Primo principio della dinamica L’esperienza mostra che un corpo che scivola su un piano

orizzontale a un certo punto si ferma. Meccanica pre-newtoniana: occorre applicare una forza per

mantenere in moto il corpo con velocità costante. Se il corpo scivola su superfici sempre più lisce, la distanza

percorsa prima di fermarsi diventa sempre maggiore. Al limite si può pensare che un corpo in moto su una superficie

ideale senza attrito non si ferma, e prosegue nel suo moto con velocità costante.

Prima legge di Newton: se su un corpo non agisce nessuna forza, la sua velocità vettoriale rimane invariata. La forza è la grandezza fisica che esprime e misura le

interazioni tra sistemi fisici. Una forza applicata ad un corpo causa una variazione di

velocità, cioè una accelerazione.

Definizione di forza

Diremo che F=1N se l’accelerazione impressa è 1m/s2

Raddoppiando l’intensità della forza raddoppia anche il modulo dell’accelerazione. In generale l’accelerazione è proporzionale alla forza

A forze applicate in direzioni diverse corrispondono accelerazioni che hanno la stessa direzione della forza: la forza è una grandezza vettoriale

F

Consideriamo un blocco di massa unitaria (m=1kg) su un piano orizzontale liscio al quale vengono applicate forze di diversa intensità ed in direzioni diverse

Principio di sovrapposizione Quando su un corpo agiscono due o più forze, la loro

risultante si ottiene come somma vettoriale delle singole forze L’effetto dell’insieme delle forze applicate su un corpo è lo

stesso di una singola forza pari alla risultante Generalizzazione della prima legge di Newton: se la risultante

delle forze agenti su un corpo è nulla, la velocità del corpo non può cambiare

F1

F2

F

Sistemi di riferimento inerziali La prima legge di Newton non è verificata in tutti i

sistemi di riferimento! Sistema di riferimento inerziale = sistema di

riferimento in cui è valida la prima legge di Newton esempio di sistemi di riferimento non inerziali: una

giostra, un’automobile in moto lungo una curva ... la Terra è un sistema di riferimento inerziale?

no, perchè è in rotazione! tuttavia, in parecchi casi di interesse pratico gli effetti

della rotazione terrestre sono trascurabili, e la Terra può ritenersi un sistema di riferimento inerziale!

Secondo principio della dinamica

Applicando forze diverse su uno stesso corpo si verifica che le accelerazioni risultanti sono proporzionali alla forza applicata: F1 / a1 = F2 / a2 = F3 / a3 ...

Una stessa forza produce accelerazioni diverse su corpi diversi il rapporto F/a dipende dal corpo in esame

massa inerziale = grandezza fisica che mette in relazione la forza applicata ad un corpo con l’accelerazione che ne risulta

Seconda legge di Newton: la forza risultante agente su un corpo è pari al prodotto della sua massa per l’accelerazione risultante:

La massa inerziale rappresenta l’inerzia di un corpo, ossia la sua tendenza ad opporsi a variazioni di velocità

zzyyxx maFmaFmaFamF =∧=∧=⇔=rr

Unità di misura

La massa è una grandezza fondamentale nel sistema MKS la massa si misura in kilogrammi (kg) nel sistema CGS la massa si misura in grammi (g)

La forza è una grandezza derivata equazione dimensionale della forza: [F]=[MLT-2] nel sistema MKS la forza si misura in Newton (N)

1 N = 1 kg m s-2

nel sistema CGS la forza si misura in dine 1 dine = 1 g cm s-2

1 dine = 10-5 N

Terzo principio della dinamica Terza legge di Newton: quando due corpi interagiscono,

le forze esercitate da un corpo sull’altro sono uguali in modulo, hanno la stessa direzione e versi opposti

Le due forze prendono il nome di azione e reazione

BAAB FFrr

−=

A

B

FAB

FBAA

B

FAB

FBA

Forza gravitazionale Tutti i corpi sono soggetti all’attrazione gravitazionale

da parte della Terra, diretta verso il centro della Terra In prossimità della superficie terrestre la forza di

gravità è diretta verso il basso (forza peso) e vale:

L’accelerazione di gravità è in modulo pari a g=9,8 m/s2 ed è diretta verso il basso

Un corpo lasciato libero di cadere in prossimità della superficie terrestre si muove con accelerazione pari all’accelerazione di gravità

Effetto identico alla cometa o a un meteorite ma…

gmPrr

=

Reazione normale Quando un corpo preme contro una superficie, questa si

oppone esercitando una reazione ad essa perpendicolare La reazione normale impedisce che il corpo attraversi la

superficie

N

P

Per effetto del suo peso, il blocco tenderebbe a penetrare nel tavolo, che si oppone esercitando una reazione normale e lo mantiene in equilibrio

0NP =+rr

y

Proiettando lungo un asse y verticale:

mgN0mgN0PN =⇒=−⇒=−

θ

Discesa su un piano inclinato liscio

P

N

Consideriamo un blocco di massa M su un piano inclinato liscio

Seconda legge di Newton: a MNPrrr

=+

x

y

θ

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

MaMgsinè

0Mgcosè-N

Dalle equazioni del moto si calcolano la reazione normale e l’accelerazione:

sinèg a

cosèMg N

==

TensioneIn un filo (o una fune, una corda, un cavo...) inestensibile,

l’applicazione di una forza ad una estremità genera per reazione delle forze di tensione interne al filo, in modulo pari alla forza applicata (T=F)

FT -T

Macchina di Atwood

m1

m2

La macchina di Atwood è costituita da due blocchi collegati da un filo inestensibile che può scorrere su una carrucola di massa trascurabile

m2 g

m1 g

T

T

222

111

amTgm

amTgmrrr

rrr

=+

=+

x Scegliendo un asse x come in figura:

12

222

111

aa

amTgm

amTgm

−==−=−

21

21

21

122

21

211 mm

gm2mT

mm

mmga

mm

mmga

+=

+−

=+−

=

Forze di attrito

P

N

Consideriamo un blocco di massa m poggiato su un piano orizzontale, a cui viene applicata una forza F orizzontalePer valori piccoli di F il blocco rimane fermoIl piano esercita sul blocco una forza fas (detta forza di attrito

statico) opposta a F, che mantiene il blocco in equilibrioAumentando F il blocco rimane fermo finchè F ≤ Fmax

La forza di attrito statico non è costante, ma cresce con F fino ad un valore massimo fas,max=Fmax

Se F >Fmax il blocco inizia a muoversi con a > (F-Fmax)/mIn questa fase il piano esercita sul blocco una forza di attrito

dinamico fad < fas,max

Ffas Ffas Ffad

Origine delle forze di attrito La forza di attrito è dovuta alle interazioni tra

gli atomi delle superfici dei corpi a contatto A causa delle scabrosità, l’area di contatto

effettiva è circa 104 volte minore dell’area apparente

Si creano microsaldature tra gli atomi che si oppongono allo slittamento delle due superfici (attrito statico)

Se si cerca di far slittare le due superfici, si provoca uno stiramento delle saldature e, dopo lo strappo iniziale, una serie di risaldature e strappi (attrito dinamico)

Se si premono maggiormente le due superfici, l’area effettiva di contatto aumenta, e quindi aumentano le forze di attrito

Proprietà delle forze di attritoL’intensità della forza di attrito statico può raggiungere un valore massimo fas,max dato da:

Nìff sas,maxas =≤

N = intensità della forza normale

μs = coefficiente di attrito statico

L’intensità della forza di attrito dinamico fad è sempre data da:

Nìf dad =

μd = coefficiente di attrito dinamico

In genere si ha: μd < μs

Equilibrio su un piano inclinato scabroConsideriamo un blocco di massa M poggiato su un piano inclinato scabro e calcoliamo il minimo valore di μs affinchè il corpo non scenda

θP

N

fas

x

y

θ

0fNP as =++rrr

Prima legge di Newton:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

Mgsinèf

MgcosèN

0fMgsinè

0MgcosèN

asas

Imponendo fas ≤ μsN si ha:

tgèì

MgcosèìMgsinè

s

s

≥⇒≤

θ

Discesa su un piano inclinato scabroConsideriamo un blocco di massa M su un piano inclinato scabro

Seconda legge di Newton:

a MfNP ad

rrrr=++

x

y

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

MafMgsinè

0MgcosèN

ad

P

N

fad

θ

Reazione normale: MgcosèN =

Attrito: MgcosèìNìf ddad ==

Accelerazione:

) cosèì-g(sinèa

MaMgcosèì-Mgsinè

d

d

=⇒=

Resistenza aerodinamicaUn corpo che si muove in un fluido subisce una forza di resistenza aerodinamica (attrito col fluido) di modulo pari a:

2v ñ A C2

1D =

ρ = densità del fluido definita come massa/Volume

A = area efficace della sezione trasversale che subisce resistenza

v = velocità del corpo

C = coefficiente aerodinamico del corpo in moto.

Velocità limiteConsideriamo un corpo di massa M in caduta libera in aria

P

D

x

Partendo da fermo il corpo accelera in base alla seconda legge di Newton:

a MDPrrr

=+

Aumentando la velocità cresce anche la resistenza aerodinamica, finchè si raggiunge un valore limite di velocità in cui la resistenza aerodinamica è pari in modulo alla forza peso e a=0:

0DP =+rr

0v ñ A C 2

1Mg 2 =− CAñ

2Mgv =

Forza elastica Quando una molla è

deformata tende a ripristinare il suo stato di riposo esercitando una forza di richiamo

Per piccole deformazioni, la forza di richiamo risulta proporzionale allo spostamento dell’estremo libero della molla dalla posizione di riposo (legge di Hooke):

x kFrr

−=

F

x

F

x dove k = costante elastica

Equilibrio di un corpo appeso ad una molla

P

Fel

Prima legge di Newton: 0FP el =+rr

x

k

mgx0kxmg =⇒=−

Nella posizione di equilibrio la molla è allungata di un tratto x=mg/k.

Sulla base di questo esempio si puo dare una definizione statica della forza.

Equilibrio di un corpo appeso ad una molla

P

Fel

Equazione dinamica della Forza.

x

2222xmgmkx-xg=kmdadtϖϖ=−⇒=

Il moto e’ di tipo armonico come sin o cos più una soluzione particolare.

Se la gravità non agisce (piano orizzontale) l’equazione è semplicemente armonica. (Vedremo un esercizio)

Forze centripete Una particella in moto circolare uniforme è soggetta ad una

accelerazione centripeta a = v2/R Una forza centripeta accelera un corpo causando una

variazione della direzione della velocità ma non del modulo Esempio: la forza che permette ad un’automobile di percorrere

una curva è l’attrito statico tra i pneumatici e l’asfalto

centro della curva →

fas

P

NR

vMf

0MgN2

as =

=−Equazioni del moto:

gRìv

MgìR

vMNìf

s

s

2

sas

≤⇒

≤⇒≤

Velocità massima:

Forze centrifuga Una particella in moto circolare uniforme è soggetta ad una

accelerazione centrifuga per un osservatore non inerziale solidale con la particella stessa

Una forza centrifuga tiene il corpo “fermo” nel sistema di riferimento non inerziale. Esempio: l’attrito statico tra i pneumatici e l’asfalto cessa

(perdita di aderenza) la macchina esce fuori strada in curva:

centro della curva →

fas

P

N

2ApparentevfMR=−

Equazioni del moto: