Lezione n° 16: 5-6 Maggio 2009

- Teoria dei grafi: definizioni di base

- Problema dell’albero ricoprente a costo minimo

Anno accademico 2008/2009

Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili

Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata

Università di Salerno

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Teoria dei GrafiConcetti fondamentali

I grafi sono un mezzo per rappresentare relazioni binarie

Ad esempio: due città connesse da una strada due calcolatori connessi in una rete telematica due persone legate da una relazione di parentela

(come, padre-figlio) due persone che condividono una stanza il collegamento tra due componenti elettronici un’operazione che deve essere eseguita da una

certa macchina ...

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I grafi possono essere usati come strumento per modellare in maniera schematica un vastissimo numero di problemi decisionali.

Ad esempio: determinare il percorso più breve che connette

due città determinare come connettere nella maniera più

economica (più efficiente) un insieme di calcolatori in una rete telematica

assegnare un insieme di operazioni ad un insieme di macchine

determinare il percorso più conveniente da far percorrere ad una flotta di veicoli commerciali per effettuare delle consegne e quindi rientrare al deposito

...

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Definizioni fondamentali

Grafo non orientato

Un grafo non orientato G=(V,E) è dato da una coppia di insiemi finiti:

V={v1,...,vn} l’insieme degli n Nodi di G

E={e1,..,em}VxV l’insieme degli m Archi non

orientati di G

Ogni arco non orientato di G corrisponde ad una

coppia non ordinata di nodi di G ek=(vi,vj).

La presenza di un arco tra una coppia di nodi indica

una relazione tra i nodi stessi.

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Un esempio: G=(V,E)

v1

v5

v3

v2

v4

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

V v v v v v 1 2 3 4 5, , , ,

E e e e e e e e 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,

e v v e v v1 1 5 2 1 2 , ,

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Definizioni di base: un arco (v,v) è detto loop due nodi u,vV sono detti adiacenti (u,v)E due archi e,fE sono detti adiacenti e=(v,w) ed

f=(v,u) un arco f=(u,v)E si dice incidente su u e su v l’insieme di nodi N(v)={zV: z adiacente a v} è detto

intorno di v in G l’insieme di archi (v)={eE: e incide su v} è detto

stella di v in G (v) è detto grado del nodo v

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Grafi e Sottografi

H=(W,F) è detto sottografo di G=(V,E) WV e

FE

H=(W,F) è detto sottografo indotto da W in G=(V,E)

WV e (u,v)F implica che u,vW e (u,v)E

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Esempiov1

v5

v3

v2

v4

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

G=(V,E)

v1

v5

v3

v2

e1

e2

sottografo di G

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Esempio

v1

v5

v3

v2

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

G=(V,E)

v1

v5

3v

v2

e1

e2

e3e6

sottografo indotto di G

5321 ,,, vvvvW

4v

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Grafi bipartiti e grafi completi

G è detto grafo bipartito se esiste una partizione di

V=V1V2 tale che:

V1V2=

e=(u,v)E se uV1 allora vV2 oppure se uV2

allora vV1

Esempio

grafo bipartito grafo non bipartito

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G è detto completo contiene tutti i possibili archi,

ovvero (v)=n-1 vV

il massimo numero di archi di un grafo completo è

dato da2

)1(

2

nnn

Esempio

grafo completo

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Grafi orientati

G=(V,E) è detto orientato se, dato V={v1,...,vn},

l’insieme degli archi E={e1,..,em} è formato da coppie

ordinate di nodi.

Per un grafo orientato si ha che ei=(vk,vh)ej=(vh,vk)

ei,ejE

vh vkeiCoda Testa

L’arco ei si dice uscente da vh ed entrante in vk

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Esempio v1

v4v3

v2

e1 e2

e3

e6e4

e5

grafo orientato

Fs(v)={uV: (v,u) E} è detto stella uscente di vBs(v)={uV: (u,v) E} è detto stella entrante di vS(v)= Fs(v)Bs(v) è detto stella di vle definizioni di sottografo e sottografo indotto di un

grafo orientato sono analoghe a quelle date per i grafi

non orientati

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Grafi connessi e componenti connesse

Dato G=(V,E) un nodo vV si dice connesso ad un

nodo zV se esiste un cammino (orientato o non) tra v

e z in G vV è connesso a v (riflessività) vV è connesso a zV zV è connesso a vV

(simmetria) se vV è connesso a zV e zV è connesso a uV

vV è connesso a uV (transitività)

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L’insieme V può essere partizionato in sottoinsiemi

Ci={vV:v è connesso a z, zCi}

Il sottografo indotto da Ci in G è detto componente

connessa di G Se G possiede una sola componente connessa si dice

connesso (v,zV v è connesso a z)Esempio

componenticonnesse

grafo connesso

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Cammini e circuiti euleriani Un cammino euleriano è un percorso che passa per

ogni arco una sola volta Un circuito euleriano è un cammino euleriano chiuso

Esempio

circuito euleriano12

3

4

5

67

8

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Alberi Un grafo è aciclico se non contiene cicli (orientati o

non) Un albero è un grafo connesso ed aciclico Ogni grafo aciclico è in generale l’unione di alberi e

viene detto foresta

Esempio

grafo aciclico(foresta)

grafo non aciclico albero

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Dato G=(V,E), le seguenti affermazioni sono

equivalenti: G è un albero ogni coppia di nodi di G è connessa da un unico

cammino G è aciclico eE=V-1 G è aciclico e connettendo due nodi non adiacenti

con un arco si ottiene un grafo con un unico ciclo G è connesso eE=V-1

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Dato un albero T=(V,E), si dice foglia vV tale

che(v)=1 Se V2 allora esistono almeno due foglie

foglie di un albero

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Dato G=(V,E), si dice albero ricoprente (spanning

tree) di G un albero T=(W,F) con W=V ed FE (è un

sottografo di G)

un albero ricoprente

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Il Problema del Minimo Albero Ricoprente(Minimum Spanning Tree Problem)

Si considera un grafo G=(V,E) Ad ogni arco ei, i=1,...,n di G è associato un costo ci,

i=1,...,mIl problema: determinare l’albero ricoprente di G con il

minimo costo associato.

Esempio7

144 10

9178

132

11 12

6

13

16

155