ANALISI DINAMICA - dimnp.unipi.it Didattico... · Corso di Costruzione di macchine – Elementi di...

190
CdL Magistrale in Ingegneria Meccanica Corso di Costruzione di macchine – Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM ANALISI DINAMICA Principali tipi di analisi • analisi modale • analisi della risposta armonica • analisi di transitorio dinamico

Transcript of ANALISI DINAMICA - dimnp.unipi.it Didattico... · Corso di Costruzione di macchine – Elementi di...

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

ANALISI DINAMICA

Principali tipi di analisi

analisi modale

analisi della risposta armonica

analisi di transitorio dinamico

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

preferibile usare il sistema m.k.s

mk

=msmkg

mN

= 2

kgsskgmsmkg 111

22 ==

mk

=mmsmkg

mmN

= 2

kg3

22 10110001sskgmms

mkg==

ANALISI DINAMICA Considerazioni generaliUnit di misura

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHERelazione tra frequenza e lunghezza donda

Onda: perturbazione che nasce da una sorgente e si propaga nel tempo e nello spazio senza comportare trasferimento di materia, ma talora con un trasferimento di energia.

Esempio: le onde si propagano sulla superficie dellacqua, ma una particella dacqua o un oggetto galleggiante non subiscono spostamenti nella direzione di propagazione dellonda, ma solo spostamenti verticali

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHEIn Fisica si distinguono diverse tipologie di onde. Noi ci occuperemo di quelle che vengono trasmesse attraverso deformazioni elastiche del mezzo in cui si propagano (Onde Elastiche). Esistono anche onde che non necessitano di un mezzo per propagarsi (Es: Onde Elettromagnetiche, Onde Gravitazionali).

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHELe onde elastiche possono distinguersi in base alla direzione in cui avviene loscillazione in relazione a quella di propagazione dellonda in: Longitudinali

Trasversali

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHEData lequazione che rappresenta la forma di unonda al tempo t=0, del tipo:

Coordinata spaziale x

Spos

tam

ento

y

( ) )(0, xfxy =

Coordinata spaziale x

Spos

tam

ento

y

)(),( tvxftxy =

tv

Lequazione che rappresenta la forma di unonda che viaggia in direzione x con velocit v in funzione del tempo t risulta data da:

)(),( tvxftxy =

( ) ( ) )(0,, xfxytxy ==

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHE

Il periodo T della oscillazione subita da un punto del continuo dato dal tempo necessario per il passaggio di una onda completa, vale a dire:

vT =

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1

Coordinata spaziale x

Spos

tam

ento

ver

tical

e y

Data un pacchetto (treno) di onde che si propaga con velocit v, si consideri il parametro lunghezza donda () che corrisponde alla distanza tra punti corrispondenti in oscillazioni successive:

Tf 1=da cui, essendo: si ottiene: vf =

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHE

Si immagini adesso di imporre a tutto il sistema una velocit v da destra a sinistra. In tal modo la zona compressa si mantiene ferma e la barra passa progressivamente attraverso di essa.

vZona compressa

N N

La zona compressa soggetta ad una forza normale (negativa) N.

interessante analizzare la dipendenza della velocit v dalle caratteristiche del mezzo in cui avviene la propagazione dellonda.

Si consideri una barra isotropa di sezione uniforme A, ad unestremit della quale venga prodotto un impulso di compressione, che si propaga verso destra a velocit v.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHE

l

Si consideri un elemento di volume di lunghezza l, che si muove da destra a sinistra con velocit v. La sua massa pari a:

tvAlAm ==

vZona compressa

N N

vlt =dove: il tempo impiegato dallelemento di volume ad

attraversare qualunque sezione del corpo (in particolare, ad entrare completamente nella zona compressa)

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHEPer il tempo t, impiegato per entrare nella zona compressa, lelemento soggetto alla forza N, che determina una variazione della sua velocit data da:

tvtvA

tvmN

=

=

vZona compressa

l

N

vvv

AN

= 2

dividendo ambo i membri per A, semplificando t e moltiplicando numeratore e denominatore per v

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHEMentre lelemento di volume immerso nella zona compressa, dato che il flusso di massa deve essere costante, deve risultare:

( )vvAvA += '

vZona compressa

'l

N N

vvv +

='

( )

+=

+=

=

= 11'

'' l

lll

lAm

lAm

vv

+=+ 11

vv

=

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHE

La velocit di propagazione dipende solo da: Tipo di onda Propriet del mezzo

vZona compressa

'l

N N

vv

=vvv

AN

== 2

2v=

2vE ==

Ev =

Non dipende da: Lunghezza donda Frequenza

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHEDi conseguenza, per un onda di tipo dato (Es.: longitudinale) in un mezzo assegnato, in base alla:

Lunghezza donda e Frequenza di oscillazione sono inversamente proporzionali

vf =

Onde con lunghezza donda diversa che propagano verso destra alla stessa velocit.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

PROPAGAZIONE DI ONDE ELASTICHEEquazione che rappresenta unonda sinusoidale di ampiezza A, lunghezza donda , viaggiante alla velocit v verso le x positive, in funzione del tempo e dello spazio:

( )2( , ) siny x t A x v t

=

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

Oltre alle onde che si propagano in un mezzo continuo, in un sistema meccanico isolato possono verificarsi onde stazionarie, (vale a dire che non si spostano nello spazio).

Una semplice relazione matematica in grado di rappresentare unonda stazionaria data da:

ONDE ELASTICHE STAZIONARIE

( ) ( )2( , ) sin sin sin siny x t A x t A x tv

= =

Secondo tale relazione, i diversi punti del corpo elastico oscillano in fase tra loro con pulsazione e con ampiezza costante nel tempo e variabile solo con la coordinata x, data da:

2sin sinA x A xv

=

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

essendo:

2( , ) sin( )sin( )y x t A x t

=

( ) 2 2 2, sin( )sin( ) cos( ) cos( )2Ay x t A x t x t x t

= = +

( ) ( )2 2( , ) cos cos2Ay x t x vt x vt

= +

dato che:2

v

=

si ottiene:

ONDE ELASTICHE STAZIONARIE

La relazione trovata mostra che unonda stazionaria pu essere vista come la sovrapposizione di due onde di lunghezza donda , che si propagano a velocit v nella direzione delle x positive ed in quella delle x negative.Di conseguenza, la relazione tra lunghezza donda, frequenza e velocit di propagazione, derivata per londa viaggiante, vale anche per londa stazionaria.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

ONDE ELASTICHE STAZIONARIE

( ) ( )2 2( , ) cos cos2Ay x t x vt x vt

= +

( )2( , ) cos2Ay x t x vt

=

( )2( , ) cos2Ay x t x vt

= +

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

Esercizio D1Data la seguente funzione che descrive unonda di compressione che si propaga in un metallo:

calcolare la frequenza, la lunghezza donda e la velocit di propagazione cercare di determinare la natura del metallo tra acciaio e alluminio

1 4( , ) 0.02 sin 2.272 2 1.02 10 my x t m m x ts

=

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

VIBRAZIONI DI SISTEMI CONTINUI Lanalisi delle vibrazioni di sistemi continui molto complessa e sono disponibili

soluzioni in forma chiusa (analitiche) solo per i casi pi semplici Casi che saranno trattati

Trave Vibrazioni estensionali (soluzione completa) Vibrazioni flessionali (caratteristiche della soluzione)

Piastra circolare Vibrazioni flessionali (caratteristiche della soluzione)

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

Equazione di equilibrio:

NdzzNNuAdz

+=

zNuA

=

2

2

zuEA

zN

zuEAEAN

=

==

2

2

zuEAuA

=

dz

Ndz

zNN

+

uudm

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

Ezuu

zuEu

=

=

=

2

22

2

2

dz

Ndz

zNN

+

uudm

2

2

zuEAuA

=

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

2

22

zuu

= ( ) ( ) ( )tTzZtzu =,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 2

,

,

d T tu z t Z z

dtu z t d Z z

T tz dz

=

=

( ) ( ) ( ) ( )2 2

22 2

d T t d Z zZ z T t

dt dz=

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

( ) ( ) ( ) ( )2 2

22 2

d T t d Z zZ z T t

dt dz=

( )

( )

( )

( )

2 2

2 22

d T t d Z zdt dz

T t Z z=

ZZ

TT II2=

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

ZZa

TT II2==

00

2 =

=

aZZaTTII

)sin()cos()(02

tBtAtTTT

+==+

)sin()cos()(

022

zv

Dzv

CzZ

ZZ II

+=

=+

2=a

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

[ ]( , ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )u z t Z z T t C z D z A t B tv v = = + +

La soluzione generale ottenuta quindi:

La Z(z) definisce la forma spaziale (forma normale) della soluzione. Le sue costanti C e D devono essere determinate tramite apposite condizioni al contorno.

La T(t) definisce landamento temporale della soluzione. Le sue costanti Ae B devono essere determinate tramite apposite condizioni iniziali.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

[ ]( , ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )u z t Z z T t C z D z A t B tv v = = + +

La soluzione generale ottenuta quindi:

OSS: sia landamento spaziale che quello temporale sono di tipo armonico. La pulsazione dellandamento temporale e di quello spaziale sono legate da una relazione di proporzionalit tramite la costante v, per cui allaumentare delluna aumenta anche laltra.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

[ ]( , ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )u z t Z z T t C z D z A t B tv v = = + +

La soluzione generale ottenuta quindi:

Nel seguito verranno determinati i valori di per i quali possibile un moto del sistema isolato (senza scambi di energia con lesterno), attraverso limposizione di diverse condizioni di vincolo: estremi bloccati estremi liberi un estremo bloccato ed uno libero

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0 0 , 0u t Z T t u L t Z L T t= = = =Trave bloccata agli estremi

kkL k

v L = =

C.C.

( )

( )

0 cos( 0) sin( 0) 0

sin( ) 0

Z C D Cv v

Z L D Lv

= + = =

= =

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

Trave bloccata agli estremi

A ciascuna frequenza propria associata una specifica deformata spaziale (forma normale), secondo la quale avviene loscillazione del sistema:

( )

= z

vDzZ kkk

sin

kk k

L =

Il sistema pu oscillare liberamente (senza interventi esterni) alle frequenze discrete (frequenze proprie):

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

Trave bloccata agli estremi

dove le costanti ak e bk devono essere determinate a partire da apposite condizioni iniziali, in assenza delle quali la effettiva ampiezza di oscillazione del sistema non pu essere determinata.

La funzione completa che rappresenta il sistema oscillante alla frequenza propria k quindi data da:

[ ] [ ]( , ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin( )k kk k k k k k k k k ku z t A t B t D z a t b t zv v = + = +

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

Trave bloccata agli estremi

La relazione rappresenta unonda stazionaria di pulsazione k e di lunghezza donda spaziale data da :

[ ] [ ]( , ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) sin( )k kk k k k k k k k k ku z t A t B t D z a t b t zv v = + = +

22 2k k k k

k

k

f v vL Lv

k kkL

= = = ==

k

42kLk = =

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

kL

k2

=

( )

= zDzZ

kkk

2sin

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1k=1

z/L

Z(z)

Trave bloccata agli estremi

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1k=2

z/L

Z(z)

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

kL

k2

=

( )

= zDzZ

kkk

2sin

Trave bloccata agli estremi

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1k=3

z/L

Z(z)

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

kL

k2

=

( )

= zDzZ

kkk

2sin

Trave bloccata agli estremi

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1k=4

z/L

Z(z)

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

kL

k2

=

( )

= zDzZ

kkk

2sin

Trave bloccata agli estremi

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1k=5

z/L

Z(z)

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

kL

k2

=

( )

= zDzZ

kkk

2sin

Trave bloccata agli estremi

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

L

z dz

...3,2,1)( == kEL

kKk

Le frequenze proprie, per altre modalit di vincolo, sono date dalla seguente relazione generale, nella quale il coefficiente K(k) dipende da queste ultime:

K(k)

Incastrato-incastrato k

Libero-libero k

Incastrato-libero k+1/2

Altre condizioni di vincolo

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

Oss.1: La forma normale pu presentare uno o pi punti fissi (nodi), nei quali lo spostamento si mantiene identicamente nullo

Oss. 2: la forma normale nota a meno di una costante moltiplicativa, che potr essere determinata solo assegnando le condizioni iniziali; essa definisce la forma spaziale della deformata, ma non i valori effettivi degli spostamenti.

Osservazioni riassuntive

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI ESTENSIONALI

Oss.3: attraverso i punti fissi (nodi) non pu avvenire trasferimento di energia durante loscillazione. Di conseguenza il contenuto energetico di una trave oscillante secondo uno dei suoi modi propri si mantiene costante nel tempo, con uno scambio continuo tra la forma cinetica e quella potenziale.

Oss. 4: loscillazione libera della trave pu avvenire solo tramite una combinazione dei modi propri, dato che solo in questo modo il suo contenuto energetico pu mantenersi costante. Essa sar esprimibile come:

Oss. 5: allaumentare della pulsazione propria aumenta anche il numero di oscillazioni della deformata spaziale ad essa associata.

Osservazioni riassuntive

[ ]

=

=

+==11

)sin()sin()cos(),(),(k

kkkkk

kk zv

tbtatzutzu

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

L

z dzy

Equazione di equilibrio:

TdzzTTvAdz

+=

IV

III

EJvzT

EJvT

=

=dz

T dzzTT

+

v

zTvA

=

IVEJvvA =

AEJk

vkv IV

=

= 2

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

L

z dzx

Trave libera agli estremi (z=0, L)

( )2 21

n nEJL

L A

=

n 1 2 3 4 >4

nL 4.730 7.853 10.996 14.137 (n+1/2)

Valore asintotico (valido dopo i

primi 3-4 termini)

Espressione valida per tutte le condizioni di vincolo. I valori di nLcambiano, invece, con queste ultime.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

y

L

z

Trave libera agli estremi (z=0, L)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

+

++= zzLLLLzzCzV nn

nn

nnnnnn

coshcoscoshcossinsinhsinhsin)(

Oss.: le forme normali sono compatibili con una distribuzione autoequilibrata di forze di inerzia, necessaria dato che il sistema libero nello spazio.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

L

zy

( )A

EJL

Lnn 2

2 1=

n 1 2 3 4 >4

nL 1.875 4.694 7.855 10.996 (n-1/2)

Trave incastrata ad un estremo (z=0) e libera allaltro (z=L)

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

L

zy

Trave incastrata ad un estremo (z=0) e libera allaltro (z=L)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

++

= zzLLLLzzCzV nn

nn

nnnnnn

coshcoscoshcossinsinhsinhsin)(

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

L

zy

( )A

EJL

Lnn 2

2 1=

n 1 2 3 4 >4

nL 4.730 7.853 10.996 14.137 (n+1/2)

Trave incastrata agli estremi (z=0, L)

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

L

zy

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

+= zzLLLLzzCzV nn

nn

nnnnnn

coscoshcoshcossinsinhsinsinh)(

Trave incastrata agli estremi (z=0, L)

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

L

z

Trave appoggiata agli estremi (z=0, L)

( )A

EJL

Lnn 2

2 1=

n 1 2 3 4 >4

nL 2 3 4 n

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEMSISTEMI CONTINUI

TRAVE SOGGETTA A VIBRAZIONI FLESSIONALI

( )[ ]zCzV nnn sin)( =

L

z

Trave appoggiata agli estremi (z=0, L)

y

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

L

z

W H

Esercizio D2Un metodo utilizzato per stimare il modulo elastico di un materiale consiste nel misurare la prima frequenza propria flessionale di una barretta sospesa a dei fili sottili in corrispondenza dei nodi della relativa forma modale.Data la barretta in acciaio mostrata in Figura: perch la barretta sostenuta nel modo descritto e quale modello di calcolo analitico si

ritiene applicabile? stimare il modulo di Young del materiale sapendo che la prima frequenza propria flessionale

di 65 Hertz stimare le posizioni z lungo la barretta in cui devono essere posizionati i punti di attacco

dei fili

H = 2.5 mmW = 10 mmL = 450 mm

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEMSISTEMI CONTINUI

PIASTRA CIRCOLARE

Le vibrazioni proprie di una piastra circolare possono prevedere: forme modali simmetriche, che presentano circonferenze nodali, i cui punti

non si spostano durante la vibrazione

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEMSISTEMI CONTINUI

PIASTRA CIRCOLARE

Le vibrazioni proprie di una piastra circolare possono prevedere: forme modali simmetriche, che presentano circonferenze nodali, i cui

punti non si spostano durante la vibrazione forme modali anti-simmetriche, che presentano diametri nodali, i cui punti

non si spostano durante la vibrazione

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI PIASTRA CIRCOLARE

Le vibrazioni proprie di una piastra circolare possono prevedere: forme modali simmetriche, che presentano circonferenze nodali, i cui

punti non si spostano durante la vibrazione forme modali anti-simmetriche, che presentano diametri nodali, i cui punti

non si spostano durante la vibrazione forme modali miste, che presentano sia circonferenze che diametri

nodali, i cui punti non si spostano durante la vibrazione

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

SISTEMI CONTINUI PIASTRA CIRCOLARE

Le vibrazioni proprie di una piastra circolare di spessore uniforme e raggio R, sono date dalla seguente relazione:

( )23

2,

,

112

=

=

EhD

hD

Rmn

mn

Incastrata al bordo esterno

Libera al bordo esterno

n = numero circonferenze nodali

m = numero diametri nodali

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

Esercizio D3 - ANALISI MODALE DI DISCOIl disco circolare in acciaio ha un diametro esterno di 380 mm e spessore uniforme pari a 1 mm.Si calcolino i valori delle frequenze proprie e si disegnino schematicamente con linee tratteggiate le relative linee nodali fornite da un semplice modello di piastra circolare libera o incastrata al bordo esterno.D: perch non possibile, per la piastra libera al bordo esterno, calcolare i modi propri per n=0 e m=0,1?

m n Freq. proprie libera [Hz]

Forme modali libera [Hz] Freq. proprie inc. [Hz]

Forme modali inc. [Hz]

0

01

2

0

1

1

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

MODELLI DISCRETIZZATILa soluzione di problemi strutturali nel continuo in campo dinamico possibile solo in un numero molto ristretto di casi, quali quelli mostrati in precedenza.

Negli altri casi comunque possibile ottenere soluzioni sufficientemente accurate ai fini applicativi attraverso processi di discretizzazione, tramite i quali si sostituisce il classico problema definito nel continuo, con infiniti gradi di libert (gdl), con un sistema discreto, dotato di un numero finito di gdl.

Il processo di discretizzazione conduce a due tipi principali di modelli: a masse concentrate, nei quali la massa della struttura viene condensata

in punti discreti, spesso tramite una semplice ragionevole suddivisione della massa totale

FEM, nei quali si ricorre alle usuali tecniche di approssimazione tramite funzioni di forma al fine di ottenere modelli in cui il campo di spostamenti (velocit, accelerazioni) descritto tramite un numero discreto di valori (quelli relativi ai nodi).

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

MODELLI DISCRETIZZATILe differenze concettuali tra i due metodi di soluzione sono piuttosto contenute, dato che entrambi condividono la maggior parte delle tecniche di soluzione.

Dal punto di vista pratico, si tende ad utilizzare la tecnica a masse concentrate per la costruzione di modelli relativamente semplici (spesso risolubili in forma chiusa) in grado di prevedere il comportamento della struttura tenendo conto di un numero limitato di frequenze proprie (solitamente le prime di pulsazione pi bassa).

I modelli FEM sono invece in grado di trattare la struttura in un campo decisamente pi ampio di frequenze e tenendo conto di fenomeni di elevata complessit (es. irrigidimento da sforzo), difficilmente trattabili con modelli a masse concentrate.

I modelli a masse concentrate possono fornire un utilissimo termine di confronto per la validazione dei modelli FEM.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica

Corso di Costruzione di macchine Elementi di Dinamica Strutturale tramite FEM

x

m

c k

22 0n nmx cx kx x x x + + = + + =

22 1n cr s ncr

k cc kmm c

= = = =

crc c