LEZIONI DI TRIGONOMETRIA a cura della Prof.ssa Katussa Arfelli.

LEZIONI DI TRIGONOMETRIAa cura della Prof.ssa Katussa Arfelli

Precorso A.A. 2013/2014Nota di Copyright

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Risoluzione di triangoli qualsiasi

PROBLEMI CHE MOTIVANO LA RICERCA DI RELAZIONI TRA LATI

ED ANGOLI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE

ESERCIZIO 1

Per guidare un missile antiaereo, la stazione radar da terra deve valutare in ogni istante la distanza tra l’aereo da colpire e il missile. Il radar, disposto in R, misura la distanza RA ( radar – aereo ) e quella RM ( radar – missile ) e misura l’angolo α tra queste due direzioni. Quello che ci rimane da calcolare è AM (distanza aereo – missile ). Non possiamo usare le formule a noi note se uno dei due angoli, in A o in M, non è retto. Supponendo che RA = 12 km RM = 20 km e α = 65°, quanto dista l’aereo dal missile ?

ESERCIZIO 2

Il radiogoniometro è uno strumento molto utile nella navigazione marittima e viene usato per determinare la direzione da cui proviene un segnale radio. Ad esempio, nel caso in cui accada che una nave N avverta di trovarsi in difficoltà e il segnale venga ricevuto da due capitanerie di porto, A e B, che distano tra loro 400 km in linea d’aria. Con il radiogoniometro le due capitanerie rilevano gli angoli α=110° e β=50°. Ci si chiede: quanto dista la nave N da A e da B?

I problemi proposti sono risolubili? Con le conoscenze che abbiamo acquisito sinora non riusciamo a risolverli, abbiamo bisogno di qualcosa di più.

Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso vogliamo trovare il terzo lato a.

Tracciamo l’altezza CH

CH = b sen AH = b cos

BH = AB - AH= c - b cos

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB

a2 = CH2 + BH2 = (b sen )2 + (c - b cos )2

a2 = b2 sen2 + c2 + b2 cos2 bc cos

a2 = b2 + c2 bc cos

Ma: b2 sen2 + b2 cos2 b2 (sen2 + cos2 b2

pertanto

HA

C

B

b

c

ab sen

c - b cos

Abbiamo così ottenuto il

Teorema di Carnot (o del coseno)In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo compreso.

a2 = b2 + c2 bc cos

c2 = a2 + b2 ab cos

b2 = a2 + c2 ac cos

A

C

B

b

c

a

Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere un triangolo qualunqe, in due casi

• caso 1: dati due lati e l’angolo compreso

• caso 2: dati i tre lati

Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla relazione

a2 = b2 + c2 bc cos

possiamo ricavarebc

acb

2cos

222

e quindi poiché esiste un unico angolo compreso tra 00 e 1800 avente un dato coseno.

CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c,

ac

bca

2cos

222

ab

cba

2cos

222

da cui si ricava

da cui si ricava

cos222 bccba

a

A

C

B

b

c

CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c

ac

bca

2cos

222

ab

cba

2cos

222

da cui si ricava

da cui si ricava

bc

acb

2cos

222 da cui si ricava

A

C

B

b

c

a

In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se cos , cos cos sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non esiste alcun triangolo che ha come tre lati quelli dati.

Vediamo ora un teorema che dà la relazione tra un lato di un triangolo e l’angolo opposto.

Si può certamente estendere questo discorso anche al lato c (basta girare la figura e considerare a come base).

sen

b

sen

a

Consideriamo un triangolo acutangolo ABC. Tracciamo l’altezza CH, di lunghezza h e consideriamo i triangoli rettangoli ACH e CHB; risulta che:

h = a sen β e h = b sen α, ma allora: a sen β = b sen α, cioè

Abbiamo così ottenuto il

Teorema dei seniIn un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

sensensen

cba

A

C

B

b

c

a

Il teorema dei seni ci consente di risolvere un triangolo dato un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c,

0180

sen

senca

sen

sencb

poiché

dal teorema dei senidal teorema dei seni

A

C

B

b

c

a

RISOLUZIONE DEI PROBLEMI

I teoremi del seno e del coseno ci permettono di risolvere i problemi introdotti precedentemente.

ESERCIZIO 1 :

Il problema della guida radar del missile.

RA = 12 km RM = 20 km ARM = 65°

Per calcolarci la distanza AM = b, si fa uso della formula b²=a²+c²-2ac cos β, sostituendo i valori noti si ottiene:

b²=12²+20²-2*20*12cos 65°, svolgendo i calcoli si trova: b ≈ 18,47km.

Essendo noti tutti i lati e un angolo è ora possibile determinare l’angolo γ, che

individua la rotta da seguire per raggiungere il bersaglio A :

sen

c

sen

b ovvero sen

b

csen

Quindi sen γ = 0,589 ossia γ=36°.

ESERCIZIO 2 :

Il problema di determinare la posizione di una nave a partire dai dati di due radiogoniometri è schematizzato in figura dal triangolo ABC.

AB = c = 400 km; α = 50°; β = 110°

si vogliono conoscere le lunghezze a e b.

Osserviamo che noti α e β possiamo conoscere anche l’angolo γ = 180° - 110° - 50° = 20°.

Noti tre angoli e un lato si può utilizzare il teorema dei seni:

20

400

50 sensen

a

e quindi Kmsen

sena 5,895

20

50400

20

400

110 sensen

b e quindi Kmsen

senb 1099

20

110400

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