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POLITECNICO DI TORINO 1a Facoltà di Ingegneria

A.A. 2011/2012

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile

Progetto di Infrastrutture Viarie

prof. Marco Bassani ing. Roberto Melotti

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Esercizio 1: Progetto di una clotoide di transizione

Calcolare e rappresentare graficamente una clotoide di transizione per una curva di raggio R pari a 300 m, di una strada extraurbana di categoria F, che presenta le seguenti caratteristiche:

Vp min = 40 km/h

Vp max = 100 km/h

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Soluzione:

Le incognite del problema sono: - xM e yM = coordinate del centro dell’arco di cerchio; - x e y = coordinate del punto finale della clotoide; - L = lunghezza dell’arco di clotoide;

- = angolo di deviazione della clotoide; - R = raggio dell’arco di cerchio;

- R = scostamento rettifilo-cerchio; - Tl = tangente lunga; - Tk = tangente corta. Tramite l’abaco di progetto si osserva che la velocità di progetto di percorrenza della curva, dovrà essere compresa tra 80 e 90 km/h, e che la pendenza trasversale dovrà assumere il valore massimo pari a 0,07.

Per trovare l’esatto valore della velocità si utilizza la seguente formula di equilibrio per il moto in curva:

tfgR

v tan

2

da cui:

300

4

tl fqgRv

dove l’unico termine incognito è ft (quota parte del coefficiente di aderenza impiegato trasversalmente), che viene ricavato dalle seguenti tabelle e viene assunto come primo tentativo pari a 0,12.

Sostituendo i valori si ottiene:

s

mfqgRv tl 6,23)12,007,0(81,9300

h

kmV 1,856,36,23

È ora possibile ricavare il fattore di scala A della clotoide, attraverso le tre verifiche indicate dalla

normativa italiana (D.M. 6792/01):

- criterio 1: Limitazione del contraccolpo; - criterio 2: Sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata; - criterio 3: Ottico. Criterio 1: Limitazione del contraccolpo

Affinché lungo un arco di clotoide si abbia una graduale variazione dell’accelerazione trasversale non compensata nel tempo (contraccolpo c), fra il parametro A e la massima velocità di progetto V, desunta dal diagramma di velocità, per l’elemento di clotoide deve essere verificata la relazione:

m

c

qqRvg

c

vAA

if3,137

59,0

025,007,03006,2381,9

59,0

6,23 33

min

dove:

- c è il contraccolpo massimo pari a V

c4,50

max ;

- V è la velocità in km/h; - v è la velocità in m/s; - qf è la pendenza trasversale nel punto finale della clotoide; - qi è la pendenza trasversale nel punto iniziale della clotoide e vale 2,5% (rettifilo).

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La normativa permette di utilizzare un’equazione semplificata:

mVA 7,15113,85021,0021,0 22

Criterio 2: Sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata

Nelle sezioni di estremità di un arco di clotoide la carreggiata stradale presenta differenti assetti trasversali, che vanno raccordati longitudinalmente, introducendo una sovrapendenza nelle linee di estremità della carreggiata rispetto alla pendenza dell’asse di rotazione. Nel caso in cui il raggio iniziale sia di valore infinito (rettilineo o punto di flesso), il parametro deve verificare la seguente disuguaglianza:

if qqB

i

RAA

100

max

min

dove: - B = distanza (in m) fra l’asse di rotazione e l’estremità della carreggiata all’inizio della curva a raggio variabile, in questi caso pari alla larghezza della corsia (3,5 m);

- imax è la sovrapendenza longitudinale massima della linea costituita dai punti che distano B dall’asse di rotazione; in assenza di allargamento tale linea coincide con l’estremità della carreggiata:

%7411,013,85

5,31818100max

V

B

v

B

dt

dqi i

dove:

dt

dq= variazione della pendenza trasversale nel tempo pari a 0,05 rad/s

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Sostituendo i valori nella formula si ottiene:

mqqBi

RAA il 116)025,007,0(5,3100

7411,0

300100

max

min

Criterio 3: Ottico Per garantire la percezione ottica del raccordo deve essere verificata la relazione:

3

RA

e quindi si ottiene:

mR

A 1003

300

3

Inoltre, per garantire la percezione dell’arco di cerchio alla fine della clotoide, deve essere verificata la seguente condizione:

mRA 300

7

100 116 152 300

A (m)

A*=200

A (m)A*

A

=

RM

AX

MIN

A'''

MIN

A''

MIN

A'

A questo punto si può scegliere un qualsiasi valore del fattore di scala compreso tra 152 m e 300 m. In questo caso si è scelto A* = 200.

Costruzione della clotoide di transizione È ora possibile procede con il vero e proprio dimensionamento della clotoide di transizione, di cui si riporta di seguito una figura:

Bisogna innanzitutto calcolare l’angolo di deviazione con la seguente formula:

radR

A

A

s222,0

3002

200

22 2

2

2

2

2

2

C147,14

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A questo punto si utilizzano le tabelle della clotoide unitaria per ricavare gli altri parametri di dimensionamento della clotoide.

Dato che nella tabella non è presente un valore dell’angolo di deviazione uguale a quello ricavato, se ne prende uno leggermente superiore (oppure si procede interpolando linearmente i valori):

= 14,289C

Questo comporta che il raggio dell’arco di cerchio sarà leggermente inferiore a 300 m, ma le verifiche imposte dal D.M. 6792/01 sono comunque soddisfatte. I valori ricavati per la clotoide unitaria sono i seguenti:

mr 492537,1

mx 6666326,0

my 0499471,0

mxM 3344382,0

mR 0125093,0

Moltiplicandoli per il fattore di scala A, si ottiene:

mR 507,298200492537,1

mL 326,1332006666326,0

my 989,92000499471,0

mxM 888,662003344382,0

mR 50186,22000125093,0

mRRyM 00886,301507,29850186,2

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Per il tracciamento della clotoide si ricavano dalla tabella i valori delle coordinate x e y e li si moltiplica per il fattore di scala A:

n x y x* y*

1 0,01 0,0000002 2 0,00004

2 0,05 0,0000208 10 0,00416

3 0,1 0,0001667 19,99996 0,03334

4 0,149998 0,0005625 29,99962 0,1125

5 0,199992 0,0013333 39,9984 0,26666

6 0,249976 0,002604 49,99512 0,5208

7 0,3997 0,01066 79,94 2,132

8 0,4992 0,0208 99,84 4,16

9 0,5388 0,0262 107,76 5,24

10 0,5783 0,03245 115,66 6,49

11 0,598 0,0359 119,6 7,18

12 0,6177 0,0396 123,54 7,92

13 0,6275 0,04155 125,5 8,31

14 0,6373 0,0435 127,46 8,7

15 0,6471 0,0456 129,42 9,12

16 0,6568 0,0477 131,36 9,54

17 0,666633 0,0499471 133,326520 9,989420

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Esercizio 2: Tracciamento di una clotoide di flesso È fornita la poligonale d’asse di una strada extraurbana secondaria (tipo C) di cui si richiede il dimensionamento ed il tracciamento dei raccordi di transizione e flesso.

Sono dati la sezione trasversale e gli angoli di deviazione tra i rettifili. Si richiede il tracciamento planimetrico completo di assi e cigli (indicazione delle pendenze trasversali e delle differenze di quota tra ciglio e asse). Si richiede inoltre il tracciamento per punti delle clotoidi progettate rispetto a un sistema di riferimento stabilito.

Vp min = 60 km/h

Vp max = 100 km/h

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Soluzione: Per la risoluzione del problema sarà seguito questo percorso: - Definizione del rapporto raggio – velocità di progetto – pendenza; - Determinazione del fattore di scala A*; - Dimensionamento della clotoide di flesso; - Progetto delle clotoidi di transizione; - Caratteristiche del raccordo circolare. Definizione del rapporto raggio – velocità di progetto – pendenza Tramite l’abaco di progetto, in base ai raggi delle 2 curve, è possibile ottenere: - velocità; - pendenza trasversale (qf).

Dall’abaco di progetto si ottengono le seguenti pendenze trasversali:

R1 = 450 m qf,1 = 0,067 R2 = 380 m qf,2 = 0,07

R2 R1

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Sempre dallo stesso abaco si ricava la velocità di progetto della curva 1, pari a:

h

kmV 1001

Per trovare l’esatto valore della velocità di progetto della curva 2 si utilizza la seguente formula di equilibrio per il moto in curva:

tfgR

v tan

2

da cui:

tl fqgRv

dove l’unico termine incognito è ft (quota parte del coefficiente di aderenza impiegato trasversalmente), che viene ricavato dalle seguenti tabelle e viene assunto come primo tentativo pari a 0,115.

s

mfqgRv tl 2,26)115,007,0(81,93802,22

h

kmV 5,946,32,262

È ora possibile ricavare il fattore di scala A della clotoide, attraverso le tre verifiche indicate dalla

normativa italiana (D.M. 6792/01):

- criterio 1 di limitazione del contraccolpo; - criterio 2 di sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata; - criterio 3 ottico. Dato che le verifiche sono le stesse dell’esercizio n°1, di seguito saranno riportati solamente i risultati delle tre verifiche.

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Criterio 1: Limitazione del contraccolpo

m

c

qqRvg

c

vAA

if9,161

1

1,1,11

1

3

11min,1

m

c

qqRvg

c

vAA

if1,145

2

2,2,22

2

3

22min,2

mVA 210100021,0021,0 22

11min,

mVA 6,18754,94021,0021,0 22

22min,

Criterio 2: Sovrapendenza longitudinale delle linee di estremità della carreggiata

%675,0100

75,31818

1

1max,

V

Bi

%714,05,94

75,31818

2

2max,

V

Bi

mqqBi

RA il 4,129)0067,0(75,3100

675,0

450100 1,

1max,

11min,

mqqBi

RA il 2,118)007,0(75,3100

714,0

380100 2,

2max,

22min,

Criterio 3: Ottico

mR

A 1503

450

3

11min,

mR

A 6,1263

380

3

22min,

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mA 4501max,

mA 3802max,

A'

M

IN

A''

MIN

A'''

M

IN

MA

XA

= R

A* A (m)

A (m)

450210150129,42

Caso per R :1

2

118,2 126,67 187,69 380

A (m)

Caso per R :

A (m)

380

Riepilogo :

A*=210150

Si deve a questo punto scegliere se progettare una clotoide di flesso simmetrica oppure asimmetrica: si opta per la prima opzione per cui: A1 = A2 = 210 m

Dimensionamento della clotoide di flesso È ora possibile procede con il vero e proprio dimensionamento della clotoide di flesso, di cui si riporta di seguito una figura:

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Noti i valori di R1, R2 ed A, il primo passo consiste nel ricavare dall’abaco di Osterlock la distanza D tra i due cerchi:

844,0450

380

1

2 R

R

467,0450

210*

1

R

A

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Tramite l’abaco si ricava:

0205,01

R

D

e quindi:

mD 2,94500205,0

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È quindi possibile calcolare la distanza tra i centri dei due cerchi e gli angoli di deviazione 1,2:

mDRRMM 2,8392,93804502121

radR

A109,0

4502

210

22

2

2

1

2

1

C932,6

radR

A153,0

3802

210

22

2

2

2

2

2

C721,9

Si utilizzano ora le tabelle della clotoide unitaria per ricavare i parametri di dimensionamento della clotoide; poiché non sono presenti valori degli angoli di deviazione uguale a quelli ricavati, si procede interpolando linearmente i due valori: Clotoide 1:

tab,1 (cent) L1 (m) R1 (m) x1 (m) y1 (m) xM,1 (m) r1 (m)

6,7354372 0,46 2,173913 0,459485 0,0162097 0,229914 0,004054

6,932 0,4666428 2,143188 0,466089 0,01692652 0,233229 0,004233

7,0314654 0,47 2,12766 0,469427 0,0172888 0,234905 0,004324

tab,1 (cent) L*1 (m) R*1 (m) x*1 (m) y*1 (m) x*M,1 (m) *r1 (m)

6,735437 96,6 456,5217 96,49193 3,404037 48,28198 0,85134

6,932 97,99498 450,0695 97,87877 3,55457 48,97812 0,889018

7,031465 98,7 446,8086 98,57967 3,630648 49,32995 0,908061

Clotoide 2:

tab,2 (cent) L2 (m) R2 (m) x2 (m) y2 (m) xM,2 (m) r2 (m)

9,6288741 0,55 1,818182 0,548743 0,02768839 0,27479 0,006927

9,721 0,5526141 1,809695 0,551326 0,02808825 0,276092 0,007027

9,9821981 0,56 1,785714 0,558625 0,029218 0,279771 0,007311

tab,2 (cent) L*2 (m) R*2 (m) x*2 (m) y*2 (m) x*M,2 (m) *r2 (m)

9,628874 115,5 381,8182 115,2361 5,814562 57,70598 1,454586

9,721 116,049 380,0358 115,7785 5,898532 57,97938 1,475683

9,982198 117,6 374,9999 117,3112 6,13578 58,75185 1,535289

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È possibile ora ricavare le coordinate dei due centri dei cerchi e l’angolo che è l’angolo formato tra la congiungente i centri dei cerchi e l’asse y. Le formule da utilizzare sono le seguenti (i valori vanno inseriti in segno):

2,12,12,12,1 SenRxx FM

2,12,12,12,1 CosRyy FM

21

21arctan

MM

MM

yy

xx

Andando a sostituire i valori si ottiene:

mSenSenRxx FM 9,48109,04508,971111

mCosCosRyy FM 8,450109,04505,31111

mSenSenRxx FM 9,57153,03807,1152222

mCosCosRyy FM 4,381153,03808,52222

radyy

xx

MM

MM1278,0

4,3818,450

9,579,48arctanarctan

21

21

C1355,8

A valle di ciò si determina la posizione dell’asse x, che di fatto coincide con il secondo lato della poligonale. Per il tracciamento della clotoide si ricavano dalla tabella della clotoide unitaria i valori delle coordinate x e y e li si moltiplica per il fattore di scala A. Clotoide 1:

n x y x* y*

1 0,05 0,0000208 10,5 0,004368

2 0,0999998 0,0001667 20,99996 0,035007

3 0,1499981 0,0005625 31,4996 0,118125

4 0,199992 0,0013333 41,99832 0,279993

5 0,2399801 0,0023039 50,39582 0,483819

6 0,279957 0,0036583 58,79097 0,768243

7 0,3199161 0,0054603 67,18238 1,146663

8 0,3498687 0,0071439 73,47243 1,500219

9 0,379802 0,0091419 79,75842 1,919799

10 0,3997441 0,0106618 83,94626 2,238978

11 0,4196734 0,0123411 88,13141 2,591631

12 0,4296326 0,0132431 90,22285 2,781051

13 0,4395879 0,0141878 92,31346 2,979438

14 0,4495389 0,0151764 94,40317 3,187044

15 0,4594854 0,0162097 96,49193 3,404037

16 0,466089 0,0169265 97,87869 3,554569

19

Clotoide 2:

n x y x* x*

1 0,05 2,08E-05 10,5 0,004368

2 0,0999998 0,000167 20,99996 0,035007

3 0,1499981 0,000563 31,4996 0,118125

4 0,199992 0,001333 41,99832 0,279993

5 0,2399801 0,002304 50,39582 0,483819

6 0,279957 0,003658 58,79097 0,768243

7 0,3199161 0,00546 67,18238 1,146663

8 0,3498687 0,007144 73,47243 1,500219

9 0,379802 0,009142 79,75842 1,919799

10 0,3997441 0,010662 83,94626 2,238978

11 0,4196734 0,012341 88,13141 2,591631

12 0,4395879 0,014188 92,31346 2,979438

13 0,4594854 0,01621 96,49193 3,404037

14 0,4793634 0,018415 100,6663 3,867045

15 0,4992193 0,02081 104,8361 4,370121

16 0,5091381 0,022082 106,919 4,637178

17 0,5190503 0,023404 109,0006 4,914861

18 0,5289555 0,024778 111,0807 5,203359

19 0,5388532 0,026204 113,1592 5,502882

20 0,5487431 0,027684 115,2361 5,813619

21 0,551326 0,028085 115,7785 5,897835