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F. Previdi - Controlli Automatici - Lez. 1 1

Lezione 1. Introduzione alle proprietà strutturali


ቐ𝑥 𝑘 + 1 =

1 01 −1

𝑥 𝑘 +01𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 1 1 𝑥 𝑘

𝐺 𝑧 = 1 1𝑧 − 1 0−1 𝑧 + 1

−101

= ⋯

… =𝑧 − 1

𝑧 − 1 𝑧 + 1=

1

𝑧 + 1

Qual è il «significato» di questa cancellazione?

Esempio: cancellazione polo/zero


൞

𝑥1 𝑘 + 1 = 𝑥1 𝑘

𝑥2 𝑘 + 1 = 𝑥1 𝑘 − 𝑥2 𝑘 + 𝑢

𝑦 𝑘 = 𝑥1 𝑘 + 𝑥2 𝑘

𝑘

ቊ𝑥2 𝑘 + 1 = −𝑥2 𝑘 + 𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝑥2 𝑘

ቐ𝑥 𝑘 + 1 =

1 01 −1

𝑥 𝑘 +01𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 1 1 𝑥 𝑘

Si osservi che per 𝑥1 0 = 0 allora 𝑥1 𝑘 = 0 per ogni 𝑘 ≥ 0

il sistema, dal punto di vista ingresso/uscita, è identico a

𝐺 𝑧 =1

𝑧 + 1

Si esplicitino le equazioni di stato

Quindi, quando si ha condizione iniziale 𝑥1 0 = 0 ,

Il fatto che ci sia una cancellazione nella funzione di trasferimento

consiste nel fatto che una variabile di stato “non si veda” nella

rappresentazione ingresso/uscita.


La funzione di trasferimento è detta rappresentazione esterna del

sistema, mentre quella in variabili di stato è detta rappresentazione

interna. In generale, però, non hanno il medesimo contenuto

informativo (la rappresentazione di stato “dice” sempre tutto, la

funzione di trasferimento solo se non ci sono cancellazioni)

?

Rappresentazione interna

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

Rappresentazione esterna

𝑌 𝑧 = 𝐺 𝑧 𝑈 𝑧

𝑥 0 = 0

𝐺 𝑧 = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷

“realizzazione”con


ቊ𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

𝑥 𝑘 = 𝑇𝑥 𝑘

൝𝑥 𝑘 + 1 = 𝑇𝑥 𝑘 + 1 = 𝑇 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 = 𝑇𝐴𝑇−1 𝑥 𝑘 + 𝑇𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘 = 𝐶𝑇−1 𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

det 𝑇 ≠ 0

Cambiamento di variabili di stato

con

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ~ ሚ𝐴, ෨𝐵, ሚ𝐶, ෩𝐷

൝𝑥 𝑘 + 1 = ሚ𝐴𝑥 𝑘 + ෨𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = ሚ𝐶 𝑥 𝑘 + ෩𝐷𝑢 𝑘ሚ𝐴 = 𝑇𝐴𝑇−1, ෨𝐵 = 𝑇𝐵, ሚ𝐶 = 𝐶𝑇−1, ෩𝐷 = 𝐷

Nota - Rappresentazioni equivalenti di sistemi LTI


stesso sistema

(diversa rappresentazione di stato ma stesso legame ingresso-uscita)

Equilibrio

Movimento

det 𝐴 ≠ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡 ሚ𝐴 ≠ 0 e 𝜇 = 𝜇

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ~ ሚ𝐴, ෨𝐵, ሚ𝐶, ෩𝐷

stesso movimento dell’uscita

in corrispondenza del medesimo ingresso e

della condizione iniziale

𝑦 𝑡

𝑥0 = 𝑇𝑥0

Autovalori

Gli autovalori si A e di A sono uguali. Per questa ragione la stabilità è

una proprietà strutturale, poichè non dipende dalla particolare

rappresentazione del sistema.

⁓

7

Esempio di simulazione

𝐴 =−0.5 0.50.5 0.5

𝐵 =11

𝒙 𝑘 + 1 = 𝐴𝒙 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

𝒚 𝑘 = 𝐶𝒙 𝑘𝐶 = 1 −1

ingresso random uscita

stato x1 stato x2


Rappresentazione della traiettoria delle variabili di stato nello

spazio di stato x1-x2


Effettuiamo un cambiamento di variabili di stato usando la trasformazione

𝑇 =−1 −11 0

Le nuove variabili di stato saranno quindi calcolate a partire dalle vecchie così

𝒙 𝑘 = 𝑇𝒙 𝑘

𝑥1 𝑘 = −𝑥1 𝑘 − 𝑥2 𝑘𝑥2 𝑘 = 𝑥1 𝑘

Il sistema viene quindi rappresentato come segue

ሚ𝐴 = 𝑇𝐴𝑇−1 =1 1

−0.5 1෨𝐵 = 𝑇𝐵 =

−21

𝒙 𝑘 + 1 = ሚ𝐴𝒙 𝑘 + ෨𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = ሚ𝐶𝒙 𝑘ሚ𝐶 = 𝐶𝑇−1 = 1 2

Come cambierà il comportamento del sistema

applicando il medesimo (identico) ingresso di prima?


L’uscita non cambia. Il comportamento

ingresso/uscita rimane inalterato. Il sistema è lo

stesso, è solo stato modificato lo spazio di stato.

uscita vecchia uscita nuova


stato x1 vecchio

stato x2 vecchio

stato x1 nuovo

stato x2 nuovo

~~

~

~


Rappresentazione della traiettoria delle variabili di stato nei due

spazi di stato

Lo spazio di stato è stato ruotato e scalato.

vecchio nuovo

~~


𝐿 ሶ𝑥1 𝑡 = 𝑅 𝑢 𝑡 − 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡

𝐿 ሶ𝑥2 𝑡 = 𝑅 𝑢 𝑡 − 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝑅 𝑢 𝑡 − 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡

𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡

𝐿

𝑢 𝑡

𝐿𝑅𝑦 𝑡

La rete è descritta dalle seguenti equazioni:

Esempio

Due induttori

identici in

parallelo


ቊሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡

𝐴 =−𝑅

𝐿−𝑅

𝐿

−𝑅

𝐿−𝑅

𝐿

𝐵 =

𝑅

𝐿𝑅

𝐿

Le equazioni della rete ammettono questa scrittura in variabili di stato:

𝐶 = −𝑅 −𝑅

𝐷 = 𝑅

𝐺 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷 =𝑠𝑅

𝑠 + 2𝑅𝐿

C’è una

cancellazione!

La funzione di trasferimento è:

Per analizzare il sistema si effettui il seguente cambio di variabili di stato:

𝑥 𝑡 = 𝑇𝑥 𝑡 con 𝑇 =1 11 −1 det 𝑇 ≠ 0Si osservi che

cioè: ቊ𝑥1 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡

𝑥2 𝑡 = 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡


൝ሶ𝑥 𝑡 = ሚ𝐴 𝑥 𝑡 + ෨𝐵𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 = ሚ𝐶 𝑥 𝑡 + ෩𝐷𝑢 𝑡

ሚ𝐴 = 𝑇𝐴𝑇−1 =1 11 −1

−𝑅

𝐿−𝑅

𝐿

−𝑅

𝐿−𝑅

𝐿

1

21 11 −1

= −2𝑅

𝐿𝟎

𝟎 𝟎

෨𝐵 = 𝑇𝐵 =1 11 −1

𝑅

𝐿𝑅

𝐿

=2𝑅

𝐿𝟎

ሚ𝐶 = 𝐶𝑇−1 = −𝑅 −𝑅1

21 11 −1

= −𝑅 𝟎

෩𝐷 = 𝐷 = 𝑅

Il sistema, nelle nuove variabili di stato, sarà descritto dalle seguenti

equazioni:


La funzione di trasferimento è (ovviamente) uguale:

𝐺 𝑠 = ෨𝐺 𝑠 = ሚ𝐶 𝑠𝐼 − ሚ𝐴−1 ෨𝐵 + ෩𝐷 =

𝑅𝑠2

𝑠 𝑠 +2𝑅𝐿

=𝑅𝑠

𝑠 +2𝑅𝐿

Qual è il significato della cancellazione?

La rappresentazione nelle nuove variabili di stato ci aiuta:

ሶ𝑥1 𝑡 = −2𝑅

𝐿𝑥1 𝑡 +

2𝑅

𝐿𝑢 𝑡

ሶ𝑥2 𝑡 = 0

𝑦 𝑡 = −𝑅 𝑥1 𝑡 + 𝑅𝑢 𝑡

L’ingresso u non influenza x2, nè

direttamente, nè tramite x1.

⁓

⁓

L’uscita y non è influenzata da x2, nè

direttamente, nè tramite x1.

⁓

⁓

Nel legame ingresso/uscita non si “vede” lo stato x2⁓

Infatti x2 è la differenza tra le correnti negli induttori e sono sempre uguali!⁓


𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡

𝐿

𝑢 𝑡

𝐿𝑅𝑦 𝑡

𝑥1 𝑡

𝐿

2

𝑢 𝑡

𝑅𝑦 𝑡

ቐሶ𝑥1 𝑡 = −

2𝑅

𝐿𝑥1 𝑡 +

2𝑅

𝐿𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 = −𝑅 𝑥1 𝑡 + 𝑅𝑢 𝑡

𝐺 𝑠 =𝑅𝑠

𝑠 +2𝑅𝐿

Riscrivendo le equazioni del sistema dinamico «ridotto» e calcolando

la funzione di trasferimento si ha:

Non posso «controllare»

indipendentemente le due

correnti negli induttori.


Nelle prossime lezioni saranno studiate le proprietà strutturali

dei sistemi dinamici che spiegano i problemi connessi con le

cancellazioni (e non solo).

La più nota delle proprietà strutturali è la stabilità.

Altre proprietà strutturali sono:

✓ Raggiungibilità e controllabilità

✓ Osservabilità e ricostruibilità

Queste proprietà saranno definite per sistemi LTI a tempo

discreto, ma le definizioni potranno essere estese ai sistemi

dinamici a tempo continuo (ed ai sistemi ad eventi), a patto di

prestare alcune attenzioni.

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In quale misura è possibile influire sulla dinamica dei sistemi agendo sull’ingresso?

Raggiungibilità: fissato lo stato iniziale, qual è l’insieme di stati in cui può essere

portato il sistema agendo sull’ingresso?

x0

u1

u2

un

x1

x2

xn

.

.

.

?

Controllabilità: fissato lo stato finale, qual è l’insieme degli stati a partire dai

quali esiste qualche ingresso che porta il sistema nello stato finale?

xf

u1

u2

un

x1

x2

xn

.

.

.

?

Per i sistemi lineari le proprietà di raggiungibilità e di controllabilità sono riferite

allo stato x=0.

Quindi si parla di insiemi di stati controllabili (a 0) e stati raggiungibili (da 0).


In quale misura è possibile determinare lo stato di un sistema a partire dai dati di

uscita (ed ingresso)?

Osservabilità: è possibile determinare lo stato al tempo usando

misure di uscita (ed ingresso) a tempi precedenti

෨𝑘

Ricostruibilità: è possibile determinare lo stato al tempo usando

misure di uscita (ed ingresso) a tempi successivi

𝑘 ≤ ෨𝑘

෨𝑘

𝑘 ≥ ෨𝑘

I concetti di osservabilità e ricostruibilità si riferiscono quindi

alla possibilità di determinare lo stato di un sistema a partire

dai dati di uscita (e di ingresso).

Infatti non sempre le variabili di stato sono direttamente

misurabili, ma possono essere necessarie/utili per risolvere un

problema di controllo.

Si pone quindi un problema di stima o ricostruzione dello

stato.

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