Lezione n° 19: 12-13 Maggio 2008 Problema dellalbero dei cammini minimi Anno accademico 2007/2008...
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Lezione n° 19: 12-13 Maggio 2008 Problema dell’albero dei cammini minimi Anno accademico 2007/2008 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno
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Lezione n° 19: 12-13 Maggio 2008
Problema dell’albero dei cammini minimi
Anno accademico 2007/2008
Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili
Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata
Università di Salerno
Il problema dei cammini minini
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G=(N,A)
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sorgente
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cij = costo dell’arco (i,j)
xij = variabili
decisionali
xij
=
1 se xijp
0 se xijp
destinazione
p
Modello matematico1
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Modello matematico
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Modello matematico
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Il problema dei cammini minini (varianti)
Uno ad uno
Uno a tutti
Tutti a tutti
Il problema dei cammini minini
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2
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15
sorgente
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T
G=(N,A)
Etichette dei nodi
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G=(N,A)
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940
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d1 d2 d9
d5
d6
d7
d8
d3
d4
Algoritmo prototipoPasso 1: Inizializzazione.
ds=0, Ps=NULL, dk=, Pk=s kN\{s},
Q={s};
Passo 2: Estrai un vertice x da Q (Q= Q \{x}) ed aggiorna quando possibile le etichette dei vertici in FS(x):
yFS(x) se dx + cxy < dy allora
dy = dx + cxy , Py= x e se y Q inseriscilo in Q (Q= Q {y}) (test di ottimalità)
Aggioramento delle etichette
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yFS(x) se dx + cxy < dy allora dy = dx + cxy e Py= x
x=4, y=5d4 + c45 < d5 ?d5 = d4 + c45 e P5= 4
x=4, y=2d4 + c42 < d2 ?
…………………
x=4, y=9d4 + c49 < d9 ?d9 = d4 + c49 e P9= 4
36
55
Algoritmo prototipoPasso 1: Inizializzazione.
ds=0, Ps=NULL, dk=, Pk=s kN\{s},
Q={s};
Passo 2: Estrai un vertice x da Q (Q= Q \{x}) ed aggiorna quando possibile le etichette dei vertici in FS(x):
yFS(x) se dx + cxy < dy allora
dy = dx + cxy , Py= x e se y Q inseriscilo in Q (Q= Q {y}) (test di ottimalità)
Passo 3: Fino a quando Q ripeti il passo 2 ;
Gli algoritmi per l’SPT si distinguono per:
– La politica di estrazione del nodo da Q (label setting e label correcting)
– La struttura dati utilizzata per implementare Q
Differenti implementazioni
Dijkstra (G,s)
Inizializzazione; ( ds=0, Ps=NULL, dk=, Pk=s kN\{s} , Q={s})
while ( Q ){ x = Extract_min(Q); Test_ottimalità(x,y); con yFS(x);
}
Algoritmo di Dijkstra (label setting)
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L’algoritmo di Dijkstra (label setting)
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0 Q
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0
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L’algoritmo di Dijkstra (label setting)
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0 Q
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5 9
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G=(N,A)
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0 Q
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L’algoritmo di Dijkstra (label setting)
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G=(N,A)
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0 Q
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L’algoritmo di Dijkstra (label setting)
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L’algoritmo di Dijkstra (label setting)
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0 Q
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L’algoritmo di Dijkstra (label setting)
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G=(N,A)
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0 Q
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L’algoritmo di Dijkstra (label setting)
Il problema dei cammini minini
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T
Albero dei Cammini minimi albero di copertura minimo
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SPT=22
Albero dei Cammini minimi albero di copertura minimo
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MST=21
SPT=22
