Lezione 7

Guardare lontano?

limx!+1 f(x)

limx!+1 f(x) = L

Quando la variabile x cresce arbitrariamente,

i corrispondenti valori di f(x)

sono sempre piu “vicini” al valore L.

Limite finito

limx!+1 f(x) = L

Formalmente:

per ogni " > 0 esiste un x" > 0

tale che |f(x)� L| < " per ogni x > x"

L + ¡

L - ¡L - ¡

¡

¡scelta di x

¡

scelta di ¡

L +

xx

y = f (x)

O

y

L

O x

y

L

y = f (x)

se

limx!+1 f(x) = +1Limite infinito

quando la variabile x cresce arbitrariamente,

i corrispondenti valori di f(x) sono sempre piu grandi

Mscelta di x

x MxO

y

M

O

y

M

y = f (x) y = f (x)

scelta di M

x

Formalmente:

per ogni M > 0 esiste xM tale

che f(x) > M per ogni x > xM

limx!+1 f(x) = +1 se

In maniera analoga si definiscono i limiti quando x tende a meno infinito

limx!�1

f(x)

Per esercizio provare a scrivere la definizione di lim

x!�1f(x) = L

… e anche i limiti che assumono valore meno infinito, ad esempio:

limx!+1

f(x) = �1

Cosa succede guardando bene da vicino?

limx!x0 f(x)

limx!x0

f(x) = L

Quando la variabile x assume valori “vicini” a x0

(diversi da x0), i corrispondenti valori

di f(x) sono “vicini” al valore L.

Limite finito

Formalmente:

per ogni " > 0 esiste un �" > 0 tale che

|f(x)� L| < "

per ogni x 2 (x0 � �", x0 + �") con x 6= x0.

limx!x0

f(x) = L

se

¡

¡L -

L + ¡

¡L -

L +

O

y = f (x)

scelta di scelta di

x -O

y

L

by

L

xx

y = f (x)

xb ¡

¡

00

x0 x +0 b ¡

Quando la variabile x assume valori “vicini” a x0

(diversi da x0), i corrispondenti valori

di f(x) sono arbitrariamente piu grandi .

limx!x0 f(x) = +1

Limite infinito

x 0x x +0 bMx -

scelta di

0

M

0 bM

b

x

y = f (x)y = f (x)

x

scelta di M

M

O

y

O

M

y

Formalmente:

per ogni M > 0 esiste un �M > 0 tale che

f(x) > M per ogni x 2 (x0 � �M , x0 + �M ) con x 6= x0.

limx!x0 f(x) = +1 se

Non sempre la vita fila liscia…

un limite puo’ non esistere…

un limite puo’ essere diverso se lo si guarda

da destra o da sinistra…

dettagli sul libro!

limx!�1

x

n =

(+1 se n e pari

�1 se n e dispari

lim

x!+1 x

n

= +1 per ogni n 2 N, n 6= 0

Potenze

limx!+1

ax =

(0 se 0 < a < 1

+1 se a > 1

limx!�1

ax =

(+1 se 0 < a < 1

0 se a > 1

esponenziali

0 < a < 1

a > 1

lim

x!+1log

a

x =

(�1 se 0 < a < 1

+1 se a > 1

lim

x!0+log

a

x =

(+1 se 0 < a < 1

�1 se a > 1

O

y

x

1

1 O x

y

logaritmi

0 < a < 1

a > 1

a > 1

Operazioni sui limiti (parte 1)

L’algebra dei limiti

Operazioni sui limiti (parte 2)

FORME INDETERMINATE:

Esempi

Limiti di polinomi

Per il limite ad infinito, cio’ che conta e’ il termine di grado massimo

Limiti di quozienti di polinomi

FORME INDETERMINATE:

come procedere nel caso di forme indeterminate? Occorre saper confrontare i limiti…

Confrontare i limiti

Confrontare i limiti

Esercizi

Teorema dei due carabinieri

Esempio

riferimenti al libro: Sez 7.1, 7.2, 7.3

NO: sez. 7.4 e 7.5

esercizi: 7.4 e 7.5