corretto: per ottenere la fem risultante dovuta all’azione di più fmm agenti contemporaneamente occorre sommare le singole fmm agenti, per avere la fmm risultante, poi da questa si passa alla fem risultante tramite la caratteristica di magnetizzazione.

12. Diagrammi vettoriali della MS isotropa non lineare. Costruzione di Potier. Per ricavare il diagramma dei fasori elettrici e dei vettori spaziali di una MS isotropa non lineare, occorre operare come precedentemente detto, cioè occorre sommare le singole fmm agenti, per avere la fmm risultante, poi da questa si passa alla fem risultante tramite la caratteristica di magnetizzazione; infine, dalla fem risultante si passa alla tensione ai morsetti aggiungendo (o sottraendo) la cdt reattiva j XℓIa sulla reattanza di dispersione Xℓ del circuito di indotto (e, se significativa, la cdt resistiva sulla resistenza del circuito di indotto). Nella pratica però, la fmm di eccitazione non è nota; si opera invece in modo inverso: partendo da una certa condizione di carico Vf , Ia , cos , tramite la legge alla maglia si ricava la fem risultante (somma della fem indotta dal rotore e della fem autoindotta dallo statore), detta fem “utile” Eu (si noti che, in tal modo, Eu è una grandezza di fase, non

concatenata); da Eu si passa alla causa che la genera, cioè la fmm risultante (o “utile”) uM

; dalla composizione della

fmm risultante uM

e della fmm di armatura aM

si ricava la fmm di eccitazione fM

= uM

- aM

; infine, dividendo

per il numero di spire del circuito di eccitazione Nf , si ha la corrente di eccitazione necessaria If = Mf / Nf . Questo procedimento prende il nome di costruzione di Potier. Occorre ora definire modulo e direzione dei vari fasori e vettori spaziali.

Vettore spaziale aM

: l’analisi del funzionamento ha mostrato che esso è in fase con il fasore elettrico corrente di

armatura (della fase a) Ia ; per il modulo, l’espressione è quella di un campo rotante trifase: 3 2

a a aU

M f Ip

.

Vettore spaziale uM

: l’analisi del funzionamento ha mostrato che in quadratura rispetto al fasore fem indotta di

eccitazioneEf sta il fasore flusso concatenatof , che è in fase con il vettore spaziale flusso di polo Φ f

e quindi con

il vettore spaziale fmm di eccitazione fM

; in modo analogo, si potrà dire che in quadratura rispetto al fasore fem

utileEu sta il fasoreu , ed i vettori spaziali flusso utileΦu

e fmm utile uM

; il modulo di uM

si ricava dalla

caratteristica di magnetizzazione, in corrispondenza di 3 Eu .

e3

c3

e2

c2

e1

c1

e3

c3

e2

c2

e1

c1

22

23

Si può a questo punto effettuare la costruzione, ricordando che: - per un generatore, la legge alla maglia èEu =Vf + j XℓIa ,

e i vettori spaziale flusso sono in quadratura in anticipo sui rispettivi fasori fem;

- per un motore, la legge alla maglia èVf =Eu + j XℓIa , e i vettori spaziale flusso sono in quadratura in ritardo sui rispettivi fasori fem.

Si ottengono i diagrammi di Fig. 12.1. NOTA: fare attenzione che la composizione delle fmm è eccitazione + reazione = risultante, cioè fM

+ aM

= uM

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

aM

fM

uM

,u

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

aM

fM

uM

,u

Fig. 12.1:Costruzione di Potier con le fmm.

Ora, dato che in realtà interessa la corrente, non la fmm, si può dividere tutto per Nf , e ragionare direttamente con le

correnti: f u a af u

f f f

M M M MI I

N N N

; poi 3 2a a

a p af f

M IUf I

N p N

, dove il coefficiente p prende il

nome di coefficiente di Potier. Esso dice che, per produrre una certa fmm nel traferro, si può alimentare il circuito di armatura con una corrente Ia oppure il circuito di eccitazione con una corrente p Ia ; ha quindi il significato fisico di un coefficiente di riporto da avvolgimento di armatura ad avvolgimento di eccitazione. La costruzione di Potier risulta quindi (Fig. 12.2a): dalla legge alla maglia si ricava Eu = Vf ± j XℓIa ; in quadratura rispetto ad Eu si posiziona uI

; in fase con Ia si posiziona ap I

; dalla composizione si ricava fNLI

= uI

- ap I

(i pedici NL indicano che si sta considerando la macchina non lineare). In quadratura su fNLI

si può posizionare l’asse interpolare, su cui giace il fasore fem interna EfNL (Fig. 12.2b); il

modulo di EfNL si ricava dalla caratteristica di magnetizzazione in corrispondenza del valore di IfNL . (Fig. 12.2c)

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

uI

ap I

fNLI

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

uI

ap I

EfNL

fNLI

IfNL

√3 EfNL

√3 Eu

Iu

Fig. 12.2: a) costruzione di Potier con le correnti; b) posizionamento del fasore fem interna EfNL , c) determinazione del modulo di EfNL dalla caratteristica di magnetizzazione. Legami fra Potier e Behn-Eshemburg Con riferimento ai diagrammi vettoriali di fig. 4.2, si supponga di conoscere le condizioni di funzionamento ai morsetti (Vf , Ia , ). A partire dal vertice del vettore tensioneVf , si riporta un vettore di ampiezza Xs Ia , in quadratura in anticipo rispetto aIa . Viene in tal modo individuato il vertice del vettore f.e.m. E f ; dividendo E f per il coefficiente Kf definito nel paragrafo2, si ha la corrente di eccitazione I f necessaria alle condizioni di funzionamento considerate. In generale, nella costruzione di Behn-Eshemburg la f.e.m. a vuoto E f è decisamente superiore alla reale, mentre la corrente di eccitazione valutata con Behn-Eshemburg è inferiore a quella realmente necessaria in una data condizione di carico.

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

uI

ap I

EfNL

fNLI

j XsIa Ef

fI

IfNL

√3 EfNL

√3 Ef

If

23

24

NOTA: è corretto usare la caratteristica di magnetizzazione come legame Iu -- Eu ? La caratteristica di magnetizzazione è il legame If -- Vo , mentre qui si sta considerando il legame Iu -- Eu : va bene lo stesso? Sì, perché il legame If -- Vo è un legame fra una certa causa (If o Mf ) ed un effetto (Vo); ora, se la causa cambia, ma il circuito magnetico è lo stesso, l’effetto non può cambiare, perché il legame non può cambiare. In particolare: nel funzionamento a vuoto, la sorgente del campo è la sola fmm di eccitazione fM

, mentre qui

la sorgente del campo è la fmm risultante uM

(somma di aM

e fM

), quindi la causa è cambiata, ma il circuito magnetico è lo stesso => l’effetto (cioè la fem Eu ) mantiene con la causa (cioè la fmm uM

) lo stesso legame precedente.

L’unica accortezza è che Vo è una grandezza concatenata, mentre Eu è grandezza di fase => nella caratteristica di magnetizzazione occorre mettere 3 Eu.

If = Mf / Nf

Iu = Mu / Nf

Vo = √3 Ef

Legami fra Potier e Behn-Eshemburg - Approfondimento Se si prolungano EfNL e j XℓIa fino ad intersecarsi nel punto C, si ottiene il triangolo OBC. Per costruzione, BOC FOG e OBC OFG (sono angoli compresi fra rette perpendicolari fra loro) => i triangoli OBC e OFG sono

simili => OB : OF = OC : OG => OC = OG*OB/OF => OC = IfNL * Eu / Iu => 3OC = IfNL *3Eu / Iu . Il segmento 3OC è dunque l’ordinata del punto di ascissa IfNL e giacente sulla retta u di coefficiente angolare 3 Eu / Iu , cioè la retta passante per l’origine e per il punto 3Eu , Iu ; sia 3EfNLprol il valore di fem corrispondente a tale punto; si ha quindi OC = EfNLprol . Si potrebbe pensare che EfNLprol sia la Ef della costruzione di Behn-Eshemburg. In realtà, si riconosce che non è così, se si osserva che Behn-Eshemburg considera la caratteristica di traferro => Ef sta sulla caratteristica di traferro (retta t), mentre EfNLprol sta sulla retta passante per il punto 3Eu , Iu (retta u) . Dal diagramma si riconosce che la pendenza di t è superiore a quella di u, per cui normalmente si ha Ef > EfNLprol . La posizione del vettore Ef si può ottenere applicando la legge alla magliaEf = Vf + j XsIa : tracciando un segmento AD = j XsIa , il fasoreEf è il segmento OD. A questo punto si vede chiaramente il rapporto fra le due costruzioni. In particolare, si vede che rispetto alla costruzione di Potier, quella di Behn-Eshemburg dà valori più grandi della fem interna (Ef > EfNL) e dell’angolo di carico ( AOD AOC ), mentre dà valori inferiori della corrente di eccitazione (If < IfNL). I valori corretti sono quelli di Potier, perché la macchina reale è NON lineare, ma la costruzione di Behn-Eshemburg è spesso utilizzata per la sua semplicità.

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

uI

ap I

fNLI

EfNL

O

A

B

C

G

F

EfNLprol

IfNL

√3 EfNL √3 Eu

Iu

√3 Ef

t u

If

√3 EfNL prol

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

uI

ap I

fNLI

EfNL

O

A

B

C D

G

F

EfNLprol

OD =Ef

AB =Eℓ = j XℓIa BD =Er = j XrIa AD =Ea = j XsIa

Ef

fNLI

fI

24

25

Funzionamento di un generatore in corto circuito a corrente nominale Tale funzionamento è rappresentato dalla costruzione di Fig. 12.3a: la f.e.m. risultanteEu è uguale alla caduta j

XℓIa_n sulla reattanza di dispersione; la corrente Ia_n e quindi la f.m.m. di reazione Ia sono in quadratura in

ritardo rispetto a j XℓIa_n , la f.m.m. risultante Iu è in quadratura in anticipo rispetto alla f.e.m. risultanteEu ,

quindi Iu è in fase con Ia_n ; ne segue che anche la f.m.m. di induttoreIf è in fase con le altre fmm.

Se tale costruzione è effettuata ponendo la f.m.m. di induttoreIf sulla caratteristica di magnetizzazione, si mette in

evidenza un importante elemento geometrico: il cosiddetto "triangolo di indotto" (OAB in Fig. 12.3b). Si noti che il valore p.u. della reattanza di dispersione è circa 0.2 0.3 (cioè Xℓ In /( Vn /√3) 0.2 0.3 ), per cui il

punto B del triangolo di indotto cade nel tratto rettilineo della caratteristica di magnetizzazione; ne consegue che Iu è

proporzionale in tale situazione ad Eu , e quindi ad Ia (essendo Eu proporzionale ad Ia ); altrettanto avviene per If ,

perciò si può affermare che anche nelle macchine reali (con caratteristica di magnetizzazione non lineare) le caratteristica di corto circuito, cioè il legame Ia_k = Ia_k (If ) , è lineare (Fig. 12.3c); si può ancora scrivere Ia_k = Kk If, ed il coefficiente di proporzionalità Kk è lo stesso della macchina lineare. Funzionamento di un generatore come condensatore rotante, e determinazione sperimentale del triangolo di indotto. La Fig. 12.4a rappresenta il funzionamento come condensatore rotante con corrente ai morsetti pari a quella nominale (convenzione dei generatori). Nella Fig. 12.4b si mostra dove si colloca il punto P rappresentativo di tale condizione di funzionamento rispetto alla caratteristica a vuoto; per identificarlo, bisogna riprodurre le condizioni del diagramma vettoriale, cioè: a partire dal punto P" di coordinate (Iet , E), occorre scendere di una quantità Xℓ·Ia_n e spostarsi verso destra di una quantità Ia_n, in modo che il punto P abbia coordinate (Vn ,Ie). Si noti che a partire dal punto P è possibile ricostruire il triangolo di indotto a corrente nominale: occorre prendere PP' = OA e P'P" parallelo ad OB. Allora, se si è misurata la caratteristica di magnetizzazione, la corrente di eccitazione in corto circuito corrispondente alla corrente nominale (segmento OA) e la corrente di eccitazione corrispondente alla corrente nominale nel funzionamento come condensatore rotante (ascissa del punto P) si può costruire il triangolo d’indotto a corrente nominale e dedurre sperimentalmente i parametri Xℓ ed della costruzione di Potier.

Fig. 12.3: funzionamento in corto circuito.

Costruzione di Potier (a), triangolo di indotto (b), caratteristica di corto circuito (c)

Fig. 12.4: funzionamento come condensatore rotante. Costruzione di Potier (a), triangolo di indotto (b).

25

26

13. Cenni su MS Anisotropa STRUTTURA E METODO DI STUDIO Come visto nell’Introduzione, in una MS Anisotropa il rotore presenta una riluttanza del traferro variabile con la posizione lungo la periferia del traferro; questo comporta che la fmm di armatura vede una riluttanza variabile in relazione alla posizione del rotore. Per dare una visualizzazione grafica, si consideri una MS a 2 poli, e si consideri l’istante in cui la corrente è massima nella fase a; con le convenzioni assunte, in questo istante il vettore spaziale corrente di armatura è allineato con l’asse magnetico della fase a, per cui il flusso ha l’andamento di fig. 13.1a; è evidente che la riluttanza vista da tale flusso è ben diversa a seconda che l’asse magnetico del rotore sia allineato con quello della fase a (fig. 13.1b), o in quadratura rispetto ad esso (fig.13.1c), o in posizione generica (fig.13.1d); se invece il rotore è isotropo, la fmm di statore vede sempre la stessa riluttanza (vedi contorno tratteggiato del rotore isotropo).

aM

aM

aM

aM

Fig.13.1: varie posizioni del rotore rispetto alla fmm di armatura, nell’istante in cui la corrente è massima nella fase a La conseguenza di ciò è che la reattanza del circuito equivalente cambia con la posizione rotorica. D’altra parte, si sa che nel funzionamento a regime (cioè con coppia di carico costante) il campo è sincrono col rotore, il che significa che la posizione relativa fra fmm di armatura e rotore si mantiene costante. Allora, la variabilità della riluttanza si può superare se la fmm di armatura viene scomposta in due componenti, una parallela all’asse rotorico e l’altra ad esso in quadratura, perché in tal caso le due componenti di fmm vedono una riluttanza costante. Si hanno così due circuiti magnetici, ciascuno con una sua fmm ed una sua riluttanza costante. Il metodo di studio consiste quindi nell’analizzare separatamente i due circuiti magnetici, e sovrapporre poi le grandezze.

aM

fM

Se la macchina è lineare, si possono sovrapporre direttamente gli effetti, cioè f.e.m. e flussi; al contrario, se la macchina è NON lineare, occorre precedere come per la costruzione di Potier, cioè si sovrappongono le cause (le f.m.m) e si passa all’effetto risultante (f.e.m. e flusso) tramite la caratteristica di magnetizzazione. Individuato il metodo di studio, si applica ora tale metodo, per determinare i diagrammi fasoriali-vettoriali (cioè i diagrammi in cui si sovrappongono i fasori elettrici ed i vettori spaziali della macchina). Prima, occorre però introdurre alcune definizioni e ipotesi. NOMENCLATURA E ASSUNZIONI Nell’Introduzione si era detto che l’asse polare di rotore è detto asse d e l’asse interpolare asse q , e si era osservato che

i due assi sono in quadratura elettrica. Ora, sull’asse polare di rotore stanno i vettori spaziali fmm di eccitazione fM

e

flusso di eccitazioneΦ f

, ed il fasore flusso concatenato di eccitazioneΨf ; in quadratura rispetto aΨf sta il fasore

fem di eccitazioneEf ; si riconosce quindi che fM

Φ f

Ψf sono sull’asse d , mentre Ef sta sull’asse q .

Si ricorda poi che il fasore elettricof ed il vettore spaziale Φ f

, rispetto al fasore

f.e.m.Ef sono in quadratura in anticipo nel funzionamento da generatore, ed in

ritardo nel funzionamento da motore; la direzione di q viene associata a quella diEf , per cui, rispetto a d, l’asse q è in ritardo in un generatore, ed in anticipo in un motore.

Ef

f

GEN

Φ f

q

d

Ef

f

MOT

Φ f

q

dIn base alle definizioni date, gli assi secondo cui viene scomposta aM

sono d e q, per cui le due componenti di aM

sono indicate con adM

e aqM

; le direzioni di adM

e aqM

dipendono dal modo di funzionamento. Ad esempio, in

fig. 13.2 sono mostrate le loro direzioni nei 4 modi di funzionamento della MS, considerando l’istante in cui la corrente

è massima nella fase a (e quindi il vettore spaziale aM

è in fase con l’asse magnetico della fase a)

26

27

GEN con carico L

aM

adM

aqM

fM

d

q

GEN con carico C

aM

adM

aqM

fM

d

q

MOT che si comporta da L

aM

adM

aqM

fM

d

q

MOT che si comporta da C

aM

adM

aqM

fM

d q

Fig.13.2: direzione e verso di adM

e aqM

per i 4 modi di funzionamento della MS.

Per il tracciamento dei diagrammi fasoriali, il vettore spaziale fmm aM

è sostituito con il fasore elettrico correnteIa , di componentiIad

sull’asse d e Iaq sull’asse q ; inoltre, per ragioni di comodità, si

introduce l’angolo fra l’asse q edIa (cioè fraEf edIa, diretto daEf

adIa); le proiezioni diIa sugli assi d e q sono quindi sin( )ad aI I ,

cos( )aq aI I . Nel funzionamento da generatore (Φ f

in quadratura in

anticipo suEf ), si ha - + 90 = 0, mentre nel funzionamento da

motore (Φ f

in quadratura in ritardo suEf ) si ha - - 90 = 0.

Ef //q GEN

Ia

f

//d

γ

q

d

Iad

Iaq

Ef //q MOT

Ia

f

//d

γ

q

d

Iad

Iaq

Fig. 13.3: assi d e q , vettori spaziali, fasori, nel funzionamento da generatore e motore.

Nel seguito si analizza prima il caso di MS anisotropa lineare, poi quello di MS anisotropa NON lineare. La trattazione è svolta con riferimento al caso di generatore (quindi si considera E = - j ). MS ANISOTROPA LINEARE: COSTRUZIONE DELLE DUE REATTANZE. Nel caso di macchina lineare si possono sovrapporre direttamente le f.e.m. indotte dai flussi generati dalle varie correnti: occorre quindi considerare le varie correnti, le fmm ed i flussi che esse generano, e le fem corrispondenti.

La corrente di eccitazione If produce fM

, che genera Φ f

eΨf ;Ψf induceEf = - j f .

Nella MS isotropa, la corrente di armatura Ia produce aM

, che genera Φr

Φ

ΨrΨℓ ;Ψr induceEr = - j r ,

Ψℓ induceEℓ = - j ℓ ; nel caso di macchina lineare, vi è proporzionalità fra flussi e correnti, per cui si possono definire delle reattanze che legano le fem direttamente alle correnti: Er = - j Xr Ia , Eℓ = - j X ℓ Ia . In modo analogo, nella MS anisotropa le componenti Iad , Iaq producono

rispettivamente adM

e aqM

, che generanoΨrd eΨrq ; Ψrd induce

Erd = - j rd, Ψrq induceErq = - j rq; se la macchina è lineare, si possono definire delle opportune reattanze tali che Erd = - j Xrd Iad , Erq = - j Xrq Iaq ; la dispersione non è influenzata dalla riluttanza del

traferro, per cui non è necessario scomporre Ia: aM

genera Φ

eΨℓ ; Ψℓ induceEℓ = - j ℓ = - j X ℓ Ia (si ricorda che il flusso disperso è quello che si chiude prima di attraversare il traferro, quindi è indipendente dalla riluttanza del traferro stesso). A questo punto, la sommaEf +Erd +Erq dà la f.e.m. totale Eu , da

cui, tolta la c.d.t. j XℓIa dovuta alla reattanza di dispersione Xℓ , si ha la

tensione di fase Vf . La legge alla maglia (motore) è Vf + j XℓIa =Eu

con Eu = Ef +Erd +Erq = Ef - j XrdIad - j XrqIaq . Si ottiene il diagramma vettoriale di fig. 13.4.

Ef

GEN

f

//d γ

q

d Iad

Iaq

Erd Erq

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

O

Eud

Fig. 13.4: diagramma vettoriale di una MS anisotropa lineare (generatore)

Si noti che la retta ortogonale all’asse q spiccata dall’apice diEu identificaErq , e la differenzaEu -Erq coincide

con la fem risultante agente lungo l’asse q, cioèEf +Erd ; tale risultante è indicata conEud . Questa osservazione è utile per la successiva costruzione di Arnold-Blondel.

Per poter effettuare tale costruzione, occorre però conoscere la posizione dell’asse d (per ricavare adI

ed aqI

).

A questo fine, siano A e B gli estremi del fasore j XℓIa , e si prolunghi AB fino ad incontrare in C l’asse q (fig.13.5).

L’angolo fra BC ed Erq è , per cui cos( ) cos( )

rq rq aqrq a

E X IBC X I

; ne segue che per identificare la posizione

dell’asse q è sufficiente tracciare un fasore j XrqIa , perché l’asse q è la retta che congiunge il punto C, vertice del

fasore j XrqIa , con il punto O, origine del sistema dq.

27

28

Si prolunghi poi ancora il fasore j XℓIa , fino ad intersecare in D la retta ortogonale all’asse q, passante per gli apici di

Ef edErd (fig. 13.5); si ha sin( ) sin( )

rd rd adrd a

E X IBD X I

, quindi il punto D è ottenibile tramite un fasore j

XrdIa; poi, dal punto D, mandando la perpendicolare all’asse q si identifica immediatamente il fasore Ef . La costruzione si esegue dunque nel seguente modo (fig. 13.6a): - partendo da Vf ,Ia , , dall’apice diVf si disegna il fasore j XℓIa , e si ha Eu ;

- dall’apice di Eu si spiccano i fasori j XrqIa e j XrdIa ;

- il fasore j XrqIa identifica il punto C, e dunque l’asse q;

- il fasore j XrdIa identifica il punto D, e dunque il fasoreEf ; - noto il modulo di Ef , dalla caratteristica di magnetizzazione si ricava If = Ef / Kf . La costruzione si può ulteriormente semplificare se si introducono le reattanze sincrone Xsd = Xrd + Xℓ , Xsq = Xrq

+ Xℓ , perché i punti C e D si possono trovare direttamente daVf , senza bisogno di tracciareEu (fig. 13.6b).

Ef

q

Erd

Erq j XℓIa

Vf Eu

A

B

C

D

Fig. 13.5: identificazione dell’asse q e del fasore Ef

Ef

q

aI

j XℓIa

Vf

Eu

j XrqIa

j XrdIa

C

D

Fig. 13.6a: Costruzione

delle 2 reattanze Xrd, Xrq

Ef

q

aI

Vf

j XsqIa

j XsdIa

C

D

Fig. 13.6b: Costruzione

delle 2 reattanze Xsd, Xsq MS ANISOTROPA NON LINEARE: COSTRUZIONE DI ARNOLD-BLONDEL Come anticipato, se la macchina è non lineare, si possono sovrapporre le f.m.m. ma non le f.e.m.. Più precisamente, si possono sovrapporre le f.e.m. dei circuiti magnetici lineari (cioè Erq ed Eℓ , dato che sia il circuito magnetico di asse

q sia la dispersione si svolgono per la maggior parte in aria), ma non le f.e.m. dei circuiti saturabili (cioèEf eErd ). Per miglior comprensione, si consideri la Fig. 13.7, in cui sono mostrati i flussi di asse d (Fig. 13.7a), di asse q (Fig. 13.7b),e di dispersione in cava (Fig.13.7c). Si vede che nel circuito di asse d i tratti in aria sono limitati ai due traferri, di lunghezza molto ridotta rispetto a tutto il resto del percorso, che si svolge nel ferro; al contrario, sia per l’asse q, sia per il flusso di dispersione, il tratto in ferro è paragonabile a quello in aria, per cui in tali circuiti non può esserci saturazione (la riluttanza del tratto in aria è elevata => il flusso è basso => l’induzione è bassa => non si raggiunge la saturazione).

aM

Fig. 13.7a: flusso di asse d

aM

Fig. 13.7b: flusso di asse q

ROTORE CONDUTTORI

STATORE DENTATO FLUSSO DI DISPERSIONE

Fig. 13.7c: flusso di dispersione di un conduttore in cava

La costruzione adottata prende il nome di Costruzione di Arnold-Blondel (dal nome dei proponenti), e ricalca l’inizio della costruzione delle 2 reattanze, per poi procedere in modo analogo alla Costruzione di Potier (Fig. 13.8).

28

29

Partendo da Vf , Ia , , dall’apice diVf si disegna il fasore j XℓIa , e si

identificano il fasore Eu ed il punto B; dall’apice di Eu si spicca il fasore

jXrqIa e si identifica il punto C, e dunque l’asse q; la retta ortogonale a q e

passante per B dàErq ; la differenza Eu -Erq identifica la f.e.m. risultante di

asse d, detta Eud ; entrando nella caratteristica di magnetizzazione, in corrispondenza di Eud si ricava la corrente di eccitazione risultante di asse d,

detta Iud ; il vettore spaziale udI

sta ovviamente sull’asse d (perché è in

quadratura in anticipo rispetto a Eud ); essendo nota la posizione dell’asse d (in

quadratura in anticipo rispetto aEud ), si ricavano le componenti del vettore

corrente adI

ed aqI

; tramite il coefficiente di Potier , si calcola la corrente di

reazione di asse d, adI

; infine, la composizione vettoriale f ad udI I I

dà

la corrente di eccitazione If .

q

Ia

j XℓIa

Vf

Eu

j XrqIa

Erq B

C

Eud

d

adI

udI

fI

Fig.13.8: Costruzione di Arnold-Blondel

POTENZA E COPPIA DI MS ANISOTROPA LINEARE Con riferimento alla fig. 13.9a, si ha:

cos( ) sin( ) ( )sin( ) ( cos( ))sin( )sd a fDH X I DG DF FG E OG

1 1 1sd sqsd

f fsq sq

X XXAG ADOG AG AO AO AO V V

AO AC X X

Allora cos( ) sin( ) cos( )sin( )sd sq

sd a f fsq

X XX I E V

X

.

Quindi 233 cos( ) sin( ) 3 sin(2 )

2f f sd sq

f a fsd sd sq

V E X XP V I V

X X X

.

In alternativa, le espressioni delle potenze si possono ricavare tramite i fasori (Fig. 13.9b). Usando le reattanze sincrone, la legge alla maglia si può scrivere Vf + j XsdIad + j XsqIaq = Ef . Ponendo l’asse reale sull’asse q, si ha

Vf = Vf e - j δ = Vf (cosδ - j sinδ ) Iad = - j Iad Iaq = Iaq Ef = Ef . Allora Vf cosδ - j Vf sinδ + Xsd Iad + j Xsq Iaq - Ef = 0 da cui Vf cosδ + Xsd Iad - Ef = 0 e - Vf sinδ + Xsq Iaq = 0 . Si possono quindi ricavare le componenti della corrente

Ef

q

Ia

Vf

j XsqIa j XsdIa

A

C

DH

F O

Fig. 13.9a: costruzione per la determinazione della potenza P

Iad = (Ef - Vf cosδ ) / Xsd e Iaq = Vf sinδ / Xsq ;

quindi la corrente risulta Ia = Iad +Iaq = - j Iad + Iaq = - j (Ef - Vf cosδ ) / Xsd + Vf sinδ / Xsq . Si può quindi ricavare la potenza apparente complessa A = 3Vf Ia =3 Vf (cosδ - j sinδ )[ j (Ef - Vf cosδ ) / Xsd + Vf sinδ / Xsq]=

2 2

2 22 2

3 sin(2 ) sin( ) sin(2 )2 2

3 cos( ) cos ( ) sin ( )

f f f f

sq sd sd

f f f f

sd sd sq

V V E V

X X X

V E V Vj

X X X

Si ritova 23sin( ) 3 sin(2 )

2f f sd sq

fsd sd sq

V E X XP V

X X X

Ef

Re

d Iad

Iaq Ia

j XsqIaq

Vf

q

Im

j XsdIad

Fig. 13.9b: diagramma fasoriale per la determinazione della potenza P

La coppia è C = P / Ωo ; si riconosce che esistono 2 contributi (fig. 13.10), il 1° (dipendente da sin()) è detto di eccitazione, perché è dovuto alla presenza della eccitazione, il 2° (dipendente da sin(2)) è detto di anisotropia, perché dipende appunto dalla presenza di una anisotropia del circuito magnetico. Si osserva inoltre che può esistere una coppia anche in assenza di eccitazione (cioè, se Ef = 0): in tal caso, si parla di MS a riluttanza.

Fig.13.10: coppia di una MS anisotropa

Cecc

Canis

Ctot

29

ESERCIZI SU ALTERNATORE LINEARE ISOTROPO. ES1. Un alternatore trifase isotropo presenta, per corrente di eccitazione pari alla nominale, una fem di fase a vuoto Eo = 3500 V e una corrente di corto circuito Ik = 32.94 A. La macchina è collegata in parallelo ad una rete di potenza infinita di tensione concatenata Vn = 5 kV. Nell’ipotesi di mantenere costante la corrente di eccitazione al valore nominale: 1) per cosφ = 1, si calcoli la potenza attiva PG e la corrente IG erogata dall’alternatore, e l’angolo di carico δ; 2) per una riduzione di potenza generata (rispetto al caso precedente) ΔP = 37.22 kW, si calcoli la potenza reattiva QG

e la corrente IG erogata dall’alternatore, il fattore di potenza cosφ, l’angolo di caricoδ. [1) δ = 34.43°; IG = 18.6 A; PG = 161.1 kW; 2) δ = 25.78°; QG = 21.58 kVar; cosφ= 0.985; IG = 14.54 A]

Es2. Un alternatore monofase isotropo ha resistenza di indotto Ri = 1.0Ω e reattanza sincrona Xs = 4.5Ω; l’alternatore fornisce una potenza attiva Pc = 4 kW ad un carico di resistenza Rc = 14 Ω e reattanza Xc = 10 Ω. Determinare la variazione di tensione Δv% e l’angolo di carico δ. [ Eo = 352.6 V; Δv% = 21.26%; δ = 8.49°]

30

Es3. Una linea trifase alimenta alla tensione concatenata Vc = 660V tre motori aventi le seguenti caratteristiche:

motore tipo Potenza attiva assorbita [kW] Fattore di potenza 1 asincrono 75 cos1 = 0.81 R 2 asincrono 150 cos2 = 0.84 R 3 sincrono 125 cos3

Il motore sincrono è a rotore liscio, non saturo con reattanza sincrona Xs = 2.5 e presenta resistenza di indotto trascurabile. Determinare: - la potenza reattiva dei due motori asincroni, - la potenza reattiva, la corrente assorbita, la fem a vuoto, del motore sincrono quando esso è eccitato in modo da avere cos3 = 0.85 R o cos3 = 0.85 A; - la corrente complessivamente assorbita dai tre motori e il fattore di potenza complessivo dell’impianto, nelle condizioni del punto precedente; - la corrente assorbita, la fem a vuoto, il fattore di potenza, del motore sincrono, nel caso l’insieme dei tre motori non assorba potenza reattiva dalla linea. [cos3 = 0.85 R: Q1 = 54.3 kVar, Q2 = 96.9 kVar, Q3 = 77.5 kVar, Irete = 365.7 A, I3 = 128.7 A, Eo = 345.7 V; cos3 = 0.85 A: Q1 = 54.3 kVar, Q2 = 96.9 kVar, Q3 = -77.5 kVar, Irete = 312.9 A, I3 = 128.7 A, Eo = 614.6 V; Qrete = 0: Q3 = -151.2 kVar, 3 = -50.42°, I3 = 171.6 A, Eo = 762.4 V.]

31

Es 6.5 pag 531 Slemon: alternatore trifase connesso alla rete

An 60 106 p 2 fn 60 Vn 13.2 103

xs 1.2 Pp 0

Condizione di funzionamento 1: cos=1, V1 = Vn, Pm1 50 106 Ie1 1000

Condizione di funzionamento 2: sottoeccitazione, V2 = Vn, I2 = In, P2 = Pm1 Determinare Ie2

Condizione di funzionamento 3: condizione limite di stabilità, V3 = Vn, P3 = Pm1 Determinare Ie3 ed I3Dire se questa condizione è accettabile per un funzionamento continuativo

InAn

3 Vn In 2.624 103

ZnVn2

An Zn 2.904 Xs xs Zn Xs 3.485

Vn/3

In

j Xs In

Eo

VfVn

3 Vf 7.621 103

Ωo120 fn

p2 π

60 Ωo 376.991

Condizione di funzionamento 1: cos = 1 => A1 Pm1 I1A1

3 Vn I1 2.187 103

Eo1 Vf 2 Xs I1 2 coeff angcaratt traf

mcar.traf3 Eo1

Ie1 mcar.traf 18.668

mcar.traf

310.778

Eo1 1.078 104

Vn/3

I

j Xs I

Eo

Condizione di funzionamento 2La tensione di rete Vf non cambia, mentre Eo cala (perché la macchina lavora in sottoeccitazione) =>per far sì che il triangolo delle tensioni si chiuda, Eo si inclina verso sinistra, e j Xs I si inclina verso il bassoDi conseguenza, la corrente si inclina anch'essa verso sinistra,cioè va in anticipo su Vf

MODO1 I2 In P2 Pm1 Se V2 = Vn I2 = In => A2 = An A2 An

Q2 A22 P2

2 Q2 10 6

33.166 Eo2Xs

3 VnP2

2 Vn2

XsQ2

2

Eo2 8.041 103

MODO2 I2 In P2 Pm1 Se V2 = Vn I2 = In => A2 = An A2 An

cosϕ2P2A2

cosϕ2 0.833 Eo2 Xs I2 cosϕ2 2 Vf Xs I2 1 cosϕ22

2 Eo2 8.041 103

MODO3 P e Vf non cambiano => I cos non cambia => cos2 = I1 cos1 / I2 = I1 / In

cosϕ2I1In

cosϕ2 0.833 Eo2 Xs I2 cosϕ2 2 Vf Xs I2 1 cosϕ22

2 Eo2 8.041 103

Trovata Eo2 in uno dei modi precedenti, si haIe2

3 Eo2

mcar.traf Ie2 746.107

Vn/3

I

j Xs I

Eo

P3 Pm1Condizione di funzionamento 3

Il limite di stabilità si ha quando la coppia è massima, e ciò si verifica quando Eo è ortogonale alla tensione

Eo Xs I cosϕ= XsP

3 V= Eo3 Xs

P3

3 Vn Eo3 7.621 103

Ie33 Eo3

mcar.traf Ie3 707.107

I3Eo3

2 Vf 2

Xs I3 3.093 103

I3 > In => NON accettabile per funzionamento continuativo

32

Esempio1 pag 479 Slemon: alternatore trifase connesso alla rete

An 100 103 p 6 fn 60 Vn 2300 Xls 7.9 Xρs 56.5

Condizione di funzionamento 1: funzionamento a vuoto, allacciato a rete, Pin1 = 3750 W, Ie1 = 23 A

Condizione di funzionamento 2: V2 = Vn, I2 = In, cos= 0.9 R Determinare Ie2

Condizione di funzionamento 3: V3 = Vn, I3 = 15 A, Ie3 =20 A Determinare la coppia C3

Condizione di funzionamento 4: V4 = Vn, Ie4 = 20 A, condizione limite di stabilità. Determinare la potenza e la coppia in ingresso che portano la macchina in tale condizione

InAn

3 Vn In 25.102 Xs Xls Xρs Xs 64.4 Vf

Vn

3 Vf 1.328 103

Ωo120 fn

p2 π

60 Ωo 125.664

Condizione di funzionamento 1: Pin1 3.75 103 Ie1 23

A vuoto in parallelo alla rete, la fem Eo uguaglia la tensione di fase Eo1 Vf mcar.traf3 Eo1

Ie1

mcar.traf

357.735

Vn/3

I

j Xs I

Eo

mcar.traf 100Condizione di funzionamento 2: I2 In cosϕ2 0.9

Eo2 Xs I2 cosϕ2 2 Vf Xs I2 1 cosϕ22

2 Ie2

Eo2 3

mcar.traf Ie2 43.295Eo2 2.5 103

Condizione di funzionamento 3: I3 15 Ie3 20 Eo3mcar.traf Ie3

3 Eo3 1.155 103

Eo2 Xs I cosϕ( )2 Vf Xs I sinϕ( )2= Xs I( )2 Vf( )2

2 Vf Xs I sinϕ= Eo2 Xs I( )2 Vf 2

2 Vf Xs I sinϕ=

sinϕ3Eo3

2 Xs I3 2 Vf 2

2 Xs I3 Vf sinϕ3 0.531 cosϕ3 1 sinϕ3

2 acos cosϕ3 180

π 32.096

C33 Vf I3 cosϕ3

Ωo C3 402.842

Condizione di funzionamento 4 Ie4 20 Eo4 Eo3

Vn/3

I

j Xs I

Eo

Il limite di stabilità si ha quando la coppia è massima, e ciò si verifica quando Eo è ortogonale alla tensione

I4Vf 2 Eo4

2

Xs I4 27.325 cosϕ4

Eo4Xs I4

P4 3 Vf I4 cosϕ4 P4 7.143 104

oppure, usando la formula di Crepaz Pmax3 Eo4 Vf

Xs Pmax 7.143 104

Cmax4P4Ωo

Cmax4 568.411 Pin4 P4 Pin1 Pin4 7.518 104

Esempio2 pag 483 Slemon: la macchina precedente funziona da motore, con Pmecc = 75 kW e cos = 0.8 A .Le resitenze di armatura e eccitazione sono Rs = 0.81 e Re = 1.2. Nel funzionamento a pieno caricodeterminare la corrente di campo Ie5 e il rendimento 5. Determinare la coppia massima Cmax6 alla corrente dieccitazione precedente, ed i corrispondenti valori di I e cos.NOTA: Rs<<Xs => si tiene conto di Rs solo nel calcolo di (anche perché, tutta la teoria si basa su Rstrascurabile)

Vn/3

I

j Xs I

Eo

cosϕ5 0.8 sinϕ5 1 cosϕ52

Pn 75 103 Rs 0.81 Re 1.2

Pin5 Pn Pin1 Pin5 7.875 104 I5

Pin5

cosϕ5 3 Vn I5 24.71

Eo5 Xs I5 cosϕ5 2 Vf Xs I5 sinϕ5 2 Eo5 2.614 103 Ie5

Eo5 3

mcar.traf Ie5 45.27

Pp5 Pin1 3 Rs I52

Re Ie52

Pp5 7693 η51

1 Pp5 Pn 1

η5 0.907

Vn/3 I j Xs I

Eo

Eo6 Eo5 Cmax63 Eo6 Vf

Xs Ωo Cmax6 1286.6 φ6 atan

VfEo6

φ6180π

26.9

XsI6 Vf 2 Eo62

XsI6 2.932 103 I6

XsI6Xs

I6 45.523 I6 > In => NON acc.

33

Vn/3

I

j Xs I

Eo

Esempio3 pag 485 Slemon: motore trifase, con cos in anticipo

An 15 103 p 6 fn 60 Vn 220 Vf

Vn

3 Vf 127 cosϕn 0.8 sinϕn 1 cosϕn

2

Prova a vuoto Ieo 6.7 Vo Vn EooVo

3 Prova in corto Iek 6.7 Ik 57

Nella condizione di pieno carico, determinare la corrente di eccitazione Ien e la potenza reattiva Qn

XsEooIk

Xs 2.228 InAn

3 Vn In 39.365

mcar.trafVoIeo

mcar.traf 32.836mcar.traf

318.958 Eon Xs In cosϕn 2 Vf Xs In sinϕn 2

Eon 192.868 IenEon 3

mcar.traf Ien 10.174 Qn 3 Vn In sinϕn Qn 9 103

Esempio4 pag 488 Slemon: alternatore trifase isolato, con carico induttivo cosϕcar 0.9 sinϕcar 1 cosϕcar2

Condizione di funzionamento 1: Ie1 = Ieo; I1 = In; determinare quanto si abbassa la tensione ai morsettiCondizione di funzionamento 2: V2 = Vn; I2 = In; determinare Ie2, e quanto aumenta Eo

Vn/3

I

j Xs I

Eo

Condizione di funzionamento 1 Ie1 = Ieo => Eo1 Eoo

Vf1 Eo12 Xs In cosϕcar 2 Xs In sinϕcar Vf1 61.266

Eo1Vf1

1

100 107.3Vf1Eo1

100 48.2

Condizione di funzionamento 2 Eo2 Xs In cosϕcar 2 Vf Xs In sinϕcar 2 Eo2 183.143

Ie2Eo2 3

mcar.traf Ie2 9.661 Δv%

Eo2Vf

1

100 Δv% 44.2

Esempio5 pag 495 Slemon: alternatore trifase con carico induttivo

Caratt magnetizz Iecar 0.08 0.3 0.75 1 2 3 4 5 6( )T Eecar 3 10 20 26 43 57 68 77 85( )T

An 11 103 p 4 fn 60 Vn 110 Rs 26 10 3

Ppm 980 cosϕn 0.9 α 0.029 Xd 0.157

InAn

3 Vn In 57.735 φn acos cosϕn φn

180π

25.842

Determinare la corrente di eccitazione e la variazione di tensione quando la macchina opera in condizioni nominali

x1 x x2

y2

y y1 y

x

PROCEDIMENTO DI INTERPOLAZIONE LINEAREPer determinare l'ordinata di un punto di cui si conosce l'ascissa (o viceversa),si effettua una interpolazione lineare, a partire dai due punti noti esterni alpunto incognito

Se è noto x con x1 < x < x2 ,si ha y y1 Δy= y1 x x1( )y2 y1

x2 x1=

Se è noto y con y1 < y < y2 ,si ha x x1 Δx= x1 y y1( )x2 x1

y2 y1=

34

La corrente di eccitazione si ricava con la costruzione di Potier. Si pone l'asse reale in quadratura su Vf

VfVn

3i Vf 63.509i φI φ 90= φI 90 φ= Is In exp j φI( )=

Vf

Is

(Rs+j Xd) Is

Eu

Iu

Is IeRe

I

Is In exp iπ

2φn

Is 25.166 51.962i Is 57.735 arg Is( )180π

64.2

Eu Vf Rs i Xd( ) Is Eu 7.504 68.811i Eu 69.219 arg Eu( )180π

96.2

x1 4 y1 68 x2 5 y2 77 y Eu mod_Iu x1 y y1( )x2 x1

y2 y1

mod_Iu 4.135

Iu mod_Iu exp i arg Eu( )π

2

Iu 4.111 0.448i Iu 4.135 arg Iu( )180π

173.8

Ie Iu α Is Ie 4.841 1.955i Ie 5.221 arg Ie( )180π

158

x1 5 y1 77 x2 6 y2 85 x Ie mod_Eo y1 x x1( )y2 y1

x2 x1

mod_Eo 78.766

Variazione di tensionemod_Eo

Vf1

100 24.025

Esempio6 pag 497 Slemon: generatore trifase con cos unitarioCon riferimento alla macchina dell'esercizio precedente, determinare la corrente di eccitazione ed il rendimento,quando la macchina opera come generatore con cos unitario e con corrente e tensione nominali

Vn/3

IsEu

Iu

Is Ie

(Rs+j Xd) Is

Re

La corrente di eccitazione si ricava con la costruzione di Potier

Is In exp iπ

2

Is 57.735i

Eu Vf Rs i Xd( ) Is Eu 9.064 65.01i Eu 65.639 arg Eu( )180π

97.9

x1 3 y1 57 x2 4 y2 68 y Eu mod_Iu x1 y y1( )x2 x1

y2 y1

mod_Iu 3.785

Iu mod_Iu exp i arg Eu( )π

2

Iu 3.749 0.523i Iu 3.785 arg Iu( )180π

172.1

Ie Iu α Is Ie 3.749 2.197i Ie 4.345 arg Ie( )180π

149.6

Perdite Pp 3 Rs Is 2 Ppm Pp 10 3 1.24

Potenza erogata Pe 3 Vf Is Pe 10 3 11

Rendimento ηPe

Pe Pp η 0.899

35

Esercizi tratti da Mohan, Cap.15, "Synchronous Motor Drives", pag 446

Es. 15.2. Un servomotore BL a MP a 2 poli presenta una costante di coppia pari a KT = 0.5Nm/A. Determinare i valori dellecorrenti nelle tre fasi statoriche, se la macchina deve produrre una holding torque di 0.75 Nm, quando l'asse magnetico delrotore forma un angolo meccanico m = 20° rispetto all'asse della fase A di statore.

T KT Ia sin γ( )= IaT

KT sin γ( )= A parità di coppia, conviene avere sin() massimo, in modo

da avere corrente minima => si assume = 90, da cui sin() = 1 IaT

KT=

T 0.75 KT 0.5 IaT

KT Ia 1.5 valore rms della corrente di fase

Per determinare i valori istantanei delle correnti di fase, occorre determinare la posizione del fasore elettrico corrente di fase,poi da fasore si passa a valore istantaneo.La posizione del fasore corrente si ricava da quella del vettore spaziale corrente di armatura Ia

, dato che il fasore elettrico

corrente della fase A è in fase con Ia

(ovviamente, devono valere le solite ipotesi: vettori spaziali e fasori elettrici ruotanonello stesso senso antiorario, il riferimento spaziale per la fmm è l'asse magnetico della fase a, l'asse Reale del pianocomplesso è in fase con il riferimento spaziale, l'istante t = 0 è quello in cui è massima la corrente nella fase a)

Re

Ia

fI

Im

θe

γ = 90

La posizione di Ia

è + e , perché è la posizione di Ia

rispetto al vettore spaziale fmm

di eccitazione Mf

, Mf

è in fase con l'asse polare, l'asse polare è sfasato di e rispetto alriferimento (l'asse magnetico della fase a). Essendo la macchina a 2 poli, e = m = 20°. Si è detto che si assume = 90° ; trattandosi di un motore, Mf

è in ritardo su Ia

Si conclude che il fasore elettrico corrente della fase A ha fase + e = 90+20 = 110°Per passare al valore istantaneo, si moltiplica per 2 (perché il modulo dei fasori è il valorerms della sinusoide) e si aggiunge la fase

θ 20π

180 γ 90

π

180 ia 2 Ia cos θ γ( ) ia 0.726

Re Ib

Ic

Ia Im

π)3

4tIcos(ω2(t)i

π)32tIcos(ω2(t)i

t)Icos(ω2(t)i

c

b

a

I moduli di iB ed iC si ottengono per le relazioni esistenti in un sistema trifase

ib 2 Ia cos θ γ2 π

3

ib 2.089 ic 2 Ia cos θ γ2 π

3

ic 1.364

Allo stesso risultato si perviene se si proiettano i 3 fasori corrente sull'asse reale

36

Es. 15.4. Un servomotore BL a MP presenta le seguenti caratteristiche: resistenza di fase statorica Ra = 8 , induttanzafase-fase Lphph = 16 mH, costante di fem KE = 43.3 V / k rpm, numero poli p = 2. Nel funzionamento sinusoidale a coppiamassima (sin() = 1) e con una velocità N = 10 krpm, la macchina assorbe una corrente di fase di Ia = 10 A (rms).In questa condizione di funzionamento, determinare la tensione di fase e il fattore di potenza. Ripetere poi i calcoli con lastessa corrente di fase e la stessa velocità, ma = 60° e = 120°.

Ef

Ia

j Xs Ia

Vf

Ra Ia

If γφ

δ

N 10 103

p 2 Lph.ph 16 103

Ra 8 Ia 10 KE43.3

1000

L'induttanza di fase è metà di quella fase fase LaLph.ph

2

ωp

2N

2 π

60 ω 1.047 10

3 Xs ω La Xs 8.378 Ef

KE N

3 Ef 250

Zavet Ra i Xs Za Zavet φZ arg Zavet Za 11.584 φZ180

π 46.321

Per trovare la tensione di fase, occorre risolvere il diagramma fasoriale.Per prima cosa, seguendo la maglia degli angoli, si ha una relazione fra gli angoli caratteristici: + + - 90 = 0 (tale relazione è indipendente dal sistema di riferimento)

Per risolvere il diagramma si può procedere considerando le componenti scalari dei fasori, oppureconsiderando i fasori come grandezze vettoriali; in questo caso, occorre definire un sistema diriferimento, e esprimere in questo sistema di riferimento i fasori. Si procede in entrambi i modi.

Vf

Ia

j Xs Ia

Ef

Ra Ia

If

γ

γ

γ

φ

φV

MODO1: si considerano le componenti scalari. Si traccia il diagramma in una situazione generica e si esprimono le due componenti orizzontalee verticale di Vf (qui indicate con Vfx e Vfy). Poi si ricava lo sfasamento fra tensione e corrente.

Vfx γ( ) Xs Ia sin γ( ) Ra Ia cos γ( ) Vfy γ( ) Ef Ra Ia sin γ( ) Xs Ia cos γ( )

Vf γ( ) Vfx γ( )2

Vfy γ( )2

φV γ( ) atanVfx γ( )

Vfy γ( )

γ φ φV 90 0= φ γ( )π

2φV γ( ) γ

γ 60π

180 Vfx γ( ) 32.552 Vfy γ( ) 361.163 Vf γ( ) 362.627 φV γ( )

180

π 5.15 φ γ( )

180

π 35.15

γ 90π

180 Vfx γ( ) 83.776 Vfy γ( ) 329.993 Vf γ( ) 340.461 φV γ( )

180

π 14.245 φ γ( )

180

π 14.245

γ 120π

180 Vfx γ( ) 112.552 Vfy γ( ) 277.387 Vf γ( ) 299.352 φV γ( )

180

π 22.085 φ γ( )

180

π 7.915

Ef

Ia

j Xs Ia

Vf

Ra Ia

If γφ

δ

Re

φE

φI

φV

MODO2: si considerano i fasori.Si considera un asse Reale generico e si esprimono i fasori (NOTA: la fase di un fasore va DA asse reale A fasore)

Vf

Vf exp j φV( )= Ef

Ef exp j φE( )= Ia

Ia exp j φI( )=

Sviluppando la legge alla maglia si ha

Vf

Ef

Za

Ia= Ef exp j φE( ) Za Ia exp j φZ φI( )[ ]=

Vf

Ef cosφE j sinφE( ) Za Ia cos φZ φI( ) j sin φZ φI( )( )=

Vf_Re γ φE φI( ) Ef cos φE( ) Za Ia cos φZ φI( )

Vf_Im γ φE φI( ) Ef sin φE( ) Za Ia sin φZ φI( )

Vf_mod γ φE φI( ) Vf_Re γ φE φI( )2

Vf_Im γ φE φI( )2

Vf γ φE φI( ) Vf_Re γ φE φI( ) i Vf_Im γ φE φI( ) φV γ φE φI( ) arg Vf γ φE φI( )( )

φ φV φI 0= φ γ φE φI( ) φV γ φE φI( ) φI

37

Ef

Ia

j Xs Ia

Vf

Ra Ia

If γ

φ

δ

Re

φE

φI φV

Re // If => φEπ

2 φI γ( ) γ

γ 60π

180 Vf_Re γ φE φI γ( )( ) 32.552 Vf_Im γ φE φI γ( )( ) 361.17

Vf_mod γ φE φI γ( )( ) 362.634 φV γ φE φI γ( )( )180

π 95.15 φ γ φE φI γ( )( )

180

π 35.15

γ 90π

180 Vf_Re γ φE φI γ( )( ) 83.776 Vf_Im γ φE φI γ( )( ) 330

Vf_mod γ φE φI γ( )( ) 340.468 φV γ φE φI γ( )( )180

π 104.245 φ γ φE φI γ( )( )

180

π 14.245

γ 120π

180 Vf_Re γ φE φI γ( )( ) 112.552 Vf_Im γ φE φI γ( )( ) 277.394

Vf_mod γ φE φI γ( )( ) 299.358 φV γ φE φI γ( )( )180

π 112.085 φ γ φE φI γ( )( )

180

π 7.915

Ef

Ia

j Xs Ia

Vf

Ra Ia

If γφ

δ

Re

φI

φV

Re // Ef => φE 0 φI γ 90 0= φI γ( ) γπ

2

γ 60π

180 Vf_Re γ φE φI γ( )( ) 361.17 Vf_Im γ φE φI γ( )( ) 32.552

Vf_mod γ φE φI γ( )( ) 362.634 φV γ φE φI γ( )( )180

π 5.15 φ γ φE φI γ( )( )

180

π 35.15

γ 90π

180 Vf_Re γ φE φI γ( )( ) 330 Vf_Im γ φE φI γ( )( ) 83.776

Vf_mod γ φE φI γ( )( ) 340.468 φV γ φE φI γ( )( )180

π 14.245 φ γ φE φI γ( )( )

180

π 14.245

γ 120π

180 Vf_Re γ φE φI γ( )( ) 277.394 Vf_Im γ φE φI γ( )( ) 112.552

Vf_mod γ φE φI γ( )( ) 299.358 φV γ φE φI γ( )( )180

π 22.085 φ γ φE φI γ( )( )

180

π 7.915

NOTA: piuttosto che posizionare l'asse reale in posizione generica, di solito è più semplice posizionare l'asse reale su unfasore, e partire da quella condizione particolare

Ef

Ia

j Xs Ia

Vf

Ra Ia

If γ

φ

δ

Re

φE

φI φV

Re in fase con If φI γ= φE 90= φV γ φ= 90 δ= φ φV γ=

Vf

Ef

Za

Ia= Ef exp j φE( ) Za Ia exp j φZ φI( )[ ]=

Vf

Ef cosφE j sinφE( ) Za Ia cos φZ φI( ) j sin φZ φI( )( )=

Vf

j Ef Za Ia cos φZ γ( ) j sin φZ γ( )( )=

Re_Vf γ( ) Za Ia cos φZ γ( ) Im_Vf γ( ) Ef Za Ia sin φZ γ( )

Vf γ( ) Re_Vf γ( ) i Im_Vf γ( )

mod_Vf γ( ) Re_Vf γ( )2

Im_Vf γ( )2

φV γ( ) arg Vf γ( )( ) φ γ( ) φV γ( ) γ

38

γ 60π

180 mod_Vf γ( ) 362.634 Re_Vf γ( ) 32.552 Im_Vf γ( ) 361.17 φV γ( )

180

π 95.15 φ γ( )

180

π 35.15

γ 90π

180 mod_Vf γ( ) 340.468 Re_Vf γ( ) 83.776 Im_Vf γ( ) 330 φV γ( )

180

π 104.245 φ γ( )

180

π 14.245

γ 120π

180 mod_Vf γ( ) 299.358 Re_Vf γ( ) 112.552 Im_Vf γ( ) 277.394 φV γ( )

180

π 112.085 φ γ( )

180

π 7.915

Ef

Ia

j Xs Ia

Vf

Ra Ia

If γ φ

δ

Re

φI

φV

Re in fase con Ef φE 0= φV δ= φI γ 90 0= φI γ 90=

φ 90 γ δ= 90 γ φV=

Vf

Ef

Za

Ia= Ef exp j φE( ) Za Ia exp j φZ φI( )[ ]=

Vf

Ef cosφE j sinφE( ) Za Ia cos φZ φI( ) j sin φZ φI( )( )=

Vf

Ef Za Ia cos φZ γ 90( ) j sin φZ γ 90( )( )=

Vf

Ef Za Ia sin φZ γ( ) j cos φZ γ( )( )=

Im_Vf γ( ) Za Ia cos φZ γ( ) Re_Vf γ( ) Ef Za Ia sin φZ γ( )

Vf γ( ) Re_Vf γ( ) i Im_Vf γ( ) mod_Vf γ( ) Re_Vf γ( )2

Im_Vf γ( )2

φV γ( ) arg Vf γ( )( ) φ γ( ) φV γ( ) γ 90π

180

γ 60π

180 mod_Vf γ( ) 362.634 Re_Vf γ( ) 361.17 Im_Vf γ( ) 32.552 φV γ( )

180

π 5.15 φ γ( )

180

π 35.15

γ 90π

180 mod_Vf γ( ) 340.468 Re_Vf γ( ) 330 Im_Vf γ( ) 83.776 φV γ( )

180

π 14.245 φ γ( )

180

π 14.245

γ 120π

180 mod_Vf γ( ) 299.358 Re_Vf γ( ) 277.394 Im_Vf γ( ) 112.552 φV γ( )

180

π 22.085 φ γ( )

180

π 7.915

Le 3 situazioni corrispondono ai seguenti diagrammi fasoriali

Vf

Ia

j Xs Ia

Ef

Ra Ia

If γ

φ

Vf Ia

j Xs Ia

Ef

Ra Ia

If γ

φ

Vf

Ia

j Xs IaEf

Ra Ia

If γ φ

= 60: cos in ritardo, Vf aumenta rispetto a = 90coppia non massima

= 120: cos in anticipo ( => rifaso) Vf cala rispetto a = 90Ia smagnetizzante (opposta If)coppia non massima

39

Caratteristiche di funzionamento di un alternatore lineare isotropo Si consideri un alternatore trifase isotropo avente i seguenti dati nominali e di prova: potenza nominale An [MVA] 10 tensione nominale Vn [kV] 11 fattore di potenza nominale cosϕn 0.8 (rit.) frequenza fn [Hz] 50 resistenza di indotto (per fase, colleg. Y), a 75 °C Ri [mΩ] 70 resistenza avvolg. di eccitazione, a 75 °C Recc [Ω] 0.20 perdite addizionali (a corrente nominale) paddn [kW] 50 perdite meccaniche a velocità nominale pm [kW] 110 perdite a vuoto totali a velocità e tensione nominale po [kW] 180 corrente di eccitazione a vuoto a tensione nominale ieon [A] 180 corrente di indotto in c.to c.to, con ie = 50A Ic.to [A] 150 caduta di tensione su ogni spazzola ΔVs [V] 1 La caratteristica di magnetizzazione Vo(iecc) a velocità nominale è descritta, in modo normalizzato, mediante le seguenti coppie di valori percentuali (iecc%=100⋅iecc/ieon Vo%=100⋅Vo/Vn) iecc% 20 40 60 80 100 130 170 220 280 Vo% 22 43 63 83 100 115 125 134 142 Si chiede di tracciare la caratteristica di magnetizzazione effettiva e linearizzata (caratteristica di traferro) e di calcolare le seguenti grandezze: 1. il coefficiente angolare della caratteristica di traferro; 2. la reattanza sincrona Xs; 3. la corrente di eccitazione e l'angolo di carico, nel caso in cui la tensione di indotto sia pari alla

nominale e la corrente sia pari alla nominale, per cosϕ = 1; cosϕn ; 0rit ; 0ant; 4. la variazione di tensione nel funzionamento nominale; 5. la corrente di guasto per corto circuito netto trifase ai morsetti; 6. la corrente di indotto, per tensione pari alla nominale, carico nullo, e corrente di eccitazione

pari al 60% ed al 30% della corrente di eccitazione in condizioni nominali; 7. la massima potenza reattiva erogabile ed assorbibile dall’alternatore; 8. la tensione ai morsetti dell’induttore e la potenza da esso assorbita, per pieno carico nominale e

fattore di potenza pari al nominale; 9. le perdite ed il rendimento convenzionali, in condizioni nominali; 10. le perdite ed il rendimento convenzionali, per una corrente di indotto pari al 30% della

nominale e cosϕ = cosϕn.

40

41

42

43

k 0 last Vo.pu( )..:=

1 Coeff angolare della caratteristica di traferro mcar.traf

Vo.pu2Vn⋅

Iecc.pu2ieon⋅

:= mcar.traf 64.167= iecc 1 400..:=

2 reattanza sincrona Ii50 150:= Vo50 mcar.traf 50⋅:= Vo50 3.208 103

×= XsVo50

3 Ii50⋅:= Xs 12.349=

XsZn

1.021=

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 5500

5000

1 .104

1.5 .104

2 .104

2.5 .104

Vo.pukVn⋅

mcar.traf iecc⋅

Vn

Iecc.pukieon⋅ iecc,

3. Vo1 3 Eo Vn In, 1, Xs,( )⋅:= Vo1 1.572 104×= Ie1

Vo1

mcar.traf:= Ie1 244.943= δ Vn In, 1, Xs,( )

180π

⋅ 45.583=

Vo2 3 Eo Vn In, cosφn, Xs,( )⋅:= Vo2 1.988 104×= Ie2

Vo2

mcar.traf:= Ie2 309.819= δ Vn In, cosφn, Xs,( ) 180

π⋅ 26.857=

Von Vo2:= ien Ie2:= ieM ien:=Queste sono le condizoni nominali => danno Von e ienNOTA: ien = ieccMAX, ed In = IiMAX, perché le condizioni nominali sono quelle di limite termico della macchina.NOTA: Von è molto elevata perché stiamo considerando la caratteristica di traferro; se considerassimo la caratteristica reale, a pari valori di iecc si hanno valori di Vo ben più bassi => anche Von sarebbe più bassa

CARATTERISTICHE DI FUNZIONAMENTO DI UN ALTERNATORE LINEARE

An 10 106⋅:= Vn 11 103

⋅:= cosφn 0.8:= fn 50:= ∆Vs 1:= InAn

3 Vn⋅:= In 524.864=

Corrente di eccitaz a vuoto ieon 180:= Resistenza indotto Ri 0.07:= Resistenza eccitaz. Recc 0.20:=

Perdite addiz. Paddn 50 103⋅:= Perdite meccan Pmecc 110 103

⋅:= Perdite a vuoto Po 180 103⋅:=

Impedenza nominale ZnVn2

An:= Zn 12.1=

δ V I, cosφ, X,( ) atancosφ

1 cosφ2

−V

3 X⋅ I⋅+

⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠

:=Eo V I, cosφ, X,( ) X I⋅( )2V2

3+ 2

V

3⋅ X⋅ I⋅ 1 cosφ

2−⋅+:=

Iecc.pu 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.3 1.7 2.2 2.8( )T:=Caratt di magnetizzper punti

Vo.pu 0.22 0.43 0.63 0.83 1 1.15 1.25 1.34 1.42( )T:=

44

10 perdite e rendimento

η 0.963=Rendimento η1

1Pptotn

Presa+

:=

Pptotn 3.077 105×=Pptotn Po Peccn+ Pcun+ Paddn+:=Pcun 5.785 104

×=Pcun 3 Ri⋅ In2⋅:=

Presa 8 106×=Presa 3 Vn⋅ In⋅ cosφn⋅:=9 perdite e rendimento in condizioni nominali

Peccn 1.982 104×=Peccn Veccn ien⋅:=Veccn 63.964=Veccn Recc ien⋅ 2 ∆Vs⋅+:=8

QL 7.91 106×=QL 3 Vn⋅ ImaxL⋅:=

η 0.924=Rendimento η1

1Pptot

Presa+

:=Presa 2.4 106×=Presa 3 Vn⋅ α⋅ In⋅ cosφn⋅:=

Pptot 1.987 105×=Padd 4.5 103

×=Pcu 5.207 103×=Pecc 9.002 103

×=

Pptot Po Pecc+ Pcu+ Padd+:=Padd Paddn α2

⋅:=Pcu 3 Ri⋅ α In⋅( )2⋅:=Pecc Recc Ie7⋅ 2 ∆Vs⋅+( ) Ie7⋅:=

Ie7 207.219=Ie7Vo7

mcar.traf:=Vo7 1.33 104

×=Vo7 3 Eo Vn α In⋅, cosφn, Xs,( )⋅:=

α 0.3:=

IGIn

1.771=IG 929.456=IGVon

3 Xs⋅:=5 corrente di guasto

3 Xs⋅ In⋅ 1.123 104×=∆V 8.88 103

×=∆V Von Vn−:=4 variazione di tensione

NOTA: Nel caso 4, per avere In occore Vo4 < 0, cioè iecc4 < 0; significa che occorre invertire il campo e quindi si inverte la fem ai morsetti; è funzionamneto possibile, ma solo transitorio.

Ie4 3.526−=Ie4Vo4

mcar.traf:=Vo4 226.255−=Vo4 Vn 3 Xs⋅ In⋅−:=

NOTA: Nel caso 3, la corrente di eccitazione risulta superiore al valore nominale (che è il valore massimo ammissibile).Significa che questo tipo di funzionamento non è ammesso, cioè con cosφ = 0 R deve essere I<In

Ie3 346.383=Ie3Vo3

mcar.traf:=Vo3 2.223 104

×=Vo3 Vn 3 Xs⋅ In⋅+:=

ImaxL 415.17=ImaxLVoM Vn−

3 Xs⋅:=VoM 1.988 104

×=VoM mcar.traf ieM⋅:=

Qc 9.798 106×=Qc 3 Vn⋅ ImaxC⋅:=ImaxC 514.286=ImaxC

Vn

3 Xs⋅:=7. massima potenza reattiva

I6 43.388=I6Vo6 Vn−

3 Xs⋅:=Vo6 1.193 104

×=Vo6 0.6 ien⋅ mcar.traf⋅:=

I5 235.449=I5Vn Vo5−

3 Xs⋅:=Vo5 5.964 103

×=Vo5 0.3 ien⋅ mcar.traf⋅:=6

45

Rc 92.16= XcXcΔ

3:= Xc 69.12=

Espressioni di Eo e δ in funzione di Xs, Valim, PG, QG.

δ V X, P, Q,( ) atanP

QV2

X+

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

180π

⋅:=Eo V X, P, Q,( )

X

3 V⋅P2 Q

V2

X+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

+⋅:=

Espressione della fem indotta valida per macchine rotanti E B l⋅ v⋅= B l⋅ Ω⋅ R⋅= B l⋅ ω⋅2p⋅ R⋅= B l⋅ 2⋅ π⋅ f⋅

2p⋅ R⋅= k B⋅ f⋅=

Espressione delle reattanze funzione della frequenza X f( ) 2 π⋅ f⋅ L⋅= 2 π⋅ f⋅ L⋅fnfn⋅= f

fn2 π⋅ fn⋅ L⋅( )⋅= f

fnX fn( )⋅=

1. L'alternatore è collegato alla rete, e le rete eroga Prete, Qrete. Per differenza fra quanto eroga la rete e quanto assorbe il carico si trovano PG e QG erogate dall'alternatore; queste vengono utilizzate per calcolare Eo e δ

Prete 150 103⋅:= Qrete 87.5 103

⋅:= PG Pc Prete−:= PG 1 105×= QG Qc Qrete−:= QG 1 105

×=

Eo1 Eo Vn Xs, PG, QG,( ):= Eo1 4.315 103×= δ Vn Xs, PG, QG,( ) 10.408=

ESERCITAZIONE SU ALTERNATORE ISOTROPO FUNZIONANTE IN ISOLA

Un alternatore trifase isotropo ha tensione nominale Vn = 6 kV e reattanza sincrona Xs = 81 Ω; la resistenza degliavvolgimenti di indotto è trascurabile, così come le perdite meccaniche. L’alternatore alimenta un carico trifasecollegato a triangolo di resistenza RcΔ = 276.48 Ω e reattanza induttiva XcΔ = 207.36 Ω. L’alternatore può alimentaredirettamente il carico, oppure essere messo in parallelo alla rete (di potenza infinita) a frequenza 50 Hz. Calcolare la fem a vuoto Eo e l’angolo di carico δ nelle seguenti condizioni di funzionamento: 1) l’alternatore è collegato alla rete, e la rete eroga Prete = 150 kW, Qrete = 87.5 kVar; 2) l’alternatore è staccato dalla rete e l’eccitazione è regolata così da avere la stessa induzione a traferro del punto 1);

calcolare la frequenza a cui si portano le grandezze elettriche; 3) l’alternatore è staccato dalla rete e viene regolato in modo da mantenere la stessa induzione a traferro B1 e la stessa

potenza attiva sul carico Pc del caso 1); calcolare la frequenza a cui si portano le grandezze elettriche e verificareche il funzionamento sia possibile;

4) l’alternatore è staccato dalla rete e viene regolato in modo da mantenere la stessa frequenza e la stessa tensionenominale del caso1); calcolare il rapporto fra le induzioni a traferro B4 di questo caso e B1 del caso 1), e verificareche il funzionamento sia accettabile;

5) l’alternatore è staccato dalla rete e viene regolato in modo da mantenere la stessa frequenza e la stessa induzione atraferro del caso1); calcolare la corrente e le potenze assorbite dal carico.

Vn 6000:= Xs 81:= fn 50:= RcΔ 276.48:= XcΔ 207.36:=

Per ipotesi, sono trascurabili le perdite sia elettriche sia meccaniche => tutta la potenza meccanica Pm assorbita dal motore primo si traduce in potenza elettrica attiva PG ai morsetti.

ZcΔ RcΔ2 XcΔ

2+:= ZcΔ 345.6= cosφ

RcΔZcΔ

:= cosφ 0.8=

Ac 3Vn2

ZcΔ⋅:= Ac 3.125 105

×= Pc Ac cosφ⋅:= Pc 2.5 105×= Qc Ac 1 cosφ

2−⋅:= Qc 1.875 105

×=

Parametri del carico a stella RcRcΔ

3:=

46

Ic3Pc

3 Rc⋅:= Ic3 30.07= f3 f Ic3( ):= f3 104.369i−=

4. L'alternatore è staccato dalla rete e viene regolato in modo da mantenere la stessa frequenza e la stessa tensione sul carico del caso 1).La frequenza non cambia => non cambia l'impedenza del carico. Non cambiando nè l'impedenza nè la tensione sul carico, non cambiano le potenze assorbite dal carico. Non essendoci la rete, l'elternatore deve fornire tutto quanto il carico richiede => PG = Pc; QG = Qc.

Ic4Vn

3 Rc2 Xc2+⋅

:= Ic4 30.07=Eo4 Eo Vn Xs, Pc, Qc,( ):= Eo4 5.297 103×= δ Vn Xs, Pc, Qc,( ) 21.584=

Dall'espressione della fem si ricava il rapporto fra le induzioni rappB = B4/B1.L'induzione B4 è accettabile solo se l'incremento rispetto a B1 è di qualche %, perché incrementi superiori comportano una saturazione troppo elevata del ferro. Si osserva che il valore qui trovato non è accettabile.

rappBEo4Eo1

:= rappB 1.228=

5. L'alternatore è staccato dalla rete e viene regolato in modo da mantenere la stessa frequenza e la stessa induzione al traferro del caso 1). La frequenza non cambia => non cambia l'impedenza del carico. L'induzione non cambia => non cambia il flusso di eccitazione. Non cambiando nè la frequenza nè il flusso, non cambia la fem a vuoto Eo => E o5 = Eo1.Dalla legge alla maglia si ricava la corrente, e da essa le potenze

Ic5Eo1

Rc2 Xs Xc+( )2+

:= Pc5 3 Rc⋅ Ic52

⋅:= Qc5 3 Xc Ic52

⋅⋅:= Vc5 3 Rc2 Xc2+⋅ Ic5⋅:=

Ic5 24.493= Pc5 1.659 105×= Qc5 1.244 105

×= Vc5 4.887 103×= δ Vc5 Xs, Pc5, Qc5,( ) 21.584=

L'angolo di carico è lo stesso del caso 4, perché il diagramma vettoriale è lo stesso del caso 4, ma tutte le grandezze sono ridotte del rapporto B4/B1.

VnVc5

1.228=Eo4Eo1

1.228=Ic4Ic5

1.228=

2. L'alternatore è staccato dalla rete e non viene regolato. Non essendoci regolazione significa che, rispetto al caso1), non cambia nè la potenza meccanica del motore primo, nè la corrente di eccitazione => non cambiano nè la potenza attiva P G, nè l'induzione a traferro.

La potenza attiva PG si trasferisce tutta al carico => PC = PG. Essendo nota la potenza attiva sul carico, si può ricavare la corrente di linea (corrispondente alla corrente di fase del carico a stella) Ic

PG3 Rc⋅

:= Ic 19.018=

Essendo nota la corrente, Eo si ricava semplicemente dalla legge alla maglia elettrica Eo = Ztot * Ic, e questa fornisce una prima relazione fra la frequenza e Eo Eo Ic Rc2 f

fnXs Xc+( )⋅⎡⎢

⎣⎤⎥⎦

2+⋅=

Un'altra relazione fra Eo ed f si ottiene dall'espressione della fem indotta, considerando che l'induzione è la stessa del caso 1)

EoEo1

ffn

=

Unendo le due precedenti equazioni, si ha un'equazione da cui ricavare f

f Ic( ) fnRc

Eo1Ic

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

Xs Xc+( )2−

⋅:=Eo1ffn⋅ Ic Rc2 f

fnXs Xc+( )⋅⎡⎢

⎣⎤⎥⎦

2+⋅= f2 f Ic( ):=

f2 27.091=

Eo2 Eo1f2fn⋅:= Eo2 2.338 103

×= Xc2 Xcf2fn⋅:= Xc2 37.451= Qc2 3 Xc2⋅ Ic2

⋅:= Qc2 4.064 104×=

Xs2 Xsf2fn⋅:= Xs2 43.888= Vc2 3 Ic⋅ Rc2 Xc2

2+⋅:= Vc2 3.277 103

×=

Eo Vc2 Xs2, PG, Qc2,( ) 2.338 103×= δ Vc2 Xs2, PG, Qc2,( ) 19.316=

3. L'alternatore è staccato dalla rete e viene regolato in modo da mantenere la stessa induzione e la stessa potenza attiva del caso 1). Essendo nota la potenza attiva del carico, si procede come nel caso precedente (cambia solo il valore di Pc).

La frequenza che si ottiene è immaginaria: significa che il funzionamento non è possibile in queste condizioni.

47