Moto nello spazio tridimensionale - INFNameneg/pdf/2014/Lez03... · 2014-03-03 · -la...
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1 Fisica I 1 La localizzazione spazio-temporale di un ‘evento’ -la posizione rispetto un PUNTO O DI RIFERIMENTO sistema di coordinate spaziali “origine” O i.e. di un punto arbitrario sistema di assi orientati rispetto ai quali misurare gli spostamenti (distanze e/o angoli) al variare del tempo - la definizione di un modo di misurare il tempo : Nella “Meccanica classica” (“newtoniana”), le proprietà geometriche dello spazio sono le stesse in ogni punto dello spazio … lo spazio e’ isotropo (quelle della “geometria euclidea”) Il tempo in Meccanica classica, è un parametro assoluto che ordina la successione degli eventi nella stessa maniera in ogni punto dello spazio ed in tutti i sistemi di coordinate (anche in moto relativo uno rispetto all’altro) : esso è misurato da “orologi” (sistemi fisici che esibiscono fenomeni periodici) il cui procedere è assunto essere lo stesso in tutti i punti dello spazio e indipendentemente dal loro stato di moto ⇒ assolutezza del concetto di “contemporaneità” di eventi in punti diverso dello spazio Moto nello spazio tridimensionale - traiettoria e posizione nella traiettoria al variare del tempo Fisica I 2 La posizione puo essere individuata dal raggio vettore r r y x u t y u t x r r r r ) ( ) ( + + + = = = coordinate cartesiane )) ( sin( ) ( ) ( )) ( cos( ) ( ) ( t t r t y t t r t x θ θ = = = = = = 2 2 y x r + + + + = = = x y = = = ) tan( θ coordinate polari rispetto un’origine O
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Fisica I 1
La localizzazione spazio-temporale di un ‘evento’
-la posizione rispetto un PUNTO O DI RIFERIMENTO sistema di coordinate spaziali
“origine” O i.e. di un punto arbitrariosistema di assi orientati rispetto ai quali misurare gli
spostamenti (distanze e/o angoli) al variare del tempo
- la definizione di un modo di misurare il tempo :
Nella “Meccanica classica” (“newtoniana”), le proprietà geometriche dellospazio sono le stesse in ogni punto dello spazio …lo spazio e’ isotropo (quelle della “geometria euclidea”)
Il tempo in Meccanica classica, è un parametro assoluto che ordina la successione degli eventi nella stessa maniera in ogni punto dello spazio ed in tutti i sistemi di coordinate (anche in moto relativo uno rispetto all’altro) : esso è misurato da “orologi” (sistemi fisici che esibiscono fenomeniperiodici) il cui procedere è assunto essere lo stesso in tutti i punti dellospazio e indipendentemente dal loro stato di moto
⇒ assolutezza del concetto di “contemporaneità” di eventi in punti diverso dello spazio
Moto nello spazio tridimensionale
- traiettoria e posizione nellatraiettoria al variare del tempo
Fisica I 2
La posizione puo essere individuata dal raggio vettore rr
yx utyutxrrrr
)()( ++++==== coordinate cartesiane
))(sin()()(
))(cos()()(
ttrty
ttrtx
θθ
========
22 yxr ++++====x
y====)tan(θ coordinate polari
rispetto un’origine O
2
Fisica I 3
“modulo” di r
direzione
O
Pr
- definito un sistema di coordinate, nello spazio tridimensionale una grandezzavettoriale è individuata da tre numeri, “componenti” del vettore che la rappresentano nel sistema dato
- le componenti di un vettore soddisfano determinate “proprietà di trasformazione”per cambiamenti del sistema di coordinate, in modo tale da rispettare la invarianzadelle proprietà intrinseche del vettore.
modulo, direzione e verso sono “proprietà intrinseche” della grandezza vettoriale( indipendenti dal sistema di coordinate scelto per rappresentarle)
Grandezza vettoriale: introduzione
r “prototipo”di una grandezza vettoriale:
Consideriamo lo spostamento di un punto P nello spaziorispetto ad un punto O definito come riferimento.Devo fornire una direzione , un versoun modulo (che ne specifica la distanza cioe’ la grandezza in una data unità
di misura)
Fisica I 4
Coordinate cartesiane ortogonali:
xy
zP = P(x,y,z)
r
Coordinate cilindriche:
xy
zP = P(R,ϕ,z)
r
x y
z P = P(r,ϕ,θ)r
Rϕ
ϕ
θ
Coordinate sferiche:
Sistemi di coordinate
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Fisica I 5
a b = k a
a
b c
•Modulo •Direzione•Verso•Operazioni : . Moltiplicazione per uno scalare k
vettori
di versori ub ua
• Somma di due vettori
⇒ “regola del parallelogramma”
c = a + b• Scomposizione di un vettore
lungo due direzioni uy ,ux
c = cx ux +cy uy
cuy
ux
Versore
modulo: b=k a ub = ua
Versore: vettore di modulo unitario
Fisica I 6
• differenza di due vettori==
somma del primo con l’opposto del secondo
⇒ “regola del parallelogramma”
d = a - b = = a+(- b)a
b
d
dx = ax - bxdy = ay - by dz = az - bz
differenza i vettori
-b
⇒ Proprietà commutativa : a + b = b + a
4
Fisica I 7
• “Versore” u : vettore di modulo unitario indica unadirezione e un verso su di essa
Versore ua di a :vettore di modulo unitario:
12
,
2
,
2
,=++=
zayaxaauuuu
r
• Versori degli assi coordinati :
x
y
z
ux uy
uz
u x = (1,0,0)
u y = (0,1,0)
u z = (0,0,1)
Versori : coordinate cartesiane
• Espressione di un vettore o scomposizione in funzione dei
versori degli assi coordinati :
a = ayux+ ayuy + azuz
z
x
yaxux
ayuy
azuz a
Fisica I 8
• Somma di due vettori in coordinate cartesiane
⇒ “regola del parallelogramma”
c = a + b a
b c
a
b = sa a = = (ax , ay , az )
cx = ax + bx
•Moltiplicazione per uno scalare s
cy = ay + bycz = az + bz
Operazioni con i vettori in coordinate cartesiane
b = = (sax , s ay , s az )
a = ax uy + ay uy + azuz
b = s a = sax uy + say uy + sazuz
c = (ax uy + ay uy + azuz)+ ( bx uy + by uy + bzuz)c = = (cx , cy , cz )
5
Fisica I 9
abbabas ϑcosrrrr ⋅≡•≡ b
θab
a
0
1222
22
=•=•=•
===
==≡•
zyzxyx
zyx
uuuuuu
uuu
aaaa
rrrrrr
rrr
rrrr
in particolare:
Prodotto scalare di due vettori
E’ una quantità scalare:
)cos( abbabas ϑ⋅≡•≡ rrrProiezione di b sul vettore a
)cos( ababbas ϑ⋅≡•≡rrr
Proiezione di a sul vettore b
Fisica I 10
Dalle proprietà precedenti, è facile ricavare l’ espressione del prodotto scalare infunzione delle coordinate cartesiane dei vettori :
.......
)()(
2 +•+=
++•++=•
yxyxxxx
zzyyxxzzyyxx
uubauba
ubububuauauaba
rrr
rrrrrrrr
= 0= 1
r ra b a b a b a bx x y y z z• = + +
Prodotto scalare in coordinate cartesiane emodulo di un vettore
2aaaaaaaaa zzyyxx =++=• rrModulo di un vettore
6
Fisica I 11
Vale la proprietà distributiva:
r r v r r
r r r r
a b c a d
a d
a b c
a b a c
a b a c
d
b c
b c
• + = • ≡⋅ =⋅ + =⋅ + ⋅ ≡
• + •
( )
c o s
( c o s c o s )
c o s c o s
ϑϑ ϑ
ϑ ϑ
c
θb
bcosθb c cosθc
dcosθd = bcosθb + c cosθc
θd
b
a
θc
Prodotto scalare cont.
Fisica I 12
γβ
γβγ
βα
222
2222222
coscoscos1
coscoscos
cos
cos
cos
++α=
++α=
=•=
=•=
=•=
aaaa
azuaa
auaa
auaa
z
yy
xx
rr
rr
rr
x
y
z
ux
uz
u x =(1,0,0)
u y = (0,1,0)
u z = (0,0,1) x
y
ayuy
z
a
Coseni direttori e proiezione di un vettore su un asse :
γ
α
Proiezione di a sull’asse x
.... sull’asse y
..... sull’asse z
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Fisica I 13
c
a
bθ
r r rc a b= ⋅ s i n θModulo:
Direzione: perpendicolare al piano individuato da a e b
Verso: definito dalla “regola della manodestra”(o “della vite destrogira”)
Valgono le proprietà :- anti-commutativa :
- distributiva:
r r r ra b b a× = − ×( )r r r r r r ra b c a b a c× + = × + ×( )
c = a × b
a
bc
Prodotto vettoriale di due vettori
E’ un vettore:
Fisica I 14
r r
r r r
r r r
r r r
a a
u u u
u u u
u u u
x y z
x z y
y z x
× =× =
× = −
× =
0
⇒
ux
uz = ux × uy
uyπ/2
Espressione del prodotto vettoriale in funzione delle coordinate cartesiane :
r r r r r r r r
r r r r
a b a u a u a u b u b u b u
a u b u a u b u
x x y y z z x x y y z z
x x x x x x y y
× = + + × + + =
= × + × + =
( ) ( )
( ) ( ) . . . . . .
= 0 = ax by ( ux × uy ) = ax by uz
zyx
zyx
zyx
bbb
aaa
uuu
ba
rrr
rv =×In forma “matriciale”:
r r r r ra b a b a b u a b a b u a b a b uy z z y x x z z x y x y y x z× = − − − + −( ) ( ) ( )
Prodotto vettoriale in coordinate cartesiane
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Fisica I 15
1) Un punto materiale P si sposta nel piano (x,y) dall’ origine O degli assicoordinati di una lunghezza s1= 30 m in direzione y e successivamente di s2= 40 m nella direzione che forma un angolo θθθθ=30o con la direzione x. Si scriva l’espressione analitica delle componenti del vettore spostamento totale r = (rx,ry) e si determi la distanza dall’origine del punto finale P:
rx = ........ ry = ……..
r = …………
2 )Due vettori a e b=(3,4) formano un angolo θθθθ=45o ed il loro prodotto scalarevale s = a⋅⋅⋅⋅b = 25. Calcolare il modulo del vettore a :
a=………
3) Dati i vettori A= 3u con un angolo di 360 con asse negativo e B =7u concordecon asse positivo, calcolare i moduli dei vettori C=A+B e D=A-B. Calcolare le componenti in un sistema di assi cartesiani. ( cos144=-0.81, sin36=0.59) Risposta.A(-2.42 , 1.76) , B(7,0) C=4.128u D=12.34u.
C(-2.42+7, 1.76)
Fisica I 16
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Fisica I 17
Coordinate cartesiane ortogonali:
xy
zP = P(x,y,z)
r
Coordinate cilindriche:
xy
zP = P(R,ϕ,z)
r
x y
z P = P(r,ϕ,θ)r
Rϕ
ϕ
θ
Coordinate sferiche:
Sistemidi coordinate : la posizionedi un puntoe’sempreindividuata da tre coordinate
Fisica I 18
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Fisica I 19
Moto nel pianoLa posizione puo essere individuata dal raggio vettore r
r
La velocità è sempre tangente alla traiettoria e ha modulo
rr∆
)( ttr ∆++++r
)(trr
s∆ s∆rr∆
arco
corda
Variazione della posizione
al limite, per Δt�0, corda e arco coincidono
Tudt
ds
dt
rdv
rr
r == Tur
è il versore tangente alla traiettoria nel puntodove si calcola la derivata.
rdr
da informazione sullo spostamento.In modulo dsdr ====sr
tt∆∆
∆∆ 00limlim
→→→→→→→→====
rispetto un’origine
dt
dsv ==== Fisica I 20
La velocità nel pianoCoordinate cartesiane
yyxxyx uvuvudt
dyu
dt
dx
dt
rdv
rrrrr
r ++++====++++========
22yx vvv ++++====
θθθθ
uvuvudt
dru
dt
drdt
udru
dt
dr
dt
urd
dt
rdv
rrr
rr
r
rrrr
rr
rrr
++++====++++====
++++============ )(
rv
θv
dt
drvr ====
dt
drv
θθ ====
dt
dxvx ====
dt
dyvy ====
velocità radiale velocità trasversa
Coordinate curvilineeTu
dt
ds
dt
rdv
rr
r ==Rappresentazione che mostra come la velocita’ sia tangente alla traiettoria (fig. in slide 18 )
Coordinate polari : r, θ
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Fisica I 21
L’accelerazione nel piano
2
2
dt
rddtvd
arr
r ======== Tuvvrr ====
dt
udvu
dt
dva T
T
rrr +=ϕd
ds
La curva può essere approssimata localmente a un tratto di circonferenza con centro in C e raggio di curvatura CP=ρ
ρ
ϕρ dds =NNN
T uv
udt
dsu
dt
d
dt
ud rrrr
ρρϕ === 1
NTNNTT
NT
aauaua
uv
udt
dva
rrrr
rrr
+=+=
+=ρ
2
22NT aaa ++++====
Se il moto è curvilineo, è semprediversa da zero e diretta verso la concavità
Nar
yxyyxx
yy
xx
aauaua
udt
dvu
dt
dv
dt
vda
rrrr
rrr
r
+=+=
+==
componenti cartesiane
Fisica I 22
v = ( 6 t – 4) ux +8 uy con t>0. Determinare : le dimensioni dei parametri e
D. L’istante in cui la velocita’ e’ nulla e l’istante in cui la velocita’ e’ // asse y.
12
Fisica I 23 Fisica I 24
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Fisica I 25
Moto circolare
θ s
La traiettoria è una circonferenza (o un arco di circonferenza)� utilizziamo coordinate polari!!!Il raggio vettore ha come modulo il raggio di curvatura
La posizione viene individuata da o da)(ts )(tθ
)()( tRts θ==== 0======== rr uvvrr
ωθθ R
dt
dR
dt
dsvv ================
R
v
dt
d ======== θω velocità angolare
La velocità cambia continuamente direzione � il moto è accelerato (come ogni moto curvilineo)
RR
vaN
22
ω========
accelerazione normalesempre rivolta verso il centro
αωR
dt
dR
dt
dvaT ============
Ra
dt
ddtd T============ 2
2θωα
accelerazione tangente accelerazione angolare
Fisica I 26
Moto circolare uniforme
costantev
0,0
costante costante,
2
2
===
====
RR
a
a
v
N
T
ω
αω Legge oraria:
tsts
tt
v)(
)(
0
0
+=+= ωθθ
ωππ 22 ========
v
RT
Motoperiodico
θ s
Le proiezioni sugli assi cartesiani:
)sin(sin
)cos(cos
0
0
tRRy
tRRx
ωθθωθθ
++++========++++========
Descrivono due moti armonici, tra loro in quadratura, con pulsazione NUMERICAMENTE uguale alla velocità angolare
Unità di misura [ω] = radianti/secondi = rad/s
14
Fisica I 27
Moto circolare uniformemente accelerato
variabile),(
,
costante costante,
20
2
221
000
RtRa
ttt
a
N
T
αωω
αωθθαωωα
++++========
++++++++====++++====
========
Le equazioni hanno forma analoga a quelle del moto rettilineo uniformemente accelerato
dt
dt
dt
dtt
ωαθωθ ======== )(,)(),(
∫∫∫∫
∫∫∫∫++++====
++++====
dttt
dttt
)()(
)()(
0
0
αωω
ωθθe viceversa,
Unità di misura [α] = rad/s2
Fisica I 28
Notazione vettoriale
La direzione della velocità angolareè perpendicolareal piano del moto
Il verso viene dato dalla regoladella vita (cavatappi)
Rr
rv
====××××==== rrr ω
Rr
rv
====××××====
ϕω
sin
rrr
ϕ
Il vettore accelerazione angolare dt
dωαr
r ====
se ha direzione fissa � ha la stessa direzione
Il verso dipende dal segno della variazione di
αrωr
ωr
NT aa
vrdt
rdr
dt
d
rdt
d
dt
vda
rr
rrrr
rrr
v
rrr
r
++++====××××++++××××====
××××++++××××====
××××========
ωα
ωω
ω )(
QUANTO VISTO VALE SOLO PER IL MOTO CIRCOLARE
15
Fisica I 29
Oppure
ω = 2π / Τ
Fisica I 30
16
Fisica I 31
Moto parabolico
θ
Condizioni iniziali (t = 0): parte dall’origine 000 ======== yx
yyxx
yx
uvuv
uvuvvrr
rrr
00
000 sincos
++++====
++++==== θθ),0( gaa
ugga
yx
y
−−−−========
−−−−======== rrr
yx
y
t
ugtvuv
ugtvdtavtv
rr
rrrrr
)sin(cos
)(
00
00
0
−+=
−=+= ∫
θθ
Le equazioni del moto sono:
costante variabilexv yv
tvtvtx x θcos)( 0========2
21
0sinv)( gttty −= θ θcos0v
xt ====
2
22
0cos2
tan)( xv
gxxy
θθ −=
Equazione della traiettoria(parabola rivolta verso il basso)
(1)
Fisica I 32
Moto parabolico (2) La parabola incontra l’asse x in due punti:Condizione in (1)A 2 sol.:1) x = 0 (all’origine)2) xG: gittata
MG xgg
x 22sinvsincosv2 00 === θθθ
0cos2
tan)( 2
22
0
=−= xv
gxxy
θθ
L’altezza massima:condizione
0 oppure0 ========dx
dyvy g
vxyy MM 2
sin)(
220 θ========
La gittata massimacondizione:
0====θd
dxG
g
vxGM
2045 ====⇒⇒⇒⇒==== oθ
Tempo di volo: Mx
GG t
v
xt 2========
• Il tempo di salita è uguale a quello di discesa• La velocità al suolo e uguale quella iniziale• v(xM) = vox
(1)
17
Fisica I 33 Fisica I 34
)sin(0
gtv −θ
18
Fisica I 35 Fisica I 36
19
Fisica I 37 Fisica I 38
20
Fisica I 39
Moto parabolico (3)
Fisica I 40
Moto parabolico (4)
