Abbiamo gia’ considerato il caso del limite Newtoniano, inteso come limite di campo debole, statico e con particelle che si muovono lentamente. Consideriamo nuovamente il limite di campo debole ma senza altre limitazioni sulla staticita’ e sulla velocita’ degli oggetti. Il limite di campo debole implica che la metrica sia decomponibile in una metrica di Minkowski piu’ una piccola perturbazione.

€

Rµν =1 2 ∂σ∂ν hµσ +∂σ∂µhν

σ∂ −∂µ∂ν h −!hµν( ) R = ∂µ∂ν hµν −!h

! ≡ −∂t2 +∂x

2 +∂y2 +∂z

2 h ≡ηµν hµν = hµµ€

Γµνρ =

12ηρλ ∂µhνλ +∂ν hλµ −∂λhµν( )

Nel limite di piccole perturbazioni ignoriamo le quantita’ al secondo ordine, ottendendo

€

gµν =ηµν + hµν ; hµν <<1

Eliminando i termini Γ2 dal tensore di Riemann otteniamo tensore e scalare di Ricci €

gµν =ηµν − hµν

Dove abbiamo usato il tensore di Minkowski per alzare gli indici.

I simboli di Cristoffel diventano:.

Otteniamo cosi’ l’espressione per il tensore di Einstein

€

Gµν = Rµν −1 2Rηµν =1 2 ∂σ∂ν hµσ +∂σ∂µhν

σ∂ −∂µ∂ν h −!hµν −ηµν∂ρ∂σhρσ +ηµν!h( )

Le Equazioni di Einstein linearizzate contengono solo termini di ordine 0 in hµν poiche’ stiamo considerando il caso di piccole quantita’ di energia.

La decomposizione in Minkowski + perturbazione non e’ unica: ci possono essere varie scelte di coordinate (gauge) in cui gµν puo’ essere espressa allo stesso modo ma utilizzando una differente perturbazione hεµν

Dove il campo vettoriale εξµ individua la direzione di un diffeomorfismo infinitesimo per la metrica gµν Esistono varie scelte possibili di gauge. Tra le piu’ popolari ci sono il gauge trasversale, quello sincrono, quello armonico. Per le onde gravitazionali si utilizza principalmente al gauge trasversale.

Questo grado di liberta’ si traduce in una relazione tra le metriche perturbate:

€

hµν(ε ) = hµν +ε ∂µξν +∂νξµ( )

€

Gµν = 8πGTµν

La perturbazione hµν e’ un tensore (0,2) simmetrico. Sotto rotazione spaziale la componente 00 e’ uno scalare, le componenti 0i formano un 3-vettore e le componenti (i,j) un tensore spaziale simmetrico. Che puo’ essere a sua volta decomposto in una parte con traccia e una senza traccia. Quindi possiamo scrivere il tensore come:

In questo modo la metrica perturbata diventa

Dove Ψ contiene informazioni sulla traccia di h ed sij e’ senza traccia

€

Ψ = −1/6δ ijhij sij =1/2 hij −1/3δklhklδ ij( )

€

ds2 = −(1+Φ)dt 2 + wi(dtdxi + dx idt) + [(1− 2Ψ)δ ij + 2sij ]dx

idx j

E, calcolando I simboli di Cristoffel, il tensore di Riemann, quello di Ricci e la sua traccia possiamo riscrivere il tensore di Einstein

€

G00 = 2∇2Ψ+∂k∂l sklG0 j = −1/2∇2w j +1/2∂ j∂kw

k + 2∂0∂ jΨ+ 2∂0∂ks jk

Gij = δ ij∇2 −∂i∂ j( ) Φ−Ψ( ) +δ ij∂0∂kw

k −∂0∂( iw j )

+2δ ij∂02Ψ−!sij + 2∂k∂( is j )

k −δ ij∂k∂ skl

€

h00 = −2Φ h0 j = w hij = 2sij − 2Ψδ ij

Le espressioni precedenti sono generali. Riflettono solamente la decomposizione di hµν sotto rotazione spaziale. Specializziamoci ora alla scelta del gauge trasversale. La condizione e’ che sij e wi siano spazialmente trasversi;

In questo gauge le Equazioni di Einstein diventano:

€

∂ j sij = 0 ∂iw

i = 0

€

G00 = 2∇2Ψ = 8πGT00G0 j = −1/2∇2w j + 2∂0∂ jΨ = 8πGT0 j

Gij = δ ij∇2 −∂i∂ j( ) Φ−Ψ( ) +∂0∂(iw j ) + 2δ ij∂0

2Ψ−!sij = 8πGTij

Consideriamo ora la radiazione grazitazionale in campo debole. Qui ci interessa la loro propagazione e non la loro generazione. Quindi possiamo eliminare ogni termine sorgente: Tµν=0. Consideriamo il gauge trasversale:

Dal termine 00 otteniamo: . Se le condizioni al contorno sono regolari

€

!sij = 0€

∇2Ψ = 0

€

Ψ = 0Dal termine 0j otteniamo: . Che nuovamente implica

€

∇2w j = 0

€

w j = 0

Dalla traccia dell’equazione ij e con le condizioni precedenti:

€

∇2Φ = 0→Φ = 0

Rimaniamo con la parte traceless di ij ovvero con l’equazione:

In letteratura, anziche’ lavorare con sij si preferisce considerare l’intera perturbazione hµν nel caso in cui (Φ,Ψ,wi)=(0,0,0), ovvero lavorare nel gauge trasversale senza traccia in cui

€

hµνTT =

0 0 0 00 2s11 2s12 2s130 2s12 2s22 2s230 2s13 2s23 2s33

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Cosicche’ l’equazione precedente diventa

€

!hµνTT = 0

Per analogia con l’elettromagnetismo cerchiamo soluzioni tipo onda piana:

Dove Cµν e’ un tensore costante (0,2) puramente spaziale e tracelessQuesto ansatz rappresenta una soluzione all’equazione sotto la condizione

€

kσkσ = 0

ovvero la richiesta che le onde gravitazionali si propaghino alla velocita’ della luce. Questa condizione diventa chiara ricordando che la componente tempo del vettore d’onda e’ la frequenza dell’onda. Da cio’ kσ=(ω,k1,k2,k3) e la condizione su k diventa

Inoltre la condizione di trasversalita’ per sij (e quindi per hTTij) implica

Ovvero il vettore d’onda e’ ortogonale a Cµν

€

hµνTT = Cµνe

ikσ xσ

€

C0ν = 0; ηµνCµν = 0

€

δ ij kik j =ω 2

€

kµCµν = 0

Per rendere la soluzione piu’ esplicita consideriamo un’onda che viaggia in direzione x3: kσ=(ω,0,0,k3)= (ω,0,0,ω). L’ortogonalita’ implica C3ν=0. Otteniamo:

€

Cµν =

0 0 0 00 C11 C12 00 C12 −C11 00 0 0 0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Quindi un’onda piana che viaggia in direzione x3

E’ completamente caratterizzata dalle componenti C11 e C12 e dalla frequenza ω.

Per apprezzare l’effetto del passaggio di un’onda, consideriamo la separazione tra 2 particelle vicine lungo x1 (S1) ed x2 (S2) calcolata attraverso l’equazione delle geodetiche. Riscrivendo il tensore Cµν come a lato otteniamo le soluzioni. Esaminaimo separatamente gli effetti di h+ e hx. Cominciamo con hx=0. Le soluzioni sono:

€

S1 = 1+1/2h+eikσ x

σ( )S1(0); S2 = 1−1/2h+eikσ x

σ( )S2(0)

Dove il tempo scorre da sinistra a destra. L’effetto e’ quello di distorcere un cerchio nel piano x1 x2 con una perturbazione a forma di +.

€

Cµν =

0 0 0 00 h+ h× 00 h× −h+ 00 0 0 0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Le soluzioni con h+=0 sono:

Che corrispondono a perturbazioni a forma di x

€

S1 = S1(0) +1/2h×eikσ x

σ

S2(0); S2 = S2(0) +1/2h×eikσ x

σ

S1(0)

Le quantita’ h+ e hx misurano quindi i due modi indipendenti di polarizzazione lineare delle onde gravitazionali, Che possono essere combinati a formare modi di polarizzazione circolare, oraria ed antioraria:

€

hR =12h+ + ih×( ); hL =

12h+ − ih×( );

Per affrontare il problema della generazione delle onde gravitazionali bisogna risolvere le equazioni di Einstein con Tµν non nullo. In questo caso le perturbazioni alla metrica conterranno componenti sia scalari che vettoriali. Per questo motivo considereremo l’intero tensore hµν ma solo soluzioni lontane dalla sorgente, in cui imponiamo il gauge trasverso e senza traccia. Conviene considerare il tensore per il quale Abbiamo ancora un grado di liberta’ datoci dalla scelta del gauge. Scegliamo quello di Lorentz che implica la condizione: Cosi’ facendo le equazioni di Einstein assumono una forma molto concisa:

€

h µν = hµν −1/2hηµν

€

h µνTT = hµν

TT

€

∂µh µν = 0

€

Gµν = −1/2!h µν →!h µν =16πGTµν

La soluzione alle Equazioni e’ nota e duplice: descrive onde che viaggiano verso il futuro o che arrivano dal passato. Siamo interessati alle seconde.

€

h µν (t,x) = 4G 1x − y∫ Tµν (t − x − y ,y)d

3y

La perturbazione in (t,x) e’ la somma delle varie influenze dalle sorgenti dotate di energia-momento nelle posizioni (tr,x-y) lungo il cono luce passato, dove tr=t-|x-y| e’ detto ritardo temporale.

Specializziamoci al caso di una singola sorgente distante, composta di materia non relativistica. Consideriamo la trasformata di Fourier di

Dove la seconda equazione e’ stata ottenuta inserendo l’espressione precedente e considerando la trasformata di Fourier di Tµν. Nell’approssimazione che la sorgente sia a distanza r grande rispetto alle dimensioni della sorgente, δr, e che la frequenza di emissione sia sufficientemente piccola perche’ valga δr<<ω-1 l’integrale diventa

€

h µν

Dopo qualche manipolazione

€

˜ h µν (ω,x) =12π

h µν (t,x)eiωtdt = 4G eiω x−y˜ T µν (ω,x)x − y

d3y∫∫

Il termine a destra rappresenta il momento di quadrupolo del tensore energia momento della sorgente. Iij e’ un tensore costante sulle superfici a t costante

€

˜ h µν (ω,x) = 4G eiωr

r˜ T µν (ω,x)d3y∫

€

˜ h µν (ω,x) = −2Gω 2 eiωr

r˜ I ij (ω ); Iij (t) ≡ y iy jTµν (t,y)d3y∫

Prendendo l’anti-traformata di Fourier della formula precedente otteniamo finalmente la formula del quadrupolo

L’onda gravitazionale prodotta da una sorgente non relativistica, isolata e distante e’ proporzionale alla derivata seconda del quadrupolo della distribuzione di massa-energia nel punto in cui il cono luce dell’osservatore interseca la sorgente. Si noti il contrasto con il caso dell’elettromagnetismo in cui il segnale deriva dalla variazione del dipolo della distribuzione. Qui sarebbe impossibile poiche’, per la conservazione del momento, la variazione del dipolo della distribuzione non puo’ modificare il centro di massa-energia di una sistema.

Il momento di quadrupolo e’ tipicamente molto piu’ piccolo di quello di dipolo. Ed e’ questo uno dei motivi per cui le onde gravitazionali sono cosi’ deboli e difficili da rivelare.

Consideriamo un esempio. Due oggetti di massa M che orbitano nel piano x1 x2 a distanza R dal comune centro di massa. Assumiamo, per semplicita’, che le orbite dei due corpi siano Kepleriane.

€

h µν (t,x) =2Gr

d2Iij

dt 2 (tr); tr = t − r

Riferiamoci alla figura a lato. Per l’equilibrio centrifugo avremo che:

R

R

M

M

x1 x2

€

GM2

(2R)2 =Mv 2

R→v =

GM4R

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1/ 2

Il tempo necessario per completare un’orbita, T, e la velocita’ angolare Ω sono:

€

T = 2πRv

; Ω =2πT

=GM4R3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1/ 2

Le orbite dei due corpi sono dunque:

€

xA1 = Rcos(Ωt); xA

2 = Rsin(Ωt) xB

1 = -Rcos(Ωt); xB2 = -Rsin(Ωt)

Da cui la densita’ di energia corrispondenti:

€

T 00(t,x) = Mδ(x 3)[δ(x1 - RcosΩt)δ(x 2 - RsinΩt) +δ(x1 +RcosΩt)δ(x 2 + RsinΩt)]

Da T00 si puo’ ora calcolare il momento di quadrupolo della densita’ di energia

Le rimanenti componenti, temporali, possono essere ricavate dalla condizione del gauge di Lorentz

dalle quali e’ facile, derivando rispetto a t, ricavare la perturbazione alla metrica

€

I11 = MR2(1 +cos2Ωt)I22 = MR2(1- cos2Ωt)I12 = I21 = MR2sin2Ωt

Ii3 = 0

€

h ij (t,x) =8GM

rΩ2R2

−2cosΩtr −2sinΩtr 0−2sinΩtr 2cosΩtr 0

0 0 0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

∂µh µν = 0

Consideriamo un esempio molto significativo: quello di 2 buchi neri da 30 masse solari che orbitano intorno al comune centro di massa ad una distanza di 400 Mpc dall’osservatore con una separazione pari a 10 volte il loro raggio di Schwarzschild Rs. L’onda gravitazionale sara’ caratterizzata da intensita’ e frequenza. La frequenza sara’ simile a quella orbitale:

Nel caso in esame:

L’intensita’ sara’ circa uguale al modulo di h

€

f = Ω2π

≈cRS

1/ 2

10R3 / 2

€

h ≈ RS2

rR

€

RS ≈ 3⋅ 106cm; RS ≈ 3⋅ 107cm; r ≈ 4⋅ 1026cm

Quindi avremo:

€

f ≈ 50 Hz; h ≈10−21

Il passaggio di un’onda gravitazionale modifica le posizioni relative di 2 masse in caduta libera. 2 masse di test separate da una distanza L si avvicinano/allontanano di un fattore δL/L~h. Se consideriamo masse separate da ~ 1 Km allora per rivelare onde di questa ampiezza dovremmo misurare separazioni δL dell’ordine di

€

δL ~ 10-16 h10−21

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

LKm⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ cm Che sono circa 10-3 volte inferiori a

quelle di un nucleo atomico….

Tale misura puo’ essere eseguita con un interferometro come LIGO (in figura) con bracci di L=4Km. Un laser di lunghezza d’onda λ=10-4cm viene separato e riflesso per circa 100 volte all’interno di ogni braccio prima di essere inviato al fotodiodo. In assenza di onde gravitazionali l’apparato e’ calibrato in modo che l’interferanza tra i due fasci sia distruttiva. Se un onda induce una differenza di cammino pari a δL=10-16 cm allora questa produrra’ una differenza di fase tra i fasci pari a

€

δφ ~ 2⋅ 100 2πλ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ δL ~ 10-9

Questa e’ stata la misura con cui LIGO ha rivelato per la prima volta delle onde gravitazionali in modo diretto. In figura sono mostrati i risultati della misura contemporanea dei due interferometri. Nei pannelli in alto e’mostrata l’ampiezza di h (~10-21) in funzione del tempo ed in basso il valore della frequenza in funzione del tempo. La frequenza aumenta poiche’ due buchi neri stanno spiraleggaindo e, alla fine del processo, coalescono in un unico oggetto.