Lezione 39 (6-12-17) - Università di Roma 39 (6-12... · Una grandezza A(t) si definisce...

06/12/17

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VALORIEFFICACIDIGRANDEZZEALTERNATEARMONICHEUnagrandezzaA(t)sidefinisceperiodica diperiodoTse,

perognivaloredit,sihaA(t+T)=A(t).

ECG:unagrandezzaquasiperiodica

UnagrandezzaA(t)periodicasidefiniscealternata se!" ∫ A(t)()"

( dt = 0.

Nelcasodigrandezzealternatearmoniche siha,adesempio,A(t)=A0 sin(wt+j)

SAPIENZA- IngegneriaClinica- FISICAII– A.Sciubba2017-18LEZ39

Spesso,p.es.effettitermiciomisureconalcunitipidistrumenti,èutileconsiderarelapotenzamediatasuunopportunointervallotemporale.NelcasodicorrentiperiodichediperiodoT:

VALORIEFFICACIDIGRANDEZZEALTERNATEARMONICHE

P/01 =1T4P(t)

"

5

dt =1T4 RI8(t)

"

5dt = R

1T4 I8(t)

"

5dt = RI0998

Ieff rappresenta la corrente continuache produce gli stessi effetti dissipativimedi della I(t).

I099 =1T4 I8(t)

"

5dt

�

UnaresistenzaRdissipa,istanteperistante,lapotenzaRI(t)2.


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2


I099 =1T4 [I5sin(ωt)]8

"

5dt

�= I5

1ωT4 sin8(x)

E"

5dx

�

QualorasiaI(t)= I5 sin ωt siha: I099 =1T4 I8(t)

"

5dt

�

= I512π

x2 −

sin(2x)4 R

5

8S�

=I52�

Analogamente,seA t = A5 sin ωt + φ àA099 =A52�



f t = f5 sin ωt + φ àf099 =f52�

Peresempiolalineadialimentazionea230Vefficacicorrispondeaun’ampiezzadi230Vx√2=325V

650V50Hz


20ms

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f0 sin ωt − LdIdt −

1C4 Idt

(

5− RI = 0

dopoiltransitorio,aregime(soluzioneparticolare)siha𝐈(𝐭) = 𝐈𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗)

𝐕𝐋 𝐭 = LdIdt

𝐕𝐂 𝐭 =1C4 Idt

(

5

𝐕𝐑 𝐭 = RI = I5R sin ωt + φ = 𝐈𝟎𝐑 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗 + 𝟎

+ + +

-

--VC

VL

VR

𝐟 𝐭 = 𝐟𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭

= 𝐈𝟎𝟏𝛚𝐂 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗 −

𝛑𝟐

= −I51ωC cos ωt + φ

= I5ωL cos ωt + φ = 𝐈𝟎𝛚𝐋 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗 +𝛑𝟐

CIRCUITIINCORRENTEALTERNATA(ARMONICA)

f(t)=VL(t)+VC(t)+VR(t)


𝐈 = 𝐈𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗)

𝐕𝐑 𝐭 = I5𝐑 sin ωt + φ + 𝟎

+ + +

-

--VC

VL

VR

𝐕𝐂 𝐭 = I5𝟏𝛚𝐂 sin ωt + φ −

𝛑𝟐

𝐕𝐋 𝐭 = I5𝛚𝐋 sin ωt + φ +𝛑𝟐

CIRCUITIINCORRENTEALTERNATA(ARMONICA)


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𝐕𝐑 𝐭 = I5𝐑 sin ωt + φ + 𝟎

𝐕𝐂 𝐭 = I5𝟏𝛚𝐂 sin ωt + φ −

𝛑𝟐

𝐕𝐋 𝐭 = I5𝛚𝐋 sin ωt + φ +𝛑𝟐

CIRCUITIINCORRENTEALTERNATA

𝐕𝟎𝐂 = 𝐑𝐈𝟎

𝐕𝟎𝐋 = 𝐈𝟎𝛚𝐋

𝐕𝟎𝐂 = −𝐈𝟎𝛚𝐂

f0f(t)=VL(t)+VC(t)+VR(t)

VL(t)anticiparispettoaI(t)

VC(t)ritardarispettoaI(t)

VR(t)èinfaseconI(t)


ωf0 cos ωt + LI5ω8 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗 +

−I5C 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗 − Rω I5cos ωt + φ = 0

ωf0 cos ωt + I5ω8L −nop

sin ωt cosφ + cos(ωt) sinφ +−I5ωR cos ωt cosφ − sin ωt sinφ = 0

COS ωt ωf0 + I5ω8L −nopsinφ − I5ωRcosφ +

SIN(ωt) I5ω8L −nopcosφ + I5ωRsinφ =0

𝐈 = I5sin(ωt + φ)


1C4 Idt

(

5− RI = 0

ωf0 cos ωt − Ld2Idt2 −

IC − R

dIdt = 0

�̇� = ωI5cos(ωt + φ) �̈� = −ω8I5sin(ωt + φ)

RLC


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5

1)ωf0 + I5ω8L −I5C sinφ − I5ωRcosφ = 0

2) I5ω8L −I5C cosφ + I5ωRsinφ = 0

×sinφ

×cosφ

+𝛚𝐟𝟎𝐬𝐢𝐧𝛗 + 𝐈𝟎𝛚𝟐𝐋 −

𝐈𝟎𝐂 = 𝟎

1)ωf0 + I5ω8L −I5C sinφ − I5ωRcosφ = 0

2) I5ω8L −I5C cosφ + I5ωRsinφ = 0 ×cosφ

×−sinφ

+𝛚𝐟𝟎𝐜𝐨𝐬𝛗 − 𝐈𝟎𝛚𝐑 = 𝟎

COS ωt ωf0 + I5ω8L −nopsinφ − I5ωRcosφ +

SIN(ωt) I5ω8L −nopcosφ + I5ωRsinφ =0

RLC


tgφ(ω) = −ωL − 1

ωCR

→ ωf0sinφ + I5ω8L −I5C = 0

→ ωf0cosφ − I5ωR = 0

→ f08 sin8φ = I58 ωL −1ωC

8

I5(ω) =f0

ωL − 1ωC

8+ R8

�

(ωf0)8sin8φ = I5ω8L −I5C

8

(ωf0)8cos8φ = I5ωR 8

f08 = I58 ωL −1ωC

8+ R8

→ f08 cos8φ = I58 R 8

RLCφn − φz

𝐈(𝐭) = 𝐈𝟎(𝛚)𝐬𝐢𝐧[𝛚𝐭 + 𝛗 𝛚 ]𝐟 𝐭 = 𝐟𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭


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=f0R

1 + 1R8 ωL − 1

ωC8�

I5(ω) =f0

R8 + ωL − 1ωC

8�

ωω5 =

1LC�

f0R

ω5L −!

Eop=0

RLC

RISONANZAI5(ω)


= f099/I099 = R8 + ωL −1ωC

8�

impedenza(complessa)

induttiva capacitiva

R

ωL

−1ωC

Z}ℑ𝑚Z}

ℜ𝑒Z}

|Z(ω)| = f0/I5

I5(ω) =f0

R8 + ωL − 1ωC

8�

reattanza(immaginaria)

resistenza(reale)

RLC

φz − φn


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|Z(ω)| = f0/I5 = f099/I099 = R8 +1ωC

8�

I5 =f0R

1R8 ωL − 1

ωC8+ 1

�

ω

fR

I5 =f0R

1ωRC

8+ 1

�

I0(ω)f0R 2�


1C4 Idt

(

5− RI = 0

f 0sin ωt I5sin(ωt + φ)

ω =1RC

RC


I5 =f0R

1R8 ωL − 1

ωC8+ 1

�

ω

fR

I5 =f0R

ωLR

8+ 1

�

I0(ω) f0R 2�


1C4 Idt

(

5− RI = 0

f 0sin ωt I5sin(ωt + φ)

ω =RL

RL

|Z(ω)| = f0/I5 = f099/I099 = R8 + ωL 8�


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leggediGalileoFerraris

𝐕 𝐭 = 𝐕𝟎𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗

𝐈 𝐭 = 𝐈𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐭)

P t = V t I t = V0I0sin ωt sin(ωt + φ)

=V0I0T 4 sin ωt [sin ωt cosφ + cos(ωt) sinφ]

"

5dt =

=V0I0T 4 [sin2 ωt cosφ + sin ωt cos ωt sinφ]

"

5dt =

P/01 =1T4P(t)

"

5

dt =1T4 V0I0sin ωt sin(ωt + φ)

"

5dt =

= V0I0cosφT 4 sin2 ωt dt +

sinφT 4 sin ωt cos ωt

"

5dt

"

5=

= V0I0cosφ2 =

V02�I02�cosφ =

fattoredipotenza𝐕𝐞𝐟𝐟𝐈𝐞𝐟𝐟 𝐜𝐨𝐬𝛗

cos(φz − φn)LEZ3915

𝐕𝐂 𝐭 = 𝐈𝟎𝟏𝛚𝐂 sin ωt −

𝛑𝟐

𝐕𝐋 𝐭 = 𝐈𝟎𝛚𝐋 sin ωt +𝛑𝟐

P/01_� = VeffIeff cos(+𝛑𝟐) = 0

P/01_p = VeffIeff cos(−𝛑𝟐) = 0

𝐕𝐑 𝐭 = 𝐈𝟎𝐑 sin ωt + 𝟎

P/01_� = VeffIeff cos(𝟎) = VeffIeff

leggediGalileoFerraris

𝐕 𝐭 = 𝐕𝟎𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 + 𝛗P t = V t I t = V0I0sin ωt sin(ωt + φ)

LEZ39

𝐈 𝐭 = 𝐈𝟎𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐭)

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RI0

RI0

RI0

ωLI0

- I0Ep

I0 ωL− !Ep



Ungeneratoresinusoidale(feff=230V,n =50Hz)alimenta,inserie,unaresistenzaR=10kW eunacapacitàC=1µF.Determinarelapotenzamediaerogata.

RI0- I0Ep

𝐏𝐦𝐞𝐝 = 𝐕𝐞𝐟𝐟𝐈𝐞𝐟𝐟 𝐜𝐨𝐬𝛗

cos φ =R

R8 + 1ωC

8�

f099 = I099 R8 + !Ep

8�

I099 =f099

R8 + 1ωC

8�

Pmed = fefff099

R8 + 1ωC

8�

R

R8 + 1ωC

8�

=10�

10� + 1100π10��

8�= 0,95

=230

10� + 1100π10��

8�A = 22mA

= 230Vx22mAx 0,95=4,8W

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