L’hamiltoniana dell’elio

21

2

2121 )()(),(rr

erHrHrrH oo

La funzione d’onda (r1, r2 ) è l’ampiezza di probabilità di trovare contemporaneamente un elettrone in r1 e l’altro in r2. Il problema in principio non ha soluzioni perché non si può definire il valore della funzione d’onda in r1 dato che esso dipende dal valore della funzione d’onda stessa in r2 a causa del termine di repulsione coulombiana e2/ r12 che dipende da entrambi i valori di r1 e di r2

2

222

21

221

1 2)(;

2)(

r

Ze

m

prH

r

Ze

m

prH oo

z

yr1

x

1

1

r2

2

2

r12

),(),(),( 212121 rrErrrrH

Equazione di Schroedinger:

Approssimazione di elettroni indipendenti

21

2

2121 )()(),(rr

erHrHrrH oo

Poiché il potenziale repulsivo medio è a simmetria sferica, il momento angolare è un buon numero quantico, quindi le funzioni d’onda di elettrone singolo possono ancora essere scritte come prodotto di una parte radiale e di una parte angolare descritta da una funzione sferica.

Come “funzioni di prova” da cui partire si prendono le funzioni d’onda di un atomo idrogenoide:

Si assume che il termine repulsivo possa essere trattato come un potenziale medio a simmetria sferica

e che la funzione d’onda si possa scrivere come prodotto di due funzioni, di cui una dipende solo da (r1 ,1 , 1 ) e l’altra solo da (r2 ,2 , 2 )

Esempio: 1 elettrone nello stato 1s, l’altro nello stato 2s

)(2)(1),( 2121 rsrsrr

Calcolo dell’energia per approssimazioni successive

repos

osss HEEE )(

2)(

12,1

eV4.542)(1 ZEE R

os

eV6.1322

2)(

2 Z

EE Ros

<Hrep> si calcola per approssimazioni successive, modificando a ogni passo le funzioni d’onda |1s(r1 )> e |2s(r2 )> in modo da renderle autocompatibili con il

“potenziale effettivo di schermo” che esse stesse creano (metodo di Hartree Fock):

13

12

22

1222

22 )(1cos)(2)( rdr

ersddrsrVrep

23

12

22

2112

11 )(2cos)(1)( rdr

ersddrsrVrep

Schermo coulombiano di una densità di carica negativa posta in (r1 ,1 , 1 ) su un’altra carica negativa posta alla distanza r2 dal nucleo integrata su tutti i valori di (r1 ,1 , 1 ) e mediata sui valori di 2 e 2

In modo analogo si calcola lo schermo coulombiano dell’elettrone 2 sull’elettrone 1:

Potenziale e livelli energetici

-100.0

-90.0

-80.0

-70.0

-60.0

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)potenziali non schermati:Ep1= -Ze2/r1 Ep2= -Ze2/r2

potenziali schermati:Ep,sch1= -Ze2/ r1 +Vrep(r1 )Ep,sch2= -Ze2/ r2 +Vrep(r2 )

Funzioni d'onda n=2, l=0 con e senza schermo

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7

r (angstrom)

senza schermo

u20 con schermo dopo la prima iterazione

u20 senza schermo

u10

integrale di |u10|2

potenziale con schermo visto dall’elettrone 2 dopo la prima iterazione

E1

E2

E2 sch

2

2

n

ZEE Rn

senza schermo

2

2

,

),(

n

lnZEE

effRln

con lo schermo

schermo: - S(n,l)= Z - Zeff(n,l)- dipende dallo stato degli “altri

elettroni”

Atomo di elio: un elettrone in 1s, l’altro in 2s

schermo: - S(n,l)= Z - Zeff(n,l)- dipende dallo stato degli

“altri elettroni” - lo schermo dell’elettrone in

2s ha un effetto trascurabile sull’elettrone in 1s perché agisce a distanze alle quali la funzione d’onda 1s è ormai molto piccola

Schermo dell’elettrone in 2s sull’elettrone in 1s

Funzioni d'onda n=1 e 2; l = 0 con integrale di |u20|^2

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0 1 2 3 4 5 6 7

r (angstrom)

u20 con schermo dopo la prima iterazione

u10

integrale di |u20|2

Potenziale con schermo di u20-100,0

-90,0

-80,0

-70,0

-60,0

-50,0

-40,0

-30,0

-20,0

-10,0

0,0

10,0

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

senza schermo

potenziale con schermo visto dall’elettrone in 1s dopo la prima iterazione

atomo di elio l=0 e l=1

Funzioni d'onda n=2; l = 1 con e senza schermo

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7

r (angstrom)

Potenziale e livelli energetici

-100.0

-90.0

-80.0

-70.0

-60.0

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

u21 senza schermo

u21 con schermo

u10integrale di |u10|2

senza schermo

Eeff= Ep+EL l=0 senza schermo

l=1

l=0 con schermo

l=1 con schermo

potenziale non schermato:Ep2= -Ze2/r2

potenziale “effettivo” non schermato:Eeff2=Ep2+EL2

potenziale con schermo dell’elettrone 1 sull’elettrone 2:Ep,sch2= -Z e2/r2+Vrep(r2)

potenziale “effettivo” schermato:

Eeff,sch2=Ep,sch2+EL2

atomo di elio l=0,1

Funzioni d'onda n=2; l = 0,1 con schermo

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7

r (angstrom)

u20 con schermo

u21 con schermo

u10 integrale di |u10|2

-30.0

-25.0

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

E2 senza schermo (stesso valore per l=0 e l=1)

E2,0 con schermo

E2,1 con schermo

Lo schermo agisce in modo più efficace sullo stato l=1 rispetto allo stato con l=0, la cui funzione d’onda penetra di più vicino al nucleo.Si rompe quindi la perfetta degenerazione in energia che si aveva per l’atomo idrogenoide

L’indistinguibilità dei due elettroni

1 elettrone nello stato 1s, l’altro nello stato 2s:

)(2)(1),( 2121 rsrsrr

)(2)(1),( 1221 rsrsrr

oppure ?

z

yr1

x

1

1

r2

2

2

r12

classicamente non c’è differenza, perché i due elettroni sono indistinguibili e

quindi lo stato è invariante rispetto allo scambio

quantisticamente:

- i due elettroni sono indistinguibili

- la funzione d’onda è una sovrapposizione dei due stati con elettroni scambiati

- nello scambio bisogna tenere conto anche della funzione d’onda di spin

- la funzione d’onda complessiva può essere:

- pari rispetto allo scambio bosoni (particelle di spin intero)

- dispari rispetto allo scambio fermioni (particelle di spin semintero)

Funzioni d’onda di spin dell’elio

ms1 ms2 Ms stato

+1/2 +1/2 +1 12

+1/2 1/2 0 12

1/2 +1/2 0 12

1/2 1/2 -1 12

Ms = ms1 + ms2

pari rispetto allo scambio di 1 con 2

simmetria non definita rispetto allo scambio di 1 con 2

pari rispetto allo scambio di 1 con 2

+1 = 12

0 = (12 + 21)/2 tripletto di spin

-1 = 12

0 = (12 - 21)/2 singoletto di spin

Conviene definire stati a simmetria definita:

pari rispetto allo scambio 1 2

dispari rispetto allo scambio 1 2

Lo spin “totale”dell’elio S non è lo spin di una “particella” fisica, ma lo

stato di correlazione dello spin dei due

elettroni

Ms = ms1 + ms2

0S21 ssS

1S

+1 = 12

0 = (12 + 21)/2 tripletto di spin

-1 = 121S

0 = (12 - 21)/2 singoletto di spin 0S

x

y

z

12

x

y

z

1

2

1x

y

z

21

x

y

z

2

Funzione d’onda complessiva

il tripletto di spin, pari nello scambio 1 2, si associa a una sovrapposizione dispari delle funzioni d’onda spaziali: correlati in spin, anticorrelati

spazialmente

211221121

12211221021

211221121

)(2)(1)(2)(12

1),(

)(2)(1)(2)(12

1),(

)(2)(1)(2)(12

1),(

rsrsrsrsrr

rsrsrsrsrr

rsrsrsrsrr

il singoletto di spin (dispari nello scambio 1 2) si associa a una sovrapposizione pari delle funzioni d’onda spaziali : correlati in spin, anticorrelati spazialmente

12211221021 )(2)(1)(2)(12

1),( rsrsrsrsrr

La funzione d’onda va a

zero quando gli elettroni

sono “vicini”

Funzione d’onda massima per

elettroni “vicini”

Funzione d’onda complessiva nel caso generale

tripletto, S=1, ortoelio:

ibabai rrrrrr )()()()(2

1),( 122121

singoletto, S=0, paraelio:

01221021 )()()()(2

1),( rrrrrr baba

La funzione d’onda va a zero quando gli elettroni

sono “vicini”

Funzione d’onda massima per

elettroni “vicini”

lo stato fondamentale |1s(r1) 1s(r2)> è un singoletto, S=0

Livelli energetici degli stati di tripletto e di singoletto

)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1 122112

2

1221 rsrsrsrsr

ersrsrsrsH

trep

tripletto

)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1 122112

2

1221 rsrsrsrsr

ersrsrsrsH

srep

singoletto

non cambiano i termini “imperturbati”

repos

osss HEEE )(

2)(

12,1

)(2

)(1

os

os EeE

cambia invece il termine di repulsione fra i due elettroni:

termine coulombiano e termine di scambio

termine coulombiano:

termine di scambio:

contributo positivo

contributo negativo

23

12

22

2132

12112

2

21 )(2)(1)(2)(1)(2)(1 rdr

ersrdrsrsrs

r

ersrsC

23

13

12

2

22*

11*

1212

2

21 )(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)(1 rdrdr

ersrsrsrsrsrs

r

ersrsK

contributi positiviKCEEE o

sos

triplettoss )(

2)(

12,1

KCEEE os

os

singolettoss )(

2)(

12,1

atomo di elio l=0,1

-8.0

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV)

E2,0 tripletto

E2,1 tripletto E2,1 singoletto E2,0 singoletto

Caso generale: gli stati “orto” (spin paralleli) hanno sempre energia di legame maggiore

rispetto agli stati “para” (spin antiparalleli)

regola di Hund

energie (eV)

atomo di elio

2

2

33

1

4

3

444

3

44

2

33

2

singoletto S=0 tripletto S=1

ns np nd 1S 1P 1D

ns np nd 3S 3P 3D

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

tripletto4d - 0,85 4p - 0,9 4s - 1,03d - 1,553p - 1,7 3s - 2,0 2p - 3,72s - 4,8

singoletto4d - 0,85 4p - 0,85 4s - 0,93d - 1,5 3p - 1,55 3s - 1,72p - 3,5 2s - 4,01s - 24,6

idrogeno n=2

idrogeno n=3

idrogeno n=4

Energia “dell’elettrone in un certo stato” o energia

“dell’atomo con gli elettroni in determinati stati”?

L’energia data nella tabella per ogni stato è l’energia che occorre spendere per ionizzare l’atomo a partire da quello stato, lasciando lo ione nello stato

fondamentale 1s di energia -54.4 eV

energie (eV)

tripletto(1s)(4d) -54,4 - 0,85 (1s)(4p) -54,4 - 0,9 (1s)(4s) -54,4 - 1,0 (1s)(3d) -54,4 - 1,55 (1s)(3p) -54,4 - 1,7 (1s)(3s) -54,4 - 2,0 (1s)(2p) -54,4 - 3,7 (1s)(2s) -54,4 - 4,8

singoletto(1s)(4d) -54,4 - 0,85 (1s)(4p) -54,4 - 0,85 (1s)(4s) -54,4 - 0,9(1s)(3d) -54,4 - 1,5 (1s)(3p) -54,4 - 1,55 (1s)(3s) -54,4 - 1,7 (1s)(2p) -54,4 - 3,5 (1s)(2s) -54,4 - 4,0(1s)(1s) -54,4 - 24,6 Ad esempio,

l’energia dell’elio nello fondamentale (1s)2

E= (-54,4 -24,6 ) eV = -79 eV

motivo: sono le energie che si misurano sperimentalmente perché intervengono nelle transizioni più comuni, nelle quali un solo elettrone è coinvolto, mentre l’altro elettrone fa da “spettatore” e il suo stato e la sua energia non cambiano (teorema

di Koopmans)

Termini coulombiani e termini di scambio energie (eV)

tripletto(1s)(4d) -54,4 - 0,85 (1s)(4p) -54,4 - 0,9 (1s)(4s) -54,4 - 1,0 (1s)(3d) -54,4 - 1,55 (1s)(3p) -54,4 - 1,7 (1s)(3s) -54,4 - 2,0 (1s)(2p) -54,4 - 3,7 (1s)(2s) -54,4 - 4,8

singoletto(1s)(4d) -54,4 - 0,85 (1s)(4p) -54,4 - 0,85 (1s)(4s) -54,4 - 0,9(1s)(3d) -54,4 - 1,5 (1s)(3p) -54,4 - 1,55 (1s)(3s) -54,4 - 1,7 (1s)(2p) -54,4 - 3,5 (1s)(2s) -54,4 - 4,0(1s)(1s) -54,4 - 24,6

Ad esempio:

KCEEE on

os

triplettonls )()(

1,1

KCEEE on

os

singolettonls )()(

1,1

)()(1,1,1,1 22

2

1 on

os

singolettonls

triplettonlsnls EEEEC

triplettonls

singolettonlsnls EEK ,1,1,1 2

1

eV2,96,1320,48,42

1

eV4,08,40,42

1

2,1

2,1

ss

ss

C

K

eV106,1325,37,32

1

eV1,07,35,32

1

2,1

2,1

ps

ps

C

K

Z efficace e schermo

È un modo alternativo di pensare alla repulsione coulombiana: si calcola la Z equivalente che il nucleo dovrebbe avere per produrre lo stesso livello energetico in un potenziale di tipo idrogenoide,in cui l’energia dipende solo dal numero quantico n.

2

2/

n

ZEE eff

Rsingolettotripletto

nl

Ad esempio, per un elettrone nello stato 2s o in 2p:

0,1;0,16,13/45,3/)(

1,1;2,16,13/40,4/)(

2,2

22

2,

2,2

22

2,

singpeffR

singp

singpeff

singseffR

sings

singseff

ZEnEZ

ZEnEZ

Stato fondamentale (1s)(1s): si assegna a ogni elettrone la metà dell’energia complessiva (-54,4-24,6)/2=-39,5 eV

7,1;9,26,13/5,39)( 1,2

1, singseff

singseff ZZ

2s: schermo da parte dell’elettrone interno “0,9 e”

2p: schermo praticamente completo

schermo da parte dell’altro elettrone sullo stesso orbitale

“0,3 e”

2

2

33

1

4

3

444

3

44

2

33

2

singoletto S=0 tripletto S=1

ns np nd 1S 1P 1D

ns np nd 3S 3P 3D

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

-24.6

tripletto4s - 1,04p - 0,9 4d - 0,85 3s - 2,03p - 1,7 3d - 1,55 2s - 4,82p - 3,7

energie (eV) singoletto

4s - 0,94p - 0,85 4d - 0,85 3s - 1,7 3p - 1,55 3d - 1,5 2s - 4,02p - 3,5 1s - 24,6

Transizioni di dipolo elettrico dell’elio

tripletto4d - 0,85 4p - 0,9 4s - 1,03d - 1,553p - 1,7 3s - 2,0 2p - 3,72s - 4,8

singoletto4d - 0,85 4p - 0,85 4s - 0,93d - 1,5 3p - 1,55 3s - 1,72p - 3,5 2s - 4,01s - 24,6

Regole di selezione nelle transizioni radiative nell’elio

non ci sono transizioni fra stati di tripletto e

stati di singoletto

conseguenza: lo stato di tripletto (1s)(2s) è metastabilepuò infatti transire allo stato fondamentale di singoletto solo attraverso urti

dipolo elettrico:

l = 1

ml = 0, 1

S = 0

ms = 0

lo stato di spin di ciascun elettrone si

conserva

Il litio31

2

23

2

21

2

321321 )()()(),,(rr

e

rr

e

rr

erHrHrHrrrH ooo

La funzione d’onda (r1, r2,r3 ) è il prodotto di tre funzioni d’onda di elettroni indipendenti; stato fondamentale:

1s ; 1s ; 2s Deve essere completamente antisimmetrizzata rispetto allo scambio di 2

qualunque dei 3 elettroni “determinante di Slater”

32)(;

2)(;

2)(

223

32

222

21

221

1 r

Ze

m

prH

r

Ze

m

prH

r

Ze

m

prH ooo

),,(),,(),,( 321321321 rrrErrrrrrH

Equazione di Schroedinger:

3

z

yr1

x

1

1

r2

2

2

r12

r13

r3

3

r23

332211

332211

332211

321

)(s2)(s2)(s2

)(s1)(s1)(s1

)(s1)(s1)(s1

6

1),,(

rrr

rrr

rrr

rrr

Livelli energetici del litio

La shell chiusa dei due elettroni interni crea uno schermo

della carica elettrica del nucleo, che viene vista con una

Zeff<Z

- Zeff diminuisce al crescere di n e, a parità di n, al

crescere di l;

- tende a 1 per grandi l schermo completo (stessa

energia dell’elettrone dell’atomo di idrogeno)

Si può trattare la funzione d’onda del litio come prodotto di una funzione d’onda che descrive i due elettroni in singoletto di spin sullo stato 1s (shell chiusa dell’elio, [He]) per la funzione d’onda del terzo elettrone sull’orbitale 2s (stato fondamentale) o sull’orbitale generico nl:

(r1 , r2 , r3 ) =[He(r1 , r2)] |nl(r3)>

2

2,

n

ZEE nleff

Rnl E2p= -3,6 eV

E2s= -5,4 eV

E3d= -1,51 eV

E3p= -1,55 eV

E3s= -2,01 eV

E4f= -0,85 eV

E4d= -0,85 eV

E4p= -0,87 eV

E4s= -1,05 eV

idrogeno - litio

2

3

44s

3s

4d4p

2p

3d3p

2s

H LiE (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

4f

Litio: atomo

“alcalino”, Z=3

- 1 solo elettrone fuori della shell chiusa del [He],

- bassa energia di ionizzazione

2s

1s

2p+ 2po 2p-

configurazione elettronica del Li nello stato fondamentale

Transizioni nel litio

2

3

44s

3s

4d4p

2p

3d

3p

2s

H LiE (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

4f

nel visibile, n=0, 1=1, molto intensa

nell’IR, n=0, 1=1

nel lontano IR, n=0, 1=1

configurazione elettronica del Li nel primo stato

eccitato: i tre stati

2p+, 2po, 2p- sono degeneri

2s

1s

2p+ 2po 2p-

Il berillio (Be), Z=4

Si tratta la funzione d’onda del berillio come prodotto di una funzione d’onda che descrive i due elettroni della shell chiusa dell’elio, [He], per la funzione d’onda del terzo elettrone nell’orbitale 2s e del quarto nell’orbitale nl opportunamente antisimmetrizzate

)4,3(34243221

)4,3(4321 )()()()(),(

2

1),,,,( inlsnlsi rrrrrrHerrrr

tripletto, S=1:

)4,3(34243221

)4,3(4321 )()()()(),(

2

1),,,,( onlsnlso rrrrrrHerrrr

singoletto, S=0:

energie (eV)

atomo di berillio

3s

2p

4s

3p

2s

5s

3d4d

5p 5s

3s

4d4p

3d3p

2p

singoletto S=0 tripletto S=1

ns np nd 1S 1P 1D

ns np nd 3S 3P 3D

E (eV)

0

-2

-4

-6

-8

-10

tripletto5d - 1,135p - 1,30 5s - 1,384d - 1,44 4p - 1,644s - 1,883d - 2,123p - 2,51 3s - 3,332p - 6,78

singoletto5d - 1,06 5p - 1,25 5s - 1,314d - 1,30 4p - 1,574s - 1,783d - 1,833p - 2,36 3s - 3,042p - 4,35

4s

5p5d

4p

5p

Tabella periodica

Z simbolo configurazione energia distato fondamentale ionizzazione (eV)

K1 H 1s 13,6

K2 He (1s)2 24,6 (1s)2 = [He]

s p

LK

3 Li [He] 2s 5,4

LK

4 Be [He] (2s)2 9,3

5 B [He] (2s)2 2p 8,3

6 C [He] (2s)2 (2p)2 11,3

7 N [He] (2s)2 (2p)3 14,5

8 O [He] (2s)2 (2p)4 13,6

9 F [He] (2s)2 (2p)5 17,4

10 Ne [He] (2s)2 (2p)6 21,6

LK

LK

LK

LK

LK

LK

[He] (2s)2 (2p)6 = [Ne]

•principio di esclusione

•stato con n minore•a parità di n, stato con l minore

•regola di Hund•“gas nobile” al riempimento della shell

Regole per il riempimento degli stati nei primi due periodi:

idrogeno - litio - sodio

2

3s

3

3p

4

3d

4d

4p

4s

3s

4d4p

2p

3d3p

2s

H LiE (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

E (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

Na

4s

sodio:

atomo “alcalino”

Z=11

- 1 solo elettrone fuori

della shell chiusa del

[Ne],

- bassa energia di

ionizzazione

splitting dei livelli del sodioE (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

Perché la linea gialla del sodio è un

doppietto?

Accoppiamento di spin-orbita:

il “buon numero quantico” è il momento angolare totale j dell’elettrone che può avere due valori a parità di l:

j=l+1/2

j=l-1/2

Negli atomi,

- l’effetto sull’energia è piccolo (accoppiamento magnetico fra il momento magnetico di spin e il campo magnetico visto dall’elettrone in moto, per effetto della trasformazione di Lorentz del campo coulombiano)

- lo stato j=l-1/2 ha energia minore

E 2·10-3eV

E 7·10-4eV

E 6·10-5eV

E 10-6eV

3s1/2

3p1/2

4s1/2

3p3/2

4p1/2

4p3/2

3d3/2

3d5/2

4d3/2

4d5/2

principali transizioni radiative del sodioE (eV)

0

-1

-2

-3

-4

-5

- 6

Regole di selezione

di dipolo elettrico:

l = 1

ml = 0, 1

S = 0

ms = 0

j = 0, 1

E 2·10-3eV

E 7·10-4eVE 6·10-5eV

E 10-6eV

3s1/2

3p1/2

4s1/2

3p3/2

4p1/2

4p3/2

3d3/2

3d5/2

4d3/2

4d5/2

proibita in dipolo elettrico

praticamente coincidenti in

energia

linea “D” doppietto giallo

del sodio

Tabella periodica

Z simbolo configurazione energia distato fondamentale ionizzazione (eV) s p d

M11 Na [Ne] 3s 5,1

M12 Mg [Ne] (3s)2 7,6

13 Al [Ne] (3s)2 3p 6,0

14 Si [Ne] (3s)2 (3p)2 8,1

15 P [Ne] (3s)2 (3p)3 10,5

16 S [Ne] (3s)2 (3p)4 10,4

17 Cl [Ne] (3s)2 (3p)5 13,0

18 Ar [He] (3s)2 (3p)6 15,8

M

M

[Ne] (3s)2 (3p)6 = [Ar]

KL

M

KL

KL

KL

M

KL

KL

M

KL

M

KL

M

KL

N19 K [Ar] 4s 4,3

Regole per il riempimento degli stati:

•principio di esclusione

•stato con n+l minore

•a parità di n+ l, stato con n minore

•regola di Hund• il “gas nobile” al riempimento dell’orbitale p

Tabella periodica

Z simbolo configurazione energia distato fondamentale ionizzazione (eV) s p d

N19 K [Ar] 4s 4,3

20 Ca [Ar] (4s)2 6,1

21 Sc [Ar] (4s)2 3d 6,5

22 Ti [Ar] (4s)2 (3d)2 6,8

23 V [Ar] (4s)2 (3d)3 6,7

M

NM

NM

NM

NM

24 Cr [Ar] 4s (3d)5 6,8 NM

25 Mn [Ar] (4s)2 (3d)5 7,4 NM

26 Fe [Ar] (4s)2 (3d)6 7,9 NM

27 Co [Ar] (4s)2 (3d)7 7,9 NM

28 Ni [Ar] (4s)2 (3d)8 7,6 NM

29 Cu [Ar] 4s (3d)10 7,7 NM

30 Zn [Ar] (4s)2 (3d)10 9,4 NM

31 Ga [Ar] (4s)2 (3d)10 4p 6,0 NM

Regole per il riempimento degli stati:

•principio di esclusione

•stato con n+l minore

•a parità di n+ l, stato con n minore

•regola di Hund

•il “gas nobile” al riempimento dell’orbitale p

energie di ionizzazione

volumi atomici

.

Raggi X: spettri di emissione

di un atomo con

Z 30

E (keV)

0

2

4

6

8

10

12

n

1 - K

2 - L

3 - M4 - N

K

K

K

K e

dge

L L

L e

dge

M M e

dge

Legge di Moseley:

f = A(Z-c)

Raggi X: struttura fine degli spettri di emissione di

un atomo con Z 30

1 - K

2 - L

3 - M

2p3/2

2p1/2 2s1/2

K K

L

2d5/2

2d3/2

2p3/2

2p1/2 2s1/2

III

II

I

V

IV

III

II

I

4 - N

K

L

sdoppiamenti di “struttura fine”

j=l-1/2

j=l+1/2

j=l-1/2

j=l+1/2

j=l-1/2

j=l+1/2

Raggi X: spettri di assorbimento di un atomo con

Z 30

1 - K

2 - L

3 - M

2p3/2

2p1/2 2s1/2

K

L

2d5/2

2d3/2

2p3/2

2p1/2 2s1/2

III

II

I

V

IV

III

II

I

4 - N

M

Modello a shell nei nuclei

1s 1/2 2

Zj

Energia

1p3/2

1/2

6

8

Nucleo “magico”

O8

1d

5/2

3/2

14

20

1/2 162s

Ca20

Accoppiamento di spin-orbita:

il “buon numero quantico” è il momento angolare totale j del nucleone (protone o neutrone), che può avere due valori a parità di l:

j=l+1/2

j=l-1/2

Nei nuclei,

- l’effetto sull’energia è grande

- lo stato j=l-1/2 ha energia maggiore