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L’ analisi matriciale

L’ analisi matriciale consente un’analisi accuratae rapida di strutture anche complesse sottoposte siaa carichi dinamici che statici.

Si basa sul concetto di sostituire la strutturareale con un modello equivalente fatto di elementistrutturali discreti aventi proprieta’ elastiche edinerziali note ed esprimibili sotto forma di matrici.

Il calcolo in campo elastico delle strutturee’ generalmente riconducibile ad una sequenza dioperazioni matriciali.

Mentre, nel metodo delle forze, le incogniteprimarie del problema sono le reazioni iperstatichedi una struttura, nel metodo degli spostamenti, leincognite primarie del problema sono le componentidi movimento (spostamenti e rotazioni) dei nodi dellastruttura.

Quando si opera per via automatica, il metododegli spostamenti e’ preferibile. Esso non richiedeinfatti alcuna scelta delle incognite, poiche’ sonofissate univocamente dallo schema strutturale nelquale si opera. Il metodo dell’analisi matriciale sibasa pertanto sul metodo degli spostamenti.

Corso di progettazione strutturale assistita- AA 2005/2006 Dip. Ingegneria di Ferrara 1

Il modello strutturale

Da JS Przemieniecki, Theory of matrix structuralanalysis, Dover, 1968

Il passo fondamentale nel calcolo matricialedelle strutture riguarda la formulazione di unmodello matematico discreto che idealizzi la strutturaeffettiva. Il modello discreto e’ necessario allo scopodi avere un sistema con un numero finito di gradidi liberta’ che si presti ad essere studiato con ilmetodo dell’analisi matriciale. La formulazione delmodello strutturale si basa su principi di equivalenzaenergetica tra il sistema continuo e quello discreto.Per certi tipi di strutture, quelle costituite da elementistrutturali collegati da nodi discreti, come le strutturereticolari ed i telai, il modello discreto consente lasoluzione esatta del problema.

Quando le connessioni tra elementi strutturali nonsono modellabili sotto forma di vincoli discreti allorail modello strutturale rappresenta un’approssimazionedel modello reale.


Se gli elementi strutturali della struttura realesono connessi da giunti discreti (NODI), l’interazionetra i singoli elementi viene introdotta sotto forma diforze o spostamenti nodali.

Strutture reticolari (pin-jointed truss) e telai connodi rigidi (rigidely-connected beams) sono esempi distrutture connesse attraverso nodi. Le interazioni tragli elementi strutturali in un telaio si rappresentanocome forze nodali (taglio e sforzo normale) e momentiflettenti e torcenti. In tali casi, le teorie elementaridi flessione e torsione consentono direttamente diarrivare alla formulazione matriciale.

Qualora la struttura reale non sia rappresentabileattraverso elementi strutturali collegati da giuntinodali, occorre invece utilizzare il metodo deglielementi finiti.


Analisi matriciale di telai e reticolari

La soluzione si presta ad essere organizzatasecondo una sequenza di fasi logiche:

a Definizione delle azioni interne nelle sezioni diestremita’ di ogni trave per effetto dei carichie degli spostamenti

b Utilizzo delle azioni interne del punto a) perla formulazione di automatica del sistema diequazioni di equilibrio in termini di spostamento

c Determinazione delle componenti di spostamentoincognite come soluzione del sistema di equazionidi equilibrio.

d Calcolo delle sollecitazioni di ogni trave dovuti aicarichi ed agli spostamenti.


Richiami

• matrice di rigidezza dell’elemento ASTA

ke =

u1 u2

u1EAl

−EAl

u2 −EAl

EAl

(1)

u 21 u

• matrice di rigidezza dell’elemento TRAVE

ke =

u1 u2 u3 u4

u112EJl3

−6EJl2

−12EJl3

−6EJl2

u2 −6EJl2

4EJl

6EJl2

2EJl

u3−12EJl3

6EJl2

12EJl3

6EJl2

u4 −6EJl2

2EJl

6EJl2

4EJl

(2)

u4

3

2

1 uu

u


Strutture reticolari: l’elemento asta

L2

P

1 2

43

1

2 3

45

x

y

L1

Figure 1: L1=1.5 m, L2=2 m.

• Aste (elemento rod) di una reticolare(truss)soggette solo a deformazioni assiali

• (x, y) il riferimento globale o esterno generica asta(elemento e) viene riferita ad un riferimento locale(xe, ye) avente origine nel primo nodo i

• Le =√

(xj − xi)2 + (yj − yi)2 rappresenta lalunghezza dell’asta, Ee il modulo di Young edAe l’area della sezione trasversale


• se: vettore degli sforzi nodali locali

• ue: vettore degli spostamenti nodali locali

se =

(

se1se2

)

=EeAe

Le

(

1 −1−1 1

)(

ue1ue2

)

(3)

L’equazione (3) scritta in forma compattadiventa:

se = keue (4)

i=1e

e

x

y

e e

2

21 uu

2ess1

e j=2

Figure 2:


NB:il generico coefficiente di rigidezza kijrappresenta lo sforzo nodale sej corrispondente adun movimento ui unitario nel riferimento locale.

Xs2ei=1 j=2

u1 u2

xe

ye

uje

Figure 3:

XLe

EeAe= 1,

si = keij = −X = −EeAe

Le

sj = kejj = X =EeAe

Le.


Le equazioni di equilibrio vanno scritte nelriferimento globale. Tuttavia, il riferimento globale(esterno) in generale e’ distinto da quello locale.

4

α

j=2

i=1

ye

xe

y

x

Figure 4:Per l’asta 4 si ha:

• nodo i = 1, x1 = 0, y1 = 2,

• nodo j = 4, x4 = 1.5, y4 = 0,

• lunghezza L4 =√6.25 = 2.5 m

• cosα =xj − xi

Le=

1.5

2.5; sinα =

yj − yi

Le= − 2

2.5;


Dal riferimento locale a quello globale

X

αXsin

Ysin

Xcos α

α

P

α

y

x

Y

Figure 5:

(

x

y

)

=

(

cosα sinα− sinα cosα

)(

X

Y

)

Ã x = RX

(5)

(

X

Y

)

=

(

cosα − sinαsinα cosα

)(

x

y

)

Ã X = Rtx

(6)


Dal riferimento locale a quello globale

Matrice di rotazione Re dell’elemento e

Re =

cosα sinα 0 0− sinα cosα 0 0

0 0 cosα sinα0 0 − sinα cosα

(7)

dove:se = ReSe, ue = ReUe (8)

• Ue ed Se: vettore degli spostamenti e degli sforzinel riferimento globale

• Re e ortonormale (rotazione propria) tale cheReReT = I, ReT = Re−1, det Re = 1 e quindi

Se = ReTse, Ue = Re

Tue (9)

Sostituendo se = keue si ottiene

Se = ReTse = Re

Tkeue = Re

TkeReUe (10)

⇒ Se = KeUe dove Ke = ReTkeRe e la matricedi rigidezza nel riferimento globale.


Matrice di rigidezza nel riferimento

globale

Ke = ReTkeRe

dove

Re =



ue10ue20

=



Ue1

Ue2

Ue3

Ue4

se10se20

=



Se1Se2Se3Se4


Ke

=

cosα

−sinα

00

sinα

cosα

00

00

cosα

−sinα

00

sinα

cosα

k0

−k

0

00

00

−k

0k

0

00

00

cosα

sinα

00

−sinα

cosα

00

00

cosα

sinα

00

−sinα

cosα

ovvero:

' &

$ %

Ke=

EA l

cos2α

cosαsinα

−cos2α

−cosαsinα

cosαsinα

sin

2α

−cosαsinα

−sin

2α

−cos2α

−cosαsinα

cos2α

cosαsinα

−cosαsinα

−sin

2α

cosαsinα

sin

2α

dovek=

EA le

Cor

sodipr

oget

tazi

one

stru

ttura

leas

sist

ita-

AA

2005

/200

6D

ip.

Inge

gner

iadiFer

rara

13

Assemblaggio

Proprieta di sommabilita delle matrici di rigidezza:La matrice di rigidezza dell’intera struttura K puoessere ottenuta per addizione diretta di coefficientidi rigidezza omologhi delle singole aste calcolati nelriferimento globale.

φ

B

A C

l

h

φ

Figure 6: Ad es., la rigidezza alla rotazione del nodo C della

struttura in figura 5 e’ data dalla somma della rigidezza delle

aste concorrenti nel nodo. EJ e’ assunto costante

In particolare, la rigidezza alla rotazione ρRCdiventa

ρRC = ρRCA + ρRCB =4EJ

l+

3EJ

h(11)


U6

L2

L1

y

x

5 4

32

1

34

21

P

U2

U1

U4

U3

U7

U8

U5

Figure 7: Figura 6, EA e’ assunto costante

U il vettore degli spostamenti generalizzati

U t = [U1U2U3 . . . U7U8] (12)

numerati secondo il sistema globale.


Un esempio di matrice topologica:

CALFEM

1 viene fissata una numerazione di nodo e dielemento;

2 Si scrivono per ogni elemento i gradi di liberta’ adesso afferenti:

elemento uix uiy ujx ujy1 1 2 3 42 5 6 1 23 3 4 7 84 1 2 7 85 3 4 5 6

(13)

3 Si ripercorre la struttura elemento per elementogenerando la matrice di rigidezza nel riferimentoglobale.La conoscenza del grado di liberta’ mediantel’identificatore consente di conoscere in qualeposizione della matrice di rigidezza globale K

sommare i singoli coefficienti Keij


αU8

U7

U2

U1

4

x

y

ÃK

=

12

34

56

78

K4 11

K4 12

K4 13

K4 14

K4 21

K4 22

K4 23

K4 24

K4 31

K4 32

K4 33

K4 34

K4 41

K4 42

K4 43

K4 44

K4=

R4Tk

4R

4T.

(14)

Cor

sodipr

oget

tazi

one

stru

ttura

leas

sist

ita-

AA

2005

/200

6D

ip.

Inge

gner

iadiFer

rara

17

U1

U2

U3

U4

U1

K4 11

+K

1 11

+K

2 33

K4 12

+K

1 12

+K

2 34

K1 13

K1 14

U2

K4 12

+K

1 12

+K

2 34

K4 22

+K

1 22

+K

2 44

K1 23

K1 24

U3

K1 13

K1 23

K1 33

+K

3 11

+K

5 11

K3 12

+K

5 12

U4

K1 14

K1 24

K3 12

+K

5 12

K1 44

+K

3 22

+K

5 22

U5

K2 13

K2 14

K5 13

K5 23

U6

K2 23

K2 24

K5 14

K5 24

U7

K4 31

K4 32

K3 13

K3 23

U8

K4 41

K4 42

K3 14

K3 24

U5

U6

U7

U8

U1

K2 13

K2 23

K4 13

K4 14

U2

K2 14

K2 24

K4 23

K4 24

U3

K5 13

K5 14

K3 13

K3 14

U4

K5 23

K5 24

K3 23

K3 24

U5

K2 11

+K

5 33

K2 12

+K

5 34

00

U6

K2 12

+K

5 34

K2 22

+K

5 44

00

U7

00

K4 33

+K

3 33

K4 34

+K

3 34

U8

00

K4 43

K4 44

+K

3 44

Cor

sodipr

oget

tazi

one

stru

ttura

leas

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ita-

AA

2005

/200

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ip.

Inge

gner

iadiFer

rara

18

Carichi applicati sui nodi

In fase di input, vengono assegnate per ogni nodole forze esterne direttamente secondo il riferimentoglobale. Mediante la matrice di identificazione ID,i carichi vengono poi associati al grado di liberta’.Poiche’ i carichi concentrati possono generalmentesia essere applicati sui nodi che in punti diversi dainodi, occorre trasformarli in carichi nodali equivalenti.Analogamente, i carichi distribuiti devono esseretrasformati in carichi nodali equivalenti.

• i carichi vengono trasformati in carichi nodaliequivalenti Seq

• NB: Seq possono anche essere visti come reazionidi vincolo perfetto cambiate di segnoIn tal caso, per il principio di sovrapposizione deglieffetti, per il singolo elemento e lo sforzo globale

agente e’ dato da

Se = KeUe − Seeq . (15)

• In alternativa, si osservi che il vettore −Seeqrappresenta proprio le reazioni di incastro perfetto


Carichiapplicatisuinodi

2/3

l

L2

y

x

54

32

1

34

21

P l/3

2/3

l

2/3P

P/3

P l/3

2/3

PP/

3

l

L2

y

x

54

32

1

34

21

Figure

8:Esempio

1

Cor

sodipr

oget

tazi

one

stru

ttura

leas

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2005

/200

6D

ip.

Inge

gner

iadiFer

rara

20

Carichiodistorsioniapplicatisull’elemento

1

l

∆T

L2

y

x

54

32

1

34

2

lT∆

XX

TE

A1

2

43

1

23

45

x

y

L2

l

TE

Aα

∆α

∆

Figure

9:α∆Tl=

Xl

EA,X=α∆TEA.L’assem

blaggio

delvettoredeicarichinodaliconsistenel

sommareequazioneper

equazioneicontributideicarichidirettamente

applicatiai

nodiedeicarichi

nodaliequivalenti.

Cor

sodipr

oget

tazi

one

stru

ttura

leas

sist

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2005

/200

6D

ip.

Inge

gner

iadiFer

rara

21

Imposizione delle condizioni di vincolo

• vincoli vengono supposti perfetti, ovvero lisci ebilateri.

• gradi di liberta’ U (spostamenti generalizzati)dell’intera struttura

UT = [UTl UT

0 ] (16)

UL: vettore dei gradi di liberta’ liberi (incogniti)Uo indica il vettore dei gradi di liberta’ assegnati.

• vettore dei carichi F

FT = [FT RT ] (17)

F : vettore dei carichi assegnati;R: vettore delle reazioni vincolari.


L’assemblaggio delle matrici di rigidezzaelementari e del vettore dei carichi nodali fornisceil modello algebrico del comportamento di unastruttura in campo lineare.

Il sistema di equazione che si ottiene rappresentale equazioni di equilibrio di tutti i nodi

KU = F Ã

(

KLL KL0

K0L K00

)(

ULU0

)

=

(

F

R

)

(18){

KLLUL +KL0U0 = F

K0LUL +K00U0 = R(19)

da cuiUL = K−1

LL(F −KL0U0) (20)

OSS: Si mette da parte la riga corrispondente aigradi di liberta’ vincolati U0, si risolve il sistema diequazioni che corrispondono ai gradi di liberta’ ULOSS: Se i vincoli sono rigidi: U0 = 0 e quindi leincognite nodali si calcolano come:

UL = K−1LLF (21)

KLL: matrice di rigidezza della struttura dopo averetenuto conto dei vincoli.


Proprieta di KLL

1 Posto che la struttura non sia labile, la soluzionedel sistema (19) esiste ed e’ unica (teorema diKirchhoff). Pertanto la matrice KLL deve esserenon singolare (detKLL 6= 0)

2 La matrice di rigidezza KLL e’ simmetrica(Teorema di Betti-Maxwell); si memorizza e/ocostruisce solo meta’ di essa.

3 La simmetria di K o di KLL comporta cheδUT (KU − F ) = δΠ(U) sia un differenzialeesatto e δΠ(U) = 0 rappresenti la condizione distazionarieta dell’Energia Potenziale Totale dellastruttura:

Π(U) =1

2UTKU − UTF (22)

Tra tutti i campi di spostamento cinematicamenteammissibili (congruenti e che verificano lecondizioni di vincolo), rappresentati dai parametriLagrangiani U , quello che verifica le equazionidi equilibrio rende minima l’Energia PotenzialeTotale (22). Si noti che in assenza di vincolil’EPT risulta solo debolmente convessa e KLL

semi-definita positiva.


4 matrice KLL, matrice Hessiana della EPT dellastruttura vincolata, risulta pertanto definitapositiva. Quindi, condizione necessaria esufficiente affinche’ KLL sia definita positiva e’che:

• tutti gli autovalori di KLL siano positivi (si ricordiche detKLL =

∏n

i λi > 0)• tutti i minori principali e quindi anche tutti i terminisulla diagonale principale sono positivi

• inoltre, risulta che UTKLLU ≥ 0, per ogni UL eUTKLLU = 0 sse UL = 0.

Se sono possibili moti rigidi la matrice KLL risultasemidefinita positiva ed ha determinate nullo;inoltre ad ogni atto di moto rigido corrispondeun autovalore nullo.

5 La matrice KLL e’ sparsa; in particolare, i terminidiversi da zero sono addensati in prossimita’della diagonale principale (matrice a banda), e ladimensione della banda dipende dalla numerazionedei nodi. Cio’ riduce di molto l’onere di calcolodel sistema e lo spazio di memoria necessario.


Esercizi

La soluzione di un esercizio si articola nelleseguenti fasi:

• Assemblaggio matrice di rigidezza

• Imposizione delle condizioni al contorno

• Soluzione sistema KU = F

• Calcolo delle reazioni vincolari


Aste in serie

La matrice topologica (connectivity matrix)assegna un numero di nodo globale ad ogni nododell’elemento. Per esempio, nel caso di aste in serie,la matrice topologica diventa

I =

I11 I12I21 I22I31 I32.. ..

=

1 22 33 4.. ..

(23)

4

4321

1 2 3

Figure 10: Aste in serie


Aste in parallelo ed in serie

P

4u3u1u

2u

4

3

2

13

2

1

P

Figure 11:

DATI: Ei, area della sezione trasversale Ai,lunghezza li, con i = 1, 2, 3

matrice topologica:ID =

1 32 33 4

matrice di rigidezza

K =

E1A1

l10 −E1A1

l10

0E2A2

l2−E2A2

l20

−E1A1

l1−E2A2

l2

3∑

i

EiAi

li−E3A3

l3

0 0 −E3A3

l3

E3A3

l3


sistemarisolvente

E1A

1

l 10

−E

1A

1

l 10

0E

2A

2

l 2−E

2A

2

l 20

−E

1A

1

l 1−E

2A

2

l 2

3∑

i

EiA

i

l i−E

3A

3

l 3

00

−E

3A

3

l 3

E3A

3

l 3

u1

u2

u3

u4

=

R1

R2

2P R4

(24)

Cor

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ip.

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29

• Si impongono le condizioni al contorno:u1 = 0 , u2 = 0 , u4 = 0Nella soluzione manuale, si tralasciano le equazionidi equilibrio relative ad u1, u2, u4: verranno usatealla fine per il calcolo delle reazioni vincolari.

• dalla equazione che governa l’equilibrio lungo u3

si ha

u3 =2P

E1A1

l1+

E2A2

l2+

E3A3

l3

(25)

• Le reazioni vincolari si calcolano attraverso leequazioni di equlibrio relative ai gradi di liberta’vincolati (post-processing):

R1

R2

R4

=

E1A1

l10 −E1A1

l10

0E2A2

l2−E2A2

l20

0 0 −E3A3

l3

E3A3

l3

u1

u2

u3

u4

dove u1 = 0, u2 = 0, u4 = 0 e u3 6= 0


Un esempio di struttura reticolareu4

α

P

2P

1

2 3

1

23 3 2

1

32

1

u5

u6

u1

u2

u3

Figure 12: Reticolare

Vogliamo determinare gli spostamenti orizzontalie verticali del nodo 3 delle struttura reticolare difigura 12.

nr. el. nodi Geom Mat. α

1 2 3 A,l1=l E 0 o

2 1 3 A,l2 =l√2 E 45 o

3 1 2 A,l3=l E 90 o

matrice topologica

ID =

elemento uix uiy ujx ujy1 3 4 5 62 1 2 5 63 1 2 3 4

(26)


matricedirigidezzaglobale

K=

K2 11+K

3 11

K2 12+K

3 12

K3 13

K3 14

K2 13

K3 14

K2 22+K

3 22

K3 23

K3 24

K2 23

K2 24

K1 11+K

3 33

K3 34+K

1 12

K1 13

K1 14

K3 44+K

1 22

K1 23

K1 24

K1 33+K

2 33

K1 34+K

2 34

K1 44+K

2 44

(27)

vettoredelle

forzenodali:

F=

F3 1+F

2 1

F3 2+F

2 2

F3 3+F

1 1

F3 4+F

1 2

−2P P

(28)

Cor

sodipr

oget

tazi

one

stru

ttura

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2005

/200

6D

ip.

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32

• Si impongono le condizioni al contorno:u1 = u2 = u3 = u4 = 0Nella soluzione manuale, si “tralasciano” leequazioni di equilibrio relative ad u1, u2, u3, u4;verranno recuperate alla fine per il calcolo dellereazioni vincolari

• Dalle equazioni relative ad u5 ed u6, si ha:

EAl

(

1.3536 0.35360.3536 0.3536

)(

u5

u6

)

=

(

−2PP

)

⇒ u5 = −3PlEA

, u6 = (3 + 2√2) PlEA

= 5.828 PlEA

• Dalle equazioni relative ad u1, u2, u3, u4, sicalcolano le reazioni vincolari:

F =

F 31 + F 2

1

F 32 + F 2

2

F 33 + F 1

1

F 34 + F 1

2

= EAl

−0.3536 −0.3536−0.3536 −0.3536−1 00 0

(

u5

u6

)

dove si e’ gia’ sostituito u1 = u2 = u3 = u4 = 0.


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