Dinamica Ultimo

8/16/2019 Dinamica Ultimo

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´́Año de la Diversificación Productiva y del

Fortalecimiento de la Educacióń́

DOCENTE:

LUIS FERNANDO GOMEZ CHAVEZ

CURSO:

DINAMICA

ALUMNO:

CRISTHIAN GARCIA PEZO

JHONATAN MORI DEL AGUILA

TEMA:CINETICA DE PARTICULAS

CICLO:

III

CACATACHI – PERÚ

2015-II


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1. CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN

La cinética es una rama de la dinámica que se ocupa de la relación entre el cambio de

movimiento de un cuerpo y las fuerzas que lo provocan. Su base es la segunda ley de

Newton, establece que una fuerza desbalanceada acta en una part!cula, esta se

acelera en la dirección de la fuerza con una magnitud que es proporcional a esta. "e

una forma más básica se pudiera decir que esta ley establece la relación entre la

fuerza que acta sobre la masa de un cuerpo y la aceleración que dic#a fuerza

produce.

Se puede verificarse al aplicar una fuerza F desbalanceada a una part!cula y luego

medir la aceleración a. $omo la fuerza y la aceleración son directamente

proporcionales, la constante, m, se determina a partir de la relación m%&'a. m se

conoce como masa de la part!cula, la segunda ley del movimiento de Newton se

escribe en forma matemática como(

F=ma ecuación de m!"imien#!

)sta ecuación es una de las fórmulas más importantes en la mecánica

1.1Ecuación de movimiento

$uando más de una fuerza acta en una part!cula, la ecuación se escribe

$F=ma

)n esta imagen una masa está sometida

a la acción de dos fuerzas F1 y F2.

*odemos tener en cuenta la

magnitud y dirección de las fuerzas

que actan en la part!cula. $omo la

resultante de estas fuerzas produce

un vector( F R = $F =ma

1.2Ecuación de movimiento de un sistema de partículas

+#ora se incluirá a un sistema de part!culas aislando dentro de una región cerrada del

espacio como se muestra en la figura.

$onsideramos la part!cula i , de masa mi , sesomete a un sistema de fuerzas internas y a

una fuerza eterna resultante.

$F=ma % F i &' i =mi ai

La fuerza interna se representa como ' i es laresultante de todas las fuerzas que las demás

part!culas e-ercen en la part!cula. La fuerzaeterna resultante se representa F i .


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$uando se aplica la ecuación de movimiento a cada una de las demás part!culas del

sistema, se obtienen ecuaciones similares. , si todas estas ecuaciones se suman

vectorialmente, obtenemos.

$F i &$' i =$mi ai

La suma de las fuerzas internas es igual a cero. Solo prevalecerá la suma de lasfuerzas eternas, y por consiguiente la ecuación de movimiento es

$F i=$mi ai

Localizando el centro de más / de las part!culas con ( ) siendo un vector deposición se tendrá por definición de centro de masa m( ) =$mi ai donde m=$mi es lamasa total de todas las part!culas. Se obtiene

ma) =$mi ai

y sustituyendo este con la anterior obtenemos(

$F=ma*

*or tanto, la suma de las fuerzas eternas que actan en el sistema de part!culas es

igual a la masa total de las part!culas por la aceleración de su centro de masa /.

1.3Ecuaciones de movimiento: coordenadas rectangulares. O ecuación

del movimiento de un punto.

$uando una part!cula se mueve con respecto a un marco de referencia inercial ,y,z

las fuerzas que actan en la part!cula, lo mismo que su aceleración, pueden

epresarse en función de sus componentes i, -, 0. aplicando la ecuación de movimientotenemos

$F=ma % $F + i & $F + , & $F + - =m a + i&a/ ,&a/ -0

"e esta manera podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes(

$F + =ma +

$F / =ma/

$F =ma

1.4Ecuaciones de movimiento: coordenadas normales y tangenciales

)ste caso se da cuando una part!cula se desplaza

a lo largo de una trayectoria curva conocida, esta

ecuación del movimiento puede escribirse en las

direcciones tangenciales 1t2, normal 1n2 y binormal

1b2 como observamos en la figura.

3enemos

$F = ma

$F # u # & $F nu n & $F 2u n = ma# & man

)sta situación se satisface siempre que


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$F # =ma#

$F n=man

$F 2=3

)iste una fuerza normal e-ercida sobre la part!cula por la restricción para cambiarla

dirección de la velocidad 1an2 de la part!cula. $uando esta fuerza siempre está dirigida

#acia el centro de la trayectoria, se le llama a menudo fuerza centr!peta.

1.5Ecuaciones de movimiento: coordenadas cilíndricas

$uando todas las fuerzas que actan en una part!cula se descomponen en

componentes cil!ndricos a lo largo de las direcciones de los vectores unitarios u ( ,u 4 ,u .La ecuación de movimiento puede epresarse como

$F=ma

$F ( u ( & $F 4 u 4 & $F u = ma( u ( & ma4 u 4 & ma u

*ara que esta ecuación se satisfaga, requerimos

$F ( =ma(

$F 4 =ma4

$F =ma

Fuerzas tangenciales y normales. )l tipo de problema más directo que implicacoordenadas cil!ndricas requiere determinar las componentes de fuerzas resultantes

$F (5 $F 4 5 $F que #acen que una part!cula se mueva con una aceleración conocida.Sin embargo, el movimiento acelerado de la part!cula no está completamenteespecificado en el instante dado, entonces se deberá tener o calcular algunos datos en

relación con las direcciones o magnitudes de las fuerzas que actan en la part!cula

para resolver las ecuaciones. *or e-emplo, la fuerza #ace que la part!cula 1figura a2

se mueva a lo largo de una trayectoria (='40. La fuerza normal N que la trayectoriae-erce en la part!cula siempre es perpendicular a la tangente de la trayectoria, en tanto

que la fuerza de fricción F siempre acte a lo largo de la tangente en la direcciónopuesta del movimiento. Las direcciones N y F pueden especificarse con respecto a lacoordenada radial con el angulo 678i0 1figura b2,el cual se define entre la l!neaetendida y la tangente a la curva.

)ste ángulo se obtiene al observar que cuando la part!cula recorre unadistancia d8 a lo largo de la trayectoria, la componente del desplazamiento en la


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dirección radial es d( y en la dirección transversal es (d4. $omo estas doscomponentes son mutuamente perpendiculares, el ángulo 6 se determina a partir de

tan 4%r

dr /d θ

Si 4 se calcula como una cantidad positiva, entonces se

mide de la l!nea radial etendida a la tangente en sentido

opuesto a las manecillas del relo- o en la dirección positiva de 4.Si es negativo, se mide en la dirección opuesta a las 4 positiva.

9. CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: TRAA;< Y ENER)IA


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2.1.Ecuación de movimiento

5na fuerza F efecta sobre una part!cula solo cuando estaeperimenta un desplazamiento en la dirección de la

fuerza. *or e-emplo considere la fuerza F que acta sobrela part!cula en la figura. Si la part!cula se mueve a lo largode la trayectoria 8 desde la posición ( #asta una nuevaposición ( , el desplazamiento es entonces d(=(>( . lamagnitud de d( es representada por d8, que es unsegmento diferencial a lo largo de la trayectoria. Si el

ángulo entre las colas de d( y F es 4.

dU = F d8 c!8 4

3ambién puede escribirse como

dU = F . d(

)ste resultado puede interpretarse en una de dos maneras( o como el producto

de F y el componente de desplazamiento d8 c!8 4 en la dirección de la fuerza, o comoel producto de d8 por el componente de fuerza, ' c!8 4 , en la dirección deldesplazamiento.

!ra"a#o de una $uerza varia"le. Si la part!cula en la que acta una fuerza F sufreun desplazamiento finito a lo largo de su trayectoria de ( 1 a ( 9 o de 81 a 89 , el traba-o dela fuerza F se determina mediante integración. Siempre que F y 4 puedan epresarseen función de la posición, entonces

U 1>9 % ∫r1

r2

F . dr=∫s1

s2

F cosθds

)n ocasiones, esta relación se obtiene por medio de datos eperimentales para

trazar la gráfica de F c!8 4 vs. 8. )ntonces, el área ba-a la gráfica limitada por 81 y 89 representa el traba-o total. Se muestra en la figura


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!ra"a#o de una $uerza constante %ue se mueve a lo largo de una línea

recta. Si la magnitud de la fuerza F c es constante y acta a un ángulo constante 4 conrespecto a su trayectoria de l!nea recta, entonces el

componente de F c en la dirección del desplazamientosiempre es F c cuando la part!cula se desplaza de 81 y

89 se determina con la ecuación U 1>9 %

∫r1

r2

F . dr=∫s1

s2

F cosθ ds en cuyo caso

U 1>9 = F c c!8 4 ∫s1

s2

ds

6

U 1>9 = F c c!8 4 89 > 812

+qu! F c representa el área del rectángulo en la figura anterior

!ra"a#o de un peso. $onsidere una part!cula de ?5 el cual se desplaza a lolargo de la trayectoria mostrada en la figura de la posición 81 a 89 . )n un puntointermedio, el desplazamiento d( = d+i & d/, & d-. $omo ?, , al aplicarla ecuaciónU 1>9 = F c c!8 4 89 > 812 tenemos

U 1>9 = ∫ F . dr = ∫r2

(−Wj) .d+i & d/, &d-0

=∫ y 2

Wdy =>?/ 9 @ / 1 0

6

U 1>9 = >?/

*or tanto, el traba-o es independiente de la trayectoria y es igual a la magnitud del

peso de la part!cula por el desplazamiento vertical. )n el caso mostrado de la figura eltraba-o es negativo, pues que ? acta #acia aba-o y y es #acia arriba. 6bserve, sinembargo, que si la part!cula se desplaza #acia aba-o >/0, el traba-o del peso espositivo.

!ra"a#o de una $uerza de resorte. Si un resorte elástico se alarga una distanciad8, entonces el traba-o realizado por la fuerza que acta en la part!cula ad-unta esdU = >F 8 d8 = >-8d8. )l traba-o es negativo puesto que F 8 acta en el sentido opuestoa d8. Si la part!cula sedesplaza de 81 a 89 el traba-o de F 8 es por tanto


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U 1>9 = ∫s1

s2

F 8 d8 = ∫

s1

s2

−ksds

U 1>9 = >

1

2ks

¿

9

9 >

1

2

ks 9 1 0

)ste traba-o representa el área trapezoidal, ba-o la l!nea F 8 =-8

*ara no cometer errores en el signo cuando se aplica esta

ecuación, basta fi-arse en la dirección de la fuerza de resorte

que acta en la part!cula y compararla con el sentido del

desplazamiento de esta7 si ambos actan en el mismo sentido,

el traba-o es positivo7 si lo #acen opuestos entre.

2.2. rincipio de tra"a#o y energía.Si la part!cula tiene una masa m y se somete a un sistema de fuerzas eternas,representado por la fuerza resultante F R =$F , entonces la ecuación de movimiento dela part!cula en la dirección tangencial es $F # =ma# . si aplicamos la ecuación cinéticaa# = "d"Bd8 e integramos ambos lados y suponemos que inicialmente la part!culatiene una posición 8=81y una rapidez " =" 1y después 8 =89 y "=" 9 , tenemos

$ ∫s1

s2

F # d8= ∫

v 1

v 2

mvdv

$ ∫s1

s2

F # =

1

2mv 9

9 @1

2mv 9

1

)n la figura se observa que $F # =$F c!8 4 y puesto que la ecuación

U 1>9 % ∫r1

r2

F . dr=∫s1

s2

F cosθds define el traba-o, el resultado final se escribe como

$U 1>9 =

1

2

mv 9 9 @

1

2

mv 9 1

)sta ecuación representa el principio de traba-o y energ!a para la part!cula. La fórmula

del lado izquierdo es T=1

2mv 9

1 se define la energ!a cinética final e inicial. $uando

se aplica la ecuación anterior, a menudo se epresa comoT 1 & $U 1>9 = T 9

2.3. rincipio de tra"a#o y energía para un sistema de partículas +qu! la part!cula i5 de masa mi 5 está sometida a una fuerza eterna resultante F i y a

una fuerza interna resultante ' i que todas las demás part!culas e-ercen en la part!culai. la ecuación nos da


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$T 1 & $U 1>9 =$T 9

!ra"a#o de $ricción originado por deslizamiento. )stos problemas implicancasos en los que un cuerpo se desliza sobre la superficie de otro cuando #ay fricción.

La ecuación es

1

2mv 9 &P 8 > - N 8 =

1

2mv 9

2.4. otencia y e$icienciaotencia. $onstituye una base til para seleccionar el tipo de motor o maquinarequerida para realizar una cierta cantidad de traba-o en un tiempo dado.La potencia generada por una maquina o motor que realiza una vierta cantidad de

traba-o dU dentro del intervalo d# es

P=dU

dt

Si el traba-o dU se epresa como dU = F.d(5 entonces

P= dU dt = F . dr

dt = F.drdt

6P=F."

E$iciencia. Se define como la relación de la salida de potencia til producida por lamaquina a la entrada de potencia suministrada a la máquina. *or tanto,

∈ = potencia de salida

potencia de entrada

2.5. Fuerza conservadora y energía potencialFuerza conservadora. )n cuando el traba-o de una fuerza es independiente de latrayectoria y depende solo de la posición inicial y final en la trayectoria. $omo e-emplo

son el peso de una part!cula y la fuerza desarrollada por un resorte.

Energía. Se define como la capacidad de realizar traba-o.

Energía potencial gravitacional. Si una part!cula se encuentra a una distancia ypor encima de un plano de referencia arbitrariamente seleccionado. Su ecuación es

* = ?/

Energía potencial gravitacional. $uando se alarga o comprime un resorteelástico. La ecuación es

e = &1

2 -89

Función potencial. Si una part!cula se somete tanto a fuerzas gravitacionales comoelásticas, la energ!a potencial de la part!cula se epresa

= * & e

2.&. 'onservación de la energíaSe escribe como

T 1 & 1 &$U 1>9 0n! c!n8#an#e =T 9 & T 9 (istema de partículas. Se somete solo a fuerzas conservadoras, esta se escribe

$T 1 &$ 1 = $T 9 &$ 9


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. PRINCIPI< DE IPULG


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,mpulso lineal.* La integral. dt en la ecuacion 9 se conoce como impulso

lineal. )l termino es una cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el

tiempo en que la fuerza actua. $omo el tiempo es un escalar positivo, el impulso

actua en la misma direccion que la fuerza, y su magnitud tiene unidades de fuerza:

tiempo, por e-emplo, N ; s o lb ;s .

Si la fuerza se epresa como una funcion del tiempo, el impulso se determina

mediante la evaluacion directa de la integral. )n particular, si la fuerza es constante en

cuanto a magnitud y direccion, el impulso resultante es

/ráficamente, el área sombreada ba-o la curva de fuerza versus tiempo representa la

magnitud de impulso, figura 8. 5na fuerza constante crea el área rectangular

sombreada que aparece en la figura 9.

+unque las unidades de impulso y cantidad de movimiento están definidas de forma

diferente, puede demostrarse la ecuación 9 es dimensionalmente #omogénea.

3.1. rincipio de impulsos y cantidad de movimientos lineales

*ara solucionar problemas, la ecuación 9 se reescribirá como

la cual epresa la cantidad de movimiento inicial de la particula en el instante t1 a t2 equivale a la cantidad de movimiento final de la part!cula en el instante t1 K mas la


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suma de todos los impulsos aplicados a la part!cula de t1 a t2 equivale a la cantidad

de movimiento final de la particula en el instante t2. )stos tres términos se ilustran

gráficamente en los diagramas de impulso y cantidad de movimiento son solo las

formas delineadas de la particula, las cuales indican la dirección y la magnitud de las

cantidades de movimiento inicial y final de la particula, m v1 y m v2. Seme-ante al

diagrama de cuerpo libre, el diagrama de impulso es una forma delineada de laparticula que muestra todos los impulsos que actan en ella cuando se encuentra en

algn punto intermedio a lo largo de su trayectoria.

Si cada uno de los vectores en la ecuación < se divide en sus componentes , y, z,

podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes de impulso y cantidad de

movimiento lineales.


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3.2. rincipio de impulsos y cantidad de movimientos lineales para unsistema de partículas

)l principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de

part!culas que se mueven con respecto a una referencia inercial, figura =, se obtiene

con la ecuación de movimiento aplicada a todas las part!culas del sistema, es decir,

)l termino del lado izquierdo representa solo la suma de las fuerzas eternas que

actan en las part!culas. >ecuerde que las fuerzas internas $ i que actan entre las

part!culas n:o aparecen con esta suma, puesto que de acuerdo con la tercera ley de

newton ocurren en pares colineales iguales pero opuestos y por consiguiente se

cancelan. +l multiplicar ambos lados de la ecuación ? por dt e integrar entre los limites

t = t1, vi % 1vi2 8 y t = t2, vi % 1 vi 29 se obtiene

)sta ecuación establece que los momentos lineales iniciales del sistema mas los

impulsos de todas las fuerzas eternas que actan en el sistema de t1 a t2 son iguales

a los momentos lineales finales del sistema.

$omo la ubicación del centro de masa / del sistema se determina a partir de

donde es la masa total de todas las part!culas, figura =y si

luego se considera la derivada con respecto al tiempo, tenemos la

cual establece que la cantidad de movimiento lineal total del sistema de part!culas

equivale a la cantidad de movimiento lineal de una particula aglomerada @ficticiaA de

masa que se mueve a la velocidad del centro de masa del sistema. +l

sustituir en la ecuación B se obtiene

+qu!, la cantidad de movimiento lineal inicial de la particula aglomerada, mas los

impulsos eternos que actan en el sistema de part!culas de t1 a t2, es igual a lacantidad de movimiento lineal final de la particula aglomerada. *or consiguiente, la

ecuación anterior -ustifica la aplicación del principio de impulso y cantidad de

movimiento lineales a un sistema de part!culas que componen un cuerpo rigido.


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3.3. 'onservación de la cantidad de movimiento lineal de un sistema departículas rincipio de impulsos y cantidad de movimientoslineales para un sistema de partículas

$uando la suma de los impulsos eternos que actan en un sistema de part!culas es

cero, la ecuación B se reduce a una forma simplificada, a saber,

)sta ecuación se conoce como la conservación de la cantidad de movimiento lineal.

)stablece que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de part!culas

permanece constante durante el lapso de tiempo t1 a t2. Si sustituimos

en la ecuación C, también podemos escribir

la cual indica que la velocidad v/ del centro de masa del sistema de part!culas no

cambia si no se aplican impulsos eternos al sistema.

La conservación de la cantidad de movimiento lineal se suele aplicar cuando las

part!culas c#ocan o interactan. *ara su aplicación, deberá estudiarse con cuidado el

diagrama de cuerpo libre de todo el sistema de part!culas para identificar las fuerzas

que crean o impulsos internos o eternos para determinar asi en que dirección1es2 se

conserva la cantidad de movimiento lineal. $omo se establecio antes, los impulsos

internos del sistema siempre se eliminan, puesto que se presentan en pares colineales

iguales pero opuestos.

$omo ilustración, considere el efecto de golpear una pelota de tenis con una raqueta,

como se muestra en la fotograf!a. "urante el muy corto tiempo de interaccion, la fuerza

de la raqueta en la pelota es impulsora puesto que cambia drásticamente su cantidad

de movimiento. *or comparación, el peso de la pelota tendrá un efecto insignificante

en el cambio de la cantidad de movimiento, y por consiguiente es no impulsora. *or

consiguiente, puede ser omitida en el análisis de impulso cantidad de movimientodurante el tiempo de vuelo muc#o más largo después de la interaccion raqueta pelota,

entonces el impulso del peso de la pelota es importante, puesto que, -unto con la

resistencia del aire, #ace que cambie la cantidad de movimiento de la pelota.


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3.4. ,mpacto

)l impacto ocurre cuando dos cuerpos c#ocan entre si durante un periodo muy corto,

lo que #ace que se e-erzan fuerzas 1impulsoras2 relativamente grandes entre los

cuerpos. )l golpe de un martillo sobre un clavo, o un palo de golf sobre una bola, son

e-emplos comunes de cargas de impacto.

*or lo general #ay dos tipos de impacto(

,mpacto central:

*ara ilustrar el método de analizar la mecánica del impacto, considera el caso que

implica el impacto central de las part!culas + y D que se muestran en la figura.

• Las part!culas tienen los momentos iniciales que se muestran en la figura.

Siempre que , eventualmente ocurrirá la colision.

• "urante la colision las part!culas deben considerarse como deformables o no

rigidas. Las part!culas eperimentaran un periodo de deformación de moto que

e-ercen un impulso de deformación igual y opuesto entre si.

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