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F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez.10 1

Lezione 10. Funzione di trasferimento


Schema della lezione

1. Definizione

2. Dimensioni della funzione di trasferimento

3. Interpretazione della funzione di trasferimento

4. Struttura della funzione di trasferimento

5. Rappresentazione interna ed esterna

6. Poli e zeri di una funzione di trasferimento

7. Proprietà di poli e zeri

8. Parametrizzazioni di una funzione di trasferimento

9. Relazione tra guadagno statico e guadagno dellafunzione di trasferimento


tDutCxty

tButAxtx

sBUsAXxssX 0

sBUxsXAsI 0

1. Definizione

sDUsCXsY

Si consideri un sistema LTI

Si esegua la trasformazione di Laplace dell’equazione di stato

Si trasformi infine la trasformazione d’uscita

sBUAsIxAsIsX11

0


quando 00 x

sUDBAsICsY 1

DBAsICsG 1

Funzione di trasferimento

sUDBAsICxAsICsY 11

0

sDUsCXsY

sBUAsIxAsIsX11

0

Sostituendo lo stato nella trasformazione d’uscita si ottiene


sUsGsY

è (una funzionedi s) scalare

2. Dimensioni della funzione di trasferimento

DBAsICsG 1

n1 nn 1n 11

Sistema SISO ingresso ed uscita sono scalari

sU

sYsG

La funzione di trasferimento è il rapporto tra le trasformate di uscita ed ingresso

(con condizione iniziale nulla per lo stato)


sUsGsUsGsUsGsUsGsY mimii

m

jjiji

22111

sU

sU

sGsG

sGsG

sGsG

sY

sY

sY

mmppmp

imi

m

p

i

1

1

1

1111

DBAsICsG 1

np nn mn mp

Dimensioni della funzione di trasferimento(caso generale MIMO)

p : dim. vettore uscita

m : dim. vettore ingresso

n : dim. vettore stato

E’ una matrice p×m

La i-esima componente del vettore di uscita è quindi

approfondimento


00

1imp)(

x

sUttuL

sGsUsGsY

La funzione di trasferimento è la trasformata diLaplace della risposta all’impulso del sistema

3. Interpretazione della funzione di trasferimento

Allora

Si consideri un sistema SISO con funzione di trasferimento sG

Siano


Esempio

tDutCxty

tButAxtx

02

1210A

1

1B 11C

1

1

2

121011

11

s

sDBAsICsG

0D

1

1

102

1211

2410

1

s

s

ss

2410

2

12

1211

2410

122

ss

s

s

s

ss

Calcolare la funzione di trasferimento del sistema


Calcolare la risposta all’impulso del sistema a partire da condizioni iniziali nulle.

46

2

2410

22

ss

s

ss

ssGsUsGsY

00

1imp)(

x

sUttuL

sYty -1)( L


46

46

46

46

6446

2

ss

s

ss

ss

ssss

s

046

2

6

4

6

6

4

4

sssY

6

6

4

4)( 111

sssYty --- LLL

tt eety 64 64)( per 0t


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

y(t)


DBAsICsG 1

4. Struttura della funzione di trasferimento(per sistemi SISO)

Analisi della struttura fattore per fattore


sKAsI

AsI

det

11 sK nn

è un polinomio in s di grado n sAsI det

skij (elemento di K(s) ) è un polinomio in s di grado < n

1

1

2221

11211

1

nnnnn

n

asa

asa

aaas

AsI

Il primo fattore è

La sua espressione è

dove è la matrice dei complementi algebrici della trasposta di AsI

(è il polinomio caratteristico di A!)


sM è un polinomio in s di grado < n

s

sMBsKC

AsIBAsIC

nnnn

11

1

det

1

Moltiplicando a sinistra per C e a destra per B si ha 1 AsI

E’ un sistema SISO


0Dse

sN è un polinomio in s di grado n

è un polinomio in s di grado < n

Ds

sMDBAsICsG

1

s

sN

s

sDsM

sMsN

Infine, si somma D

(cioè il sistema è strettamente proprio)


Salvo cancellazioni

AsIssD det

sG è razionale

sN è un polinomio in s :

sD

sNsG

di grado n se D è diverso da zero

di grado < n se D è nullo

Riassumendo

è un polinomio in s di grado n(è il polinomio caratteristico di A!)


sD è un fattore di di grado r < n

sN

s

Una cancellazione in è un indicatore dell’esistenza di parti “nascoste” (non raggiungibili e/o non osservabili) del sistema (cioè che esistono nella rappresentazione di stato e che “si perdono” passando alla rappresentazione mediante funzione di trasferimento).

sG

In caso di cancellazioni

ha grado v < n (v = r solo se D è diverso da zero)


xy

uxx

11

1

0

11

01

11sG

1

0

11

011

s

s

1

1

11

1

sss

s

Cancellazioni

Esempio

Qual è il significato di questa cancellazione?


21

212

11

xxy

uxxx

xx

2

22

xy

uxx

xy

uxx

11

1

0

11

01

Si osservi che per 01 tx 001 x allora 0tper ogni

il sistema, dal punto di vista ingresso/uscita, è identico a

1

1

ssG

Si esplicitino le equazioni di stato

Quindi, quando si ha condizione iniziale , 001 x

Il fatto che ci sia una cancellazione nella funzione di trasferimento consiste nel fatto che una variabile di stato “non si veda” nella rappresentazione ingresso/uscita.


La funzione di trasferimento è detta rappresentazione esterna del sistema, mentre quella in variabili di stato è detta rappresentazione interna. In generale, però, non hanno il medesimo contenuto informativo (la rappresentazione di stato ci dice sempre tutto, la funzione di trasferimento solo se non ci sono cancellazioni)

?

Rappresentazione interna

DCBA ,,,

DuCxy

BuAxx

Rappresentazione esterna

sUsGsY

00 x

DBAsICsG 1

“realizzazione”

5. Rappresentazione di un sistema LTI

con


sD

sNsG

eR

mI

Poli : radici di 0sDX

Zeri : radici di 0sNO

X

X

X

X

O

OO

O

6. Funzione di trasferimento : poli e zeri

Dove li abbiamo già visti?


Numero di zeri numero di poli

(salvo cancellazioni)

I poli sono tutti autovalori di A

Un autovalore di A può non essere un polo in caso di cancellazioni

La stabilità dipende dai poli

7. Poli e zeri

As. stabilità Re(poli)<0


01

01

ss

sssG

nn

mm

n

ii

m

ii

n

m

ps

zs

pspsps

zszszssG

1

1

21

21 rr

ii

ii

g s

sT

ssG

1

1

parametri:

parametri:

parametri:

ii ,

costante di trasferimentozeri poli

iiT

,

g

guadagno della FdT

costanti di tempo

tipo

8. Funzione di trasferimento : parametrizzazioni

1.

2.

zi

rpi

3.


ii

ii

g

i i

i i

ii

ii

g

i i

i

i i

i

g

ii

ii

s

sT

s

p

s

z

s

p

z

s

p

sp

z

sz

sps

zs

sG

r

rr

1

1

1

11

1

1

i

i

Tz

1

dove i

ip

1

Osservazione – Relazione tra la 2 e la 3


Esempio

è nella forma 1

Calcolando poli e zeri è possibile metterla nella forma 2

73

525

2110

503552

2

ss

ss

ss

sssG

2110

503552

2

ss

sssG

1,10,21

5,35,50

210

210

7,3

5,2

5

21

21

pp

zz

r

Raccogliendo zi e pi si può passare alla forma 3

ss

ss

ss

ss

ss

sssG

7

11

3

11

5

11

2

11

21

50

17

11

3

173

15

11

2

1255

73

525

0,7

1,

3

1,

5

1,

2

1,

21

502121 gTT


cioè è uguale al guadagno statico del sistema

si dice guadagno “generalizzato” di una FdT

9. Guadagno statico e guadagno di una FdT

0gse DBCAG 10allora

0gse sGsg

s 0lim

allora


0g

0g

0g

guadagno statico

01 GDBCA

001 GDBCA

non def.

guadagno della FdT

sGsg

s 0lim

0G

sGsg

s 0lim

tipo


Esempio

tDutCxty

tButAxtx

33

52A

1

1B 01C 0D

Sistema 1

DBCA 1

Si calcoli il guadagno statico del sistema

Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema

215

82

ss

ssG

forma 3

2

21

1

21

51

8

11

21

8

ss

ssG

21

8

guadagno della funzione di trasferimento

g=0


ss

ss

10

11

4

11

8

11

5

4

tDutCxty

tButAxtx

04

1014A

0

8B 5 3 C 4D

Sistema 2

DBCA 1

Si calcoli il guadagno statico del sistema


4014

3242

2

ss

sssG

forma 2

0


104

84

ss

ss forma 3

g<0

5

4lim

0

sGsg

sInfatti:


tDutCxty

tButAxtx

02

04A

0

4B 4 1C 0D

Sistema 3

Non si può calcolare il guadagno statico del sistema perchè A non è invertibile.


ss

ssG

4

3242

forma 2


4

84

ss

s

ss

s

4

11

8

118forma 3

g>0

1 0det AA

8lim0

sGsg

sInfatti:

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