clase1y2 dinamica

8/8/2019 clase1y2 dinamica

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Metodologa

Lenguaje de Prosa: Permite comunicar facilmente los supuestos causales de los

modelos mentales

Diagrama Causal: Expresa relaciones de influencia, ciclos de realimentacion y el

sentido de cambio que un elemento produce sobre otro

Diagrama de Niveles y Flujos: Metafora hidrodinamica que ilustra el modo en el

cual la estructura causal exhibe la distincion entre estado y flujo (estado y cambio),

por lo tanto ofrece una representacion mas rica de las hipotesis causales y ofrece el

esqueleto del modelo en ecuaciones

Ecuaciones: Permite una expresion formal del modelo que nos lleva a la simulacion

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Variables de flujo y variables de Nivel

Las variables de Nivel (Variables de Estado) representan magnitudes que acumulan

los resultados de acciones tomadas en el pasado.

Las variables de flujo determinan las variaciones en los estados del sistema. Car-

acterizan las acciones que se toman en el sistema y son acumuladas en los corre-

spondientes estados

Las variables auxiliares representan pasos o etapas en los que se descompone elcalculo de una variable de flujo a partir de los valores tomados por las variables de

estado [ARA, 1997].

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Diagramas causales: Problema 1

La industria automotriz de EE.UU. Esta concentrada en la produccion de automoviles

grandes. As, si los consumidores aumentan su preferencia por coches pequenos, dis-

minuyen las ventas de automoviles norteamericanos grandes y crecen las ventas de

autos importados. Por otro lado, si el costo de los materiales llega a aumentar,

tambien lo hace el valor de venta de los coches grandes fabricados en USA y en con-

secuencia, aumenta la preferencia de los consumidores por los automoviles pequenos.

Esto ultimo tambien ocurre por supuesto, si aumenta el costo de la gasolina.

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La biosfera es el espacio alrededor de la Tierra donde existe la vida, conteniendo el

aire, el agua y el suelo necesarios para los seres vivientes. La biosfera contiene miles

de sistemas de componentes que se influencian mutuamente. Realice un diagrama

de influencias del sistema que mantiene el equilibrio del agua fresca en la Tierra.

El agua de la Tierra esta moviendose constantemente, transformandose de vapor a

lquido, de ah a nieve, o a hielo, o constituyendo un glaciar por miles de anos, o

fluyendo a traves de las races de las plantas durante la fotosntesis, etc.

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Cuando el sol alumbra sobre una superficie de agua lquida, se produce evaporacion.

El vapor sube y forma nubes, que el viento trae sobre tierra. Eventualmente, las

nubes se transforman en lluvia. Cuando las nubes pasan, el sol comienza a formar

nuevas nubes. Estas acciones no solo regulan la cantidad de agua fresca que llega de

los oceanos a la tierra, sino que controlan la temperatura de la tierra. Cuando el sol

calienta la tierra, aumentan la evaporacion y la formacion de nubes. Con mas nubes

en el cielo, disminuye la cantidad de calor del sol que llega al suelo. Cuando baja la

temperatura, las nubes se condensan, generando lluvia, y despues desaparecen. El

sol brilla sobre el suelo de nuevo, y el ciclo comienza nuevamente.

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Utilice las siguientes componentes para el diagrama:

EV: Evaporacion del agua

AGUA: Cantidad de agua lquida en el suelo

SOL: Cantidad de luminosidad solar que llega al suelo,

NUBES

LLUVIA

T: Temperatura en el suelo.

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El Sahel es una zona de Africa al sur del desierto del Sahara. Por siglos era un lugar de

nomadas. Nunca fue un lugar facil de vivir, pero los nomadas se las haban arreglado.

Aprendieron a seguir los desplazamientos de sus animales de una zona de pastoreo

a otra. Debido a la cantidad limitada de alimentos y agua disponible al ganado,

los rebanos nunca fueron muy grandes. Las personas y los animales frecuentemente

moran por la dureza del clima, las enfermedades y las pestes. Ademas, cada 20 o

30 anos, la sequa mataba animales y gente, haciendo que la poblacion se redujera.

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Hace no muchos anos, organizaciones con apoyo de la ONU decidieron tratar de

mejorar la vida de estos nomadas. Hicieron dos actividades. En primer lugar, intro-

dujeron la medicina moderna: vacunaron a los nomadas contra las pestes mas letalesy controlaron la malaria y la enfermedad del sueno. Esta accion mejoro notablemente

la esperanza de vida de los nomadas. Las enfermedades animales tambien se contro-

laron. La segunda accion fue obtener mas agua. Hay agua subterranea abundante en

el Sahel que con la tecnologa de los nomadas, no poda extraerse. Con maquinaria

apropiada, se extrajo agua con pozos profundos.

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Esto posibilito el aumento en el numero de animales que podan tener los no-

madas. Sin embargo, estos animales adicionales pronto consumieron toda la hier-ba disponible. Una sequa de 6 anos disminuyo aun mas el pasto. Los animales

empezaron a morir de hambre. Debido a la sequa y perdida de animales, muchos

nomadas padecieron de hambre. La ONU estaba con un problema mas grave que el

que trato de resolver.

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Utilice las siguientes componentes para el diagrama:

Cantidad de pasto

Medicina modernaAlimentos disponibles

Profundidad de los pozos

Cantidad de ganado

Agua disponible

SequaNumero de nomadas

Enfermedades

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Realimentacion

Informalmente, la realimentacion es un proceso en el cual una causa inicial se rela-

ciona consigo misma a traves de una cadena de causas.

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Realimentacion Positiva

En la realimentacion positiva todas las influencias son positivas (o si las hubiese

negativas, tendran que compensarse por pares). Representa un proceso en el que un

estado determina una accion, que a su vez refuerza este estado, y as indefinidamente,

tambien es conocido como bola de nieve. La forma mas sencilla de explicar el

concepto de realimentacion es con un ejemplo:

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Realimentacion Positiva: Modelo Poblacional

el ejemplo por excelencia de un sistema de realimentacion positiva es un modelo de

crecimiento poblacional basado en la siguiente hipotesis:

La velocidad de crecimiento de la poblacion es proporcional al tamano

de la poblacion.

Es decir; la razon de cambio de la poblacion unicamente depende del tamano de

la misma. En particular, las limitaciones de espacio y recursos no tienen efecto al-

guno y por lo tanto nuestra hipotesis es razonable para poblaciones pequenas en

entornos grandes. Por ejemplo el brote de moho en una pieza de pan o los primeros

asentamientos en America latina.

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Realimentacin Positiva

Tasa de+ Estado Accin+

Crecimiento+

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Las variables implicadas en nuestro modelo son:

1. t: Tiempo (variable independiente)

2. P: Poblacion (variable dependiente)

3. k: Constante de proporcionalidad (parametro) de la tasa de crecimiento pobla-

cional y el tamano de la poblacion

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Nuestra hipotesis se expresa en la ecuacion:

dP

dt= kP (1)

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Diagrama de Forrester Modelo

Poblacional

Poblacintamao de la

poblacin

tasa de

crecimiento

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Realimentacion Positiva: Modelo de Ahorro

Supongamos que realizamos un deposito de $500000 en una cuenta de ahorros

con un interes compuesto de 5 %. Si A(t) denota la cantidad de dinero en la cuentaen el tiempo t, tenemos la ecuacion:

dA

dt= 0,05A

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Realimentacin Positiva

Ahorro Tasa de Ahorro+

+

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Diagrama de Forrester Modelo de

Ahorro

Ahorro

Tasa de Ahorro

Tasa fraccional de

Ahorro

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Suponga que en el Modelo de Ahorro se retiran m unidades monetarias por unidad

de tiempo obteniendose la ecuacion:

dA

dt= kA m

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Realimentacion Negativa

El bucle de realimentacion negativa, representa un tipo de situacion en el que setrata de decidir acciones para modificar el comportamiento con el fin de alcanzar un

determinado objetivo. Su estructura basica correspondiente es la de realimentacion,

ya que las decisiones se toman a partir de la informacion sobre los resultados de las

acciones previamente adoptadas. Como estas acciones son a su vez el resultado de

decisiones anteriores se tiene as una cadena circular sin fin.

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Realimentacin Negativa

Objetivo Deseado

Estado

+

Discrepancia

Accin

+ -+

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Realimentacion Negativa: Desintegracion radiactiva

La semivida de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda una cantidad inicial

de esta en reducirse a la mitad. Se asume que todos los atomos tienen la misma

probabilidad de desintegracion en la unidad de tiempo y que esa probabilidad nodepende del momento en que tenga lugar ni de la cantidad de masa presente en

cada instante, denotada por x(t). La ecuacion que rige dicho fenomeno es:

dxdt

= kx

con k > 0

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El signo negativo tiene que ver con el hecho que se produce a lo largo del proceso,un decrecimiento de la masa. k se conoce como constante de desintegracion,

depende de cada sustancia radiactiva y se determina mediante observaciones.

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Ejercicios Propuestos

1. Muestre que la semivida de una sustancia radiactiva no depende de la cantidad

inicial considerada pero si de la constante de desintegracion k

2. Una sustancia radiactiva mantiene al cabo de 50 horas el 95 % de su masa

inicial. Determine su constante de desintegracion y su semivida

3. Si la radiactividad de unos restos arqueologicos es el 25 % de la radiactividad

de una muestra viva. Determine la edad de los restos.

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Realimentacion Negativa: El termostato

Considere que existe un cambio brusco de temperatura en la habitacion causado por

una racha de aire fro. La cada de la temperatura puede desencadenar varios tipos de

acciones. Por ejemplo, algunas personas en la habitacion se podran poner un abrigoo desplazarse hacia otra parte mas caliente de la casa. Tambien puede ocurrir que

el termostato ponga en marcha la calefaccion. El funcionamiento de la calefaccion

puede a su vez provocar nuevos cambios. Por ejemplo; puede causar que el nivel del

deposito de combustible disminuya, lo cual a su vez provocara una futura compra

de mas combustible. El funcionamiento de la calefaccion podra causar un desgastey rotura de la caldera, lo cual puede provocar que esta se avere y deban hacerse

reparaciones.

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Cadenas causales

Cambio en la

Racha de aire frio

+

Uso de abrigo

+

Reparacin de a

calefaccin

Desplazamiento a

lugares ms calientes

Uso de la

calefaccin

+

Nivel de depsito de

combustible-

Compra de

combustible+

Desgaste y rotura de

la caldera

+

+

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Note que ninguna de estas ultimas cadenas causales modifica la temperatura de la

habitacion. El efecto mas importante de la actividad de la calefaccion, dado nuestro

especial interes en analizar el control de la temperatura de la habitacion, es el calorque sale de los radiadores de la habitacion, el cual provoca que la temperatura de

la habitacion se eleve. Este ejemplo del termostato proporciona idea de un sistema

de bucle cerrado como una cadena circular de causalidad que se realimenta (cada

variable es a la vez causa y efecto):

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La temperatura de la habitacion disminuye y esto activa el termostato, el cual pone

en marcha la caldera de la calefaccion, la cual calienta los radiadores que elevan la

temperatura de la habitacion. De esta manera un cambio en la temperatura de lahabitacion provoca otro cambio en la temperatura de la habitacion: Una cada en la

temperatura de la habitacion provoca un posterior aumento de la temperatura de la

habitacion. Si el termostato funciona correctamente, la temperatura en la habitacion

nunca debera alejarse mucho del ideal deseado.

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En un sistema con realimentacion un cambio en el estado real del sistema (por ejem-

plo, un cambio en la temperatura de la habitacion) lleva a una decision (tomada

por el termostato) que provoca una accion (poner en marcha la caldera de calefac-cion) que afecta al estado real del sistema (los radiadores elevan la temperatura de

la habitacion) y a su vez tienen influencia en futuras decisiones (la caldera de la

calefaccion se detiene una vez que se ha alcanzado la temperatura deseada en la

habitacion).

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Temperatura

Nivel de

Temperatura+Deseada

Discrepancia

Calefaccin

+ -+

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Realimentacion Negativa: Produccion-Inventarios

El director de una fabrica decide cuantos productos acabados desea tener en el al-macen. Al principio, la fabrica trabaja a toda su capacidad porque tiene muchos

productos que producir para lograr que en el almacen se encuentre la cantidad de-

seada. Cuando se va aproximando a la cantidad deseada, la diferencia disminuye y la

produccion se ralentiza, hasta que al final se logra disponer de la cantidad deseada

de productos acabados en el almacen.

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Produccion-Inventario.pdf

Diagrama Causal Produccin-

Inventario

Inventario

Deseado

Nivel de Inventario

+

Discrepancia

Produccin

+ -+

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Produccion-Inventario.pdf

Modelo Produccin-Inventario

Inventario deseado Inventario

Discrepancia

+

ro ucc n

+

-Tasa de

produccion

+

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dIdt

= k(Id I)

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Realimentacion Negativa: Compra de Automoviles

Un estudio de mercado en la ciudad de Bogota concluyo que la tasa de ventas de

automoviles depende de la cantidad de individuos que no poseen uno. Sea x0 lacantidad de individuos que conforman el mercado potencial de automoviles en la

ciudad, x el numero de personas que ya compraron un automovil. Establezca una

relacion que permita conocer el numero de personas que compran el producto en un

tiempo determinado t. Asuma que en el tiempo cero ningun individuo ha adquirido

un automovil.

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Automoviles.pdf

Compras Automviles

Compradores de

automoviles (x)

mercado potencial

Compras

+

Discrepancia

+ -

Tasa de compras

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dxdt

= k1(x0 x) (2)

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Suponga ahora que el automovil puede venderse con o sin un accesorio. Denote y

como la cantidad de individuos que compran el accesorio. Encuentre una expresion enfuncion del tiempo que permita establecer la cantidad de individuos que compran el

accesorio para el automovil (Note que la venta del accesorio depende de la cantidad

de automoviles que se venden).

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Accesorios Automoviles.pdf

Compras Accesorios Automviles

Compradores de

automoviles (x)

mercado potencial

Discrepancia

+ -

Compras

+

Tasa de compras

+

Compradores

Accesorioscompra accesorios

Tasa compras

accesorios

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dydt

= k2(x y) (3)

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d2y

dt2+ (k1 + k2)

dy

dt+ k1k2y = k1k2x0 (4)

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dy

dt

= v

dv

dt

= k1k2y (k1 + k2)v

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Realimentacion Positiva y

Realimentacion Negativa

Es habitual encontrar sistemas en los que coexisten bucles de realimentacion, tantopositivos como negativos. En tal caso el comportamiento resultante dependera delos bucles que sean dominantes en cada momento. Algunas situaciones en las que se

presentan bucles de realimentacion tanto negativa como positiva son:

1. La introduccion de un nuevo producto en el mercado (con una fase inicial deimplantacion y gran crecimiento, y una fase final de saturacion)

2. Introduccion de una nueva especie en un habitat

3. Aprendizaje

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Realimentacin Positiva y


BA+

+

C+

-

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Realimentacin Positiva y


EstadoAccin Reforzante

+ Accin+

+ -

Condicin limitante

+

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Retrasos

En algunos casos interesa distinguir entre las influencias que se producen mas o

menos instantaneas e influencias que tardan un cierto tiempo en manifestarse, en

este ultimo caso se tienen influencias a las que se le asocian retrasos.

Los retrasos en los bucles de realimentacion positiva determinan que el crecimiento

no se produce tan rapidamente como se esperaba. Mientras que los retrasos en losbucles de realimentacion negativa, se puede determinar que ante la lentitud de los

resultados se tomen decisiones drasticas que conducen a una oscilacion del sistema.

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Retrasos (Demoras)

A B+

-

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Introduccion a los Sistemas Lineales

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Tenga en cuenta para la formulacion del modelo:

Y:Ordenes de resurtimiento de inventario ya pedidos al proveedor

V:Tasa de surtimiento del proveedor

T: Retraso en la entrega del proveedor.


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Produccion Inventario Empresa Comercial.pdf

Modelo Produccin-Inventario

Empresa Comercial

Proveedor Inventario

Empresatasa de surtimienro

del proveedor

tasa de surtimiento

de la fbrica ventas

retraso

control

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Modelo Almacen-Empleo: Descripcion

del problemaEl comportamiento del almacen de una fabrica esta determinado inicialmente, por laproduccion y las ventas. Enseguida puede preguntarse por las variables que influyenla produccion, en este caso se supone que la produccion depende de dos variables:El empleo y la productividad. Construya un modelo de simulacion que explique elcomportamiento del inventario en el almacen, sabiendo que el empleo depende de lasiguiente poltica de contratacion:

Se contrata o descontrata de acuerdo a la correccion de la discrepancia(cociente entre la discrepancia y el tiempo de ajuste del inventario).

Involucre en su modelo las variables auxiliares PD: Productividad por empleado yTAE: Tiempo de ajuste del empleo.

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Modelo Almacn-Empleo

Almacen

VentasProduccion

EmpleoContratacionProductividad

almacen deseadoTiempo de ajuste

del almacen

Tiempo de ajuste

del empleo

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Modelo Almacen-Mano de Obra

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Modelo Almacn-Mano de Obra

Almacenproduccin ventas

productividad

cobertura de

existencias

Mano de

obracontratacin

neta

existencias

deseadas

correccin de

existencias

plazo para corregir

las existencias

plazo para ajustar la

mano de obra

mano de obra

deseada

produccin

deseada

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El problema de Gestin de

Inventarios

InventarioTasa de

Adquisicin

Ajuste para el

Inventario

Inventario

DeseadoTiempo de Ajuste

para el Inventario

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Problema de Gestin de

Inventarios con Tasa de Prdida

Inventario

Tasa de

Adquisicin

Tasa de slida

Ajuste para el

Inventario

Inventario

Deseado

Tiempo de Ajuste

para el Inventario

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Inventario

Tasa de

Adquisicin

Tasa de slida

El problema de Gestin de Inventarioscon Tasa Deseada de Adquisicin

Ajuste para el

Inventario

Inventario

DeseadoTiempo de Ajustepara el Inventario

Tasa de Adquisicin

Deseada

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Gestin de Inventarios: Control

Inventario S

Tasa de

adquisicin TA

Tasa de prdida

TP

vida promedio

-

+

Tasa de adquisicin

deseada TAD

+

Ajuste delinventario

AS

Inventario

deseado S*

Tiempo de ajuste del

inventario TAS

Tasa de prdidaesperada TPE

Inventario inicial

deseado

-

+

+-

+

+

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Bibliografa

Aracil Javier, Gordillo Francisco. Dinamica de Sistemas, Alianza Editorial, Madrid,1997

Fernandez Perez Carlos, Vasquez Hernandez Francisco, Vegas Montaner Jose. Ecua-ciones diferenciales y en diferencias. SISTEMAS DINAMICOS. Thomson Editores,

Espana, 2003.

Isaza Jose Fernando, Campos Diogenes. Ecologa: Una mirada desde los sistemasdinamicos, Editorial Pontificia Universidad Javeriana, Bogota, 2006.

khalil Hassan, Nonlinear Systems, Third Edition, Prentice Hall, 2002

Sterman John, Business Dynamics: Systems Thinking and Modeling for a ComplexWorld,Mc Graw Hill, 2000

http://www.egr.msu.edu/ khalil/NonlinearSystems/Sample/

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