Lezione 7 Dinamica dei sistemi di punti

materialiArgomenti della lezione

• Forze interne ed esterne

• Definizione di centro di massa (posizione, velocità,accelerazione)

• Momento angolare

• Momento angolare di un sistema di punti materiali

• Teorema di Konig del momento angolare

• Teorema di Konig per l’energia cinetica

• Teorema dell’energia cinetica

Forze interne ed esterne

nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:

y

xO

ir

jr

ij ,F

ji ,F

Le forze interne sono quelle scambiate dai punti.

Per il principio di Azione/Reazione

ijji ,, FF Le forze esterne sono quelle che agiscono sul sistema per via di fattori esterni al sistema, si possono indicare come

)()( , ej

ei FF

Forze interne ed esterne

nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:

y

xO

'O

ir

jr

ji,F

ij ,F

Sommando vettorialmente le forze interne ed esterne si ottiene:

0,

, ji

jiF

)()( e

i

ei RF

Forze interne ed esterne

nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:

j

jj m

Fa

Le relative posizioni:

Le relative velocità:

Le relative accelerazioni:

nji rrrrr ,.........,,........., 21

nji vvvvv ,.........,,........., 21

nji aaaaa ,.........,,........., 21

y

xO

ir

jr

iv

jv

Forze interne ed esterne

In riferimento a quanto abbiamo appena visto su un sistema completo avremo:

y

xO

ir

jr

iv

jv

cini

ii

ii

iii

Em

m

2

2

1v

pPv

Centro di massaDefiniamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza:

y

xO

ir

jr

iv

jv

ii

iii

CM m

m rr

Studiamone la variazione col tempo:

ii

ii

iii

CMCM

mm

m

dt

d Pv

vr

CMi

im vP

Centro di massa

Proseguendo a derivare la velocità rispetto al tempo:

y

xO

ir

jr

iv

jv

ii

ii

ii

iii

CMCM

mm

m

dt

dFa

av

CMi

ii

i m aF

Ma le forze agenti su un singolo punto materiale sono sia quelle interne che esterne, ossia

CMi

ie

i

ei

jiji

ii m aRFFF

)()(

,, 0

Centro di massa

y

xO

ir

jr

iv

jvIl centro di massa si sposta come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema su cui agisce la risultante delle forze esterne.

CMCMi

ie Mm aaR

)(

dt

d

dt

dmm CM

iiCM

ii

e PvaR

)(

Notiamo che se: 0)( eR 0dt

dPcostP

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO

Esempio

Momento angolare

Si definisce momento angolare la seguente grandezza:

vrprL m

L

r

v

sinrpL

E’ una grandezza vettoriale, per definirne il verso:

c

ba

bac

Regola mano sx b direzione indice, a direzione medio, pollice vettore risultante

Momento della forza

Si definisce momento della forza la seguente grandezza:

FrM M

rF

sinrFM

E’ una grandezza vettoriale, per definirne il verso:

c

ba

bac

Regola mano sx b direzione indice, a direzione medio, pollice vettore risultante

Teorema del momento angolare

Calcoliamo la variazione nel tempo del momento angolare:

dt

dmm

dt

dm

dt

d

dt

d vrv

rvr

LL

r

v

O

La derivata temporale del momento angolare è uguale al momento della forza se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo di un sistema fisso.

Conservazione del momento angolare

Se la forza è nulla o forza e vettore posizione sono paralleli

costante0 LL

dt

d

MFrarvv mm

Centro di massa Momento angolare

y

xO

ir

jr

iv

jv

Ragionamenti analoghi possono essere fatti per il momento angolare di un singolo punto e del centro di massa.

iiii m vrL

LLvr i

ii

iii m

Anche in questo caso possiamo vederne il comportamento al variare del tempo:

i

iiii

i mdt

d

dt

d

dt

dvrL

L

Centro di massa Momento angolare

Proseguendo coi calcoli.

i

iiii

i mdt

d

dt

d

dt

dvrL

L

)()( e

i

eiidt

dMFr

L Momento totale delle

forze esterne

i

iii

iii

i

dt

dmm

dt

d vrv

r

i

iii

iiii

iii mm Frarvv

ji

jiii

eii

,,

)( FrFr

Centro di massa Momento angolare

E se l’origine si muove con una certa velocità?

oiii

dt

OPd

dt

dvv

r

Teorema del momento angolare per un sistema di punti

Se l’origine è fissa o coincide con il centro di massa del sistema:

)(e

dt

dM

L

i

iioe m

dt

dvvM

L )(

i

iCMoe m

dt

dvvM

L )(

Centro di massa Momento angolare

Se l’origine è fissa o coincide con il centro di massa del sistema:

)(e

dt

dM

L 0 se )( eM 0

dt

dL

Il momento angolare si conserva!

Sistema di riferimento del Centro di massa

Se consideriamo il centro di massa e lo prendiamo come origine di un sistema di riferimento cartesiano con assi ad orientazione fissa rispetto ad un sistema Oxy fisso, il moto del sistema di punti materiali può essere descritto come:

2) Moto di spostamento dei punti intorno al centro di massa dovuto al momento delle forze esterne

y

x

'y

'xO

CMr

'r

i

1) Moto del centro di massa dovuto a forze esterne

CMCMi

ie Mm aaR

)(

i

iiiCMCMe

CM mdt

d

dt

dvr

LM ,

)(

Teorema di Konig del momento angolare

Calcoliamo il momento totale rispetto ad O.

y

x

'y

'xO

CMr

'r

i i

iii m vrL0

iCMi

iCMi

'

'

vvv

rrrMa

iiii

iCMii

iiiCM

iCMiCM

iiCMiiCM

mmmm

m

''

'

''

'0

vrvrvrvr

vvrrL

'' ' LLvrvr CMi

iiii

CMiCM mm

Teorema di Konig per energia cinetica

iCMi

iCMi

'

'

vvv

rrr

iiiCMtot

iiCMi

iii

iCMi

iiCMi

iiicin

mM

mmm

mmE

22

22

22

'2

1

2

1

''2

1

2

1

'2

1

2

1

vv

vvvv

vvv

Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa capita per l’energia cinetica.

Teorema dell’energia cinetica

(int))((int))(i

eiiii

eiiii dWdWddddW rFrFrF

Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa capita per l’energia cinetica.

(int)idWIl termine è formato da termini del tipo

jijiijjiiijjji ddddd ,,,,, rFrrFrFrF

che sono associati a cambiamenti delle distanze relative dei punti

Teorema dell’energia cinetica

iiiii

iiii dmddt

dmddW vvr

vrF

i

Aiii

Bii vmvmW 2,

2, 2

1

2

1

Considerando tutte le forze ho per l’intero sistema

cost,,,, BpBkApAk EEEE

ApAkBpBknc EEEEL ,,,,

e nel caso di forze non conservative