LO STANDARD MODEL

COME

TEORIA EFFETTIVATEORIA EFFETTIVAPaolo Bellan

Università di Padova - Dottorato di Ricerca in Fisica - XX Ciclo

CONTENUTICONTENUTI

& dello SM

Origine delle masse nello SM

Correzioni quantistiche ad mH

Il Potenziale Efficace I: descrizione qualitativa

Il Potenziale Efficace II: derivazione analitica e tecniche di calcolo

Il Potenziale Efficace III: R-G improvement

Stabilità e metastabilità del potenziale

La probabilità di tunneling: derivazione, BOUNCE

Correzioni quantistiche: accenni alle tecniche e risultati.

Descrive coerentemente praticamente tutti i fenomeni osservati nel laboratori di Fisica delle particelle e di HEP;

Testato con successo sino alle energie della scala e-w (~ 102 GeV);

Eccellente accordo coi dati dei vari esperimenti di tutto il mondo;

Contiene “CHICCHE” teoriche di notevole importanza: rinormalizzabilità del modello, meccanismo GIM, presenza di simmetrie accidentali etc.

Non contempla la Gravità;

Non fornisce possibili spiegazioni per alcuni fenomeni

sperimentali (masse dei neutrini, pentaquarks(?), QGP, …);

astrofisici (D.E. / D.M.);

Non spiega l’origine dell’entità delle masse dei fermioni, del mixing tra i flavour e della violazione di CP;

Troppi parametri liberi;

Non si pronuncia sull’unificazione delle c.c. ad alte energie

Problemi della GERARCHIA di gauge / della NATURALEZZA

Naturale considerare lo SM quale una Teoria EfficaceTeoria Efficace o di bassa energia, restirzione di una teoria piú generale con nuovi gradi di libertà @ ΛNP

termini cinetici nella forma:

RL Di LR Di ove )(

YBgiWigTDD aa

ma non sono permessi termini di massa di Dirac o di Majorana:

(Majorana) oppure (Dirac) 22 RTRL

TL MMM

Pertanto per i campi a spin ½ i termini di massa sono proibiti nel limite di simmetria esattaMa anche per i campi bosonici Aμ a spin 1 sono proibiti termini di massa tipo M2AμAμ....

Tali termini di massa si dicono

Rimangono “non protetti” soltanto i termini di massa per campi a spin 0 tipo M2φL

+φL…

Per generare le masse non nulle di fermioni e bosoni di gauge si introduce la rottura spontanea della simmetria di gauge della lagrangiana mediante l’introduzione di un campo scalare φ dal VEV non nullo ed il meccanismo di Higgs…

Proprietà di anti-commutazione delle matrici γ ( ↔ comportamento sotto trasformazioni di Lorentz )

richiesta di invarianza sotto trasf. di Gauge

locali

Per campi a spin ½:

Scelta più semplice:• φ “elementare” (anche se si studiano teorie in cui…)• doppietto di SU(2) (affinché siano scalari i termini di massa dei fermioni tipo • potenziale semi-definito positivo ed inf. limitato a d ≤4 φ4

) fR

fL

fg

Landau di '0

4

1vv2

2

1v

4

1)( :campo il oRidefinend

2/2/v ; )()(

.)(),,(

43224

222220

poloainstabilit

HHHHV

VV

fermionicicouplingsVDDAL iiHiggs

2HM

Higgs self -interactions

NB: struttura valida solo a livello albero correzioni quantistiche potenzialmente larghe…

MH non è protetta da alcuna simmetria dipendenza quadratica dal cut-off della teoria: δm² ~ Λ²

NUOVA PARTICELLA di massa M

2

22

2

22

MlogM

16

gm

R Lm

Stabilità del settore bosonico / fermionico rispetto alle correzioni radiative: δm/m << 1 up 2 M~1019GeV

Se M2 >> 102 GeV severo fine-tuning ad m²bare per mantenere v ~ 246 GeV

(Tecnicamente) INNATURALE (ma non impossibile!) problema del fine-tuning e della sua stabilità

M

log 16 2

2

2

22

mg

m

Sparisce la dipendenza power-like dal cut-off nel potenziale di Higgs

0,,

0,,,

PQPQQQQQ

PQQfermionbosonQ

bosonfermionQ

Una soluzione elegante

alla questione viene dalle teorie SUSY:

“ − ” “ = ” 0

bosone fermione

Con le SUSY il problema della “big hierarchy” (scala ew << Plank) non è più un problema tecnico (ma la sua origine rimane inspiegata…)

Altro sospetto di una teoria soggiacente più ampia: cancellazione dell’anomalia della corrente assiale sommando su ciascuna famiglia fermionica

cba

vvA

TTTC

FFCJ

,Tr

f

fV

fV

fA TTT 0

VJ

AJ

VJ

f

ale / vettoriassiale corrente:/

VAJ

Tale grafico conduce alla violazione della simmetria classica della lagrangiana; se JA è associata ad una corrente di gauge e C≠0 la rinormalizzabilità e persa! A MENO CHE sommando sulle varie famiglie fermioniche non avvenga che:

! 0,,,

3

LLLLL evduf

QQTed infatti guarda caso

i

iNP

iSMeff

cLL ...)5(

Leff NON è rinormalizzabile in senso stretto, ma può esserlo odine per ordine Effective QFT

Quanto vale ΛNP ?

Fino a quale scala lo SM e una buona teoria effettiva,

cioè

PURTOPPO lo SM è rinormalizzabile! Gli effetti dei nuovi d.o.f. possono venir nascosti nella rinormalizzazione delle coupling degli operatori a d≤4 i nuovi d.o.f. si DISACCOPPIANO

Parte rinormalizzabile (tutti i possibili operatori a d≤4 compatibili con la simmetria di gauge)

due possibili approcci sono:

Possibile parametrizzazione dei nuovi gradi di libertà

• studio della stabilità del potenziale di Higgs sotto correzioni quantistiche, dalla scala ew fino a ΛNP

• ricerca indiretta di NP indotta dagli operatori a d>4 (test di precisione e processi rari)

Spettro di masse di una teoria di gauge

VEV degli scalari φi della teoria,(invarianti sotto traslazioni, conservazione dell’ impulso NON SSB) Funzioni di Green (=VEV di un prodotto di campi T-ordinato

Il “Potenziale” V(φi) è definito come l’opposto della parte non derivativa della (densità di) Lagrangiana

Si cercano le soluzioni delle e.o.m. invarianti sotto traslazioni

0

i

V

Densità di Lagrangiana “classica” per un campo scalare φ

Hamiltoniana densità di energia (di un sistema classico in termini del VALORE) del campo φ(x)

densità di energia di un campo costante φ

Per studiare l’effetto delle correzioni quantistiche sul potenziale di Higgs si introduce il concetto di POTENZIALE EFFETTIVOPOTENZIALE EFFETTIVO.

QualitativamenteQualitativamente:

Soluzioni della:

CORREZIONI QUANTISTICHE

Contributi alla densità di energia del campo φ tenendo conto delle possibili emissioni e riassorbimenti di particelle virtuali contributi dei loop di particelle virtuali all’energia di interazione

INTERAZIONI grafici con un certo numero di gambe esterne:

0 gambe est.

Energia del vuoto shift del livello 0 dell’energia di una costante

1 gamba est.

Assorbiti in una ridefinizione (shift) del campo

I grafici riducibili (separabili in due distinti dal taglio di una linea interna) non contribuiscono all’energia di interazione (il loro contributo si semplifica nello sviluppo della matrice S…)

Le correzioni quantistiche al potenziale classico si ottengono sommando tutti e soli i grafici “1PI”.

+ +

+ …+

+ …

+ + …

Per esempio, esempi di grafici 1PI che contribuiscono alle correzioni quantistiche al propagatore (per una teoria massless tipo λφ4, solo interazioni 4-lin):

convenzionalmente valutati senza propagatori sulle gambe esterne.

Potenziale ↔ termini senza derivate nei campi si può considerare infinitesimo l’impulso nelle gambe esterne di tali grafici

Correzioni quantistiche al potenziale classico ↔ somma di tutti e soli i grafici “1PI” ↔ Potenziale efficace, il cui (nuovo) minimo determina se avviene la SSB

Più quantitativamente…

•Si inserisce una “fonte esterna” J(x) linearmente accoppiata al campo φ; è un C-numero in funzione del punto dello spazio-tempo

•Il funzionale generatore W(J) e` definito in termini dell’ampiezza di transizione tra gli stati di vuoto nel iniziali e finali in presenza della fonte esterna J

•I coefficienti G dell’ espansione in serie di Taylor funzionale di W sono le funzioni di Green connesse

•La trasf. di Legendre funzionale di J fornisce l’azione effettiva Γ(φc); φc e’ chiamato il “campo medio” o “classico” (obbedisce all’eq. classica…)

•Nell’espansione dell’ l’azione effettiva in serie di potenze di φc si individuano le funzioni di Green dei grafici 1PI della teoria, detti anche vertici propri, mentre espandendola potenze delle derivate di φc (in impulso dal punto in cui quelli esterni si annullano) si definisce il potenziale efficacepotenziale efficace

...)(2

1)(

)( ... )( ) ...( ...!

1)(

)()(

)()( )()(

00

00

)(

)( )...( ) ...( ...!

1

][ exp

][ exp00][

)()(

24

11)(4

14

4

11)(4

14

][

4

4

ccceff

nnccn

nnc

c

cc

JInOut

InOutc

nnn

nn

JiW

JInOutdisc

ZVxd

xxxxxdxdn

xJx

xxJxdJW

xJ

W

xJxJxxGxdxdn

W

eDxdL

DxdLJS

xxJLLL

STRATEGIA

Espansione in impulso

Espansione in potenze di φc

Somma di tutti i digrammi connessi con n linee esterne

Somma di tutti i diagrammi 1PI con

n linee esternePOTENZIALE

EFFICACE

L= ½(∂φ)²- ½ μ²φ² - (λ/4!)φ4

+φ → -φ

=

scompaiono le potenze dispari negli sviluppi in potenze di Γ e Veff;

Veff(φc) ~ densità di energia dello stato in cui φ(x)≡φc = const o meglio valore di aspettazione della densità di energia nello stato ψ che minimizza <ψ|H|ψ> sotto la condizione <ψ|φ(x)|ψ> = φc

:risulta (*) lacon terminea terminedoconfrontan e 0 ad attorno ) ..., ,( espandendo

) ..., ,(ˆ)(2

...

)( )2( )( ... )( ...! 2

1 )(

)( ... )( ) ..., ,( ...! 2

1)(

(*) ...)(2

1)( )(

: di derivate delle potenzein Espandendo

1)2(

1)2()...(

4*2n2

41

40

4212

41

4

0211

)2(2

41

4

24

2211

inn

nnpxpxin

ninccn

nnccn

nnc

ccceffc

c

ppp

ppepdpd

pxxxdxdn

Fourier

xxxxxdxdn

ZVxd

nn

0

22 )0,...,0(][! 2

1)(

n

nncc n

V Il potenziale efficace é dunque somma di tutti i diagrammi 1PI con impulsi infinitesimi sulle gambe esterne.

)()()(2

1 2ctree UVUL

loopV 1 + + + …

Dunque avremo: livello albero

+ correzioni

Correz. radiative → potenziale efficace → diagrammi 1PI →

→ integrali sull’impulso → divergenze → RINORMALIZZAZIONE!RINORMALIZZAZIONE!

Teorie rinormalizzabili ↔ divergenze riassorbite nella ridefinizione di parametri e campi.

04

4

02

222

)(

)(

)0(

c

c

xd

Vd

xd

Vdp

cR

ciR

Definendo la (massa)² del mesone come

l’inverso del propagatore @ p=0:

…e la costante di accoppiamento tramite la funzione a quattro punti sempre a @ p=0:

Il valore <φ> di φc a cui si trova il minimo è il valore di aspettazione di φ nel nuovo minimo

0)(

| 0 se SSB

)()(

00

00

)(

xxJ

x

xJ

W

cc

c

JInOut

InOutc

VEV invarianti per traslazioni

) (diciamo0, qualcheper

0)(

se SSB

xd

dV

c

c

eff

Il meccanismo della SSB avviene se φc assume un VEV non nullo anche se J(x) va a zero:

tramite queste si ricaverà massa e coupling, definendo φ' = φ - <φ> ( φc' = φc - <φ>) e valutandole NON in zero bensì in φc = <φ>

LL 1

Potenze di α = N°[linee int.] - N°[vertici]

N°[ loop]= N°[integrali INDIP sul momento]

= N°[linee int.] - N°[vertici] - 1[pTot = cost ]

potenze di α = N°[ loop] +1

non influenza la sua divisione nella parte libera e di interazione, o lo shift dei campi

loop-expansion sviluppo in una costante che moltiplica l’intera lagrangiana (p.es h, poi posta uguale ad uno)

≈Pertanto:

Potenziale efficace ↔ somma su tutti gli infiniti grafici 1PI… ?! Impossibile!

Poi sarà α = max [g²,g'²,λ,yt…]/4π; vogliamo sia << 1

Il potenziale a one-loop è dunque la somma di tutti i diagrammi ad un loop con attaccati all’anello uno-due-…-N “ciuffi” di n-2 gambe esterne, se n è la potenza a cui compare φc

nel potenziale. Se il potenziale è del tipo g(φc)n/n!, per l’r-esimo grafico della somma avremo:

r propagatori r vertici a (n-2)r gambe

r(n-2) linee esterneLa loop

simmetria per rotazioni e riflessione del grafico definizione di funzionale generatore

fattore (k2+iε)-r

fattore g/(n-2)! CIASCUNO (invarianza dello scambio delle n-2 linee est. a ciascun vertice)

fattore g∙φcr(n-2)

integrazione sull’impulsofattore combinatorio 1/2r

Una “i”

Il potenziale effettivo a one-loop sarà:

con una rotazione di Wick, nel piano Euclideo avremo:

2

2

4

41

12

2

4

41

k 2)!-(n1ln

)2(2

1

! )(

k

)!2/(

2

1

)2(! )(

nc

nc

cloop

eff

r

rnc

nc

cloop

eff

gkd

ngV

i

ng

r

kd

ngV

Se ci fosse nel potenziale un altro termine del tipo g`(φc)m/m! come argomento del log sarebbe comparso un termine analogo ma con potenza e fattoriale pari a m-2.

Per un generico potenziale polinomiale U avremmo:

24

41

k

)(1ln

)2(2

1)()( c

ccloop

eff

UkdUV

Divergente! si taglia a k = Λ (e se la th è rinormalizzabile la dipendenza da Λ sparirà)

Un metodo alternativo (Lee-Sciaccaluga) molto semplice e più efficace ad ordini superiori: espansione dell’azione effettiva non attorno a φc=0 ma attorno ad φc = ω Γ(n) sarà il generatore dei diagrammi 1PI di una teoria in cui φc è stato sostituito da φc – ω; l’espressione per il potenziale efficace conterrà ora potenze di φc – ω.

Differenziando ora l’espressione di Γ(1) rispetto ad ω e ponendo φc = ω si ottiene subito:

id

dV

c

)1(

“ ”

c

kkd

k

kdi

V cc

2224

4

2224

4

44220

3ln)2(2

1

3

!3

)2(2

)(4

1)(

2

1

Per esempio nel caso di una teoria con scalare massivo auto-interagente avremo il “solito” potenziale dello SM, shiftato di ω:

La massa di φc ora vale μ2 + λω2 : il termine tri-lineare sarebbe –λωφc3 così tale vertice avrebbe il fattore –3!iλω il tad-pole varrebbe:

Moltiplicato per i ed integrando su ω:

cioè come prima a meno di costante.

Per un potenziale quartico

42222

222

)3ln(64

)3(ccc

ctreeeff baVV

4

1

2

1 422 treeV il potenziale efficace risulta:

con a e b controtermini (cutoff-dependent) da determinarsi con le condizioni di rinormalizzazione

Inoltre, se φc piccolo & μ²<0 → V immaginario!

Occorre implementare la sottrazione ad un valore di φc tale che Veff sia reale

L’origine non è più di minimo, ma ve ne può essere uno nuovo SSB!SSB!

04

4

02

222

)(

)(

)0(

c

c

xd

Vd

xd

Vdp

cR

ciR

Rinormalizzazione PROBLEMA!

La derivata IV del potenziale non esiste, ha una singolarità logaritmica nell’origine!

Si definisce allora la c.c. in un qualche arbitrario “punto” M lontano dalla singolarità:

Mc

R cxd

Vd

)(4

4

Così facendo:

• si introduce un parametro arbitrario M con le dimensioni di una massa;

• il nuovo minimo dipende da M, cosiccome la c.c.

• La dipendenza da M NON entra nella fisica: cambiando M cambia solo λR

Il valore a cui si opera la sottrazione può essere LONTANO dal range di validità della loop-expansion: affinché sia affidabile, il parametro di espansione dev’essere sia << 1

2

2

2

2

2

24

2

24

ln16

9

6

25ln

64

9

4

1

M

MMM

MV

RR

cc

RcReff

1ln)( che Vogliamo ln)(2

2)1(

2

21

MV

MV c

ceff

n

cnc

loopneff

posso fissare adeguatamente M; ma se voglio lavorare in un intervallo del potenziale tra φ1 e φ2 , dovrà essere anche ln( (φ1/φ2)²) << 1;

Occorre calcolare il potenziale efficace “RG-improved”

M arbitrario (entra nell’espressioni di λ); la “Fisica”, il Veff non deve dipendervi (le dipendenze si devono poter assorbire) →→ Equazioni del gruppo di rinormalizzazione;

dM

dM

dM

dgMg i

i

/

),(

0)(0

eff

ig

eff VgM

MM

Vi

βgi: “β-function” (una per ciascuna coupling) e γ “dimensione anomala”: coefficienti parametrici che dipendono dalle c.c. e da M

β e γ sono note solo come sviluppi in serie di potenze nelle c.c., che saranno affidabili se le gi << 1 SENZA richiedere che gi ln(φc/M) << 1 !

NB Una RGE per ciascuno dei termini μ²φ², (λ/4!)φ4 del potenziale; quindi avremo le β-function βμ , βλ (in realtà un’equazione per ciascuna Γ(n), visto non devono dipendere dalla scala di rinormalizzazione M)

Condizioni al contorno per le RGE:

2)247(2

2

)247(

0 )(

HGeVv

c

GeVvc

md

Vd

xd

dV

Note dunque le masse di fermioni ed Higgs, risulta determinato il potenziale efficace “RG-improved”;

viceversa dal suo calcolo e confronto coi dati si possono mettere limiti su mH…

SCALARI:

BOSONI

DI GAUGE:

FERMIONI:

Nello SM avremo anche (TUTTI a M=0):• campi bosonici a spin 0, φa • bi-spinori di Dirac, ψa

• campi vettoriali, Aaμ

• campi ghost

+

+ + …

+ …

+ + …

CONTROTERMINI DALLA RI-NORMALIZZAZIONE DELLE C.C. ( Vc in funz degli altri 4 termini)

bacabs

VWV

02

)(

2

2

2

2

24

2

2

24

2

)(ln)(

64

1

)(~

ln)(~

64

3

)(ln)(

64

1

M

mmmmTrV

M

MMTrV

M

WWTrV

ccf

ccg

ccs

...)(~

2

1... 2

b

abasgg AAMLV

Solo grafici con un numero pari di gambe esterne (la traccia di un num. dispari di matrici γ vale zero)

…tutti con interazioni rinormalizzabili:• gauge invarianti• self-interaction quartiche per i φa • Yukawa-type per quelle bosoni - fermioni

Gauge di Landau

cgfstree VVVVVV

Poligoni n-agoni

∑(possibili mesoni interni) ≡ Tr{∏ matrici(attorno alla loop)}...)(... b

ababasff mLV

)(2cabM

)( cabW

)( cabm

NB: Se gY (=√2mtop/σ) è grande B può diventare

negativo!

Potenziale non limitato minimo instabile!

g, g' c.c. di gauge e gY Yukawa-coupling del top

Nel modello GWS standard avremo:

4422422

24

0

2

24

2

4

2

22222

22

22222

2

2

24

2

2224422

)23(16

1

64

3con ln

:scalari loop i abilicur trasAssumendo ln64

3

ln)(64

33ln)3(

64

1

ln1024

])(2[3 ;

4

1

2

1

Yc

c

cc

Yf

cc

ccs

ccgcctree

gfstree

gggggBM

BVV

M

gV

MMV

M

gggVV

VVVVV

22442

222

41

v2v( et ...1294),(con

),(log),(4),(16

1)(

4

1

/ M)λggg

gOM

ggMV

Higgstti

iiiloop

eff

Sommando tutti i contributi dei loop con scalari, fermioni e bosoni vettori, trascurando i contributi di tutti i quark escluso il top e ponendosi a φ<<v si perviene all’espressione:

)(),()()(4

1)( 224 MgMOMMV ieff Risommando i Log:

0)(| aInstabilit )(4

1)v(

~ @ zatorinormaliz ),( di nel eriassorbit

vengono)( ad hequantistic correzioni le vPer

4

HHHHHV

HMMrunning

HVH

LA RICHIESTA DELLA STABILITA’ DEL POTENZIALE PER φ<Λ COINCIDE COL LA CONDIZIONE λ(Λ)>0

Differenti comportamenti del potenziale a seconda del valore iniziale di λ(M) ↔ mH

Veff(φ)

φv

Valori iniziali di λ (di mH)

troppo granditroppo grandi portano ad un polo prima della scala di Plank

Valori troppo piccoli conducono ad una λ negativa IL VUOTO DELLO SM DIVENTA INSTABILE!

Soltanto per mH in una limitata finestra di valori lo SM rimane stabile sino alle energie di Planck…

Log10(Λ/1GeV)

Se λ(M) diventa negativa per M > Λ si può ripristinare la stabilità assoluta del minimo e-w (NO nuovi minimi del potenziale) introducendo nuovi gradi di libertà (NP) PRIMA della scala Λ, per “congelare” il running di λ grazie a loop di nuove particelle (SUSY, p.es.) limiti superiori sulla scala di NP in funzione di mH (ed mt).

FLUTTUAZIONI QUANTISTICHE (@ T~0)

calcolabili in modo model-indep.

FLUTTUAZIONI TERMICHE

paragonabili alle quantistiche solo @ T~108 GeV

Ma l’assoluta stabilità non è richiesta da alcuna evidenza sperimentale!

Se si RINUNCIA alla richiesta di stabilità assoluta “accontentandosi” che il vuoto e-w sia (instabile ma) sufficientemente longevo, si può allora rilassare le condizioni e richiedere la stabilità del minimo sotto:

(non ne parleremo)

Limiti su mH dalla richiesta che la probabilità di QUANTUM TUNNELING del minimo ew integrata sull’età dell’Universo TU sia piccola

Possono aver avuto un ruolo importante nelle primissime fasi di vita dell’Universo…

φ-

φ+ φ

U CLASSICAMENTE: 2 eq. stabili: φ+ , φ- .

QUANTISTICAMENTE: 1 solo eq. stabile: φ-

φ+ reso instabile dalle fluttuazioni quantistiche (effetto tunnel, “barrier penetration”): è un “FALSO VUOTO”

Con un potenziale simile si potrebbero dunque formare bolle di vero vuoto in un fondo omogeneo di falso vuoto…

Analogia: fluido sovra-riscaldato formazione di bolle di vapore: energia minore all’interno, maggiore all’esterno (fase di vapore ↔ MINORE energia libera)

crescita guadagno in en. di volume VSVS perdita di en. di superficie

effetti in competizione, compensazione o meno: le bolle piccole scompaiono, le bolle grandi crescono

1)( | t Se 4 pastVV

p Dcone

~ O(1 ms): l’universo è ancora caldo quando il falso vuoto decade

~ O(1 yr): brusco cambiamento di stato dell’Universo (Big Bang secondario?)

~ O(109 yr): …C’E` DI CHE PREOCCUPARSI!

Quantità rilevante: probabilità di decadimento del falso vuoto x unità di volume e di tempo

0)(

2

1

0)(2

1

2

2

2

qVd

qd

d

qdq

V

d

qd

qVd

qdddLE

)(220

q

qVdqB

)(220

2

q

qdqddsqVdsB

0 20

q

Vds

Quantisticamente il minimo q0 non è stabile: grazie a fluttuazioni quantistiche la particella può penetrare la barriera. L’ampiezza di transizione per tale processo ha la forma:

Si può scegliere Etot=0 e lo zero dell’energia in modo che il punto di eq. “classico”, q0, sia zero di V; σ è il II zero di V.

Consideriamo il problema 1-D con m=1 e V(q):

-V(q)

σ q

VV(q)

q0

)(2

1 2 qVqL

)(1V/ / OAe B

)(2

1qVqqL

σ Σ superficie di minimi; l’intergale sarà su quel percorso per cui B è minimo: la particella penetra dove trova meno resistenza

Formalmente il problema è equivalente studiare il problema variazionale canonico, ove però:

EqVdt

qd

dt

qd

q

V

dt

qd

VEdsestremi

fissi

)(2

1

0)(2

2

2

it

0E

-VV

ove:

)(2

1 2 qVqLE

Generalizzando in più dimensioni:

.0)(2

1 qV

d

qd

d

qd

0)( 0 qV

Ma

-V(q)

σ q

VV(q)

q0

0lim qq

Inoltre potendo scegliere come istante zero quello in cui la particella raggiunge σ, dovrà essere:

00

d

qd

0

)(20

dLqVds E

q

Quindi

Notiamo che la variazione di quest’espressione rispetto ad un cambio del punto σ di Σ si annulla (quella condizione si può dunque rilassare…)

Per τ>0 il suo moto è l’esatto inverso che per τ<0: balza fuori da Σ a τ=0 e torna in q0 a τ=∞.

EE SdLB

La particella parte in q0 a τ = -∞, colpisce la superficie degli equilibri “classici” dall’altra parte della barriera, e BALZA indietro in q0 ad τ = +∞. Questo moto viene appunto detto il “bounce”

Quindi per conoscere B:

• si risolvono le e.o.m. a tempo immaginario con le appropriate condizioni al contorno

• se ne calcola l’azione euclidea

NB_1: con PIU’ bounces prendo quello che minimizza l’azione euclidea

NB_2: con PIU’ bounces a pari azione sommo tutti tali contributi su Γ (integro sul gruppo di simmetria )

Tornando ai campi, l’e.o.m. a tempo immaginario sarà:

UxddSB E2

23

2

1

2

1

con condizioni al contorno: (la 1 ci dice che al principio c’è ovunque il “falso” vuoto)

Inoltre: B finita (↔ lontano dalla “bolla” di vero vuoto il vuoto rimane quello “falso”)

2/122 xr

)(r

definito:

così avremo che:

0

232

2

12 U

dr

ddrrSB E

)(22

2

U

(2) 0),(

(1) ),(lim

x

x

;),(lim x

x

)(3

2

2

U

dr

d

rdr

d

0)(

(1) )(lim

0

rdr

rd

rr

(continuità nell’origine)

traslazioni spaziali di soluzioni sono ancora soluzioni

il bounce è invariante per rotazioni euclidee 4-D

(soluzioni non O(4) invarianti hanno azione maggiore ignorabili)

si vede che esistono sempre soluz alle equazioni sopra, diventate:

φ-

φ+ φ

U

U(φ)

-U(φ)

b≡b(r) • è calcolabile in forma chiusa nella “tiny wall approximation” (piccola ΔE tra I due

minimi)

• la funzione φ fornisce la forma del bounce nello spazio 4-D euclideo come in quello ordinario al momento della sua materializzazione al di là della barriera

• l’O(4)-invarianza diviene O(3,1) la crescita della bolla dopo la sua materializzazione appare la stessa ad ogni osservatore di Lorentz

• tutta l’energia guadagnata nella conversione del falso vuoto nel vero vuoto, quindi nella crescita finisce nell’accelerazione della bolla stessa

0),0(

),0(),0(

t

xtxxt

poi evolve secondo l’

equazione dei campi classici:

analogia QFT meccanica: il campo classico compie un “balzo” dallo stato definito dalle

)(22

2

Ut

)(22

2

U

),( xt

continuazione analitica

22

txr

)](1[)(det

)](1[

:gaussiane di prodotto diventa integralel'

)( :D di autovalori Scelti

0)(S

| !

0)2/( ; )()(con

)()( ,)2/(Per

)2( ; 2

1

per

2/12)(

2/1)(

2

2

2

2

2/

2/

/

2/12/

2/

2

OxVNe

ONexex

xxxVdt

xdSx

xVdt

xd

xxSuponiamo

Txdttxtx

xctxtxxTx

dcdxVdt

dxdtS

dxeNxnnxenEnHxex

t

xS

nn

xS

i

HT

f

nnnn

n

nnmmn

T

T

nnnfi

nn

T

T

S

nif

TE

ni

HT

f

n

Versione euclidea (τ=it) dell’ integrale di Feynman sui cammini

Eq di una particella (di massa unitaria) che si muove sotto un potenziale –V E=1/2(dx/dt)²-V(x) è integrale primo

Ivi il termine dominante per grandi T “parla” dell’ autostato più basso dell’energia

Nel limite semiclassico, dominato dai (contributi dei) punti stazionari di SAzione

euclidea

Circa il coefficiente A:

0)(3

)()(

2

2

2

bVdr

db

rdr

bd

xxrbVb

b è il “BOUNCEBOUNCE”

la soluzione delle equazioni del moto euclidee (τ = it):

soddisfacente alle condizioni:

)(1/][4

0 OeR

Tp bSU

Siamo al risultato:(semi-classical

approx.)

) ( 2

1)( euclidea azione :S0

bVbb

tree-level

connette le regioni di falso vuoto con quelle di vero vuoto al di là della barriera; è O(4)-invariante

R: parametro di scala arbitrario associato alla dimensione caratteristica del bounce

TU/R: fattore di volume

Inserendole nell’espressione per p:

3

8][

22)(

2

0

22

bS

Rr

Rrb

SOLUZIONI tree-level(λ < 0 e trascurando la parte quadratica del potenziale):

0)0( ; 0v)(lim

brbr

3/84

.

2

e

R

Tp U

semicl

richiedendo p<1 limiti su λ(λ piccolo tunneling rate bassa)

RGE per λ(μ) limiti inferiori su mH

118.0)( ZS m

P<1 VU=(1010yr)4

Nel calcolo della probabilità di tunneling a 1-loop tali ambiguità dimensionali vengono entrambe rimosse; l’espressione da calcolare è:

22)(

2)(2

22

22

2

442

222

2

42

v/4

2)(

)21(32

2)67(

12

2

)65(6

)1213(6

)65(3

2

ZWZ

gZ

gt

th

ZZ

tt

mg

gf

gf

gff

Lgg

Lgg

Lg

Lg

LS

2/1

''0

''0][

2

20

][

]v[SDet

][ tSDe

4

][0

1

S

bSe

bS

V

e

V

p bSbS

SU

Re

R

Tp

)(3

842

max

fh/g funzioni che esprimono la parte da sottrarre dei contributi all’azione dei loop del top e dei bosoni di gauge (da ricavare numericamente)

b : il “bounce” al tree-level (b=v è il falso vuoto ew)

S0/1: funzionale d’azione al tree-level / one-loop;

l’ apice denota la derivata funzionale

Si, ma…• QUALE R, ?• QUALE μ ?(forse μ =1/R…?)

SDet: il determinante funzionale; l’apice indica l’omissione nel calcolo delle autofunz. dell’autovalore zero (gli “zero-modes” (già contato integrando b che è t-invar.)

= Det quando agisce su campi bosonici

= 1/Det² quando agisce su campi fermionici

Il valore critico di R è molto grande ( trascurare il termini quadratici nel potenziale è ben giustificato)ma < MPL!

);2/e ln( ERL

mH=115 GeV, mt=175 GeV

Se NON si trovasse NP fino a MPL esiste una considerevole probabilità che il vuoto dello SM in SIA METASTABILE!

Per porre i limiti in figura si è posto pmax = 1 e si sono utilizzate:

• soluzioni delle equazioni di QCD a two-loop gt(mt@1/R) VS mt

• integrazione a two-loop delle RGE eq per λ, gt per le tre c.c gi

In definitiva: per mH=115 GeV, il potenziale di Higgs esibisce instabilità sotto la scala di Plank per mt > (166±2)GeV, mentre è metastabile, ma sufficientemente longevo per mt < (175±2)GeV.

Viceversa prendendo mt dal PDG04, la metastabilità risulta perfettamente compatibile con gli attuali limiti sperimentali su mH

002.0118.0)( ZS m

BIBLIOGRAFIA

Articoli:

• S. Coleman, E. Weinberg, Phys. Rev. D & (1973) 1888;

• J. Iliopoulos, C. Itzykson, A. Martin, Rev. of Mod. Phys. 47-1 (1975) 165;

• S. Coleman, Phys. Rev. D 15 (1977) 2929 ;

• C. G. Callan, S. Coleman, Phys. Rev. D 16 (1977) 1762;

• M. Sher, Phys. Letters B 317 (1993) 273-420;

• G. Isidori, G. Ridolfi, A. Strumia, (2001) hep-ph/0104016.

Testi:

• J.D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields McGraw-Hill, 1965;

• R.P Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965.

BACKUP SLIDES

(ritagli)

;v2)( 2.246)G2( v ;v

0

2/ se nulli termini ...

4

1

2

1

2/)( scalare doppietto il dato che avevamo

:

2v|

21/2-F

422422

HH

tree

HVmGeVH

HHHV

G

iGH

MEMO

mH

constUkd

U

dkUkd

UV

cc

ccc

loopeff

)(k )2(2

1)(

(...)k

)(1ln

)2(2

1)()(

23

3

024

41

Le fluttuazioni quantistiche attorno al campo classico (emissioni e riassorbimento) sono la somma delle densità di energia delle fluttuazioni del vuoto; la loro frequenza, o massa, è coerentemente proporzionale alla “curvatura” (U'')½

Il significato fisico di Veff emerge meglio integrando sul tempo:

ad ogni dato ordine perturbativo, è somma di tutti i grafici; in essi, corrispondentemente ad ogni campo, ogni gamba esterna avrà un propagatore che porta impulso pi con un indice libero α;

• NON sono direttamente connesse con gli osservabili fisici,

• NON sono gauge-invarianti

• le linee esterne dei grafici non sono necessariamente on-mass-shell

0)]()...([0 ) ..., ,()...( )2( 11

41...1

44

11 npix

n

iinn xxTexdppGpp

n

ii

n

Funzioni di Green: VEV di un prodotto di campi T-ordinato (α: lorentz+group ind.)

nG ...1

2

22

21

221

332211

32144

332211

32121

1

332211

Lips)(4

1)(

...()2(

1

,...,

cost

332211

1

Mdmmpp

),s(p...),s(p),s(p),s(pd

M) pp pp

),s(p...),s(p),s(p),s(piT

iTS

) p,p, p(pGR

)(pG ),s(pψ

),s(p...),s(p),s(p),s(pS

)((p)GR(p)G

nnn

),s(p...),s(p),s(p),s(pn

nn

n...ββ/φ

ifree

βα

iii

extα

nn

freeαβφαβ

nn

n

ii

i

Il metodo standard sviluppato per la determinazione del potenziale efficace tramite il calcolo dell’integrale funzionale è il cosiddetto “steepest descendent method, nel quale si calcola esplicitamente il funzionale integrale e quindi la trasf. di Legendre, successivamente espansa: si definisce una nuova lagrangiana (che avrà nuovi propagatori e nuovi vertici):

const con )()(

)(),( 4

y

y

LydLxLxL

Dove il determinante agisce sui gradi di libertà interni e di spin cc xLxd

iikD

kdiLV(

),(exp],[detln

)2(2

1-- ) int

414

4

c

Il potenziale efficace sarà dato da:

Il DETERMINANTE FUNZIONALE di un operatore ellittico (autoval. dei coeff. delle derivate tutti positivi o tutti negativi) a spettro discreto e positivo si può definire come e–Z'(0) ove Z(0) è la continuazione analitica nell’origine di:

Z(s)=∑ n(λ n)–s

5

2

)()( ),(

~

cabcabab

babaabiBAmTTggM

)(/))((])0([2)(:

0)()(3

)(3

1

2

2

2

2

UrUrIsoluz

Udr

d

rdr

dU

dr

d

rdr

d

0)(

(1) )(lim

0

rdr

rd

rr

03

2

122

dr

d

rU

dr

d

dr

d

~ legge di Stokes con viscostà inversamente proporzionale al tempo

φ-

φ+ φ

U

U(φ)

-U(φ)φ1

+

+ + …

+ …

+ + …

1)0( 1)(2

2

22

cmpZ

p

tt

cct

yggggyggB

MyggBVV

42242

24

0

2316

1

64

3),,(con

ln),,(

ln2

24

0

MBVV c

c

Era: