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Università di Teramo - Teoria del portafoglio finanziario - Prof. Paolo Di Antonio

• I modelli DDM (Dividend Discount Model)

• Calcolo del rendimento ex-post di un titolo azionario;

• Modelli basati sulla profittabilità dell’impresa;

• Modello dei flussi di cassa;

• Gli indici Price/book e Price/Earnings

Titoli azionari


Titoli azionari vs titoli obbligazionari

Azioni Obbligazioni

Possessore: Socio Possessore: Creditore

Remunerazione eventuale Remunerazione periodica (fissa o variabile)

Non hanno scadenza Hanno scadenza

Valore emissione non inferiore al capitale sociale (art. 2346 c.c.)

Prezzo di collocamento inferiore al valore nominale

Titoli nominativi Titoli al portatore

Conferiscono diritti di rappresentanza in assemblea (funzione del tipo di titolo)

Non contemplano la partecipazione alle scelte della società (ecc. converibili)


Titoli azionari

I modelli che seguono sono validi nelle seguenti ipotesi:

• esiste una sola categoria di titoli;

• il passivo di Stato Patrimoniale è composto solo da equity e debito: non sono presenti altri strumenti finanziari “particolari” come warrant e obbligazioni convertibili;

• non sono previste operazioni di finanza straordinaria;

• non viene considerato il problema del controllo e dell’estrazione dei benefici privati da parte del soggetto controllante;

• il rischio dell’azienda e il tasso di rendimento del mercato non variano nel tempo: rt=r=costante.


Valutazione Titoli azionari: modello dividendi

Generalità Nei modelli di valutazione dei titoli azionari in termini di dividendi, in genere, si ipotizza che • i dividendi siano distribuiti con cadenza annuale e, in particolare, che il primo dividendo venga distribuito esattamente a un anno di distanza dal momento in cui viene effettuata la valutazione (si veda Figura 1); • il tasso di rendimento r richiesto dal mercato sia costante e dato da due componenti: una componente che rappresenta il rendimento privo di rischio e una componente che rappresenta il premio per il rischio;


Valutazione Titoli azionari: modello dividendi

Si noti che in linea di principio r, in sintonia con quanto visto per i titoli obbligazionari, dovrebbe essere diverso per i vari istanti t in cui vengono distribuiti i dividendi; nonostante questo, di solito, si considera un r costante in quanto le formule che vedremo successivamente hanno una valenza che è prevalentemente di carattere concettuale.


Valutazione Titoli azionari: un primo modello

Per ricavare una prima formula di valutazione dei titoli azionari si osservi che il prezzo di una azione, in un generico istante, deve essere uguale al valore attuale dei flussi di cassa futuri che genererà tale azione; in particolare il prezzo dell’azione all’istante 0 deve essere uguale al valore attuale del

dividendo e del prezzo atteso per l’azione all’anno 1:

P0DIV0 P1

1 r

dove: P0 = prezzo dell’azione all’istante 0; P1 = prezzo dell’azione all’istante 1; DIV1 = dividendo atteso per azione nell’anno 1;

r = tasso di rendimento richiesto dal mercato.



Questa relazione vale anche se consideriamo i prezzi attesi per l’azione all’istante

1 e all’istante 2:

P1

DIV2 P2

1 r

Il prezzo dell’azione all’istante 0, di conseguenza, può essere espresso in funzione dei dividendi attesi fino all’istante 2 e del prezzo atteso per l’azione

all’istante 2:

� P0

DIV1

1 r

DIV2 P2

1 r2

Generalizzando si ottiene un primo modello di valutazione dei titoli azionari:

PoDIVt

1 rt

1

TPT

1 rT



Secondo questo modello le determinanti del valore di un’azione sono perciò tre: • la successione dei dividendi attesi futuri DIVt nel periodo da 1 a T; • il prezzo dell’azione PT all’istante T;

• il rendimento di mercato r richiesto dagli investitori.

Dividend Discount Model (DDM)

P0DIVt

1 rt

t 1

P0 = prezzo dell’azione all’istante 0; DIVt = dividendo atteso per azione nell’anno t; r = tasso di rendimento richiesto dal mercato. Secondo questo modello le determinanti del valore di un’azione sono perciò due: • la successione dei dividendi attesi futuri DIVt nel periodo da 1 a ∞ ;

• il rendimento di mercato r richiesto dagli investitori.


Valutazione Titoli azionari: critiche al DDM

In realtà è inverosimile pensare di disporre di stime del flusso di dividendi su un orizzonte temporale infinito come richiesto dal DDM di base; tipicamente sono disponibili previsioni attendibili della crescita dei dividendi nel breve periodo (3-5 anni) elaborate da società operanti nel campo dei servizi finanziari (tra le più note Value Line Investment Survey e Institutional Brokers Estimate System- IBES) che periodicamente forniscono stime anche per altre variabili rilevanti per l’investitore. Il problema a cui si trova di fronte un analista finanziario è perciò la stima dell’andamento dei dividendi distribuiti nel lungo periodo. Tipicamente questo problema viene affrontato ipotizzndo delle regolarità nell’andamento dei dividendi, ovvero dei cosiddetti sentieri di crescita dei dividendi sapendo che per un generico anno t la crescita dei dividendi può

essere espressa nel seguente modo:

gtDIVt DIVt 1

DIVt 1


Valutazione Titoli azionari: sentieri di crescita


Valutazione Titoli azionari: Modello di Gordon-Shapiro (1962)

Il sentiero di crescita dei dividendi proposto da Gordon-Shapiro è il primo tentativo di rendere operativo il modello DDM di base; esso abbina ad un’ipotesi di fatto poco realistica di costanza del tasso di crescita dei dividendi una forma matematica semplice, che ne fa uno dei punti fermi della letteratura finanziaria e uno strumento indispensabile anche per formulare dei modelli più articolati. Le ipotesi alla base di questo modello sono le seguenti: • la crescita dei dividendi gt è costante per l’intero orizzonte temporale: gt = g • il tasso di crescita dei dividendi g è strettamente minore del tasso di attualizzazione del mercato: r > g.



P0D1

1 r

D2

1 r2

D3

1 r3.......

D1

1 r

D1 1 g

1 r2

D1 1 g2

1 r3

...

D11

1 r

1 g

1 r2

1 g2

1 r3... D1

1 gt

1 rt 1

t 0

Se è verificata l’ipotesi che r sia maggiore di g, la serie geometrica converge:

1 gt

1 rt 1

1

r gt 0

P0D1

r g

D0(1 g)

r g



Dalla relazione precedente, possiamo notare come le determinanti del valore del titolo siano le seguenti: 1. il dividendo attuale DIV0: il valore del titolo è funzione diretta dell’entità dei dividendi; 2. il tasso di rendimento richiesto dal mercato r: il valore è funzione inversa del tasso di attualizzazione;

3. il tasso di crescita dei dividendi: il prezzo del titolo è funzione diretta di g. Il principale problema relativo all’applicazione del modello di crescita di Gordon è legato alla stima del tasso di crescita. Il valore del titolo che si ricava è estremamente sensibile al tasso g scelto, in particolare al convergere del tasso di crescita al tasso di attualizzazione, il prezzo tende all’infinito. Ad esempio se consideriamo un titolo con un dividendo unitario atteso nel periodo seguente pari a 3 ed un tasso di attualizzazione del 15%, al variare di g il

valore del titolo assumerà il seguente andamento:


Valutazione Titoli azionari: Modello a due stadi

Il Modello di Gordon a crescita costante si adatta alle imprese “mature”, non a quelle che operano in settori “nuovi” e hanno un saggio di profitto superiore a quello di mercato. In questo caso gli analisti propongono un modello a più tassi di crescita. Quello più semplice prevede due diversi valori del tasso gi. Se si assume che per i primi n anni si abbia g1 e g2 per il periodo che va da n+1 all’infinito, il modello diventa il seguente:

P0D0 1 g1

i

1 ri

D0 1 g2

r g2 1 rn

i 1

n

Il modello è più complesso e la sua stima è più difficile perché richiede un maggior numero di “informazioni” rispetto al tradizionale DDM ad un solo tasso di crescita: (D0, g1 e r) a (D0, g1, g2, n e r).


Valutazione Titoli azionari: Modello a tre stadi

Nella realtà, molte aziende vivono un periodo di crescita elevato, una fase dii transizione ed una di crescita stabile infinita. In questo caso il modello che meglio si adatta a rappresentare il futuro dell’impresa è quello a tre stadi o a tre tassi di dividendo.

P0D0 1 g1

i

1 ri

i m

m n D0 1 g1i

1 ri

Dn 1 g2

r g2 1 rn

i 1

m

Crescita elevata per m anni

Fase di transizione per n anni

Crescita stabile infinita

La maggiore complessità del modello consente una migliore capacità di individuare i portafogli sovra e sottoquotati superiore a quella dei modelli più semplici.


Valutazione Titoli azionari: Calcolo dei rendimenti ex post

Il rendimento di un titolo azionario per un periodo è dato da:

�

rDIV1 P1 P0

P0

dove DIV1 = dividendo per azione ricevuto all’anno 1; P0 = prezzo dell’azione all’istante 0; P1 = prezzo dell’azione all’istante 1; Il rendimento di un titolo azionario è dato quindi da due componenti: a) Dividend Yield:

b) Capital gain:

DIV1

P0

P1 P0

P0


Valutazione Titoli azionari: Calcolo dei rendimenti ex post

Per ricavare il rendimento di un titolo azionario per T periodi occorre ricavare r

dalla seguente relazione noti i dividendi distribuiti fino all’anno T-esimo e i prezzii

P0 e PT dell’azione all’istante 0 e all’istante T:

PoDIVt

1 rt

1

TPT

1 rT

Si noti che, in questo caso, il rendimento di un titolo azionario è un parametro

simile al rendimento effettivo di una obbligazione (YTM) con la differenza che,

mentre per un titolo obbligazionario si può calcolare a priori il rendimento

effettivo, per un titolo azionario è possibile calcolare il rendimento solo ex-post

quando sono noti tutti i dividendi ricevuti e il prezzo dell’azione all’istante T.


Valutazione Titoli azionari: Calcolo del rendimento atteso

Il calcolo del rendimento di un titolo azionario nel caso in cui i dividendi crescano

in modo costante a un tasso pari a g si ottiene rielaborando la formula di Gordon-

Shapiro, è possibile ricavare che:

RDIV1

V0gDIV0 1 g

V0g

Questa equazione esprime il tasso di rendimento atteso (R) dal mercato come

funzione di due variabili facilmente reperibili nei report finanziari: il dividend

yield e il tasso di crescita atteso dei dividendi. In questo caso si considera il

prezzo corrente del titolo (Vo) non quello teorico.


Valutazione Titoli azionari: Calcolo del rendimento atteso

Se R>r, il titolo è da acquistare

Se R<r, il titolo è da vendere

r = rendimento richiesto (ottenuto dal confronto con il tasso free risk ed è necessario per stimare il prezzo del titolo);

R = rendimento atteso (ottenuto dal modello del dividendo, dato il prezzo di mercato del titolo V0. Il rendimento così ottenuto è impiegato per identificare i titoli mispriced).

Il metodo del rendimento atteso presuppone l’inefficienza del mercato e le difficoltà di stima sono le stesse affrontate per il DDM.


Valutazione Titoli azionari: Modelli sulla profittabilità impresa

I modelli appartenenti a questa categoria rappresentano il tentativo di rendere

operativo il DDM di base attraverso delle ipotesi di regolarità sull’andamento della

profittabilità dell’impresa. La loro caratteristica peculiare è che permettono di

calcolare il valore di un titolo azionario in funzione dei principali indici

economico-finanziari, superando la visione d’impresa come black box che era alla

base dei modelli basati sulla crescita dei dividendi.

Bt : book equity per share al tempo t;

EPSt : earnings per share atteso nel periodo t;

DIVt : dividendo per azione atteso nel periodo t;

ROEt: return on equity nell'anno t;

ht: coefficiente di ritenzione degli utili (plowback ratio);

1-ht: coefficiente di distribuzione degli utili (payout ratio);

gt: tasso di crescita dei dividendi nel periodo t.


Valutazione Titoli azionari: Modelli sulla profittabilità impresa


Valutazione Titoli azionari: Ipotesi alla base del modello

a) Il ROE è un parametro esogeno non modificabile dalla politica finanziaria dell’impresa

Nei modelli seguenti, cioè, si ipotizza che la quantità sia

costante e non influenzabile dall’impresa.

ROE ROID

BROI r

ROE =

return on equity, indice di redditività del capitale netto;

ROI =

return on investment, indice di redditività del capitale investito;

r = costo dell’indebitamento;

D =

book debt per azione;

B =

book equity per azione.

La leva finanziaria permette di manovrare, entro certi limiti, il valore del ROE

attraverso variazioni del rapporto di indebitamento:

D

BROI r



b) Assenza di aumenti di capitale;

c) Assenza di fusioni con altre imprese e di qualsiasi altro tipo di operazioni di finanza straordinaria;

d) Discretizzazione del funzionamento del’impresa

Si ipotizza la validità della seguente relazione tra l’utile a fine esercizio per

azione e il valore di libro per azione a inizio periodo:

EPSt ROEt Bt 1La quota parte degli utili distribuita agli azionisti è pari a

DIVt EPSt 1 ht ROEt Bt 1 1 ht

ht

EPSt DIVt

EPStcoefficiente di ritenzione degli utili



Le ipotesi a), b) e c) asseriscono di fatto che l’unica fonte di finanziamento per l’impresa, ovvero l’unico modo per incrementare il valore di libro, è costituita

dagli utili trattenuti:

Bt Bt Bt 1 EPSt DIVt ht EPSt


Valutazione Titoli azionari: Modello con ROE ed h costante

Le ipotesi di questo modello sono che

• il coefficiente di ritenzione degli utili è costante nel tempo: ht=h=costante;

• la profittabilità dell’impresa ROEt è costante per l’intero orizzonte temporale:

ROEt=ROE=costante;

• vale la condizione r>h⋅ROE.

P01 h EPS1

r h ROE

1 h Bo ROE

r h ROE



Le ipotesi di costanza della politica dei dividendi e del ROE consentono di scrivere:

gD tDt Dt 1

Dt 1

1 h EPSt 1 h EPSt 1

1 h EPSt 1

EPSt EPSt 1

EPSt 1gE t

ROEt Bt 1 ROEt 1 Bt 2

ROEt 1 Bt 2

ROE Bt 1 ROE Bt 2

ROE Bt 2

Bt 1 Bt 2

Bt 2gB t

Bt 2 1 h ROE Bt 2

Bt 2h ROE

dove:

gD(t) = tasso di crescita dei dividendi;

gE(t) = tasso di crescita degli utili;

gB(t) = tasso di crescita del valore di libro.



In un contesto, in cui il ROE e la politica dei dividendi sono costanti, si ha dunque che il valore di libro, gli utili e i dividendi crescono allo stesso tasso e sono determinati dalla politica di ritenzione degli utili e dal ROE. Come visto in precedenza (modello di Gordon-Shapiro) il prezzo di un’azione di un’impresa i cui dividendi crescano ad un tasso costante g può essere espresso nel seguente

modo:

P0

D1

r g

D0(1 g)

r g

Sostituendo in questa relazione le tre seguenti espressioni:

g h ROE

DIVt 1 h EPSt

EPSt Bt 1 ROE

P01 h EPS1

r h ROE

1 h Bo ROE

r h ROE

con h ROE r



E' interessante anche verificare l'andamento del prezzo rispetto a variazioni del ROE e della politica di ritenzione degli utili, ricavando le derivate parziali di P0

rispetto a ROE e ad h:

P

ROEB0 1 h

r h ROE h ROE

r h ROE2

Bo 1 hr

r h ROE2 ,

P

ROE>0

Derivata di P0 ripetto a ROE

Derivata di P0 rispetto a h

P

h

B ROE

r

h ROE r ROE 1 h

r h ROE2

B ROE

r

ROE r

r h ROE2 , si ha che

P

h>0, h

k

ROE con ROE k 0

P

h=0, h

k

ROE con ROE k 0


Valutazione Titoli azionari: Modello dei flussi di cassa

I dividendi distribuiti sono solo una parte di quanto un’impresa può riconoscere all’azionista. Quanto in realtà potrebbe essere restituito ai soci per cassa anno per anno?

FREE CASH FLOW

Utile netto –

(spese in conto capitale – ammortamenti – accantonamenti) –

(∆capitale circolante netto) +

(emissione debito – rimborso quota capitale di debito) =

FCF


Valutazione Titoli azionari: Modello dei flussi di cassa

gr

FCFP0

In genere le aziende non distribuiscono l’intero ammontare del FCF e quindi il

modello basato sulla stima dei dividendi determina una sottovalutazione del

valore dell’azione.

La differenza fra i modelli DDM e quelli basati sul FCF esprime il valore del

potere di controllo della politica dei dividendi. Chi acquista la maggioranza ha

il potere di cambiare la quota delle risorse da distribuire catturando un più alto

valore del flusso di cassa disponibile. Se l’impresa può essere scalata il prezzo

di mercato del titolo riflette l’aspettativa ed il modello da utilizzare è quello dei

flussi di cassa; nel caso, invece, di un’azienda con un gruppo di controllo saldo,

il modello più corretto è quello del dividendo.


Valutazione Titoli azionari: Il rapporto prezzo/utile per azione

gr

gEPS

gr

gDIVP

1100

00

Il rapporto P/EPS è tra gli indici più popolari ed è riportato dalla stampa economica ed utilizzato da molti analisti. Le variabili alla base della sua determinazione sono:

grEPS

P 0

1

0

Il multiplo P/EPS è una funzione:

• crescente del saggio di distribuzione dell’utile e del tasso di crescita;

• decrescente della rischiosità dell’azienda.



L’azienda A mostra un tasso di rendimento del titolo è pari al 9,15%; il tasso di payout è pari al 70% ed il tasso di crescita degli utili e dei dividendi nel lungo termine è del 5%.

87,1605,00915,0

70,0

1

0

EPS

P

Se il tasso di crescita è maggiore del 5%, per esempio, l’8%, il valore del rapporto cresce.

87,6008,00915,0

70,0

1

0

EPS

P



Un elevato valore del multiplo è premonitore di un tasso di crescita degli utili e dei dividendi particolarmente sostenuto; i titoli con un elevato valore del multiplo sono denominati “growth stock”.

I gestori utilizzano spesso il rapporto; per esempio, si confronta il multiplo corrente dl titolo iesimo con quello del settore di appartenenza. A parità di tassi di crescita r e g, un titolo con un multiplo elevato rispetto al settore indica un’azione sopravvalutata e viceversa.

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