Luoghi di punti e funzioni Definizione e caratteristiche

1

In geometria il termine

Esempi:

luogo di punti indica l’insieme di tutti e soli i punti che godono di una determinata proprietà P.

la bisettrice di un angolo (luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo);

l’asse di un segmento (luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento);

la circonferenza (luogo dei punti equidistanti dal suo centro).

Luoghi di punti e funzioni Definizione e caratteristiche

2

ATTENZIONE ad interpretare correttamente il concetto di luogo:

il segmento che è l’altezza relativa alla base di un triangolo isoscele non è considerato il luogo dei punti equidistanti dagli estremi della base perché, se è vero che tutti i suoi punti hanno questa caratteristica, essi però non sono i soli: anche i punti della retta a cui appartiene l’altezza godono della stessa proprietà.

Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano

3

Nel piano cartesiano un luogo di punti è individuato da una relazione algebrica fra le coordinate (x, y) dei suoi punti.

una retta parallela agli assi cartesiani è il luogo dei punti che hanno l’ascissa oppure l’ordinata uguale a una data costante k:

• x = k luogo dei punti di ascissa k

• y = k luogo dei punti di ordinata k

Esempi:

una retta non parallela agli assi cartesiani è il luogo dei punti per i quali è costante il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due suoi punti, di cui uno fissato, si mantiene costante:

€

y−y0

x−x0=m

€

y−y0 =mx−x0( )

La retta è un luogo di punti che è individuato da una proprietà p diversa a seconda del tipo di retta.

Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano

4

L’equazione dell’asse di un segmento AB si può determinare:

ESEMPIO

Scriviamo l’equazione dell’asse del segmento AB di estremi A(−2, 3) e B(4, −1).

• applicando la definizione e scrivendo l’equazione della retta perpendicolare ad AB e passante per il suo punto medio M.

•applicando il concetto di luogo: PA = PB

€

PA = x+ 2( )2+ y−3( )

2

€

PB = x−4( )2+ y +1( )

2

€

x+ 2( )2+ y−3( )

2= x−4( )

2+ y +1( )

2

€

3x−2y−1=0

• Con il concetto di luogo, con P(x, y)

€

x+ 2( )2+ y−3( )

2= x−4( )

2+ y +1( )

2

Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano

5

• Con la definizione:

€

mAB = 3 +1−2−4

=−23

€

m⊥ =32

€

xM =−2+42

=1

€

yM =3−12

=1

€

M 1, 1( )

€

y−1=32x−1( )

€

3x−2y−1=0equazione dell’asse:

Luoghi di punti e funzioni

ESEMPIO

Luoghi nel piano cartesiano

6

Se r e s sono le rette a cui appartengono i due lati di un angolo, un punto P(x, y) del piano appartiene alla bisettrice se la distanza di P da r è uguale alla distanza di P da s:

€

d P , r( ) =d P , s( )

€

r : 4x−3y +1=0

€

s : 6x−8y−5 =0e

€

d P , r( ) =4x−3y +1

16 +9=4x−3y +1

5

€

d P , s( ) =6x−8y−5

36 + 64=6x−8y−5

10

€

4x−3y +1

5=6x−8y−5

10

€

2 4x−3y +1 =6x−8y−5cioè

continua

Date due rette r e s

troviamo l’equazione delle bisettrici degli angoli formati da r e s.

Luoghi di punti e funzioni Luoghi nel piano cartesiano

7

Dalla definizione di modulo otteniamo:

€

2 4x−3y +1( ) =6x−8y−5 ∨

€

2 4x−3y +1( ) =−6x−8y−5( )

cioè

€

2x+ 2y +7 =0 ∨

€

14x−14y−3 =0

Delle due rette trovate, la prima è la bisettrice dell’angolo ottuso formato da r e s (in colore rosso), la seconda è la bisettrice dell’angolo acuto (in colore blu); osserviamo tra l’altro che le due bisettrici sono perpendicolari.

Luoghi di punti e funzioni La parabola: definizione e caratteristiche

8

La parabola è il luogo dei punti P equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice.

Caratteristiche geometriche:

possiede un asse di simmetria a che si ottiene tracciando da F la perpendicolare alla direttrice; infatti ogni punto della parabola che si trova alla destra del fuoco rispetto a questa retta ha un suo corrispondente sulla sinistra;

in questa simmetria il punto V di intersezione della parabola con il suo asse è il solo punto che ha per corrispondente se stesso (punto unito); a tale punto si dà il nome di vertice della parabola.

Luoghi di punti e funzioni La parabola: equazione

9

L’asse di simmetria è una retta parallela all’asse delle y e ha equazione:

€

x=−b2a

il vertice è il punto V di coordinate con Δ = b2 − 4ac

€

−b2a

, − Δ4a

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Fissato un sistema di riferimento cartesiano in modo che la direttrice della parabola sia parallela all’asse x l’equazione della parabola è:

€

y =ax2 +by+c

€

a≠0( )

Luoghi di punti e funzioni La parabola: equazione

10

Il coefficiente a determina la forma della parabola:

se a > 0 la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto

se a < 0 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

Luoghi di punti e funzioni

ESEMPIO

La parabola: costruzione del grafico

11

Per costruire il grafico di una parabola occorre sempre determinare le coordinate del vertice, l’asse di simmetria è poi la retta parallela all’asse y che passa per il vertice. Altri punti del grafico possono essere trovati attribuendo opportuni valori alla variabile x e calcolando quelli corrispondenti di y.

€

y =x2 −2x−1

€

a=1, b=−2, c =−1( ) a > 0 quindi la parabola è concava verso l’alto

€

xv =−b2a

=−−22

=1

€

yv =−b2 −4ac4a

=−4 +44

=−2

coordinate del vertice:

asse di simmetria:

€

x=1

troviamo le coordinate di qualche punto:x

y

0

−1

−1

2

Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità diretta

12

Due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni:

gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca;

il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme è uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo insieme.

Esempio numerico:

€

A= 3, 5, 8{ }

€

B = 6,10,16{ }

A e B sono direttamente proporzionali perché

€

35= 610

, 38= 616

, 58=1016

Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità diretta

13

Se due insiemi di grandezze A e B sono direttamente proporzionali, i rapporti fra le misure di grandezze corrispondenti sono costanti; il valore comune di tutti i rapporti prende il nome di costante di proporzionalità diretta.

Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e B e con m la costante di proporzionalità, possiamo esprimere la relazione di proporzionalità diretta con la relazione:

In questa equazione, riscritta nella forma y = mx, riconosciamo l’equazione di una retta passante per l’origine (tranne l’asse y).

€

yx=m

16

10

6

3 5 8

Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità inversa

14

Due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali se si verificano le seguenti condizioni:

gli elementi dei due insiemi sono in corrispondenza biunivoca;

il rapporto fra due qualsiasi grandezze del primo insieme è uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo.

Esempio numerico:

€

A= 2, 6, 15{ }

€

B = 30, 10, 4{ }

A e B sono inversamente proporzionali perché

€

26=1030

, 215

= 430

, 615

= 410

Luoghi di punti e funzioni Proporzionalità inversa

15

Se due insiemi di grandezze A e B sono inversamente proporzionali, il prodotto fra le misure di due elementi che si corrispondono non cambia al variare della coppia scelta; il valore comune di tutti i prodotti prende il nome di costante di proporzionalità inversa.

Se indichiamo con x e y le misure delle grandezze rispettivamente di A e B e con k la costante di proporzionalità (k ≠ 0), possiamo esprimere la relazione di proporzionalità inversa con la relazione:

Dal punto di vista analitico, una proporzionalità inversa è quindi il luogo dei punti per i quali rimane costante il prodotto fra l’ascissa e l’ordinata. La curva rappresentata da tale equazione prende il nome di iperbole equilatera.

€

xy=k