LM Fisica A.A.2013/14Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1 Dinamica dei portatori...

LM Fisica A.A.2013/14 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1

Dinamica dei portatori

Dinamica sotto un campo esternoGradienti di concentrazione Ricombinazione di coppieEccitazione di coppie

In un semiconduttore perfetto gli elettroni si muovono attraverso il potenziale periodico senza scattering.

Ma imperfezioni e impurezze possone essere causa di scattering.

*

1

m

kkE=v

F=dt

dk

k

ext

Impurezze → droganti o inintenzionali

Fononi → vibrazioni reticolari

Leghe → Fluttuazioni nel potenziale

Rugosità di

superficie → Interfacce

In approssimazionequadratica per E


Scattering rate

Impurezze → droganti o inintenzionali

Fononi → vibrazioni reticolari

Leghe → Fluttuazioni nel potenziale

Rugosità di

superficie → Interfacce

I diversi processi di scattering sono incorrelati tra loro.Il rate totale è la somma dei rate dei singoli processi

iTot R=R

i

iscsc τ

=τ

11 Quando un cristallo è soggetto ad un campo elettrico le cariche si muovono nella direzione del campo (gli elettroni nella direzione opposta). Se ci sono stati a k superiore la distribuzione si sposta nel verso del campo. Ma, a causa dello scattering, si ha una velocità di drift v

d

costante nella direzione del campo

Il trattamento completo del problema richiede di risolvere una eq. differenziale per la funzione di distribuzione per gli elettroni. Eq. del trasporto di Boltzmann


Relazione velocità - campoRisposta a campo debole

Elettroni indipendentiScattering da varie sorgenti con tempo medio tra due collisioni

scTra due collisioni l'elettrone si muove in accordo all'eq dell'elettrone libero

Dopo ogni collisione l'elettrone perde tutta l'energia in eccesso → il gas di elettroni è in equilibrio termico.La velocità è quindi nulla.Nel tempo

sc l'elettrone guadagna velocità

fino a

*m

eFτ=v sc

d

F

m

τne=nev=J sc

d *

2

*m

eτ=μ sc

*

2

m

τne=σ scPer elettroni e buche

Elettr Buche

C 800 1200

Ge 3900 1900

Si 1500 450

GaAs 8500 400

InAs 33000 460

Mobilità (cm2/Vs)

Forte dipendenza da massa efficace (anche attraverso )Nei semicond drogati diminuisce → anche


Relazione velocità - campoRisposta a campo forte (F ~ 1 ÷100 kV/cm)

E' il caso di molti dispositivi (FET)Rate di scattering molto aumentato.

sc e diminuiscono

La risposta dei portatori è rappresentata da una relazione velocità - campo

A forti campi la velocità satura ad un valore di ~107cm/s


Fenomeni di “rottura” (breakdown)Per campi elettrici estremamente alti (≥ 100 kV/cm)

Avvengono fenomeni di “rottura” in cui la corrente produce una “scarica”

Questo avviene per moltiplicazione dei portatori; il numero di portatori aumenta progressivamente.

Un elettrone “caldo” ovvero con energia molto alta in banda di conduzione interagisce con un elettrone in banda di valenza cedendogli energia e portandolo in banda di conduzione.

Il bilancio è che da un unico portatore in banda di conduzione si termina con due elettroni in banda di conduzione ed una buca in valenza (Valanga)

Iα=

dz

zdIimp

Rate di impatto di portatori

Dipende fortemente dalla gap

Si definisce campo critico di rottura il valore per cui il rate è 1 m-1

Bandgap (eV) Campo critico

GaAs 1.43 4x105

Ge 0.664 105

Si 1.1 3x105

C 5.5 107

SiO2

9 107


Tunnel banda-banda. Zener

1/2m2m

2

*

2

*

dxE=EeFx=x gg

Fe

E

e=

dx

e=T

g

d

x

3

2m4 2/3*

2

0

Per campi elettrici sufficientemente alti un elettrone in banda di valenza può passare per tunneling in banda di conduzione

L'elettrone vede una barriera di potenziale triangolare alta E

g e larga d=E

g/eF

La probabilità di tunneling è data da

dxdxx exAedxx )()(


Trasporto per diffusione di portatori

Gradiente di concentrazione di particelle → diffusione da zona a maggiore concentrazione a quella di minore. Moto casuale delle particelle

In tale moto sono soggette a processi di collisione

Cammino libero medio l, tempo medio di collisione sc

Sia n(x,t) il profilo di concentrazione di elettroni

(x,t) il flusso di elettroni attraverso un piano x=x0

dx

tx,dnD=

dx

tx,dn

τ

l=

Aτ

lAl+xnlxn=tx,n n

scsc

22

200

dx

tx,dpD=

=tx,p

p


Trasporto per diffusione di portatori

Dn coeff di diffusione → dipende da l ,

sc ma anche,

indirettamente, da T.

In media vettorialmente nulla ma in modulo non nulla.

Con la diffusione avviene anche trasporto di corrente

NB: il diverso segno dei due termini

tx,pdx

deDtx,n

dx

deD=

=diffJ+diffJ=diffJ

pn

pntot

TτTv=l scth


Trasporto di portatori

Le cariche si muovono per l'effetto combinato di diffusione e campo esterno.

All'equilibrio le due correnti totali devono essere individualmente nulle.

tx,pdx

deDxFxpeμ=xJ

tx,ndx

deD+xFxneμ=xJ

ppp

nnn

dx

xdn

xnμ

D=xF

n

n 1 Possiamo esprimere n(x) in funzione di E

F(x)

n (x )=ni e−( E Fi−E F ( x)

k B T )

dn( x)dx

=n( x)k B T (− dE Fi

dx+

dE F

dx )= 0

dx

dE

e=xU

e=xF Fi11

e

Tk=

μ

D B

n

n

Relazione di Einstein

Dn

(cm2/s)D

p

(cm2/s)

n

(cm2/Vs)

p

(cm2/Vs)

Ge 100 50 3900 1900

Si 35 12.5 1350 480

GaAs 220 10 8500 400


Iniezione di carica - Livelli quasi-Fermi

In condizioni di equilibrio abbiamo una funzione di distribuzione di elettroni (Fermi) tra i vari livelli permessi. Non c'è flusso netto di energia esterna né di particelle.

Ma, ad esempio, fotoni possono rilasciare energia o una batteria cariche.

Dobbiamo trovare il modo di rappresentare questi fenomeni.

Anche se non in equilibrio complessivo, possiamo assumere che separatamente in banda di conduzione e di valenza ci sia una certa forma di equilibrio.

Quasi-equilibrio Definiamo una funzione di Fermi per elettroni (conduzione) ed una per buche (valenza) con differenti E

F .

Tk

EE

eN=n B

cFn

C

Tk

EE

eN=p B

vFp

v


Generazione e ricombinazione di portatore

Il rate di ricombinazione sarà proporzionale al numero di elettroni e di buche disponibili

All’equilibrio

Gth=Rth=n0p0

Altri meccanismi di generazione (ottica) e di ricombinazione (sia ottica che con difetti) sono possibili e importanti.

In condizioni di equilibrio termico, alcuni elettroni vengono eccitati (generazione termica) Gth in banda di conduzione mentre altrettanti si rilassano (ricombinazione) Rth in banda di valenza.


Generazione e ricombinazione ottica di portatoriAssorbimento ed emissione di luce

Transizioni banda-banda.

– Conservazione dell'energia ~ 0.5 ÷ 5 eV

– Conservazione del momento ~ 2.5x10-4 ÷ 2.5x10-3 Å-1 (~ 10 Å-1 ) → transizioni verticali

• TRANSIZIONE DIRETTA fotone ↔ elettrone eccitato

• TRANSIZIONE INDIRETTA fotone ↔ elettrone eccitato + fonone

c

txc

nitx

c

ni

eeEeE=txErr

0

~

0,

inn rr ~

αzeI=zI 0

c=

2

in=n rr ~


Generazione e ricombinazione di portatori

In funzione della densità di potenza ottica che cade sul semiconduttore,

il flusso di fotoni è

Il rate di generazione ottica GL è allora

Il rate netto per i portatori minoritari p (in un semicond drogato n) è allora

ω

P=Φ op

~

αzeI=zI 0

ω

Pα=Φα=G op

L

~

ppnnpnR nnnn 00

Se non c'è assorbimento l'onda si propaga senza attenuazione con velocità c/nr

Se c'è assorbimento l'intensità, energia per unità di area nell’unità di tempo ovvero flusso di fotoni , decade come

thL GGG pn

0

00 1 nLnnL

n

n

pGpppnGRG

dt

dp

rpτ

δp=RGap diretta

r ~ 1 ns, Gap indiretta

r ~ 1÷0,1 s

ppn nn ,00


Ricombinazione nonradiativaImpurezze e difetti creano livelli nella gap tra le bande Trappole profonde

Portatori possono essere intrappolati se passano entro un'area dal difetto Sezione d'urto di cattura

Così può avvenire ricombinazione nonradiativa in competizione con quella radiativa.

La probabilità di incontrare una trappola è

Nell'assunzione:

Livelli di trappola a mezza gap

Condizione di iniezione di portatori np>>ni2

La sezione d'urto tipica è dell'ordine ~ 10-13

÷ 10-15 cm2

thtnr

σvN=τ

=r1

p+nτ

np=R

nrR

Shockley-Read-Hall

3 ÷ 30 Å


Equazione di continuitàNel trattare il processo di trasporto di carica occorre tenere conto dei processi di

ricombinazione e generazione

Il bilancio dei processi deve portare alla conservazione delle particelle.

In un volume fissato, il rate di flusso di particelle è determinato da flusso dovuto alla corrente, la perdita di particelle per ricombinazione ed il guadagno da generazione.

Il rate di ricombinazione nel volume A dx

Il rate di flusso di corrente Jn

Il rate di generazione

Adxτ

δn=R

n

dxA

x

xJ

eA

e

dx+xJ

e

xJ nnn

1

GAdx

G+

τ

δp

x

xJ

e=δp

t

G+τ

δn

x

xJ

e=δn

t

p

p

n

n

1

1

Eq. continuità


Trasporto per diffusione

Consideriamo solo processi di diffusione in assenza di generazione.

(e.g. diodo p-n)

pp

nn

τ

δpδp

xD=δp

t

τ

δnδn

xD=δn

t

2

2

2

2

δpx

eD=diffJ

δnx

eD=diffJ

pp

nn

22

2

22

2

ppp

nnn

L

δp=

τD

δp=δp

x

L

δn=

τD

δn=δn

x

G+

τ

δp

x

xJ

e=δp

t

G+τ

δn

x

xJ

e=δn

t

p

p

n

n

1

1

Il profilo di carica in un diodo p-n in stato stazionario

Ln

2=Dn

n

Lunghezza di diffusione


Trasporto per diffusione con iniezione esternaIn x=0 iniettiamo una densità di

elettroni in eccesso n(0)

A x=L la densità sia n(L)

nLLnLL

nLxnLxnLxLnLxL

nLxnLx

ee

eeLδn+eeδn=

eA+eA=xδn

//

////

//

0

21

22

2

22

2

ppp

nnn

L

δp=

τD

δp=δp

x

L

δn=

τD

δn=δn

x

nLLnLL

eA+eA=Lδn

A+A=δn/

2

/

1

210

nLLnLL

nLL

nLLnLL

nLL

ee

eδn+Lδn=A

ee

eδnLδn=A

//

/

2

//

/

1

0

0

L >>Ln ;

n(L)=0

nLxeδn=xδn

/0

L<< Ln Sviluppiamo al primo ordine

x

L

Lδnδnδn=xδn

LLLL+

Lx

+Lx

+Lδn+L

xL+

LxL

+δn

=xδnnn

nnnn

00

/1/1

11110

Ln distanza media percorsa

da un elettrone prima di ricombinarsi

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