Funzione
relazione algebrica che associa a un numero x un numero y
simbolo y = f(x)
x variabile indipendente contenuta allinterno di un certo intervallo detto dominio y variabile dipendente
nel piano cartesiano la funzione y = f(x) egrave rappresentata da una curva detta grafico della funzione
I Xl lt=gt X2x K dominio
nellesempio f(x) egrave una funzione continua (significato intuitivo curva continua) ci limiteremo quasi sempre a questa situazione e ai casi in cui a x corrisponde un solo valore di y
il grafico egrave linsieme di punti (xy) che soddisfano la relazione y = f(x) si chiama anche il luogo dei punti che soddisfano y = f(x)
i primi esempi che vedremo sono
y = mx + q il grafico egrave una retta y = ax2 + bx + c il grafico egrave una parabola y = eX il grafico egrave la curva esponenziale y = senx e y = cosx y =tgx y = (ax + b)(cx + d)
gli ultimi due casi corrispondono a due funzioni continue con una o piugrave discontinuitagrave
il grafico si traccia calcolando per ogni valore di X il corrispondente valore di y
Retta
ricaviamo lequazione della retta partendo dal grafico e dalle proprietagrave di similitudine dei triangoli rettangoli
Y li p
y li ----- --- -- ----+----lQli Q I 2
I I bullci I I I I I xXi )( x
P2QiP1Q2 = PQIP1Q (YrY1)(X2-X1) =(Y-Y1)(X-X1) (Y-Yl)(XrXl) =(x-X1)(Y2-Yl) Y= X(Y2-Y1)(X2-X1) + Y 1 - X1(Y2-Y1)(X2-X1)
ponendo m =(Y2-Y1)(X2-X1) =tga q =Yl - mX1
y=mx+q
le coordinate dei punti di una retta soddisfano la relazione Y =mx + q ovvero il luogo dei punti che soddisfano la relazione Y =mx + q egrave una retta Y=mx + q si chiama equazione della retta
in questo caso f(x) = mx + q e si dice che Y egrave una funzione lineare di x
m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta ed egrave eguale alla tangente trigonometrica dell angolo a che la retta forma con lasse x
intersezione con lasse Y punto B in tutti i punti dell asse Y x =Oe quindi y(B) =m-O + q =q
intersezione con lasse x punto A in tutti i punti dell asse x Y =Oe quindi 0= mx + q x(A) = -qm
________---01
data lequazione di una retta ovvero dati m e q i punti A e B sono individuati e quindi si puograve tracciare la retta
y = 2x - 3 )(m=2 q =-3
A(I5O) B(O-3)
se q =O Y =mx la retta passa per lorigine
rette con la stessa m sono parallele
mgtO mltO
gt(x
1
3
1 9gt O 2 9=0 3 9lt0
due casi particolari di rette per le quali non esiste una relazione tra le variabili x e y rette parallele allasse x
1=0 x
x assume qualsiasi valore y egrave costante m = O lequazione egrave y = k y =O egrave lequazione dellasse x che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata y egrave nulla
rette parallele allasse y
)(=1laquo0 x=lltgtO
)(
x=o y assume qualsiasi valore x egrave costante m = 00
lequazione egrave x = k x =O egrave lequazione dell asse y che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata x egrave nulla
--
intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ
esempIo numenco
prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3
nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l
2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l
Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)
x
le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3
altro esempio numerico
prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l
nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J
xmiddot = l y =deg1 l
le coordinate di P sono (10)
m=d
le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l
nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici
RETTE NEL PIANO (ARTESIANO
t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X
f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2
da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77
pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I
9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54
pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q
2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x
Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)
1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+
11
Q i ljuji ci
3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I
pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione
TtO fe due ltlIe
plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40
D = - o ) Y=- Og3Q x + 9
pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1
if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)
dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12
doffa plima x= -1013
1
x
4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x
y = -05x+05 y=O x=l
5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)
y = -0333x-l no
6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi
y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841
Parabola
la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y
intersezione con lasse y x = O Y= c
2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O
la parabola passa per lorigine
2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x
la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y
q
x
le
boc=
se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso
posizione rispetto allasse x
v agtO x
1 nO 2
lt3
altO x
(
intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O
corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave
grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a
verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
-
il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni
x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
v
Xv
langolo di inclinazione in partenza egrave 450
punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
x
fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE
1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe
fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8
non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x
bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3
fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O
(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii
x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3
2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i
infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO
due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1
b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO
igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(
bull (Q Xv - Yv -
bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3
x= O lj )( X=l Lt
x
x
3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l
igravenTel1f tioni (on gti (O (()n
bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo
una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e
bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(
bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y
x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(
X=1 10 x=o Lt x 2 -2
I gt-XX=3 lj-8
ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu
= ax Q gt O x eaPe gtO
(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e
cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S
2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5
20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00
iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x
o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O
VQ1Lalione Unlione deffangofo digrave 1fnx tY
J B
Ux D
P J)i putTendo do A in anfigraveounio po)ilione 1eno
O O B laquo2 O ( 1T O
D JV2 -I O A 2Ti O 1
bull fe guntioni J)en6 e (ffiB 1000 fimifote lio -i e +i
bull dopo un 11fugrave02-ione -gt 1Ono PfRIODl(HE
= fttntioni egUoQi di 1(2
e f- 21f --+
bull E-2li -+
I
peliodo = infelvofto et edopo ati fa uttione ltpefe =Qrr
li2 TI nl 21i f--ii ---7 If- ii--+
iV (ObO c1 ft e crn 9-
if gloampi LO pleftnT(l e (Junn di innJTo
bull pUllO cL 1e20
o TI 2 j1f
lf i nuPio bull punr di
V2 3Tr2 5rr1 dove igraveP C01eno egrave nueeo
del)(lo f Pim
fUnigraveiOne peLiodiUl peLiodo TIf
NOTE Vf1fO anfiOlOlio E p01invo +9 VfMO omtio nega(igravevo -e
= (-e) = Co1e I
peLiorudfd (e +2lf) reg (8+211) Ct1gt8 (Q+1igraveJ =t 9
LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA
figrave m ( x) = f ( Q )
igravef tmAgravefe x iendenTf af vafl)lf Q ddfa f6lt) egrave if votugravele t(a) me fa Sunztone Q-nume pel XQ
o x ope uTl e e 1 )(-O
tim (3x-i) 3-1 -1 2 x-f
bull PARTI COLAR l NOTE VOLI
A X rende a un vafou iirtifo ) f(x) tende o tln vofo1e
pe tm = 00 X-)i x-i O
tm 00
2
piugrave )( -) dn l1lil)(ta
2 if t + 00 I
11 1-00
)( -) dQ dmfW 2
il timife egrave - 00
B x tende off ing Jtifo J f ( )() rende D un vofolR iniToI
pe tm 2)( 2 (-) 00 )(+ i )( tm e -le tm _-1_ = O
)(-gt+00 x +oo eX 00 e)( tm e-J( O
o -00 +OCI
L x tende J f(x) Tende offiYlJiruTo pe tim (mx+q) mx 00 VEDI SOTTO
X-)OO o X t)-Xum e + 00 = Affi e
X1)-)OX -H()O
in ( fl 11 wu du f(x) fende ASlMTOTtCAHENTE af filftire o inufo
if tintife i Igrave diUl dte f(x) divelse t oo q
x J(
-1--00
5TUDIO DI fUNtlONI DfL TIPO lj ox+bcxt-d
bull campo cL fhi1en1Q TuUo f Oogravee X (eaPe ehCP1v)O x - dlc ) vof01e che avmuffo if fa x -dIc offOhle I egrave
veW(ofe cl= O e ltj ) fAgravern l1 plusmn00 fimiTe dfAflD =F tmife x7-dk I
bull tm =- ( o e c 100 enflomhi non nuffi ) X7tOO C
fa 1QJla = 1fC x egraveI
ebull (DO gt
ligrave pone x O + Y bId i f ouLnoJo def punfo et (0 f I0Jre
d O ndY Cl e
1t b O fl egrave
pone 1 =O x =- bIo i fMGi1)o de) punTo di Con x
ft11fe 1emr1e (a f O ) b= O f egrave nefe oligine
bull 1i T1Ql(jonO fjt llnToTi e f)UrW cL eDn l1fi 0M1 )i cofwfono Ve cL xj y4
Xl y2punfigrave ) ofmeno
dQ x e (QPwfa Xn Yn
fOJlpelfo Tiri (J) egrave
d
o1AgraveH - - - - - - - - - -i - - - --- lt1 =Clic I
I + vell
NOTA quvle non hano mcvrrimA emtnimA itUf
inrn[i a (cx+d) -(ax+b)c = ad-be +O (cX+d)2
l Te rgtfRClll
t STudiate fo y= 3x-1 -X+1
bull velfigravecofe x i bull (ll)jnroTo OUHonfofe - 3 fim = - 3
X-ttJ -1
bull infel1ettotU )[0 y=-2 )(=1 y=O3
bull To)effo I
x -1 -215 -2 -2b1 -1 -2s O -2 x
2J o 08
_l _ -I - - - --t5 -s 2 -Lt
-33
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2 Sfudlole fa y Jx b
bull vftHtofe )( ogtigravenToTo y=2 bull igravenleW1ione (on (llligrave uno 1ofo x=O 1=0 (b=O) bull x -3 Ij J1
gtxt
05 i f
2 051
3 srudiau fa tUrHione X-2 _1 -v x
bull vetlimfe )(= O (fOMe l1) ) O1i1-1-onfQfe y=i
bull inftHetiOfe (On una 2 y O (non inlOnflQ PaMt ) d=O )
bull x=-] 47 4q -2 2--i 3
xl O 3 413 t Os
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ricaviamo lequazione della retta partendo dal grafico e dalle proprietagrave di similitudine dei triangoli rettangoli
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I I bullci I I I I I xXi )( x
P2QiP1Q2 = PQIP1Q (YrY1)(X2-X1) =(Y-Y1)(X-X1) (Y-Yl)(XrXl) =(x-X1)(Y2-Yl) Y= X(Y2-Y1)(X2-X1) + Y 1 - X1(Y2-Y1)(X2-X1)
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le coordinate dei punti di una retta soddisfano la relazione Y =mx + q ovvero il luogo dei punti che soddisfano la relazione Y =mx + q egrave una retta Y=mx + q si chiama equazione della retta
in questo caso f(x) = mx + q e si dice che Y egrave una funzione lineare di x
m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta ed egrave eguale alla tangente trigonometrica dell angolo a che la retta forma con lasse x
intersezione con lasse Y punto B in tutti i punti dell asse Y x =Oe quindi y(B) =m-O + q =q
intersezione con lasse x punto A in tutti i punti dell asse x Y =Oe quindi 0= mx + q x(A) = -qm
________---01
data lequazione di una retta ovvero dati m e q i punti A e B sono individuati e quindi si puograve tracciare la retta
y = 2x - 3 )(m=2 q =-3
A(I5O) B(O-3)
se q =O Y =mx la retta passa per lorigine
rette con la stessa m sono parallele
mgtO mltO
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due casi particolari di rette per le quali non esiste una relazione tra le variabili x e y rette parallele allasse x
1=0 x
x assume qualsiasi valore y egrave costante m = O lequazione egrave y = k y =O egrave lequazione dellasse x che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata y egrave nulla
rette parallele allasse y
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lequazione egrave x = k x =O egrave lequazione dell asse y che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata x egrave nulla
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intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ
esempIo numenco
prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3
nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l
2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l
Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)
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le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3
altro esempio numerico
prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l
nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J
xmiddot = l y =deg1 l
le coordinate di P sono (10)
m=d
le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l
nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici
RETTE NEL PIANO (ARTESIANO
t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X
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da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77
pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I
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pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q
2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x
Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)
1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+
11
Q i ljuji ci
3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I
pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione
TtO fe due ltlIe
plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40
D = - o ) Y=- Og3Q x + 9
pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1
if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)
dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12
doffa plima x= -1013
1
x
4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x
y = -05x+05 y=O x=l
5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)
y = -0333x-l no
6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi
y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841
Parabola
la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y
intersezione con lasse y x = O Y= c
2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O
la parabola passa per lorigine
2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x
la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y
q
x
le
boc=
se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso
posizione rispetto allasse x
v agtO x
1 nO 2
lt3
altO x
(
intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O
corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave
grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a
verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
-
il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni
x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
v
Xv
langolo di inclinazione in partenza egrave 450
punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
x
fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE
1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe
fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8
non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x
bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3
fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O
(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii
x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3
2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i
infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO
due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1
b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO
igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(
bull (Q Xv - Yv -
bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3
x= O lj )( X=l Lt
x
x
3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l
igravenTel1f tioni (on gti (O (()n
bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo
una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e
bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(
bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y
x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(
X=1 10 x=o Lt x 2 -2
I gt-XX=3 lj-8
ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu
= ax Q gt O x eaPe gtO
(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e
cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S
2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5
20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00
iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x
o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O
VQ1Lalione Unlione deffangofo digrave 1fnx tY
J B
Ux D
P J)i putTendo do A in anfigraveounio po)ilione 1eno
O O B laquo2 O ( 1T O
D JV2 -I O A 2Ti O 1
bull fe guntioni J)en6 e (ffiB 1000 fimifote lio -i e +i
bull dopo un 11fugrave02-ione -gt 1Ono PfRIODl(HE
= fttntioni egUoQi di 1(2
e f- 21f --+
bull E-2li -+
I
peliodo = infelvofto et edopo ati fa uttione ltpefe =Qrr
li2 TI nl 21i f--ii ---7 If- ii--+
iV (ObO c1 ft e crn 9-
if gloampi LO pleftnT(l e (Junn di innJTo
bull pUllO cL 1e20
o TI 2 j1f
lf i nuPio bull punr di
V2 3Tr2 5rr1 dove igraveP C01eno egrave nueeo
del)(lo f Pim
fUnigraveiOne peLiodiUl peLiodo TIf
NOTE Vf1fO anfiOlOlio E p01invo +9 VfMO omtio nega(igravevo -e
= (-e) = Co1e I
peLiorudfd (e +2lf) reg (8+211) Ct1gt8 (Q+1igraveJ =t 9
LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA
figrave m ( x) = f ( Q )
igravef tmAgravefe x iendenTf af vafl)lf Q ddfa f6lt) egrave if votugravele t(a) me fa Sunztone Q-nume pel XQ
o x ope uTl e e 1 )(-O
tim (3x-i) 3-1 -1 2 x-f
bull PARTI COLAR l NOTE VOLI
A X rende a un vafou iirtifo ) f(x) tende o tln vofo1e
pe tm = 00 X-)i x-i O
tm 00
2
piugrave )( -) dn l1lil)(ta
2 if t + 00 I
11 1-00
)( -) dQ dmfW 2
il timife egrave - 00
B x tende off ing Jtifo J f ( )() rende D un vofolR iniToI
pe tm 2)( 2 (-) 00 )(+ i )( tm e -le tm _-1_ = O
)(-gt+00 x +oo eX 00 e)( tm e-J( O
o -00 +OCI
L x tende J f(x) Tende offiYlJiruTo pe tim (mx+q) mx 00 VEDI SOTTO
X-)OO o X t)-Xum e + 00 = Affi e
X1)-)OX -H()O
in ( fl 11 wu du f(x) fende ASlMTOTtCAHENTE af filftire o inufo
if tintife i Igrave diUl dte f(x) divelse t oo q
x J(
-1--00
5TUDIO DI fUNtlONI DfL TIPO lj ox+bcxt-d
bull campo cL fhi1en1Q TuUo f Oogravee X (eaPe ehCP1v)O x - dlc ) vof01e che avmuffo if fa x -dIc offOhle I egrave
veW(ofe cl= O e ltj ) fAgravern l1 plusmn00 fimiTe dfAflD =F tmife x7-dk I
bull tm =- ( o e c 100 enflomhi non nuffi ) X7tOO C
fa 1QJla = 1fC x egraveI
ebull (DO gt
ligrave pone x O + Y bId i f ouLnoJo def punfo et (0 f I0Jre
d O ndY Cl e
1t b O fl egrave
pone 1 =O x =- bIo i fMGi1)o de) punTo di Con x
ft11fe 1emr1e (a f O ) b= O f egrave nefe oligine
bull 1i T1Ql(jonO fjt llnToTi e f)UrW cL eDn l1fi 0M1 )i cofwfono Ve cL xj y4
Xl y2punfigrave ) ofmeno
dQ x e (QPwfa Xn Yn
fOJlpelfo Tiri (J) egrave
d
o1AgraveH - - - - - - - - - -i - - - --- lt1 =Clic I
I + vell
NOTA quvle non hano mcvrrimA emtnimA itUf
inrn[i a (cx+d) -(ax+b)c = ad-be +O (cX+d)2
l Te rgtfRClll
t STudiate fo y= 3x-1 -X+1
bull velfigravecofe x i bull (ll)jnroTo OUHonfofe - 3 fim = - 3
X-ttJ -1
bull infel1ettotU )[0 y=-2 )(=1 y=O3
bull To)effo I
x -1 -215 -2 -2b1 -1 -2s O -2 x
2J o 08
_l _ -I - - - --t5 -s 2 -Lt
-33
l l I I
2 Sfudlole fa y Jx b
bull vftHtofe )( ogtigravenToTo y=2 bull igravenleW1ione (on (llligrave uno 1ofo x=O 1=0 (b=O) bull x -3 Ij J1
gtxt
05 i f
2 051
3 srudiau fa tUrHione X-2 _1 -v x
bull vetlimfe )(= O (fOMe l1) ) O1i1-1-onfQfe y=i
bull inftHetiOfe (On una 2 y O (non inlOnflQ PaMt ) d=O )
bull x=-] 47 4q -2 2--i 3
xl O 3 413 t Os
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data lequazione di una retta ovvero dati m e q i punti A e B sono individuati e quindi si puograve tracciare la retta
y = 2x - 3 )(m=2 q =-3
A(I5O) B(O-3)
se q =O Y =mx la retta passa per lorigine
rette con la stessa m sono parallele
mgtO mltO
gt(x
1
3
1 9gt O 2 9=0 3 9lt0
due casi particolari di rette per le quali non esiste una relazione tra le variabili x e y rette parallele allasse x
1=0 x
x assume qualsiasi valore y egrave costante m = O lequazione egrave y = k y =O egrave lequazione dellasse x che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata y egrave nulla
rette parallele allasse y
)(=1laquo0 x=lltgtO
)(
x=o y assume qualsiasi valore x egrave costante m = 00
lequazione egrave x = k x =O egrave lequazione dell asse y che egrave il luogo dei punti nei quali la coordinata x egrave nulla
--
intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ
esempIo numenco
prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3
nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l
2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l
Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)
x
le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3
altro esempio numerico
prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l
nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J
xmiddot = l y =deg1 l
le coordinate di P sono (10)
m=d
le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l
nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici
RETTE NEL PIANO (ARTESIANO
t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X
f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2
da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77
pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I
9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54
pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q
2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x
Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)
1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+
11
Q i ljuji ci
3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I
pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione
TtO fe due ltlIe
plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40
D = - o ) Y=- Og3Q x + 9
pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1
if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)
dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12
doffa plima x= -1013
1
x
4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x
y = -05x+05 y=O x=l
5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)
y = -0333x-l no
6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi
y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841
Parabola
la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y
intersezione con lasse y x = O Y= c
2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O
la parabola passa per lorigine
2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x
la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y
q
x
le
boc=
se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso
posizione rispetto allasse x
v agtO x
1 nO 2
lt3
altO x
(
intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O
corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave
grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a
verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
-
il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni
x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
v
Xv
langolo di inclinazione in partenza egrave 450
punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
x
fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE
1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe
fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8
non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x
bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3
fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O
(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii
x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3
2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i
infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO
due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1
b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO
igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(
bull (Q Xv - Yv -
bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3
x= O lj )( X=l Lt
x
x
3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l
igravenTel1f tioni (on gti (O (()n
bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo
una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e
bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(
bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y
x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(
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intersezione di due rette due rette con m diverse cioegrave non parallele si incontrano in un punto P del piano xy P(xiyJ
esempIo numenco
prima retta y =2x-1 seconda retta y =x+3
nel punto P y = 2xmiddot-1 = y = xmiddot+3l l l l
2xmiddot-1- = x-+3l xmiddot = 4 l l
Yi = 2-4-1 = 4+3 = 7 le coordinate di P sono (47)
x
le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 05 y l =-1 X2 = -3 Y 2 =3
altro esempio numerico
prima retta y = -x + l seconda retta y =x-l
nel punto P Y-=-x-+l = y- = x--l l l l J
xmiddot = l y =deg1 l
le coordinate di P sono (10)
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le rette sono state disegnate calcolando le intercette xl = 1 Y 1 = 1 X2 = 1 Y 2 = -l
nota le rette con m = plusmn l sono le rette a + 45deg con lasse x le rette y =plusmn x sono le due bisettrici
RETTE NEL PIANO (ARTESIANO
t Uno letra P0l)amp pei if punTo (-20) e fOlma 0f0 ll9ofo e 30 wn f 0Me X
f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2
da l1 1Tlx + 9 J p()fo m tg 30 0 =o S77
pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I
9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54
pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q
2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x
Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)
1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+
11
Q i ljuji ci
3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I
pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione
TtO fe due ltlIe
plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40
D = - o ) Y=- Og3Q x + 9
pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1
if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)
dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12
doffa plima x= -1013
1
x
4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x
y = -05x+05 y=O x=l
5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)
y = -0333x-l no
6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi
y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841
Parabola
la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y
intersezione con lasse y x = O Y= c
2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O
la parabola passa per lorigine
2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x
la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y
q
x
le
boc=
se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso
posizione rispetto allasse x
v agtO x
1 nO 2
lt3
altO x
(
intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O
corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave
grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a
verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
-
il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni
x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
v
Xv
langolo di inclinazione in partenza egrave 450
punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
x
fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE
1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe
fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8
non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x
bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3
fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O
(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii
x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3
2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i
infelletionigrave COn 00 gtqfico bull x = O i con i bull O 3x2+1x-1 O dilUliminQnfe 1f gtO
due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1
b 0 3 bull W(J)Ni(lIgrave ve1bO foJfo 0 3 gtO
igravef vtlft(Q dwt I)(ole )(
bull (Q Xv - Yv -
bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3
x= O lj )( X=l Lt
x
x
3 Palobofo di eqUQtione y _1)(2 +4 X - 2 4 PQloboto di etlwltmiddotigraveone = - )(2+ l
igravenTel1f tioni (on gti (O (()n
bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo
una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e
bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(
bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y
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RETTE NEL PIANO (ARTESIANO
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f deffo lQUa Quefo toJlo pOJ))a (Wl if C2 ) 2
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pfIt x -2 e lj =O ho O = - O STi 2 + q I
9lLi ntL q=l =gt Y-= 0 S 17 x + 54
pen x 2 23i f 3 J non PQ11Q
2 Una le[fo pOMa pen if punfo (o i) e alma f on(jofo e - t)o (Dn fOMe x
Tlovcue fl eJ)p1i1ione deffa lQtra QUeMQ litrO pOMa pvt if (gtUWlTo (-i 2)
1ofJJ1ione 1n =-1 ) q I - X+
11
Q i ljuji ci
3 Una letTo )che ouoo fangofa rJ =200 (f)n eOMe x I
pez fOlicgine una 1ewnoo lelTQ he fOlma fangoff) - 400 con fOMe x) pOl1la pen if punTo (-30) Tlovcne fe LOolcUnaTe deP punfo di inTel1ftione
TtO fe due ltlIe
plimn le[o J q O l m= O3b4 ) j o 36Lt x tetra J 1JI1 _40
D = - o ) Y=- Og3Q x + 9
pfl x=- j O ) da cui 0= (-O8313)(-3) + Cf q -2tjff _y = - O 83q x - 2 Sl1
if punTo di o[igraveene U1ofvendo (p 1iiemG ddfe due equQtiollAgrave defte letTe (deve en1itlmbe)
dafla ptimo X = Y O3bLt 1i nefla e1-Igrave lAgravelilVQ Y=-o12
doffa plima x= -1013
1
x
4 Una retta passa per i punti di coordinate (-32) e (3 -1) Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate del punto di intersezione con lasse x
y = -05x+05 y=O x=l
5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)
y = -0333x-l no
6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi
y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841
Parabola
la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y
intersezione con lasse y x = O Y= c
2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O
la parabola passa per lorigine
2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x
la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y
q
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boc=
se a gt Ola concavitagrave egrave rivolta verso lalto se a lt Ola concavitagrave egrave rivolta verso il basso
posizione rispetto allasse x
v agtO x
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(
intersezione con lasse x 2 y =O ax + bx + c =O
corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave
grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a
verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
-
il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni
x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
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langolo di inclinazione in partenza egrave 450
punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
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1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe
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non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x
bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3
fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O
(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii
x= -i x O x= 1=2 X 2 y9 xv y 2-3 v-3
2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i
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due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1
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bull punii x- = 1 x=- x tj --1[3
x= O lj )( X=l Lt
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bull X O = -2 (on y bull X =0 x-bull yO -1x1+4)(-2 =O O Q - lt O conlOvlrcigrave UvoUa vfflho if blmo
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bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y
x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(
X=1 10 x=o Lt x 2 -2
I gt-XX=3 lj-8
ESPONENlfAL I derfn Jut1ione y=eX If-unlione ehponen2i aPe cu
= ax Q gt O x eaPe gtO
(OhO poukoflue -x=eX e 21 i81amp di fJepe2o bull e
cltm01flO che I 1euro n i tm nurnelo noJUwfe I e tm ( 1+ i) 11- 11 - +00 11 I11 (1+ i ) i =2 n 2 ( t i )2 == 2 J S
2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5
20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00
iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x
o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O
VQ1Lalione Unlione deffangofo digrave 1fnx tY
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bull dopo un 11fugrave02-ione -gt 1Ono PfRIODl(HE
= fttntioni egUoQi di 1(2
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V2 3Tr2 5rr1 dove igraveP C01eno egrave nueeo
del)(lo f Pim
fUnigraveiOne peLiodiUl peLiodo TIf
NOTE Vf1fO anfiOlOlio E p01invo +9 VfMO omtio nega(igravevo -e
= (-e) = Co1e I
peLiorudfd (e +2lf) reg (8+211) Ct1gt8 (Q+1igraveJ =t 9
LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA
figrave m ( x) = f ( Q )
igravef tmAgravefe x iendenTf af vafl)lf Q ddfa f6lt) egrave if votugravele t(a) me fa Sunztone Q-nume pel XQ
o x ope uTl e e 1 )(-O
tim (3x-i) 3-1 -1 2 x-f
bull PARTI COLAR l NOTE VOLI
A X rende a un vafou iirtifo ) f(x) tende o tln vofo1e
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tm 00
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2 if t + 00 I
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)( -) dQ dmfW 2
il timife egrave - 00
B x tende off ing Jtifo J f ( )() rende D un vofolR iniToI
pe tm 2)( 2 (-) 00 )(+ i )( tm e -le tm _-1_ = O
)(-gt+00 x +oo eX 00 e)( tm e-J( O
o -00 +OCI
L x tende J f(x) Tende offiYlJiruTo pe tim (mx+q) mx 00 VEDI SOTTO
X-)OO o X t)-Xum e + 00 = Affi e
X1)-)OX -H()O
in ( fl 11 wu du f(x) fende ASlMTOTtCAHENTE af filftire o inufo
if tintife i Igrave diUl dte f(x) divelse t oo q
x J(
-1--00
5TUDIO DI fUNtlONI DfL TIPO lj ox+bcxt-d
bull campo cL fhi1en1Q TuUo f Oogravee X (eaPe ehCP1v)O x - dlc ) vof01e che avmuffo if fa x -dIc offOhle I egrave
veW(ofe cl= O e ltj ) fAgravern l1 plusmn00 fimiTe dfAflD =F tmife x7-dk I
bull tm =- ( o e c 100 enflomhi non nuffi ) X7tOO C
fa 1QJla = 1fC x egraveI
ebull (DO gt
ligrave pone x O + Y bId i f ouLnoJo def punfo et (0 f I0Jre
d O ndY Cl e
1t b O fl egrave
pone 1 =O x =- bIo i fMGi1)o de) punTo di Con x
ft11fe 1emr1e (a f O ) b= O f egrave nefe oligine
bull 1i T1Ql(jonO fjt llnToTi e f)UrW cL eDn l1fi 0M1 )i cofwfono Ve cL xj y4
Xl y2punfigrave ) ofmeno
dQ x e (QPwfa Xn Yn
fOJlpelfo Tiri (J) egrave
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I + vell
NOTA quvle non hano mcvrrimA emtnimA itUf
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l Te rgtfRClll
t STudiate fo y= 3x-1 -X+1
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X-ttJ -1
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bull vetlimfe )(= O (fOMe l1) ) O1i1-1-onfQfe y=i
bull inftHetiOfe (On una 2 y O (non inlOnflQ PaMt ) d=O )
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5 Il punto di intersezione di una retta con lasse x e (-3 O) e quello con lasse y e (O -1) Scrivere lequazione della retta e determinare se passa per il punto di coordinate (1 -15)
y = -0333x-l no
6 Una retta passa per il punto di coordinate (-3 3) e forma un angolo di -380 con lasse x Scrivere lequazione della retta e determinare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi
y = -0781x+0657 x = O Y = 0657 y = O x = 0841
Parabola
la curva di equazione y = ax2 + bx + c egrave una parabola con lasse di simmetria parallelo allasse y
intersezione con lasse y x = O Y= c
2 se c =O Y=ax + bx perx=O y=O
la parabola passa per lorigine
2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x
la parabola egrave simmetrica rispetto allasse y
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grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
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verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
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il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni
x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
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langolo di inclinazione in partenza egrave 450
punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
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fQUAltONI DI SI(OWDO GRADO - PARASOLE
1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe
fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8
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2 se b = O Y = ax + c y ha lo stesso valore in x e in -x
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corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave
grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a
verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
-
il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
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x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
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punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
x
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NOTE Vf1fO anfiOlOlio E p01invo +9 VfMO omtio nega(igravevo -e
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peLiorudfd (e +2lf) reg (8+211) Ct1gt8 (Q+1igraveJ =t 9
LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA
figrave m ( x) = f ( Q )
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corrisponde alla soluzione di unequazione di secondo grado =gt ci sono tre possibilitagrave
grafici a sinistra una sola soluzione (b2-4ac =O) la parabola egrave tangente allasse x
grafici al centro non cegrave soluzione (b2-4ac lt O) la parabola non incontra lasse x
grafici a destra due soluzioni (b2-4ac gt O) la parabola incontra lasse x in due punti
coordinate del vertice della parabola
Xy = -b2a Yv =_(b2-4ac )4a
verificare la corrispondenza con le situazioni delle figure
-
il lancio del peso
per esempio parabola y =-01 X2 + x a = -01 concavitagrave verso il basso c =O passa per lorigine b gt O Xv =-b2a =5 gt O
=1 yy =-b24a =25 b2-4ac = b2 due intersezioni
x(-01 x + 1) =O Xl = O x2= lO = 2xy
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langolo di inclinazione in partenza egrave 450
punto piugrave alto yy= 25 metri lancio 2xv = lO metri
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1 POlQbofa di equazione =3X2_ 2x f DelegravezminOe
fe (on fjPJ e igravef gtDJiW bull X O y + i con f OMe y bull pvt y O 3x t -2x+ 1 O b24ac =-8
non U1000 1oetaionigrave fa pOlobofc nOTI POMe x
bull vetiiUl X =-1 i y =_ bz4ac gt0 v 3 v 40 3
fa pOlabofo -gtTa 10P1Q f OMe x cht 0 3 ) O
(on(Qvifagrave VUthO PoJJo bull def glOSigraveco pen punii
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2 POlobofD di 3 x2-t-)( - i
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due con fQh)e x ( - 2 zVib -2 plusmn4 x gtlt2 -1
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una (on fOMe x (fongenre) b=O OtlVa UJpofo o1Jome x -4 i quelTo punTo o) e if velUa qumfo egrave vel1igrave(e = vttiligravem1e
bull VUfcQ x =-bIlo f lA _ b1-4G( O bull -x2+4=O x=plusmnl- v lI 4a due -tvUfMetIDYLi con fl QJU )(
bull 0 -2 lt O fa (orKaviro egrave tlvoffa if middot tjtt4igrave(O fWt runn bull (O ptfl punfi y
x=plusmn3 x=- lj= O x o -2 X=ii 11=3I A ) )(
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= ax Q gt O x eaPe gtO
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2 fO 3 ( 11 =3 ( +i) 231 11 40 + 25S -- -3 40 o 1 x 1) 20 )20 b5
20 =ex m eX O ) pen x=O =i) e4m eK + 00
iemo x egrave un numelo zeafe = -)imme(lAgrave(Q li)pet(O di eX Je == ttm ( 1 + 1) x eX-gt+OO x
o 4 O o tAm e = +00 pfJl ld = I um e O
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NOTE Vf1fO anfiOlOlio E p01invo +9 VfMO omtio nega(igravevo -e
= (-e) = Co1e I
peLiorudfd (e +2lf) reg (8+211) Ct1gt8 (Q+1igraveJ =t 9
LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA
figrave m ( x) = f ( Q )
igravef tmAgravefe x iendenTf af vafl)lf Q ddfa f6lt) egrave if votugravele t(a) me fa Sunztone Q-nume pel XQ
o x ope uTl e e 1 )(-O
tim (3x-i) 3-1 -1 2 x-f
bull PARTI COLAR l NOTE VOLI
A X rende a un vafou iirtifo ) f(x) tende o tln vofo1e
pe tm = 00 X-)i x-i O
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)(-gt+00 x +oo eX 00 e)( tm e-J( O
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L x tende J f(x) Tende offiYlJiruTo pe tim (mx+q) mx 00 VEDI SOTTO
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in ( fl 11 wu du f(x) fende ASlMTOTtCAHENTE af filftire o inufo
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veW(ofe cl= O e ltj ) fAgravern l1 plusmn00 fimiTe dfAflD =F tmife x7-dk I
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NOTA quvle non hano mcvrrimA emtnimA itUf
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t STudiate fo y= 3x-1 -X+1
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LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA
figrave m ( x) = f ( Q )
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= (-e) = Co1e I
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LIMITI DI UNA fUN110NE CONTINUA
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igravef tmAgravefe x iendenTf af vafl)lf Q ddfa f6lt) egrave if votugravele t(a) me fa Sunztone Q-nume pel XQ
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