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Analisi della risposta dinamica

Risposta dinamica del trasduttore: descrive, in termini di un modello matematico basato su equazioni differenziali alle derivate parziali, le relazioni, basate su opportune leggi fisiche, tra il misurando x(t) e l'uscita y(t).

§ Caso lineare –  La risposta del sistema si valuta attraverso lo studio della funzione di

trasferimento ingresso-uscita del sistema trasduttore.

•  Modello matematico lineare attraverso equazioni differenziali

§ Trattazioni semplificate –  Modelli a parametri concentrati

–  Analogie tra sistemi fisici

Sensore x(t) y(t)=f(x(t))

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Risposta dinamica

§ La relazione tra uscita e misurando (modello descrittivo del sensore) può essere espressa da un equazione differenziale nella sola variabile tempo –  Ipotesi: lineare a coefficienti costanti.

§ Ordine dell'equazione = ordine del sensore stesso cui si riferisce; –  Parliamo infatti di elementi sensibili del primo ordine, del secondo ordine e di

ordine superiore.

§ Soluzione = risposta temporale del sensore al segnale in ingresso. –  Complessa per ordini superiori al secondo

Equazione differenziale lineare del 2o ordine

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Calcolo Risposta dinamica

§ Metodo della trasformata di Laplace –  Sostituzione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti con equazioni

algebriche (la cui soluzione è più agevole)

§ Determinazione della risposta temporale del sensore –  Implementazione del modello descrittivo in termini di equazioni differenziali a

coefficienti costanti che legano il misurando all'uscita e che contengono i parametri del sensore stesso

–  Effettuare la trasformazione di Laplace sulle equazioni differenziali temporali ottenendo delle equazioni algebriche nella variabile s

–  Risolvere le equazioni algebriche in s

–  Effettuare la trasformazione inversa di Laplace per ottenere la risposta temporale del sensore

§  La Funzione di Trasferimento F(s) di un sistema lineare è definita come il rapporto fra la trasformata di Laplace della variabile di uscita e quella della variabile in ingresso

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Trasformate e anti-trasformate di Laplace

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Risposta in frequenza s è un variabile complessa la cui parte immaginaria è costituita dalla frequenza angolare del segnale in ingresso (pulsazione ω) § Risposta a segnali di ingresso sinusoidali (risposta in frequenza)

–  Risposta a sinusoidi di ampiezza unitaria con pulsazione angolare ω ( frequenza f=2π/ω )

–  Utilizzo delle s-trasformate e sostituzione di s=jω

–  Nota la risposta in frequenza è possibile conoscere la risposta a qualsiasi segnale in ingresso di natura periodico

•  Fourier: un qualsiasi segnale periodico può essere scomposto in una serie di sinusoidi di frequenze diverse

§ Diagrammi di Bode –  rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema

lineare tempo invariante (LTI) e che consiste in due grafici che rappresentano rispettivamente l'ampiezza (Ao/Ai) e la fase della funzione complessa di risposta in frequenza

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Diagrammi di Bode

Esempio: filtro di Butterworth primo ordine Frequenza di taglio (attenuazione 3dB): Banda passante

Sfasamento di 90 gradi

V0Vi=12

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Esempio: sistema massa-molla-smorzatore

•  Risoluzione diretta

f ( t)− f e( t )− f v ( t )= m x ( t )

f ( t )= m x ( t )+ a x( t)+ k x ( t )

ms2 X ( s)+ asX ( s)+ kX ( s)= F ( s)

X ( s)=F ( s)

ms2+ as+ k

X ( s)=

F ( s)k

mks2+ a

ks+ 1

=

F ( s)k

s2

ω02+2 ζω0s+ 1

a

f e( t )= k x ( t )f v( t )= A x ( t )

Equilibrio forze

Trasformata di Laplace

Nella prossima esercitazione andremo a studiare un caso di applicazione del metodo della Trasformata di Laplace

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Analisi della risposta dinamica

Risposta dinamica del trasduttore: descrive, in termini di un modello matematico basato su equazioni differenziali alle derivate parziali, le relazioni, basate su opportune leggi fisiche, tra il misurando x(t) e l'uscita y(t).

§ Caso lineare –  La risposta del sistema si valuta attraverso lo studio della funzione di

trasferimento ingresso-uscita del sistema trasduttore.

•  Modello matematico lineare attraverso equazioni differenziali

§ Trattazioni semplificate –  Modelli a parametri concentrati

–  Analogie tra sistemi fisici

Sensore x(t) y(t)=f(x(t))

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Analogie nei sistemi fisici Nell’ambito dello studio di sistemi fisici si presenta spesso il caso in cui due sistemi di natura diversa risultano essere descritti da equazioni formalmente identiche (Nota: utili per ottenere il modello descrittivo di un sensore/trasduttore).

analogia tra sistemi meccanici ed elettrici

interpretazione dei fenomeni ele8rici, meno dire8amente intuibili, in termini di fenomeni meccanici

analogia tra sistemi elettrici e meccanici

avvalersi di modelli ele8rici, per lo studio di sistemi meccanici (meno maneggevoli sia in costruzione sia in sperimentazione)

Secolo scorso

Più recente

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Analogie tra sistemi fisici

§  Come è noto dalla teoria dei sistemi, è possibile istituire analogie tra sistemi elettrici, meccanici, idraulici, fluidodinamici, termici...... §  Fattori della potenza: grandezze caratterizzate dalla proprietà per cui il loro prodotto rappresenta una potenza

–  Esempio: correnti e tensioni nei sistemi elettrici, forza e velocità per i sistemi meccanici.

§ Tra queste grandezze e tra i loro integrali è possibile scrivere relazioni che assumono significati analoghi al concetto elettrico di impedenza.

§  I concetti della teoria classica delle reti di bipoli lineari saranno utilizzati come riferimento per introdurre e spiegare i concetti propri dei sistemi di natura diversa (e.g. Meccanici, fluidodinamici, termici). –  Questo punto di vista renderà quindi possibile studiare alcune delle proprietà notevoli legate alla struttura dei sistemi fisici prescindendo dalla natura delle variabili in gioco e riferendosi ad esse genericamente con i nomi di “corrente”, “carica”, “tensione” e così via.

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§  I fattori della potenza nella classe di sistemi studiati vengono associati al concetto di trans-variabile (in inglese across-variable o two-point variable) e per-variabile (in inglese through-variable o one-point variable) –  Trans-variabile: variabile il cui valore si misura "ai capi"

–  Per-variabile: variabile il cui valore si misura su una "sezione'”.

§  nei sistemi elettrici è naturale identificare la trans-variabile con la tensione e la per-variabile con la corrente.

§ Il prodotto “trans-per” dà effettivamente origine ad una potenza V(t)* I(t)= P(t)

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ANALOGIE DI MAXWELL e FIRESTONE

§ Maxwell –  Forze (f) e velocità (v) corrispondono rispeHvamente a differenze di potenziale (e) e

correnJ (i).

§ Firestone –  le forze (f) corrispondono alle correnJ (i) e le velocità alle differenze di potenziale (e)

Forze (f) Tensioni (e)

Velocità (v) Correnti (i)

Forze (f) Correnti (i)

Velocità (v) Tensioni (e)

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Analogie tra sistemi fisici §  Il rapporto della trans-variabile e della per-variabile nei sistemi elettrici

assume il significato di resistenza § Opportune relazioni integro-differenziali introducono i concetti di elemento

reattivo: capacità e induttanza.

§ Per omogeneità formale, è quindi consuetudine considerare, accanto alle variabili per- e trans- le grandezze integrali delle stesse. –  Grandezze intensive: per- e trans- variabile il cui prodotto dà una potenza

–  Grandezze estensive: integrali delle per- e trans- delle variabili intensive.

corrente

carica

Flusso magnetico

Tensione

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§ Caso elettrico –  la per-variabile intensiva è la corrente

–  la trans-variabile intensiva è la tensione

–  la per-variabile estensiva è la carica

–  la trans-variabile estensiva è il flusso di induzione magnetica

–  da per-intensiva a trans-intensiva si passa moltiplicando per R (resistenza)

–  da per-intensiva a trans-estensiva si passa moltiplicando per L (induttanza)

–  da trans-intensiva a per-estensiva si passa moltiplicando per C (capacità)

–  da estensiva ad intensiva si passa derivando (moltiplicando per s in Laplace).

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Simbolismo: “F” forza

“v” velocità “A” il coefficiente di attrito, “M” la massa “K” il coefficiente di elasticità di una molla.

Analogia elettromeccanica

§ Sistemi elettrici –  Elementi dissipativi

•  Resistori

–  Elementi immagazzinatori di energia

•  Energia elettromagnetica (induttori)

•  Energia elettrostatica (condensatori)

§ Sistemi meccanici –  Elementi dissipativi (pistone, attrito viscoso)

–  Elementi immagazzinatori di energia potenziale elastica (massa, molle)

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§ Caso Meccanico –  È naturale considerare come variabili intensive la velocità e la forza, il cui

prodotto dà una potenza meccanica.

–  Non è univoca l'associazione trans/per a seconda dei metodi utilizzati

•  Maxwell e Firestone, vediamo le caratteristiche nel dettaglio dei singoli metodi

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§ Analogia di Maxwell –  La velocità assume il significato di per-variabile intensiva (corrente) e la forza

quello di trans-variabile intensiva (tensione).

–  L'attrito gioca il ruolo della resistenza, in quanto costante di proporzionalità tra forza e velocità. (F=K*v)

–  Le variabili estensive sono la posizione (integrale della velocità) e l'impulso della forza (integrale della forza, di dubbia interpretazione). Il passaggio da per-variabile estensiva e trans-variabile intensiva è dato dalla costante elastica. L'elasticità è l'analogo di un fenomeno capacitivo (lineare), mentre il passaggio da trans-variabile estensiva a per-variabile intensiva si ha attraverso la massa e quindi l'inerzia rappresenta l'analogo dei fenomeni induttivi (lineari)

•  Metodo più intuitivo e diffuso

Analogie tra sistemi fisici - Maxwell

Forze (f) Tensioni (e)

Velocità (v) Correnti (i)

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§ Analogia di Firestone –  La velocità assume il ruolo di trans-variabile intensiva e la forza quello di per-

variabile intensiva.

–  In questo caso l'attrito gioca il ruolo della conduttanza, mentre il significato di inerzia ed elasticità è scambiato.

•  Il ragionamento che sta dietro questa metodologia è quello di conservare la topologia degli schemi nel passaggio da meccanico a elettrico

Analogie tra sistemi fisici - Firestone

Forze (f) Correnti (i)

Velocità (v) Tensioni (e)

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Leggi di Kirchhoff §  In un circuito la somma delle per-variabili intensive (I nel caso elettrico) che

attraversano i rami entranti in un nodo è nulla (legge di Kirchhoff ai nodi).

§  In un circuito la somma delle trans-variabili intensive (V nel caso elettrico) ai capi dei rami costituenti una maglia è nulla (legge di Kirchhoff alle maglie).

§  In particolare, più elementi (bipoli) collegati in modo da essere interessati dalla stessa per-variabile intensiva (I) si diranno in serie, mentre più elementi collegati in modo da essere interessati dalla stessa trans-variabile intensiva (V) si diranno in parallelo.

§ Si osservi che, scambiando il ruolo della per- e trans- variabile, si ottiene il cambio della topologia da serie a parallelo e viceversa.

§ Esempio: due corde collegate ad una massa condividono la stessa velocità (stessa per-variabile intensiva) ma in linea di principio agiscono su di essa con forze differenti (trans-variabili intensive diverse): sono quindi in serie tra loro. Si osservi che se si utilizzasse l'analogia di Firestone, il sistema sarebbe in parallelo.

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Analogie Elettrico-meccaniche

Modelli a parametri concentrati

Scritti in termini di per/trans variabili intensive

E le m e n to Me c c a n ic o E le m e n to E le ttric o C o rrisp o nd e n te

No m e No m e Nom eEq ua zio ne Eq ua zio ne Eq ua zio neSim b o lo

Ne ll’a na lo g ia d i Ma xwe ll

E le m e n to d i Attrito

Ma ssa

Mo lla

Re siste n za

In d u tta n za

Ind u tta n zaC a p a c ità

C a p a c ità

C o nd u tta nza

Sim b o lo

F= Av

F= Md v d t

d F= Kvd t

e = R i

e = Ld i

d e = 1d t C i

i= G e

i= C d ed t

d i= 1 eLd t

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Esempio: sistema catetere – trasduttore di pressione

§ Misure di pressione/portata di fluido

§ Ambito cardiovascolare: pressione del sangue e flusso (portata volumetrica) all'interno dei vasi arteriosi –  Metodi non invasivi (meno precisi)

–  Metodi minimamente invasivi basati sull'introduzione di cateteri

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Esempio: sistema catetere – trasduttore di pressione § Cateteri

–  Tubi lunghi (1.20 m) e flessibili che vengono inseriti attraverso vasi periferici e fatti risalire nelle zone più centrali dell'apparato cardiovascolare (Esempio: cavità cardiache e sistema coronarico). Realizzati con materiali biocompatibili.

–  Prelievo di campioni di sangue, iniezione di sangue o di liquidi di contrasto, interventi terapeutici (Esempio: angioplastica)

–  Cateteri strumentati sono utilizzati per misure a scopo diagnostico: pressione, flusso, saturazione di ossigeno, pH, gas disciolti......

–  Misure di pressione/portata

•  Microtrasduttore in punta o esterno idraulicamente connesso al sangue

–  Modellazione della risposta dinamica: condiziona il progetto dell'intero sistema identificando i parametri sui quali il progettista può agire

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Misura di pressione con trasduttore esterno § Un catetere viene inserito in un’arteria o in una vena. La pressione P

presente all’estremita del catetere agisce su una colonna di soluzione fisiologica; quest’ultima, essendo incomprimibile, trasmette la pressione al trasduttore esterno (diaframma)

§  Il diaframma, in questo caso detto trasduttore primario, è un elemento la cui deformazione dipende dalla pressione applicata

§ La deformazione del diaframma viene misurata tramite un sensore esterno (e.g. ottico, trasformatore differenziale o altri)

§ Vogliamo valutare gli effetti del design meccanico del sistema

§ La domanda a cui si vuole rispondere: in che modo un segnale istantaneo di pressione influenza la conseguente deformazione del diaframma x? Idealmente vorremmo x=kP

Misura di pressione con trasduttore esterno

• Un catetere viene inserito in un’arteria o in una vena. La pressione P presente all’estremità del catetere agisce su una colonna di soluzione fisiologica; quest’ultima, essendo incomprimibile, trasmette la pressione al trasduttore esterno (diaframma)!

• Il diaframma, in questo caso detto trasduttore primario, è un elemento la cui deformazione dipende dalla pressione applicata!

• La deformazione del diaframma viene misurata tramite un sensore esterno (e.g. ottico, trasformatore differenziale o altri)!

• Vogliamo valutare gli effetti del design meccanico del sistema!

• La domanda a cui si vuole rispondere: in che modo un segnale istantaneo di pressione influenza la conseguente deformazione del diaframma x? Idealmente vorremmo x=kP

Fig. 5.2

Il catetere rappresentato tramite il suo disegno ed una rappresentazione circuitale

L’ultimo aspetto di cui tener conto è la deformabilità del sistema. Questa è composta principalmente da tre componenti elastiche: diaframma, sensore e catetere. La deformabilità del diaframma è però molto più grande di quella totale data dalla somma della deformabilità del sensore e del catetere che, quindi possono essere trascurate nel modello approssimato. La deformabilità del diaframma è quindi pari a: Cd = ∆

∆ (5.7) Abbiamo quindi che il comportamento dinamico di un catetere si può

caratterizzare tramite un sistema del secondo ordine. L’analogo elettrico è costituito dal circuito serie RLC, raffigurato in Fig. 5.2 (b). L’ingresso del circuito rappresenta la pressione sanguigna, l’uscita invece è data dalla tensione misurata ai capi del condensatore (pressione al livello del diaframma). Impostando l’equazione alla maglia si ha: vi(t) = LcCd

()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)

da cui si ricava la funzione di trasferimento nel dominio frequenziale: "

= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)

Confrontando l’equazione ottenuta con la generica funzione di trasferimento caratteristica dei sistemi del secondo ordine: H(s) = #

'./0'0 (5.10)

è possibile ricavare i parametri ω0 e ξ, chiamati rispettivamente frequenza di risonanza e fattore di smorzamento, propri del sistema esaminato. L’uguaglianza tra l’equazione 5.9 e 5.10 fornisce: 1 = #

√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)

Sostituendo le espressioni 5.4, 5.6 e 5.7 nelle equazioni precedenti si ha: 1 = 6

7∆∆

; ξ = 86

7∆∆

(5.12) Tali equazioni sono importanti per analizzare il comportamento

dinamico del sistema che condiziona, come detto, la fedeltà nella riproduzione del segnale pressorio. Innanzitutto bisogna tenere presente che al fine di ben riprodurre l’andamento temporale della pressione sanguigna si ritiene necessario che ω0 sia superiore alla ventesima armonica del segnale fondamentale della pulsazione cardiaca. Inoltre le distorsioni in ampiezza e

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Misura di pressione con trasduttore esterno § Tre sottosistemi

–  La cavità (lume) piena di liquido all'interno del catetere

–  Il diaframma elastico (trasduttore primario)

–  Il trasduttore di spostamento del centro del diaframma

–  Numerosi parametri fisici che governano la risposta del sistema

•  Il catetere e il fluido contenuto nel lume costituiscono un sistema distribuito di elementi infinitesimi tutti dotati di massa, deformabilità (il diaframma elastico, la parete del catetere) e di elementi dissipativi (viscoelasticità del catetere e viscosità del liquido, sia esso sangue o soluzione fisiologica).

•  Ciò fa si che il sistema sia descrivibile, attraverso una analogia elettromeccanica, con lo stesso formalismo delle linee di trasmissione elettrica conducendo ad una forma propria della cosiddetta "equazione dei telegrafisti".

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E' possibile fare delle approssimazioni e identificare nel sistema catetere alcuni parametri concentrati che ne riassumano il comportamento. Dal punto di vista fluidodinamico, infatti, il fluido che scorre all'interno di un catetere presenta un'inerzia idraulica, una resistenza e una deformabilità

Ci interessa conoscere la relazione tra pressione in ingresso (pressione sanguigna) e pressione misurata sul trasduttore primario (diaframma)

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Misura di pressione con trasduttore esterno § Parametri che influiscono: peso della colonna del fluido (inerzia idraulica),

attriti viscosi (µ), lunghezza (L), sezione del tubo (πr2), deformabilita del diaframma

§  Ipotesi: fluido Newtoniano, flusso laminare stazionario

§ E’ possibile risolvere il problema attraverso un’analogia elettrica che dipende da –  Resistenza idraulica (Rc) dovuta alla viscosita del fluido nel catetere

(proporzionale alla lunghezza e all’inverso della sezione)

•  Ottenuta attraverso la formula di Poiseuille

–  Inerzia idraulica (Lc) dovuta alla massa del liquido nel catetere (dipende dalla densita del liquido ρ e dal volume V del catetere)

–  Deformabilita del sistema dovuta in gran parte al diaframma Cd

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Analogia fluidodinamica/ elettrica: il sistema può essere rappresentato come un circuito elettrico RLC (sistema secondo ordine) pi(t) → vi(t) pressione in ingresso (misurando non noto) po(t) → vo(t) pressione in uscita (variabile da stimare)

Trans- variabili intensive

Misura di pressione – Analogia Elettrica

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• Analogia fluidodinamica/elettrica: il sistema può essere rappresentato come un circuito elettrico RLC (sistema secondo ordine)!

• Pi(t) → vi(t) pressione in ingresso (misurando non noto)!

• Po(t) → vo(t) pressione in uscita (variabile di uscita, da stimare)

Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



idealmente !Po=Pi

i(t)


Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Frequenza di risonanza

Fattore di smorzamento

vi

(t) = vo

(t) +Rc

i(t) + Lc

di(t)

dti(t) = Cd

dvo

(t)

dt


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Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Fig. 5.2





()

+ RcCd !() + vo(t) (5.8)


= #$%&

#

' ()$*&

'+$,)$ (5.9)


'./0'0 (5.10)


√3% ; ξ = 4$5%&

.5$ (5.11)


7∆∆

; ξ = 86

7∆∆



Frequenza di risonanza

Fattore di smorzamento

vi

(t) = vo

(t) +Rc

i(t) + Lc

di(t)

dti(t) = Cd

dvo

(t)

dt


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R i s p o s t a i n f r e q u e n z a

7.7 Grafici dei diagrammi di Bode di un sistema del 2° ordine con poli complessi coniugati (]<1)

� �1

2

1

2

2

�Z]

�Z

nn

sssG

Soluzione

� �1

2

1

2

2

�ZZ]

�Z

Z� Z

nn

jjG =

nnj

ZZ

]�Z

Z� 21

1

2

2

Diagramma del modulo

� � dBjȦG =

222 2

120 ¸¹

·¨©

§Z]Z

�¸¸¹

·¨¨©

§

ZZ

�nn

log� [7]

Il diagramma del modulo per Z < Zn e Z > Zn è uguale a quello di un sistema del secondo

ordine con polo doppio ( pendenza retta +40dB/decade)

Nell’intorno di Zn, esso subisce delle modificazioni che dipendono da ]�� L’analisi matematica mette in evidenza l’esistenza di un massimo della curva per

]< 0,7 in corrispondenza della pulsazione 221 ]�Z Z np di valore

212

120

[�] logG dBmax

Da notare: Nel caso in cui ]�= 0,7 la risposta è quella di un filtro LPF a banda piatta con

pulsazione di taglio Zn e pendenza di –40dB/dec. (filtro alla Butterworth de 2° ordine)

Prof. Francesco Di Sabatino - Dispense di Sistemi Elettronici Automatici

VII-30

Sistema del secondo ordine: Diagramma di

Bode del modulo !

ωn=ω0

• ω>>ωn pendenza di -40 dB per decade (azione del doppio polo)!• ω≈ωn sovra-elongazioni in dipendenza di ζ!

• in particolare si ottiene sempre un massimo quando ζ<0.7!• il massimo è alla frequenza ωp=ωn(1-2 ζ2)0.5!

• ζ= 0.7 passa-basso del secondo ordine con pulsazione di taglio ωn!


7.7 Grafici dei diagrammi di Bode di un sistema del 2° ordine con poli complessi coniugati (]<1)

� �1

2

1

2

2

�Z]

�Z

nn

sssG

Soluzione

� �1

2

1

2

2

�ZZ]

�Z

Z� Z

nn

jjG =

nnj

ZZ

]�Z

Z� 21

1

2

2

Diagramma del modulo

� � dBjȦG =

222 2

120 ¸¹

·¨©

§Z]Z

�¸¸¹

·¨¨©

§

ZZ

�nn

log� [7]

Il diagramma del modulo per Z < Zn e Z > Zn è uguale a quello di un sistema del secondo

ordine con polo doppio ( pendenza retta +40dB/decade)

Nell’intorno di Zn, esso subisce delle modificazioni che dipendono da ]�� L’analisi matematica mette in evidenza l’esistenza di un massimo della curva per

]< 0,7 in corrispondenza della pulsazione 221 ]�Z Z np di valore

212

120

[�] logG dBmax

Da notare: Nel caso in cui ]�= 0,7 la risposta è quella di un filtro LPF a banda piatta con

pulsazione di taglio Zn e pendenza di –40dB/dec. (filtro alla Butterworth de 2° ordine)


VII-30


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Sistema del secondo ordine: diagramma di

Bode della fase !

ωn=ω0


Diagramma della fase

� �

n2n

2

ȦȦj2ȗ

ȦȦ1

1jȦG��

� � �jȦG� = -

2n

2n

1

2

arctg

Z

Z�

Z]Z

nZ��Z M� �- arctg 0 = 0°

Z�= Zn �M� - arctg

112�]

= -90°

nZ!!Z M� �-180°


VII-31



� �

n2n

2

ȦȦj2ȗ

ȦȦ1

1jȦG��

� � �jȦG� = -

2n

2n

1

2

arctg

Z

Z�

Z]Z

nZ��Z M� �- arctg 0 = 0°


112�]

= -90°

nZ!!Z M� �-180°


VII-31



� �

n2n

2

ȦȦj2ȗ

ȦȦ1

1jȦG��

� � �jȦG� = -

2n

2n

1

2

arctg

Z

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Z]Z

nZ��Z M� �- arctg 0 = 0°


112�]

= -90°

nZ!!Z M� �-180°


VII-31

No distorsione di fase

Se ζ≈0.7 e ω<<ωn il segnale pressorio passa invariato e è possibile seguire la variazione

istantanea della pressione da misurare


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In sintesi possiamo dire che: §  Il Sistema è del secondo ordine (Ordine dell'equazione = ordine del sensore ) § Le risposte della funzione di trasferimento ci dicono che per ω << ω0 e per ζ =

0.7, il segnale pressorio passa inalterato ed è quindi possibile stimare le variazioni di pressione nel tempo.

§ Visto che il segnale pressorio è legato alla pulsazione cardiaca (e.g 60 battiti al minuto → 1Hz → ωpc =6,28Hz quindi vorremmo avere almeno ω0 > 20Hz)

§ Su quali parametri possiamo agire per far si che le frequenze di interesse siano all’interno della banda passante? –  ρ, µ dipendono dal fluido (non modificabili) r,L non modificabili per vincoli anatomici

§ L’unico parametro rimasto è la deformabilita del diaframma . Per aumentare la frequenza di risonanza dovrei diminuire la deformabilita del diaframma, ma: –  Per spostamenti non superiori alla metà dello spessore, lo spostamento x del centro

della membrana dipende linearmente dalla pressione applicata

–  ridotta sensibilita del trasduttore

§  In generale è difficile avere una riproduzione fedele dell’onda pressoria –  Sono comunque molto usati in ambito clinico (catetere Swann-Ganz)


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