Funzione

relazione algebrica che associa a un numero x un numero y

simbolo y = f(x)

x variabile indipendente contenuta allinterno di un certo intervallo detto dominio y variabile dipendente

nel piano cartesiano la funzione y = f(x) egrave rappresentata da una curva detta grafico della funzione

I Xl lt=gt X2x K dominio

nellesempio f(x) egrave una funzione continua (significato intuitivo curva continua) ci limiteremo quasi sempre a questa situazione e ai casi in cui a x corrisponde un solo valore di y

il grafico egrave linsieme di punti (xy) che soddisfano la relazione y = f(x) si chiama anche il luogo dei punti che soddisfano y = f(x)

i primi esempi che vedremo sono

y = mx + q il grafico egrave una retta y = ax2 + bx + c il grafico egrave una parabola y = eX il grafico egrave la curva esponenziale y = senx e y = cosx y =tgx y = (ax + b)(cx + d)

gli ultimi due casi corrispondono a due funzioni continue con una o piugrave discontinuitagrave

il grafico si traccia calcolando per ogni valore di X il corrispondente valore di y

Retta

ricaviamo lequazione della retta partendo dal grafico e dalle proprietagrave di similitudine dei triangoli rettangoli

Y li p

y li ----- --- -- ----+----lQli Q I 2

I I bullci I I I I I xXi )( x

P2QiP1Q2 = PQIP1Q (YrY1)(X2-X1) =(Y-Y1)(X-X1) (Y-Yl)(XrXl) =(x-X1)(Y2-Yl) Y= X(Y2-Y1)(X2-X1) + Y 1 - X1(Y2-Y1)(X2-X1)

ponendo m =(Y2-Y1)(X2-X1) =tga q =Yl - mX1

y=mx+q

le coordinate dei punti di una retta soddisfano la relazione Y =mx + q ovvero il luogo dei punti che soddisfano la relazione Y =mx + q egrave una retta Y=mx + q si chiama equazione della retta

in questo caso f(x) = mx + q e si dice che Y egrave una funzione lineare di x

m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta ed egrave eguale alla tangente trigonometrica dell angolo a che la retta forma con lasse x

intersezione con lasse Y punto B in tutti i punti dell asse Y x =Oe quindi y(B) =m-O + q =q

intersezione con lasse x punto A in tutti i punti dell asse x Y =Oe quindi 0= mx + q x(A) = -qm

________---01

data lequazione di una retta ovvero dati m e q i punti A e B sono individuati e quindi si puograve tracciare la retta

y = 2x - 3 )(m=2 q =-3

A(I5O) B(O-3)

se q =O Y =mx la retta passa per lorigine

rette con la stessa m sono parallele

mgtO mltO

gt(x

1

3

1 9gt O 2 9=0 3 9lt0

due casi particolari di rette per le quali non esiste una relazione tra le variabili x e y rette parallele allasse x

1=0 x

x assume qualsiasi valore y egrave costante m = O lequazione egrave y = k y =O egrave lequazione dellasse x che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata y egrave nulla

rette parallele allasse y

)(=1laquo0 x=lltgtO

)(

x=o y assume qualsiasi valore x egrave costante m = 00

lequazione egrave x = k x =O egrave lequazione dell asse y che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata x egrave nulla

--

intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ

esempIo numenco

prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3

nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l

2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l

Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)

x

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3

altro esempio numerico

prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l

nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J

xmiddot = l y =deg1 l

le coordinate di P sono (10)

m=d

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l

nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici

RETTE NEL PIANO (ARTESIANO

t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X

f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2

da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77

pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I

9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54

pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q

2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x

Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)

1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+

11

Q i ljuji ci

3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I

pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione

TtO fe due ltlIe

plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40

D = - o ) Y=- Og3Q x + 9

pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1

if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)

dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12

doffa plima x= -1013

1

x

4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x

y = -05x+05 y=O x=l

5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)

y = -0333x-l no

6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi

y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841

Parabola

la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y

intersezione con lasse y x = O Y= c

2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O

la parabola passa per lorigine

2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x

la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y

q

x

le

boc=

se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso

posizione rispetto allasse x

v agtO x

1 nO 2

lt3

altO x

(

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

Retta

ricaviamo lequazione della retta partendo dal grafico e dalle proprietagrave di similitudine dei triangoli rettangoli

Y li p

y li ----- --- -- ----+----lQli Q I 2

I I bullci I I I I I xXi )( x

P2QiP1Q2 = PQIP1Q (YrY1)(X2-X1) =(Y-Y1)(X-X1) (Y-Yl)(XrXl) =(x-X1)(Y2-Yl) Y= X(Y2-Y1)(X2-X1) + Y 1 - X1(Y2-Y1)(X2-X1)

ponendo m =(Y2-Y1)(X2-X1) =tga q =Yl - mX1

y=mx+q

le coordinate dei punti di una retta soddisfano la relazione Y =mx + q ovvero il luogo dei punti che soddisfano la relazione Y =mx + q egrave una retta Y=mx + q si chiama equazione della retta

in questo caso f(x) = mx + q e si dice che Y egrave una funzione lineare di x

m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta ed egrave eguale alla tangente trigonometrica dell angolo a che la retta forma con lasse x

intersezione con lasse Y punto B in tutti i punti dell asse Y x =Oe quindi y(B) =m-O + q =q

intersezione con lasse x punto A in tutti i punti dell asse x Y =Oe quindi 0= mx + q x(A) = -qm

________---01

data lequazione di una retta ovvero dati m e q i punti A e B sono individuati e quindi si puograve tracciare la retta

y = 2x - 3 )(m=2 q =-3

A(I5O) B(O-3)

se q =O Y =mx la retta passa per lorigine

rette con la stessa m sono parallele

mgtO mltO

gt(x

1

3

1 9gt O 2 9=0 3 9lt0

due casi particolari di rette per le quali non esiste una relazione tra le variabili x e y rette parallele allasse x

1=0 x

x assume qualsiasi valore y egrave costante m = O lequazione egrave y = k y =O egrave lequazione dellasse x che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata y egrave nulla

rette parallele allasse y

)(=1laquo0 x=lltgtO

)(

x=o y assume qualsiasi valore x egrave costante m = 00

lequazione egrave x = k x =O egrave lequazione dell asse y che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata x egrave nulla

--

intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ

esempIo numenco

prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3

nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l

2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l

Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)

x

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3

altro esempio numerico

prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l

nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J

xmiddot = l y =deg1 l

le coordinate di P sono (10)

m=d

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l

nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici

RETTE NEL PIANO (ARTESIANO

t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X

f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2

da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77

pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I

9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54

pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q

2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x

Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)

1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+

11

Q i ljuji ci

3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I

pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione

TtO fe due ltlIe

plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40

D = - o ) Y=- Og3Q x + 9

pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1

if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)

dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12

doffa plima x= -1013

1

x

4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x

y = -05x+05 y=O x=l

5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)

y = -0333x-l no

6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi

y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841

Parabola

la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y

intersezione con lasse y x = O Y= c

2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O

la parabola passa per lorigine

2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x

la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y

q

x

le

boc=

se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso

posizione rispetto allasse x

v agtO x

1 nO 2

lt3

altO x

(

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

________---01

data lequazione di una retta ovvero dati m e q i punti A e B sono individuati e quindi si puograve tracciare la retta

y = 2x - 3 )(m=2 q =-3

A(I5O) B(O-3)

se q =O Y =mx la retta passa per lorigine

rette con la stessa m sono parallele

mgtO mltO

gt(x

1

3

1 9gt O 2 9=0 3 9lt0

due casi particolari di rette per le quali non esiste una relazione tra le variabili x e y rette parallele allasse x

1=0 x

x assume qualsiasi valore y egrave costante m = O lequazione egrave y = k y =O egrave lequazione dellasse x che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata y egrave nulla

rette parallele allasse y

)(=1laquo0 x=lltgtO

)(

x=o y assume qualsiasi valore x egrave costante m = 00

lequazione egrave x = k x =O egrave lequazione dell asse y che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata x egrave nulla

--

intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ

esempIo numenco

prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3

nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l

2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l

Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)

x

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3

altro esempio numerico

prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l

nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J

xmiddot = l y =deg1 l

le coordinate di P sono (10)

m=d

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l

nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici

RETTE NEL PIANO (ARTESIANO

t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X

f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2

da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77

pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I

9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54

pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q

2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x

Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)

1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+

11

Q i ljuji ci

3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I

pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione

TtO fe due ltlIe

plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40

D = - o ) Y=- Og3Q x + 9

pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1

if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)

dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12

doffa plima x= -1013

1

x

4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x

y = -05x+05 y=O x=l

5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)

y = -0333x-l no

6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi

y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841

Parabola

la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y

intersezione con lasse y x = O Y= c

2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O

la parabola passa per lorigine

2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x

la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y

q

x

le

boc=

se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso

posizione rispetto allasse x

v agtO x

1 nO 2

lt3

altO x

(

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

--

intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ

esempIo numenco

prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3

nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l

2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l

Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)

x

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3

altro esempio numerico

prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l

nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J

xmiddot = l y =deg1 l

le coordinate di P sono (10)

m=d

le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l

nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici

RETTE NEL PIANO (ARTESIANO

t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X

f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2

da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77

pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I

9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54

pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q

2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x

Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)

1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+

11

Q i ljuji ci

3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I

pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione

TtO fe due ltlIe

plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40

D = - o ) Y=- Og3Q x + 9

pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1

if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)

dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12

doffa plima x= -1013

1

x

4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x

y = -05x+05 y=O x=l

5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)

y = -0333x-l no

6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi

y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841

Parabola

la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y

intersezione con lasse y x = O Y= c

2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O

la parabola passa per lorigine

2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x

la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y

q

x

le

boc=

se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso

posizione rispetto allasse x

v agtO x

1 nO 2

lt3

altO x

(

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

RETTE NEL PIANO (ARTESIANO

t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X

f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2

da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77

pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I

9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54

pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q

2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x

Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)

1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+

11

Q i ljuji ci

3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I

pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione

TtO fe due ltlIe

plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40

D = - o ) Y=- Og3Q x + 9

pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1

if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)

dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12

doffa plima x= -1013

1

x

4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x

y = -05x+05 y=O x=l

5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)

y = -0333x-l no

6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi

y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841

Parabola

la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y

intersezione con lasse y x = O Y= c

2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O

la parabola passa per lorigine

2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x

la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y

q

x

le

boc=

se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso

posizione rispetto allasse x

v agtO x

1 nO 2

lt3

altO x

(

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x

y = -05x+05 y=O x=l

5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)

y = -0333x-l no

6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi

y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841

Parabola

la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y

intersezione con lasse y x = O Y= c

2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O

la parabola passa per lorigine

2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x

la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y

q

x

le

boc=

se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso

posizione rispetto allasse x

v agtO x

1 nO 2

lt3

altO x

(

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

Parabola

la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y

intersezione con lasse y x = O Y= c

2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O

la parabola passa per lorigine

2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x

la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y

q

x

le

boc=

se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso

posizione rispetto allasse x

v agtO x

1 nO 2

lt3

altO x

(

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O

corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave

grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x

grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x

grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti

coordinate del vertice della parabola

Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a

verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure

-

il lancio del peso

per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O

=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni

x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy

v

Xv

langolo di inclinazione in partenza egrave 450

punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri

x

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE

1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe

fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8

non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x

bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3

fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O

(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii

x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3

2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i

infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO

due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1

b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO

igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(

bull (Q Xv - Yv -

bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3

x= O lj )( X=l Lt

x

x

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l

igravenTel1f tioni (on gti (O (()n

bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo

una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e

bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(

bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y

x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(

X=1 10 x=o Lt x 2 -2

I gt-XX=3 lj-8

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu

= ax Q gt O x eaPe gtO

(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e

cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S

2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5

20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00

iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x

o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O

VQ1Lalione Unlione deffangofo digrave 1fnx tY

J B

Ux D

P J)i putTendo do A in anfigraveounio po)ilione 1eno

O O B laquo2 O ( 1T O

D JV2 -I O A 2Ti O 1

bull fe guntioni J)en6 e (ffiB 1000 fimifote lio -i e +i

bull dopo un 11fugrave02-ione -gt 1Ono PfRIODl(HE

= fttntioni egUoQi di 1(2

e f- 21f --+

bull E-2li -+

I

peliodo = infelvofto et edopo ati fa uttione ltpefe =Qrr

li2 TI nl 21i f--ii ---7 If- ii--+

iV (ObO c1 ft e crn 9-

if gloampi LO pleftnT(l e (Junn di innJTo

bull pUllO cL 1e20

o TI 2 j1f

lf i nuPio bull punr di

V2 3Tr2 5rr1 dove igraveP C01eno egrave nueeo

del)(lo f Pim

fUnigraveiOne peLiodiUl peLiodo TIf

NOTE Vf1fO anfiOlOlio E p01invo +9 VfMO omtio nega(igravevo -e

= (-e) = Co1e I

peLiorudfd (e +2lf) reg (8+211) Ct1gt8 (Q+1igraveJ =t 9

LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA

figrave m ( x) = f ( Q )

igravef tmAgravefe x iendenTf af vafl)lf Q ddfa f6lt) egrave if votugravele t(a) me fa Sunztone Q-nume pel XQ

o x ope uTl e e 1 )(-O

tim (3x-i) 3-1 -1 2 x-f

bull PARTI COLAR l NOTE VOLI

A X rende a un vafou iirtifo ) f(x) tende o tln vofo1e

pe tm = 00 X-)i x-i O

tm 00

2

piugrave )( -) dn l1lil)(ta

2 if t + 00 I

11 1-00

)( -) dQ dmfW 2

il timife egrave - 00

B x tende off ing Jtifo J f ( )() rende D un vofolR iniToI

pe tm 2)( 2 (-) 00 )(+ i )( tm e -le tm _-1_ = O

)(-gt+00 x +oo eX 00 e)( tm e-J( O

o -00 +OCI

L x tende J f(x) Tende offiYlJiruTo pe tim (mx+q) mx 00 VEDI SOTTO

X-)OO o X t)-Xum e + 00 = Affi e

X1)-)OX -H()O

in ( fl 11 wu du f(x) fende ASlMTOTtCAHENTE af filftire o inufo

if tintife i Igrave diUl dte f(x) divelse t oo q

x J(

-1--00

5TUDIO DI fUNtlONI DfL TIPO lj ox+bcxt-d

bull campo cL fhi1en1Q TuUo f Oogravee X (eaPe ehCP1v)O x - dlc ) vof01e che avmuffo if fa x -dIc offOhle I egrave

veW(ofe cl= O e ltj ) fAgravern l1 plusmn00 fimiTe dfAflD =F tmife x7-dk I

bull tm =- ( o e c 100 enflomhi non nuffi ) X7tOO C

fa 1QJla = 1fC x egraveI

ebull (DO gt

ligrave pone x O + Y bId i f ouLnoJo def punfo et (0 f I0Jre

d O ndY Cl e

1t b O fl egrave

pone 1 =O x =- bIo i fMGi1)o de) punTo di Con x

ft11fe 1emr1e (a f O ) b= O f egrave nefe oligine

bull 1i T1Ql(jonO fjt llnToTi e f)UrW cL eDn l1fi 0M1 )i cofwfono Ve cL xj y4

Xl y2punfigrave ) ofmeno

dQ x e (QPwfa Xn Yn

fOJlpelfo Tiri (J) egrave

d

o1AgraveH - - - - - - - - - -i - - - --- lt1 =Clic I

I + vell

LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA

figrave m ( x) = f ( Q )

igravef tmAgravefe x iendenTf af vafl)lf Q ddfa f6lt) egrave if votugravele t(a) me fa Sunztone Q-nume pel XQ

o x ope uTl e e 1 )(-O

tim (3x-i) 3-1 -1 2 x-f

bull PARTI COLAR l NOTE VOLI

A X rende a un vafou iirtifo ) f(x) tende o tln vofo1e

pe tm = 00 X-)i x-i O

tm 00

2

piugrave )( -) dn l1lil)(ta

2 if t + 00 I

11 1-00

)( -) dQ dmfW 2

il timife egrave - 00

B x tende off ing Jtifo J f ( )() rende D un vofolR iniToI

pe tm 2)( 2 (-) 00 )(+ i )( tm e -le tm _-1_ = O

)(-gt+00 x +oo eX 00 e)( tm e-J( O

o -00 +OCI

L x tende J f(x) Tende offiYlJiruTo pe tim (mx+q) mx 00 VEDI SOTTO

X-)OO o X t)-Xum e + 00 = Affi e

X1)-)OX -H()O

in ( fl 11 wu du f(x) fende ASlMTOTtCAHENTE af filftire o inufo

if tintife i Igrave diUl dte f(x) divelse t oo q

x J(

-1--00

5TUDIO DI fUNtlONI DfL TIPO lj ox+bcxt-d

bull campo cL fhi1en1Q TuUo f Oogravee X (eaPe ehCP1v)O x - dlc ) vof01e che avmuffo if fa x -dIc offOhle I egrave

veW(ofe cl= O e ltj ) fAgravern l1 plusmn00 fimiTe dfAflD =F tmife x7-dk I

bull tm =- ( o e c 100 enflomhi non nuffi ) X7tOO C

fa 1QJla = 1fC x egraveI

ebull (DO gt

ligrave pone x O + Y bId i f ouLnoJo def punfo et (0 f I0Jre

d O ndY Cl e

1t b O fl egrave

pone 1 =O x =- bIo i fMGi1)o de) punTo di Con x

ft11fe 1emr1e (a f O ) b= O f egrave nefe oligine

bull 1i T1Ql(jonO fjt llnToTi e f)UrW cL eDn l1fi 0M1 )i cofwfono Ve cL xj y4

Xl y2punfigrave ) ofmeno

dQ x e (QPwfa Xn Yn

fOJlpelfo Tiri (J) egrave

d

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I + vell

5TUDIO DI fUNtlONI DfL TIPO lj ox+bcxt-d

bull campo cL fhi1en1Q TuUo f Oogravee X (eaPe ehCP1v)O x - dlc ) vof01e che avmuffo if fa x -dIc offOhle I egrave

veW(ofe cl= O e ltj ) fAgravern l1 plusmn00 fimiTe dfAflD =F tmife x7-dk I

bull tm =- ( o e c 100 enflomhi non nuffi ) X7tOO C

fa 1QJla = 1fC x egraveI

ebull (DO gt

ligrave pone x O + Y bId i f ouLnoJo def punfo et (0 f I0Jre

d O ndY Cl e

1t b O fl egrave

pone 1 =O x =- bIo i fMGi1)o de) punTo di Con x

ft11fe 1emr1e (a f O ) b= O f egrave nefe oligine

bull 1i T1Ql(jonO fjt llnToTi e f)UrW cL eDn l1fi 0M1 )i cofwfono Ve cL xj y4

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d

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I + vell

NOTA quvle non hano mcvrrimA emtnimA itUf

inrn[i a (cx+d) -(ax+b)c = ad-be +O (cX+d)2

l Te rgtfRClll

t STudiate fo y= 3x-1 -X+1

bull velfigravecofe x i bull (ll)jnroTo OUHonfofe - 3 fim = - 3

X-ttJ -1

bull infel1ettotU )[0 y=-2 )(=1 y=O3

bull To)effo I

x -1 -215 -2 -2b1 -1 -2s O -2 x

2J o 08

_l _ -I - - - --t5 -s 2 -Lt

-33

l l I I

2 Sfudlole fa y Jx b

bull vftHtofe )( ogtigravenToTo y=2 bull igravenleW1ione (on (llligrave uno 1ofo x=O 1=0 (b=O) bull x -3 Ij J1

gtxt

05 i f

2 051

3 srudiau fa tUrHione X-2 _1 -v x

bull vetlimfe )(= O (fOMe l1) ) O1i1-1-onfQfe y=i

bull inftHetiOfe (On una 2 y O (non inlOnflQ PaMt ) d=O )

bull x=-] 47 4q -2 2--i 3

xl O 3 413 t Os

bull bull

bull bull

bull

bull bull

bull

LT1

-o

s

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JI

- 1

p

I I

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I uJ

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bull 4gt

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r - +t - cr-

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J ccedil

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__

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