Dinamica (1)

E

NGENHAR

I

A

CV I LI

Universidade Estadual de Goi as

Unidade de Ci encias Exatas e Tecnol ogicas

Coordenac ao do Curso de Engenharia Civil

Apostila de Dinamica

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Anapolis, outubro de 2006

Lista de Figuras

1.1 Exemplos de carregamentos dinamicos precritos . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Diferenca basica entre a analise estatica e a analise dinamica . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Sistema Dinamico Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 11

1.4 Influencia da gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

2.1 Exemplo de movimento de vibracoes livres nao amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Grafico do movimento de vibracoes livres nao amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Grafico do movimento de vibracoes livres nao amortecidas com velocidade inicial . . . .19

2.4 Defasagens entre os movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

2.5 Defasagens entre os movimentos- analise parametrizada no cırculo . . . . . . . . . . .20

2.6 Viga com mossa no meio do vao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 21

2.7 Deslocamento para viga com mossa no meio do vao . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 22

2.8 Deslocamento para viga com mossa no meio do vao . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 23

2.9 Comparacao entre movimentos de viga com mossa . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 23

2.10 Exemplo de movimento de vibracoes livres criticamente amortecidas . . . . . . . . . . .24

2.11 Grafico de movimento criticamente amortecido . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 25

2.12 Grafico de movimento criticamente amortecido com velocidade inicial . . . . . . . . . . 26

2.13 Razao entre as frequencias angulares em funcao dotaxa de amortecimento . . . . . . . .28

2.14 Grafico de movimento com amortecimento subcrıtico . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.15 Comparacao geral dos movimentos de vibracoes livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Sistema dinamico sujeito a carregamento harmonico . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Respostas para sistema sujeito a carregamento harmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Fator de amplificacao dinamicaem sistemas amortecidos com carregamento harmonico .36

3.4 Angulo de fase em sistemas amortecidos com carregamento harmonico . . . . . . . . . 37

3.5 Picos da razao de frequencia em funcao da taxa de amortecimento . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Razao de amplificacao dinamica para sistemas amortecidos e nao amortecidos . . . . . .39

3.7 Funcao envoltoria para resposta ressonante nao amortecida . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

Lista de Tabelas

3

Sumario

1 Introduc ao aos Sistemas Dinamicos 5

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 5

1.2 Definicao de Sistema Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5

1.3 Objetivos Fundamentais da Analise Dinamica . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Tipos de Carregamentos Dinamicos Prescritos . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Caracterıticas Essenciais de um Problema Dinamico . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Formulacao das Equacoes do Movimento . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 9

1.7 O Princıpio de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 9

1.8 Sietema Dinamico Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

1.9 Equacao do Movimento para um Sietema Dinamico Elementar . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Princıpio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 12

1.11 Influencia da gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 12

1.12 Excitacoes na base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 13

2 Estudo de vibracoes livres 14

2.1 Vibracoes livres nao amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

2.1.2 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.2 Vibracoes livres criticamente amortecidas . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

2.3 Vibracoes livres com amortecimento subcrıtico . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.4 Determinacao experimental da taxa de amortecimento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3 Resposta ao Carregamento Harmonico 31

3.1 Sistemas nao amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31

3.1.1 exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.2 Sistemas amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

3.3 Resposta Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 37

4 Carregamentos Periodicos 41

5 Carregamentos Impulsivos 42

6 Carregamentos Genericos 43

4

Capıtulo 1

Introduc ao aos Sistemas Dinamicos

1.1 Introducao

Neste capıtulo sera iniciado o estudo de conceitos ate agora pouco explorados no nıvel de graduacao.

Estudaremos os conceitos que envolvem a formulacao de modelos que explicam o comportamento dos

sistemas mecanicos dinamicos. Ja de inıcio torna-se necessario discutir o que vem a ser umsistema

dinamico, qual a sua definicao, quais suas caracterısticas e mais importante ainda, como se da a mecanica

dos sistemas dinamicos.

1.2 Definicao de Sistema Dinamico

Em ultima analise, um sistema dinamico e aquele, onde uma determinada estrutura, ou elemento estru-

tural esta sujeito a carregamentos que variam no tempo. Esta definicao nos remete a um fato, do qual,

ate agora, nao tinhamos nos percebido, ou ate mesmo, convenientemente “fugido”: O fato de que todas

as cargas variam no tempo. Mas e agora ? quer dizer que toda aquela teoria da estatica que estudamos

esta errada ? Nao e bem assim... Afinal os modelos de analise estatica estao aı em pleno funcionamento.

Mas sigamos adiante na exploracao do conceito de sistema dinamico. Do ponto de vista pratico nenhuma

carga e aplicada estaticamente, uma vez que nenhuma estrutura “nasce” pronta. Os carregamentos sao

adicionados gradativamente, variando com o tempo, ou algu´em acha que e possıvel para um pedreiro

estalar os dedos e assentar todo o piso em todos os andares de um predio ? Uma vez entendido que em

essencia todas as cargas sao dinamicas, vamos agora entender como e que a estatica existe.

Para o analista estrutural, o que realmente interessa sao os efeitos que os carregamentos causam sobre

as estruturas, e entenda-se por efeitos, no caso dos analistas estruturais, osdeslocamentossofridos pelas

estruturas, pois a partir dos deslocamentos sao calculadas as tensoes e deformacoes, possibilitando assim

o processo de dimensionamento racional dos elementos que constituem a estrutura.

Facamos entao uma analogia simples para entender a diferenca entre uma carga “considerada” dinamica e

uma carga “considerada” quasi-estatica: Imaginemos ent˜ao um tanque de agua parada, vamos considerar

a agua contida dentro do tanque como sendo o nosso elemento estrutural. Agora, vamos adicionar uma

esfera de isopor sobre a superfıcie da agua, e vamos fazer isso de dois modos distintos: Em uma ocasiao

colocaremos a esfera com todo o cuidado do mundo, bem devagarinho mesmo. Do outro jeito vamos

simplesmente “jogar” a esfera de uma certa alturah e deixar que ela colida com a superfıcie da agua.

Agora resta-nos analizar o que acontece com a superfıcie daagua nos dois casos de carregamento. E

5

para facilitar nossa analise a unica forca externa considerada e a forca peso da esfera.

No primeiro caso, ocorrerao deslocamentos de modo que surgira na superfıcie d’agua uma calota esferica

onde se acomodara a esfera. Ja no segundo caso, surgirao aquelas famosas ondinhas que aparecem

quando jogamos uma pedra em um lago. Para ser mais cientıfico, a partir do instante em que o impacto

ocorrer, serao formadas ondas de choque concentricas e intercaladas por um determinado perıodo. Por-

tanto a mesma bolinha de isopor provoca efeitos diversos sobre a lamina d’agua dependendo do modo

em que se relaciona com a superfıcie de agua.

Podemos entao distinguir os dois tipos de carregamentos ilustrados pelos seus efeitos. Em um, a estrutura

sai de uma posicao inicial e instantes depois que a carga eaplicada atinge uma posicao deslocada final

que se mantem constante. Em outra, nao existe UMA posicao deslocada final, e sim VARIAS posicoes

de deslocamente que VARIAM com o TEMPO. Ao primeiro carregamento da-se o nome de carrega-

mento quasi-estatico, ou simplesmente, carregamento estatico, como e mais comumente conhecido. Ao

segundo da-se o nome de carregamento dinamico.

De forma bastante simplificada, o carregamento pode ser considerado estatico quando, a velocidade de

aplicacao de carga nao e suficiente para provocar reac˜oes inerciais de massa com intensidade sufici-

ente para interferir nos deslocamentos da estrutura. Ou seja, quando for possıvel desprezar a reacoes

inerciais de massa no calculo dos deslocamentos da estrutura, pode-se dizer que estamos diante de um

carregamento estatico. Quando tais reacoes nao puderem ser desprezadas, estamos entao, diante de um

carregamento dinamico. Mas... o que sao reacoes inerciais de massa ?.

Lembremos que todo sistema tem inercia de movimento, ou seja, tende a permanecer no estado de mo-

vimento em que se encontra. As reacoes inerciais de massa sao aquelas forcas que surgem no sistema

opondo-se a mudanca do estado inercial do mesmo. Veremos melhor isso mais adiante, quando estiver-

mos estudando o princıpio de D’Alambert.

1.3 Objetivos Fundamentais da Analise Dinamica

A analise dinamica, assim como a analise estatica tem como objetivo maior, estudar os efeitos (desloca-

mentos) causados na estrutura devido a acao de uma carga solicitante, com a unica diferenca de que tanto

as cargas solicitantes quanto os deslocamentos resultantes VARIAM no tempo. Uma vez que os desloca-

mentos VARIAM no tempo, o mesmo ocorre com as grandezas derivadas do calculo dos deslocamentos,

ou seja, as tensoes e deformacoes em um sistema dinamicotambem variam com o tempo.

Existem basicamente duas formas diferentes de avaliar a resposta de uma estrutura submetida a carre-

gamentos dinamicos: a determinıstica e a nao determinıstica. A escolha do metodo a ser utilizado na

analise depende do modo que o carregamento e definido. Se osvalores da carga sao plenamente conhe-

cidos ao longo do tempo, este carregamento e chamado de carregamento dinamico prescrito e a analise

dos efeitos de um carregamento dinamico prescrito e feitade modo determinıstico. Por outro lado, se

os valores de carga nao sao exatamente conhecidos ao longodo tempo mas podem ser determinados

estatisticamente, o carregamento e chamado de carregamento dinamico aleatorio. E a analise dos efei-

tos de uma carregamento dinamico aleatorio e feita com t´ecnicas nao determinısticas. Inicialmente e

extremamente importante entender e realizar as analises dinamicas determinısticas, uma vez que as nao

determinısticas podem ser construıdas a partir do conhecimento adquirido com aquelas outras.

6

Como ja dissemos, a resposta estrutural para qualquer carregamento dinamico prescrito e expresso em

termos de dislocamentos que surgem na estrutura. Assim, umaanalise determinıstica nos leva direta-

mente a uma correlacao entre os carregamentos e os deslocamentos ao longo do tempo. Ou seja, a analise

dinamica consiste em investigar como se comporta a relac˜aoCarga× Deslocamentoao longo do tempo.

As outras grandezas de interesse, tais como tensoes e deformacoes sao obtidas em uma segunda fase da

analise dinamica, onde sao obtidos os historicos das grandezas de interesse ao longo do tempo.

1.4 Tipos de Carregamentos Dinamicos Prescritos

Quase todos os tipos de estrutura sao submetidas, em algum momento de sua vida util, a carregamentos

dinamicos de alguma especie, basta citar, apenas como exemplo, que as cargas oriundas do vento sao

considereadas dinamicas. Do ponto de vista analıtico, econveniente dividir os carregamentos dinamicos

prescritos em duas categorias: Os periodicos e os nao periodicos. Alguns exemplos de carregamentos

dinamicos prescritos e algumas situacoes onde esses tipos de carregamento podem ocorrer sao apresen-

tadas na Figura 1.1.

��

��

��

��

��

��

��

(a)

(b)

(c)

(d)

em uma casa demáquinas

Hélice do propulsorde um navio

Terremoto sobreum reservatóriode água

Motor desbalanceadoPeriódicos

Não Periódicos Violento deslocamentode ar devido a umaexplosão

Figura 1.1: Exemplos de carregamentos dinamicos precritos

7

Como pode ser visto na Figura 1.1, um carregamento periodico exibe a mesma variacao de intesidade,

suscessivamente, durante um grande numero de ciclos. O carregamento periodico mais simples que

existe e aquele que apresenta a variacao de intensidade na forma senoidal, assim como e mostrado na

Figura 1.1a. Esse tipo de carregamento e mais conhecido comoHarmonico Simples. Na mesma Figura

1.1 sao apresentadas algumas formas de carregamento dinamico periodico tais como aqueles causados

pela pressao hidrodinamica de uma helice propulsora de navio, ou aquelas cargas oriundas da acao de

maquinas desbalanceadas sobre estruturas de casa de maquinas ou de qualquer ambianete destinado a

maquinaria. No caso dos exemplos citados, a analise do casoda helice e mais complexo do que aquele

dos motores, porem a utilizacao das series de Fourier facilitam consideravelmente a analise.

Os carregamentos nao periodicos tanto podem ser de curta duracao, tais como as cargas impulsivas, ou

de longa duracao assim como a acao de vento em estruturas. Quando um aviao rompe a barreira do som,

provoca uma especie de explosao que desloca violentamente as massas de ar no local do fenomeno. Esse

deslocamento de ar repentino e violento provoca pressoes sobre as superfıcies das edificacoes vizinhas,

e em alguns casos chega a trincar ou a quebrar as esquadrias externas das edificacoes. O mesmo ocorre

quando algum outro tipo de explosao provoca o deslocamentodas massas de ar, e por esse motivo que

muitos predios proximos a atentados terroristas a bomba apresentam enorme quantidade de vidros que-

brados. O deslocamento violento do ar devido a explosoes eum exemplo classico de cargas dinamicas

impulsivas (nao periodicas). A acao dos terremotos sobre as estruturas de edifıcios e um tipo de carrega-

mento nao periodico. As cargas transmitidas as estruturas nao tem uma distribuicao periodica ao longo

do tempo, apresentando oscilacoes aleatorias parecidas com aquelas mostradas no grafico da Figura 1.1d.

1.5 Caracterıticas Essenciais de um Problema Dinamico

Um problema dinamico difere de uma analise estatica no que diz respeito a dois importantes aspectos.

A primeira diferenca a ser notada, por definicao, e que o carregamento dinamico varia no tempo, pois e

da propria natureza do problema dinamico. Devido ao fato de tanto o carregamento quanto os desloca-

mentos variarem no tempo, e evidente que os problemas dinamicos nao tem uma solucao unica, assim

como acontece com a analise estatica. Ao inves disso os problemas dinamicos apresentam uma colecao

de solucoes, cada uma delas correspondendo a um instante de tempo especıfico. Portanto, como alguns

ja devem estar percebendo, a analise dinamica consome consideravelmente mais tempo que a analise

estatica.

A segunda, e principal diferenca entre as analises estatica e dinamica e ilustrada na Figura 1.2. Se uma

simples barra bi-apoiada e submetida a um carregamento estatico P, conforme e mostrado na Figura

1.2a, seus esforcos internos e os deslocamentos dependem apenas do valor dessa cargaP e podem ser

calculados atraves das equacoes de equilıbrio de forcas disponıveis na Estatica. Por outro lado, se e

aplicado um carregamento dinamicoP(t), assim como e mostrado na Figura 1.2b, os deslocamentos

nao dependem somente do valor deP(t), mas tambem dependem das forcas inerciais que se opoe as

aceleracoes que surgem no interior da barra. Desse modo, os esforcos internos passam a depender das

aceleracoes que surgem na barra devido a aplicacao da cargaP(t).

As forcas inerciais que resistem as aceleracoes da estrutura, sao deste modo, a mais importante carac-

terıstica distintiva do probelma dinamico em relacao ao problema estatico. Portanto, de modo geral,

pode-se dizer que se as forcas inerciais exercem significante papel no equilıbrio da estrutura, estamos

8

��

��

��

��

��

��

��

��

P P(t)

(a) (b)forças inerciais

Figura 1.2: Diferenca basica entre a analise estatica ea analise dinamica

tratando de um problema dinamico, ao passo que se essas mesmas forcas inerciais podem ser negligen-

ciadas quando da analise do equilıbrio da estrutura, estamos diante de um problema estatico.

Outra grandeza importante na analise dinamica e o amortecimento, ou em outras palavras, o mecanismo

de dissipacao de energia que tende a dissipar a energia queprovoca os deslocamentos dinamicos fa-

zendo com que eles diminuam ao longo do tempo. Mais adiante faremos maiores consideracoes sobre o

amortecimento em sistemas dinamicos.

1.6 Formulacao das Equacoes do Movimento

Como ja foi mencionado anteriormente, o principal objetivo da analise de estruturas submetidas atraves

de metodos dinamicos determinısticos e o calculo dos deslocamentos ao longo do tempo para uma dada

estrutura sujeita a um carregamento dinamico prescrito. Em muitos casos, uma analise aproximada,

considerando apenas alguns graus de liberdade dinamica esuficiente para gerar resultadados com uma

precisao satisfatoria. Desse modo o problema consiste nadeterminacao dos historicos de deslocamento

de alguns pontos especıficos da estrutura. Calcular os deslocamentos nesses pontos discretos da estrutura

e suficiente para descrever o comportamento da mesma (como um todo) devido a acao da carga dinamica.

As expressoes matematicas que descrevem o equilıbrio emqualquer ponto da estrutura sao chamadas

de equacoes do movimentoda estrutura, e e a solucao dessas equecoes que nos fornece o valor dos

deslocamentos (ao longo do tempo) da estrutura nos pontos especificamente estudados.

A formulacao das equacoes do movimento para um sistema dinamico e possivelmente o passo mais im-

portante, e algumas vezes, o mais difıcil em todo o processode analise dinamica. Existem na literatura,

varios metodos disponıveis para a formulacao dessas equacoes, cada um deles apresentando especifici-

dades que os tornam mais adequados a esta ou a aquela situac˜ao. Independente de qual seja o metodo

utilizado na obtencao das equacoes do movimento, e necessario saber como as forcas inerciais de massa

sao matematicamente representadas. Deduziremos essa equacao, usando o princıpio de D’Alambert.

1.7 O Princıpio de D’Alambert

As equacoes do movimento de qualquer sistema dinamico representam expressoes da segunda lei do

moviemto de Newton, que diz que a taxa de variacao da quantidade de movimento de qualquer partıcula

de massam e igual a forca que esta agindo sobre essa partıcula. Esta relacao pode ser matematicamente

expressa pela seguinte equacao diferencial:

9

P(t) =ddt

(

mdudt

)

(1.1)

OndeP(t) e o vetor forca aplicada eu(t) e o vetor posicao da partıcula de massam. Felizmente, para

a grande maioria dos problemas de nosso interesse a massa do sistema permanece constante, o que nos

leva a reescrever a Equacao (1.1) do seguinte modo:

P(t) = md2udt2

≡ mu(t) (1.2)

Onde os dois pontos significam a derivada segunda em relacao ao tempo. A Equacao (1.2) indica que

para os sistemas onde a massa e constante em relacao ao tempo, a forca aplicada e igual ao produto da

massa pela aceleracao. Uma outra forma tambem usada paraa mesma equacao e a seguinte:

P(t)−mu(t) = 0 (1.3)

Ondemu(t) e chamado deforca inercial de resistencia a aceleracao da massa. O conceito de que a

aceleracao da massa de um sistema gera o surgimento de forc¸as ierciais proporcionais a aceleracao dos

sistema e conhecido como o Princıpio de D’Alambert.E uma abordagem bastante conveniente em pro-

blemas de analise estrutural dinamica porque permite queas equacoes do movimento sejam expressa

na formas de equacoes de equilıbrio dinamico. Podem existir para a forcaP(t) diversas funcoes que

expressem as mais variadas formas de carregamento agindo emum sistema onde a massa pode ser con-

centrada. A forcas elasticas que se opoe aos deslocamentos assim como tambem as forcas viscosas que

se opoe as velocidades podem ser facilmente incluıdas nessa formulacao das equacoes do movimento,

permitindo levar em consideracao a elasticidade dos corpos e o amortecimento do movimento. Para os

problemas que estudaremos, esta abordagem para a obtencao das equacoes do movimento se mostrara

bastante conveniente, porem nao devemos esquecer que existem outras abordagens mais convenientes

em outras situacoes, como pro exemplo, o princıpio dos trabalhos virtuais, que tambem pode ser utili-

zado na formulacao das equacoes do movimento em sistemas dinamicos mais complexos, envolvendo

um grande numero de graus de liberdade dinamica.

1.8 Sietema Dinamico Elementar

As propriedades fısicas essenciais de qualquer sistema dinamico linear elastico, ou sistema mecanico

sujeito a uma excitacao externa ou carregamento dinamico, que leva em consideracao a massa e as

energias dissipativas do sistema podem ser definidas a partir do modelo simplificado apresentado na

Figura 1.3, que define o que chameremos de Sistema Dinamico Elementar, que e o sistema dinamico de

um grau de liberdade mais simples que pode existir.

Toda a massa do sistema e incluıda em um bloco rıgido que esta apoiado sobre dois roletes de tal modo

que somente possa existir um unico movimento de translac˜ao, controlado pelo deslocamentou(t), que

define a posicao do bloco para qualquer instante de tempot. A resistencia elastica aos deslocamentos

e proporcionada pela mola de massa despresıvel e de constantek, equanto o mecanismo de dissipacao

de energia (amortecimento) e representado pelo amortecedor C. O carregamento dinamico externo que

solicita o sistema e representado pela funcao de carregamentoP(t).

10

u(t) u(t)

fI

fD(t)

fS(t) P(t)

��

��

��

��

m

(a) (b)

C

k

P(t)

Figura 1.3: Sistema Dinamico Elementar

1.9 Equacao do Movimento para um Sietema Dinamico Elementar

A equacao do movimento para um sistema dinamico elementar e mais facilmente obtida a partir da

aplicacao direta do princıpio de D’Alambert, expressando o equilıbrio de todas as forcas que atuam

no sistema. Assim como e mostrado na Figura 1.3b sao quatro as forcas que atuam na direcao do

grau de liberdade dinamica: 1) A solicitacao externaP(t), 2) As forcas inerciaisfI , 3) As forcas de

amortecimentofD e 4) As forcas de molafS. A equacao do movimento e simplesmente a expressao do

equilıbrio dessas quatro forcas, sendo escrita do seguinte modo:

fI (t)+ fD(t)+ fS(t) = P(t) (1.4)

Cada uma das forcas do lado esquedo da Equacao (1.4) e umafuncao do deslocamentou(t), ou de alguma

de suas derivadas.

De acordo com o princıpio de D’Alambert, a forca inercial ´e o produto da massa pela aceleracao, assim:

fI (t) = mu(t) (1.5)

Assumindo a hipotese de que o amortecimento e viscoso, a forca de amortecimento e proporcional a

velocidade de acordo com a seguinte equacao:

fD(t) = cu(t) (1.6)

E finalmente, a forca elastica e igual ao produto entre o deslocamento e a constante de mola, portanto:

fS(t) = ku(t) (1.7)

Quando substituimos as Equacoes (1.5 - 1.7) na Equacao (1.4) temos a seguinte equacao do movimento:

mu(t)+cu+ku(t) = P(t) (1.8)

Portanto, a Equacao (1.8) e a equacao do movimento paraum sistema dinamico elementar, obtida a partir

da aplicacao direta do princıpio de D’Alambert na determinacao das forcas inerciais de massa.

11

1.10 Princıpio dos trabalhos virtuais

1.11 Influencia da gravidade

Para analisar-mos a influencia da gravidade nos problemas dinamicos examinemos o sistema mecanico

apresentado na Figura 1.4

∆e

��

��

m

P F(t)

m

m u(t) U(t)

Figura 1.4: Influencia da gravidade

No sistema apresentado na Figura 1.4, temos um sistema mecanico elementar de um grau de liberdade

sujeito a acao da gravidade e tambem a uma acao dinamicaF(t). Devido a acao exclusiva da forca peso,

o bloco rıgido de massam ”desce” uma distancia∆e e la permaneceria se somente o peso atuasse sobre o

bloco. Esse deslocamento devido ao peso sera considerado estatico, uma vez que a estrutura em poucos

instantes assume uma configuracao de equilıbrio estatico, e tambem porque o peso ja ”nasce” com a

estrutura.

Portanto, o deslocamento dinamicou(t) (u pequeno) sera medido a partir da posicao de equilıbrio

estatico. de modo que um deslocamento totalU(t) (U grande) provocado pela acao conjunta do peso e

do carregamento dinamico sera medido a partir de um referencial de posicao do sistema sem a atuacao

dessas forcas. (apenas didaticamente, uma vez que nao dapara tirar o peso da estrutura).

Assim, se escrevermos a equacao do movimento para o referencial de deslocamentoU(t) (U grande)

teremos:

MU +CU +KU = P+F(t) (1.9)

ComoU(t) = u(t)+∆e, teremos que:

Mu+M∆e+Cu+C∆e+Ku+K∆e = P+F(t) (1.10)

Uma vez que∆e e um deslocamento estatico, provocado por um carregamento estatico (Peso), tanto sua

velocidade de aplicacao quanto o campo de aceleracoes provocados pela acao do peso sao nulos, assim

∆e = ∆e = 0. O que nos leva a reescrever a Equacao (1.10) como sendo:

12

Mu+Cu+Ku+K∆e = P+F(t) (1.11)

Sabemos ainda que∆e e um deslocamento causado exclusivamente pelo peso, e que apartir do equilıbrio

estatico, determina-se queK∆e = P, assim, temos que:

Mu+Cu+Ku+P = P+F(t) (1.12)

O que nos leva a:

Mu+Cu+Ku= F(t) (1.13)

Que nos permite concluir que o peso nenhuma influencia exerce sobre a resposta dinamica do sistema,

e que se quisermos calcular o deslocamento total em um sistema dinamico sujeito a gravidade basta

acrescentar aos deslocamentos dinamicos do sistema, os deslocamentos estaticos causados pelo peso.

1.12 Excitacoes na base

13

Capıtulo 2

Estudo de vibracoes livres

O primeiro problema dinamico que analisaremos e o estudo das vibracoes livres, ou seja, estudaremos

o que acontece com um sistema dinamico quando nao submetido a nenhum carregamento ou excitacao

externa. Matematicamente falando, estudar vibracoes livres e o mesmo que fazerF(t) = 0 na equacao

do movimento. Assim, termos que:

Mu+Cu+Ku= 0 (2.1)

A Equacao (2.1) e umaequacao diferencial ordinaria homogenia de segunda ordem. E em nosso

curso assumiremos que o estudante tenha uma familiaridade mınima com o assundo de forma a permir

o entendimento do tratamento matematico que sera dado a solucao do problema.

A solucao de uma equacao diferencial e uma funcao, e no caso da equacao do movimento deve ser

uma funcao contınua com primeira e segunda derivadas tambem contınuas, e umbom palpite para essa

funcao que e resposta da equacao do movimento e a funcao:

u(t) = G est (2.2)

Onde G e uma constante complexa que dependera das condic˜oes iniciais do problema.

Supondo que nosso palpite esteja correto, teremos que:

u(t) = G est

u(t) = G.s est

u(t) = G.s2 est (2.3)

Assim, substituindo as Equacoes (2.3) na Equacao (2.1), teremos que:

M G.s2 est +C G.s est +KG est = 0 (2.4)

ColocandoG.est em evidencia teremos que:

G.est.(M s2 +C s+K

)= 0 (2.5)

Como G.est 6= 0, forcosamente teremos que a solucao equacao algebrica M s2 +C s+ K = 0 sera a

solucao da equacao do movimento proposta em (2.1). No estudo das equacoes diferenciais chama-se a

14

equacao algebricaM s2+C s+K = 0 de equacao caracterıstica do problema.

Dividindo todos os termos da equacao caracterıstica porM, teremos que:

s2+CM

.s+KM

= 0 (2.6)

Lembrando ainda queKM = ω2, ondeω e a frequencia natural circular do sistema, teremos que:

s2+CM

.s+ω2 = 0 (2.7)

A equacaos2+ CM .s+ω2 = 0 e uma equacao do segundo grau cuja a solucao e dada por:

s1,2 =−C

M ±√(C

M

)2−4ω2

2(2.8)

Ou rearranjado em um modo mais conveniente, a solucao da equacao caracterıstica e dada por:

s1,2 = − C2M

±

√(

C2M

)2

−ω2 (2.9)

A Equacao (2.9) e a solucao geral da equacao caracterıstica para todos os casos de vibracoes livres.

Veremos agora alguns casos especıficos de vibracoes livres, que essencialmente dependerao do amorte-

cimento do sistema mecanico.

2.1 Vibracoes livres nao amortecidas

Nos casos de vibracoes nao amortecidas(C = 0) teremos por solucao da equacao caracterıstica:

s1,2 = ±√

−ω2 = ± iω (2.10)

Deste modo, e lembrando que se duas funcoes linearmente independentes sao solucoes de uma equacao

diferencial, entao a soma dessas funcoes sera a soluc˜ao completa da equacao diferencial, e como as

duas solucoesS1 = iω eS2 = −iω sao linearmente independentes, substituindo ambas na equacao (2.2),

teremos como solucao geral para vibracoes nao amortecidas a Equacao (2.11):

u(t) = G1 eiωt +G2 e−iωt (2.11)

OndeG1 e G2 sao constantes complexas que dependem das condicoes iniciais do problema.

Lembrando que o valor de qualquer funcao em um ponto espec´ıfico pode ser obtido a partir da expansao

em serie de Taylor apresentada na Equacao (2.12):

f (x) =∞

∑n=0

f n(a)

n!(x−a)n (2.12)

Temos que expandindo a funcaoex em torno do pontoa = 0, obteremos que:

15

ex =∞

∑n=0

f n(0)

n!(x)n = 1+

x1

1!+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ ... (2.13)

Assim, podemos expandireiωt em torno do pontoa = 0, de forma que:

eiωt = 1+iωt1

+(iωt)2

2!+

(iωt)3

3!+

(iωt)4

4!+

(iωt)5

5!+

(iωt)6

6!+ ... (2.14)

Lembrando que:

i = ii2 = −1i3 = −ii4 = 1i5 = ii6 = −1···

(2.15)

E agrupando os termos reais e os termos imaginarios, podemos reescrever a Equacao (2.14) na forma da

Equacao (2.16):

eiωt =∞

∑n=0

(−1)n

2n!(ωt)2n + i

(∞

∑n=0

(−1)(2n+1)

(2n+1)!(ωt)(2n+1)

)

(2.16)

Analisando a Equacao(2.16), observamos que o termo real corresponde a expansao em serie de Taylor

da funcao cosseno deωt ao passo que o somatorio que multiplicai e a expansao em da funcao seno de

ωt. Substituindo esses valores na Equacao (2.11), teremos que:

u(t) = G1(cos(ωt)+ i sen(ωt))+G2(cos(ωt)− i sen(ωt)) (2.17)

Agrupando os termos comuns da Equacao (2.17), temos:

u(t) = (G1+G2)cos(ωt)− (G1+G2)sen(ωt) (2.18)

Lembrando queG1 eG2 sao constantes complexas dadas por:

G1 = G1R+ i G1I

G2 = G2R+ i G2I (2.19)

Substituindo (2.19) em (2.18), teremos:

u(t) = {(G1R+ i G1I )+(G2R+ i G2I )}cos(ωt)−{(G1R+ i G1I )+(G2R+ i G2I )}sen(ωt) (2.20)

Efetuando as multiplicacoes e somas necessarias, e fazendo as simplificacoes possıveis na Equacao

(2.20), chegaremos a:

16

u(t) = cos(ωt)(G1R+G2R)+sen(ωt)(−G1I +G2I ) i sen(ωt)(G1R−G2R)+ i cos(ωt)(G1I +G2I )

(2.21)

Agrupando os termos reais e imaginarios separadamente, teremos que:

u(t) = (G1R+G2R)cos(ωt)− (G1I −G2I )sen(ωt)+ i {(G1I +G2I )cos(ωt)+(G1R−G2R)sen(ωt)}(2.22)

Como o deslocamento u(t) deve ser real, teremos que:

G1I = −G2I = GI

G1R = G2R = GR (2.23)

Portanto,

G1 = GR+ i GI

G2 = GR− i GI (2.24)

Assim, a Equacao (2.24), contem o valor das constantes complexasG1 e G2 que aparecem na Equacao

(2.18). Substituindo os valores deG1 e G2 expressos em (2.24) na equacao (2.18), teremos que:

u(t) = 2GRcos(ωt)−2GIsen(ωt) (2.25)

FazendoA = 2GR eB = −2GI na Equacao (2.25), chegaremos a:

u(t) = A.cos(ωt)+B.sen(ωt) (2.26)

Onde A e B sao constantes reais que dependem das condicoesiniciais do problema, ou seja dependem

da posicao inicialu(0) e da velocidade inicial ˙u(0).

Fazendou = 0 na Equacao (2.26), teremos que:

A = u(0) (2.27)

Derivando a Equacao (2.26) em funcao do tempo, teremos:

u(t) = −Aωcos(ωt)+Bωsen(ωt) (2.28)

Fazendou = 0 na Equacao (2.28), teremos que

u(0) = Bω ⇒ B =x(0)

ω(2.29)

Assim substituindo os valores de A e B encontrados na Equac˜oes (2.27) e (2.29) na Equacao (2.26),

teremos que a solucao da equacao do movimento para vibracoes livres nao amortecidas sera dada por:

17

u(t) = u(0).cos(ωt)+u(0)

ω.sen(ωt) (2.30)

Ondeu(0) e u(0) sao as condicoes iniciais do problema.

Vejamos um exemplo para entender melhor o movimento da vibracao livre nao amortecida: Considere-

mos que o sistema indicado na Figura 2.1.

��

��

m

m

2 mm

u(t)

P = 20.000 N

K = 2 x 10 N / m6

Figura 2.1: Exemplo de movimento de vibracoes livres naoamortecidas

No sistema apresentado na Figura 2.1 um bloco que pesa 20.000Newtons cuja rigidez do sistema e

de 2×106 N/m e deslocado 2mm de sua posicao de equilıbrio conforme indicado na figura e logo em

seguida abandomado, com velocidade inicial nula, em movimento livre e nao amortecido. Vejamos agora

como descrever o movimento do sistema ao longo do tempo:

Inicialmente determinaremos a frequencia angular (ω)do sistema:

ω =√

KM

M =P~g

=20000

10.Nms2

= 2000N.s2

m

K = 2×106N/m

ω =√

2×106

2×103 = 31.623rad/s

Deslocar 2mm a partir do equilıbrio, significa queu(0) = 0,02 m e ser abandonado com velocidade

inicial nula significa ˙u(0) = 0, logo a equacao desse movimento sera dada por:

u(t) = 0,02.cos(31,623t)+0

31,623.sen(31,623t)

18

Como o termo que depende da velocidade inicial e nulo, teremos que:

u(t) = 0,02.cos(31,623t)

Na Figura 2.2, apresenta-se o historico do deslocamentou(t), em funcao do tempot.

T = 2πω

u(0)

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.2: Grafico do movimento de vibracoes livres naoamortecidas

Em um caso mais geral podemos supor que o movimento inicie comvelocidade de 6 m/s. Neste caso,

terıamos a seguinte equacao do movimento:

u(t) = 2.cos(31,623t)+6

31,623.sen(31,623t)

O que nos conduz ao grafico de movimento apresentado na Figura 2.3

u(0)

ωθ− ω

θt +

u(0)

ρ

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.3: Grafico do movimento de vibracoes livres naoamortecidas com velocidade inicial

19

Observe agora, com velocidade inicial nao nula existe uma certa defasagem no movimento quando

comparado ao apresentado na Figura 2.2, onde a velocidade inicial era nula. Essa defasagem e provocada

pela parcelau(0)

ω.sen(ωt) Ou seja, a parcela da velocidade inicial faz com que o sistemava mais longe

(tenha uma amplitude maior), fazendo com que ele demore um pouco mais para retornar para a posicao

de equilıbrio. Analisando o grafico da Figura 2.4, pode-seperceber essa diferenca.

defasagem de amplitude

defasagem de tempo

−3

−2

−1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Velocidade inicial nulaVeloc inicial dif de zero

Figura 2.4: Defasagens entre os movimentos

Uma outra forma de interpretar graficamente esse movimento esta apresentada na Figura 2.5.

ωttω

t+ θ)(ωω

u(0)

u(0)

ρ

+2

+1

u(t)

Im

−1

−2

ρ

u(0) − θ

Re

Figura 2.5: Defasagens entre os movimentos - analise parametrizada no cırculo

No cıculo da Figura 2.5 apresenta-se a parametrizacao daEquacao (2.30), de modo que a posicao do

sistema e dada pela soma dos vetoresu(0) eu(0)

ω, vetores esses que serao sempre ortogonais e estao

girando em torno da posicao de equilıbrio com velocidadeangularωt. Uma vantagem dessa interpretacao

e que permite calcular de forma mais compacta algumas vari´aveis e parametros de interesse, como o

angulo de faseθ, a amplitudeρ e a posicaou(t) do sistema para um dado instante de tempot qualquer.

20

Analisando o cırculo percebemos que o angulo de defasagementre os dois movimentos pode ser obtido

como sendo:

θ = atan

( −u(0)ω

u(0)

)

= atan

(−u(0)

ω u(0)

)

(2.31)

Ja a aplitudeρ e dada por:

ρ =

√

(u(0))2+

(u(0)

ω

)2

(2.32)

E, se desejamos a posicao do sistema em um dado instante de tempo, teremos que:

u(t) = ρ.cos(ωt +θ) (2.33)

2.1.1 exemplo

Considere uma viga simplesmente apoiada com uma mossa aplicada no meio do vao conforme indica

a figura 2.6. Sabendo que a mossa pesa 45.000 Newtons e que o peso proprio da viga e desprezıvel

para esse problema, determine a equacao do movimento do sistema e esboce o grafico do movimento,

considerando o mesmo nao amortecido e que a mossa e deslocada 20 mm de sua posicao de equilıbrio

e depois abandonada com velocidade inicial nula. Considereque a inercia da secao transversal vale

8,325×10−5 m4, que o modulo de elasticidade linear e igual a 2,0×1011 N/m2, que o vao da viga e

de 6 metros e que a aceleracao da gravidade vale 10m/s2.

��

��P

L/2 L/2

Figura 2.6: Viga com mossa no meio do vao

Primeiramente, calculamos a massa do sistema:

M =P~g

=45000

10N

m/s2 ⇒ M = 4500N.s2/m

Depois calculamos a rigidez de mola na direcao do movimento (a rigidez que a viga oferece no meio do

vao) que pode ser facilmente encontrada em tabelas de livros de resistencia dos materiais ou teoria das

estruturas:

K =48EI

L3 =48×2×1011×8,325×10−5

63

Nm2 ×m4× 1

m3 = 3,7×106 Nm

Agora podemos calcular a frequencia angular do sistema:

ω =

√

KM

=

√

3,7×106

4500N/m

N.s2/m= 28,674rad/s

21

Agora podemos calcular o perıodo:

T =2×π

ω=

2×π28,674

= 0,21912s

E a frequenciaf :

f =1T

=1

0,21919= 4.5637Hz

Em termos gerais a equacao do movimento para vibracoes livres nao amortecidas e dada por:

u(t) = u(0)cos(ω t)+u(0)

ωsen(ω t)

Como:

u(0) = 0,02mu(0) = 0 m/s

Temos a equacao do movimento dada por:

u(t) = u(0)cos(ω t)

Cujo grafico e apresentado na Figura 2.7:

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.7: Deslocamento para viga com mossa no meio do vao

2.1.2 exemplo

Considere agora que a mesma viga do exemplo anterior inicia omovimento com velocidade inicial de

6 m/2. Para essa situacao calcule o angulo de fase, a amplitude do sistema e esboce o grafico do novo

movimento.

O angulo de fase e dado pela Equacao (2.31), entao:

22

θ = atan

(u(0)

ω u(0)

)

= atan

(60

28,674×0,02

)

= 1,5612rad

A amplitude e dada pela Equacao (2.32), entao:

ρ =

√

(u(0))2 +

(u(0)

ω

)2

=

√

(0,02)2+

(6

28,674

)2

= 0,21020m

A Equacao do movimento pode ser dada pela Equacao (2.30)

u(t) = 0,02.cos(28,674t)+6

28,674.sen(28,674t)

Cujo grafico do movimento e apresentado na Figura 2.8:

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.8: Deslocamento para viga com mossa no meio do vao

O grafico da Figura (2.9), permite verificar a defasagem entre os movimentos com e sem velocidade

inicial.

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.9: Comparacao entre movimentos de viga com mossa

23

2.2 Vibracoes livres criticamente amortecidas

Para que um sistema em vibracoes livres esteja criticamente amortecido, e necessario que apos retirado

da posicao inicial de equilıbrio, retorne a mesma sem oscilacoes. Em termos matematicos basta que o

radical da solucao geral para vibracoes livres seja nulo. A solucao geral para vibracoes livres e dada pela

Equacao (2.9), e fazendo o radical igual a zero nesta equac¸ao teremos o amortecimento crıtico dado por:

Cc = 2ωM (2.34)

Substituindo o amortecimento crıtico na solucao geral teremos que:

s1,2 = − Cc

2M±

√(

Cc

2M

)2

−ω2 (2.35)

Deste modo, a solucao geral da equacao caracterısticapara vibracoes livres com amortecimento crıtico e

dada por:

s1,2 = −ω (2.36)

Substituindo a solucao geral na equacao do movimento teremos que:

u(t) = (G1+G2 t))e−ω t (2.37)

OndeG1 e G2 sao constantes reais, uma vez que a solucao da equacao caracterıstica nao apresenta

termos imaginarios. Aplicando as condicoes iniciais para a Equacao (2.37), pode-se reescreve-la da

seguinte forma:

u(t) = [u(0)× (1+ω t)+ u(0) t]e−ω t (2.38)

2.2.1 exemplo

Considere que o sistema dinamico apresentado na Figura 2.10 esta submetido a um amortecimento

crıtico. Nesse sistema a massa e deslocada 2 mm de sua posic¸ao de equilıbrio e depois abandonada

com velocidade inicial nula.

��

��

m

m

2 mm

u(t)

P = 20.000 N

K = 2 x 10 N / m6

Figura 2.10: Exemplo de movimento de vibracoes livres criticamente amortecidas

24

Inicialmente determinaremos a frequencia angular (ω)do sistema:

ω =√

KM

M =P~g

=20000

10.Nms2

= 2000N.s2

m

K = 2×106N/m

ω =√

2×106

2×103 = 31.623rad/s

Deslocar 2mm a partir do equilıbrio, significa queu(0) = 0,02 m e ser abandonado com velocidade

inicial nula significa ˙u(0) = 0 m/s, logo a equacao desse movimento sera dada por:

u(t) = [0,02× (1+31,623t)]e−31,623t

O grafico do movimento e o apresentado na Figura 2.11.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Figura 2.11: Grafico de movimento criticamente amortecido

Supondo que a massa fosse abandonada com velocidade inicialde 20m/s, a equacao do movimento seria

dada por:

u(t) = [0,02× (1+31,623t +20 t)]e−31,623t

Sendo o movimento representado no grafico da Figura 2.12.

Pode-se notar que nos casos em que o amortecimento e crıtico nao existe oscilacao em torno da posicao

de equilıbrio. As estruturas assim que retiradas de sua posicao original retornam a mesma sem nenhuma

oscilacao.

25

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Figura 2.12: Grafico de movimento criticamente amortecidocom velocidade inicial

2.3 Vibracoes livres com amortecimento subcrıtico

Um outro caso de interesse para a analise estrutural e o caso das vibracoes livres submetidas a um

amortecimento subcrıtico. Alias esta e a realidade da grande maioria das estruturas de Engenharia Civil.

Ja vimos que nos casos em que o amortecimento e crıtico, o radical presente na solucao da equacao

caracterıstica deve ser nulo. Como amortecimento subcrıtico obviamente significa amortecimento abaixo

do critico, teremos que o mesmo radical da mesma solucao deve ser negativo, senao vejamos: A solucao

geral da equacao caracterıstica e dada pela Equacao (2.9), reescrita a seguir:

s1,2 = − C2M

±

√(

C2M

)2

−ω2

Ja sabemos que o amortecimento crıtico e dado pela Equacao (2.34), desse modo podemos obter uma

razao de amortecimento em relacao ao amortecimento crıtico dada por:

ξ =CCc

(2.39)

ComoC < Cc, teremos queξ < 1, e podemos representar a solucao geral da equacao caracterıstica dada

por:

s1,2 = − C2M

±

√(

C2M

)2

−ω2 (2.40)

Substituindo (2.39) em (2.40), e lembrando queCc = 2ωM teremos:

s1,2 =ξ2ωM

2M±

√(

ξ 2ωM2M

)2

−ω2 (2.41)

26

Assim, a solucao geral da equacao caracterıstica paravibracoes livres sujeitas a amortecimento subcrıtico

e dada por:

s1,2 = −ξω±√

(ξω)2−ω2

s1,2 = −ξω±√

−ω2× (1−ξ2)

s1,2 = −ξω±−iω√

1−ξ2

(2.42)

Por analogia com o movimento nao amortecido, poderemos calcular uma frequencia angular amortecida

dada por:

ωD = ω√

1−ξ2 (2.43)

Desse modo, podemos reescrever a Equacao (2.42) do seguinte modo:

s1,2 = −ξω± i ωd (2.44)

Substituindo as solucoes da equacao caracterıstica na equacao do movimento teremos que:

u(t) =

[

u(0)cos(ωD t)+

(u(0)+u(0)ξω

ωD

)

sen(ωD t)

]

e−ξω t (2.45)

Ou de modo alternativo:

u(t) = ρcos(ωD t +θ)e−ξω t

ρ =

√

u(0)2+

(u(0)+u(0)ξω

ωD

)2

θ = atan

(u(0)+u(0)ξω

u(0) ωD

)

(2.46)

Note que para para baixos valores de amortecimento(ξ < 0,20), o que e comum no caso de estruturas

civis, a razao de frequenciaωD/ω dada pela Equacao (2.43) e muito proxima da unidade. Nestes casos

a relacao existente entre a razao de amortecimento e a frequencia amortecida pode ser graficamente

representada como um cırculo de raio 1, conforme mostra a figura 2.13.

2.3.1 exemplo

Consideremos que o sistema apresentado na Figura 2.10 apresentasse agora um amortecimento subcrico

de 20%, ou seja,ξ = 0,20. Consideremos ainda que o sistema foi retirado do repouso, deslocado em

2 mm e dopois abandonado com velocidade inicial nula. Admtindo as mesmas propriedades elasticas e

mecanicas podemos calcular a frequencia angular amortercida, como sendo:

ωD = 31,623√

1− (0,20)2 = 30,948rad/s

Considerando as condicoes iniciasu(0) = 0,02m e u(0) = 0 m/s, teremos que:

27

ωD

ξ

ω

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.13: Razao entre as frequencias angulares em funcao do taxa de amortecimento

u(t) = [0,02cos(30,948t)]e−0,20×31,623t

Ou entao:

u(t) = [0,02cos(30,948t)]e−6,3246t

Portanto, o grafico do movimento e apresentado na Figura 2.14

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.14: Grafico de movimento com amortecimento subcr´ıtico

Supondo agora que a massa fosse abandonada com velocidade inicial de 20m/s, a equacao do movimento

seria dada por:

28

u(t) =

[

0,02cos(30,948t)+

(20+0,02ξω

30,948

)

sen(30,948t)

]

e6,3246t

Consideremos agora o sistema da Figura 2.10 deslocado 2 mm dorepouso e colocado em movimento

com a mesma velocidade inicial, e vejamos a comparacao entre os movimentos de vibracoes livres nao

amortecidas, criticamente amortecidas e subcriticamenteamortecidas. Essa comparacao esta apresentada

no grafico 2.15.

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura 2.15: Comparacao geral dos movimentos de vibrac˜oes livres

2.4 Determinacao experimental da taxa de amortecimento

Devemos ter em mente que as verdadeiras caracterısticas deamortecimento para sistemas estruturais

dinamicos sao muito difıceis de serem determinadas. Entretanto, e uma pratica comum expressar o

amortecimento desses sistemas reais em termos das razoes de amortecimento visco-elasticoξ, que apre-

senta taxas de decaimento similar as obtidas nas condicoes de vibracoes livres.

Existem experimentos que permitem obter a taxa de amortecimentoξ com base na observacao dos deslo-

camentos do movimento em vibracoes livres. Podemos considerar por exemplo dois picos suscesivosun

eun+1 para um determinado movimento que ocorrem precisamente nostemposn(

2πωD

)

e (n+1)(

2πωD

)

.

Substituindo os temposn(

2πωD

)

e (n+1)(

2πωD

)

. na Equacao (2.46), chegaremos a:

un

un+1= e(2 π ξ ω/ωD) (2.47)

Aplicando o logarıtimo neperiano em ambos lados da Equac˜ao (2.47), e substituindoωD = ω√

1−ξ2,

podemos obter o chamado decremento logarıtimico do amortecimento (δ), definido como sendo:

δ ≡ lnun

un+1=

2πξ√

1−ξ2(2.48)

Para pequenos valores de amortecimento, a Equacao (2.48), pode ser aproximada para:

δ .= 2πξ (2.49)

29

Nos casos de sistemas com baixos valores de amortecimento, pode-se ainda obter experimentalmente,

com aproximacao razoavel, os valores da taxa de amortecimento a partir da informacao de picos nao

suscessivos que ocorrem entre um numero qualquer de ciclos, digamosm ciclos. para estes casos o

decremento logarıtimico de amortecimento e dado por:

δ ≡ lnun

un+m=

2mπ ξ√

1−ξ2(2.50)

O que nos leva a:

ξ .=

un − un+m

2mπ un+m(2.51)

2.4.1 exemplo

30

Capıtulo 3

Resposta ao Carregamento Harmonico

Assumiremos agora que o sistema dinamico esta sujeito a umcarregamento harmonicop(t), conforme

indicado na figura 3.1:

u(t)

��

��

m

C

k

P(t)

Figura 3.1: Sistema dinamico sujeito a carregamento harmˆonico

O carregamento harmonicop(t), inidcado na Figura 3.1 e do tipo senoidal, possuindo amplitude igual a

Po, frequencia circularω e descrito por:

p(t) = Po senω t (3.1)

Desse modo a Equacao do movimento para um sistema sujeito aesse carregamento harmonico sera dada

por:

mu(t)+Cu(t)+ku(t) = Po senωt (3.2)

3.1 Sistemas nao amortecidos

Antes de considerar o amortecimento viscoelastico, e interessante analisar o que acontece com os casos

nao amortecidos. Nestes casos, a equacao do movimento sera dada por:

mu(t)+ku(t) = Po senω t (3.3)

A solucao geral da Equacao (3.3) e dividida em duas partes: a primeira, chamada de sulucao comple-

mentar e dada pela solucao da equacao do movimento parao caso de vibracoes livres (p(t) = 0), ou seja,

31

a solucao complementar e dada por:

uc(t) = A cosω t +B senω t (3.4)

A segunda parte da solucao geral e chamada de solucao particular, pois depende da natureza do car-

regamento harmonicop(t). Nos casos de carregamento harmonico e razoavel assumirque a resposta

perticular esteja em fase com o carregamento harmonico quea provoca, desse modo, a solucao particu-

lar para os casos em quep(t) = Po senω t e dada por:

up(t) = C senω t (3.5)

Devemos ainda calcular o valor da amplitudeC da solucao particular.

Substituindo a Equacao (3.5) na Equacao (3.3), chegaremos a:

−mω2C senω t +k C senω t = Po senω t (3.6)

Dividindo todos os termos da Equacao (3.6) porsenω t (que geralmente e diferente de zero) e pork, e

fazendo os rearranjos matematicos necessarios, teremosque a constante C da solucao particular e dada

por:

C =Po

k

[1

1−β2

]

(3.7)

Ondeβ e definida como a razao entre a frequencia do carregamento e a frequencia natural, dada por:

β =ωω

(3.8)

SOLUCAO GERAL

Portanto, a solucao geral da Equacao (3.3) e obtida somando-se a solucao particular com a solucao

complementar, o que nos leva a:

u(t) = up(t)+uc(t) = A cosω t +B senω t +Po

k

[1

1−β2

]

senω t (3.9)

As constantesA e B da Equacao (3.9) dependem das condicoes iniciais do problema. Assumindo que o

movimento parte do repouso, isto e,u(0) = 0 eu(0) = 0, entao teremos:

A = 0 B = −Po βk

[1

1−β2

]

(3.10)

E neste caso, a equacao do movimento apresentada em (3.9) sera dada por:

u(t) =Po

k

[1

1−β2

]

( senω t −β senω t) (3.11)

Na Equacao (3.11) o termoPok e o deslocamento que seria produzido no sistema caso o carregamentop(t)

fosse aplicado estaticamente, ou em outras palavras,Pok e o deslocamento estatico, enquanto que o termo

32

[1

1−β2

]

representa o fator de amplificacao (FA) da resposta estatica, devido ao fato do carregamento ser

harmonico. Ainda na Euqacao (3.11), o termosenω t representa o componente da resposta devido

a frequencia do carregamento, e e chamado de resposta permanente do sistema, enquando que o termo

β senω t representa a resposta devido a frequencia da estrutura, que em sistemas amortecidos, desaparece

com o tempo, sendo portanto esse termo chamado de resposta transiente do sistema. Em nosso exemplo

o sistema e nao amortecido e portanto essa resposta tambem e permanente, mas nos casos reais, que sao

amortecidos, essa resposta sera transiente, ou seja, influencia apenas no inıcio do movimento.

RAZAO DE RESPOSTA

Uma modo conviniente de medir a influencia do carregamento dinamico na resposta do sistema e forne-

cido pela razao de resposta do sistema, que na realidade divide a resposta dinamica pela resposta estatica,

chegando-se a:

R(t) =u(t)uest

=u(t)Po/k

(3.12)

Substituindo a Equacao (3.11) em (3.12), chegaremos a:

R(t) =

[1

1−β2

]

( senω t −β senω t) (3.13)

3.1.1 exemplo

Imaginemos que o sistema dinamico apresentado na Figura 3.1, tem peso de 45.000 Newtons, e que a

constante elastica do sistema valek = 3,5×105 N/m. Admitindo que a aceleracao da gravidade vale

~g = 10 m/s2 ; que o sistema parte do repouso e que o carregamento harmonico aplicado valep(t) =

20.000sen20 t, vamos calcular a resposta do sistema ao longo do tempo.

Em primeiro lugar determinemos a massa do sistema:

M =45.000

10= 450N.s2/m

Agora, calculemos a frequencia angular do sistema:

ω =

√

3,5×105

450= 27,889rad/s

Podemos calularβ:

β =ωω

=20

27,889= 0,71714

O fator de amplificacao FA, dado por:

FA =0,71714

1− (0,71714)2 = 1,4765

O deslocamento estatico pode ser dado por

Po

k=

20.0003,5×105 = 0,057143m

33

A equacao do movimento sera dada por:

u(t) = 0,057143

[1

1− (0,71714)2

]

( sen20 t −0,71714sen27,889t)

No grafico da Figura 3.2, esta apresentado o movimento do sistema em funcao do tempo. Nesse grafico

apresenta-se a resposta geral, a complementar e a particular. Como o sistema nao e amortecido a resposta

complementar permanece no tempo.

T = ω2π

Ger

alco

mpl

emen

tar

T = 2πω

FA

β x FA

parti

cula

r

Figura 3.2: Respostas para sistema sujeito a carregamento harmonico

3.2 Sistemas amortecidos

Retornando a equacao do movimento e agora incluindo o amortecimento, e lembrando que:k/M = ω2

e queC/M = 2 ξ ω, teremos que:

u(t)+2 ξ ω u(t)+ω2u(t) =Po

msenω t (3.14)

A solucao complementar da Equacao (3.14) e a solucaopara vibracoes livres amortecidas, ou seja:

uc(t) = [A cos(ωD t)+B sen(ωD t)]e(−ξω t) (3.15)

A solucao particular para a Equacao (3.14) e dada por:

34

up(t) = G1 cosω t +G2 senω t (3.16)

Onde os senos e cossenos sao necessarios porque geralmente a resposta dos sistemas amortecidos nao

estao em fase com o carregamento.

Substituindo a Equacao (3.16) na Equacao (3.14), e colocando os termos desenω t e cosω t em

evidencia, teremos que:

[−G1ω2 +G2ω(2 ξω)+G1ω2] cosω t +

[

−G2ω2−G1ω(2 ξω)+G2ω2− Po

m

]

senω t = 0 (3.17)

Afim de satisfazer a Equacao (3.17), teremos que:

−G1ω2 +G2ω(2 ξω)+G1ω2 = 0

−G2ω2−G1ω(2 ξω)+G2ω2− Pom = 0

(3.18)

Dividindo-se ambos os lados da igualdade na Equacao (3.18) porω2 e lembrando queβ = ω/ω teremos

que:

G1(1−β2

)+G2(2 ξ β) = 0

G2(1−β2

)−G1(2 ξ β) = Po

m

(3.19)

Resolvendo o sistema de Equacoes (3.19), teremos que:

G1 = Pok

[−2 ξ β

(1−β2)2+(2 ξ β)2

]

G2 = Pok

[1−β2

(1−β2)2+(2 ξ β)2

]

(3.20)

Portanto, substituindo a Equacao (3.20) na Equacao (3.16), podemos obter a expressao da solucao geral

para sistemas amortecidos submetidos a carregamento harmˆonico; solucao dada por:

u(t) =

sol.complementar︷︸︸︷

[A cos(ωD t)+B sen(ωD t)]e(−ξω t) +Po

k

[1

(1−β2)2+(2 ξ β)2

][(1−β2) senω t −2 ξ β cosω t

]

︸︷︷︸

sol.particular(3.21)

Na Equacao (3.21) a solucao complementar e transiente, ou seja, desaparece com o tempo, sendo impor-

tante apenas nos instantes iniciais do movimento, equanto que a solucao complementar e permanente no

sistema.

Nos casos em que os instantes iniciais nao sao de interessea resposta do sistema resume-se a solucao

particular, que tambem e chamada de solucao permanente, desse modo, terıamos que:

35

u(t) =Po

k

[1

(1−β2)2+(2 ξ β)2

][(1−β2) senω t −2 ξ β cosω t

](3.22)

De maneira analoga ao que foi feito no estudo de vibracoeslivres amortecidas, e possıvel representar o

movimento da Equacao (3.22) atraves da soma de dois vetores perpendiculares e girando com velocidade

igual aω t de modo que:

up(t) = ρ sen(ω t −θ)

ρ = Pok

[(1−β2)2+(2 ξ β)2

]− 12

θ = arctan[

2 ξ β1−β2

]

(3.23)

A razao entre a amplitude dinamicaρ e a amplitude dinamica, tambem chamado de fator de amplificacao

dinamica, e dado por:

D =ρPok

=[(1−β2)2+(2 ξ β)2]− 1

2 (3.24)

Tanto o fator de aplificacao, quanto o angulo de fase, dependem deξ e deβ. Os graficos das Figuras 3.3

e 3.4, expressam essas relacoes para varias combinacoes deξ e β.

ξ = 0

ξ = 0,2

ξ = 0,5

ξ = 0,7

ξ = 1,0

β

D

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 3.3: Fator de amplificacao dinamicaem sistemas amortecidos com carregamento harmonico

36

0,05

0,20,5

ξ =

ξ =ξ =

ξ = 1,0

β

90

0

180

θ

1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

Figura 3.4:Angulo de fase em sistemas amortecidos com carregamento harmonico

3.3 Resposta Ressonante

Analisando a Equacao (3.13), percebemos que a medida queβ tende a unidade o a razao entre a resposta

dinamica e a resposta estaticaR(t) tende ao infinito. Essa tendencia pode ser observada na Figura 3.3

quandoξ = 0. Para sistemas com baixos valores na taxa de amortecimento, pode ser verificado na mesma

Figura 3.3 que a amplitude maxima da resposta permanente ocorre para valores em queβ e um pouco

abaixo da unidade.

A condicao para queβ = 1 e que a frequencia do carregamentoω seja igual a frequencia natural nao

amortecida da estruturaω. Neste caso, o fator de amplificacao dinamicaD, dado pela Equacao (3.24),

sera dado por:

Dβ=1 =1

2 ξ(3.25)

Para determinar o valor maximo para o fator de aplificacaodinamicaD, e necessario derivar a Equacao

(3.24) em funcao deβ e resolver a expressao resultante paraβ, fazendo isto, teremos que o maximo valor

deβ sera dado por:

βmax=√

1−2 ξ2 (3.26)

A equacao (3.26) conduzira a valores positivos deβmax para baixos valores das taxas de amortecimentos

(ξ < 1√2) O grafico da Figura 3.5, apresenta a relacao entre os valores maximos deβ em funcao da taxa

de amortecimentoξ.

Substituindo o valor deβmax apresentado na Equacao (3.26) na Equacao (3.24), teremos que:

Dmax=1

2 ξ√

1−ξ2=

12 ξ

ωωD

(3.27)

37

ξ

maxβ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figura 3.5: Picos da razao de frequencia em funcao da taxa de amortecimento

Para valores de amortecimento usuais em estruturas civis, isto e,ξ < 0,10, a diferenca entre as Equacoes

(3.27) e (3.25) sao muito pequenas, cerca de um e meio por cento quandoξ varia de 10 % para 20 %.

Para um entendimento mais completo da resposta ressonante ´e necessario analisar a solucao geral para

sistemas amortecidos sujeitos a carregamentos harmonicos, solucao essa apresentada na Equacao (3.21).

Fazendoβ = 1 na Equacao (3.21), teremos que:

u(t) = (A cosωD t +B senωD t)e(−ξω t)− Po

kcosω t

2 ξ(3.28)

Assumindo que o movimento parte do repouso, as constantes A eB serao dadas por:

A =Po

k1

2 ξB =

Po

kω

2ωD=

Po

k1

2√

1−ξ2(3.29)

Substituindo os valores de A e B apresentados em (3.29) na Equacao (3.28), teremos:

u(t) =1

2 ξPo

k

[(

ξ√

1−ξ2senωD t + cosωD t

)

e(−ξω t)− cosω t

]

(3.30)

Para taxas de amortecimento usuais em estruturas civis, o termo√

1−ξ2 tende a unidade, e entao a

Equacao (3.30) pode ser reescrita em sua forma aproximada, dada por:

R(t) =u(t)

Pok

.=

12 ξ

{[

e(−ξω t)−1]

cosω t +ξ[

e(−ξω t)]

senω t}

(3.31)

Para amortecimentos nulos, a solucao aproximada da Equac¸ao (3.31) tende a uma indeterminacao,

porem, aplicando a regra de L’Hospital a respostaR(t) para sistemas nao amortecidos e dada por:

R(t).=

12

( senω t −ω t cosω t) (3.32)

A Figura 3.6 mostra a razao de amplificacao dinamicaR(t) para os casos de sistemas nao amortecidos e

amortecidos.

38

1

2ξ

t

π

t

R(t)

R(t)sistema nao amortecido

sistema amortecido

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−15

−10

−5

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 3.6: Razao de amplificacao dinamica para sistemas amortecidos e nao amortecidos

Percebe-se analisando o grafico da Figura 3.6 que para o casode sistemas nao amortecidos, os picos da

resposta ressonante ao longo do tempo apreentam uma relac˜ao linear, apresentando um crescimento de

+π a cada ciclo. No caso dos sistemas amortecidos os picos da resposta ressonante ficam enclausurados

em uma funcao nao linear que e(1/2ξ)[e(−ξω t)−1]. O grafico da Figura 3.7 mostram essa funcao de

enclausuramento para diferentes valores deξ.

39

ξ=0,20

ξ=0,10

ξ=0,05

ξ=0,02

0 0 5 10 15 20 25

Figura 3.7: Funcao envoltoria para resposta ressonantenao amortecida

40

Capıtulo 4

Carregamentos Periodicos

41

Capıtulo 5

Carregamentos Impulsivos

42

Capıtulo 6

Carregamentos Genericos

43

Dinamica (1)

Technology

Transcript of Dinamica (1)