LGR marzo2010

8/3/2019 LGR marzo2010

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1 L u g a r G e o m t r i c o d e l a s R a c e s ( L G R )

E n c a p t u l o s a n t e r i o r e s s e d e s m o s t r l a e s t r e c h a r e l a c i n q u e e x i s t e e n t r e l a r e s p u e s t a t r a n s i t o r i a d e u n

s i s t e m a y l a u b i c a c i n d e l a s r a c e s d e s u e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a e n e l P l a n o s . A s m i s m o , s e d e t e r m i n

q u e l a v a r i a c i n d e l o s p a r m e t r o s f s i c o s d e u n s i s t e m a q u e l o g r a n u n a m o d i c a c i n d e s u e c u a c i n

c a r a c t e r s t i c a m o d i c a n l a s r a c e s o p o l o s d e d i c h o s i s t e m a , d e f o r m a t a l q u e s e p u e d e o b t e n e r u n a

r e s p u e s t a p a r t i c u l a r o d e s e a d a . E s p o r e l l o q u e , c o n o c e r l a u b i c a c i n d e l a s r a c e s e n e l P l a n o s a n t e

v a r i a c i o n e s d e u n p a r m e t r o , p u e d e r e p r e s e n t a r u n a h e r r a m i e n t a m u y t i l d e a n l i s i s y d i s e o .

C u a n d o s e t r a t a d e s i s t e m a s d e c o n t r o l e s s u m a m e n t e i m p o r t a n t e c o n o c e r l a u b i c a c i n d e l a s r a c e s d e

l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a d e l l a z o c e r r a d o , l o c u a l p u e d e c o n o c e r s e u t i l i z a n d o u n m t o d o s i s t e m t i c o y

s e n c i l l o q u e m u e s t r a e l m o v i m i e n t o d e d i c h a s r a c e s c u a n d o s e m o d i c a u n p a r m e t r o . D i c h o m t o d o

p e r m i t e e l a b o r a r l o q u e s e c o n o c e c o m o e l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s ( L G R ) , e l c u a l n o s e s o t r a c o s a

q u e l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a a l a z o c e r r a d o c u a n d o s e v a r a u n p a r m e t r o .

A c o n t i n u a c i n s e d e t a l l a r e l m t o d o p a r a c o n s t r u i r u n e s b o z o o a p r o x i m a c i n d e l l u g a r g e o m t r i c o d e

l a s r a c e s y s e a n a l i z a r e l c a m b i o q u e p u e d e s u c e d e r e n e l m i s m o a n t e l a m o d i c a c i n d e l a f u n c i n d e

t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o , l o c u a l p r o p o r c i o n a u n a f u e r t e h e r r a m i e n t a a l d i s e a d o r . E l l u g a r g e o m t r i c o

d e l a s r a c e s e x a c t o p u e d e o b t e n e r s e h a c i e n d o u s o d e n u m e r o s a s h e r r a m i e n t a s c o m p u t a c i o n a l e s q u e

p r o p o r c i o n a n e s a i n f o r m a c i n y q u e t a m b i n s o n d e g r a n u t i l i d a d e n e l d i s e o d e s i s t e m a s d e c o n t r o l .

1 . 1 . C o n s t r u c c i n d e l L u g a r G e o m t r i c o d e l a s R a c e s

E l m t o d o d e c o n s t r u c c i n p a r a e l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a a l a z o

c e r r a d o c u a n d o s e v a r a u n p a r m e t r o s e f u n d a m e n t a e n u n e s q u e m a d e c o n t r o l d e r e t r o a l i m e n t a c i n

s i m p l e c o m o e l q u e s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 1 , p a r a e l c u a l l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a a l a z o c e r r a d o e s l a

q u e e x p r e s a l a E c . 1 . 1 , c u y a s s o l u c i o n e s r e p r e s e n t a n l o s p o l o s d e l l a z o c e r r a d o .

F i g u r a 1 . 1 : E s q u e m a d e R e t r o a l i m e n t a c i n S i m p l e

1 + KG(s)H(s) = 0 ( 1 . 1 )

E l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s s e r e a l i z a r p a r a v a r i a c i o n e s d e

Kd e s d e c e r o h a s t a i n n i t o , a n

c u a n d o e s p o s i b l e r e a l i z a r l o p a r a K m e n o r e s q u e c e r o , l o q u e s e c o n o c e c o m o l u g a r g e o m t r i c o i n v e r s o .

P a r t i e n d o d e l h e c h o d e q u e s e s u n a v a r i a b l e c o m p l e j a , e s p o s i b l e r e e s c r i b i r l a E c . 1 . 1 e n f o r m a p o l a r , t a l

c o m o l o e x p r e s a l a E c . 1 . 2 . A p a r t i r d e d i c h a e c u a c i n s e p u e d e n i d e n t i c a r d o s c o n d i c i o n e s q u e d e b e n

c u m p l i r s e p a r a s a t i s f a c e r l a e c u a c i n a n t e r i o r , l a s c u a l e s s o n c o n o c i d a s c o m o l a c o n d i c i n d e m d u l o y

l a c o n d i c i n d e n g u l o y s e e x p r e s a n s e g n l a s E c s . 1 . 3 y 1 . 4 , r e s p e c t i v a m e n t e .

|KG(s)H(s)|KG(s)H(s) = 1 + j0 ( 1 . 2 )

|KG(s)H(s)| = 1 ( 1 . 3 )

1

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KG(s)H(s) = 1800 k3600 ( 1 . 4 )

d o n d e k = 0,1,2, . . . . . .

S i l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o s e f a c t o r i z a e n p o l o s y c e r o s , c o m o s e m u e s t r a e n l a E c . 1 . 5 ,

l a s c o n d i c i o n e s d e m d u l o y d e n g u l o p u e d e n r e e s c r i b i r s e s e g n l a s E c s . 1 . 6 y 1 . 7 , r e s p e c t i v a m e n t e .

KG(s)H(s) = K

m

i=1

(s + zi)

nj=1

(s + pj)

( 1 . 5 )

K

mi=1

|s + zi|

nj=1

|s + pj |

= 1 ( 1 . 6 )

m

i=1[ (s + zi)]

n

i=1[ (s + pj)] = 180

0 k3600 ( 1 . 7 )

L a s d o s c o n d i c i o n e s a n t e r i o r e s d e b e n c u m p l i r s e p a r a c a d a u n a d e l a s r a c e s q u e f o r m e n p a r t e d e l l u g a r

g e o m t r i c o , d e f o r m a t a l q u e s e g a r a n t i z e q u e c a d a u n a d e e l l a s s e a s o l u c i n d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a

a l a z o c e r r a d o . G r a c i a s a l a c o n d i c i n d e n g u l o s e d e t e r m i n a l a u b i c a c i n g e o m t r i c a d e l a s r a c e s , e s

d e c i r , l a f o r m a d e l l u g a r g e o m t r i c o , e n t a n t o q u e l a c o n d i c i n d e m d u l o p e r m i t e d e t e r m i n a r e l v a l o r d e

l a g a n a n c i a K a l o l a r g o d e d i c h o l u g a r g e o m t r i c o . C a b e d e s t a c a r q u e , d a d o q u e s e e s t n r e p r e s e n t a n d o

l a s r a c e s d e u n a e c u a c i n , e l l u g a r g e o m t r i c o s i e m p r e s e r s i m t r i c o r e s p e c t o a l e j e r e a l .

P a r a l a c o n s t r u c c i n m e t d i c a d e l l u g a r g e o m t r i c o s e p u e d e s e g u i r u n p r o c e d i m i e n t o q u e h a c e p o s i b l e

r e a l i z a r u n a r p i d a r e p r e s e n t a c i n d e l a u b i c a c i n d e c a d a u n a d e l a s r a c e s d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a

c u a n d o s e v a r a K d e s d e c e r o a i n n i t o . E n p r i n c i p i o s e d e b e r e e s c r i b i r l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a t a l

c o m o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i n .

nj=1 (s + p

j) + K mi=1 (s + z

i)

nj=1

(s + pj)= 0

nj=1

(s + pj) + K

mi=1

(s + zi)

= 0 ( 1 . 8 )

C o m o s e p u e d e o b s e r v a r e n l a E c . 1 . 8 , c u a n d o K e s i g u a l a c e r o , l a s o l u c i n d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a

a l a z o c e r r a d o c o i n c i d e c o n l o s p o l o s d e l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o , e n t a n t o q u e , c u a n d o

K t i e n d e a i n n i t o , l a s o l u c i n d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a a l a z o c e r r a d o c o i n c i d e c o n l o s c e r o s d e

l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o . E s p o r e l l o q u e s e c o n c l u y e q u e e l l u g a r g e o m t r i c o d e

l a s r a c e s c o m i e n z a e n l o s p o l o s d e l l a z o a b i e r t o y t e r m i n a e n l o s c e r o s d e l l a z o a b i e r t o a

m e d i d a q u e K a u m e n t a d e s d e c e r o h a s t a i n n i t o . T a m b i n s e p u e d e c o n c l u i r q u e e l n m e r o d e

t r a m o s o r a m a s d e l l u g a r g e o m t r i c o s e r i g u a l a l n m e r o d e p o l o s d e l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a d e

l a z o a b i e r t o .

A c o n t i n u a c i n s e m u e s t r a e l p r o c e d i m i e n t o a s e g u i r p a r a l a c o n s t r u c c i n d e l l u g a r g e o m t r i c o p a s o a

p a s o , i n c l u y e n d o p a r a l e l a m e n t e l a r e a l i z a c i n d e u n s e n c i l l o e j e m p l o c u y a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a

l a z o a b i e r t o s e e x p r e s a s e g n l a E c . 1 . 9 . D e e s t a f o r m a s e i n t e n t a q u e l a c o m p r e n s i n d e l m t o d o s e a

m s e f e c t i v a .

G(s)H(s) =(s + 3)

s(s + 1)(s + 2)(s + 4)( 1 . 9 )

2

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1 . 1 C o n s t r u c c i n d e l L u g a r G e o m t r i c o d e l a s R a c e s

P a s o 1

D e b i d o a q u e e l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s c o m i e n z a e n l o s p o l o s d e l a z o a b i e r t o y t e r m i n a e n l o s

c e r o s d e l a z o a b i e r t o s e d e b e n d i b u j a r s o b r e e l P l a n o s d i c h o s p o l o s y c e r o s , p a r a l o c u a l s e u t i l i z a l a

c o n v e n c i n d e m a r c a r l o s p o l o s c o n u n a X y l o s c e r o s c o n u n O . E n l a F i g . 1 . 2 s e r e a l i z a e s t e p a s o

p a r a e l e j e m p l o p r o p u e s t o .

F i g u r a 1 . 2 : U b i c a c i n d e l a s r a c e s e n e l P l a n o s . G(s)H(s) = (s+3)s(s+1)(s+2)(s+4)

P a s o 2

U t i l i z a n d o l a c o n d i c i n d e n g u l o s e d e t e r m i n a q u e p a r t e d e l e j e r e a l p e r t e n e c e a l l u g a r g e o m t r i c o ,

p a r a l o c u a l s e d e b e v e r i c a r e n c a d a t r a m o d e l e j e r e a l e l c u m p l i m i e n t o o n o d e l a c o n d i c i n . S i s e

p a r t e d e u n c a s o h i p o t t i c o e n e l c u a l s e t i e n e n d o s p o l o s ( p1 y p2 ) y u n c e r o ( z1 ) s o b r e e l e j e r e a l , t a l

c o m o s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 3 , s e v e r i c a l a c o n d i c i n d e n g u l o e n l o s d i s t i n t o s t r a m o s d e l e j e r e a l ,

s u p o n i e n d o l a o c u r r e n c i a d e r a c e s , t a l c o m o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i n .

F i g u r a 1 . 3 : U b i c a c i n d e l a s r a c e s e n e l P l a n o s

S i s e s u p o n e q u e e x i s t e u n a r a z s1 e n t r e e l p o l o p1 y e l o r i g e n , s e d e b e n t r a z a r l o s v e c t o r e s c o r r e s p o n -

d i e n t e s p a r a c o m p r o b a r e l n g u l o d e l o s m i s m o s . E n l a F i g . 1 . 4 ( a ) , ( b ) y ( c ) s e p u e d e n o b s e r v a r d i c h o s

v e c t o r e s , a p a r t i r d e a l l s e p u e d e d e t e r m i n a l a s u m a t o r i a d e n g u l o s t a l c o m o l o e x p r e s a l a E c . 1 . 1 0 ,

d e d o n d e s e c o n c l u y e q u e l a c o n d i c i n d e n g u l o n o s e c u m p l e p o r l o q u e d i c h o s e g m e n t o n o p e r t e n e c e

a l l u g a r g e o m t r i c o .

( a ) ( b ) ( c )

F i g u r a 1 . 4 : V e r i c a c i n d e l a c o n d i c i n d e a n g u l o p a r a s1

3

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(s + z1) [ (s + p1) + (s + p2)] = 00

00 + 00

= 00 = 1800 ( 1 . 1 0 )

S i a h o r a s e s u p o n e q u e e x i s t e u n a r a z s2 e n t r e e l p o l o p1 y e l c e r o z1 , s e p u e d e n o b s e r v a r l o s n u e v o s

v e c t o r e s e n l a s F i g s . 1 . 5 ( a ) y ( b ) , a p a r t i r d e l a s c u a l e s s e d e t e r m i n a l a s u m a t o r i a d e n g u l o s t a l c o m o

l o e x p r e s a l a E c . 1 . 1 1 , d e d o n d e s e c o n c l u y e q u e l a c o n d i c i n d e n g u l o s e c u m p l e p o r l o q u e d i c h o

s e g m e n t o p e r t e n e c e a l l u g a r g e o m t r i c o .

( a ) ( b )

F i g u r a 1 . 5 : V e r i c a c i n d e l a c o n d i c i n d e n g u l o p a r a s2

(s + z1) [ (s + p1) + (s + p2)] = 00

1800 + 00

= 1800 ( 1 . 1 1 )

D e m a n e r a s i m i l a r s e p u e d e n s u p o n e r l a e x i s t e n c i a d e d o s r a c e s m s , s3 y s4 , p a r a l a s c u a l e s l o s v e c t o r e s

c o r r e s p o n d i e n t e s s e m u e s t r a n e n l a s F i g s . 1 . 6 ( a ) y ( b ) y 1 . 7 ( a ) , ( b ) y ( c ) r e s p e c t i v a m e n t e , a s c o m o e n

l a s e c u a c i o n e s 1 . 1 2 y 1 . 1 3 s e m u e s t r a n l a s s u m a t o r i a s d e l o s n g u l o s . A p a r t i r d e a l l s e p u e d e c o n c l u i r

q u e p a r a l a r a z s3 n o s e c u m p l e c o n l a c o n d i c i n d e m d u l o , m i e n t r a s q u e p a r a l a r a z s4 s i s e c u m p l e .

( a ) ( b )


( a ) ( b ) ( c )


(s + z1) [ (s + p1) + (s + p2)] = 00

1800 + 00

= 00 = 1800 ( 1 . 1 2 )

(s + z1) [ (s + p1) + (s + p2)] = 1800

1800 + 1800

= 3(1800) ( 1 . 1 3 )

4

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5/21


A p a r t i r d e l a n l i s i s a n t e r i o r s e c o n c l u y e q u e l a s p a r t e s d e l e j e r e a l q u e p e r t e n e c e n a l l u g a r

g e o m t r i c o s o n a q u e l l a s q u e s e e n c u e n t r a n a l a i z q u i e r d a d e u n n m e r o i m p a r d e p o l o s y

c e r o s .

P a r a e l e j e m p l o q u e s e e s t d e s a r r o l l a n d o s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 8 l a s p a r t e s d e l e j e r e a l q u e p e r t e n e c e n

a l l u g a r g e o m t r i c o .

F i g u r a 1 . 8 : P a r t e s d e l e j e r e a l q u e p e r t e n e n c e n a l L G R . G(s)H(s) = (s+3)s(s+1)(s+2)(s+4)

P a s o 3

C o n s i d e r a n d o q u e l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o t i e n e n p o l o s y m c e r o s , y q u e p a r a l o s

s i s t e m a s e n e s t u d i o n > m, s e t i e n e u n c i e r t o n m e r o d e r a m a s q u e c o m i e n z a n e n l o s p o l o s p e r o , d e b i d o

a q u e e x i s t e n m s p o l o s q u e c e r o s , d i c h a s r a m a s s e d i r i g e n a c e r o s e n e l i n n i t o a l o l a r g o d e a s n t o t a s .

E l n m e r o d e a s n t o t a s , NA , s e d e t e r m i n a c o m o l a d i f e r e n c i a e n t r e p o l o s y c e r o s , t a l c o m o s e e x p r e s a

e n l a E c . 1 . 1 4 y p a r a l a u b i c a c i n d e s u p u n t o d e p a r t i d a d e l e j e r e a l , A , y d e l n g u l o d e l a s m i s m a s ,

A , s e u t i l i z a n l a s E c s . 1 . 1 5 y 1 . 1 6 , r e s p e c t i v a m e n t e .

NA = n m ( 1 . 1 4 )

A =

polos de G(s)H(s)

ceros de G(s)H(s)

NA=

nj=1

(pj)mi=1

(zi)

NA( 1 . 1 5 )

A =(2q 1)

NA1800 ( 1 . 1 6 )

d o n d e q = 0, 1, 2, , (NA 1)

A p a r t i r d e l c o n o c i m i e n t o d e l n m e r o d e a s n t o t a s , d e s u u b i c a c i n y d e s u s n g u l o s e s b a s t a n t e s i m p l e

t r a z a r l a f o r m a a p r o x i m a d a d e l l u g a r g e o m t r i c o .

P a r a e l e j e m p l o e n c u e s t i n s e c a l c u l a n NA , A y A y e n l a F i g . 1 . 9 s e m u e s t r a l a u b i c a c i n d e l o s

m i s m o s .

NA = 4 1 = 3

A =

(1 2 4)

(3)

3=

4

3= 1, 33

A1 = 600 A2 = 180

0 A3 = 3000

5

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F i g u r a 1 . 9 : A s n t o t a s y A . G(s)H(s) =

(s+3)s(s+1)(s+2)(s+4)

U n a v e z u b i c a d a s l a s a s n t o t a s y l o s p u n t o s d e r u p t u r a s e d e b e d e t e r m i n a r c u a l d e l o s p o l o s t e r m i n a e n

e l i n n i t o a t r a v s d e e l l a s . E n e l c a s o e n c u e s t i n s e t i e n e q u e e l p o l o u b i c a d o e n s = 2 t e r m i n a e n e l c e r o u b i c a d o e n

s = 3, e n t a n t o q u e l o s o t r o s t r e s p o l o s d e b e n t e r m i n a r e n l a s a s n t o t a s . E l p o l o

u b i c a d o e n s = 4 e s t s o b r e u n a d e l a s a s n t o t a s , l o q u e i n d i c a q u e p o r a l l h a b r u n a r a m a d e l l u g a r g e o m t r i c o q u e t e r m i n a e n e l i n n i t o y l o s p o l o s r e s t a n t e s s e a c e r c a n a m e d i d a q u e a u m e n t a K p a r a

n a l m e n t e d e s p e g a r s e d e l e j e r e a l y d i r i g i r s e a l i n n i t o p o r l a s d o s a s n t o t a s r e s t a n t e s . E l v a l o r e x a c t o

d e l p u n t o e n d o n d e s e d e s p e g a e l l u g a r g e o m t r i c o d e l e j e r e a l p u e d e c a l c u l a r s e t a l c o m o s e i n d i c a e n e l

s i g u i e n t e p a s o .

P a s o 4

E l p u n t o o l o s p u n t o s d e l e j e r e a l e n e l c u a l l a s r a c e s s e d e s p e g a n d e l e j e y s e c o n v i e r t e n e n r a c e s

i m a g i n a r i a s s e c o n o c e n c o m o p u n t o s d e r u p t u r a y o c u r r e n c u a n d o h a y m u l t i p l i c i d a d d e r a c e s e n u n

t r a m o , e s d e c i r , s i d o s o m s r a c e s s e v a n a c e r c a n d o a m e d i d a q u e a u m e n t a K, l l e g a u n p u n t o e n d o n d e

s e e n c u e n t r a n y s o n i g u a l e s . E s a l l e n d o n d e , a l s e g u i r a u m e n t a n d o K, d i c h a s r a c e s s e c o n v i e r t e n e n

r a c e s i m a g i n a r i a s y s e d e s p e g a n d e l e j e r e a l . T o m a n d o e n c o n s i d e r a c i n l o a n t e r i o r s e d e t e r m i n a q u e e l

p u n t o r u p t u r a o c u r r e c u a n d o s e l l e g a a u n v a l o r m x i m o d e K d e s p u s d e l c u a l l a s r a c e s d e j a n d e s e r

r e a l e s . P a r a o b t e n e r a n a l t i c a m e n t e d i c h o p u n t o s e d e b e r e e s c r i b i r l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a d e s p e j a n d o

e l v a l o r d e K, t a l c o m o l o e x p r e s a l a E c . 1 . 1 7 . A p a r t i r d e a l l e s p o s i b l e o b t e n e r e l m x i m o d e K

d e r i v a n d o d i c h a e c u a c i n y e n c o n t r a n d o e l v a l o r d e l a s r a c e s , sR , p a r a l a s c u a l e s l a E c . ? ? s e a i g u a l

a c e r o . C a b e d e s t a c a r q u e n o t o d a s l a s r a c e s q u e s o n s o l u c i o n e s d e d i c h a e c u a c i n r e p r e s e n t a n p u n t o s

d e r u p t u r a , e s o s e d e t e r m i n a p a r t i e n d o d e u n a n l i s i s q u e i n d i q u e c u a l e s d e l o s t r a m o s d e l e j e r e a l

p r e s e n t a n m u l t i p l i c i d a d d e r a c e s .

K = p(s) = 1

G(s)H(s)( 1 . 1 7 )

dKds

sR

= dp(s)ds

sR

= 0

P a r a e l e j e m p l o e n c u e s t i n e x i s t e u n s o l o p u n t o d e r u p t u r a , e n e l t r a m o q u e o c u r r e e n t r e l a s r a c e s

s = 0 y s = 1 , l a s c u a l e s s e m u e v e n a m e d i d a q u e a u m e n t a K y a l u n i r s e s e c o n v i e r t e n e n r a c e s c o n j u g a d a s , s e p a r n d o s e d e l e j e r e a l . P a r a c o n o c e r d i c h o p u n t o d e r u p t u r a s e s i g u e e l p r o c e d i m i e n t o

a n t e r i o r t a l c o m o s e m u e s t r a .

K = s(s + 1)(s + 2)(s + 4)

(s + 3)=

s4 + 7s3 + 14s2 + 8s

(s + 3)

6

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7/21


dK

ds

sR

= 3s4 + 26s3 + 77s2 + 84s + 24

(s + 3)2

sR

= 0 ( 1 . 1 8 )

sR1 = 0, 43 sR2 = 1, 6 sR3 = 3, 3 + 0, 68j sR4 = 3, 3 + 0, 68j

D e t o d a s l a s r a c e s d e l a E c . 1 . 1 8 s o l a m e n t e l a r a z sR1 = 0, 43 e s t d e n t r o d e l o s l m i t e s d e t e r m i n a d o s , e s d e c i r e n t r e 0 y 1 , p o r l o t a n t o e s e e s e l p u n t o d e r u p t u r a .

P a s o 5

A p a r t i r d e t o d a l a i n f o r m a c i n a n t e r i o r e s s u m a m e n t e s e n c i l l o r e a l i z a r u n e s b o z o c o m p l e t o d e l l u g a r

g e o m t r i c o , e l c u a l s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 1 0 .

F i g u r a 1 . 1 0 : E s b o z o d e l L G R . G(s)H(s) = (s+3)s(s+1)(s+2)(s+4)

T a l c o m o s e o b s e r v a e l e s b o z o d e l l u g a r g e o m t r i c o c o r t a e l e j e i m a g i n a r i o e n u n p u n t o y a t r a v i e s a h a c i a

e l s e m i p l a n o d e r e c h o . E l v a l o r d e d i c h o p u n t o p u e d e c a l c u l a r s e n u m r i c a m e n t e t a l c o m o s e i n d i c a e n e l

s i g u i e n t e p a s o .

P a s o 6

E l p u n t o e n e l c u a l e l l u g a r g e o m t r i c o c o r t a e l e j e i m a g i n a r i o p u e d e s e r c a l c u l a d o d e d o s f o r m a s ,

u t i l i z a n d o e l C r i t e r i o d e R o u t h - H u r w i t z o p a r t i e n d o d e l h e c h o d e q u e l a r a z e n d i c h o p u n t o s o l a m e n t e

t e n d r p a r t e i m a g i n a r i a . A m b o s m t o d o s s e r n e x p l i c a d o s u t i l i z a n d o e l e j e m p l o q u e s e e s t e s t u d i a n d o .

E l u s o d e C r i t e r i o d e R o u t h - H u r w i t z p r o p o r c i o n a e l v a l o r d e l a g a n a n c i a c r t i c a u t i l i z a n d o l a e c u a c i n

c a r a c t e r s t i c a a l a z o c e r r a d o t a l c o m o s i g u e .

s4 + 7s3 + 14s2 + 8s + K(s + 3) = 0

s4 1 14 3Ks3 7 8 + K 0s2 b1 3K 0s1 c1 0 0s0 3K 0

b1 =90K

7 b1 > 0 K < 90

c1 =K265K+720

b1> 0 K1 < 74, 64 K2 < 9, 65 K < 9, 65

7

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8/21


D e a q u s e d e s p r e n d e q u e l a g a n a n c i a c r t i c a d e l s i s t e m a e s i g u a l a 9 , 6 5 y p a r a d i c h o v a l o r l a s r a c e s d e l

l a z o c e r r a d o s o n l a s s i g u i e n t e s ,

s1 = 4, 37 s2 = 2, 62 s3 = +1, 58j s4 = 1, 58j

E l c o r t e c o n e l e j e i m a g i n a r i o o c u r r e e n = 1, 58 y e l v a l o r c o r r e s p o n d i e n t e d e l a g a n a n c i a e s d e K = 9, 65 .

E l o t r o m t o d o c o n s i s t e e n s u s t i t u i r e n l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a a l a z o c e r r a d o s = j y s e o b t i e n e n d o s e c u a c i o n e s c o n d o s i n c g n i t a s , K y .

(j)4 + 7 (j)3 + 14 (j)2 + 8 (j) + K(j + 3) = 0

4 73j 142 + (8 + K) j + 3 = 0

4 142 + 3K = 0 = 1, 5877

72 8K = 0 K = 9, 65

C o m o p u e d e o b s e r v a r s e e s p o s i b l e o b t e n e r n u m r i c a m e n t e e l c o r t e c o n e l e j e i m a g i n a r i o p o r a m b o s

m t o d o s c o n i g u a l e s r e s u l t a d o s .

A c o n t i n u a c i n s e p r e s e n t a u n r e s u m e n d e c a d a u n o d e l o s p a s o s a s e g u i r p a r a l a c o n s t r u c c i n d e l l u g a r

g e o m t r i c o d e l a s r a c e s d e f o r m a t a l q u e s i r v a d e r e f e r e n c i a r p i d a p a r a r e a l i z a r u n e s b o z o d e l l u g a r

d e s e a d o .

P a s o 1 D i b u j a r s o b r e e l P l a n o s l o s p o l o s y c e r o s d e l l a z o a b i e r t o .

P a s o 2 D e t e r m i n a r q u e p a r t e d e l e j e r e a l p e r t e n e c e a l l u g a r g e o m t r i c o . A p a r t i r d e l a c o n d i c i n

d e n g u l o s e d e t e r m i n a q u e l a s p a r t e s d e l e j e r e a l q u e p e r t e n e c e n a l l u g a r g e o m t r i c o s o n

a q u e l l a s q u e s e e n c u e n t r a n a l a i z q u i e r d a d e u n n m e r o i m p a r d e p o l o s y c e r o s .

P a s o 3 D e t e r m i n a r e l n m e r o d e a s n t o t a s , NA , l a u b i c a c i n d e s u p u n t o d e p a r t i d a , A , y d e l n g u l o

d e l a s m i s m a s , A , u t i l i z a n d o l a s E c . 1 . 1 4 , 1 . 1 5 y 1 . 1 6 , r e s p e c t i v a m e n t e .

P a s o 4 S i e x i s t e , c a l c u l a r l o s p u n t o s d e r u p t u r a o d e s p e g u e d e l e j e r e a l .

P a s o 5 D i b u j a r u n e s b o z o c o m p l e t o d e l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s .

P a s o 6 S i e x i s t e , c a l c u l a r e l c o r t e c o n e l e j e i m a g i n a r i o .

U t i l i z a n d o e l p r o c e d i m i e n t o a n t e r i o r s e p u e d e o b t e n e r , d e f o r m a r p i d a y e c a z , u n e s b o z o d e l l u g a r

g e o m t r i c o d e l a r a c e s d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a a l a z o c e r r a d o c u a n d o s e v a r a K d e s d e c e r o a

i n n i t o . S i f u e r a n e c e s a r i o c o n o c e r e l l u g a r g e o m t r i c o c o n m a y o r e x a c t i t u d s e p u e d e u t i l i z a r a l g u n a

h e r r a m i e n t a c o m p u t a c i o n a l , c o m o p o r e j e m p l o e l M A T L A B , e l c u a l e s s u m a m e n t e s e n c i l l o d e u t i l i z a r .

P a r a e l e j e m p l o d e s a r r o l l a d o s e p u e d e o b s e r v a r e l l u g a r g e o m t r i c o e x a c t o e n l a F i g . 1 . 1 1 , e l c u a l

e s c o m p l e t a m e n t e s e m e j a n t e a l m o s t r a d o e n l a F i g . 1 . 1 0 , a n e n l o s p u n t o s q u e f u e r o n c a l c u l a d o s

n u m r i c a m e n t e .

8

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12 10 8 6 4 2 0 2 48

6

4

2

0

2

4

6

8

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Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.458

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Eje Real

EjeImaginario

F i g u r a 1 . 1 1 : L u g a r G e o m t r i c o E x a c t o . G(s)H(s) = (s+3)s(s+1)(s+2)(s+4)

A c o n t i n u a c i n s e p r e s e n t a r n v a r i o s e j e m p l o s p a r a l o s c u a l e s s e o b t e n d r t a n t o e l e s b o z o d e l l u g a r

g e o m t r i c o c o m o s u f o r m a e x a c t a .

P a r a u n s i s t e m a d e c o n t r o l c o m o e l m o s t r a d o e n l a F i g . 1 . 1 e s n e c e s a r i o c o n o c e r e l l u g a r g e o m t r i c o

d e l a s r a c e s p a r a v a r i a c i o n e s d e K. S e s o l i c i t a q u e r e a l i c e l o a n t e r i o r p a r a l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s d e

t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o .

a ) G(s)H(s) =(s+3)(s+8)

s(s+1)(s+5)(s+6)

b ) G(s)H(s) = (s+8)(s+1)(s+6)2(s+3)2

S o l u c i n

P a r a c a d a u n o d e l o s c a s o s p r o p u e s t o s s e d e s a r r o l l a r e l e s b o z o d e l l u g a r g e o m t r i c o u t i l i z a n d o e l p r o -

c e d i m i e n t o a n t e r i o r , p a s o a p a s o , p a r a n a l m e n t e p r e s e n t a r t a m b i n e l l u g a r e x a c t o g r a c i a s a l u s o d e l

M A T L A B .

a ) G(s)H(s) =(s+3)(s+8)

s(s+1)(s+5)(s+6)

P a s o 1 D i b u j a r s o b r e e l P l a n o s l o s p o l o s y c e r o s d e l l a z o a b i e r t o . ( F i g . 1 . 1 2 ( a ) )

P a s o 2 D e t e r m i n a r q u e p a r t e d e l e j e r e a l p e r t e n e c e a l l u g a r g e o m t r i c o . A p a r t i r d e l a c o n d i c i n d e

n g u l o s e d e t e r m i n a q u e l a s p a r t e s d e l e j e r e a l q u e p e r t e n e c e n a l l u g a r g e o m t r i c o s o n a q u e l l a s

q u e s e e n c u e n t r a n a l a i z q u i e r d a d e u n n m e r o i m p a r d e p o l o s y c e r o s ( F i g . 1 . 1 2 ( b ) ) .

( a ) ( b )

F i g u r a 1 . 1 2 : P o l o s y c e r o s e n e l P l a n o s . G(s)H(s) = (s+3)(s+8)s(s+1)(s+5)(s+6)

9

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P a s o 3 D e t e r m i n a r e l n m e r o d e a s n t o t a s NA , l a u b i c a c i n d e s u p u n t o d e p a r t i d a A y e l n g u l o d e

l a s m i s m a s A , u t i l i z a n d o l a s E c . 1 . 1 4 , 1 . 1 5 y 1 . 1 6 , r e s p e c t i v a m e n t e .

NA = 4 2 = 2

A =

(1 5 6)

(3 8)

2=

1

2= 0, 5

A1 = 900 A2 = 2700

P a s o 4 S i e x i s t e , c a l c u l a r l o s p u n t o s d e r u p t u r a o d e s p e g u e d e l e j e r e a l . C o m o s e p u e d e o b s e r v a r e n l a

F i g . 1 . 1 2 , d e l a s r a m a s d e l l u g a r g e o m t r i c o q u e s e e n c u e n t r a n s o b r e e l e j e r e a l , s o l a m e n t e a q u e l l a q u e

s e e n c u e n t r a e n t r e s = 0 y s = 1 c o n t i e n e d o s r a c e s q u e d e b e r n d e s p e g a r s e y d i r i g i r s e a l i n n i t o

a t r a v s d e l a s a s i n t o t a s , l a s o t r a s d o s r a m a s e s t n c o m p l e t a s p u e s c o m i e n z a n e n u n p o l o y t e r m i n a n

e n u n c e r o . E s p o r e l l o q u e s o l a m e n t e e x i s t i r u n p u n t o d e r u p t u r a y d e b e e n c o n t r a r s e e n t r e s = 0 ys = 1. P a r a o b t e n e r l o s e s i g u e e l m i s m o p r o c e d i m i e n t o q u e s e m o s t r a n t e r i o r m e n t e .

K = s(s + 1)(s + 5)(s + 6)

(s + 3)(s + 8)=

s4 + 12s3 + 41s2 + 30s

s2 + 11s + 24

dK

ds

sR

= 2s5 + 45s4 + 360s3 + 1285s2 + 1968s + 720

(s2 + 11s + 24)2

sR

= 0 ( 1 . 1 9 )

sR1 = 9, 88 sR2 = 5, 55 sR3 = 3, 27 + 1, 4j sR4 = 3, 27 + 1, 4j sR5 = 0, 52

D e t o d a s l a s r a c e s q u e s a t i s f a c e n l a E c . 1 . 1 9 s o l a m e n t e l a r a z sR1 = 0, 52 e s t d e n t r o d e l o s l m i t e s p o s i b l e s , e s d e c i r e n t r e 0 y 1 , p o r l o t a n t o e s e e s e l p u n t o d e r u p t u r a .

P a s o 5 D i b u j a r u n e s b o z o c o m p l e t o d e l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s . Y a q u e d d e t e r m i n a d o c u a l e s

d e r a m a s d e l l u g a r g e o m t r i c o e s t n c o m p l e t a s , p u e s c o m i e n z a n e n u n p o l o y t i e n e n e n s u s c e r c a n a s

u n c e r o e n d o n d e t e r m i n a r . A d e m s , y a s e c o n o c e e l p u n t o d e r u p t u r a , p o r l o t a n t o e s p o s i b l e r e a l i z a r

e l e s b o z o d e l l u g a r , t a l c o m o s e p m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 1 3 .

F i g u r a 1 . 1 3 : E s b o z o d e l L u g a r G e o m t r i c o . G(s)H(s) = (s+3)(s+8)s(s+1)(s+5)(s+6)


C o m o s e p u e d e o b s e r v a r , s e g n e l e s b o z o m o s t r a d o e n l a F i g . 1 . 1 3 , e l l u g a r g e o m t r i c o n o c r u z a h a c i a

e l s e m i p l a n o d e r e c h o , p o r l o t a n t o n o e x i s t e c o r t e c o n e l e j e i m a g i n a r i o y e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o e s

e s t a b l e p a r a t o d o v a l o r d e K, l o c u a l p o d r a s e r c o m p r o b a d o u t i l i z a n d o e l C r i t e r i o d e R o u t h - H u r w i t z .

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F i n a l m e n t e s e p r e s e n t a e n l a F i g . 1 . 1 4 e l l u g a r g e o m t r i c o e x a c t o g r a c i a s a l u s o d e l M A T L A B , e n l a

c u a l s e o b s e r v a l a s e m e j a n z a c o n e l e s b o z o r e a l i z a d o .

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 18

6

4

2

0

2

4

6

8

System: sysGain: 0.33Pole: 0.529Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.529

Eje Real

EjeImaginario

F i g u r a 1 . 1 4 : L u g a r G e o m t r i c o E x a c t o . G(s)H(s) =(s+3)(s+8)

s(s+1)(s+5)(s+6)

b ) G(s)H(s) = (s+8)(s+1)(s+6)2(s+3)2

P a s o 1 D i b u j a r s o b r e e l P l a n o s l o s p o l o s y c e r o s d e l l a z o a b i e r t o . ( F i g . 1 . 1 5 ( a ) )

P a s o 2 D e t e r m i n a r q u e p a r t e d e l e j e r e a l p e r t e n e c e a l l u g a r g e o m t r i c o . A p a r t i r d e l a c o n d i c i n d e

n g u l o s e d e t e r m i n a q u e l a s p a r t e s d e l e j e r e a l q u e p e r t e n e c e n a l l u g a r g e o m t r i c o s o n a q u e l l a s

q u e s e e n c u e n t r a n a l a i z q u i e r d a d e u n n m e r o i m p a r d e p o l o s y c e r o s . ( F i g . 1 . 1 5 ( b ) )

( a ) ( b )

F i g u r a 1 . 1 5 : G(s)H(s) = (s+8)(s+1)(s+6)2(s+3)2

P a s o 3 D e t e r m i n a r e l n m e r o d e a s n t o t a s , NA , l a u b i c a c i n d e s u p u n t o d e p a r t i d a , A , y d e l n g u l o

d e l a s m i s m a s , A , u t i l i z a n d o l a s E c . 1 . 1 4 , 1 . 1 5 y 1 . 1 6 , r e s p e c t i v a m e n t e .

NA = 5 1 = 4

A =

(1 3 3 6 6)

(8)

4=

11

4= 2, 75

A1 = 450 A2 = 135

0 A3 = 2250 A4 = 315

0

1 1

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12/21


P a s o 4 S i e x i s t e , c a l c u l a r l o s p u n t o s d e r u p t u r a o d e s p e g u e d e l e j e r e a l . C o m o s e p u e d e o b s e r v a r e n l a

F i g . 1 . 1 5 , e n t r e s = 1 y s = 3 d o s r a c e s s e u n i r n y o c u r r i r u n a r u p t u r a . A s m i s m o , e n t r e s = 3y s = 6 o t r a s d o s r a c e s s e u n i r n y o c u r r i r o t r a r u p t u r a , e n t a n t o q u e l a l t i m a r a z s e m o v e r d e s d e e l p o l o e n s = 6 h a s t a e l c e r o e n s = 8. P a r a o b t e n e r d i c h o s p u n t o s d e r u p t u r a s e s i g u e e l m i s m o p r o c e d i m i e n t o q u e s e m o s t r a n t e r i o r m e n t e .

K = (s + 1)(s + 6)2

(s + 3)2

(s + 8)= s

5

+ 19s4

+ 135s3

+ 441s2

+ 648s + 324(s + 8)

dK

ds

sR

= 4s5 + 97s4 + 878s3 + 3681s2 + 7056s + 4860

(s + 8)2

sR

= 0 ( 1 . 2 0 )

sR1 = 8, 85 sR2 = 6 sR3 = 4, 8 sR4 = 3 sR5 = 1, 58

D e t o d a s l a s r a c e s q u e s a t i s f a c e n l a E c . 1 . 2 0 s o l a m e n t e l a s r a c e s sR3 = 4, 8 y sR5 = 1, 58 c u m p l e n c o n e l r a z o n a m i e n t o i n i c i a l , p o r l o t a n t o e s o s s o n l o s p u n t o s d e r u p t u r a .

P a s o 5 D i b u j a r u n e s b o z o c o m p l e t o d e l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s . Y a q u e d d e t e r m i n a d o c u a l e s d e

l a s r a m a s d e l l u g a r g e o m t r i c o e s t n c o m p l e t a s , p u e s c o m i e n z a n e n u n p o l o y t i e n e n e n s u s c e r c a n a s u n

c e r o e n d o n d e t e r m i n a r . A d e m s , y a s e c o n o c e n l o s p u n t o s d e r u p t u r a , p o r l o t a n t o e s p o s i b l e r e a l i z a r

e l e s b o z o d e l l u g a r , t a l c o m o s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 1 6 .

F i g u r a 1 . 1 6 : E s b o z o d e l L u g a r G e o m t r i c o . G(s)H(s) = (s+8)(s+1)(s+6)2(s+3)2


C o m o s e p u e d e o b s e r v a r , s e g n e l e s b o z o m o s t r a d o e n l a F i g . 1 . 1 6 , e l l u g a r g e o m t r i c o c r u z a h a c i a e l

s e m i p l a n o d e r e c h o , p o r l o t a n t o e x i s t e u n c o r t e c o n e l e j e i m a g i n a r i o , e l c u a l p u e d e c a l c u l a r s e n u m r i c a -

m e n t e u t i l i z a n d o c u a l q u i e r a d e l o s d o s m t o d o s m e n c i o n a d o s p r e v i a m e n t e . s e u t i l i z a r e l s e g u n d o m t o d o

p r o p u e s t o p o r c o n s i d e r a r l o , e n e s t e c a s o , m s s e n c i l l o q u e a p l i c a r e l C r i t e r i o d e R o u t h - H u r w i t z .

s5 + 19s4 + 135s3 + 441s2 + 648s + 324 + K(s + 8) = 0

(j)5 + 19 (j)4 + 135 (j)3 + 441 (j)2 + (648 + K) (j) + 324 + 8K = 0

1 2

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13/21

1 . 2 L u g a r e s G e o m t r i c o s T p i c o s

j5 + 194 135j3 4412 + (648 + K)j + 324 + 8K = 0

194 4412 + 324 + 8K = 0 = 2, 6

4 1352 + 648 + K = 0 K = 223

F i n a l m e n t e s e p r e s e n t a e n l a F i g . 1 . 1 7 e l l u g a r g e o m t r i c o e x a c t o g r a c i a s a l u s o d e l M A T L A B , e n

e l c u a l s e d e s t a c a n l o s v a l o r e s n u m r i c o s c a l c u l a d o s p a r a l o s p u n t o s d e d e s p e g u e y e l c o r t e c o n e l e j e

i m a g i n a r i o , l o s c u a l e s c o i n c i d e n c o n l o e s p e r a d o .

12 10 8 6 4 2 0 2 4 610

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

System: sys

Gain: 221Pole: 0.00689 + 2.59iDamping: 0.00266Overshoot (%): 99.2Frequency (rad/sec): 2.59



Eje Real

EjeImaginario

F i g u r a 1 . 1 7 : L u g a r G e o m t r i c o E x a c t o . G(s)H(s) = (s+8)(s+1)(s+6)2(s+3)2

1 . 2 . L u g a r e s G e o m t r i c o s T p i c o s

C o n l a i n t e n c i n d e d e j a r m s c l a r a m e n t e e s t a b l e c i d o s l o s b e n e c i o s q u e r e p o r t a e l c o n o c i m i e n t o d e l

l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a i c e s d e u n s i s t e m a , s e p r e s e n t a r n e n e s t a s e c c i n a l g u n o s l u g a r e s g e o m t r i c o s

d e f u n c i o n e s d e t r a n s f e r e n c i a t p i c a s y s e r e a l i z a r u n b r e v e a n l i s i s p a r a c a d a u n o d e e l l o s .

P a r a u n s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n , c u y a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o e s t d e s c r i t a p o r l a E c .

1 . 2 1 , s e t i e n e u n l u g a r g e o m t r i c o c o m o e l q u e s e o b s e r v a e n l a F i g . 1 . 1 8 ( a ) , e n l a c u a l s e d e s t a c a q u e a

l a z o c e r r a d o l a s o l u c i n d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a s e r s i e m p r e u n p o l o r e a l , p o r l o q u e l a r e s p u e s t a

s i e m p r e t e n d r f o r m a e x p o n e n c i a l . A s m i s m o s e p u e d e c o n c l u i r q u e , a m e d i d a q u e a u m e n t a K , d i c h o

p o l o s e a l e j a m s d e l e j e i m a g i n a r i o , p o r l o q u e l a c o n s t a n t e d e t i e m p o d e l s i s t e m a s e r c a d a v e z m s

p e q u e a h a c i e n d o q u e l a r a p i d e z d e l a r e s p u e s t a s e a m s a l t a y s u t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o m e n o r .

E n l o q u e r e s p e c t a a l a e s t a b i l i d a d , e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o s e r e s t a b l e p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e K

p u e s e l l u g a r g e o m t r i c o n o t i e n e n i n g u n a r a m a e n e l s e m i p l a n o d e r e c h o .

1 3

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14/21


G(s)H(s) =1

(s + 2)( 1 . 2 1 )

P a r a u n s i s t e m a d e s e g u n d o o r d e n o r d e n , c u y a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o e s t d e s c r i t a

p o r l a E c . 1 . 2 2 , s e t i e n e u n l u g a r g e o m t r i c o c o m o e l q u e s e o b s e r v a e n l a F i g . 1 . 1 8 ( b ) , e n l a c u a l

r e s a l t a e l h e c h o d e q u e p a r a v a l o r e s b a j o s d e K l o s p o l o s d e l l a z o c e r r a d o s o n r e a l e s , p e r o a m e d i d a

q u e d i c h o p a r m e t r o a u m e n t a l o s p o l o s s e a c e r c a n h a s t a q u e s e i g u a l a n y p o s t e r i o r m e n t e s e c o n v i e r t e n

e n c o n j u g a d o s . E n o t r a s p a l a b r a s , p a r a v a l o r e s b a j o s d e

Kl a f o r m a d e l a r e s p u e s t a p o d r a p r o x i m a r s e

a l a d e u n s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n y s u t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o e s t a r d o m i n a d o p o r e l p o l o q u e

s e e n c u e n t r e m s c e r c a d e l e j e i m a g i n a r i o , e n t a n t o q u e , p a r a v a l o r e s g r a n d e s d e K l o s p o l o s s e r n

c o n j u g a d o s p o r l o q u e e l s i s t e m a s e r s u b a m o r t i g u a d o . E l v a l o r d e l e s t a b l e c i m i e n t o e n e s t e l t i m o

c a s o n o s e v e r m o d i c a d o a m e d i d a q u e a u m e n t a K p u e s l o s p o l o s s i e m p r e s e e n c u e n t r a n a l a m i s m a

d i s t a n c i a d e l e j e i m a g i n a r i o , p e r o e l v a l o r d e l a m o r t i g u a m i e n t o i r d i s m i n u y e n d o p o r l o q u e l a r e s p u e s t a

i r i n c r e m e n t a n d o s u s o b r e i m p l u l s o . E n l o q u e r e s p e c t a a l a e s t a b i l i d a d , e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o s e r

e s t a b l e p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e K p u e s e l l u g a r g e o m t r i c o n o t i e n e n i n g u n a r a m a e n e l s e m i p l a n o

d e r e c h o .

G(s)H(s) =1

(s + 2)(s + 4)( 1 . 2 2 )

40 35 30 25 20 15 10 5 0 51.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Eje Real

EjeImaginario

( a ) U n p o l o

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 01.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Eje Real

EjeImaginario

( b ) d o s p o l o s

F i g u r a 1 . 1 8 : L u g a r e s G e o m t r i c o s

S i s e a a d e u n t e r c e r p o l o , q u e p o d r a s e r e n e l o r i g e n , e l s i s t e m a p a s a a s e r d e t e r c e r o r d e n y s u

f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o q u e d a r d e s c r i t a p o r l a E c . 1 . 2 3 ( a ) , p a r a l a c u a l s e t i e n e u n

l u g a r g e o m t r i c o c o m o e l q u e s e o b s e r v a e n l a F i g . 1 . 1 9 . E l c o m p o r t a m i e n t o d e l a r e s p u e s t a t r a n s i t o r i a

e s s i m i l a r a l d e l c a s o a n t e r i o r , e s d e c i r , p a r a v a l o r e s d e b a j o s K s e t e n d r u n r e s p u e s t a e x p o n e n c i a l ,

p e r o a m e d i d a q u e K a u m e n t a s e p a s a a t e n e r u n a r e s p u e s t a s u b a m o r t i g u a d a , c o n l a d i f e r e n c i a d e q u e

e l t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o s e h a c e c a d a v e z m a y o r h a s t a q u e l l e g a a u n l m i t e a p a r t i r d e l c u a l e l

s i s t e m a p a s a a s e r i n e s t a b l e p u e s e l l u g a r g e o m t r i c o c r u z a h a c i a e l s e m i p l a n o d e r e c h o .

G(s)H(s) =1

s(s + 2)(s + 4)( 1 . 2 3 )

A h o r a , s i s e m a n t i e n e n l o s p o l o s p e r o s e a a d e u n c e r o e n e l e j e r e a l , q u e d a n d o l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a

a l a z o a b i e r t o d e s c r i t a p o r l a E c . 1 . 2 4 , s e t i e n e u n l u g a r g e o m t r i c o c o m o e l q u e s e o b s e r v a e n l a F i g .

1 . 2 3 ( b ) . E n e s t e l t i m o c a s o d e s t a c a e l h e c h o d e q u e e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o s e r s i e m p r e e s t a b l e

1 4

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15/21

1 . 3 I n t e r p r e t a c i n y U s o d e l L u g a r G e o m t r i c o d e l a s R a c e s

p u e s c o n l a a d i c i n d e l c e r o e l l u g a r n o a t r a v i e s a h a c i a e l s e m i p l a n o d e r e c h o c o n l o c u a l l a r e s p u e s t a

t r a n s i t o r i a s e v e i m p a c t a d a e n f o r m a m u y p o s i t i v a .

G(s)H(s) =(s + 3)

s(s + 2)(s + 4)( 1 . 2 4 )

5 4 3 2 1 0 1 26

4

2

0

2

4

6

Eje Real

EjeImaginario

( a ) T r e s p o l o s

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.510

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Eje Real

EjeImaginario

( b ) T r e s p o l o s y u n c e r o

F i g u r a 1 . 1 9 : L u g a r e s G e o m t r i c o s

P a r t i e n d o d e l o s e j e m p l o s m o s t r a d o s a n t e r i o r m e n t e s e d e m u e s t r a l a g r a n u t i l i d a d d e l l u g a r g e o m t r i c o

p a r a e l a n l i s i s d e l a r e s p u e s t a d e s i s t e m a a l a z o c e r r a d o a m e d i d a q u e v a r a u n p a r m e t r o y a m e d i d a

q u e s e m o d i c a l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o , l o c u a l p o d r s e r u t i l i z a d o p a r a e l d i s e o d e

s i s t e m a s d e c o n t r o l .

1 . 3 . I n t e r p r e t a c i n y U s o d e l L u g a r G e o m t r i c o d e l a s R a c e s

E l l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s e s u n a h e r r a m i e n t a m u y t i l p a r a e l a n l i s i s d e l a r e s p u e s t a t r a n s i t o r i a

d e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o a m e d i d a q u e s e v a r a u n p a r m e t r o , p u e s i n f o r m a c o m o s e v a n m o v i e n d o

l o s p o l o s d e l s i s t e m a . E n t r e l o s d i f e r e n t e s a s p e c t o s , r e s p e c t o a l o s c u a l e s p u e d e n o b t e n e r s e i m p o r t a n t e s

c o n c l u s i o n e s , s e p u e d e n m e n c i o n a r l o s s i g u i e n t e s .

E l l u g a r g e o m t r i c o m u e s t r a t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i n c a r a c t e r s t i c a a l a z o c e r r a d o a

m e d i d a q u e a u m e n t a K, l o q u e p e r m i t e c o n o c e r l a i n u e n c i a d e d i c h o p a r m e t r o s o b r e l a r e s p u e s t a

t r a n s i t o r i a .

L a s r a m a s d e l l u g a r g e o m t r i c o q u e s e e n c u e n t r e n m s c e r c a d e l e j e i m a g i n a r i o s e c o n o c e r n c o m o

l a s r a m a s d o m i n a n t e s d e l l u g a r p u e s s o b r e e l l a s s e d e s p l a z a n l o s p o l o s d o m i n a n t e s d e l s i s t e m a .

S i t o d a s l a s r a m a s s e e n c u e n t r a n e n e l s e m i p l a n o i z q u i e r d o s e p u e d e c o n c l u i r q u e e l s i s t e m a a l a z o

c e r r a d o s e r e s t a b l e p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e K, p u e s s t o i n d i c a q u e n o e x i s t e n i n g n p o l o c o n

p a r t e r e a l p o s i t i v a . P o r o t r o l a d o , s i a l g u n a r a m a d e l l u g a r g e o m t r i c o a t r a v i e s a h a c i a e l s e m i p l a n o

d e r e c h o , e s t o i n d i c a q u e p a r a c i e r t o s v a l o r e s d e l K e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o e s i n e s t a b l e , p e r o ,

s i e x i s t e a l g u n a r a m a q u e d e s d e q u e c o m i e n z a h a s t a q u e t e r m i n a s e e n c u e n t r a e n e l s e m i p l a n o

d e r e c h o , s e p u e d e c o n c l u i r q u e e l s i s t e m a s e r i n e s t a b l e p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e K.

E l c o n o c i m i e n t o e x a c t o d e l l u g a r g e o m t r i c o p e r m i t e d e t e r m i n a r q u e v a l o r d e b e r a t e n e r l a g a n a n -

c i a K p a r a q u e e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o t u v i e s e u n c o m p o r t a m i e n t o e s p e c c o .

1 5

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16/21


A c o n t i n u a c i n s e a n a l i z a r d e t a l l a d a m e n t e e l l u g a r g e o m t r i c o q u e s e m o s t r e n l a F i g . 1 . 1 1 , a p a r t i r

d e l c u a l s e p u e d e c o n c l u i r r e s p e c t o a d i f e r e n t e s a s p e c t o s d e l a r e s p u e s t a t a l e s c o m o l o s s i g u i e n t e s .

P a r a v a l o r e s b a j o s d e K l o s p o l o s d e l l a z o c e r r a d o s o n t o d o s r e a l e s , t a l c o m o s e m u e s t r a e n l a F i g .

1 . 2 0 , l o q u e i n d i c a q u e l a f o r m a d e l a r e s p u e s t a s e r e x p o n e n c i a l s e m e j a n t e a l a d e l o s s i s t e m a s d e

p r i m e r o r d e n . T a m b i n s e p u e d e c o n c l u i r q u e e l t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o s e r m u y a l t o , p u e s e l p o l o

d o m i n a n t e s e e n c u e n t r a m u y c e r c a d e l e j e i m a g i n a r i o , p u d i n d o s e a p r o x i m a r d i c h o t i e m p o u t i l i z a n d o

l a c o n s t a n t e d e t i e m p o d e l p o l o d o m i n a n t e , t a l c o m o l o m u e s t r a l a E c . 1 . 2 5 .

5 4 3 2 1 0 1 24

3

2

1

0

1

2

3

4

Lugar Geomtrico

Eje Real

EjeImaginario

S1S2S3S4

Polo Dominante

F i g u r a 1 . 2 0 : U b i c a c i n d e l a s r a c e s p a r a v a l o r e s b a j o s d e K.

ts(2%) = 4 ts(2%) = 4

1

s1

ts(2%) 4

1

0, 2

ts(2%) 5 ( 1 . 2 5 )

A m e d i d a q u e s e i n c r e m e n t a e l v a l o r d e l a g a n a n c i a l o s p o l o s s e v a n d e s p l a z a n d o h a s t a u n p u n t o e n

e l c u a l l o s p o l o s s1 y s2 s e i g u a l a n e n e l p u n t o d e r u p t u r a d e l l u g a r . P a r a d i c h o v a l o r d e g a n a n c i a s e

p u e d e d e c i r q u e s e t e n d r l a r e s p u e s t a a l a z o c e r a d o c o n m e n o r t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o , e l c u a l p u e d e

c a l c u l a r s e p a r t i e n d o d e l v a l o r d e l p u n t o d e r u p t u r a t a l c o m o l o e x p r e s a l a E c . 1 . 2 6 . E s t o e s d e b i d o a

q u e e s e e s e l p u n t o m s a l e j a d o d e l e j e i m a g i n a r i o e n e l c u a l s e p u e d e n u b i c a r l o s p o l o s d o m i n a n t e s d e l

l u g a r . C a b e d e s t a c a r q u e l a f o r m a d e l a r e s p u e s t a s e g u i r s i e n d o d e t i p o e x p o n e n c i a l p u e s l o s p o l o s s e

m a n t i e n e n r e a l e s . E l v a l o r d e l a g a n a n c i a p a r a e l c u a l s e c u m p l e c o n l a c o n d i c i n d e m e n o r t i e m p o d e

e s t a b l e c i m i e n t o s e c a l c u l a u t i l i z a n d o l a c o n d i c i n d e m d u l o t a l c o m o s e m u e s t r a e n l a E c . 1 . 2 7 .

ts(2%) = 4 ts(2%) 4

1

0, 43

ts(2%) 9, 3 ( 1 . 2 6 )

K = 1

G(s)H(s)s=0,43

= |s| |s + 1| |s + 2| |s + 4|

|s + 3|s=0,43

K =(0, 43)(0, 57)(1, 57)(3, 57)

(2, 57)

K = 0, 5345

( 1 . 2 7 )

A h o r a , s i e l v a l o r d e l a g a n a n c i a s u p e r a e l c a l c u l a d o a n t e r i o r m e n t e , e l l u g a r g e o m t r i c o s e d e s p e g a

d e l e j e r e a l y l o s p o l o s d o m i n a n t e s p a s a n a s e r c o n j u g a d o s , l o q u e i m p l i c a q u e l a r e s p u e s t a p o d r s e r

a p r o x i m a d a a l a d e u n s i s t e m a d e s e g u n d o o r d e n s u b a m o r t i g u a d o . E l v a l o r d e d i s m i n u y e a m e d i d a

q u e K a u m e n t a , p o r l o t a n t o e l m x i m o s o b r e i m p u l s o o p i c o c r e c e r . S i s e q u i s i e r a d e t e r m i n a r e l v a l o r

d e K p a r a u n v a l o r l m i t e d e s e p o d r a r e a l i z a r f c i l m e n t e a p a r t i r d e l l u g a r g e o m t r i c o t a l c o m o

s i g u e . S u p o n g a q u e s e d e s e a q u e = 0, 5, l o q u e i m p l i c a q u e l a s r a c e s d e b e n e s t a r e n l a l i n e a p u n t e a d a q u e s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 2 1 .

1 6

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1 . 3 I n t e r p r e t a c i n y U s o d e l L u g a r G e o m t r i c o d e l a s R a c e s

Eje Real

EjeImaginario

5 4.84.64.44.24 3.83.63.43.2 3 2.82.62.42.2 2 1.81.61.41.21 0.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

seda = 0,5

F i g u r a 1 . 2 1 : U b i c a c i n d e l o s p o l o s q u e s a t i s f a c e n = 0, 5.

D e a l l q u e , e l p u n t o s = 0, 35 + 0, 6j , e n e l c u a l d i c h a l i n e a c o r t a a l l u g a r g e o m t r i c o , c u m p l e c o n l a c o n d i c i n i m p u e s t a . C o n e s t a i n f o r m a c i n s e c a l c u l a e l v a l o r d e K u t i l i z a n d o l a c o n d i c i n d e m d u l o ,

t a l c o m o l o i n d i c a l a E c . 1 . 2 8 .

K =|s| |s + 1| |s + 2| |s + 4|

|s + 3|

s=0,35+0,6j

K =(0, 69)(0, 88)(1, 76)(3, 70)

(2, 72) K = 1, 47 ( 1 . 2 8 )

T a m b i n s e p u e d e r e q u i r i r e l v a l o r d e l a g a n a n c i a t a l q u e s e s a t i s f a g a c o n u n t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o

m x i m o , p o r e j e m p l o , ts(2%) 10. P a r a e l l o d e b e u b i c a r s e e n e l p l a n o u n a l i n e a v e r t i c a l q u e s a t i s f a g a

d i c h a c o n d i c i n , t a l c o m o s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 2 2 , y o b t e n e r d e a l l t o d o s l o s p o s i b l e s c r u c e s c o n e l

l u g a r g e o m t r i c o . C o m o s e p u e d e o b s e r v a r e x i s t e n t r e s p o s i b l e s r a c e s q u e s a t i s f a c e n d i c h a c o n d i c i n ,

u n a r a z r e a l y u n p a r d e r a c e s i m a g i n a r i a s , s1 = 0, 4 y s2,3 = 0, 4 0, 4j , p o r l o q u e s e t e n d r n d o s p o s i b l e s v a l o r e s d e K c u y o s c l c u l o s s e m u e s t r a n e n l a s E c s . 1 . 3 3 y 1 . 3 2 . E s i m p o r t a n t e r e s a l t a r q u e

l a r a z c o n j u g a d a d e s3 t a m b i n s a t i s f a c e l a c o n d i c i n i m p u e s t a , p e r o o c u r r i r p a r a e l m i s m o v a l o r d e

g a n a n c i a q u e s2 .

K1 =|s| |s + 1| |s + 2| |s + 4|

|s + 3|

s1=0,4

K1 =(0, 4)(0, 6)(1, 6)(3, 6)

(2, 6) K1 = 0, 53 ( 1 . 2 9 )

K2 =|s| |s + 1| |s + 2| |s + 4|

|s + 3|

s2=0,4+0,4j

K2 =(0, 57)(0, 72)(1, 65)(3, 62)

(2, 63) K2 = 0, 93 ( 1 . 3 0 )

A d i c i o n a l m e n t e a l c l c u l o d e l a s g a n a n c i a s s e p u e d e c o n c l u i r q u e p a r a e l c a s o e n q u e K = K1 l ar e s p u e s t a t e n d r u n a f o r m a e x p o n e n c i a l , p u e s s u p o l o d o m i n a n t e e s r e a l , p e r o s u e r r o r a l a r a m p a s e r

m a y o r q u e p a r a e l c a s o e n q u e K = K2 . A h o r a , c u a n d o K = K2 l a r e s p u e s t a s e r s u b a m o r t i g u a d a y p r e s e n t a r u n s o b r e i m p l u s o , q u e p o d r a s e r c a l c u l a d o d e t e r m i n a n d o e l v a l o r d e a p a r t i r d e l v a l o r d e

l a r a z .

C o m o s e p u e d e o b s e r v a r , l o s a n l i s i s q u e p u e d e n r e a l i z a r s e a p a r t i r d e l c o n o c i m i e n t o d e l l u g a r g e o m t r i c o

s o n r p i d o s y t i l e s , p o r l o q u e r e s u l t a u n a h e r r a m i e n t a s u m a m e n t e p o d e r o s a y t i l p a r a e l d i s e o d e

s i s t e m a s d e c o n t r o l .

1 7

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18/21


Eje Real

EjeIm

aginario

5 4.84.64.44.24 3.83.63.43.23 2.82.62.42.22 1.81.61.41.21 0.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

S2, S3

ts = 10

S1

F i g u r a 1 . 2 2 : U b i c a c i n d e l o s p o l o s q u e s a t i s f a c e n ts(2%) = 10 .

1 . 4 . E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

P r o b l e m a r e s u e l t o 1 . 1 P a r a u n p r o c e s o e s p e c c o s e d i s p o n e d e s u l u g a r g e o m t r i c o d e l a s r a c e s , e l

c u a l s e m u e s t r a e n l a F i g . 1 . 2 4 . A p a r t i r d e l m i s m o e s n e c e s a r i o r e a l i z a r l o s i g u i e n t e .

14 12 10 8 6 4 2 0 2

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Eje Real

EjeImagina

rio

F i g u r a 1 . 2 3 : L u g a r g e o m t r i c o

1 ) C a l c u l e p a r a q u e v a l o r o v a l o r e s d e g a n a n c i a e s p o s i b l e t e n e r u n o s p o l o s d o m i n a n t e s d e l s i s t e m a a

l a z o c e r r a d o c u y a f r e c u e n c i a n a t u r a l a m o r t i g u a d a s e a i g u a l a 4 (d = 4).

2 ) C o m p r u e b e , r a z o n a d a m e n t e , s i a n t e u n e s c a l n u n i t a r i o s e r a p o s i b l e t e n e r u n a r e s p u e s t a a l a z o

c e r r a d o d e t i p o e x p o n e n c i a l c o n u n t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o a l 2 % i g u a l a l d e l o s p o l o s m e n c i o n a d o s

e n e l p u n t o 1 ) . D e s e r a r m a t i v a s u r e s p u e s t a , i n d i q u e e l v a l o r d e d i c h o o d i c h o s p o l o s y c o n c l u y a , e n

c a s o d e h a b e r m s d e u n a p o s i b i l i d a d , c u a l d e l o s d o s c a s o s t e n d r a u n m e n o r e r r o r .

3 ) S u p o n g a q u e s e i n t r o d u j o u n c o n t r o l a d o r a l a z o a b i e r t o c u y a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a e s i g u a l a

(s + 5, 8) . R e a l i c e l a s m o d i c a c i o n e s n e c e s a r i a s , s o b r e e l L G R o r i g i n a l , y c o m p a r e , p a r a v a l o r e s m u y

1 8

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19/21

1 . 4 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

a l t o s e n l a g a n a n c i a d e l a z o a b i e r t o , l a s r e s p u e s t a s t r a n s i t o r i a y p e r m a n e n t e , e n t r e e l c a s o o r i g i n a l y e l

m o d i c a d o .

S o l u c i n

1 ) P a r a v e r i c a r s i e l p r o c e s o a l a z o c e r r a d o b a j o e s t u d i o p u e d e o n o p r e s e n t a r u n o s p o l o s d o m i n a n t e s

c u y a d s e a i g u a l a 4 , s e d e b e t r a z a r u n a l i n e a q u e c u m p l a c o n e s t e r e q u e r i m e i n t o y o b s e r v a r s i c o r t a

a l l u g a r g e o m t r i c o e n a l g n p u n t o . E n l a F i g . 1 . 2 4 , s e p u e d e a p r e c i a r q u e d i c h a l i n e a c o r t a a l l u g a r

g e o m t r i c o e n d o s p u n t o s , e s d e c i r , q u e s e p o d r n c a l c u l a r d o s v a l o r e s d e K, t a l c o m o s e m u e s t r a e n

l a s E c s . 1 . 3 3 y 1 . 3 2 . P a r a e l l o s e n e c e s i t a l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o d e l p r o c e s o , l a c u a l

s e d e t e r m i n a a p a r t i r d e l L G R p u e s e l m i s m o c o m i e n z a e n l o s p o l o s d e l l a z o a b i e r t o y t e r m i n a e n l o s

c e r o s d e l l a z o a b i e r t o .

14 12 10 8 6 4 2 0 25

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Eje Real

EjeImag

inario

S1S2

F i g u r a 1 . 2 4 : U b i c a c i n d e d = 4

GLA(s) =(s + 5) (s + 8)

s (s + 4) (s + 6)

K1 =|s| |s + 4| |s + 6|

|s + 5| |s + 8|

s1=5,25+4j

K1 =(6, 6)(4, 19)(4, 07)

(4, 01)(4, 85) K1 = 5, 79 ( 1 . 3 1 )

K2 =|s| |s + 4| |s + 6|

|s + 5| |s + 8|

s2=10,5+4j

K2 =(11, 24)(7, 63)(6, 02)

(6, 80)(4, 72) K2 = 16, 09 ( 1 . 3 2 )

D e b i d o a q u e e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o t i e n e t r e s p o l o s s e d e b e c o m p r o b a r q u e l o s p o l o s q u e s a t i s f a c e n

e l r e q u e r i m i e n t o e s t a b l e c i d o c o i n c i d a n c o n l o s p o l o s d o m i n a n t e s d e l s i s t e m a a l a z o c e r r a d o . C u a n d o e l

v a l o r d e K e s i g u a l a K1 , l o s p o l o s d o m i n a n t e s a l a z o c e r r a d o s o n a q u e l l o s q u e s a t i s f a c e n e l r e q u e r i m i e n t o

p u e s e l t e r c e r p o l o s e e n c u e n t r a e n l a o t r a r a m a d e l L G R m s a l e j a d o d e l e j e r e a l . E n t a n t o q u e c u a n d o

e l v a l o r d e K e s i g u a l a K2 , l o s p o l o s q u e s a t i s f a c e n e l r e q u e r i m i e n t o d e l a d n o s o n d o m i n a n t e s p u e s

e l t e r c e r p o l o s e e n c u e n t r a m s c e r c a d e l e j e i m a g i n a r i o .

b ) E n l a F i g . 1 . 2 5 s e m u e s t r a l a u b i c a c i n d e l p o l o s1 d e l p u n t o a ) , a p a r t i r d e l c u a l s e t r a z a u n a r e c t a

v e r t i c a l q u e c o r t a e l l u g a r g e o m t r i c o e n s3 p a r a o t r o v a l o r d e K, e l c u a l t e n d r e l m i s m o t i e m p o d e

e s t a b l e c i m i e n t o q u e e n a ) . P a r a c a l c u l a r l a g a n a n c i a e n e s e p u n t o s e u t i l i z a n u e v a m e n t e l a c o n d i c i n

d e m d u l o c o m o l o m u e s t r a l a E c . 1 . 3 3 .

K3 =|s| |s + 4| |s + 6|

|s + 5| |s + 8|

s3=5,25

K3 =(5, 25)(1, 25)(2, 25)

(0, 25)(3, 25) K3 = 18, 17 ( 1 . 3 3 )

1 9

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20/21


14 12 10 8 6 4 2 0 25

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Eje Real

EjeImaginario

S1

S3

F i g u r a 1 . 2 5 : R a c e s c o n e l m i s m o ts

C o m o s e o b s e r v a K3 K1 p o r l o q u e l a s r a c e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a r a m a c i r c u l a r d e l l u g a r g e o m t r i c o s e h a b r n d e s p l a z a d o h a c i a l a d e r e c h a a l e j n d o s e d e l e j e i m a g i n a r i o . E s t o i m p l i c a q u e l a r a z q u e s e

e n c u e n t r a e n

s3s e r l a r a z d o m i n a n t e h a c i e n d o q u e l a r e s p u e s t a a l a z o c e r r a d o p u e d a a p r o x i m a r s e a

l a d e u n s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n , c u y o f o r m a s e a e x p o n e n c i a l y s u t i e m p o d e e s t a b l e c i m i e n t o s e a e l

s o l i c i t a d o .

c ) A l a a d i r o t r o c e r o l a f u n c i n d e t r a n s f e r e n c i a a l a z o a b i e r t o t e n d r i g u a l n m e r o d e c e r o s y d e

p o l o s , p o r l o q u e e l l u g a r g e o m t r i c o m o d i c a d o n o p r e s e n t a r n i n g u n a a s n t o t a , t a l c o m o s e m u e s t r a

e l l a F i g . 1 . 2 6 ( a ) , e n d o n d e s e a p r e c i a l a u b i c a c i n d e l a s r a c e s p a r a v a l o r e s a l t o s d e g a n a n c i a . P a r a e l

c a s o o r i g i n a l , t a m b i n s e p u e d e a p r e c i a r l a u b i c a c i n d e l a s r a c e s p a r a v a l o r e s a l t o s d e g a n a n c i a e n l a

F i g . 1 . 2 6 ( b ) .

A p a r t i r d e d i c h a s g u r a s s e p u e d e c o n c l u i r q u e p a r a a m b o s c a s o s o r i g i n a l l a r a z d o m i n a n t e s e r r e a l y

s u v a l o r s e t e n d e r a 5 , e n t a n t o q u e , p a r a e l c a s o m o d i c a d o l a s r a c e s d o m i n a n t e s s e r n i m a g i n a r i a s

p e r o m u y c e r c a n a s a l e j e r e a l c u y a p a r t e r e a l t a m b i n t e n d e r a l v a l o r 5 . E s p o r e l l o q u e s e p u e d e

c o n c l u i r q u e l a a p r o x i m a c i n d e l a s r e s p u e s t a t r a n s i t o r i a e n a m b o s c a s o s s e r s e m e j a n t e .

14 12 10 8 6 4 2 0 25

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Eje Real

EjeImaginario

Races paraaltos valores de K

( a ) L G R o r i g i n a l

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Eje Real

EjeImaginario

Races paraaltos valores de K

( b ) L G R m o d i c a d o

F i g u r a 1 . 2 6 : C o m p a r a c i n l u g a r g e o m t r i c o o r i g i n a l y m o d i c a d o

E n c u a n t o a l a e s c o g e n c i a d e u n v a l o r d e K p a r a a m b o s c a s o s

2 0

8/3/2019 LGR marzo2010

21/21

1 . 4 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

P r o b l e m a r e s u e l t o 1 . 2




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