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Luoghi geometrici di punti

a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it

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Alcune definizioni

Esempi di luoghi geometrici:Circonferenza: insieme di tutti e soli i punti

del piano aventi la stessa distanza r da un punto fisso detto centro della circonfe-renza

DEF: un luogo geometrico (piano) è l’insieme di tutti e soli i punti (di un piano) che godono di una stessa proprietà caratteristica.

Cr

Cr

Cerchio: insieme di tutti e soli i punti del pia-no che hanno da un punto fisso (il centro della cerchio) distanza uguale o minore di una distanza r assegnata

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Un’importante osservazione

TUTTI = ogni punto che gode della proprietà P appartiene al luogo L

SOLI = solo i punti che godono della proprietà P appartengono al luogo L

DEF: un luogo geometrico L è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano che godono di una stessa proprietà caratteristica P.

equivale a dire:

Se un punto non gode della proprietà P, allora non appartiene al luogo L

ovvero (affermazione contronomianle):

Se un punto appartiene al luogo L, allora gode della proprietà P

equivale a dire:

Se un punto gode della proprietà P, allora appartiene al luogo L

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quindi…

1a parte - ogni punto che gode della proprietà P appartiene al luogo, ovvero alla figura F

2a parte - solo i punti che godono della proprietà P appartengono al luogo considerato, ovvero alla figura F

… se vogliamo dimostrare che una data figura geometrica F è un luogo geometrico di punti che godono di una certa proprietà P, la dimostrazione si comporrà di due parti:

e questo equivale a dover dimostrare che :

2 - Se un punto appartiene alla figura F, allora gode della proprietà P (N.B. si tratta dell’ inversa della 1)

e questo equivale a dover dimostrare che:

1 - Se un punto gode della proprietà P, allora appartie-ne alla figura F

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L’asse di un segmentocome luogo geometrico di punti

1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora appartiene all’asse del segmento AB

e, viceversa:

2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allo-ra ha la stessa distanza da A e da B.

DEF: Si dice asse di un segmento la retta perpendi-colare ad esso che lo interseca nel suo punto medio.

TEOREMA: L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti che hanno la medesima distanza dagli estremi del segmento stesso

Ovvero: Dato un segmento AB, il suo asse è costituito da tutti e soli i punti P per i quali vale che PAPB

Dovremo allora dimostrare che:

A B

r

M

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Dimostrazione 1a parte1 - Se un punto P ha la stessa distanza da A e da B, allora appartiene all’asse del segmento AB

Hp: r è asse di AB (ovv: rAB, rABM, AM MB )

PAPB

Th: PrConsideriamo il punto P ed il triangolo ABP.

ABP è isoscele, poiché PA PB per ipotesi.

La mediana PM condotta da P ad AB divide ABP in due triangoli congruenti (da dimostrare applicando il 3° criterio di congruenza): in particolare vale che AMP BMP, e quindi i due angoli sono retti, visto che sommati danno un angolo piatto.

A BM

r

P

La mediana PM è allora perpendicolare ad AB e coincide quindi con l’asse del segmento AB.

^ ^

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Dimostrazione 2a parte2 - Se un punto P appartiene all’asse del segmento AB, allo-ra ha la stessa distanza da A e da B.

Hp: r è asse di AB (ovv.: rAB, rABM, AM MB )

Pr

Th: PAPBConsideriamo i triangoli AMP e BMP:

AM MB (M è punto medio di AB per ipotesi)

AMP BMP (entrambi retti per l’ipotesi che rAB)

A BM

r

P

PM PM (lato in comune)

I due triangoli sono quindi congruenti per il 1° criterio di congruen-za per i triangoli; in particolare si avrà che PA PB

^ ^

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La bisettrice di un angolocome luogo geometrico di punti

DEF: Si dice bisettrice di un angolo con-vesso la semiretta che esce dal suo vertice che lo divide in due parti congruenti.

Vale il seguente teorema:

TEOREMA: La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti che hanno la medesima distanza dai lati dell’angolo.

Ovvero: Dato un angolo AÔB, la sua bisettrice è costituita da tutti e soli i punti P per i quali vale che la distanza di P dal lato OA sia uguale alla distanza dello stesso punto P dal lato OB

A

BO

P