LezioniedesercitazionidiTecnicadelleCostruzioniMeccanicheMarcoBeghini124ottobre20111Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione, Largo Lucio Lazzarino 2, 56126Pisa, beghini@ing.unipi.it.NotasulCopyrightIl presente documento e il suo contenuto `e distribuito con licenzaCCCreative Commons 2.5di tipo Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate.`E possibile riprodurre, distri-buire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitare questoperaalle seguenti condizioni:BY: Attribuzione. Non `e permesso usare questopera per ni commerciali.$\ Noncommerciale. Non`epermessoalterareotrasformarequestopera, ne usarlapercrearne unaltra.=Nonoperederivate.`Eobbligatorioattribuirelapaternit`adelloperaneimodiindicatidallautore o da chi ha dato lopera in licenza.Ogni voltachequestopera`eusataodistribuita, `eobbligatoriofarlosecondoi termini diquesta licenza, che va comunicata con chiarezza.In ogni caso, `e possibile concordare col titolaredei diritti dautore utilizzi di questopera non consentiti da questa licenza.Per maggiori informazioni: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/alla memoria di mio padre, uomo del NovecentoRingraziamentiQuesto testo non sarebbe stato scritto senza il sostegno e lincoraggiamento di Marilina, chebenconoscequantounimpegnodel generesiagravoso. Granpartedel tempodedicatoallastesuradel testo`estatotrovatonei nesettimanaequindi sottrattoallafamiglia. Connonpochi sensi di colpa, ringrazio per la pazienza e la comprensione Marilina, Enrico e Marianna.Il materiale`estatoricavatodallelezioni edalleesercitazioni damesvolteperil corsodiTecnica delle Costruzioni Meccaniche del secondo anno di Ingegneria Meccanica dellUniversit`adiPisa. Lenumerosediscussioniavutenegliultimianniaccademiciconvariallievi, noncheiloro commenti e consigli, hanno costituto la base per la scelta dellimpostazione e delle modalit`adi presentazione degli argomenti.La realizzazione del volume nella forma attuale non sarebbe stata possibile senza limpiegodel LATEXe il prezioso supporto del mio ex-allievo Lapo Filippo Mori il quale, dimostrando unagentilezza pari alle sue qualit`a intellettuali, mi ha introdotto alluso del programma e ha curatolimpostazione tipograca del documento. Desidero inoltre ringraziare lex allievo Basilio Lenzoe ancora Lapo Mori e per avermi segnalato vari refusi e anche qualche errore che erano presentinella precedente edizione e che spero di aver eliminato.iiiPrefazioneIl testocontienematerialedidatticoperil corsodi TecnicadelleCostruzioni Meccanicheche`esvoltonel secondoannodi IngegneriaMeccanicadellUniversit`adi Pisa. Si trattadiunapreliminareversionedi unadispensache, nellemieintenzioni, dovrebbecoprirelinteroprogramma. Ilprogettocompletodelladispensasiarticolainquattropartipi` uleAppendici,secondo lo schema seguente:parte I - Statica delle struttureparte II - Meccanica dei solidiparte III - Meccanica degli elementi mono-dimensionaliparte IV - Meccanica degli elementi bi-dimensionaliAppendici.Lapresenteedizione(A.A. 2011/2012)comprendeleparti I, II, III eleAppendici. Perragioni pratiche la dispensa `e stata stampata in due volumi, il primo volume comprende le partiI e II e il secondo volume la parte III e le appendici. La numerazione delle pagine e dei capitoli`e per`o unica e progressiva per i due volumi.La Statica delle strutture (parte I) presenta la base della disciplina e sviluppa gli elementiconcettuali ei metodi di analisi necessari perarontaregli argomenti successivi. LavalenzadidatticadellaparteI,cheperaltrocopregranpartedelprogrammasvoltonellaprimamet`adelcorso,`estatalaragionechehaspintoallapubblicazionedelladispensaanchenelleformeincomplete. I capitoli successivi sono stati aggiunti via via che sono stati completati. La Mec-canica dei solidi (parte II) sviluppa un argomento fondamentale per il corso che dovrebbe esserenuovo per il lettore in quanto aronta lestensione della Statica al continuo. Nella parte II sonopresentate e discusse le relazioni fondamentali della meccanica dei continui, ovvero le equazioni:di equilibrio, di congruenzaecostitutive. NellaMeccanicadegli elementi mono-dimensionali(parteIII), attualmentecompleta, sonosviluppateleprimeapplicazioni dellameccanicadeicorpi deformabili checonduconoalleverichedi: resistenza, rigidezzaestabilit`aperletravi.LeAppendici richiamanoesviluppanoalcunenozioni fondamentali, prevalentementedi tipomatematico, che sono diusamente impiegate nella soluzione dei problemi.Sullascortadi unachiaraconvinzionedi tipodidattico, maturatainoltredieci anni diinsegnamentodei fondamenti dellecostruzioni meccaniche, hoevitatoanchenelladispensaladistinzione rigida tra lezioni ed esercitazioni o tra teoria e pratica.I numerosi esempi ed eser-cizi, molti dei quali risolti numericamente e commentati, sono pertanto da considerarsi elementifunzionali allaspiegazione, anchesesonotipogracamentedistinguibili nel testo. Hocercatodi presentareladisciplinasottolineandonelebasi sicheprimachelastrutturamatematico-formale, partendodai fenomeni edai problemi pratici perricavareleleggi ei procedimentigenerali, piuttostochedaassiomichedevonoessereaccettatiacriticamente. Questaimposta-zione `e motivata dalla consapevolezza che per un ingegnere meccanico, quando nella professionevdeveapplicarequesticoncetti, sianodigranlungapi` uutilileabilit`ainduttive, diinterpreta-zione e di modellazione, che le competenze di tipo deduttivo, di analisi o di calcolo. Le abilit`adi calcolo, inparticolaresepotenziatedallimpiegodi sistemi di elaborazione, possonoessereacquisite pi` u procuamente in corsi successivi, dopo che siano state chiarite le idee fondamentalisui modelli sici e sulle relative grandezze.Lattenzionechedeveesserededicataallacomprensioneequindiallimpostazionedeipro-blemi non contrasta tuttavia con la necessit`a di acquisire il necessario rigore metodologico nellasoluzione dei problemi stessi. La dispensa, proprio perche intesa a sviluppare competenze ope-rativedi tipoprofessionale, proponequindi metodi pratici perotteneresoluzioni completeeaccurate anche dal punto di vista quantitativo e numerico. La soluzione numerica completa deiproblemi rappresenta infatti una forma di allenamento insostituibile per cominciare ad acquisireconoscenzefondamentalisuifenomenistudiati. Iltecnicoespertodiunsettoresicaratterizzainfatti per lacapacit`adi farsi unideachiaradel problemachestaarontandoinmododaeliminare da subito gli aspetti quantitativamente marginali. Questa complessa abilit`a si rivelafondamentale anche per la fase di impostazione e modellazione dei problemi.Gli esempi,contrassegnati con il cerchio nero ,sono problemi di riferimento il cui proce-dimento di soluzione `e completamente sviluppato. Sono proposti anche alcuni esercizi (cerchiobianco ) che si prevede siano arontati alla ne dello studio del paragrafo o del capitolo rela-tivo. In certi casi lesercizio `e guidato (cerchio nero per met`a ) con alcuni suggerimenti utiliper limpostazione o la soluzione.I paragra e i problemi contrassegnati con lasterisco (*) sonogeneralmente pi` u complessi o pi` u specici e possono essere tralasciati, specialmente nella primalettura, perche non strettamente necessari alla comprensione del seguito.Il corso `e rivolto agli allievi ingegneri meccanici pertanto, nelle spiegazioni e negli esempi, ledimensioni, le unit`a di misura, i materiali, le forme strutturali e i tipi di carico sono quelli tipicidellingegneriaindustrialeedellameccanicadellemacchine. Sonopertantoevidenziati alcuniaspetticheconsiderofondamentaliperlapreparazioneditipostrutturalediuningegneredelsettore industriale, e che, per varie ragioni, sono generalmente trascurati, quando non del tuttoassenti, neicorsidibasedimeccanicadeisolidiedellestrutture. Miriferisco, inparticolare,alla tridimensionalit`a dei modelli e alle forze dinerzia.Consapevolecheladispensacontengarefusi e(mi auguropochi!) errori, sar`ogratoachivorr`asegnalarmeli, possibilmentetramitepostaelettronica(beghini@ing.unipi.it). Daquestopunto di vista sono meno collaudati i capitoli della parte III (dal 19 al 26, soprattutto lultimoche `einedito). Sonoparticolarmentegraditiicommenticriticirelativiaicontenutieallemo-dalit`a di presentazione nonche ogni suggerimento utile per migliorare le prossime pi` u completeedizioni.IndiceI Staticadellestrutture 11 Laforza 31.1 Primo e secondo principio e denizione dinamica di forza . . . . . . . . . . . . . 31.2 La natura sica delle forze e il terzo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Linterazione gravitazionale e il peso proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Linterazione elettromagnetica, le forze di contattoe lacoesione dellamateria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Applicazioni del terzo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Le forze dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 La denizione statica di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 Le forze come cause di distorsione dei corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2 La misura della forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Le forze come vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1 La natura vettoriale della forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2 La rappresentazione matematica delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 Lavoro e lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Staticadelpuntomateriale 292.1 Il punto materiale come modello di corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Equilibrio statico del punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1 La condizione di equilibrio statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.2 Lesperimento dellequilibrio: funi ideali e pulegge ideali . . . . . . . . . . 312.2.3 Interpretazione dellesperimento e prima equazione cardinale della statica 332.3 Impostazione dei problemi di statica del punto materiale. . . . . . . . . . . . . . 342.4 Problemi piani con congurazione di equilibrio data ovvero del primo tipo . . . . 362.4.1 Alcune considerazioni generali sul trattamento delle forze incognite. . . . 412.4.2 La linearit`a del sistema risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Problemi piani del secondo tipo ovvero con congurazione di equilibrio incognita 432.5.1 Lacongurazionedi equilibriodeveesseredeterminataconleequazionicardinali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5.2 Considerazioni generali sui problemi del secondo tipo: stabilit`a dellequi-librio (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.6 Problemi di statica del punto materiale nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 Problemi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Ilcorpoestesoeleazionisudiessoagenti 553.1 Corpo esteso come sistema di punti materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Le forze come vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.1 Forza applicata e momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2 Propriet`a del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58viiINDICE3.3 Sistemi di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.1 Caratteristiche complessive dei sistemi di forze . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2 Sistemi piani di forze e metodi per il calcolo delle componenti di momento 613.3.3 Sistemi di forze parallele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.4 Coppia di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.5 Sistemi di forze staticamente equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.6 Lavoro fatto da un sistema di forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Forze interne e forze esterne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.1 Denizione di forze interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.2 Propriet`a globali delle forze interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5 Il corpo esteso continuo e le sue principali propriet`a . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.1 Il materiale come continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.2 Massa e densit`a media nei corpi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5.3 Denizione di densit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6 Forze sui corpi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6.1 Forze di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6.2 Forze di supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.6.3 Forze concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.7 Caratteristiche statiche equivalenti a distribuzioni di forze parallele. . . . . . . . 783.7.1 Distribuzione di forze parallele di supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.7.2 Distribuzioni di forze parallele di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.8 Momenti concentrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8.1 La nozione di momento concentrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8.2 Lavoro fatto dai momenti concentrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.9 Azioni statiche e generalizzazione del terzo principio . . . . . . . . . . . . . . . . 844 Ilcorporigidoeivincolinelpiano 874.1 Il corpo rigido e le condizioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.1 Il modello di corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.2 Equilibrio e equazioni cardinali per un corpo rigido. . . . . . . . . . . . . 884.1.3 Osservazioni sulle condizioni di equilibrio del corpo rigido . . . . . . . . . 904.2 Gradi di libert`a per un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.1 La nozione di grado di libert`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Calcolo dei gradi di libert`a per il corpo rigido. . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.3 Gradi di libert`a per un corpo esteso non rigido . . . . . . . . . . . . . . . 944.3 Vincoli sul corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4 I vincoli ideali nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4.1 Appoggio semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4.2 Cerniera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4.3 Incastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.4 Bipendolo, doppio-pendolo o pattino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.5 Doppio bipendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5 Alcune considerazioni sulla schematizzazione dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . 1024.5.1 Vincoli composti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.5.2 Bronzine lunghe e bronzine corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5.3 Cuscinetti di rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.5.4 Contatti con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085 Problemidistaticadelcorporigidonelpiano 1115.1 Problemi con corpi rigidi in quiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111viiiINDICE5.1.1 Problemi del primo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1.2 Problemi del secondo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.1.3 Considerazioni sullequilibrio per i problemi di primo e di secondo tipo. . 1175.2 Problemi con forze dinerzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3 Problemi con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 Staticadelcorporigidonellospazio 1276.1 Vincolo di appoggio semplice nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 Cerniere tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.1 Cerniera piana nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.2 Cerniera sferica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2.3 Cerniera completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.2.4 Cerniera completa assialmente libera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3 Slitta, pattino o guida prismatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4 Incastro spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5 Giunto universale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.6 Guida o vincolo elicoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.7 Problemi di statica del corpo rigido nello spazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.7.1 Problemi con le cerniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.7.2 Altri tipi di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487 Staticadellestrutturedicorpirigidi 1557.1 Concetto di struttura e calcolo dei gradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.1.1 Strutture e macchine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.1.2 Vincoli interni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.1.3 Gradi di libert`a complessivi di una struttura . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Impostazione di un problema di statica delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.1 Condizione di equilibrio per una struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.2 Considerazioni sulle condizioni di equilibrio: metodo generale di soluzione 1597.3 Scrittura del sistema risolvente e discussione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.3.1 Schema di corpo libero preliminare per una struttura . . . . . . . . . . . . 1617.3.2 Forma del sistema risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.4 Classicazione dei problemi di statica delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.4.1 Analisi del sistema risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.4.2 Problemi isostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.4.3 Problemi labili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.4.4 Problemi iperstatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.5 Particolarit`a dei problemi isostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.5.1 Problemi isostatici in relazione al carico applicato . . . . . . . . . . . . . . 1677.5.2 Strutture intrinsecamente isostatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5.3 Riconoscimento di strutture intrinsecamente isostatiche . . . . . . . . . . 1717.6 Alcune particolarit`a di problemi non isostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.6.1 Arco a tre cerniere allineate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.6.2 Problemi iperstatici particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.6.3 Errori di montaggio sulle strutture isostatiche. . . . . . . . . . . . . . . . 1777.7 Il montaggio di alberi di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.8 Esempi di strutture e loro classicazione statica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.9 Considerazioni generali sulla statica delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838 Problemidistaticadellestrutture 185ixINDICE8.1 Strutture piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.2 Strutture reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.2.1 Arco a tre cerniere reticolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.2.2 Strutture reticolari pi` u complesse: metodo dei nodi e delle sezioni . . . . 1948.3 Strutture parzialmente o approssimativamente reticolari . . . . . . . . . . . . . . 1998.4 Classicazione delle strutture reticolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.5 Strutture reticolari nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069 Ilmodelloditraveelecaratteristichedisollecitazione 2099.1 Modelli geometrici degli elementi strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.2 Solidi tri-dimensionali e bi-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.2.1 Solidi bi-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.2.2 Lastre o membrane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.2.3 Piastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.2.4 Gusci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.3 I solidi mono-dimensionali: le travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.4 Modello matematico di trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.4.1 Travi a sezione costante o uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.4.2 Travi a sezione variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.4.3 Classicazione delle travi in base alla forma dellasse . . . . . . . . . . . . 2199.5 Sistema di riferimento locale della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.6 Caratteristiche di sollecitazione per le travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.6.1 Azioni statiche trasmesse dalle sezioni di una trave e loro natura . . . . . 2219.6.2 La denizione delle caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . 2259.6.3 Procedimento di calcolo delle caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . 2279.7 Eetti prodotti dalle caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.7.1 Eetto della forza normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.7.2 Eetto della forza di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7.3 Eetto del momento torcente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7.4 Eetto del momento ettente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.8 Problemi piani di travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.9 Problemi tridimensionali di travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24010 Idiagrammidellecaratteristiche 24310.1Sezioni potenzialmente critiche e diagrammi delle caratteristiche . . . . . . . . . 24310.2Diagrammi delle caratteristiche nei casi piani: carichi concentrati . . . . . . . . . 24410.2.1 Esempi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24410.2.2 Asse ramicato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.2.3 Carico di momento concentrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.3Diagrammi con carichi concentrati: problemi proposti . . . . . . . . . . . . . . . 25310.4Diagrammi delle caratteristiche nei casi piani: carichi distribuiti . . . . . . . . . . 25810.5Relazioni dierenziali tra le caratteristiche e il carico . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.5.1 Carico generico sul concio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.5.2 Equazioni indenite di equilibrio per il concio con asse rettilineo piano. . 26410.6Considerazioni sulle equazioni indenite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.7Applicazione delle equazioni indenite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26810.7.1 Espressioni analitiche delle caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26810.7.2 Determinazione delle caratteristiche di sollecitazione per via analitica . . . 27310.8Diagrammi delle caratteristiche nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27410.9Travi piane con asse curvo (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281xINDICE10.9.1 Equazioni di equilibrio per lasse curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28110.9.2 Esempi di travi con asse curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.9.3 Travi curve nelle applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511 Staticadeicorpideformabili 28911.1La deformabilit`a delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.2Eetti prodotti dalla variabilit`a temporale dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.3Soluzione dinamica per carichi a regime costanti (*) . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.3.1 Eetto delle forze dissipative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29611.3.2 Sistemi con pi` u gradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29611.3.3 Come considerare gli eetti dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.4Soluzione dinamica per carichi continuamente variabili nel tempo (*) . . . . . . . 29811.5Eetti prodotti dal cambiamento della geometria sotto carico . . . . . . . . . . . 30011.5.1 Tutti i problemi sono del secondo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30011.5.2 Soluzione approssimata per problemi del secondo tipo . . . . . . . . . . . 30311.5.3 Ipotesi dei piccoli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30611.5.4 Quando le distorsioni possono essere considerate piccole? . . . . . . . . . 30811.6Meccanica dei corpi poco deformabili sotto carichi quasi statici . . . . . . . . . . 309II Meccanicadeisolidi 31712 Lostatoditensione 31912.1Cosa misura la tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31912.1.1 La natura sica della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31912.1.2 Le principali ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32012.2Il vettore tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32112.2.1 Condizione di riferimento e condizione sollecitata . . . . . . . . . . . . . . 32112.2.2 Denizione di vettore tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32712.2.3 Le azioni di momento e i materiali semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . 32812.2.4 Componenti locali del vettore tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32912.2.5 Natura ed eetti delle componenti locali del vettore tensione . . . . . . . 33212.3Il modello matematico dello stato di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33412.3.1 Lo stato di tensione non `e una grandezza vettoriale . . . . . . . . . . . . . 33412.3.2 Il parallelepipedo elementare e il suo schema di corpo libero . . . . . . . 33512.3.3 Componenti dei vettori tensione: matrice di Cauchy . . . . . . . . . . . . 33612.3.4 Il tetraedro di Cauchy e le condizioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . 34112.3.5 Le caratteristiche del vettore tensione ottenute dalla matrice di Cauchy . 34512.4Le propriet`a tensoriali dello stato di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34712.4.1 Lo stato di tensione per un parallelepipedo ruotato. . . . . . . . . . . . . 34712.4.2 Legge di trasformazione per rotazione e denizione di tensore . . . . . . . 35112.4.3 Lo studio delle propriet`a di una grandezza tensoriale . . . . . . . . . . . . 35412.4.4 Simboli nomi e convenzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35512.5Altri modi di rappresentare i tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35712.5.1 Il tensore di Cauchy in coordinate non cartesiane . . . . . . . . . . . . . . 35712.5.2 Notazione tensoriale con indici (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35913 Propriet`adellostatoditensione 36313.1Lo studio degli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36313.1.1 La ricerca degli invarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363xiINDICE13.1.2 La soluzione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36413.1.3 Tre autovalori distinti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36613.1.4 Due soli autovalori coincidenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36913.1.5 Tre autovalori coincidenti e stato di tensione idrostatico . . . . . . . . . . 37013.2Classicazione dello stato di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37213.3Rappresentazione di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37413.3.1 Tensione monoassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37413.3.2 Tensione biassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37713.3.3 Tensione triassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38113.4Analisi degli stati di tensione con la rappresentazione di Mohr . . . . . . . . . . . 38513.5Altre rappresentazioni e propriet`a dello stato di tensione. . . . . . . . . . . . . . 38913.5.1 Rappresentazione di Haigh-Westergaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38913.5.2 Decomposizione dello stato di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39013.6Equazioni indenite di equilibrio dellelemento solido elementare . . . . . . . . . 39314 Ladeformazione 39714.1Necessit`a dellanalisi deformativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39714.2Il campo di spostamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40014.3Le componenti del campo di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40014.3.1 Propriet`a di regolarit`a del campo di spostamento. . . . . . . . . . . . . . 40314.3.2 Un esempio monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40414.4Trasformazioni ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40714.4.1 Denizione di trasformazione ane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40714.4.2 Propriet`a delle trasformazioni ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40914.5Denizione di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41214.5.1 Le componenti della deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41214.5.2 Signicato delle deformazioni e loro limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41614.5.3 La matrice delle deformazioni D dedotta dalla matrice A (*) . . . . . . . 42114.6Tensore delle piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42414.6.1 Decomposizione dalla matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42414.6.2 Rotazioni rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42614.6.3 Tensori di rotazione e di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42914.7Trasformazioni non ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43314.8Problema inverso e equazioni di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43714.8.1 Il problema inverso (*). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43714.8.2 Equazioni di congruenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44015 Analisidicorpideformati 44315.1Applicazioni delle piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44315.1.1 Deformazioni e direzioni principali dello stato di deformazione . . . . . . 44415.1.2 Deformazioni di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44615.1.3 Deformazioni di linee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44915.1.4 Deformazione di superci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45315.2Deformazione di un elemento che subisce un incurvamento. . . . . . . . . . . . . 45615.3Conservazione delle sezioni piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46015.4Trasformazioni deformative intense (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46315.4.1 Grandi spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46415.4.2 Grandi deformazioni e piccoli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46515.4.3 Grandi spostamenti e grandi deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467xiiINDICE16 Laleggecostitutiva 46916.1Il lavoro delle forze agenti su corpi deformabili discreti . . . . . . . . . . . . . . . 46916.1.1 Lavoro delle forze esterne e lavoro delle forze interne . . . . . . . . . . . . 46916.1.2 Lavori fatti da forze interne dissipative e conservative in sistemi discreti . 47116.2Forze interne sui continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47616.2.1 Lavoro virtuale fatto delle tensioni sul parallelepipedo elementare. . . . . 47616.2.2 Densit`a volumica del lavoro virtuale fatto delle tensioni . . . . . . . . . . 47916.2.3 Densit`a del lavoro fatto dalle tensioni in una trasformazione nita . . . . 48116.3Lavoro complessivo fatto dalle forze per deformare un corpo esteso . . . . . . . . 48416.3.1 Lavoro fatto dalle tensioni e lavoro fatto delle forze esterne . . . . . . . . 48416.3.2 Considerazioni termodinamiche relative al lavoro fatto dalle tensioni . . . 48716.4Il materiale omogeneo isotropo elastico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48916.4.1 Materiali costitutivamente omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48916.4.2 Materiali isotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49016.4.3 Materiali elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49116.4.4 Materiali elastici lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49616.5Equazione costitutiva per un materiale elastico lineare . . . . . . . . . . . . . . . 49716.5.1 Tensori di rigidezza e di deformabilit`a e loro rappresentazione matriciale. 49716.5.2 Densit`a del lavoro fatto dalle tensioni e densit`a di energia elastica . . . . 49916.5.3 Limiti di natura termodinamica ai valori delle costanti elastiche . . . . . . 50316.6La sovrapposizione degli eetti nella meccanica dei corpi elastici . . . . . . . . . 50417 Ilmaterialeelasticolineareomogeneoisotropo 50917.1La legge di Hooke per il materiale elastico lineare omogeneo e isotropo . . . . . . 50917.1.1 Leetto dellisotropia sulle matrici elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 50917.1.2 La prova di trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51217.1.3 Misure nella prova di trazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51617.1.4 Costanti elastiche principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51717.1.5 La legge di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52017.2Densit`a di energia e interpretazione delle costanti elastiche . . . . . . . . . . . . . 52417.2.1 Matrici di deformabilit`a e di rigidezza e densit`a di energia elastica . . . . 52417.2.2 Limiti delle costanti elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52617.2.3 Costanti elastiche nei materiali comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52717.3Soluzione generale del problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52917.4Altre espressioni della legge di Hooke (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53517.5Giusticazione delleetto Poisson per un modello elementare di reticolo (*) . . . 53717.6True stress vs engineering stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54018 Propriet`adiresistenzaeveriche 54318.1Determinazione della resistenza allo snervamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54318.1.1 Completamento della prova di trazione no a rottura . . . . . . . . . . . . 54318.1.2 Tensione di snervamento e tensione ammissibile per lo snervamento . . . . 54518.2Altre propriet`a di resistenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54918.3Lo snervamento in condizioni non monoassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55218.4Lo snervamento secondo Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55618.4.1 Il criterio di snervamento di Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55618.4.2 La tensione equivalente secondo Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55818.5Lo snervamento secondo von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56118.5.1 Il criterio di snervamento di von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56118.5.2 La tensione equivalente secondo von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562xiiiINDICE18.6Confronto tra i criteri di snervamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56418.7La verica di resistenza e il coeciente di sicurezza. . . . . . . . . . . . . . . . . 568III Meccanicadeglielementimonodimensionali 57319 Travesoggettaaforzanormale 57519.1Il principio di De Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57519.2La trave soggetta a forza normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57719.3Estensioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58219.3.1 Zone di estinzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58219.3.2 Sezioni gradualmente variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58519.3.3 Carichi applicati lungo lasse della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58719.4Problemi iperstatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59019.4.1 Il metodo delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59019.4.2 Metodo degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59419.5Problemi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59720 Travesoggettaaessione 60120.1Lesperimento della essione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60120.2La formula base della essione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60420.3Considerazioni sulla formula di Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60820.3.1 Veriche di resistenza in essione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60820.3.2 Veriche di rigidezza in essione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61120.3.3 Sezione di forma ottimale per la essione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61520.3.4 Considerazioni generali sulla verica a essione di travi . . . . . . . . . . 61720.4Analisi della deformazione complessiva di una trave inessa . . . . . . . . . . . . 62220.5Flessione retta e essione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62420.5.1 Momento ettente nella direzione principaley. . . . . . . . . . . . . . . . 62520.5.2 Applicazione di entrambi i momenti ettenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 62620.6Carico normale eccentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63320.6.1 Campo tensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63420.6.2 Reciprocit`a e nocciolo centrale dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63621 Travesoggettaatorsione 64121.1Torsione di tubo circolare di piccolo spessore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64121.1.1 Denizione della geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64221.1.2 Deduzione dello stato di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64321.1.3 Deformazione del tubo sottile in torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64921.1.4 Energia elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65221.2Trave assialsimmetrica in torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65521.2.1 Barra cilindrica piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65521.2.2 Tubo cilindrico in torsione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65621.3Considerazioni sulla torsione di un elemento assialsimmetrico . . . . . . . . . . . 65821.4Torsione per una sezione generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66121.4.1 Il problema generale della torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66121.4.2 La soluzione per analogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66321.5Torsione per una sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66521.5.1 Soluzione approssimata generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66521.5.2 Casi asintotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668xivINDICE21.6Torsione di travi riconducibili al caso della sezione rettangolare . . . . . . . . . . 66921.6.1 Travi a parte sottile non rettilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66921.6.2 Travi composte di parti rettangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67021.7Travi tubolari non circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67221.7.1 Teoria di Bredt per la resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67321.7.2 Stima di Bredt della rigidezza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67721.8Applicazioni dellanalogia della membrana alle sezioni in parete sottile . . . . . . 68121.8.1 Sezioni tubolari i parete sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68121.8.2 Sezioni aperte in parete sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68321.9Eetti locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68622 Travesoggettaataglio 69322.1La prova di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69322.2La sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69522.3La teoria approssimata del taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70122.3.1 Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70122.3.2 Sezione circolare tubolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70422.4La teoria approssimata del taglio per le sezioni in parete sottile . . . . . . . . . . 70622.4.1 Taglio per una sezione a doppio T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70622.4.2 Soluzione semplicata per la sezione a doppio T . . . . . . . . . . . . . . 70922.4.3 Altre sezioni prolate simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71122.5Leetto deformativo dovuto al taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71322.5.1 Analisi della deformazione dovuta al taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . 71322.5.2 Rigidezza a taglio della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71622.5.3 Quanticazione degli eetti deformativi dovuti al taglio . . . . . . . . . . 71822.6Comportamento a taglio di sezioni non simmetriche (*) . . . . . . . . . . . . . . 71923 Vericadiresistenzadelletravi 72523.1Procedimento generale di verica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72523.2Taglio e essione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72723.2.1 Sezioni di forma solida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72723.2.2 Sezioni a parete sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73023.3Taglio e Torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73223.3.1 Sezioni tubolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73223.3.2 Sezioni aperte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73323.4Flessione e torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73423.5Tutte le caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73524 Rigidezzadelletravi 73724.1Spostamenti e deformazioni nelle travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73724.2Equazione della linea elastica per spostamenti assiali . . . . . . . . . . . . . . . . 73824.3Equazione della linea elastica per spostamenti trasversali . . . . . . . . . . . . . . 74224.4Altre applicazioni della linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75124.5Il teorema di Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75724.6Applicazioni del teorema di Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76124.7Generalizzazione del teorema di Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76624.8Lintegrale di Mohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76824.9Lintegrale di Mohr come applicazione del principio dei lavori virtuali . . . . . . . 77224.10Il teorema di Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77424.11Applicazioni dellintegrale di Mohr e del teorema di Betti . . . . . . . . . . . . . 778xvINDICE25 Travatureiperstatiche 78325.1Generalizzazione del metodo delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78325.2Equazioni di M uller-Breslau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78425.3Calcoli di deformabilit`a per strutture iperstatiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79425.4Iperstatiche interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79625.5Errori di montaggio, forzamenti e tolleranze geometriche. . . . . . . . . . . . . . 80025.6Esempi di strutture iperstatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81126 Stabilit`a 81926.1Concetti elementari sulla stabilit`a dellequilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81926.1.1 Denizione I: eetto della variazione di congurazione di equilibrio . . . . 82126.1.2 Denizione II: eetto di un carico secondario . . . . . . . . . . . . . . . . 82226.1.3 Denizione III: lavoro fatto dalle forze perturbanti . . . . . . . . . . . . . 82426.1.4 Denizione IV: bilancio energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82426.2Campi di forza non uniformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82626.3Stabilit`a di sistemi rigidi con vincoli elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83026.3.1 Soluzione con il metodo statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83126.3.2 Soluzione con metodo energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83426.3.3 Soluzione con modello linearizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83526.3.4 Considerazioni riassuntive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83626.4Stabilit`a di sistemi rigidi con pi` u gradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83826.5Il problema di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84126.5.1 Soluzione approssimata con modello discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 84226.5.2 Soluzione con il modello continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84326.5.3 Considerazioni sul problema di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84726.6Veriche di stabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85326.6.1 Linstabilit`a nelle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85326.6.2 La verica delle travi compresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85526.6.3 Considerazioni sulla tridimensionalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85626.7Eetto dei carichi trasversali (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86026.8Metodi approssimati per la determinazione del carico critico (*) . . . . . . . . . . 862IV Appendici 871ASistemidiriferimentoequantit`avettorialietensoriali 873A.1 Sistemi cartesiani ortonormali destrorsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873A.2 Rappresentazione dei vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875A.3 Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876A.3.1 Somma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876A.3.2 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877A.3.3 Prodotto vettoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878A.3.4 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879A.4 Versori e coseni direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880A.5 Sistemi di riferimento ruotati: matrice di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . 881A.6 Propriet`a della matrice di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882A.7 Legge di trasformazione dei vettori per rotazione degli assi . . . . . . . . . . . . . 883A.8 I tensori e la loro legge di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885A.9 Invarianti e autovalori di un tensore simmetrico a componenti reali . . . . . . . . 887A.10 Coordinate non cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888xviINDICEA.10.1 Coordinate cilindriche e coordinate curvilinee ortogonali . . . . . . . . . . 888A.10.2 Coordinate sferiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891BRegolepraticheperilcalcolonumerico 895B.1 Limportanza delle valutazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895B.2 Precisione, numero di cifre signicative e arrotondamenti . . . . . . . . . . . . . . 896B.3 Scelta della precisione opportuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897CApplicazionidelprincipiodeilavorivirtuali 901C.1 Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901C.2 Equivalenza del P.L.V. con le equazioni cardinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903C.3 Soluzione di problemi di Meccanica con il P.L.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905C.4 Ecacia del P.L.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909DPropriet`ageometrichedellesezioni 911D.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911D.2 Momenti statici e baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913D.2.1 Denizione di momento statico e sue propriet`a . . . . . . . . . . . . . . . 913D.2.2 Eetto del cambiamento del sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . 914D.2.3 Denizione di baricentro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915D.3 Propriet`a del baricentro e calcolo del momento statico di gure complesse . . . . 916D.3.1 Alcune propriet`a del baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916D.3.2 Baricentro di gure composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919D.4 Momenti dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921D.4.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921D.4.2 Principali propriet`a dei momenti dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922D.5 Variazione dei momenti dinerzia per traslazione del sistema di riferimento. . . . 924D.6 Variazione delle propriet`a dinerzia per rotazione del sistema di riferimento . . . 926D.6.1 Formule di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926D.6.2 Propriet`a tensoriali dei momenti dinerzia: momenti principali e assiprincipali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928D.6.3 Determinazione delle propriet`a centrali principali dinerzia . . . . . . . . . 930D.7 Raggi dinerzia ed ellisse centrale dinerzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933D.8 Caratteristiche dinerzia di gure complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935D.9 Propriet`a di alcune gure elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937E Propriet`adierenzialidilineeesuperci 941E.1 Denizione e descrizione analitica di una linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941E.1.1 Linee regolari nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941E.1.2 Versore tangente e retta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942E.2 Approssimazione al secondo ordine delle linee piane . . . . . . . . . . . . . . . . . 945E.2.1 Cerchio osculatore e curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945E.2.2 Il calcolo della curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946E.2.3 Calcolo della curvatura con parametrizzazione cartesiana . . . . . . . . . 948E.2.4 Calcolo approssimato della curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950E.2.5 La curvatura con segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951E.3 Curvatura per una linea nello spazio (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952E.4 Superci regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952E.4.1 Notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952E.4.2 Versore normale e piano tangente alla supercie . . . . . . . . . . . . . . . 953xviiINDICEE.5 Approssimazione delle superci al secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 955E.5.1 Scostamento della supercie dal piano tangente . . . . . . . . . . . . . . . 955E.5.2 Curvature normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955E.5.3 Curvatura svergolante o svergolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957E.5.4 Il tensore di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959E.5.5 Classicazione locale delle superci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960E.5.6 Valori esatti delle curvature per superci con parametrizzazione cartesiana(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961E.6 Superci di rivoluzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962E.6.1 Denizioni generali e sistema di riferimento locale . . . . . . . . . . . . . . 962E.6.2 Curvature delle superci di rivoluzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963E.6.3 Relazioni tra quantit`a angolari e ascisse curvilinee per le superci dirivoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966Glossariodellekeywords 969xviiiParteIStaticadellestrutture1Capitolo1LaforzaQuestocapitolo `ededicatoallesamediunadellegrandezzefondamentalidellaMeccanica:la forza.La forza `e una grandezza ben nota e si suppone che il lettore ritrovi le nozioni appresenei precedenti studi di Fisica. Questo capitolo ha quindi lo scopo di:discutere la denizione e la propriet`a fondamentali della forza e di alcune altre grandezzefondamentali associate,presentare gli strumenti matematici adatti a trattare la forza quantitativamenteattraversolesamedi esempi elementari cominciareasvilupparemetodi di analisi edisoluzione dei problemi pi` u interessanti che saranno arontati nel seguito.Se i contenuti dei primi capitoli del testo sembrano elementari, `e opportuno considerare chei fondamenti sici della disciplina devono essere noti con la massima chiarezza per evitare che isuccessivi concetti e procedimenti di calcolo, inevitabilmente pi` u complessi, appaiano astratti epoco giusticabili. Al lettore che giustamente vuole entrare quanto prima nellambito specicodellecostruzionimeccanichechiedoquindidiavereunpodipazienzaediassecondareilmiotentativo di presentare la disciplina come una particolare branca della sica pi` u che una appli-cazionedellamatematicaapplicata. Sonosicurochequestosforzosar`aampiamenteripagatocon lacquisizione di competenze di interpretazione e di modellazione che sono professionalmentemolto pi` u utili di quelle di analisi o di calcolo. Se il tentativo riesce, anche le capacit`a di analisie di calcolo saranno acquisite in modo naturale.1.1 PrimoesecondoprincipioedenizionedinamicadiforzaLaforza(force) `e una delle grandezze fondamentali nella Meccanica classica. Se la forzasi associaallasensazione siologicaavvertibile quandosi cercadi modicare il movimentoolaformadi unoggetto, possiamosenzadubbioaermarecheluomonehaacquisitounaconoscenzaempiricaancoraprimadiessereconsideratohomosapiens. PerlaFisicatuttavia,unagrandezza`etalesolose`edenitainmodooperativoovverosi ottieneallanedi unprocedimento(convenzionalmentedenitoeuniversalmenteaccettato)cheproduceunvalorenumerico. Ladenizionesi identicapertantoconlamisurazionedellagrandezzasica. Inquesto senso, per la forza sono state proposte due denizioni operative basate su diversi eettiche la forza produce sui corpi: la denizione dinamicae la denizione statica.Nellambitodel corsolanozionedi operativit`asar`api` uvolterichiamataalloscopodi so-stanziareil signicatosicodellevariegrandezzechesarannointrodotteeusate. Purtropponon sar`a mai praticamente possibile sviluppare eettivamente la procedura sperimentale, ancheseci`osarebbemoltoistruttivo. Inmolti casi ricorreremoalladescrizionedi esperimenti che31.LAFORZApotrebberoessereeettivamenteeseguitiesoloinraricasidovremofareriferimentoaesperi-menti ideali ovvero realizzabili con strumenti e procedure di elevata sosticazione. In ogni caso,per lintero corso loperativit`a si manifester`a in pratica nella possibilit`a di calcolare (almeno) legrandezze di interesse, partendo da altre la cui denizione `e fortemente ancorata allesperimentoe alla misura.DaicorsidiFisicaodiMeccanicaTeorica, supponiamonotelegrandezzefondamentalidilunghezza(lenght), di tempo(time) assoluto e di massa(mass), assumendo la possibi-lit`adi eseguirelerelativemisureconlaprecisionenecessaria, rispettivamentetramite: metriidealmenteindeformabili, cronometri ebilanceapiattelli. Conlenozioni di lunghezza(odi-stanza)edi temposi possonodenirelequantit`acinematichedel moto(traiettoria, velocit`a,accelerazione, leggeoraria, ecc. . . ). Astrettorigore, legrandezzecinematichefondamentalidel movimento, ovverovelocit`aeaccelerazione, richiedonoil ripostoconcettomatematicodilimite (per t 0) sulla cui operativit`a si potrebbero sollevare vari dubbi, ma che non sarannoquidiscussi. Consideriamoacquisiteanchelenozionidipuntomateriale(particle)ovverodel corposicopi` uelementare(suquestultimoconcettotorneremoperaltronel seguito)ediosservatore inerziale ovvero solidale alle stelle sse, oppure in moto traslatorio rettilineo uni-forme rispetto a queste. Per i fenomeni trattati nel presente corso, un osservatore solidale conla supercie della Terra pu`o essere considerato inerziale con suciente approssimazione.Secondo la Meccanica classica:il motorettilineouniformerappresentalacondizionecinematicanaturaleper unpunto materiale esaminato da un osservatore inerzialecomecasoparticolareil puntomaterialepu`ostarefermo. Questoassunto, chesifarisalireaGalileoGalilei(1564-1642), `e noto anche come principiodinerzia o primoprincipiodelladinamica.Comeconseguenzadel primoprincipio, seunosservatoreinerzialerilevaunamodicanelmoto rettilineo uniforme di un punto materiale avente massam, concluder`a che, in quel precisoistante, qualche agente perturbante sta intervenendo sul punto stesso ed esprimer`a questo fattoaermando che sul punto `e applicata, oppure agisce, una forza.Dato che laccelerazione a `e unamisuracompletadellavariazionenel tempodellavelocit`a, laforzapu`oesserequindi denitadalla relazione:

F= ma (1.1)La relazione (1.1) `e lespressione simbolica del secondo principio della dinamicaed`eattribuita aIsaacNewton(1643-1727):unaforzacheagiscesuunpuntomaterialeproducesudi essounaaccelerazioneproporzionale alla forza stessa e inversamente proporzionale alla massa del punto.Larelazione(1.1) `eatuttiglieettiunadenizioneoperativadellaforzaperchemassaeac-celerazione possono essere misurate, la prima con una bilancia a piattelli e la seconda, almenoidealmente, tramite rilievi di spazio e di tempo, e da queste quantit`a la forza pu`o essere calco-lata. Pi` u correttamente, la relazione (1.1) `e ladenizionedinamica di forza, dato che richiedela misura di propriet`a del moto del punto materiale.Nellasoluzionedei problemi di meccanicaspessolarelazione(1.1)`eutilizzatainsensoinverso rispetto a quanto sopra riportato. Infatti, se la forza agente sul punto `e nota (sulla basedi altre considerazioni che vedremo), conoscendo la massa del punto, la relazione (1.1) permettedi valutare laccelerazione e da questa,per integrazione,il moto del punto materiale. Quandolaforzaesercitatasulpunto `enotainogniistante,larelazione(1.1) `equindidainterpretarsicome una equazione dierenziale la cui soluzione `e la posizione del punto in funzione del tempo.Dalla denizione dinamica, si deduce che:41.1.PRIMOESECONDOPRINCIPIOEDEFINIZIONEDINAMICADIFORZAlaforza `eunagrandezzavettoriale(comelaccelerazione)epertanto `erappresentatanelcasogeneraletridimensionaledatregrandezzescalari indipendenti, solitamentelesuecomponenti in un sistema cartesiano;considerandounpuntodi massaunitaria(1 kg) soggettoaunaaccelerazione unitaria(1 m/s2), la forza su di esso agente ha intensit`a unitaria.Lunit`adimisuradellaforzanelSistemaInternazionale(SI) `eil newton(N)cherappre-senta lintensit`a della forza necessaria per imprimere accelerazione unitaria (1 m/s2) a un puntomateriale di massa unitaria (1 kg). Nella tecnica, si incontrano altre unit`a di misura della forza(nel mondo anglosassone per esempio `e ancora usata la libbra(pound) con simbolo lb), tut-tavia, nel seguito useremo esclusivamente ilnewton (o i suoi multipli) in conformit`a alle normeEuropee sulle costruzioni meccaniche che prescrivono luso del Sistema Internazionale.In alcunitesti o manuali di Ingegneria, in particolare quelli datati, si pu`o trovare anche il kgpesoche pu`oessere presentato come lunit`a di forza del sistema cos` detto tecnico o degli ingegneri. Per varimotivi, di tipo sostanzialmente pratico, si consiglia di evitare queste unit`a, convertendole nel SI(1 kgpeso = 9.81 N, 1 lb = 4.448 N).Unadelleforzedi cui pi` ucomunementesi haesperienzadiretta`erappresentatadal pe-so(weight). Il pesodi unpuntomaterialepu`oesseremisuratoapplicandoladenizionedinamicadi forza. Selasciamoliberounpuntomaterialenei pressi dellasupercieterrestreeliminandotuttelealtreformedi disturbo(materializzatedacontatti conaltri corpi solidi ouidi), si verica sperimentalmente che, indipendentemente dalla sua massa e dal suo moto, ilpunto si muove con unaccelerazione costante e questa, con buona approssimazione, ha sempreladirezionedelloapiombo, puntaversoilterrenoelasuaintensit`a `epariag= 9.81 m/s2(accelerazione di gravit`a).Da questa osservazione e dalla denizione dinamica, ricaviamo che suun oggetto di massam posto nei pressi della supercie terrestre agisce sempre una forza aventemodulo pari a:P= mgcon direzione e verso uguali allaccelerazione di gravit`a. Poiche si verica che in uno dato luogolaccelerazione di gravit`a `e la stessa per tutti i corpi, si conclude che il peso `e proporzionale allamassa.Esempio1.1:Forze su un paracadutistaUnparacadutistaaventemassadi80 kgsilanciadaunelicotterofermo. Duranteiprimiistanti dellacadutail suomotorisultauniformementeacceleratoversoil suoloconunaaccelerazione di circa 9.81 m/s2. Nellultima fase del volo, dopo lapertura del paracadute,lasuavelocit`arisultapraticamente costante e pari a5 m/s. Trascurandoil pesodelparacadute, quanto valgono le forze agenti sul paracadutista nei due istanti considerati? Nella prima fase del lancio il paracadutista si muove con una accelerazione diretta versoil basso pari ag, su di esso agisce quindi la sola forza peso che vale in moduloP= 809.81 = 784.8 Nverticale diretta verso il basso. Alla ne del volo, il paracadutista si muove di moto retti-lineo uniforme,pertanto considerato come punto materiale,non `e soggetto ad alcuna for-za. Analizzando pi` u accuratamente il fenomeno, potremmo aermare che il paracadutistasubisce leetto combinato di due forze:51.LAFORZAil peso, che, se agisse da solo, lo accelererebbe verso il bassola forza di resistenza aerodinamica dellaria (esaltata dalla forma del paracadute) cheagisce verso lalto.Levidenzasperimentale, chemostralacostanzadellavelocit`adicaduta, permettediaf-fermarecheledueforzesicompensanoesattamente,inquantoilloroeettocomplessivoproduceunaaccelerazionenulla. Ladeterminazionedelleforzetrasmessedallevariefunidel paracadute oppure dallimbracatura sulle varie parti anatomiche del paracadutista nonpu`o essere eettuata con il modello di punto materiale. Lanalisi di questi aspetti richiededi costruire per il paracadutista un modello meccanico pi` u complesso, costituito di parti traloro connesse, in modo da discriminare le azioni agenti su ognuna di esse.La scomposizionedei sistemi meccanici in parti allo scopo di evidenziare la natura e lentit`a delle forze agenti,rappresenta lo schema concettuale tipico delle analisi che saranno sviluppate nel corso.1.2 LanaturasicadelleforzeeilterzoprincipioNegliultimiquattrosecoli, osservandoimolteplicifenomeninaturali, isicihannoidenti-catogli agenti perturbanti ingradodi esercitareforze. Unodei risultati pi` usignicativi diqueste analisi consiste nella constatazione che le forze si manifestano sempre come una intera-zionetracorpi. Inoltre, intutti gli esperimenti condotti, sonostate(nora)individuatesoloquattrocausesichealloriginedelleforze. Inaltri termini, quandounosservatoreinerzialerileva che su un punto materiale agisce una forza, egli deve concludere che tra il punto in esamee qualche altro punto dellUniverso si sta manifestando una (almeno) delle seguenti interazioni:gravitazionaleelettromagneticadebolefortePer esemplicarelefondamentali conseguenzedi questofatto, `econvenienteconsiderarelinterazionetraduesoli punti materiali, cherappresentalasituazioneconcettualmentepi` usemplice. Purtroppo, perquantotalefenomenosiail pi` ufaciledaanalizzare, lesperimentocheloevidenzianon`ealtrettantofaciledaeseguirsi acausadelladicolt`a(si dovrebbedirelimpossibilit`a)di isolarei duepunti dalleinterazioni conil restodellUniverso. Lesamediquesto caso elementare `e per`o molto istruttivo perche, come vedremo, una interazione comunquecomplessa pu`o sempre essere ricondotta a un insieme di interazioni elementari tra (generalmentemolte,talvolta anche innite) coppie di punti. Anche dal punto di vista semantico,il termineinterazione preguraunainuenzareciproca, quindi aermare che due punti interagisconosicamenteimplicacheil primopuntoesercitaunaforzasul secondoeil secondosul primo.Questa conclusione viene formalizzata nel principio di azione e reazione, o terzo principiodelladinamica generalmente formulato come segue:a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.Ilterzoprincipiosar`aapplicatosistematicamentenellefutureanalisieimpiegatonellaso-luzionedi tutti i problemi del corso, pertantolasuacomprensione`ebasilare. Perillustrare61.2.LANATURAFISICADELLEFORZEEILTERZOPRINCIPIOil signicatoeleimplicazioni del terzoprincipioeil modoincui usarloecacementenella-nalisi di situazioni siche, nei prossimi paragrasonodiscussi alcuni esempi di interazioni ditipogravitazionaleedelettromagnetico. Leinterazionideboleefortesarannoignorateperchesignicativesolosuscalasub-atomicaequindi privedi eetti diretti sui fenomeni meccanicimacroscopici di nostro interesse.1.2.1 LinterazionegravitazionaleeilpesoproprioLinterazione gravitazionale `e descritta dalla legge di gravitazione universale, anchessa do-vutaaIsaacNewton. Comeillustratonellagura1.1, duepuntimateriali AeB, perilsolofatto di avere massa,esercitano una attrazione reciproca con forze che agiscono lungo la rettaAB, ognuna delle forze ha intensit`a proporzionale al prodotto delle masse e inversamente pro-porzionale al quadrato della distanzaAB. Linterpretazione di tale fenomeno alla luce del terzoprincipiodelladinamicainquestocaso `eevidente: ilpuntoAattraeaseilpuntoBconunaforzacheindichiamocon

FAB(forzacheAesercitasuB)eilcorpoBattraeaseilcorpoAcon una forza

FBA.A BBAFGABFGFigura1.1: Interazione gravitazionale tra due punti materialiLesame di questo semplice fenomeno permette di fare le seguenti considerazioni che possonoessere generalizzate a tutte le interazioni tra coppie di punti materiali, a prescindere dalla naturadellinterazione stessa:ledueforze

FABe

FBAsonoinseparabili(nonesistelunasenzalaltra),ognunadiesseessendomanifestazionedellamedesimainterazionetrai duepunti, nonhaquindi sensoconsiderare, se non per motivi convenzionali, una delle forze la causa (o lazione) e laltraleetto (o la reazione)ledueforzehannolastessarettadazione(chepassaperi punti interagenti), lastessaintensit`a e verso oppostoognuna delle forze agisce su un corpo diversoessendo applicate a corpi diversi, le due forze, per quanto uguali di intensit`a, generalmenteproducono sui punti eetti diversi (se i punti non hanno la stessa massa subiranno in eettiaccelerazioni diverse anche in modulo)larelazionevettoriale

FAB=

FBA`euniversalequindi nondipendedal motodei duepunti ne dal moto dellosservatore e dal suo sistema di riferimento (che pu`o anche esserenon inerziale).Nei problemi di costruzioni meccaniche, linterazione gravitazionale si manifesta come pesoproprio, forza che, in taluni casi, costituisce un carico non trascurabile per strutture e macchine.Il peso rappresenta la forza con cui la Terra attrae un corpo. La reazione della forza peso (nelsenso del terzo principio) consiste nellattrazione gravitazionale che il corpo esercita sulla Terra,`equindi unaforzaapplicataallaTerra. Poicheil nostrostudio`egeneralmentenalizzatoalcomportamento del componente di una macchina o di una struttura, siamo naturalmente indotti71.LAFORZAaconsiderareil pesocomeazioneeleettosullaTerracomereazione(del qualeci interessaben poco). Data la dierenza delle masse,leetto dellinterazione sulla Terra,per esempio intermini di accelerazione, pu`o essere ovviamente trascurato. Tuttavia, un osservatore veramenteinerziale, sedotatodi strumenti di misurasucientementesensibili, descriverebbelacadutaliberadiungravecomeunavvicinamentoreciproco, incuisiailgravesialaTerrasubisconouno spostamento, per quanto di molti ordini di grandezza diversi. Una caratteristica peculiaredelleinterazionigravitazionali `eancheilfattochenonpossonoessereinalcunmodoalterate.Laforzaconcui duepunti si attraggonogravitazionalmentenon`eperesempiomodicabiledallinterposizione di qualsiasi elemento tra di essi. Non esiste quindi uno schermo per le azionigravitazionali.Con riferimento alla gura 1.1, si pu`o osservare che la notazione usata per rappresentare leforze di interazione `e piuttosto pesante a causa della presenza dei pedici che identicano i corpiinteragenti. Talenotazione`eper`ousatasoloinquestocapitoloalloscopodi chiarireil terzoprincipio.1.2.2 Linterazioneelettromagnetica, leforzedi contattoelacoesionedellamateriaLinterazione gravitazionale `e dovuta alla propriet`a della materia di avere massa mentre lin-terazione elettromagnetica `e connessa alla propriet`a della materia di possedere carica elettrica.Leinterazionielettromagnetichesonoriconducibilialleforzecoulombiane,inonoredi CharlesAugustindeCoulomb(1736-1806), chesi manifestanotracaricheferme(perquestotalvoltachiamateforzeelettrostatiche), ealleforzeelettrodinamichechesi manifestanosucaricheinmovimento con lintervento anche di eetti magnetici.Le forze elettromagnetiche sono descrittedallarelazioneunicatapropostadaHendric Lorentz (1853-1928). Ancheperleinterazionielettromagnetichetradue(soli)punti materiali valeloschemageneraledi gura1.1esoonoapplicabililerelativeconsiderazionisullecaratteristichedelleforzeagenti: ledueforze

FABe

FBA condividono il modulo e la retta dazione e hanno verso opposto.Ci sonoperaltroalcunepeculiarit`achelediversicanoleinterazioni elettromagnetichedaquelle gravitazionali. inprimoluogo, acausadel fattoche le cariche elettriche hannounsegno,linterazione elettromagnetica pu`o essere attrattiva o repulsiva e pu`o essere anche nullase almeno uno dei corpi interagenti non ha carica o questa `e uniformemente bilanciata.Le forzeelettromagnetiche tra due cariche possono inoltre essere ridotte o anche eliminate interponendounoschermoopportuno, ovveroadottandolagabbiadi Faraday, daMichael Faraday(1771-1867). Questecaratteristichehannouneettofondamentalesullastabilit`adegli aggregati diatomi perche consentono loro di mantenersi un equilibrio reciproco anche in condizioni di quiete.Si noti che la stessa condizione non `e ottenibile con linterazione gravitazionale, il sistema solare`e stabile solo in senso dinamico e collasserebbe se i pianeti non girassero attorno al Sole.Di tipoelettromagneticosono, infatti, leinterazioni chedeterminanoil legamechimicotragli atomiche formano una molecola e le interazioni che mantengono stabile nel tempo la struttura degliaggregati cristallini, ovveroi materiali solidi, anchesottoleettodi azioni perturbanti. Leinterazioni elettromagnetiche sono quindi alla base delle propriet`a siche dei materiali: densit`a,temperatura di fusione, resistenza meccanica, durezza, conducibilit`a termica ed elettrica, ecc. . . .In Meccanica, spesso le interazioni elettromagnetiche producono le forze pi` u intense e quindilepi` uinteressanti peri nostri scopi. Inparticolare, leforzedi contattosonomanifestazionimacroscopichedelleinterazioni elettromagnetiche, essendoriconducibili allamutuarepulsioneche si manifestatragli strati superciali (nubi elettroniche) di due corpi quandovengonoavvicinati inmodonotevole(tantovicini chesi consideranoincontattodal puntodi vistamacroscopico). Forze di contatto molto studiate nel seguito sono quelle che i vincoli esercitanosugli elementi di una struttura.81.2.LANATURAFISICADELLEFORZEEILTERZOPRINCIPIODi nostrospecicoefondamentaleinteressesono, inoltre, leinterazioni elettromagnetichechesi produconoallinternodei corpi quandoqualcheeettotendeamodicarelaposizionenaturale degli atomi nel reticolo cristallino. Lesperienza mostra che tali interazioni elettroma-gneticheinternepossonoesseresopportatesoloentrocerti limiti dal materiale. Setali limitisono raggiunti, intervengono infatti modiche nella struttura del cristallo che possono anche de-terminare la rottura ovvero lallontanamento irreversibile tra piani atomici attigui.Sullecaciadi tali interazioni elettromagnetiche facciamo adamento quando impieghiamo componenti de-stinati a essere sollecitati nelle condizioni di esercizio. Lo stato di tensione,che rappresenta ilquanticatore macroscopico delle interazioni elettromagnetiche interne della materia, `e forse lagrandezze sica pi` u caratteristica del presente corso e probabilmente la pi` u usata.1.2.3 ApplicazionidelterzoprincipioIn relazione al concetto di forza, vista come manifestazione di una interazione, esaminiamoil seguenteesempioelementarecheillustracomeimpiegareil terzoprincipioperidenticarerazionalmente le forze agenti.Esempio1.2:Identicazione delle forze su un punto materialeUna gomma per cancellare avente massa di 15 g `e ferma sul piano orizzontale di un tavolo(gura1.2). Analizzare le forze agenti, identicarne lanaturasicaedevidenziare lecoppie di azione-reazione di terzo principio.Figura1.2: Una gomma per cancellare appoggiata sul piano di un tavoloSchematizziamolagommacomeunpuntomaterialeprescindendoquindi daforma,estensione e struttura.Come conseguenza dellinterazione gravitazionale con la Terra, sullagommaagisceilpesoproprio, rappresentabilecomeunaforza

Pverticaledirettaversoilbasso e avente intensit`a: P= mg = 0.147 N (vedi gura 1.3).A tale conclusione si pervieneimmediatamente, in quanto:la gomma cadrebbe con una accelerazione pari ag se fosse liberalapresenzadel tavolononmodicalaforzapeso, datochenonesisteunoschermoper le interazioni gravitazionaliil fattochepernoi lagommaabbiavelocit`anullanoninuiscesul pesopoichelaforza di gravit`a non dipende dal moto (e quindi dalla velocit`a) dei corpi su cui agisce.91.LAFORZALa reazione di terzo principio a

P`e una forza diretta verso la gomma agente sulla Terra eavente intensit`a di 0.147 N. Essa rappresenta la forza di con cui la gomma attrae la Terra.PGPGFigura1.3: AzioneereazionenellinterazionegravitazionaletragommaeTerraLagomma`eappoggiatasul tavolo, possiamopertantoprevederelapresenzadi unainterazionedi contatto. Dal puntodi vistasicotaleforza`edi naturaelettromagneticaesispiegadallarepulsionedeglistratielettronicidellasupercieinferioredellagommaequelli della supercie superiore del tavolo (in corrispondenza della gomma).Indichiamo colsimbolo

FTG la forza che il tavolo Tesercita sulla gomma G e la reazione di terzo principio

FGTla forza che la gomma esercita sul tavolo. Il terzo principio per questa interazione siscrive come:

FTG =

FGT(1.2)ed `e illustrato in gura 1.4.A dierenza del peso, non possiamo conoscereapriori la forza

FTG. Nel caso in esame,lasemplicit`adelproblemaeleconoscenzeprecedenticiconsentonoperaltrodiprevedereche:

FTG =

P (1.3)in quanto constatiamo che la gomma `e ferma sul tavolo (la sua accelerazione `e nulla) e nonriteniamo che vi siano altre forze signicative agenti su di essa.TGFGGTFGFigura1.4: Azione e reazione del contatto tra gomma e tavolo. Si noti che idue oggetti devono essere separati per consentire di evidenziare con chiarezzae senza ambiguit`a linterazioneConriferimentoallesempio, `eimportanteosservareil diversosignicatochedeveessereattribuito alle uguaglianze (1.2) e (1.3). La relazione (1.2) `e la traduzione matematica del terzoprincipioequindi valeinqualunquecircostanza(inogni condizionedi quieteodi motodelcorpo e dellosservatore), luguaglianza (1.3) invece `e conseguenza della osservata condizione di101.2.LANATURAFISICADELLEFORZEEILTERZOPRINCIPIOquiete della gomma.In una situazione diversa, per esempio se il tavolo non fosse fermo (si pensiallostessoproblemaincasodisisma), luguaglianza(1.2)rimanevalidamentreluguaglianza(1.3) potrebbe non essere soddisfatta.Nella sua semplicit`a, lesempio precedente `e particolarmente signicativo perche pu`o essereconsiderato il modello per la soluzione di ogni problema di statica. Le considerazioni che sonostate sviluppate per scrivere le relazioni esistenti tra le varie forze possono infatti essere gene-ralizzate. Alcune delle forze agenti sui corpi risultano note a priori (nel caso in esame: il pesodella gomma), altre invece sono a priori incognite (nello specico la forza esercitata dal tavolo).Unaforzanotaapriori, quindi chesi conosceprimadi imporreleequazioni dellameccanicadel corpo, sar`a chiamata carico(load). Le forze a priori incognite sono generalmente di tipoelettromagnetico e derivano dalla presenza di corpi che impediscono, limitano o contrastano, illibero movimento del corpo in esame. Un elemento o uno strumento che realizza una limitazio-ne al movimento di un corpo `e detto vincolo(constraint) o supporto(support) e la forzachesi manifestaperlapresenzadi unvincolo`echiamatareazionevincolare(constraintreaction).Il termine reazioneusato nella locuzione reazionevincolarepu`o generare confusione con lostessoterminereazioneusatonel terzoprincipio.`Eopportunoconsiderareche, incorrispon-denzadi unvincolo, si manifestasempreunainterazionetrail corpovincolatoeuncorpovincolante, e reazione vincolare`e il nome convenzionalmente attribuito alle forze esercitate dalcorpo vincolante sul corpo in esame. Nellesempio,il corpo vincolante `e il tavolo e la reazionevincolare la forza

FTGesercitata dal tavolo sulla gomma. In virt` u del terzo principio, il corpoesercitasul corpovincolanteunaforzaugualeecontraria(

FGT). Consideratalasituazione,sarebbe forse pi` u appropriato indicare leetto del vincolo sul corpo come azione vincolare, maquesto rigore non si riscontra nel linguaggio comune e nella letteratura tecnica e quindi siamocostretti a non applicarlo.Per evidenziare le reazioni vincolari `e necessario rimuovere (idealmente) linterazione tra ilcorpo in esame e il corpo vincolante, come fatto nella gura 1.4, sostituendola con la coppia diazione-reazioneche, attraversoilvincolo, pu`oessereesercitata. Formanolacoppiadiazione-reazione di terzo principio: la forza che agisce sul corpo in esame e la forza che il corpo esercitasul corpo vincolante.Le seguenti considerazioni hanno lo scopo di esaminare criticamente certe aermazioni che,nella migliore delle ipotesi, sono conseguenza di scarso rigore linguistico (talvolta spiegabile conlambiguit`a del termine reazione vincolare) ma che spesso rivelano una non adeguata compren-sione del terzo principio. La forza che agisce sul tavolo `e

FGT, non `e corretto dire che sul tavoloagisce la forza peso della gomma. La forza peso della gomma agisce sulla gomma! Possiamo alpi` u aermare che la forza esercitata sul tavolo dipende dal peso della gomma ma pu`o dipendereanche da altro (si consideri cosa succede in caso di sisma). La forza esercitata dal tavolo sullagomma

FTGnon `e la reazione (di terzo principio) della forza peso della gomma e sono varie leargomentazioni per dimostrarlo:come osservato, possono vericarsi situazioni in cui

Pe

FTGnon sono uguali e contrariema ci`o costituirebbe una violazione del terzo principioforzapeso

Peforzadi contatto

FTGagisconoentrambesullagomma, mentreazioneereazione di terzo principio devono agire su corpi distinti mutuamente interagentiazione e reazione sono manifestazioni della medesima interazione e quindi devono avere lastessa natura sica.Come anticipato, per semplicare la notazione, nei prossimi capitoli, le forze di contatto sarannoindicate senza pedici, inoltre entrambe le componenti dellinterazione saranno identicate con il111.LAFORZAmedesimo simbolo (tipicamente una lettera latina maiuscola).Il soddisfacimento del terzo prin-cipiosar`apertantoottenutoinmodoautomatico, rappresentandonegli schemi lecomponentidellinterazione (azione e reazione) con il verso opposto, ognuna applicata su uno dei due corpiinteragenti.1.3 LeforzedinerziaCon il termine forza dinerzia o forza apparente (inertia force) si indica una forza chenon ha origine sica, non essendo riconducibile ad alcuna delle quattro interazioni fondamentalioalorocombinazioni. Leforzedinerzianonesistonoinfatti pergli osservatori inerziali. InMeccanica, per`o, si impiegano frequentemente osservatori e sistemi di riferimento non inerziali.Peresempio, alloscopodi analizzareil confortnei mezzi di trasporto(automobili, carrozzeferroviarie, navi, aerei, ecc. . . ) `enecessarioconsiderarelesensazioni provatedal passeggero,per cui il sistema di riferimento pi` u naturale con cui eettuare queste valutazioni `e solidale conil mezzodi trasporto. Quandoil motodel mezzodi trasportonon`erettilineouniforme, peresempio: infrenata, incurvaoinpresenzadi irregolarit`adel percorso, losservatoresolidalepu`ocontinuareautilizzarelarelazione(1.1)perdescriverei fenomeni meccanici cheosserva(compresi quelli direttamente sperimentati dai suoi sensi) a patto che introduca, oltre alle forzedi natura sica, anche le forze dinerzia. Possiamo quindi considerare lintroduzione delle forzedinerzia come un espediente che permette di estendere la relazione fondamentale (1.1), validasolo per gli osservatori inerziali, a un osservatore generico.Confrontiamocome il motodi unostessopuntomateriale P viene analizzato, e quindidescrittoinformamatematica, daunosservatoreinerzialeedaunosservatorenoninerziale.Pi` u specicamente,consideriamo due sistemi di riferimento (per comodit`a entrambi cartesianiortonormali destrorsi),uno solidale allosservatore inerziale e uno allosservatore non inerziale.La descrizione cinematica del moto del puntoPfatta dai due osservatori `e in generale diversa(intermini di posizione, velocit`aeaccelerazione), tuttavia, anchesiagarantitaloggettivit`asica,deve esserci una stretta relazione tra i due punti di vista. Come dimostrato nei corsi diMeccanica teorica e applicata, tramite considerazioni di natura geometrico-cinematica, deve inparticolare valere la seguente relazione vettoriale:a =ar +at +aco(1.4)in cui:a, chiamataaccelerazione assoluta, `elaccelerazionedi P misuratadallosservatoreinerziale; laggettivoassolutasi giusticaconsiderandochetutti gli osservatori inerzialimisurerebbero perPil medesimo valore aar, chiamataaccelerazionerelativa, rappresentalaccelerazionemisuratadallosserva-tore non inerziale che analizza il moto diP(le componenti di arsono ottenibili derivandodue volte rispettoal tempolaposizione di P rilevatanel sistemadi riferimentononinerziale)at, chiamata accelerazione di trascinamento, misura laccelerazione assoluta del puntoQ del sistema non inerziale che,nellistante considerato,si sovrappone al puntoP(datoche il punto Pin genere si muove anche per losseratore non inerziale, i punti Pe Q hannodiversa accelerazione assoluta)aco,chiamata accelerazionecomplementare o accelerazionediCoriolis, daGasparGustaveCoriolis(1792-1843), `e ottenibile dalla relazione:aco = 2 vr(1.5)121.3.LEFORZEDINERZIAincui vr`e lavelocit`arelativa(ovverolavelocit`adi P misuratadallosservatore noninerziale) e `e la velocit`a angolare assoluta posseduta nellistante considerato dal sistemanoninerziale. Si osservi che `ecomuneal sistemadi riferimentononinerzialeenondipende dalla posizione diPo dellosservatore non inerziale.Pu`o essere utile ricordare che laccelerazione di trascinamento in genere non `e uguale allac-celerazione assoluta dellosservatore non inerziale. Luguaglianza tra i due vettori si verica se idue sistemi di riferimento mantengono sso lorientamento relativo dei loro assi, ovvero se = 0equindi seil sistemanoninerzialehaunmototraslatorio, anchenonrettilineo. Unsistemadi riferimentononinerzialeconmotosolotraslatorioconservapertantolorientamentodegliassi rispettoallestellesse. Si deveinnericordarechelarelazione(1.5) `evalidainterminivettoriali, quando `e necessario esplicitarla in componenti bisogna adottare un unico sistema diriferimento che pu`o essere quello assoluto, quello relativo ma anche qualunque altro.Inbaseallarelazione(1.4), il secondoprincipiodelladinamica(1.1)pu`oessereriscrittoconsiderando il punto di vista dellosservatore non inerziale come:mar =

F matmacorelazione interpretabile nel modo seguente: un osservatore non inerziale che esamina il moto diunpuntomateriale(evidentementeil motorelativo)pu`oavvalersi del secondoprincipiodelladinamica a condizione di aggiungere alle forze agenti che hanno natura sica

Fle forze apparentidi trascinamento

Ft e di Coriolis

Fco, rispettivamente denite dalle relazioni:

Ft = mat

Fco = macoLa forma generale della seconda legge della dinamica per un osservatore generico diventa quindi:mar =

F +

Ft +

Fco(1.6)Nel seguito, troveremovariesituazioni incui risulter`aopportunoricorrereasistemi di riferi-mentononinerziali. Tipicamente, nellostudiodelcomportamentostrutturalediunelementodi macchina in movimento (albero, biella, manovella, ruota dentata, camma, volano, ecc. . . ), sesi considera un sistema di riferimento solidale allelemento stesso (assunto non deformabile), lavelocit`a relativa di ogni suo punto `e necessariamente nulla vr = 0 per cui

Fco = 0, inoltre, in talicircostanze, anche ar = 0 e, quindi un problema di dinamica `e ridotto a un problema di staticacon un corpo fermo sul quale agiscono le forze siche e le sole forze dinerzia di trascinamento.`E evidente che in ogni caso, per poter valutare le forze dinerzia, il moto (assoluto) del sistemadi riferimento non inerziale deve essere completamente noto.`E opportuno osservare che le forze dinerzia non sono la manifestazione di alcuna interazionedi natura sica, tuttavia, possono costituire i carichi prevalenti e, di conseguenza, indurre forzesiche molto intense. Per esempio, nella biella di un veloce motore alternativo le forze dinerziasonovariordinidigrandezzasuperiorialpesoproprioecostituisconoilcaricoprevalentechedetermina il deterioramento dei cuscinetti di supporto. Se si fa ruotare il disco di una mola avelocit`a eccessiva,le forze apparenti,in questo caso forze centrifughe,possono generare azioniinterne di tipo elettromagnetico cos` intense da produrre la rottura del materiale (scoppio dellamola). Unrotoreveloce,comelagirantediunaturbinamaanchelaruotadiunautomobile,deve essere accuratamente bilanciato per minimizzare gli eetti delle forze dinerzia sui vincoli.Dal punto di vista del terzo principio, la reazione a una forza apparente pu`o essere conside-rata come una forza applicata al resto dellUniverso (solidale al sistema di riferimento inerziale)il quale, ovviamente, non ne subisce alcun eetto misurabile.131.LAFORZAEsempio1.3:Forze dinerziaAnalizzareleforzeagenti sul passeggerodi untreno(vedi gura1.5) aventemassadi75 kg, seduto e rivolto nella direzione di marcia, sapendo che laccelerazione del treno allapartenza `e 1.2 m/s2. Schematizziamo il passeggero come un punto materiale e, trascurando la deformabilit`adella poltrona, consideriamo che si muova solidalmente al treno.Senso di marciaaGFigura1.5: Condizionediunpasseggerosolidalealvagonediuntrenochesta partendo verso destraProblemarisoltonelsistemadiriferimentoinerzialePer un osservatore inerziale, per esempio il capostazione fermo sulla pensilina, le forzesignicative agenti sul passeggero sono (come mostrato in gura 1.6):la forza peso

P(si tratta di un carico)la forza che il treno esercita sul passeggero (linsieme delle interazioni di contatto conla poltrona e il pavimento) indicata con il simbolo

FTP(forza esercitata dal treno sulpasseggero) che `e una reazione vincolare, infatti non `e nota a priori.Applicando lequazione fondamentale della dinamica (1.1), losservatore inerzialescriver`a la relazione:

P +

FTP= ma (1.7)nellaquale`etuttonototrannelaforzadi contattochepertantopu`oesseredaquestaricavata. Usando un sistema cartesiano (vedi appendice A), con assex nella direzione delmoto easseydiretto versolalto,la relazione(1.7) pu`o esserescritta informa matricialecome:_0735.8_+_XY_= 75_1.20_(1.8)dove X e Yrappresentano le componenti cartesiane della forza di contatto incognita (valoriin N), come mostrato in gura 1.6. Risolvendo il sistema lineare, si ottiene:

FTP=_90735.8_N (1.9)Concludiamoche, per losservatore inerziale, il trenoesercitasul passeggerounaforzainclinatarispettoallaverticale. Lacomponente verticale di tale forzabilanciail peso141.3.LEFORZEDINERZIA(infatti il passeggerononhaalcunaaccelerazioneindirezioney), mentrelacomponenteorizzontale dellaforzadi contatto`e positiva(infatti il capostazione vede il passeggeromuoversi con una accelerazione orizzontale positiva). Si osservi che non sono state usate leforze dinerzia in quanto non esistono per il capostazione.TPFGPGxyXYTPFGFigura 1.6: Punto di vista dellosservatore inerziale: le forze agenti sulpasseggero hanno tutte natura sica, nel loro complesso esse produconolaccelerazione del passeggeroProblemarisoltodalpuntodivistadelpasseggeroIl passeggero `e un osservatore non inerziale. Ovviamente, egli deve avere questa consa-pevolezza e deve conoscere il moto del sistema di riferimento a lui solidale rispetto a quelloinerziale. Trascurataladeformabilit`adellapoltrona, consid