Lezione 3. Movimento ed Equilibrio -...

F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 3 1

Lezione 3. Movimento ed Equilibrio


Schema della lezione

1. Movimento dello stato e dell’uscita (generale)

2. (Movimento di) Equilibrio (generale)

3. Sistemi LTI

4. Equilibrio di sistemi LTI

5. Movimento di sistemi LTI

6. Movimento libero e movimento forzato di sistemi LTI


1. Movimento dello stato e dell’uscita

tutgty

tutt

,

,

x

xfx

Sia assegnato l’ingresso

stato iniziale

0 , ttt x

movimento dello stato

0 , ttty

movimento dell’uscita

Integrando l’equazione di stato si ottiene

Sostituendo il risultato nella trasformazione d’uscita si ha

00 xx t

0 , tttu

Problema fondamentale della teoria dei sistemi


Esempio

tu

tkxty

tx

portata volumetrica in ingresso (m3/s)

portata volumetrica in uscita (m3/s)

livello

tkxty

tuA

txA

ktx

1

2 1 mA

s

mk

2

1

txty

tutxtx


Sia assegnato l’ingresso 0 ,2 ttu

2 txtx

50 x

Per trovare il movimento dello stato, cioè l’andamento nel tempo

del livello, partendo da 5 m ed erogando una portata costante

di 2 m3/s, bisogna risolvere l’equazione differenziale lineare del

primo ordine (cfr Analisi Matematica II)

con la condizione iniziale

50 xcon livello iniziale

Innanzitutto si ricordi che:

00

xtxedxed

d tt


ttt

ttt deeedeetx

00

2525

2322512525 0 ttttttttt eeeeeeeee

0 ,23 tetx tIl movimento dello stato è

0 ,23 tetxty tIl movimento dell’uscita è

50 xSfruttando la condizione iniziale:

Quindi, si moltiplichino entrambi i membri dell’equazione per 0te

ttt etxetxe 2 ttt etxetxe 2 tt etxedt

d2

t

t dextxe0

20 t

tt dexetx0

20


tutgty

tutt

,

,

x

xfx

Movimento dello stato costante nel tempo in corrispondenza di utu

2. (Movimento di) Equilibrio

ingresso costante 0 , ttutu

xx t

Stato di equilibrio

Uscita di equilibrio

Movimento dell’uscita costante nel tempo in corrispondenza di utu

yty

stato iniziale xx 0t


ugy

uf

,

,0

x

x 0tx

t

x(t)

xx 0 xtx

utu per

Calcolo dell’equilibrio (per sistemi a tempo continuo)

Eq. algebrica

0

Esempio con x scalare


tutxty

tutxtx

2

32

Esempio

2320 x

Calcolare stato ed uscita di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso costante 0 ,2 ttu

Bisogna risolvere l’equazione algebrica

3x Stato di equilibrio(per ) 2 utu

Se si applica l’ingresso costante con condizione iniziale , il movimento dello stato è

2u 30 xx

0 ,3 txtx

L’uscita di equilibrio è

42 uxy


txty

Ml

tutx

Ml

htx

l

gtx

txtx

1

22212

21

sin

M

Mg

l

C(t)

Ca(t)

(t)

tutC

tyt

txt 1

txt 2

Esempio

Calcolare l’equilibrio utu in corrispondenza di

Sistema NON lineare!!


1

2221

2

sin0

0

xy

Ml

ux

Ml

hx

l

g

x

1

2

1

0

arcsin

xy

x

Mgl

ux

0,0

0

AA yx

2,

0

2

CC yx

BB y,

0x

0uSe

Mglu Se

pendolo verticale con massa in basso

pendolo verticale con massa in alto

pendolo orizzontale con massa a destra

Stato ed uscita di equilibrio(per costante)u

Per esempio:


I sistemi LTI hanno una struttura semplice e sono disponibili molti risultati teorici per il loro studio (e per il progetto di controllori)

Inoltre, molti sistemi dinamici sono descrivibili mediante sistemi LTI (almeno in prima approssimazione)

Sistemi dinamici a tempo continuo

Sistemi dinamici Lineari Tempo-Invarianti (LTI)

tuxgy

tuxfx

,,

,,

3. Sistemi dinamici Lineari Tempo-Invarianti (LTI)


tdutxctxctxcty

tubtxatxatxatx

tubtxatxatxatx

nn

nnnnnnn

nn

2211

2211

112121111

Sistemi LTI: notazione matriciale (caso SISO)

t,utgty

t,utt

x

xfx , , g,fcon lineari

è possibile scrivere esplicitamente le relazioni in forma lineare

tx

tx

t

n

1

xRicordando che


nnnnnn

n

aaa

aaa

A

21

11211

1

1

nnb

b

B

nncccC

121 11 dD

tDutCty

tButAt

x

xx

Raggruppando i coefficienti in matrici e vettori


tutxtxty

tutxtxtx

tutxtxtx

21

212

211

Esempio

, , g,f sono lineari

tx

txt

2

1x il sistema è di ordine 2

A

B C D

2 3

2 4

2

32 3 2

2 +3

2 +4

2

+3

2 3 +2


In corrispondenza di si imponga

uBA x0

uBA 1x

uDBCAuDCy 1x

utu

uBA x

Se 0det A

Se 0det A

guadagno statico

Il sistema può avere infinite o nessuna soluzione.

uBA x

tDutCty

tButAt

x

xx

u

y

4. Equilibrio di sistemi LTI SISO

0tx


Un sistema LTI può avere (in corrispondenza di un dato ):

un solo stato di equilibrio ( )

infiniti stati di equilibrio ( e ha infinite soluzioni)

nessuno stato di equilibrio ( e non ha nessuna soluzione)

Se 0det A

Se 0det A

Se 0det A

uBA x

uBA x

u


tDutCty

tButAt

x

xx

31

21A

0

1B

01C

0D

Calcolare lo stato e l’uscita di equilibrio ed il guadagno statico in corrispondenza dell’ingresso 2 utu

2

62

0

1

11

23

1

11 uBAx

62

601

uDCy x

01det A

3u

y

Esempio


Calcolare l’equilibrio in corrispondenza di

mgtztzktztzktztztctzm

MgtztzktztztctzM

trttsttt

stt

)()()()()()()()(

)()()()()()(

0

0

t s

t s t t r t

k z z Mg

k z z k z z mg

NB: vale qualunque sia c(t)

mgkk

kMg

z

z

kkk

kk

tts

s

tt

0)( rr ztz

Esempio – Sospensione


0

0

t

t

z

z

z

z

mgkk

kMg

z

z

kkk

kk

tts

s

tt


dbuexetx

ttaat

00

0 ,generico ttu

00 xx

Si consideri un sistema SISO del I ordine (n=1, stato scalare)

Si calcoli il movimento dello stato per

tdutcxty

tbutaxtx

5. Movimento di sistemi LTI SISO


0

22

!2!

tAAtI

k

Ate

k

kAt

Ora, si consideri un sistema SISO di ordine n qualsiasi

dBueett

tAAt

00xx

Esponenziale di matrice

tDutCty

tButAt

x

xx

0 ,generico ttu

00 xx Si calcoli il movimento dello stato per


dBueett

tAAt

00xx

tDudBueCCetyt

tAAt

00x

Formule di Lagrange (per il calcolo del movimento di sistemi LTI)

Movimento dello stato

Movimento dell’uscita


6. Movimento libero e movimento forzato

tlx

dBueett

tAAt

00xx

tfx

tDudBueCCetyt

tAAt

00x

tyl ty f

Movimento libero dello stato

Movimento libero dell’uscita

Movimento forzato dello stato

Movimento forzato dell’uscita

Dipende solo dalla condizione

iniziale

Dipende solo dall’ingresso

0per

tu

tyty

tt

l

lxx

0per 0

x

tyty

tt

f

fxx


Principio di sovrapposizione degli effetti

Consideriamo un sistema SISO (eventualmente tempo-variante) di ordine n qualsiasi

00 xx

tDutCxty

tButAxtx

approfondimento


Teorema

Siano x’(t) e y’(t) i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso u’(t) con stato iniziale x0’.Siano x’’(t) e y’’(t) i movimenti dello stato e dell’uscita generati dall’ingresso u’’(t) con stato iniziale x0’’.

Allora per ogni a,b scalari i movimenti dello stato x’’’(t) e dell’uscita y’’’(t) generati dall’ingresso u’’’(t) =a u’(t) +b u’’(t) con stato iniziale x0’’’=a x0’+b x0’’ sono:

x’’’(t) =a x’(t) +b x’’(t) e y’’’(t) =a y’(t) +b y’’(t)

cioè:

u’(t) , x0’ x’(t) , y’(t)u’’(t) , x0’’ x’’(t) , y’’(t)

u’’’(t)= a u’(t) +b u’’(t) x’’’(t) =a x’(t) +b x’’(t) x0’’’=a x0’+b x0’’ y’’’(t) =a y’(t) +b y’’(t)

approfondimento


Quindi:il movimento libero di un sistema lineare a partire da una combinazione lineare di condizioni iniziali è la combinazione lineare dei movimenti liberi generati a partire dalle singole condizioni iniziali

x0’ xl’(t) x0’’ xl’’(t)

x0’’’ =a x0’ +b x0’’ xl’’’(t) =a xl’(t) +b xl’’(t)

il movimento forzato di un sistema lineare a partire da una combinazione lineare di ingressi è la combinazione lineare dei movimenti forzati generati a partire dai singoli ingressi

u’ (t) xf’(t) u” (t) xf’’(t)

u’’’ (t) =a u’ (t) +b u” (t) xf’’’(t) =a xf’(t) +b xf’’(t)

approfondimento


pmn ty,tu,tx

Sistemi LTI MIMO (cenni)

A matrice n × n

B matrice n × m

C matrice p × n

D matrice p × m

tx

tx

tx

n

1

tu

tu

tu

m

1

ty

ty

ty

p

1

tDutCxty

tButAxtx

approfondimento


uBxA 0

uBAx 1

uDBCAuDxCy 1

utu In corrispondenza di

uBxA

Matrice dei guadagni statici

Il sistema può avere infinite o nessuna soluzione.

uBxA

Equilibrio

Matrice p × m

Se det A

Se det A

approfondimento


Movimento

dBuexetx

ttAAt

00

mnmBBBB

21

dBuetx

ttA

f0

1

1

mm tu

tu

tu nn 1 n

m

jfj

m

jjj

ttA

m

jjj

ttA

f txduBeduBetx11

01

0

Il movimento forzato è la somma dei movimenti forzati dovuti alle componenti dell’ingresso

approfondimento


tDutCxty

tButAxtx

31

21A

11

21B

10

01D

Esempio

11

11C

tutxtxty

tutxtxty

tututxtxtx

tututxtxtx

2212

1211

21212

21211

3

22

Due ingressi, due uscite, del secondo ordine

approfondimento


Si calcoli l’equilibrio in corrispondenza di

1

1u

01det A

1

3

1

1

11

21

31

211

1 uBAx

1

3

1

1

10

01

1

3

11

11uDxCy

21

521 DBCA

approfondimento


tDutCxty

tButAxtx

tTxtx ~

tDutxCTtDutCxty

tTButxTATtButAxTtxTtx~

~~

1

1

Rappresentazioni equivalenti

0det T

Cambiamento di variabili di stato

con

DCBADCBA~

,~

,~

,~

~,,,

DDCTCTBBTATA

tuDtxCty

tuBtxAtx

~,

~,

~,

~ ~~~

~~~~11

approfondimento


stesso sistema(diversa rappresentazione di stato ma stesso legame ingresso-uscita)

Equilibrio

Movimento

~e0~

det0det AA

DCBADCBA~

,~

,~

,~

~,,,

stesso movimento dell’uscitain corrispondenza del medesimo ingresso e della condizione iniziale

ty

00~ Txx

approfondimento

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